三版_刘克哲_课后答案(1~16章).pdf 195页

'课后答案网（http://www.khdaw.com）[第1章习题解答]1-3如题1-3图所示，汽车从A地出发，向北行驶60km到达B地，然后向东行驶60km到达c地，最后向东北行驶50km到达D地。求汽车行驶的总路程和总位移。解汽车行驶的总路程为S=AB十BC十CD＝(60十60十50)km＝170km；汽车的总位移的大小为Δr=AB/Cos45°十CD＝(84.9十50)km＝135km，位移的方向沿东北方向，与CD方向一致。dRdR1-4现有一矢量R是时阃t的函数，问与在一般情况下是否相等?为什么?dtdtdRdR解：与在一般情况下是不相等的。因为前者是对矢量R的绝对值(大小或长dtdt度)求导，表示矢量R的太小随时间的变化率；而后者是对矢量R的大小和方向两者同时求导，再取绝对值，表示矢量R大小随时问的变化和矢量R方向随时同的变化两部分的绝对值。如果矢量R方向不变，只是大小变化，那么这两个表示式是相等的。1-5一质点沿直线L运动，其位置与时间的关系为r=6t2-2t3，r和t的单位分别是米和秒。求：(1)第二秒内的平均速度；(2)第三秒末和第四秒末的速度，(3)第三秒末和第四秒末的加速度。解：取直线L的正方向为x轴，以下所求得的速度和加速度，若为正值，表示该速度或加速度沿x轴的正方向，若为负值，表示该速度或加速度沿x轴的反方向。(1)第二秒内的平均速度x2−x1(24−16)−(6−2)−1−1v==m⋅s=4.0m⋅s；2t−t2−121(2)第三秒末的速度dx2因为v==12t−6t，将t=3s代入，就求得第三秒末的速度为dtv-13=18m·s；用同样的方法可以求得第口秒末的速度为V-14=48ms；(3)第三秒末的加速度2dx因为a==12−12t，将t=3s代入，就求得第三秒末的加速度为2dta-23=-24m·s；1 课后答案网（http://www.khdaw.com）用同样的方法可“求得第四秒末的加速度为a-24=-36m·sdsdv1-6一质点作直线运动，速度和加速度的大小分别为v=和a=，试证明：dtdt(1)vdv=ads：(2)当a为常量时，式v2=v20+2a(s-s0)成立。解dsdv(1)vdv=dv=ds=ads；dtdtv1v2122(2)对上式积分，等号左边为：vdv=d(v)=(v−v)∫v∫v00202s等号右边为：ads=a(s−s)∫0s02-v2于是得：v0=2a(s-s0)2=v2即：v0+2a(s-s0)1-7质点沿直线运动，在时间t后它离该直线上某定点0的距离s满足关系式：s=(t-1)2(t-2)，s和t的单位分别是米和秒。求(1)当质点经过O点时的速度和加速度；(2)当质点的速度为零时它离开O点的距离；(3)当质点的加速度为零时它离开O点的距离；(4)当质点的速度为12ms-1时它的加速度。解：取质点沿x轴运动，取坐标原点为定点O。(1)质点经过O点时．即s=0，由式(t-1)2(t-2)=0，可以解得t=1.0s．t=2.0s当t=1s时．v=ds/dt=2(t-1)(t-2)+(t-1)2=0ms-1a=dv/dt=4(t-1)+2(t-2)=-2.0ms-2当t=2s时，v=1.0ms-1,a=4.0ms-2。(2)质点的速度为零，即V=ds/dt=2(t-1)(t-2)+(t-1)2=0上式可化为(t-1)(3t-5)=0，解得:t=1.0s，t=1.7s当t=1s时，质点正好处于O点，即离开O点的距离为0m，当t=5／3s时，质点离开O点的距离为-0.15m。(3)质点的加速度为零，即a=dv/dt=4(t-1)+2(t-2)=0上式可化为：(3t-4)=0，t=1.3s这时离开O点的距离为-0.074m。4)质点的速度为12ms-1，即2(t-1)(t-2)+(t-1)2=12由此解得：t=3.4s，t=-0.69s将t值代入加速度的表示式a=dv/dt=4(t-1)+2(t-2)2 课后答案网（http://www.khdaw.com）求得的加速度分别为:a=12.4ms-2，a=-12.2ms-21-8一质点沿某直线作减速运动，其加速度为a=-cv2，c是常量。若t=0时质点的速度为v0，并处于s0的位置上，求任意时刻t质点的速度和位置。解：以t=0时刻质点的位置为坐标原点O，取水平线为x轴，质点就沿x轴运动。困为是直线运动，矢量可以用带有正负号的标量来表示。dvdvdva=于是有dt==−2dtacvvdv111两边分别积分，得：t−t=−=(−)0∫v20cvcvv0111v0固为t0=0，所以上式变为：t=(−)即v=cvvcvt+100上式就是任意时刻质点的速度表达式。dx′因为v=,dx′=vdtdtvdt0将式(1)代入上式．得：dx′=cvt+10tvdt10对式(2)两边分别积分，得：x′==ln(cvt+1)∫00cvt+1c0于是，任意时刻质点的位置表达式为1x=x′+s=ln(cvt+1)+s000c1-9质点作直线运动，初速度为零．初始加速度为a0，质点出发后每经过τ时间，加速度均匀增加b。求经过时间t后质点的速度和加速度。解：可以把质点运动所沿的直线定为直线L，并设初始时刻质点处于固定点O上。b根据题意，质点运动的加建度应该表示为：a=a+t0τt由速度公式：v=v+adt0∫0tb2可以求得经过f时间质点的速度：v=adt=at+t∫002τ另外，根据位移公式可以求得经过时间t质点的位移为：ta02b3l=∫vdt=t+t026τ1-10质点沿直线y=2x十1运动，某时刻位于x1=1.51m处，经过1.20s到达x2=3.15m处。求质点在此过程中的平均速度。∆r解：根据定义，平均速度应表示为：v=其中∆r=∆xi+∆yj∆t3 课后答案网（http://www.khdaw.com）由已知条件找出△x和△y，就可以求得平均速度v。△x=x2-x1=3.15m-l.5lm=l.64m根据直线方程y=2x+l，可求得y1=2x1+l=4.02m，y2=2x2+l=7.31m，所以△y=y2-y1=7.31m-4.02m=3.28m平均速度为:∆r∆x∆y−1v==i+j=(1.37i+2.74j)m⋅s∆t∆t∆t∆x2∆y2−1也可以用下面的方式表示v=()+()=3.06m⋅s∆t∆t∆y�与z轴的夹角为θ=arctan=arctan2.00=6326′∆x1-11质点运动的位置与时间的关系为x=5+t2，y=3+5t-t2，z=l+2t2，求第二秒末质点的速度和加速度，其中长度和时间的单位分别是米和秒。解：已知质点运动轨道的参量方程为2⎧x=5+t⎪2⎨y=3+5t−t⎪2z=1+2t⎩质点任意时刻的速度和加速度分别为⎧vx=2t⎧ax=2⎪⎪⎨vy=5−2t和⎨ay=−2⎪⎪v=4ta=4⎩z⎩z质点在第二秒末的速度和加速度就是由以上两式求得的。将t=2s代人上式，就得到质点在第二秒末的速度和加速度，分别为−1−2⎧v=4.0m⋅s⎧a=2.0m⋅sxx⎪−1⎪−2⎨vy=1.0m⋅s和⎨ay=−2.0m⋅s⎪−1⎪−2v=8.0m⋅sa=4.0m⋅s⎩z⎩z1-12设质点的位置与时间的关系为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，222drdr如果先求出r=x+y，然后根据v=和a=求得结果。还可以用另一种方法计2dtdt算：先算出速度和加速度分量，再合成．得到的结果为22dx2dy2dx2dy2v=()+()和a=()+()，你认为那一组结果正确？为什么？22dtdtdtdt解：第二组结果是正确的。而在一般情况下第一组结果不正确，这是因为在一般情况下22drdrdrdrv=≠,a=≠22dtdtdtdt4 课后答案网（http://www.khdaw.com）速度和加速度中的r是质点的位置矢量，不仅有大小而且有方向．微分时，既要对大小微分也要对方向微分。第一组结果的错误就在于，只对位置矢量的大小微分，而没有对位置矢量的方向微分。1-13火车以匀加速运动驶离站台。当火车刚开动时，站在第一节车厢前端相对应的站台位置上的静止观察者发现．第一节车厢从其身边驶过的时间是5.0s。问第九节车厢驶过此观察者身边需要多少时间?解：设火车的加速度为a，每节车厢的长度为l，第一节车厢从观察者身边通过所需时间为t1，t1满足12l=at(1)12前八节车厢通过观察者身边所需时间为t2，前九节车厢通过观察者身边所需时问为t3，并可列出下面两个方程式：128l=at(2)22129l=at(3)322l2i由(1)得：a==2t251将上式代入式(2)和式(3)，分别得到16l16×25l18l18×25lt===14.14s,t===15.00s23a2la2l第九节车厢通过观察者身边所需时间为：Δt=t3-t2=15.00s-14.41s=0.86s5 课后答案网（http://www.khdaw.com）6 课后答案网（http://www.khdaw.com）7 课后答案网（http://www.khdaw.com）8 课后答案网（http://www.khdaw.com）9 课后答案网（http://www.khdaw.com）10 课后答案网（http://www.khdaw.com）11 课后答案网（http://www.khdaw.com）12 课后答案网（http://www.khdaw.com）13 课后答案网（http://www.khdaw.com）14 课后答案网（http://www.khdaw.com）15 课后答案网（http://www.khdaw.com）16 课后答案网（http://www.khdaw.com）17 课后答案网（http://www.khdaw.com）[物理学2章习题解答]2-1处于一斜面上的物体，在沿斜面方向的力f作用下，向上滑动。已知斜面长为5.6m，顶端的高度为3.2m，f的大小为100n，物体的质量为12kg，物体沿斜面向上滑动的距离为4.0m，物体与斜面之间的摩擦系数为0.24。求物体在滑动过程中，力f、摩擦力、重力和斜面对物体支撑力各作了多少功？这些力的合力作了多少功？将这些力所作功的代数和与这些力的合力所作的功进行比较，可以得到什么结论？解物体受力情形如图2-3所示。力f所作的功；摩擦力,图2-3摩擦力所作的功；重力所作的功;支撑力n与物体的位移相垂直，不作功，即18 课后答案网（http://www.khdaw.com）；这些功的代数和为.物体所受合力为,合力的功为.这表明，物体所受诸力的合力所作的功必定等于各分力所作功的代数和。2-3物体在一机械手的推动下沿水平地面作匀加速运动，加速度为0.49m⋅s−2。若动力机械的功率有50%用于克服摩擦力，有50%用于增加速度，求物体与地面的摩擦系数。解设机械手的推力为f沿水平方向，地面对物体的摩擦力为f，在这些力的作用下物体的加速度为a，根据牛顿第二定律，在水平方向上可以列出下面的方程式,在上式两边同乘以v，得,上式左边第一项是推力的功率()。按题意，推力的功率p是摩擦力功率fv的二倍，于是有.由上式得,又有,故可解得.2-4有一斜面长5.0m、顶端高3.0m，今有一机械手将一个质量为1000kg的物体以匀速从斜面底部推到顶部，如果机械手推动物体的方向与斜面成30°，斜面与物体的摩擦系数为0.20，求机械手的推力和它对物体所作的功。解物体受力情况如图2-4所示。取x轴沿斜面向上，y轴垂直于斜面向上。可以列出下面的方程19 课后答案网（http://www.khdaw.com）,(1),(2).(3)根据已知条件,.由式(2)得.图2-4将上式代入式(3)，得.将上式代入式(1)得,由此解得.推力f所作的功为.2-5有心力是力的方向指向某固定点(称为力心)、力的大小只决定于受力物体到力心的距离的一种力，万有引力就是一种有心力。现有一物体受到有心力的作用(其中m和α都是大于零的常量)，从rp到达rq，求此有心力所作的功，图2-5其中rp和rq是以力心为坐标原点时物体的位置矢量。解根据题意，画出物体在有心力场中运动的示意图，即图2-5，物体在运动过程中的任意点c处，在有心力f的作用下作位移元dl，力所作的元功为,所以，在物体从点p(位置矢量为rp)到达点q(位置矢量为rq)的过程中，f所作的总功为.20 课后答案网（http://www.khdaw.com）2-6马拉着质量为100kg的雪撬以2.0m⋅s−1的匀速率上山，山的坡度为0.05(即每100m升高5m)，雪撬与雪地之间的摩擦系数为0.10。求马拉雪撬的功率。解设山坡的倾角为α，则.可列出下面的方程式,,.式中m、f、f和n分别是雪橇的质量、马的拉力、地面对雪橇的摩擦力和地面对雪橇的支撑力。从以上方程式可解得,,.于是可以求得马拉雪橇的功率为.2-7机车的功率为2.0×106w，在满功率运行的情况下，在100s内将列车由静止加速到20m⋅s−1。若忽略摩擦力，试求：(1)列车的质量；(2)列车的速率与时间的关系；(3)机车的拉力与时间的关系；(4)列车所经过的路程。解(1)将牛顿第二定律写为下面的形式,(1)用速度v点乘上式两边，得.式中fv=p，是机车的功率，为一定值。对上式积分,即可得21 课后答案网（http://www.khdaw.com）,将已知数据代入上式，可求得列车的质量，为.(2)利用上面所得到的方程式,就可以求得速度与时间的关系，为.(2)(3)由式(2)得,将上式代入式(1)，得,由上式可以得到机车的拉力与时间的关系.(4)列车在这100秒内作复杂运动，因为加速度也在随时间变化。列车所经过的路程可以用第一章的位移公式(1-11)来求解。对于直线运动，上式可化为标量式，故有.2-8质量为m的固体球在空气中运动将受到空气对它的黏性阻力f的作用，黏性阻力的大小与球相对于空气的运动速率成正比，黏性阻力的方向与球的运动方向相反，即可表示为f=−βv，其中β是常量。已知球被约束在水平方向上，在空气的黏性阻力作用下作减速运动，初始时刻t0，球的速度为v0，试求：(1)t时刻球的运动速度v；(2)在从t0到t的时间内，黏性阻力所作的功a。解(1)根据已知条件，可以作下面的运算22 课后答案网（http://www.khdaw.com）,式中.于是可以得到下面的关系,对上式积分可得.(1)当t=t0时，v=v0，代入上式可得.将上式代入式(1)，得.(2)(2)在从t0到t的时间内，黏性阻力所作的功可以由下面的运算中得出.2-9一个质量为30g的子弹以500m⋅s−1的速率沿水平方向射入沙袋内，并到达深度为20cm处，求沙袋对子弹的平均阻力。解根据动能定理，平均阻力所作的功应等于子弹动能的增量，即,所以.2-10以200N的水平推力推一个原来静止的小车，使它沿水平路面行驶了5.0m。若小车的质量为100kg，小车运动时的摩擦系数为0.10，试用牛顿运动定律和动能定理两种方法求小车的末速。解设水平推力为f，摩擦力为f，行驶距离为s，小车的末速为v。(1)用牛顿运动定律求小车的末速v：列出下面的方程式,23 课后答案网（http://www.khdaw.com）.两式联立求解，解得,将已知数值代入上式，得到小车的末速为.(2)用动能定理求小车的末速v：根据动能定理可以列出下面的方程式,其中摩擦力可以表示为.由以上两式可解得,将已知数值代入上式，得小车的末速为.2-11质量m=100g的小球被系在长度l=50.0cm绳子的一端，绳子的另一端固定在点o，如图2-6所示。若将小球拉到p处，绳子正好呈水平状，然后将小球释放。求小球运动到绳子与水平方向成θ=60°的点q时，小球的速率v、绳子的张力t和小球从p到q的过程中重力所作的功a。解取q点的势能为零，则有,即,于是求得小球到达q点时的速率为.