GBT4889-1985数据的统计处理和解释正态分布均值和方差的估计与检验方法.pdf 30页

'中华人民共和国国家标准UDC518.28数据的统计处理和解释正态分布均值和方差的估计与检验方法CB4吞..一.与StatisticalInterpretationof山taTechniquesofestimationandtestsrelatingtomeansandvariancesof嗦，rmaldistributions1引言1.1本标准规定用样本估计总体的均值和方差，以及检验关于均值和方差的某些假设的方法。对于成对观测值的比较参见GB3361-82《数据的统计处理和解释在成对观测值情形下两个均值的比较)),1.2在所考虑的每个总体中，只有抽样单位是随机和独立地抽取时，使用这些方法才能有效。在有限总体的情况下，当总体的大小是充分大或抽样的比例是充分小(比如小于1/10)时，随机抽取的抽样单位可以认为是独立的。1二本标准适用于总体分布为正态分布的情形。如果总体分布偏离正态不大，样本大小不是太小时，下面叙述的方法依然近似正确，其近似程度对大多数实际应用是足够的。对表1，表3，表5和表7，样本大小应至少为5到10。对其他各表，样本大小应不少于200如果总体分布显著偏离正态，可以将变量变换成正态的或采用非参数检验方法。1.4总体的均值A和方差a的点估计分别由样本的均值了和方差Sz给出。1.5在总体的均值P和方差oz的区间估计中，置信水平1一a是置信区间包含被估计参数真值的概率。置信水平1一a值通常取0.95或0.99，即a二0.05或0.0101二在假设检验中，对双侧情形，显著性水平是在原假设成立时，拒绝这个假设的概率(第1类错误概率):对单侧情形，显著性水平是L述概率的最大值(第I类错误概率的最大值)。a=0.05或a二0.01是依照使用者准备承受的不同风险而常用的值。因为在使用a=0.05时某个假设可能被拒绝，而在使用a二。.01时可能不被拒绝，所以采用“这假设在5%的水平上被拒绝”的提法，或在后一种情形采用“这假设在1%的水平上被拒绝”的提法。如果原假设不成立但被接受下来，就犯了第I类错误。1.7对于个别可疑的数据不能任意剔除或修正，具体处理办法见GB4883-85《数据的统计处理和解释正态样本异常值的判断和处理)o1.8在统计计算时，要给出观测值的来源和收集方法等有关信息。1二在统计计算时，通过改变原点或单位常可使计算简化。1.10本标准系参照国际标准ISO2854《数据的统计解释一一均值和方差的估算与检验方法》(1976年第一版)制订的。国家标准局1985一01一2，发布，983一10一01实施 GB488.一8:2计算的表格表1均值与给定值的比较(方差已知)总体的技术特性抽样单位的技术特性被剔除的观测值统计项目计算样木大小:艺:!:x了二—二月观测值的和:(寿-)。二艺x，二“卜口提给定值:(不亏7于一)0尸o竺总体方差的已知值:口2=标准差:显著性水平:结果总体均值拜与给定值Yo的比较双侧情形:MR}x-PoI)(u、一。s/f")0则拒绝总体均值与给定值相等的原假设单侧悄形:如果Xu)=1一a P(一。(一。/2J(nJcn纷vl%a/i(v)一—0(,-a/1(护)一1i-e/e〔，)0l卜。(，)!e(v)泞1。(护)双侧情形单侧情形自由度为V=。一1的t变量t(V)的概率密度函数图形b.t;一、子v)/万和t，一。(v)俩的值见附录A的表A3。例:见3.5.2款。179 C日!I..一.呀表3均值的估计(方差已知)总体的技术特性抽样单位的技术特性被剔除的观测值统计项目计算样本大小:艺XtX月观测值的和:艺X，二(“卜。Ir)。二总体方差的已知值:或aZ二(:、一。，:/r)。=置信水平:1一a二结果总体均值邵的估计X双侧置甲AR间:,Y-(u，一。，,i.r)a<,A系(u,一。/句说明:.ua值定义见表1中“说明a"。‘“，一。/z/J""和“，一。/万的值见附录人的表A，。例:见3.5.3款。180 GB丝丝-ea一一一一一一一一一一一表4均值的估计(方差未知)总体的技术特性抽样单位的技术特性被剔除的观侧值统计项目计算样本大小:芝X;X二—二n观侧值的和:手‘式一X)"乒X?