《理论力学》静力学典型习题+答案.doc 34页

'1-3试画出图示各结构中构件AB的受力图1-4试画出两结构中构件ABCD的受力图 1-5试画出图a和b所示刚体系整体各个构件的受力图1-5a1-5b 1-8在四连杆机构的ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2，机构在图示位置平衡。试求二力F1和F2之间的关系。解：杆AB，BC，CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。解法1(解析法)假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示：F2FBCFABB45oyxFBCFCDC60oF130oxy由共点力系平衡方程，对B点有：对C点有：解以上二个方程可得： 解法2(几何法)FBCFCD60oF130oF2FBCFAB45o分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B和C点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。对B点由几何关系可知：对C点由几何关系可知：解以上两式可得：2-3在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶M。试求A和C点处的约束力。解：BC为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方向。曲杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：其中：。对BC杆有：A，C两点约束力的方向如图所示。2-4 解：机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对BC杆有：对AB杆有：对OA杆有：求解以上三式可得：，，方向如图所示。//2-6求最后简化结果。解：2-6a坐标如图所示，各力可表示为:，，先将力系向A点简化得（红色的）：，方向如左图所示。由于，可进一步简化为一个不过A点的力(绿色的)，主矢不变，其作用线距A点的距离，位置如左图所示。2-6b同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为： 其作用线距A点的距离，位置如右图所示。简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？是2-13解：整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向，力偶以逆时针为正）：选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程：求解以上五个方程，可得五个未知量分别为：（与图示方向相反）（与图示方向相同）（逆时针方向）2-18 解：选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：求解以上两个方程即可求得两个未知量，其中：未知量不一定是力。以下几题可看一看！2-27解：选杆AB为研究对象，受力如下图所示。列平衡方程：（运用力对轴之矩！） 由和可求出。平衡方程可用来校核。思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？2-29解：杆1，2，3，4，5，6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选板ABCD为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程：(受拉)(受压)(受压)(受拉)本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免求解联立方程。 2-31力偶矩解：取棒料为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:补充方程：五个方程，五个未知量，可得方程：解得。当时有：即棒料左侧脱离V型槽，与提议不符，故摩擦系数。2-33解：当时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 附加方程：四个方程，四个未知量，可求得。2-35解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为a，重为P，列平衡方程：如果棱柱不滑动，则满足补充方程时处于极限平衡状态。解以上五个方程，可求解五个未知量，其中：(1)当物体不翻倒时，则：(2)即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。 FCxFCyFBxFBy3-10解：假设杆AB，DE长为2a。取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程：取杆DE为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：(与假设方向相反)(与假设方向相反)(与假设方向相反)3-12FCxFCyFD解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：杆AB为二力杆，假设其受压。取杆AB和AD构成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：解得，命题得证。注意：销钉A和C联接三个物体。FAFB3-14解：取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有：即必过A点，同理可得必过B点。也就是和是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 解得：(方向如图所示)3-20解：支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa，作用在BC杆中点。列平衡方程：(受压)DF3F2F1xy选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：(受压)(受拉)选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：(与假设方向相反)(逆时针) FAxFAyFBxFBy3-21解：选整体为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：(1)由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力汇交于点G，受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得：。取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：代入公式(1)可得：3-24解：取杆AB为研究对象，设杆重为P，受力如图所示。列平衡方程： 取圆柱C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。3-27解：取整体为研究对象，设杆长为L，重为P，受力如图所示。列平衡方程：(1)取杆BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：(2)FAxFAyFNFsPP补充方程：，将(1)式和(2)式代入有：，即。3-29（…………………………）证明：（1）不计圆柱重量法1：取圆柱为研究对象，圆柱在C点和D点分别受到法向约束力和摩擦力的作用，分别以全约束力来表示，如图所示。如圆柱不被挤出而处于平衡状态，则等值，反向，共线。由几何关系可知， 与接触点C，D处法线方向的夹角都是，因此只要接触面的摩擦角大于，不论F多大，圆柱不会挤出，而处于自锁状态。FNDFSDoFAxFAy法2（解析法）：首先取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：再取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：取圆柱为研究对象，受力如图所示。假设圆柱半径为R，列平衡方程： 由补充方程：，可得如果：则不论F多大，圆柱都不被挤出，而处于自锁状态。证明：（2）圆柱重量P时取圆柱为研究对象，此时作用在圆柱上的力有重力P，C点和D点处的全约束力。如果圆柱保持平衡，则三力必汇交于D点（如图所示）。全约束力与C点处法线方向的夹角仍为，因此如果圆柱自锁在C点必须满足：(1)该结果与不计圆柱重量时相同。只满足(1)式时C点无相对滑动，但在D点有可能滑动(圆柱作纯滚动)。