图2-6设小球到达q点时绳子的张力为t，则沿轨道法向可以列出下面的方程式,由此可解的.24 课后答案网（http://www.khdaw.com）在小球从p到q的过程中的任意一点上，沿轨道切向作位移元ds，重力所作元功可表示为,式中θ是沿轨道切向所作位移元ds与竖直方向的夹角。小球从p到q的过程中重力所作的总功可以由对上式的积分求得.2-12一辆重量为19.6×103n的汽车，由静止开始向山上行驶，山的坡度为0.20，汽车开出100m后的速率达到36km⋅h−1，如果摩擦系数为0.10，求汽车牵引力所作的功。解设汽车的牵引力为f，沿山坡向上，摩擦力为f，山坡的倾角为α。将汽车自身看为一个系统，根据功能原理可以列出下面的方程式,(1),.根据已知条件，可以得出，，汽车的质量以及。从方程(1)可以解得.汽车牵引力所作的功为,将数值代入，得.2-13质量为1000kg的汽车以36km⋅h−1的速率匀速行驶，摩擦系数为0.10。求在下面三种情况下发动机的功率：(1)在水平路面上行驶；(2)沿坡度为0.20的路面向上行驶；(3)沿坡度为0.20的路面向下行驶。解(1)设发动机的牵引力为f1，路面的摩擦力为f。因为汽车在水平路面上行驶，故可列出下面的方程式25 课后答案网（http://www.khdaw.com）,,.解得.所以发动机的功率为.(2)设汽车沿斜面向上行驶时发动机的牵引力为f2，可列出下面的方程式,,.解得.发动机的功率为.(3)汽车沿斜面向下行驶时发动机的牵引力为f3，其方向与汽车行驶的方向相反。所列的运动方程为,所以,这时发动机的功率为.2-14一个物体先沿着与水平方向成15°角的斜面由静止下滑，然后继续在水平面上滑动。如果物体在水平面上滑行的距离与在斜面上滑行的距离相等，试求物体与路面之间的摩擦系数。解设物体在水平面上滑行的距离和在斜面上滑行的距离都是l，斜面的倾角α=15°，物体与地球组成的系统是我们研究的对象。物体所受重力是保守内力，支撑力n26 课后答案网（http://www.khdaw.com）不作功，物体所受摩擦力是非保守内力，作负功。以平面为零势能面，根据功能原理可以列出下面的方程式,其中,,将它们代入上式，可得,所以.2-15有一个劲度系数为1200n⋅m−1的弹簧被外力压缩了5.6cm，当外力撤除时将一个质量为0.42kg的物体弹出，使物体沿光滑的曲面上滑，如图2-7所示。求物体所能到达的最大高度h。图2-7解将物体、弹簧和地球划归一个系统，并作为我们的研究对象。这个系统没有外力的作用，同时由于曲面光滑，物体运动也没有摩擦力，即没有非保守内力的作用，故系统的机械能守恒。弹簧被压缩状态的弹力势能应等于物体达到最大高度h时的重力势能，即,.2-16如图2-8所示，一个质量为m=1.0kg的木块，在水平桌面上以v=3.0m⋅s−1的速率与一个轻弹簧相碰，并将弹簧从平衡位置压缩了x=50cm。如果木块与桌面之间的摩擦系数为µ=0.25，求弹簧的劲度系数k。解以木块和弹簧作为研究对象，在木块压缩弹簧的过程中，系统所受外力中有重力和摩擦力，重力不作功，只有摩擦力作功。根据功能原理，可列出下面的方程图2-8,其中,代入上式，并解出弹簧的劲度系数，得.27 课后答案网（http://www.khdaw.com）2-17一个劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端悬挂一个质量为m的小球，这时平衡位置在点a，如图2-1所示。现用手把小球沿竖直方向拉伸δx并达到点b的位置，由静止释放后小球向上运动，试求小球第一次经过点a时的速率。解此题的解答和相应的图2-1，见前面[例题分析]中的例题2-1。若把小球、弹簧、地球看作一个系统，则小球所受弹性力和重力都是保守力。系统不受任何外力作用，也不存在非保守O内力，所以在小球的运动过程中机械能守恒。△x0A另外，可以把小球处于点B时的位置取作系统重力势能零△x点，而系统的弹性势能零点应取在弹簧未发生形变时的状态，B即图中所画的点O。设由于小球受重力的作用，弹簧伸长了△图2-1x0，而到达了点A。则根据状态B和状态A的机械能守恒，应有：121212k(∆x+∆x)=k(∆x)+mg(∆x)+mv00222式中v是小球到达点A时的速率。因为小球处于点A时所受的重力mg和弹性力k(△x0)相平衡，故有mg=k(△x0)(2)将式(2)代入式(1)，即可求得小球到达点A时的速率kv=∆xm有的读者认为．既然势能零点可以任意选择，那么弹力势能的零点若选在点A不是更简便吗?如果将弹力势能零点选择在点A，则式(1)成为下面的形式：1212k(∆x)=mg(∆x)+mv22由此可以解得k2v=(∆x)−2g(∆x)m这显然与上面的结果不一致。哪个结果正确呢?难道弹力势能零点不能任意选择吗?势能零点的确是可以任意选择的，并且如若不指明势能零点，势能的值就没有意义。读者一定还记得，我们在讨论弹力势能时，得到弹力势能表达式E2P=kx/2的前提是选择物体处于平衡位置(即弹簧无形变)时系统的弹力势能为零。这就是说，在使用公式E2P=kx/2时，势能零点就已经选定在平衡位置O点了。若再选择A点为势能零点，岂不是在一个问题中同时选择了两个弹力势能零点了吗?这显然是不能允许的。所以，在28 课后答案网（http://www.khdaw.com）这里读者必须注意，在使用公式E2P=kx/2时，势能零点必须选在弹簧无形变时的平衡位置。读者一定会想到．既然公式E2P=kx/2是在选择了弹簧无形变状态为势能零点的情况下得到的，那么公式EP=mgh是否也是在选择了某点为势能零点的情况下得到的?显然是这样的，把质量为m的物体处于高度为h处的势能写为EP=mgh，实际上已经选定了势能零点在h=0处。那么。在我们的问题中h=0的位置在什么地方呢?显然，我们可以把B点认为是h=O的位置，这时A点的高度就是h=△z(在上面的求解过程中正是这样选择的)，也可以把A点认为是h=0的位置，这时B点的高度就是h=-△x。这两种选择都满足：当h=0时，EP=0。由上面的分析可以看到，公式E2P=kx/2和公式EP=mgh中的x和h具有不同的含义。H是物体所处的高度，只有相对意义，而x代表弹簧的形变，具有绝对意义。2-18一个物体从半径为r的固定不动的光滑球体的顶点滑下，问物体离开球面时它下落的竖直距离为多大？解设物体的质量为m，离开球面时速度为v，此时它下落的竖直距离为h。对于由物体、球体和地球所组成的系统，没有外力和非保守内力的作用，机械能守恒，故有.(1)在物体离开球体之前，物体在球面上的运动过图2-9程中，应满足下面的关系,(2)式中n是球面对物体的支撑力，θ是物体所处位置到球体中心连线与竖直方向的夹角。在物体离开球体的瞬间，由图2-9可见,并且这时应有，于是式(2)成为,即.将上式代入式(1)，得.29 课后答案网（http://www.khdaw.com）2-19已知质量为m的质点处于某力场中位置矢量为r的地方，其势能可以表示为，其中k为常量。(1)画出势能曲线；(2)求质点所受力的形式；图2-10(3)证明此力是保守力。解(1)势能曲线如图2-10所示。(2)质点所受力的形式可如下求得.可见，质点所受的力是与它到力心的距离r的n+1次方成反比的斥力。(3)在这样的力场中，质点沿任意路径从点p移到点q，它们的位置矢量分别为rp和rq，该力所作的功为.这表明，该力所作的功只决定于质点的始末位置，而与中间路径无关，所以此力是保守力。2-20已知双原子分子中两原子的相互作用的势能函数可近似表示为,其中m和n都是大于零的常量，r是两原子中心的距离。试求：(1)r为何值时ep(r)等于零？r为何值时ep(r)为极小值？(2)原子之间的相互作用形式；(3)两原子相互作用为零时其中心的距离(即平衡位置)。解30 课后答案网（http://www.khdaw.com）(1),即,由此解得.ep为极小值，要求当时,,即图2-11,由此可解得.(2)原子之间相互作用力的形式为.(3)在平衡位置处应有,.图2-11(a)和(b)分别画出了双原子分子中两原子的相互作用的势能函数和作用力的函数的示意图。[物理学3章习题解答]3-1用榔头击钉子，如果榔头的质量为500g，击钉子时的速率为8.0m⋅s−1，作用时间为2.0×10−3s，求钉子所受的冲量和榔头对钉子的平均打击力。解对于榔头：,式中i1是榔头所受的冲量，是榔头所受钉子的平均打击力；31 课后答案网（http://www.khdaw.com）对于钉子：,式中i2是钉子受到的冲量，是钉子所受的平均打击力，显然=−。题目所要求的是i2和：,i2的方向与榔头运动方向一致。,的方向与榔头运动方向一致。3-2质量为10g的子弹以500m⋅s−1的速度沿与板面垂直的方向射向木板，穿过木板，速度降为400m⋅s−1。如果子弹穿过木板所需时间为1.00×10−5s，试分别利用动能定理和动量定理求木板对子弹的平均阻力。解(1)用动能定理求解：,(1)其中是木板对子弹的平均阻力，d为穿过木板的厚度，它可用下面的关系求得：,(2).(3)由式(2)和式(3)联立所求得的木板厚度为&nb.根据式(1)，木板对子弹的平均阻力为.(2)用动量定理求解：,.与上面的结果一致。由求解过程可见，利用动量定理求解要简便得多。32 课后答案网（http://www.khdaw.com）3-4质量为m的小球与桌面相碰撞，碰撞前、后小球的速率都是v，入射方向和出射方向与桌面法线的夹角都是α，如图3-3所示。若小球与桌面作用的时间为δt，求小球对桌面的平均冲力。解设桌面对小球的平均冲力为f，并建立如图所示的坐标系，根据动量定理，对于小球可列出,.由第一个方程式可以求得图3-3,由第二个方程式可以求得.根据牛顿第三定律，小球对桌面的平均冲力为,负号表示小球对桌面的平均冲力沿y轴的负方向。3-5如图3-4所示，一个质量为m的刚性小球在光滑的水平桌面上以速度v1运动，v1与x轴的负方向成α角。当小球运动到o点时，受到一个沿y方向的冲力作用，使小球运动速度的大小和方向都发生了变化。已知变化后速度的方向与x轴成β角。如果冲力与小球作用的时间为δt，求小球所受的平均冲力和运动速率。图3-4解设小球受到的平均冲力为f，根据题意，它是沿y方向的，小球受到撞击后，运动速率为v2。根据动量定理，在y方向上可以列出下面的方程式,由此得到.(1)小球在x轴方向上不受力的作用，动量是守恒的。故有,由此求得小球受到撞击后的运动速率为.(2)33 课后答案网（http://www.khdaw.com）将式(2)代入式(1)，即可求得小球所受的平均冲力.3-7求一个半径为r的半圆形均匀薄板的质心。解将坐标原点取在半圆形薄板的圆心上，并建立如图3-5所示的坐标系。在这种情况下，质心c必定处于y轴上，即,图3-5.质量元是取在y处的长条，如图所示。长条的宽度为dy，长度为2x。根据圆方程,故有.如果薄板的质量密度为σ，则有.令,则，对上式作变量变换，并积分，得.3-8有一厚度和密度都均匀的扇形薄板，其半径为r，顶角为2α，求质心的位置。解以扇形的圆心为坐标原点、以顶角的平分线为y轴，建立如图3-6所示的坐标系。在这种情况下，质心c必定处于y轴上，即,.质量元可表示为图3-6,式中σ为扇形薄板的质量密度，ds为图中黑色方块所示的扇形薄板面元。整个扇形34 课后答案网（http://www.khdaw.com）薄板的质量为,于是.将代入上式，得.3-9一个水银球竖直地落在水平桌面上，并分成三个质量相等的小水银球。其中两个以30cm⋅s−1的速率沿相互垂直的方向运动，如图3-7中的1、2两球。求第三个小水银球的速率和运动方向(即与1球运动方向的夹角α)。解建立如图3-8所示的坐标系。在水平方向上，水银求不受力的作用，所以动量守恒，故可列出下面的两个方程式图3-8,.式中v是1、2两球的运动速率，v3是第三个水银小球的运动速率。由上两方程式可解的,图3-7.3-10如图3-9所示，一个质量为1.240kg的木块与一个处于平衡位置的轻弹簧的一端相接触，它们静止地处于光滑的水平桌面上。一个质图3-9量为10.0g的子弹沿水平方向飞行并射进木块，受到子弹撞击的木块将弹簧压缩了2.0cm。如果轻弹簧的劲度系数为2000n⋅m−1，求子弹撞击木块的速率。解设木块的质量为m；子弹的质量为m，速度为v；碰撞后的共同速度为v。此类问题一般分两步处理：第一步是子弹与木块作完全非弹性碰撞，第二步是子弹在木块内以共同的速度压缩弹簧。35 课后答案网（http://www.khdaw.com）第一步遵从动量守恒，故有.(1)第二步是动能与弹力势能之间的转换，遵从机械能守恒，于是有.(2)有式(2)解得.将v值代入式(1)，就可求得子弹撞击木块的速率，为.3-11质量为5.0g的子弹以500m⋅s−1的速率沿水平方向射入静止放置在水平桌面上的质量为1245g的木块内。木块受冲击后沿桌面滑动了510cm。求木块与桌面之间的摩擦系数。解这个问题也应分两步处理：第一步是子弹与木块作完全非弹性碰撞过程，第二步是子弹处于木块内一起滑动而克服桌面的摩擦力作功的过程。第一步遵从动量守恒，有.式中v是木块受冲击后沿桌面滑动的速度。第二步遵从功能原理，可列出下面的方程式.由以上两式可解得3-12一个中子撞击一个静止的碳原子核，如果碰撞是完全弹性正碰，求碰撞后中子动能减少的百分数。已知中子与碳原子核的质量之比为1:12。解设中子的质量为m，与碳核碰撞前、后的速度分别为v1和v2；碳核的质量为m，碰撞前、后的速度分别为0和v。因为是正碰，所以v1、v2和v必定处于同一条直线上。完全弹性碰撞，动量守恒，故有,(1)总动能不变，即(2)以上两式可分别化为36 课后答案网（http://www.khdaw.com）,(3).(4)式(4)除以式(3)，得.(5)由式(1)和式(5)解得.于是，可以算得中子动能的减少,因为m=12m，所以.3-13质量为m1的中子分别与质量为m2的铅原子核(质量m2=206m1)和质量为m3的氢原子核(质量m3=m1)发生完全弹性正碰。分别求出中子在碰撞后动能减少的百分数，并说明其物理意义。解求解此题可以利用上题的结果：.对于中子与铅核作完全弹性正碰的情形：.铅核的质量比中子的质量大得多，当它们发生完全弹性正碰时，铅核几乎保持静止，而中子则以与碰前相近的速率被反弹回去，所以动能损失极少。对于中子与氢核作完全弹性正碰的情形：.氢核就是质子，与中子质量相等，当它们发生完全弹性正碰时，将交换速度，所以碰撞后，中子静止不动了，而将自身的全部动能交给了氢核。3-14如图3-10所示，用长度为l的细线将一个质量为m的小球悬挂于o点。手拿小球将细线拉到水平位置，然后释放。当小球摆动到细线竖直的位置时，正好与一个静止放置在水平桌面上的质量为m的物体作完全弹性碰撞。求碰撞后小球达到的最高位置所对应的细线张角α。37 课后答案网（http://www.khdaw.com）解小球与物体相碰撞的速度v1可由下式求得.(1)小球与物体相碰撞，在水平方向上满足动量守恒，碰撞后小球的速度变为v2，物体的速度为v，在水平方向上应有图3-10.(2)完全弹性碰撞，动能不变，即.(3)碰撞后，小球在到达张角α的位置的过程中满足机械能守恒，应有.(4)由以上四式可解得.将上式代入式(4)，得,.[物理学4章习题解答]38 课后答案网（http://www.khdaw.com）39 课后答案网（http://www.khdaw.com）40 课后答案网（http://www.khdaw.com）41 课后答案网（http://www.khdaw.com）42 课后答案网（http://www.khdaw.com）43 课后答案网（http://www.khdaw.com）44 课后答案网（http://www.khdaw.com）45 课后答案网（http://www.khdaw.com）[物理学5章习题解答]5-1作定轴转动的刚体上各点的法向加速度，既可写为a2n=v/r，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离r成反比；也可以写为a2n=ωr，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离r成正比。