一‘事X,)"/ft乏X;二‘观侧值的平方和:I(A一X)sIX.，二S二一之.一1自由度:(‘，一。(v)/厅)S二v二日一或置信水平:(‘，一。，:(v)小1)S二1一a=结果总体均值料的估计X二双侧t信区间.X-(t、一，二(v)/拓)SX-(t:一。(v)/万)S说明:.t。(，)值定义见表2中“说明Sn。.t1-a/zov)Ifn和t;一。(，)/厅的值见附录撇表A3。例:见3.5.4款。 CB488，一.s表5两个均值的比较(方差已知)J的，I总体1勺的技术特性白总体，中‘11总体‘奋，巾乙﹂抽样单位的技术特性‘总体川样本被剔除的观测值样本统计项目计算第一个第二个样本样本EX,;X,二—二界胜样本大小:咋1二n，=EX,Xz二—二n2观测值的和.艺X,‘二艺X2i“ad二O}2,}Oa2pZ总体方差的已知值:。卜0圣二u,一a丙=显著性水平:或u,-.126d二结果两个总体均值的比较双侧情形:如果}X,一Xz}"u,一呐Ud则拒绝两个均值相等的原假设。单侧情形:a)如果X,凡+u,-.9d则拒绝第一个均值不大于第二个均值的原假设说明:.ua值定义见表1中“说明a"。b.“、一。/:和U1-。的值由附录A表A1的。二t那行得出。例:见3.5.5款。192 GB4二，一.S表6两个均值的比较(方差均未知，但有理由认为相等或近似相等，否则不能用)关于两个总体方差相等的假设，可用表11所示方法来检验}技术特性}抽样单位的技术特性}被剔除的，，值统计项目计算艺X""第一个X,二一下万一=第一个样本样本芝Xz;X,=n2一一样本大小:比2二艺(X一X,)z+艺(X2‘一X,)}观侧值的和:EX,，二};Xz二二邵}.Xzi.+}XI一n.(EX=，2一袭<孚XV)z-观测值的平方和:S‘二2n,`n2.茗(X,X,)z+芝(凡一Xz)z妞inzn,+.，一2艺X‘二1:X==f.自由度:v=n+，:一2=1._.(，)Sd二显著性水平:t卜Qiz(v)Sd=结果两个总体均值的比较双侧情形:如果!X，一凡}一1:_。厂2(，)Sd则拒绝两个均值相等的原假设。单侧情形.8)如果X,‘一X:一1:一。(，)Sd则拒绝第一个均值不小于第二个均值的原假设。b)如果X,>X2+r，。(，)Sd则拒绝第一个均值不大于第二个均值的原假设说明:t.。口(v)值定义见表2中“说明a"a七七。一a/z(v)和t，一。(”)的值见附录A的表A2.例:见3.5.6款。 Cn![.L1.一扭肠表7两个均值之差的估计(方差已知)总体1的}技术特性总体2的总体I中}抽样单位的技术特性总体2中样本1q,}被剔除的观测值样本2中统计项目计算第一个第二个艺X样本样本笼二一下石一一=样本大小招介2二Xz二一:二月，观测值的和:艺X,‘二艺XZ:二川司‘口一一叭晰总体方差的已知值:,"I二。1二u,一。ad二或置信水平:u卜e/son=1一a=结果两个总体均值“1和ks之差的估计X,-X2二双侧置信区间;(X,一Xz)一。:一。/zda(X,)一、_。口d说明:a-“。值定义见表1中“说明。”。阮气一a/2和“1-。的值由附录A表A1的。=1那行得出。例见3.5.7款。184 C日!IT.一.s表a两个均值之差的估计(方差均未知，但有理由认为相等或近似相等，否则不能用)关于两个总体方差相等的假设，可用表11所示方法来检验盘篡;黔技术特性忿霍;郭抽样单位的技术特性撑幸;霉1被剧除的观测值统计项目计算第一个第二个艺x‘样本样本T,=一ie1-一二芝X2iX2二~一n2二样本大小:观侧值的和:艺Xli艺(X，一Xli)2+事(x:一X2i"1X2li"2X2i泛(2:XI.)2-观测值的平方和，‘r橇(IrXz;)2=7"Xii“r!rX2i二月I+n2乒(X,‘一X1)2+葵(X2，一x2)2自由度:v二.，+.，一2=S,月1加2月]+nZ一皿信水平._。(，)Sd=或~口二(，)S,二0/2结果两个总休均值Ni和Nz之差的估计X，一X2二双侧置信区间，X,一X2)一i1-u/2(，)Sd<1,，一u2<(X，一X2)"1-a/2(v)Sd单侧皿信区间:NI一)A,<(X,一Xa)+r卜。