《数值分析简明教程》(第二版)王能超课后习题答案.pdf 7页

'第一章x=-1x=1x=3x=4题12给定节点0，1，2，3，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项：3（1）（1）f(x)=4xx-+3243（2）（2）f(x)2=-xx(4)解（1）fx()0=，(4)f()xf(x)-p(x)=(x-x)(x-x)(x-x)(xx-=)00123由拉格朗日插值余项得4!；(4)（2）fx()=4!由拉格朗日插值余项得4!f(x)-p(x)=(x-x)(x-x)(x--x)()xx0123=(xx+1)(-1)(xx--3)(4).4!xx题15证明：对于fx()以0，1为节点的一次插值多项式px()，插值误差2()xx--£10¢¢f(x)p(x)maxfx()8x01££xx.f¢¢()xf(x)-p(x)=(x--x)()xx2!01xx££x证由拉格朗日插值余项得，其中01，maxfx¢¢()f¢¢()xx££xxf(x)-p(x)=(x-x)(x-x)£01(x--x)()xx01012!2!2()xx-£10¢¢maxfx()8x01££xx.==¢==¢题22采用下列方法构造满足条件pp(0)(0)0，pp(1)(1)1的插值多项式px()：（1）（1）用待定系数法；==¢（2）（2）利用承袭性，先考察插值条件pp(0)(0)0，p(1)1=的插值多项式px().232p()x=a+ax++axaxp¢(x)=a++23axax解（1）有四个插值条件，故设0123，123，ìa=00ïïa+a+aa+=10123ía=0ï1ïa+2aa+=31代入得方程组î123ìa=00ïïa=01ía=2ï2解之，得ïîa3=-1 23p(x)2=-xx；==¢（2）先求满足插值条件pp(0)(0)0，p(1)1=的插值多项式px()，由0为二重零点，22可设p()x=ax，代入p(1)1=，得a=1，=p()xx；==¢==¢再求满足插值条件pp(0)(0)0，pp(1)(1)1的插值多项式px()，可设222p(x)=x+-bxx(1)，Qp¢(x)=2x+2bx(x-+1)bx，代入p¢(1)1=，得b=-1，2223p(x)=x-x(x-1)2=-xx.32ìx+xx01££Sx()=í32î2x+bx+cxx-112££题33设分段多项式是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数bc,的值.解由S(1)2=得2+bc+-=12，bc+=1；2ì3x+2xx01<且22，22222，p[0,]所以fx()在2上至少有一根；1pf¢(xx)=1+>sin0[0,]又2，所以fx()单调递增，故fx()在2上仅有一根.11xx=cosg(xx)=coskk+1迭代过程2，其迭代函数为2，p11pp"Îx[0,]0£g(xx)=cos££Îgx()[0,]2，222，2；11g¢(xx)=-singx¢()1£<2，2，p1"Îx[0,]xx=cos0kk+1由压缩映像原理知2，2均收敛.p[0,]注这里取[ab,]为区间2，也可取[ab,]为区间(-¥,)+¥等.2xx=+4coskk+1题5考察求解方程12-3xx+=2cos0的迭代法3x（１）（１）证明它对于任意初值0均收敛；（２）证明它具有线性收敛性；2g(xx)=+4cos证（1）迭代函数为3，"xÎ(-¥,)+¥，gx()Î(-¥,)+¥； 22g¢(xx)=-sin1£<又33，2xx=+4cos"xkk+13由压缩映像原理知0，均收敛；*xxk+1-=¢**=-¹2limg(xx)sin0k®¥xx-*3*x*=Împ,mZ，（2）k（否则，若sin0x=，则2xx=+4coskk+1不满足方程），所以迭代3具有线性收敛速度；32题7求方程xx--=10在x0=1.5附近的一个根，证明下列两种迭代过程在区间[1.3,1.6]上均收敛：11x=+1x=+1k+12x2x（１）（１）改写方程为，相应的迭代公式为k；3232xx=+1（２）（２）改写方程为xx=+1，相应的迭代公式为kk+1.113232x=+1x-x-1=0Ûx=xx+11Û=+k+12x2x解（1），迭代公式为k，1gx()1=+2其迭代函数为x1111.3£1.3906»1+£1+£1+»<1.59171.6"Îx[1.3,1.6]，1.62x221.3，Îgx()[1.3,1.6]；2-2--22gx¢()=--0.9103=££=-0.48833333gx¢()£<0.91031又x，1.3x1.6，，1x=+1k+12"Îx[1.3,1.6]x由大范围收敛定理知0，k均收敛；32323223xx=+1（2）x-x-1=0Ûx=11+xÛxx=+，迭代公式为kk+1，32其迭代函数为g(xx)1=+323322"Îx[1.3,1.6]，1.3£1.3908»1+1.3£1+x£1+1.6»<1.52691.6，Îgx()[1.3,1.6]；2xgx¢()=3223(1)+x又，332x2xx22´1.60££=£=0.4912333(1+xx2)223(2)33，gx¢()£<0.49121，32由大范围收敛定理知"Îx0[1.3,1.6]，xxkk+1=+1均收敛.题5分别用雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代求解下列方程组： ìx+-=5xx32123ïí5x-24xx+=123ïî2x+xx-5=-11123ì(k+1)(kk)()ïx=2-+53xx123ïï(k+1)51(kk)()íx2=-2++xx13æö0ï22(0)ç÷x=0ï(k+1)1121(kk)()ç÷ïx3=++xx12ç÷0（2）其雅可比迭代格式为î555，取初始向量èø，迭代发散；ì(k+1)(kk)()ïx=2-+53xx123ïï(k++1)51(kk1)()íx2=-2++xx13æö0ï22(0)ç÷x=0ï(k+1)1121(kk++1)(1)ç÷ïx3=++xx12ç÷0其高斯-塞德尔迭代格式为î555，取初始向量èø，迭代发散.第六章题2用主元消去法解下列方程组ì2x+3xx+=55123ïí3x+4xx+=76123ïîx+3xx+=35）123解（2）对其增广矩阵进行列主元消元得æ2355öæ3476öæ3476öæö3476ç÷ç÷ç÷ç÷3476®2355®®01/31/3105/32/33ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷è1335øè1335øè05/32/33øèø01/31/31æö3476ç÷®05/32/33ç÷ç÷èø001/52/5ìï3x+4xx+=76123ïï52íxx23+=3ìx3=2æö-4ï33ïç÷íx=1x=1ï122ç÷ïx3=ïîx=-4ç÷2回代求解上三角方程组î55得1，所以èø.'