这两者是否有矛盾？为什么？解没有矛盾。根据公式，说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离r成反比，是有条件的，这个条件就是保持v不变；根据公式，说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离r成正比，也是有条件的，条件就是保持ω不变。5-2一个圆盘绕通过其中心并与盘面相垂直的轴作定轴转动，当圆盘分别在恒定角速度和恒定角加速度两种情况下转动时，圆盘边缘上的点是否都具有法向加速度和切向加速度？数值是恒定的还是变化的？解(1)当角速度ω一定时，切向速度也是一定的，所以切向加速度,即不具有切向加速度。而此时法向加速度,可见是恒定的。(2)当角加速度一定时，即恒定，于是可以得到,这表示角速度是随时间变化的。由此可得.切向加速度为,这表示切向加速度是恒定的。法向加速度为,46 课后答案网（http://www.khdaw.com）显然是时间的函数。5-3原来静止的电机皮带轮在接通电源后作匀变速转动，30s后转速达到152rad⋅s−1。求：(1)在这30s内电机皮带轮转过的转数；(2)接通电源后20s时皮带轮的角速度；(3)接通电源后20s时皮带轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度，已知皮带轮的半径为5.0cm。解(1)根据题意，皮带轮是在作匀角加速转动，角加速度为.在30s内转过的角位移为.在30s内转过的转数为.(2)在t=20s时其角速度为.(3)在t=20s时，在皮带轮边缘上r=5.0cm处的线速度为,切向加速度为,法向加速度为.5-4一飞轮的转速为250rad⋅s−1，开始制动后作匀变速转动，经过90s停止。求开始制动后转过3.14×103rad时的角速度。解飞轮作匀变速转动，，经过90s，，所以角加速度为.从制动到转过，角速度由ω0变为ω，ω应满足.所以47 课后答案网（http://www.khdaw.com）.5-5分别求出质量为m=0.50kg、半径为r=36cm的金属细圆环和薄圆盘相对于通过其中心并垂直于环面和盘面的轴的转动惯量；如果它们的转速都是105rad⋅s−1，它们的转动动能各为多大？解(1)细圆环：相对于通过其中心并垂直于环面的轴的转动惯量为,转动动能为.(2)相对于通过其中心并垂直于盘面的轴的转动惯量为,转动动能为.5-7转动惯量为20kg⋅m2、直径为50cm的飞轮以105rad⋅s−1的角速度旋转。现用闸瓦将其制动，闸瓦对飞轮的正压力为400n，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求：(1)闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩；(2)从开始制动到停止，飞轮转过的转数和经历的时间；(3)摩擦力矩所作的功。解(1)闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩的大小为.(2)从开始制动到停止，飞轮的角加速度α可由转动定理求得,根据,所以飞轮转过的角度为,飞轮转过的转数为.48 课后答案网（http://www.khdaw.com）因为,所以飞轮从开始制动到停止所经历的时间为.(3)摩擦力矩所作的功为.5-8轻绳跨过一个质量为m的圆盘状定滑轮，其一端悬挂一质量为m的物体，另一端施加一竖直向下的拉力f，使定滑轮按逆时针方向转动，如图5-7所示。如果滑轮的半径为r，求物体与滑轮之间的绳子张力和物体上升的加速度。解取定滑轮的转轴为z轴，z轴的方向垂直与纸面并指向读者。根据牛顿第二定律和转动定理可以列出下面的方程组,,,.其中，于是可以解得图5-7,.5-10一根质量为m、长为l的均匀细棒，在竖直平面内绕通过其一端并与棒垂直的水平轴转动，如图5-8所示。现使棒从水平位置自由下摆，求：(1)开始摆动时的角加速度；(2)摆到竖直位置时的角速度。解(1)开始摆动时的角加速度：此时细棒处于水平位置，所受重力矩的大小为图5-8,相对于轴的转动惯量为,于是，由转动定理可以求得49 课后答案网（http://www.khdaw.com）.(2)设摆动到竖直位置时的角速度为ω，根据机械能守恒，有,由此得.5-13如果由于温室效应，地球大气变暖，致使两极冰山熔化，对地球自转有何影响？为什么？解地球自转变慢。这是因为冰山融化，水向赤道聚集，地球的转动惯量增大，地球的自转角动量守恒，即jω=恒量.所以角速度变小了。5-15一水平放置的圆盘绕竖直轴旋转，角速度为ω1，它相对于此轴的转动惯量为j1。现在它的正上方有一个以角速度为ω2转动的圆盘，这个圆盘相对于其对称轴的转动惯量为j2。两圆盘相平行，圆心在同一条竖直线上。上盘的底面有销钉，如果上盘落下，销钉将嵌入下盘，使两盘合成一体。(1)求两盘合成一体后的角速度；(2)求上盘落下后两盘总动能的改变量；(3)解释动能改变的原因。解(1)将两个圆盘看为一个系统，这个系统不受外力矩的作用，总角动量守恒，即,所以合成一体后的角速度为.(2)上盘落下后两盘总动能的改变量为.(3)动能减少是由于两盘合成一体时剧烈摩擦，致使一部分动能转变为热能。50 课后答案网（http://www.khdaw.com）5-16一均匀木棒质量为m1=1.0kg、长为l=40cm，可绕通过其中心并与棒垂直的轴转动。一质量为m−12=10g的子弹以v=200m⋅s的速率射向棒端，并嵌入棒内。设子弹的运动方向与棒和转轴相垂直，求棒受子弹撞击后的角速度。解将木棒和子弹看为一个系统，该系统不受外力矩的作用，所以系统的角动量守恒，即,(1)其中j1是木棒相对于通过其中心并与棒垂直的轴的转动惯量，j2是子弹相对于同一轴的转动惯量，它们分别为,.(2)将式(2)代入式(1)，得.5-17有一质量为m且分布均匀的飞轮，半径为r，正在以角速度ω旋转着，突然有一质量为m的小碎块从飞轮边缘飞出，方向正好竖直向上。试求：(1)小碎块上升的高度；(2)余下部分的角速度、角动量和转动动能(忽略重力矩的影响)。解(1)小碎块离开飞轮时的初速为,于是它上升的高度为.(2)小碎块离开飞轮前、后系统不受外力矩的作用，所以总角动量守恒。小碎块离开飞轮前，飞轮的角动量就是系统的总角动量，为；飞轮破裂后，小碎块相对于转轴的转动惯量为,角动量为.碎轮的角动量为51 课后答案网（http://www.khdaw.com）,式中ω2是碎轮的角速度。总角动量守恒，l=l1+l2，即,整理后为,所以.这表明飞轮破碎后其角速度不变。碎轮的角动量为.碎轮的转动动能为.[物理学6章习题解答]6-1有一个长方体形的水库，长200m，宽150m，水深10m，求水对水库底面和侧面的压力。解水对水库底面的压力为图5-9侧面的压力应如下求得：在侧面上建立如图5-9所示的坐标系，在y处取侧面窄条dy，此侧面窄条所受的压力为,整个侧面所受的压力可以表示为.对于h=10m、l=200m的侧面：.对于h=10m、l=150m的侧面：52 课后答案网（http://www.khdaw.com）.侧面的总压力为.6-3在5.0×103s的时间内通过管子截面的二氧化碳气体(看作为理想流体)的质量为0.51kg。已知该气体的密度为7.5kg⋅m−3，管子的直径为2.0cm，求二氧化碳气体在管子里的平均流速。解单位时间内流过管子截面的二氧化碳气体的体积，即流量为,平均流速为.6-4当水从水笼头缓慢流出而自由下落时，水流随位置的下降而变细，何故？如果水笼头管口的内直径为d，水流出的速率为v0，求在水笼头出口以下h处水流的直径。解当水从水笼头缓慢流出时，可以认为是定常流动，遵从连续性方程，即流速与流管的截面积成反比，所以水流随位置的下降而变细，如图5-10所示。可以认为水从笼头流出后各处都是大气压，伯努利方图5-10程可以写为,改写为,(1).这表示水流随位置的下降，流速逐渐增大。整个水流可以认为是一个大流管，h1处的流量应等于h2处的流量，即.(2)由于,所以必定有53 课后答案网（http://www.khdaw.com）,这表示水流随位置的下降而变细。根据题意，，，h2处的流速为v2，代入式(1)，得,即.(3)将式(3)代入式(2)，得,式中d1=d，d2就是在水笼头出口以下h处水流的直径。上式可化为.从上式可解得.6-6文丘里流量计是由一根粗细不均匀的管子做成的，粗部和细部分别接有一根竖直的细管，如图5-11所示。在测量时，将它水平地接在管道上。当管中有液体流动时，两竖直管中的液体会出现高度差h。如果粗部和细部的横截面积分别为sa和sb，试计算流量和粗、细两处的流速。解取沿管轴的水平流线ab(如图5-11中虚线所图5-11示)，并且a、b两点分别对应两竖直管的水平位置，可以列出下面的伯努利方程,改写为,即.(1)另有连续性方程.(2)54 课后答案网（http://www.khdaw.com）以上两式联立，可解得,,流量为.6-7利用压缩空气将水从一个密封容器内通过管子压出，如图5-12所示。如果管口高出容器内液面0.65m，并要求管口的流速为1.5m⋅s−1。求容器内空气的压强。解取如图5-12中虚线ab所示的流线，并运用伯努利方程,图5-12可以认为,所以.6-9用图5-5所示的虹吸管将容器中的水吸出。如果管内液体作定常流动，求：(1)虹吸管内液体的流速；(2)虹吸管最高点b的压强；(3)b点距离液面的最大高度。解此题的解答见上面[例题分析]中的例题5-4。6-12从油槽经过1.2km长的钢管将油输送到储油罐中，已知钢管的内直径为12cm，油的黏度系数为0.32pa⋅s，密度为0.91g⋅cm−3，如果要维持5.2×10−2m3⋅s−1的流量，试问油泵的功率应为多大？解首先根据泊肃叶公式求出油被输送到1.2km处所需要的压强差.55 课后答案网（http://www.khdaw.com）为保持一定的流量，油泵的功率为.[物理学7章习题解答]7-2一个运动质点的位移与时间的关系为m,其中x的单位是m，t的单位是s。试求：(1)周期、角频率、频率、振幅和初相位；(2)t=2s时质点的位移、速度和加速度。解(1)将位移与时间的关系与简谐振动的一般形式相比较，可以得到角频率s−1,频率,周期,振幅,初相位.(2)t=2s时质点的位移.t=2s时质点的速度.t=2s时质点的加速度.7-3一个质量为2.5kg的物体系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定。若弹簧受10n的拉力，其伸长量为5.0cm，求物体的振动周期。解根据已知条件可以求得弹簧的劲度系数,于是，振动系统的角频率为.所以，物体的振动周期为56 课后答案网（http://www.khdaw.com）.7-4求图7-5所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2。解以平衡位置o为坐标原点，建立如图7-5所示的坐标系。若物体向右移动了x，则它所受的力为.根据牛顿第二定律，应有,图7-5改写为.所以,.7-5求图7-6所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2。解以平衡位置o为坐标原点，建立如图7-6所图7-6示的坐标系。当物体由原点o向右移动x时，弹簧1伸长了x1，弹簧2伸长了x2，并有.物体所受的力为,式中k是两个弹簧串联后的劲度系数。由上式可得,.于是，物体所受的力可另写为,57 课后答案网（http://www.khdaw.com）由上式可得,所以.装置的振动角频率为,装置的振动频率为.7-6仿照式(7-15)的推导过程，导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。解由教材中的例题7-3，单摆的角位移θ与时间t的关系可以写为θ=θ0cos(ωt+ϕ),单摆系统的机械能包括两部分,一部分是小物体运动的动能,另一部分是系统的势能，即单摆与地球所组成的系统的重力势能.单摆系统的总能量等于其动能和势能之和，即,因为,所以上式可以化为.于是就得到,由此可以求得单摆系统中物体的速度为.这就是题目所要求推导的单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。7-7与轻弹簧的一端相接的小球沿x轴作简谐振动，振幅为a，位移与时间的关系可以用余弦函数表示。若在t=0时，小球的运动状态分别为(1)x=−a；58 课后答案网（http://www.khdaw.com）(2)过平衡位置，向x轴正方向运动；(3)过x=处，向x轴负方向运动；(4)过x=处，向x轴正方向运动。试确定上述各状态的初相位。解(1)将t=0和x=−a代入,得,.(2)根据以及，可以得到,.由上两式可以解得.(3)由和v<0可以得到,.由上两式可以解得.(4)由和v>0可以得到,.由上两式可以解得.59 课后答案网（http://www.khdaw.com）7-8长度为l的弹簧，上端被固定，下端挂一重物后长度变为l+s，并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起，使弹簧缩回到原来的长度，然后放手，重物将作上下运动。(1)证明重物的运动是简谐振动；(2)求此简谐振动的振幅、角频率和频率；(3)若从放手时开始计时，求此振动的位移与时间的关系(向下为正)。解(1)以悬挂了重物后的平衡位置o为坐标原点，建立如图7-7所示的坐标系。因为当重物处于坐标原点o时重力与弹力相平衡，即,图7-7.(1)当重物向下移动x时，弹簧的形变量为(s+x)，物体的运动方程可以写为,将式(1)代入上式，得,即.(2)重物的运动满足这样的微分方程式，所以必定是简谐振动。(2)令,(3)方程式(2)的解为.(4)振幅可以根据初始条件求得：当t=0时，x0=−s，v0=0，于是.角频率和频率可以根据式(3)求得：,60 课后答案网（http://www.khdaw.com）.(3)位移与时间的关系：由,以及当t=0时，x0=−s，v0=0，根据式(4)，可以得到,.由以上两式可解得.故有.7-9一个物体放在一块水平木板上，此板在水平方向上以频率ν作简谐振动。若物体与木板之间的静摩擦系数为µ0，试求使物体随木板一起振动的最大振幅。解设物体的质量为m，以平衡位置o为坐标原点建立如图7-8所示的坐标系。由于物体与木板之间存在静摩擦力，使物体跟随木板一起在水平方向上作频率为ν的简谐振动。振动系统的加速度为图7-8,可见，加速度a的大小正比与振幅a，在最大位移处加速度为最大值.最大加速度amax对应于最大振幅amax，而与此最大加速度所对应的力应小于或等于重物与木板之间的最大静摩擦力，物体才能跟随木板一起振动。所以可以列出下面的方程式,.由以上两式可以解得使物体随木板一起振动的最大振幅，为.61 课后答案网（http://www.khdaw.com）7-10一个物体放在一块水平木板上，此板在竖直方向上以频率ν作简谐振动。试求物体和木板一起振动的最大振幅。解设物体的质量为m，以平衡位置o为坐标原点建立如图7-9所示的坐标系。物体所受的力，有向下的重力mg和向上的支撑力n，可以列出下面的运动方程.(1)图7-9由简谐振动,可以求得加速度.当振动达到最高点时，木板的加速度的大小也达到最大值，为,(2)负号表示加速度的方向向下。