(v)S,或w一)A,>(X,一X,一t,_。(v)S,。(”)值定义见表2中“说明a0。1}-QIZ，)和ti一。(，)的值见附录A的表A2。例:见3.5.8款。t85 C日!II:.一二表s方差生录洽定值的比较总体的技术特性抽样单位的技术特性被剔除的观侧值统计项目计算样本大小.(芝x;)2}cx‘一T)2二乒‘:一一一万万-一-观翻值的和:艺4芝x,二v}观侧值的平方和:乏x,二x乙cv>二给定值:x几_，(v)二或自由度:v二n一X愁:(v显粉性水平:Xzt-o/z(，)二结果总体方差。之与给定值1a的比较双侧情形:艺(X;一X)Y‘如果x二)二1一。P(x2a/2(v)X兰(V)x;P_a(，)·标准差的置信区间的界限是方差口2的置信区间的界限的平方根。]卜吕 C日488.一.5说明:二)值定义见表9中“说明a"ab.)，Xi一。(，)，吃/:(，)和峨一-/2(，)的值见附录A的表A4。例:见3.5.10款。表11两个方差的比较总体1的}技术特性总体2的总体‘中琴抽样单位的技术特性总体2中少被别除的观测值统计项目计算第一个第二个(乏Xt)2样本样本菩“，，一X,”二EX,;-一一不，一一之样本大小:”二观测值的和:(艺x21)’艺X乏X。}:(X,，一XP)’二万Xz2;月，观测值的平方和:艺Xj艺X艺(X:一XXl))2-S”，一1自由度:v，二。1一1二艺(X,一X2)2、，2二”2一1二S圣”，一1F,_。(v=v2)二F,一。la(v=v,)=显著性水平:11Ft_12(v2,，])F,一。(，:，v])结果两个总休方差的比较双侧情形:如果Sit1S22F，一。/z("a.，】)159 Cn动...一二续表11A带>F)一‘’1，v2)则拒绝两个总休方差相等的原假设。单侧情形.S?3r*丽>F,(v‘，”，)则拒绝第一个方差不大于第二个方差的原假设。S,b)如果代二二<—J室F_(v2,，()则拒绝第一个方差不小于第二个方差的撅假设说明二F(v1,v2)表示自由度为v,=n)1和v2=n2一1的F",Fd(v。，v2)值定义为P(F(vi,v2)F.(v1,，:))二1一。P(Fal2(v1,v2)0.2055在5%的水平上拒绝，总体均值等于2.40的原假设3.5.2使用表2的例:均值与给定值的比较(方差未知)问题和表1中所述相同，但此时，由于没有以往的测量值可利用。或由于以往的观测值认为不再适合，所以方差必须由这个样本来估计。把表2的解题步骤应用于纱线1的数据(其数值已在表13给出)·在此情形下，S二寸0.13丽醉0.3736S而=0.1181v=10一1二。在5%的水平上作双侧检验。由附录A的表A2，‘o.97s(。)二2.262,WTPY。.二s(。)(S倾)=0.2670将样本均值X=2.176与给定值,u0=2.40作比较，得X一uo}=0.224<0.267这说明样本的结果与给定值不矛盾，不能确信总体均值低于2.40。此结论与上例不同，这是由于o的样本估计值S二0.3736大于上例中所假设的标准差(a=0.3315)。如果使用附录A的表A3，对，二，一1二9，可得t卜。z(叻/压的值。将{X-F}o)和临界 GE4...一.与值(‘。.。:。(，)/师)s=0.715x0.3736=0.267相比较，其结果与使用附录A的表A2所得结果相同。3.5.3使用表3的例:均值的区间估计(方差已知)在此情形，不是检验总体均值是否等于某个确定值解。，而是寻求某个界限，使未知均值哟真值在界限之内。要求以1一a的概率包含k值的区间。使用纱线1的数据和表3的解题步骤，假设由以往测量值可以验证使用总体标准差o二0.3315是合适的。要求k的置信水平为1一a=0.95的双侧置信区间，先算出尽2.176并从附录A的表A1得到(u0.975痴)。二0.620、0.3315=0.2055于是均值p的置信水平为0.95的双侧置信区间为:2.176一0.20550.271在5%的水平上拒绝两个均值相等的原假设，纱线2的强力较大。注:上述结论中犯错误的风险为0.05。