如果这时物体仍不脱离木板，物体就能够跟随木板一起上下振动。将式(2)代入式(1)，得.(3)物体不脱离木板的条件是,取其最小值，并代入式(3)，得,于是可以求得物体和木板一起振动的最大振幅，为.7-11一个系统作简谐振动，周期为t，初相位为零。问在哪些时刻物体的动能与势能相等？解初相位为零的简谐振动可以表示为.振动系统的动能和势能可分别表示为,.因为62 课后答案网（http://www.khdaw.com）,所以势能可以表示为.当时，应有,即,.由上式解得将代入上式，得或7-12质量为10g的物体作简谐振动，其振幅为24cm，周期为1.0s，当t=0时，位移为+24cm，求：(1)时物体的位置以及所受力的大小和方向；(2)由起始位置运动到x=12cm处所需要的最少时间；(3)在x=12cm处物体的速度、动能、势能和总能量。解首先根据已知条件得出位移与时间关系的具体形式。一般形式为.将,,,各量代入上式，同时，根据时，求得,，于是得到简谐振动的具体形式为.(1)物体的位置为,63 课后答案网（http://www.khdaw.com）所受力的大小为,方向沿x轴的反方向。(2)由起始位置运动到x=12cm处所需要的最少时间,,题目要求最少时间，上式中应取正号。所以.(3)在x=12cm处,.物体的速度为.物体的动能为.物体的势能为,所以物体的总能量.7-13质量为0.10kg的物体以2.0×10−2m的振幅作简谐振动，其最大加速度为4.0m⋅s−2，求：(1)振动周期；(2)通过平衡位置的动能；(3)总能量。解(1)最大加速度与角频率之间有如下关系,所以64 课后答案网（http://www.khdaw.com）.由此可求得振动周期，为.(2)到达平衡位置时速率为最大，可以表示为,故通过平衡位置时的动能为.(3)总能量为.7-14一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动：和(式中x的单位是m，t的单位是s)，求合振动的振幅和初相位。解已知a1=0.05m、ϕ=π/3、a2=0.06m和ϕ2=−2π/3，故合振动的振幅为.合振动的初相位为,.但是ϕ不能取π/3，这是因为x1和x2是两个相位相反的振动，如果它们的振幅相等，则合振动是静止状态，如果它们的振幅不等，则合振动与振幅较大的那个振动同相位。在我们的问题中，，所以合振动与x2同相位。于是，在上面的结果中，合振动得初相位只能取，即.7-15有两个在同一直线上的简谐振动：m和m，试问：(1)它们合振动的振幅和初相位各为多大？65 课后答案网（http://www.khdaw.com）(2)若另有一简谐振动m，分别与上两个振动叠加，ϕ为何值时，x1+x3的振幅为最大？ϕ为何值时，x2+x3的振幅为最小？解(1)合振动的振幅为.合振动的初相位,考虑到x1与x2相位相反，，所以合振动x应与x2同相位，故取.(2)当时，合振动的振幅为最大，所以这时合振动的振幅为.当时，合振动的振幅为最小，所以这时合振动的振幅为.7-16在同一直线上的两个同频率的简谐振动的振幅分别为0.04m和0.03m，当它们的合振动振幅为0.06m时，两个分振动的相位差为多大？解合振动的振幅平方可以表示为,所以,.66 课后答案网（http://www.khdaw.com）7-17一个质量为5.00kg的物体悬挂在弹簧下端让它在竖直方向上自由振动。在无阻尼的情况下，其振动周期为；在阻尼振动的情况下，其振动周期为。求阻力系数。解无阻尼时.有阻尼时.根据关系式,解出β，得将β代入下式就可求得阻力系数.7-21某一声波在空气中的波长为0.30m，波速为340m⋅s−1。当它进入第二种介质后，波长变为0.81m。求它在第二种介质中的波速。解由于波速u、波长λ和波的频率ν之间存在下面的关系,当声波从一种介质进入另一种介质时，频率不会改变，所以.于是可以求得声波在第二种介质中的波速，为.7-22在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波，它们的波长是否可能相等？为什么？如果这两列波分别在两种介质中传播，它们的波长是否可能相等？为什么？解根据书中160页波在介质中的传播速率的表达式(7-50)至(7-52)，可以看到，波的传播速率是由介质自身的特性所决定。所以，两列不同频率的简谐波在同一种介质中，是以相同的速率传播的。故有.可见，频率不同的两列波，其波长不可能相同。67 课后答案网（http://www.khdaw.com）当这两列不同频率的波在不同的介质中传播时，上面的关系式不成立。只要两种介质中的波速之比等于它们的频率之比，两列波的波长才会相等。7-23已知平面简谐波的角频率为ω=15.2×102rad⋅s−1，振幅为a=1.25×10−2m，波长为λ=1.10m，求波速u，并写出此波的波函数。解波的频率为.波速为.所以波函数可以写为.7-24一平面简谐波沿x轴的负方向行进，其振幅为1.00cm，频率为550hz，波速为330m⋅s−1，求波长，并写出此波的波函数。解波长为.波函数为.7-25在平面简谐波传播的波线上有相距3.5cm的a、b两点，b点的相位比a点落后45°。已知波速为15cm⋅s−1，试求波的频率和波长。解设a和b两点的坐标分别为x1和x2，这样两点的相位差可以表示为,即.由上式可以求得波长，为.波的频率为.7-27波源作简谐振动，位移与时间的关系为y=(4.00×10−3)cos240πtm，它所激发的波以30.0m⋅s−1的速率沿一直线传播。求波的周期和波长，并写出波函数。解设波函数为68 课后答案网（http://www.khdaw.com）.已知,,,根据这些数据可以分别求得波的周期和波长。波的频率为.波的周期和波长分别为,.于是，波函数可以表示为.7-29沿绳子行进的横波波函数为，式中长度的单位是cm，时间的单位是s。试求：(1)波的振幅、频率、传播速率和波长；(2)绳上某质点的最大横向振动速率。解波函数可写为,其中.(1)由已知条件可以得到,,,.(2)绳上质点的横向速率为,所以.69 课后答案网（http://www.khdaw.com）7-30证明公式。解根据和,所以可以将波速的表达式作如下的演化,故有.7-31用横波的波动方程和纵波的波动方程证明横波的波速和纵波的波速分别为和。解将平面简谐波波函数分别对x和t求二阶偏导数：,(1).(2)将以上两式同时代入纵波波动方程[即教材中第167页式(7-62)]，得,所以.将式(1)和式(2)同时代入横波波动方程[即教材中第169页式(7-64)]，得,所以.70 课后答案网（http://www.khdaw.com）7-32在某温度下测得水中的声速为1.46×103m⋅s−1，求水的体变模量。解已知水中的声速为u=1.46×103m⋅s−1，水的密度为，将这些数据代入下式,就可以求得水的体变模量，得.7-33频率为300hz、波速为330m⋅s−1的平面简谐声波在直径为16.0cm的管道中传播，能流密度为10.0×10−3j⋅s−1⋅m−2。求：(1)平均能量密度；(2)最大能量密度；(3)两相邻同相位波面之间的总能量。解(1)平均能量密度：根据,将已知量和代入上式，就可以求得平均能量密度，得.(2)最大能量密度wmax：.(3)两相邻同相位波面之间的总能量w：将已知量,,代入下式得.7-34p和q是两个以相同相位、相同频率和相同振幅在振动并处于同一介质中的相干波源，其频率为ν、波长为λ，p和q相距3λ/2。r为p、q连线延长线上的任意一点，试求：71 课后答案网（http://www.khdaw.com）(1)自p发出的波在r点引起的振动与自q发出的波在r点引起的振动的相位差；(2)r点的合振动的振幅。图7-10解(1)建立如图7-10所示的坐标系，p、q和r的坐标分别为x1、x2和x，p和q的振动分别为和.p点和q点在r点引起的振动分别为和.两者在r点的相位差为.两者在r点的相位差也可以写为可见，p点和q点在r点引起的振动相位是相反的，相位差为。(2)r点的合振动的振幅为.可见，r点是静止不动的。实际上，由于在δϕ的上述表达式中不含x，所以在x轴上、q点右侧的各点都是静止不动的。7-35弦线上的驻波相邻波节的距离为65cm，弦的振动频率为2.3×102hz，求波的传播速率u和波长λ。解因为相邻波节的距离为半波长，所以.波速为.7-36在某一参考系中，波源和观察者都是静止的，但传播波的介质相对于参考系是运动的。假设发生了多普勒效应，问接收到的波长和频率如何变化？解在这种情况下，接收到的频率为72 课后答案网（http://www.khdaw.com）,同时，因为，所以，即没有多普勒效应。7-37火车汽笛的频率为ν，当火车以速率v通过车站上的静止观察者身边时，观察者所接收到的笛声频率的变化为多大？已知声速为u。解火车远去时，观察者所接收到的笛声频率为,火车迎面驶来时，观察者所接收到的笛声频率为.观察者所接收到的笛声频率的变化为.[物理学8章习题解答]8-3已知s′系相对于s系以−0.80c的速度沿公共轴x、x′运动，以两坐标原点相重合时为计时零点。现在s′系中有一闪光装置，位于x′=10.0km，y′=2.5km，z′=1.6km处，在t′=4.5×10−5s时发出闪光。求此闪光在s系的时空坐标。解已知闪光信号发生在s′系的时空坐标，求在s系中的时空坐标，所以应该将洛伦兹正变换公式中带撇量换成不带撇量，不带撇量换成带撇量，而成为下面的形式,,,.将、和代入以上各式，就可以求得闪光信号在s系中的时空坐标：,,,73 课后答案网（http://www.khdaw.com）.8-4已知s′系相对于s系以0.60c的速率沿公共轴x、x′运动，以两坐标原点相重合时为计时零点。s系中的观察者测得光信号a的时空坐标为x=56m，t=2.1×10−7s，s′系的观察者测得光信号b的时空坐标为x′=31m，t′=2.0×10−7s。试计算这两个光信号分别由观察者s、s′测出的时间间隔和空间间隔。解在s系中：,空间间隔为.,时间间隔为.在s′系中：,空间间隔为.,时间间隔为.8-5以0.80c的速率相对于地球飞行的火箭，向正前方发射一束光子，试分别按照经典理论和狭义相对论计算光子相对于地球的运动速率。解按照经典理论，光子相对于地球的运动速率为.按照狭义相对论，光子相对于地球的运动速率为.74 课后答案网（http://www.khdaw.com）8-6航天飞机以0.60c的速率相对于地球飞行，驾驶员忽然从仪器中发现一火箭正从后方射来，并从仪器中测得火箭接近自己的速率为0.50c。试求：(1)火箭相对于地球的速率；(2)航天飞机相对于火箭的速率。解(1)火箭相对于地球的速率.(2)航天飞机相对于火箭的速率为−0.50c。8-7在以0.50c相对于地球飞行的宇宙飞船上进行某实验，实验时仪器向飞船的正前方发射电子束，同时又向飞船的正后方发射光子束。已知电子相对于飞船的速率为0.70c。试求：(1)电子相对于地球的速率；(2)光子相对于地球的速率；(3)从地球上看电子相对于飞船的速率；(4)从地球上看电子相对于光子的速率；(5)从地球上看光子相对于飞船的速率。解(1)电子相对于地球的速率.(2)光子相对于地球的速率.(3)从地球上看电子相对于飞船的速率.(4)从地球上看电子相对于光子的速率.(5)从地球上看光子相对于飞船的速率.从上面几个问题的解答中，可以让我们进一步分清我们在前面曾强调过的问题，即相对论速度变换法则是指同一物体在两个惯性系中的速度之间的变换关系，这完全不同于两个物体在同一参考系中的速度的矢量差(相对速度)的计算。8-8一把米尺沿其纵向相对于实验室运动时，测得的长度为0.63m，求该尺的运动速率。75 课后答案网（http://www.khdaw.com）解该尺的运动长度可以表示为,将、代入上式，就可求得该尺的运动速率，为.8-9飞船以相对于地球为0.950c的速率在宇宙中飞行，飞船上的观察者测得飞船的长度为55.2m，问地球上的观察者测得该飞船的长度为多少？解地球上的观察者测得该飞船的长度为.8-10静止长度为l0的杆子在s系中平行于x轴并以速率u沿x轴正方向运动。现有s′系相对于s系沿x轴正方向以速率v运动，求s′系中的观察者所测得的杆长。解首先求得杆子相对于s′系的运动速率u′，这实际上是将杆子相对于s系的运动速率u变换到s′系中去的问题。根据速度变换公式(8-22)，u′可由下式表示.s′系中的观察者所测得的杆长度为.这个问题是杆相对于两个参考系之间的速度变换问题，必须利用洛伦兹变换。如果认为，由于s′系和杆分别相对于s系以速度v和u运动，所以杆相对于s′的速度就是(u−v)，于是就用(u−v)代替上面求得的u′，这是不对的。如果问题是这样的：杆相对于s系以速度u运动，s′相对于s系以速度v运动，问在s系的观察者所测得的杆子的长度为多大？这时的回答就是(u−v)。上面的8-7(3)、(4)和(5)就属于这种情况。8-11飞船以0.960c的速率从地球飞向宇宙中的一个天体，飞船上的时钟指示所用时间为一年。问地球上的时钟记录这段时间为多长？解地球上的时钟记录这段时间为,即3年6个月26天。76 课后答案网（http://www.khdaw.com）8-12夫妻同龄，30岁时生一子。儿子出生时丈夫要乘坐速率为0.86c的飞船去半人马座α星，并且立即返回。已知地球到半人马座α星的距离是4.3l.y.(光年)，并假设飞船一去一回都相对地球作匀速直线运动。问当丈夫返回地球时，妻子、儿子和丈夫各多大年龄？解解答见上面[例题分析]中的例题8-1。8-13欧洲核研中心(cern)测得以0.9965c的速率沿圆形轨道运行的µ粒子的平均寿命为26.15×10−6s。求µ粒子的固有寿命。解µ粒子的固有寿命为.8-14求火箭以0.15c和0.85c的速率运动时，其运动质量与静止质量之比。解当火箭以0.15c的速率运动时：.当火箭以0.85c的速率运动时：.[物理学9章习题解答]9-3两个相同的小球质量都是m，并带有等量同号电荷q，各用长为l的丝线悬挂于同一点。由于电荷的斥力作用，使小球处于图9-9所示的位置。如果θ角很小，试证明两个小球的间距x可近似地表示为.解小球在三个力的共同作用下达到平衡，这三个力分别是重力mg、绳子的张力t和库仑力f。于是可以列出下面的方程式,(1)图9-9,(2)77 课后答案网（http://www.khdaw.com）(3)因为θ角很小，所以,.利用这个近似关系可以得到,(4).(5)将式(5)代入式(4)，得,由上式可以解得.得证。9-4在上题中，如果l=120cm，m=0.010kg，x=5.0cm，问每个小球所带的电量q为多大？解在上题的结果中，将q解出，再将已知数据代入，可得.9-5氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是r−11−270=5.29×10m。质子的质量m=1.67×10kg，78 课后答案网（http://www.khdaw.com）−31kg，它们的电量为±e=1.60×10−19c。电子的质量m=9.11×10(1)求电子所受的库仑力；(2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？(3)求电子绕核运动的速率。解(1)电子与质子之间的库仑力为.(2)电子与质子之间的万有引力为.所以.(3)质子对电子的高斯引力提供了电子作圆周运动的向心力，所以,从上式解出电子绕核运动的速率，为.9-6边长为a的立方体，每一个顶角上放一个电荷q。79 课后答案网（http://www.khdaw.com）(1)证明任一顶角上的电荷所受合力的大小为.(2)f的方向如何？图9-10解立方体每个顶角上放一个电荷q，由于对称性，每个电荷的受力情况均相同。对于任一顶角上的电荷，例如b角上的qb，它所受到的力、和大小也是相等的，即.