如果不准备承受0.05的风险，可取a=0.01,此时，由于uo.995a二2.576x0.1381=0.356因此，对于双侧悄形{2.176一2.520{=0.344<0.356所以在1%的水平上不能拒绝原假设3.5二使用表6的例:两个均值的比较(方差均未知，但有理由认为相等或近似相等)这个问题和七述问题不同。因为根据过去的测量值去接受。f和。落值，可能是不合理的，有必要由样本数值来得到方差的估计。仅当两个未知总体方差相等时，这个检脸才有效。特别在样本大小。、和n，近似相等，并采用表6中所给的估计Sd时，这个检验犯错误的风险很小。对于表13中给出的两个纱线的样本，196 CB488.一.5X、二2.176X二2.520观测值与均值之差的平方和自由度10第一个样本25636512第二个样本389769-_=191总计2.64613422一2=20X，和X2之差的标准差的估计:2.646134sd=I一」2一、一二二0.1557Jt1)火1220在5%水平上使用双侧检验。由于10.975(20)Sd=2.086X0.1557二0.325IX，一凡{二}2.176一2.520}=0.344?0.325所以在5%的水平上拒绝两个总体均值相等的原假设(但在1%的水乎上就不能拒绝原假设)。3.5.7使用表7的例:两个均值之差的估计(方差已知)在这情形，并不检验两个总体是否有相同的均值，而是使用这两个样本估计均值拜，和A2之差。要求(Jul一1U21的置信水平为1一a的双侧置信区间。再次使用同样的数据，假设方差为已知:a了二。.1098。和。蛋=0.09685。样本均值双和元之差的标准差ad二。.1381(见表5)，并且u0.975Qd=1.96x0.1381=0.271X,一X2二一0.344从而可知，(F2、一P2)的置信水平为0.95的双侧置信区间为一0.344一0.271<,u，一Pz<一0.344+0.2710.0730.朋00)。a⋯10使用表10的例:方差的估计纱线1的数据可用来得到未知方差。2的双侧置信区间。若取1一a二0.95，对自由度v=9，附录A的表A4给出x是。2。(9)二2.700x孟.，，。(，)二1，.02由于芝(戈一X)21.2563)一묺二司..，.，一一-.....目，二04653x乍.。:52.700万(不一X)力21。2563—二0。0661x、.97519.02因此aZ的置信水平为0.95的双侧置信区间为.0.066130的内插，取Z二120/，作为自变量。抓二40Z二120/v二o.%s=2.021二60Z二120/，二-7s2.000v=50Z二1201v二2.4。·二2.021一汽二给~c2.021-2.600)二2.008夕日1 G日CI:扭.一.与表A3对v=n一1，比值二_oc}生的数值双侧情形单侧情形toesto”‘to.‘r，洲石师石8.98545.0134.46522.5012.4345.7301.6864.0211.5912.9201.1772.2701.2422.0590.9531.67661.0491.6460.8231.37470.9251.4010.7341.18880.8361.2370.6701.06090.7691.1180.6200.966100.7151.0280.5800.89210.6720.9560.5460.833120.6350.8970.5180.785”0.6040.8470.4940.744140.5770.8050.4730.708150.5540.7690.4550.678160.5330.7370.4380.651片0.5140.7080.4230.626180.4970.6830.4100.605190.4820.6600.3980.586200.4680.6400.3870.568”0.4550.6210.3760.552粉0.4430.6040.36T0.537230.4320.5880.3580.523240.4220.5730.3500.5100.4130.5590.342250.498邓0.4040.5470.3350.487270.3960.5350.3280.477280.3880.5240.3220