首先让我们来计算的大小。由图9-10可见，、和对的作用力不产生x方向的分量；对的作用力f1的大小为,°f1的方向与x轴的夹角为45。对的作用力f2的大小为,°f2的方向与x轴的夹角为0。对的作用力f3的大小为80 课后答案网（http://www.khdaw.com）,°f3的方向与x轴的夹角为45。对的作用力f4的大小为,f4的方向与x轴的夹角为α，。于是.所受合力的大小为.(2)f的方向：f与x轴、y轴和z轴的夹角分别为α、β和γ，并且,.9-7计算一个直径为1.56cm的铜球所包含的正电荷电量。解根据铜的密度可以算的铜球的质量81 课后答案网（http://www.khdaw.com）.铜球的摩尔数为.该铜球所包含的原子个数为.每个铜原子中包含了−1929个质子，而每个质子的电量为1.602×10c，所以铜球所带的正电荷为.9-8一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度e，我们就把一个带正电的试探电荷q0引入该点，测定f/q0。问f/q0是小于、等于还是大于该点的电场强度e？解这样测得的f/q0是小于该点的电场强度e的。因为正试探电荷使带正电的小球向远离试探电荷的方向移动，q0受力f减小了。9-9根据点电荷的电场强度公式,当所考查的点到该点电荷的距离r接近零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。对此应作何解释？解当r→0时，带电体q就不能再视为点电荷了，只适用于场源为点电荷的场强公式不再适用。这时只能如实地将该电荷视为具有一定电荷体密度的带电体。−9-10离点电荷50cm处的电场强度的大小为2.0n⋅c1。求此点电荷的电量。解由于,82 课后答案网（http://www.khdaw.com）所以有.−7−89-11有两个点电荷，电量分别为5.0×10c和2.8×10c，相距15cm。求：(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度；(2)作用在每个电荷上的力。解−7−8已知=5.0×10c、=2.8×10c，它们相距r=15cm，如图9-11所示。图9-11(1)在点b产生的电场强度的大小为,方向沿从a到b的延长线方向。在点a产生的电场强度的大小为,方向沿从b到a的延长线方向。(2)对的作用力的大小为,方向沿从b到a的延长线方向。对的作用力的大小为83 课后答案网（http://www.khdaw.com）.方向沿从a到b的延长线方向。9-12求由相距l的±q电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的电场强度：(1)轴的延长线上距轴心为r处，并且r>>l；(2)轴的中垂面上距轴心为r处，并且r>>l。解图9-12(1)在轴的延长线上任取一点p，如图9-12所示，该点距轴心的距离为r。p点的电场强度为.在r>>l的条件下，上式可以简化为.(1)令,(2)这就是电偶极子的电矩。这样，点p的电场强度可以表示为图9-13.(3)(2)在轴的中垂面上任取一点q，如图9-13所示，该点距轴心的距离为r。q点的电场强度为84 课后答案网（http://www.khdaw.com）也引入电偶极子电矩，将点q的电场强度的大小和方向同时表示出来：.9-13有一均匀带电的细棒，长度为l，所带总电量为q。求：(1)细棒延长线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且a>>l；(2)细棒中垂线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且a>>l。解(1)以棒中心为坐标原点建立如图9-14所示的坐标系。在x轴上到o点距离为a处取一点p，在x处取棒元dx，它所带电荷元为λdx，该棒元到点p的距离为a−x，它在p点产生的电场强度为图9-14.整个带电细棒在p点产生的电场强度为,方向沿x轴方向。(2)坐标系如图9-15所示。在细棒中垂线(即y轴)上到o点距离为a处取一点p，由于对称性，整个细棒在p点产生的电场强度只具有y分量ey。所以只需计算ey就够了。图9-15仍然在x处取棒元dx，它所带电荷元为λdx，它在p点产生电场强度的y分量为.85 课后答案网（http://www.khdaw.com）整个带电细棒在p点产生的电场强度为,方向沿x轴方向。9-14一个半径为r的圆环均匀带电，线电荷密度为λ。求过环心并垂直于环面的轴线上与环心相距a的一点的电场强度。解以环心为坐标原点，建立如图9-16所示的坐标系。在图9-16x轴上取一点p，p点到盘心的距离为a。在环上取元段dl，元段所带电量为dq=λdl，在p点产生的电场强度的大小为.由于对称性，整个环在p点产生的电场强度只具有x分量ex。所以只需计算ex就够了。所以.9-15一个半径为r的圆盘均匀带电，面电荷密度为σ。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电场强度。解取盘心为坐标原点建立如图9-17所示的坐标系。在x轴上取一点p，p点到盘心的距离为a。为计算整个圆盘在p点产生的电场强度，可先在圆盘上取一宽度为dr的圆环，该圆环在p点产生的电场强度，可以套用上题的结果，即图9-17,的方向沿x轴方向。整个圆盘在p点产生的电场强度，可对上式积分求得86 课后答案网（http://www.khdaw.com）.9-16一个半径为r的半球面均匀带电，面电荷密度为σ。求球心的电场强度。解以球心o为坐标原点，建立如图9-18所示的坐标系。在球面上取宽度为dl的圆环，圆环的半径为r。显然,图9-18圆环所带的电量为.根据题9-14的结果，该圆环在球心产生的电场强度为,方向沿x轴的反方向。由图中可见，,,将这些关系代入上式，得.所以,e的方向沿x轴的反方向。9-19如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面s内的电荷，其量用q表示，它们共同在高斯面上产生的电场强度为e′，另一类是处于高斯面s外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强度为e″，显然高斯面上任一点的电场强度e=e′+e″。试证明：87 课后答案网（http://www.khdaw.com）(1)；(2)。解高斯面的电通量可以表示为.显然，上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献，第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。高斯定理表述为“通过任意闭合曲面s的电通量，等于该闭合曲面所包围的电量除以ε0，而与s以外的电荷无关。”可见，高斯面s以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。这句话在数学上应表示为.(1)所以，关系式的成立是高斯定理的直接结果。因为,于是可以把高斯定理写为.将式(1)代入上式，即得.(2)88 课后答案网（http://www.khdaw.com）9-20一个半径为r的球面均匀带电，面电荷密度为σ。求球面内、外任意一点的电场强度。解由题意可知，电场分布也具有球对称性，可以用高斯定理求解。在球内任取一点，到球心的距离为r1，以r1为半径作带电球面的图9-19同心球面s1，如图9-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得,由此解得球面内部的电场强度为.在球外任取一点，到球心的距离为r2，以r2为半径作带电球面的同心球面s2，如图9-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得,即.由此解得,e2的方向沿径向向外。9-21一个半径为r的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为ρ。求圆柱体内、外任意一点的电场强度。89 课后答案网（http://www.khdaw.com）解显然，电场的分布具有轴对称性，圆柱体内、外的电场强度呈辐射状、沿径向向外，可以用高斯定理求解。在圆柱体内部取半径为r1、长度为l的同轴柱面图9-20s1(见图9-20)作为高斯面并运用高斯定理.上式左边的积分实际上包含了三项，即对左底面、右底面和侧面的积分，前两项积分由于电场强度与面元相垂直而等于零，只剩下对侧面的积分，所以上式可化为,于是得,方向沿径向向外。用同样的方法，在圆柱体外部作半径为r2、长度为l的同轴柱面s2，如图9-20所示。在s2上运用高斯定理，得.根据相同的情况，上面的积分可以化为,由上式求得,方向沿径向向外。90 课后答案网（http://www.khdaw.com）9-22两个带有等量异号电荷的平行平板，面电荷密度为±σ，两板相距d。当d比平板自身线度小得多时，可以认为两平行板之间的电场是匀强电场，并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。(1)求两板之间的电场强度；−8(2)当一个电子处于负电板面上从静止状态释放，经过1.5×10s的时间撞击在对面的正电板上，若d=2.0cm，求电子撞击正电板的速率。解(1)在题目所说情况下，带等量异号电荷的两平行板构成了一个电容器，并且电场都集中在两板之间的间隙中。作底面积为δs的柱状高斯面，使下底面处于两板间隙之中，而上底面处于两板间隙之外，并且与板面相平行，如图9-21所示。在此高斯面上运用高斯定理，得图9-21,由此解得两板间隙中的电场强度为.(2)根据题意可以列出电子的运动学方程,.两式联立可以解得.9-24一个半径为r的球体均匀带电，电量为q，求空间各点的电势。解先由高斯定理求出电场强度的分布，再由电势的定义式求电势的分布。91 课后答案网（http://www.khdaw.com）在球内：，根据高斯定理，可列出下式,解得,方向沿径向向外。在球外：，根据高斯定理，可得,解得,方向沿径向向外。球内任意一点的电势：,().球外任意一点的电势：,().9-25点电荷+q和−3q相距d=1.0m，求在它们的连线上电势为零和电场强度为零的位置。92 课后答案网（http://www.khdaw.com）解(1)电势为零的点：这点可能处于+q的右侧，也可能处于+q的左侧，图9-22先假设在+q的右侧x1处的p1点，如图9-22所表示的那样可列出下面的方程式.从中解得.在+q左侧x2处的p2点若也符合电势为零的要求，则有.解得.(2)电场强度为零的点：由于电场强度是矢量，电场强度为零的点只能在+q的左侧，并设它距离+q为x，于是有.解得.−9−99-26两个点电荷q1=+40×10c和q2=−70×10c，相距10cm。设点a是它们连线的中点，点b的位置离q1为8.0cm，离q2为6.0cm。求：(1)点a的电势；图9-2393 课后答案网（http://www.khdaw.com）(2)点b的电势；(3)将电量为25×10-9c的点电荷由点b移到点a所需要作的功。解根据题意，画出图9-23。(1)点a的电势：.(2)点b的电势：.(3)将电荷q从点b移到点a，电场力所作的功为,电场力所作的功为负值，表示外力克服电场力而作功。9-27一个半径为r的圆盘均匀带电，面电荷密度为σ。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电势，再由电势求该点的电场强度。解以盘心为坐标原点、以过盘心并垂直于盘面的轴线为x轴，建立如图9-24所示的坐标系。在x轴上任取一点图9-24p，点p的坐标为x。在盘上取半径为r、宽为dr的同心圆环，该圆环所带电荷在点p所产生的电势可以表示为.整个圆盘在点p产生的电势为94 课后答案网（http://www.khdaw.com）.由电势求电场强度.9-28一个半径为r的球面均匀带电，球面所带总电量为q。求空间任意一点的电势，并由电势求电场强度。解在空间任取一点p，与球心相距r。在球面上取薄圆环，如图9-25中阴影所示，该圆环所带电量为图9-25.该圆环在点p产生的电势为.(1)式中有两个变量，a和θ，它们之间有下面的关系：,微分得.(2)将上式代入式(1)，得.如果点p处于球外，，点p的电势为.(3)95 课后答案网（http://www.khdaw.com）其中q=4πr2σ.如果点p处于球内，，点p的电势为.(4)由电势求电场强度：在球外，,,方向沿径向向外。在球内，：.9-30如图9-26所示，金属球a和金属球壳b同心放置，它们原先都不带电。设球a的半径为r0，球壳b的内、外半径分别为r1和r2。求在下列情况下a、b的电势差：(1)使b带+q；图9-26(2)使a带+q；(3)使a带+q，使b带−q；(4)使a带−q，将b的外表面接地。解(1)使b带+q：这时a和b等电势，所以96 课后答案网（http://www.khdaw.com）.(2)使a带+q：这时b的内表面带上了−q，外表面带上了+q，a、b之间的空间的电场为,方向沿径向由内向外。所以.(3)使a带+q，使b带−q：这时b的内表面带−q，外表面不再带电，a、b之间的空间的电场不变，所以电势差也不变，即与(3)的结果相同。(4)使a带−q，将b的外表面接地：这时b的内表面感应了+q，外表面不带电，a、b之间的空间的电场为,方向沿径向由外向内。所以.9-31两平行的金属平板a和b，相距d=5.0mm，两板面积都是s=150cm2-8c，正，带有等量异号电荷±q=2.66×10极板a接地，如图9-27所示。忽略边缘效应，问：(1)b板的电势为多大？(2)在a、b之间且距a板1.0mm处的电势为多大？解图9-27(1)可以证明两板之间的电场强度为.97 课后答案网（http://www.khdaw.com）于是可以求得b板的电势，为.(2)根据题意，a板接地，电势为零，两板之间的任何一点的电势都为负值。所求之点处于a、b之间、且到a板的离距为处，所以该点的电势为.9-32三块相互平行的金属平板a、b和c，面积都是200cm2，a、b相距4.0mm，a、c相距2.0mm，b、c两板都接地，如图9-28所示。若使a板带正电，电量为3.0×10-7c，略去边缘效应，求：(1)b、c两板上感应电荷的电量；(2)a板的电势。图9-28解(1)a板带电后，电荷将分布在两个板面上，其面电荷密度分别为σ1和σ2。由于静电感应，b板与a板相对的面上面电荷密度为−σ1，c板与a板相对的面上面电荷密度为−σ2。c板和b板都接地，电势为零。所以,即.(1)式中e1和d1是a、b之间的电场强度和板面间距，e2和d2是a、c之间的电场强度和板面间距。另外.(2)式(1)、(2)两式联立，可以解得98 课后答案网（http://www.khdaw.com）,.b板上的电量为,c板上的电量为.(2)a板的电势.9-33如图9-29所示，空气平板电容器是由两块相距0.5mm的薄金属片a、b所构成。若将此电容器放在一个金属盒k内，金属盒上、下两壁分别与a、b都相距0.25mm，电容器的电容变为原来的几倍？解设原先电容器的电容为c0，放入金属盒中后，形成了如图9-30所示的电容器的组合。根据题意，有图9-29.ca与cb串联的等效电容为.cab与c0并联的等效电容c就是放入金属盒中后的电容：图9-3099 课后答案网（http://www.khdaw.com）.可见，放入金属盒中后，电容增大到原来的2倍。9-34一块长为l、半径为r的圆柱形电介质，沿轴线方向均匀极化，极化强度为p，求轴线上任意一点由极化电荷产生的电势。解以圆柱体轴线的中点为坐标原点建立如图9-31所示的坐标系，x轴沿轴线向右。根据公式,图9-31圆柱体的右端面(a端面)的极化电荷密度为+σ′，b端面的极化电荷密度为−σ′。它们在轴线上任意一点(坐标为x)产生的电势可以套用题9-27的结果。a面上的极化电荷在该点产生的电势为.b面上的极化电荷在该点产生的电势为.该点的电势应为以上两式的叠加，即.9-35厚度为2.00mm的云母片，用作平行板电容器的绝缘介质，其相对电容率为2。求当电容器充电至电压为400v时，云母片表面的极化电荷密度。解云母片作为平行板电容器的电介质，厚度等于电容器极板间距。根据极板间电压，可以求得云母片内的电场强度：.100 课后答案网（http://www.khdaw.com）云母片表面的极化电荷密度为.9-36平行板电容器两极板的面积都是s=3.0×10-2m2，相距d=3.0mm。用电源对电容器充电至电压u0=100v，然后将电源断开。现将一块厚度为b=1.0mm、相对电容率为εr=2.0的电介质，平行地插入电容器中，求：(1)未插入电介质时电容器的电容c0；(2)电容器极板上所带的自由电荷q；(3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度e1；(4)电介质内的电场强度e2；(5)两极板之间的电势差u；(6)插入电介质后电容器的电容c。解(1)未插入电介质时电容器的电容为.(2)电容器极板上所带的自由电荷为.(3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度为.(4)电介质内的电场强度为101 课后答案网（http://www.khdaw.com）.(5)两极板之间的电势差为.(6)插入电介质后电容器的电容为.9-37半径为r的均匀电介质球，电容率为ε，均匀带电，总电量为q。求：(1)电介质球内、外电位移的分布；(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布；(3)电介质球内极化强度的分布；(4)球体表面和球体内部极化电荷的电量。解电介质球体均匀带电，电荷体密度为.(1)电介质球内、外电位移的分布球内，即：,,方向沿径向向外。102 课后答案网（http://www.khdaw.com）球外，即：,,方向沿径向向外。(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布电场强度的分布球内，即：,方向沿径向向外。球外，即：,方向沿径向向外。电势的分布球内，即：.球外，即：103 课后答案网（http://www.khdaw.com）.(3)电介质球内极化强度的分布球内，即：,方向沿径向向外。在球外p=0。(4)球体表面和球体内部极化电荷的电量球体表面的极化电荷密度为,极化电荷的总量为.因为整个球体的极化电荷的代数和为零，所以球体内部的极化电荷总量为−q′。9-38一个半径为r、电容率为ε的均匀电介质球的中心放有点电荷q，求：(1)电介质球内、外电位移的分布；(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布；(3)球体表面极化电荷的密度。解104 课后答案网（http://www.khdaw.com）(1)电介质球内、外电位移的分布,,方向沿径向向外。无论在电介质内还是在球外的真空中上式都是适用的。(2)电场强度的分布：,方向沿径向向外。：,方向沿径向向外。电势的分布：.：.105 课后答案网（http://www.khdaw.com）(3)球体表面极化电荷的密度紧贴点电荷的电介质极化电荷总量为.电介质球表面上的极化电荷总量为,所以电介质表面的极化电荷密度为.9-39图9-32中a是相对电容率为εr的电介质中离边界极近的一点，已知电介质外的真空中的电场强度为e，其方向与界面法线n的夹角为α，求：(1)a点的电场强度；(2)点a附近的界面上极化电荷密度。解(1)求解点a的电场强度可以分别求出点a电场强度的切向分量和法向分量，而这两个分量可以根据边界条件求得。图9-32根据电场强度的切向分量的连续性可得.根据电位移矢量的法向分量的连续性可得.106 课后答案网（http://www.khdaw.com）点a的电场强度的大小为,电场强度的方向与表面法向n的夹角α′满足下面的关系.(2)点a附近的界面上极化电荷密度为.9-40一平行板电容器内充有两层电介质，其相对电容率分别为εr1=4.0和εr2=2.0，厚度分别为d1=2.0mm和d-322=3.0mm，极板面积为s=5.0×10m，两板间的电势差为u0=200v。(1)求每层电介质中的电场能量密度；(2)求每层电介质中的总电场能；(3)利用电容与电场能的关系，计算电容器中的总能量。解(1)两板间的电势差可以表示为,所以.于是可以求得电介质中的电场强度107 课后答案网（http://www.khdaw.com）,.电介质中的能量密度为,.(2)第一层电介质中的总电场能为.第二层电介质中的总电场能为.(3)题意所表示的电容器相当于两个电容器的串联，这两个电容器的电容分别为和.它们串联的等效电容为.电容器中的总能量为.也可以利用上面的结果来计算108 课后答案网（http://www.khdaw.com）.两种计算方法所的结果一致。[物理学10章习题解答]10-3两个相同的小球质量都是m，并带有等量同号电荷q，各用长为l的丝线悬挂于同一点。由于电荷的斥力作用，使小球处于图10-9所示的位置。如果θ角很小，试证明两个小球的间距x可近似地表示为.解小球在三个力的共同作用下达到平衡，这三个力分别是重力mg、绳子的张力t和库仑力f。于是可以列出下面的方程式,(1)图10-9,(2)(3)因为θ角很小，所以,.利用这个近似关系可以得到,(4).(5)将式(5)代入式(4)，得,由上式可以解得109 课后答案网（http://www.khdaw.com）.得证。10-4在上题中，如果l=120cm，m=0.010kg，x=5.0cm，问每个小球所带的电量q为多大？解在上题的结果中，将q解出，再将已知数据代入，可得.10-5氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是r−11−270=5.29×10m。质子的质量m=1.67×10kg，电子的质量m=9.11×10−31kg，它们的电量为±e=1.60×10−19c。(1)求电子所受的库仑力；(2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？(3)求电子绕核运动的速率。解(1)电子与质子之间的库仑力为.(2)电子与质子之间的万有引力为.所以.(3)质子对电子的高斯引力提供了电子作圆周运动的向心力，所以,从上式解出电子绕核运动的速率，为.10-6边长为a的立方体，每一个顶角上放一个电荷q。110 课后答案网（http://www.khdaw.com）(1)证明任一顶角上的电荷所受合力的大小为.(2)f的方向如何？解立方体每个顶角上放一个电荷q，由于对称性，每个电荷的受力情况均相同。对于任一顶角上的电荷，例如b图10-10角上的qb，它所受到的力、和大小也是相等的，即.首先让我们来计算的大小。由图10-10可见，、和对的作用力不产生x方向的分量；对的作用力f1的大小为,f°1的方向与x轴的夹角为45。对的作用力f2的大小为,f°2的方向与x轴的夹角为0。对的作用力f3的大小为,f°3的方向与x轴的夹角为45。对的作用力f4的大小为,f4的方向与x轴的夹角为α，。于是111 课后答案网（http://www.khdaw.com）.所受合力的大小为.(2)f的方向：f与x轴、y轴和z轴的夹角分别为α、β和γ，并且,.10-7计算一个直径为1.56cm的铜球所包含的正电荷电量。解根据铜的密度可以算的铜球的质量.铜球的摩尔数为.该铜球所包含的原子个数为.每个铜原子中包含了29个质子，而每个质子的电量为1.602×10−19c，所以铜球所带的正电荷为.10-8一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度e，我们就把一个带正电的试探电荷q0引入该点，测定f/q0。问f/q0是小于、等于还是大于该点的电场强度e？解这样测得的f/q0是小于该点的电场强度e的。因为正试探电荷使带正电的小球向远离试探电荷的方向移动，q0受力f减小了。10-9根据点电荷的电场强度公式,当所考查的点到该点电荷的距离r接近零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。对此应作何解释？解当r→0时，带电体q就不能再视为点电荷了，只适用于场源为点电荷的场强公式不再适用。这时只能如实地将该电荷视为具有一定电荷体密度的带电体。112 课后答案网（http://www.khdaw.com）10-10离点电荷50cm处的电场强度的大小为2.0n⋅c−1。求此点电荷的电量。解由于,所以有.10-11有两个点电荷，电量分别为5.0×10−7c和2.8×10−8c，相距15cm。求：(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度；(2)作用在每个电荷上的力。解已知=5.0×10−7c、=2.8×10−8c，它们相距r=15cm，如图10-11所示。(1)在点b产生的电场强度的大小为图10-11,方向沿从a到b的延长线方向。在点a产生的电场强度的大小为,方向沿从b到a的延长线方向。(2)对的作用力的大小为,方向沿从b到a的延长线方向。对的作用力的大小为.方向沿从a到b的延长线方向。10-12求由相距l的±q电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的电场强度：(1)轴的延长线上距轴心为r处，并且r>>l；113 课后答案网（http://www.khdaw.com）(2)轴的中垂面上距轴心为r处，并且r>>l。解(1)在轴的延长线上任取一点p，如图10-12所示，图10-12该点距轴心的距离为r。p点的电场强度为.在r>>l的条件下，上式可以简化为.(1)令,(2)这就是电偶极子的电矩。这样，点p的电场强度可以表示为图10-13.(3)(2)在轴的中垂面上任取一点q，如图10-13所示，该点距轴心的距离为r。q点的电场强度为也引入电偶极子电矩，将点q的电场强度的大小和方向同时表示出来：.10-13有一均匀带电的细棒，长度为l，所带总电量为q。求：(1)细棒延长线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且a>>l；(2)细棒中垂线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且a>>l。解(1)以棒中心为坐标原点建立如图10-14所示的坐标系。在x轴上到o点距离为a处取一点p，在x处取棒元dx，它所带电荷元为λdx，该棒元到点p的距离为a−x，它在p点图10-14产生的电场强度为.114 课后答案网（http://www.khdaw.com）整个带电细棒在p点产生的电场强度为,方向沿x轴方向。(2)坐标系如图10-15所示。在细棒中垂线(即y轴)上到o点距离为a处取一点p，由于对称性，整个细棒在p点产生的电场强度只具有y分量ey。所以只需计算ey就够了。仍然在x处取棒元dx，它所带电荷元为λdx，它在p点产生电场强度的y分量为图10-15.整个带电细棒在p点产生的电场强度为,方向沿x轴方向。10-14一个半径为r的圆环均匀带电，线电荷密度为λ。求过环心并垂直于环面的轴线上与环心相距a的一点的电场强度。解以环心为坐标原点，建立如图10-16所示的坐标系。在x轴上取一点p，p点到盘心的距离为图10-16a。在环上取元段dl，元段所带电量为dq=λdl，在p点产生的电场强度的大小为.由于对称性，整个环在p点产生的电场强度只具有x分量ex。所以只需计算ex就够了。所以.10-15一个半径为r的圆盘均匀带电，面电荷密度为σ。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电场强度。115 课后答案网（http://www.khdaw.com）解取盘心为坐标原点建立如图10-17所示的坐标系。在x轴上取一点p，p点到盘心的距离为a。为计算整个圆盘在p点产生的电场强度，可先在圆盘上取一宽度为dr的圆环，该圆环在p点产生的电场强度，可以套用上题的结果，即图10-17,的方向沿x轴方向。整个圆盘在p点产生的电场强度，可对上式积分求得.10-16一个半径为R的半球面均匀带电，面电荷密度为σ。求球心的电场强度。解以球心o为坐标原点，建立如图10-18所示的坐标系。在球面上取宽度为dl的圆环，圆环的半径为r。显然,圆环所带的电量为.图10-18根据题10-14的结果，该圆环在球心产生的电场强度为,方向沿x轴的反方向。由图中可见，,,将这些关系代入上式，得.所以,e的方向沿x轴的反方向。10-19如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面s内的电荷，其量用q表示，它们共同在高斯面上产生的电场强度为e′，另一类是处于高斯面s外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强度为e″，显然高斯面上任一点的电场强度e=e′+e″。试证明：(1)；116 课后答案网（http://www.khdaw.com）(2)。解高斯面的电通量可以表示为.显然，上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献，第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。高斯定理表述为“通过任意闭合曲面s的电通量，等于该闭合曲面所包围的电量除以ε0，而与s以外的电荷无关。”可见，高斯面s以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。这句话在数学上应表示为.(1)所以，关系式的成立是高斯定理的直接结果。因为,于是可以把高斯定理写为.将式(1)代入上式，即得.(2)10-20一个半径为r的球面均匀带电，面电荷密度为σ。求球面内、外任意一点的电场强度。解由题意可知，电场分布也具有球对称性，可以用高斯定理求解。在球内任取一点，到球心的距离为r1，以r1为半径作带电球面的同心球面s1，如图10-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得图10-19,由此解得球面内部的电场强度为.在球外任取一点，到球心的距离为r2，以r2为半径作带电球面的同心球面s2，如图10-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得,117 课后答案网（http://www.khdaw.com）即.由此解得,e2的方向沿径向向外。10-21一个半径为R的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为ρ。求圆柱体内、外任意一点的电场强度。解显然，电场的分布具有轴对称性，圆柱体内、外的电场强度呈辐射状、沿径向向外，可以用高斯定理求解。在圆柱体内部取半径为r1、长度为l的同轴柱面s1(见图10-20)作为高斯面并运用高斯定理图10-20.上式左边的积分实际上包含了三项，即对左底面、右底面和侧面的积分，前两项积分由于电场强度与面元相垂直而等于零，只剩下对侧面的积分，所以上式可化为,于是得,方向沿径向向外。