.467290.3800.5130.3160.458300.3730.5030.3100.449400.3670.4940.3050.441500.3160.4220.2630.378600.2810.3750.2350.337700.2560.3410.2140.306800.2370.3140.1980.283900.2210.2930.1850.2640.2080.276100.1740.248200.1970.2610.1650.235500.1390.1830.1170.1650.08880.1160.0740.104n0002目o GB4二，一.a表A4x2分布的分位数单侧情形双侧情形x"..iusx"a.}sx"o.}s}x磊x2x"-,x"-15790.0015.0230.0000390.0043.8410.00026.63525970.0517.3780.0100.1035.9910.0209.2103830.2169.3480.0720.3527.8150.11511.34545600.48411.1430.2070.7119.4880.29715.27751500.83112.8330.4121.14511.0710.55415.0866541.23714.4490.6761.63512.5920.87216.8127哪1.69016.0130.9892.16714.0671.23918.47582.18017.5351.34421.9552.73315.507!64620.09092.70019.0231.73523.5893.32516.9192.08821.666托3.24720.4832.15625.1883.94018.3072.55823.20913.81621.9202.60326.7574.57519.6753.05324.725比4.40423.3373.07428.3005.22621.0263.57126.217135.00924.7363.56529.8195.日9222.3624.10727.688145.62926.1194.07531,3196.57123.6854.66029.141156.26227.4884.60132.8017.26124,9965.22930.578166.90828.8455.14234.2677.96226.2965.81232.000177.56430.1915.69735.7198.67227.5876.40833.409拍8.23131.5266.26537,1569.39028.8697.01534.805198.90732.8526.84438.58210.11730.1447.63336.191209.59134.1707.43439.99710.85131.4108.26037.5662110.2B335.4798.03441.40111.59132.6718.89738.932即10.98236.7818.64342.79612.33833.9249.54240.2892311.68938.0769.26044.18113.09135.17310,19641.638加12.40139.3649.88645.55913.84836.41510.85642.980肠13.12040.64710.52046.92814.61137.65311,52444.3142613.84441.92311.16048.29015.37938.88512.19845.6422714.57343.19411.80849.64516.15140.11312.87946.963朋15.30844.46112.46150.99316.92841.33713.56548.2782916.04745.72213.12152.33617.70842.55714.25749.5883016.79146.97913.78753.67218.49343.77314.95450.892203 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