用同样的方法，在圆柱体外部作半径为r2、长度为l的同轴柱面s2，如图10-20所示。在s2上运用高斯定理，得.根据相同的情况，上面的积分可以化为,由上式求得118 课后答案网（http://www.khdaw.com）,方向沿径向向外。10-22两个带有等量异号电荷的平行平板，面电荷密度为±σ，两板相距d。当d比平板自身线度小得多时，可以认为两平行板之间的电场是匀强电场，并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。(1)求两板之间的电场强度；(2)当一个电子处于负电板面上从静止状态释放，经过1.5×10−8s的时间撞击在对面的正电板上，若d=2.0cm，求电子撞击正电板的速率。解(1)在题目所说情况下，带等量异号电荷的两平行板构成了一个电容器，并且电场都集中在两板之间的间隙中。作底面积为δs的柱状高斯面，使下底面处于两板间图10-21隙之中，而上底面处于两板间隙之外，并且与板面相平行，如图10-21所示。在此高斯面上运用高斯定理，得,由此解得两板间隙中的电场强度为.(2)根据题意可以列出电子的运动学方程,.两式联立可以解得.10-24一个半径为r的球体均匀带电，电量为q，求空间各点的电势。解先由高斯定理求出电场强度的分布，再由电势的定义式求电势的分布。在球内：，根据高斯定理，可列出下式,解得,方向沿径向向外。119 课后答案网（http://www.khdaw.com）在球外：，根据高斯定理，可得,解得,方向沿径向向外。球内任意一点的电势：,().球外任意一点的电势：,().10-25点电荷+q和−3q相距d=1.0m，求在它们的连线上电势为零和电场强度为零的位置。解(1)电势为零的点：这点可能处于+q的右侧，也可能处于+q的左侧，先假设在+q的右侧x1处的p1点，如图10-22图10-22所表示的那样可列出下面的方程式.从中解得.在+q左侧x2处的p2点若也符合电势为零的要求，则有.解得.(2)电场强度为零的点：由于电场强度是矢量，电场强度为零的点只能在+q的左侧，并设它距离+q为x，于是有.解得120 课后答案网（http://www.khdaw.com）.10-26两个点电荷q−9−91=+40×10c和q2=−70×10c，相距10cm。设点a是它们连线的中点，点b的位置离q1为8.0cm，离q2为6.0cm。求：(1)点a的电势；(2)点b的电势；图10-23(3)将电量为25×10-9c的点电荷由点b移到点a所需要作的功。解根据题意，画出图10-23。(1)点a的电势：.(2)点b的电势：.(3)将电荷q从点b移到点a，电场力所作的功为,电场力所作的功为负值，表示外力克服电场力而作功。10-27一个半径为r的圆盘均匀带电，面电荷密度为σ。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电势，再由电势求该点的电场强度。解以盘心为坐标原点、以过盘心并垂直于盘面的轴线为x轴，建立如图10-24所示的坐标系。图10-24在x轴上任取一点p，点p的坐标为x。在盘上取半径为r、宽为dr的同心圆环，该圆环所带电荷在点p所产生的电势可以表示为.整个圆盘在点p产生的电势为.由电势求电场强度.121 课后答案网（http://www.khdaw.com）10-28一个半径为r的球面均匀带电，球面所带总电量为q。求空间任意一点的电势，并由电势求电场强度。解在空间任取一点p，与球心相距r。在球面上取薄圆环，如图10-25中阴影所示，该圆环所带电量为图10-25.该圆环在点p产生的电势为.(1)式中有两个变量，a和θ，它们之间有下面的关系：,微分得.(2)将上式代入式(1)，得.如果点p处于球外，，点p的电势为.(3)其中q=4πr2σ.如果点p处于球内，，点p的电势为.(4)由电势求电场强度：在球外，,,方向沿径向向外。在球内，：.122 课后答案网（http://www.khdaw.com）10-30如图10-26所示，金属球a和金属球壳b同心放置，它们原先都不带电。设球a的半径为r0，球壳b的内、外半径分别为r1和r2。求在下列情况下a、b的电势差：(1)使b带+q；图10-26(2)使a带+q；(3)使a带+q，使b带−q；(4)使a带−q，将b的外表面接地。解(1)使b带+q：这时a和b等电势，所以.(2)使a带+q：这时b的内表面带上了−q，外表面带上了+q，a、b之间的空间的电场为,方向沿径向由内向外。所以.(3)使a带+q，使b带−q：这时b的内表面带−q，外表面不再带电，a、b之间的空间的电场不变，所以电势差也不变，即与(2)的结果相同。(4)使a带−q，将b的外表面接地：这时b的内表面感应了+q，外表面不带电，a、b之间的空间的电场为,方向沿径向由外向内。所以.10-31两平行的金属平板a和b，相距d=5.0mm，两板面积都是s=150cm2，带有等量异号电荷±q=2.66×10-8c，正极板a接地，如图10-27所示。忽略边缘效应，问：(1)b板的电势为多大？(2)在a、b之间且距a板1.0mm处的电势为多大？解(1)可以证明两板之间的电场强度为.图10-27于是可以求得b板的电势，为123 课后答案网（http://www.khdaw.com）.(2)根据题意，a板接地，电势为零，两板之间的任何一点的电势都为负值。所求之点处于a、b之间、且到a板的离距为处，所以该点的电势为.10-32三块相互平行的金属平板a、b和c，面积都是200cm2，a、b相距4.0mm，a、c相距2.0mm，b、c两板都接地，如图10-28所示。若使a板带正电，电量为3.0×10-7c，略去边缘效应，求：(1)b、c两板上感应电荷的电量；(2)a板的电势。解图10-28(1)a板带电后，电荷将分布在两个板面上，其面电荷密度分别为σ1和σ2。由于静电感应，b板与a板相对的面上面电荷密度为−σ1，c板与a板相对的面上面电荷密度为−σ2。c板和b板都接地，电势为零。所以,即.(1)式中E1和d1是a、b之间的电场强度和板面间距，E2和d2是a、c之间的电场强度和板面间距。另外.(2)式(1)、(2)两式联立，可以解得,.b板上的电量为,c板上的电量为.(2)a板的电势.124 课后答案网（http://www.khdaw.com）10-33如图10-29所示，空气平板电容器是由两块相距0.5mm的薄金属片a、b所构成。若将此电容器放在一个金属盒k内，金属盒上、下两壁分别与a、b都相距0.25mm，电容器的电容变为原来的几倍？解设原先电容器的电容为c0，放入金属盒中后，形成了如图10-30所示的电容器的组合。根据题意，有.图10-29ca与cb串联的等效电容为.cab与c0并联的等效电容c就是放入金属盒中后的电容：图10-30.可见，放入金属盒中后，电容增大到原来的2倍。10-34一块长为l、半径为r的圆柱形电介质，沿轴线方向均匀极化，极化强度为p，求轴线上任意一点由极化电荷产生的电势。解以圆柱体轴线的中点为坐标原点建立如图10-31所示的坐标系，x轴沿轴线向右。根据公式,圆柱体的右端面(a端面)的极化电荷密度为+σ′，b端图10-31面的极化电荷密度为−σ′。它们在轴线上任意一点(坐标为x)产生的电势可以套用题10-27的结果。a面上的极化电荷在该点产生的电势为.b面上的极化电荷在该点产生的电势为.该点的电势应为以上两式的叠加，即.10-35厚度为2.00mm的云母片，用作平行板电容器的绝缘介质，其相对电容率为2。求当电容器充电至电压为400v时，云母片表面的极化电荷密度。解云母片作为平行板电容器的电介质，厚度等于电容器极板间距。根据极板间电压，可以求得云母片内的电场强度：125 课后答案网（http://www.khdaw.com）.云母片表面的极化电荷密度为.10-36平行板电容器两极板的面积都是s=3.0×10-2m2，相距d=3.0mm。用电源对电容器充电至电压u0=100v，然后将电源断开。现将一块厚度为b=1.0mm、相对电容率为εr=2.0的电介质，平行地插入电容器中，求：(1)未插入电介质时电容器的电容c0；(2)电容器极板上所带的自由电荷q；(3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度e1；(4)电介质内的电场强度e2；(5)两极板之间的电势差u；(6)插入电介质后电容器的电容c。解(1)未插入电介质时电容器的电容为.(2)电容器极板上所带的自由电荷为.(3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度为.(4)电介质内的电场强度为.(5)两极板之间的电势差为.(6)插入电介质后电容器的电容为.10-37半径为r的均匀电介质球，电容率为ε，均匀带电，总电量为q。求：(1)电介质球内、外电位移的分布；(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布；(3)电介质球内极化强度的分布；(4)球体表面和球体内部极化电荷的电量。解电介质球体均匀带电，电荷体密度为126 课后答案网（http://www.khdaw.com）.(1)电介质球内、外电位移的分布球内，即：,,方向沿径向向外。球外，即：,,方向沿径向向外。(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布电场强度的分布球内，即：,方向沿径向向外。球外，即：,方向沿径向向外。电势的分布球内，即：.球外，即：.(3)电介质球内极化强度的分布球内，即：127 课后答案网（http://www.khdaw.com）,方向沿径向向外。在球外p=0。(4)球体表面和球体内部极化电荷的电量球体表面的极化电荷密度为,极化电荷的总量为.因为整个球体的极化电荷的代数和为零，所以球体内部的极化电荷总量为−q′。10-38一个半径为r、电容率为ε的均匀电介质球的中心放有点电荷q，求：(1)电介质球内、外电位移的分布；(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布；(3)球体表面极化电荷的密度。解(1)电介质球内、外电位移的分布,,方向沿径向向外。无论在电介质内还是在球外的真空中上式都是适用的。(2)电场强度的分布：,方向沿径向向外。：,方向沿径向向外。电势的分布：128 课后答案网（http://www.khdaw.com）.：.(3)球体表面极化电荷的密度紧贴点电荷的电介质极化电荷总量为.电介质球表面上的极化电荷总量为,所以电介质表面的极化电荷密度为.10-39图10-32中a是相对电容率为εr的电介质中离边界极近的一点，已知电介质外的真空中的电场强度为e，其方向与界面法线n的夹角为α，求：(1)a点的电场强度；(2)点a附近的界面上极化电荷密度。解(1)求解点a的电场强度可以分别求出点a电场强度的切向分量和法向分量，而这两个分量可以根据边界条件求得。根据电场强度的切向分量的连续性可得图10-32.根据电位移矢量的法向分量的连续性可得.点a的电场强度的大小为,电场强度的方向与表面法向n的夹角α′满足下面的关系.(2)点a附近的界面上极化电荷密度为129 课后答案网（http://www.khdaw.com）.10-40一平行板电容器内充有两层电介质，其相对电容率分别为εr1=4.0和εr2=2.0，厚度分别为d-321=2.0mm和d2=3.0mm，极板面积为s=5.0×10m，两板间的电势差为u0=200v。(1)求每层电介质中的电场能量密度；(2)求每层电介质中的总电场能；(3)利用电容与电场能的关系，计算电容器中的总能量。解(1)两板间的电势差可以表示为,所以.于是可以求得电介质中的电场强度,.电介质中的能量密度为,.(2)第一层电介质中的总电场能为.第二层电介质中的总电场能为.(3)题意所表示的电容器相当于两个电容器的串联，这两个电容器的电容分别为和.它们串联的等效电容为.电容器中的总能量为130 课后答案网（http://www.khdaw.com）.也可以利用上面的结果来计算.两种计算方法所的结果一致。[物理学11章习题解答]11-1如果导线中的电流强度为8.2a，问在15s内有多少电子通过导线的横截面？解设在t秒内通过导线横截面的电子数为n，则电流可以表示为,所以.11-2在玻璃管内充有适量的某种气体，并在其两端封有两个电极，构成一个气体放电管。当两极之间所施加的电势差足够高时，管中的气体分子就被电离，电子和负离子向正极运动，正离子向负极运动，形成电流。在一个氢气放电管中，如果在3s内有2.8×1018个电子和1.0×1018个质子通过放电管的横截面，求管中电流的流向和这段时间内电流的平均值。解放电管中的电流是由电子和质子共同提供的，所以.电流的流向与质子运动的方向相同。11-3两段横截面不同的同种导体串联在一起，如图11-7所示，两端施加的电势差为u。问：(1)通过两导体的电流是否相同？(2)两导体内的电流密度是否相同？(3)两导体内的电场强度是否相同？(4)如果两导体的长度相同，两导体的电阻之比等于什么？131 课后答案网（http://www.khdaw.com）(5)如果两导体横截面积之比为1:9，求以上四个问题中各量的比例关系，以及两导体有相同电阻时的长度之比。解(1)通过两导体的电流相同，。(2)两导体的电流密度不相同，因为,图11-7又因为,所以.这表示截面积较小的导体电流密度较大。(3)根据电导率的定义,在两种导体内的电场强度之比为.上面已经得到，故有.这表示截面积较小的导体中电场强度较大。(4)根据公式,可以得到,这表示，两导体的电阻与它们的横截面积成反比。(5)已知，容易得到其他各量的比例关系,,,132 课后答案网（http://www.khdaw.com）.若，则两导体的长度之比为.11-4两个同心金属球壳的半径分别为a和b(>a)，其间充满电导率为σ的材料。已知σ是随电场而变化的，且可以表示为σ=kE，其中k为常量。现在两球壳之间维持电压u，求两球壳间的电流。解在两球壳之间作一半径为r的同心球面，若通过该球面的电流为i，则.又因为,所以.于是两球壳之间的电势差为.从上式解出电流i，得.11-5一个电阻接在电势差为180v电路的两点之间，发出的热功率为250w。现将这个电阻接在电势差为300v的电路上，问其热功率为多大？解根据焦耳定律，热功率可以表示为,该电阻可以求得，为.当将该电阻接在电压为u2=300v的电路上时其热功率为.11-7当对某个蓄电池充电时，充电电流为2.0A，测得蓄电池两极间的电势差为6.6v；当该蓄电池放电时，放电电流为3.0A，测得蓄电池两极间的电势差为5.1v。求该蓄电池的电动势和内阻。133 课后答案网（http://www.khdaw.com）解设蓄电池的电动势ε、为内阻为r。充电时，电流为I1=2.0A，两端的电压为u1=6.6v，所以.(1)放电时，电流为i2=3.0a，两端的电压为u2=5.1v，所以.(2)以上两式联立，解得,.11-8将阻值为3.6ω的电阻与电动势为2.0v的电源相联接，电路中的电流为0.51a，求电源的内阻。解在这种情况下，电路的电流可以表示为.由此解得电源的内阻为.11-9沿边长为a的等边三角形导线流过电流为I，求：(1)等边三角形中心的磁感应强度；(2)以此三角形为底的正四面体顶角的磁感应强度。解(1)由载流导线AB在三角形中心o(见图11-8)产生的磁感应强度B1的大小为,式中,.图11-8于是.由三条边共同在点o产生的磁感应强度的大小为,方向垂直于纸面向里。134 课后答案网（http://www.khdaw.com）(2)图11-9(a)表示该四面体，点p就是四面体的顶点。载流导线AB在点p产生的磁感应强度的大小为,式中b是点p到ab的距离，显然图11-9.α°1=pad=60，α2=π−pbd=120°，于是,b*处于平面pcd之内、并与pd相垂直，如图11-9(b)所示。由图11-9(b)还可以看到，b*与竖直轴线op的夹角为α，所以载流导线ab在点p产生的磁感应强度沿该竖直轴的分量为.由于对称性，载流导线bc和ca在点p产生的磁感应强度沿竖直轴的分量，与上式相同。同样由于对称性，三段载流导线在点p产生的磁感应强度垂直于竖直轴的分量彼此抵消。所以点p的实际磁感应强度的大小为,方向沿竖直轴po向下。11-10两个半径相同、电流强度相同的圆电流，圆心重合，圆面正交，如图11-10所示。如果半径为r，电流为i，求圆心处的磁感应强度b。解两个正交的圆电流，一个处于xy平面内，产生的磁感应强度b1，沿z轴正方向，另一个处于xz平面内，产生的磁感应强度b2，沿y轴正方向。这两个磁感应强度的大小相等，均为.圆心o处的磁感应强度b等于以上两者的合成，b的大小为图11-10,方向处于yz平面内并与轴y的夹角为45°。135 课后答案网（http://www.khdaw.com）11-11两长直导线互相平行并相距d，它们分别通以同方向的电流i1和i2。a点到两导线的距离分别为r1和r2，如图11-11所示。如果d=10.0cm,i1=12a，i2=10a，r1=6.0cm，r2=8.0cm，求a点的磁感应强度。解由电流i1和i2在点a产生的磁感应强度的大小分别为图11-11和,它们的方向表示在图11-11中。r1和r2之间的夹角α，在图中画作任意角，而实际上这是一个直角，原因是,所以b1与b2必定互相垂直。它们合成的磁感应强度b的大小为.设b1与b2的夹角为ϕ，则,.11-14一长直圆柱状导体，半径为r，其中通有电流i，并且在其横截面上电流密度均匀分布。求导体内、外磁感应强度的分布。解电流的分布具有轴对称性，可以运用安培环路定理求解。以轴线上一点为圆心、在垂直于轴线的平面内作半径为r的圆形环路，如图11-12所示，在该环路上运用安培环路定理：在圆柱体内部,由上式解得图11-12(当时).在圆柱体外部,由上式解得136 课后答案网（http://www.khdaw.com）(当时).11-15一长直空心圆柱状导体，电流沿圆周方向流动，并且电流密度各处均匀。若导体的内、外半径分别为r1和r2，单位长度上的电流为i，求空心处、导体内部和导体以外磁感应强度的分布。解电流的这种分布方式，满足运用安培环路定理求解所要求的对称性。必须使所取环路的平面与电流相垂直，图11-13中画的三个环路就是这样选取的。在管外空间：取环路1，并运用安培环路定理，得,图11-13.在管内空间：取环路2，并运用安培环路定理，得,即,.b2的方向可用右手定则确定，在图11-13中用箭头表示了b2方向。在导体内部，取环路3，ab边处于导体内部，并与轴线相距r。在环路3上运用安培环路定理，得,整理后，得,于是可以解得,方向向左与轴线平行。12-16有一长为l=2.6×10−2m的直导线，通有i=15a的电流，此直导线被放置在磁感应强度大小为b=2.0t的匀强磁场中，与磁场方向成α=30°角。求导线所受的磁场力。解导线和磁场方向的相对状况如图12-15所示。根据图12-15安培定律137 课后答案网（http://www.khdaw.com）,导线所受磁场力的大小为,力的方向垂直于纸面向里。11-17有一长度为1.20m的金属棒，质量为0.100kg，用两根细线缚其两端并悬挂于磁感应强度大小为1.00t的匀强磁场中，磁场的方向与棒垂直，如图11-16所示。若金属棒通以电流时正好抵消了细线原先所受的张力，求电流的大小和流向。解设金属棒所通电流为i。根据题意，载流金属棒在磁场中所受安培力与其重力相平衡，即,所以图11-16.电流的流向为自右向左。11-18在同一平面内有一长直导线和一矩形单匝线圈，矩形线圈的长边与长直导线平行，如图11-17所示。若直导线中的电流为i1=20a，矩形线圈中的电流为i2=10a，求矩形线圈所受的磁场力。解根据题意，矩形线圈的短边bc和da(见图11-18)所受磁场力的大小相等、方向相反，互相抵消。所以矩形线圈所受磁场力就是其长边ab和cd所受磁场力的合力。ab边所受磁场力的大小为,图11-18方向向左。cd边所受磁场力的大小为,方向向右。矩形线圈所受磁场力的合力的大小为,方向沿水平向左，与图11-18中f1的方向相同。图11-1711-19在半径为R的圆形单匝线圈中通以电流I1，另在一无限长直导线中通以电流I2，此无限长直导线通过圆线圈的中心并与圆线圈处于同一平面内，如图11-19所示。求圆线圈所受的磁场力。138 课后答案网（http://www.khdaw.com）解建立如图所示的坐标系。根据对称性，整个圆线圈所受磁场力的y分量为零，只考虑其x分量就够了。在圆线圈上取电流元i1dl，它所处位置的方位与x轴的夹角为θ，如图所示。电流元离开y轴的距离为x，长直电流在此处产生的磁场为.图11-19电流元所受的磁场力的大小为.这个力的方向沿径向并指向圆心(坐标原点)。将、代入上式，得.其x分量为,整个圆线圈所受磁场力的大小为,负号表示fx沿x轴的负方向。11-20有一10匝的矩形线圈，长为0.20m，宽为0.15m，放置在磁感应强度大小为1.5×10−3T的匀强磁场中。若线圈中每匝的电流为10A，求它所受的最大力矩。解该矩形线圈的磁矩的大小为,磁矩的方向由电流的流向根据右手定则确定。当线圈平面与磁场方向平行，也就是线圈平面的法向与磁场方向相垂直时，线圈所受力矩为最大，即.11-21当一直径为0.020m的10匝圆形线圈通以0.15a电流时，其磁矩为多大？若将这个线圈放于磁感应强度大小为1.5t的匀强磁场中，所受到的最大力矩为多大？解线圈磁矩的大小为.所受最大力矩为.139 课后答案网（http://www.khdaw.com）11-22由细导线绕制成的边长为a的n匝正方形线圈，可绕通过其相对两边中点的铅直轴旋转，在线圈中通以电流i，并将线圈放于水平取向的磁感应强度为b的匀强磁场中。求当线圈在其平衡位置附近作微小振动时的周期t。设线圈的转动惯量为j，并忽略电磁感应的影响。解设线圈平面法线与磁感应强度b成一微小夹角α，线圈所受力矩为.(1)根据转动定理，有,式中负号表示l的方向与角加速度的方向相反。将式(1)代入上式，得,或写为.(2)令,(3)将式(3)代入式(2)，得(4)因为ω是常量，所以上式是标准的简谐振动方程，立即可以得到线圈的振动周期，为.11-23假如把电子从图11-20中的o点沿y方向以1.0×107m⋅s−1的速率射出，使它沿图中的半圆周由点o到达点a，求所施加的外磁场的磁感应强度b的大小和方向，以及电子到达点a的时间。图11-20解要使电子沿图中所示的轨道运动，施加的外磁场的方向必须垂直于纸面向里。磁场的磁感应强度的大小可如下求得,140 课后答案网（http://www.khdaw.com）.电子到达点a的时间为.11-24电子在匀强磁场中作圆周运动，周期为t=1.0×10−8s。(1)求磁感应强度的大小；(2)如果电子在进入磁场时所具有的能量为3.0×103ev，求圆周的半径。解(1)洛伦兹力为电子作圆周运动提供了向心力，故有,由此解出b，得.(2)电子在磁场中作圆周运动的轨道半径可以表示为,将代入上式，得.11-25电子在磁感应强度大小为b=2.0×10−3t的匀强磁场中，沿半径为r=2.0cm的螺旋线运动，螺距为h=5.0cm。求电子的运动速率。解电子速度垂直于磁场的分量可如下求得,所以.电子速度平行于磁场的分量v//可根据螺距的公式求得,所以.于是，电子的运动速率为.141 课后答案网（http://www.khdaw.com）11-26在匀强磁场中叠加一匀强电场，让两者互相垂直。假如磁感应强度和电场强度的大小分别为b=1.0×10−2t和e=3.0×104v⋅m−1，问垂直于磁场和电场射入的电子要具有多大的速率才能沿直线运动？解根据题意，电场、磁场和电子的运动速度v三者的相对取向如图11-21所示。要使电子沿直线运动，速度v的大小应满图11-21足,所以速度的大小应为.11-29半径为r的磁介质球被均匀磁化，磁化强度为m，求：(1)由磁化电流在球心产生的磁感应强度和磁场强度；(2)由磁化电流产生的磁矩。解(1)取球心o为坐标原点、z轴水平向右建立如图11-14所示的坐标系。根据,可以确定介质球表面的磁化电流的大小为,图11-14磁化电流的方向如图所示。在球面上取宽度为dl的环，环上的磁化电流在球心o产生的磁感应强度可以表示为.k是z方向的单位矢量。将、和代入上式积分，得,或写为矢量.磁场强度为.这表明，球内的磁场强度的方向与磁化强度的方向相反。(2)上一问所取的表面环的磁矩为,142 课后答案网（http://www.khdaw.com）式中是圆环所包围的面积，代入上式并积分，得,或写为矢量.可见，整个磁介质球由磁化电流产生的磁矩等于磁介质的磁化强度与体积的乘积。从磁化强度的定义看，这个结论是显而易见的。11-30半径为r、磁导率为µ1的无限长磁介质圆柱体(做内导体)与半径为r(>r)的无限长导体圆柱面(做外导体)同心放置，在圆柱体和圆柱面之间充满磁导率为µ2的均匀磁介质(做绝缘体)，这样就构成了一根无限长的同轴电缆，如图11-15所示。现在内、外导体上分别通以电流i和−i，并且电流在内、外导体横截面上分布均匀，试求：(1)圆柱体内任意一点的磁场强度和磁感应强度；(2)圆柱体和圆柱面之间任意一点的磁场强度和磁感应强度；(3)圆柱面外任意一点的磁场强度和磁感应强度。解电流和磁介质的分布都满足轴对称，可以用普遍形式的安图11-15培环路定理求解。在垂直于轴线的平面内，作三个同心圆，它们分别处于圆柱体内、圆柱体和圆柱面之间以及圆柱面外，其半径分别是r1、r2和r3，如图11-15所示。(1)在圆柱体内部，以半径为r1的圆作为环路，，运用安培环路定理，得,,.(2)在圆柱体和圆柱面之间的绝缘体内，以半径为r2的圆作为环路，rr，运用安培环路定理，得143 课后答案网（http://www.khdaw.com）,,.11-31一个螺绕环单位长度上的线圈匝数n=10cm−1，绕组中的电流i=2.0a。当在螺绕环内充满磁介质时，测得其中磁感应强度b=1.0t，试求：(1)磁介质存在和不存在时，环内的磁场强度；(2)磁介质存在和不存在时，环内的磁化强度；(3)磁介质的相对磁导率。解在环内取半径为r的同心圆形环路，如图11-16所示。(1)磁介质不存在时：,,图11-16.方向如图中箭头所示。磁介质存在时磁场强度不变。(2)磁介质不存在时磁化强度为零，即.磁介质存在时：.方向如图中箭头所示。(3)磁介质的相对磁导率：.11-32假如在相对磁导率为µr的均匀磁介质内部一点的传导电流密度为j0，试求该点附近的磁化电流密度j′。解在磁介质内任取一闭合环路l，并运用安培环路定理.(1)式中s是以l为边界的曲面。另外有.(2)将关系式代入式(1)，得144 课后答案网（http://www.khdaw.com）,因为磁介质是均匀的，所以µr为常量，可以提到积分号之外，故上式可以写为.(3)比较式(3)与式(2)，得.因为l是任意画的，所以可以将它缩小为一点，于是由上式可得,即.[物理学12章习题解答]12-7在磁感应强度大小为b=0.50t的匀强磁场中，有一长度为l=1.5m的导体棒垂直于磁场方向放置，如图12-11所示。如果让此导体棒以既垂直于自身的长度又垂直于磁场的速度v向右运动，则在导体棒中将产生动生电动势。若棒的运动速率v=4.0m⋅s−1，试求：(1)导体棒内的非静电性电场k；(2)导体棒内的静电场e；(3)导体棒内的动生电动势ε的大小和方向；(4)导体棒两端的电势差。解(1)根据动生电动势的表达式,由于()的方向沿棒向上，所以上式的积分可取沿棒图12-11向上的方向，也就是dl的方向取沿棒向上的方向。于是可得.另外，动生电动势可以用非静电性电场表示为.以上两式联立可解得导体棒内的非静电性电场，为,方向沿棒由下向上。145 课后答案网（http://www.khdaw.com）(2)在不形成电流的情况下，导体棒内的静电场与非静电性电场相平衡，即,所以，e的方向沿棒由上向下，大小为.(3)上面已经得到,方向沿棒由下向上。(4)上述导体棒就相当一个外电路不通的电源，所以导体棒两端的电势差就等于棒的动生电动势，即,棒的上端为正，下端为负。12-8如图12-12所表示，处于匀强磁场中的导体回路abcd，其边ab可以滑动。若磁感应强度的大小为b=0.5t，电阻为r=0.2ω，ab边长为l=0.5m，ab边向右平移的速率为v=4m⋅s−1，求：(1)作用于ab边上的外力；图12-12(2)外力所消耗的功率；(3)感应电流消耗在电阻r上的功率。解(1)当将ab向右拉动时，ab中会有电流通过，流向为从b到a。ab中一旦出现电流，就将受到安培力f的作用，安培力的方向为由右向左。所以，要使ab向右移动，必须对ab施加由左向右的力的作用，这就是外力f外。在被拉动时，ab中产生的动生电动势为,电流为.ab所受安培力的大小为,安培力的方向为由右向左。外力的大小为,外力的方向为由左向右。(2)外力所消耗的功率为146 课后答案网（http://www.khdaw.com）.(3)感应电流消耗在电阻r上的功率为.可见，外力对电路消耗的能量全部以热能的方式释放出来。12-9有一半径为r的金属圆环，电阻为r，置于磁感应强度为b的匀强磁场中。初始时刻环面与b垂直，后将圆环以匀角速度ω绕通过环心并处于环面内的轴线旋转π/2。求：(1)在旋转过程中环内通过的电量；(2)环中的电流；(3)外力所作的功。解(1)在旋转过程中环内通过的电量为.(2)根据题意，环中的磁通量可以表示为,故感应电动势为.所以，环中的电流为.(3)外力所作的功，就是外力矩所作的功。在圆环作匀角速转动时，外力矩的大小与磁力矩的大小相等，故力矩为,式中α是环的磁矩m与磁场b之间的夹角。在从α=0的位置转到α=π/2的位置，外力矩克服磁力矩所作的功为.此题也可以用另一种方法求解。外力矩作的功应等于圆环电阻上消耗的能量，故有.与上面的结果一致。147 课后答案网（http://www.khdaw.com）12-10一螺绕环的平均半径为r=10cm，截面积为s=5.0cm2，环上均匀地绕有两个线圈，它们的总匝数分别为n1=1000匝和n2=500匝。求两个线圈的互感。解在第一个线圈n1中通以电流i1，在环中产生的磁场为.该磁场在第二个线圈n2中产生的磁通量为.所以两个线圈的互感为.12-11在长为60cm、半径为2.0cm的圆纸筒上绕多少匝线圈才能得到自感为6.0×10−3h的线圈？解设所绕线圈的匝数为n，若在线圈中通以电流i，则圆筒内的磁感应强度为.由此在线圈自身引起的磁通量为,所以线圈的自感为,由此解的线圈的匝数为.12-12一螺绕环的平均半径为r=1.2×10−2m，截面积为s=5.6×10−4m2，线圈匝数为n=1500匝，求螺绕环的自感。解此螺绕环的示意图表示于图12-13中。在线圈中通以电流i，环中的磁感应强度为,该磁场引起线圈的磁通量为.所以螺绕环的自感为.图12-1312-13若两组线圈绕在同一圆柱上，其中任一线圈148 课后答案网（http://www.khdaw.com）产生的磁感应线全部并均等地通过另一线圈的每一匝。两线圈的自感分别为l1和l2，证明两线圈的互感可以表示为.解题意所表示的情形，是一种无漏磁的理想耦合的情形。在这种情形下，可以得到两个线圈的自感分别为,.用类似的方法可以得到它们的互感为.比较以上三式，可以得出.12-14一无限长直导线，其圆形横截面上电流密度均匀。若通过的电流为i，导线材料的磁导率为µ，证明每单位长度导线内所储存的磁能为.解因为电流在导线横截面上分布均匀，所以可以把电流密度的大小表示为.在导线的横截面上任取一半径为r(