再选杆AB为研究对象，对A点取矩可得，由几何关系可得：(2)法1（几何法）：PφFRDFRC圆柱保持平衡，则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形，如图所示。由几何关系可知： 将(2)式代入可得：因此如果圆柱自锁在D点必须满足：(3)即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证。法2（解析法）：取圆柱为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：解得：，代入补充方程：，可得如果圆柱自锁在D点必须满足：(3)即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证。3-30解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：由题可知，杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力，以及B和C处的约束力和，由三力平衡汇交，可确定约束力和 的方向如图所示，其中：，杆AC受压。取轮A为研究对象，受力如图所示，设的作用线与水平面交于F点，列平衡方程：取轮B为研究对象，受力如图所示，设的作用线与水平面交于G点，列平衡方程：解以上六个方程，可得：，，，若结构保持平衡，则必须同时满足：，，， 即：，因此平衡时的最大值，此时：，3-35解：由图可见杆桁架结构中杆CF，FG，EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：(受拉)(受拉)(受压)3-38解：假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：(受压) 取节点C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：其中：，解以上两个方程可得：(受压)3-40解：取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：ABC345FAyFAxFBCSS用截面S-S将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：(受拉)(受拉) 4-1解：1.选定由杆OA，O1C，DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为。2.该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角θ完全确定，有一个自由度。选参数θ为广义坐标。3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆OA有一个微小的转角δθ，相应的各点的虚位移如下：，，，，代入可得：4.由虚位移原理有：对任意有：，物体所受的挤压力的方向竖直向下。4-4解：4a1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角θ完全确定，有一个自由度。选参数θ为广义坐标。由几何关系可知：杆的质心坐标可表示为： 3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度δθ，则质心C的虚位移：4.由虚位移原理有：对任意有：即杆AB平衡时：。解：4b1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角θ完全确定，有一个自由度。选参数θ为广义坐标。由几何关系可知：杆的质心坐标可表示为： 3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB顺时针旋转一个微小的角度δθ，则质心C的虚位移：4.由虚位移原理有：对任意有：即平衡时角满足：。4-5解：1.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力，且，将弹簧力视为主动力。此时作用在系统上的主动力有，以及重力。2.该系统只有一个自由度，选定为广义坐标。由几何关系可知：3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移δθ，则质心的虚位移为：弹簧的长度，在微小虚位移δθ下： 4.由虚位移原理有：其中，代入上式整理可得：由于，对任意可得平衡时弹簧刚度系数为：4-6解：解除A端的约束，代之以，并将其视为主动力，此外系统还受到主动力的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移和梁AC的转角为广义坐标。1．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，如图所示。由虚位移原理有：对任意可得：2．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，如下图所示。由虚位移原理有：(1) 由几何关系可得各点的虚位移如下：代入(1)式：对任意可得：，方向如图所示。3．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，如上图所示。由虚位移原理有：(2)有几何关系可得各点的虚位移如下：代入(2)式：对任意可得：，逆时针方向。4-7 解：将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷，大小为。1.求支座B处的约束力解除B点处的约束，代之以力，并将其视为主动力，系统还受到主动力的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDB只能绕C点转动。系统有一个自由度，选转角为广义坐标。给定虚位移，由虚位移原理有：(1)各点的虚位移如下：代入(1)式整理可得：对任意可得：，方向如图所示。2.求固定端A处的约束力解除A端的约束，代之以，并将其视为主动力，系统还受到主动力的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移和梁AC的转角为广义坐标。 2a.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时整个结构平移，如上图所示。由虚位移原理有：(2)各点的虚位移如下：代入(2)式整理可得：对任意可得：，方向如图所示。2b.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 ，此时梁AC向上平移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。由虚位移原理有：(3)各点的虚位移如下：代入(3)式整理可得：对任意可得：，方向如图所示。2c.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时梁AC绕A点转动，梁CDB平移，如上图所示。由虚位移原理有：(4)各点的虚位移如下：代入(4)式整理可得：对任意可得：，顺时针方向。 4-8解：假设各杆受拉，杆长均为a。1．求杆1受力去掉杆1，代之以力，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A点转动，因此有，且：滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B点不动。三角形BEK绕B点旋转，且：对刚性杆CD和杆CE，由于，因此。由虚位移原理有：代入各点的虚位移整理可得：对任意可得：（受压）。2．求杆2受力去掉杆2，代之以力，系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角 为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点转动，因此有，且：同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转，且：杆AD绕A点转动，由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如图所示，且：同理可知。由虚位移原理有：代入各点的虚位移整理可得：对任意可得：（受压）。3．求杆3受力去掉杆3，代之以力，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动，，且：同理可知B点不动，，且：由虚位移原理有： 代入各点的虚位移整理可得：对任意可得：（受拉）。θ4-12铅垂力F为常力解：F大小和方向不变，常力也是有势力。取杆和弹簧构成的系统为研究对象。该系统为保守系统，有一个自由度，选为广义坐标，如图所示。取为零势能位置，则系统在任意位置的势能为：由平衡条件可得：有：和即：和也就是：和两个平衡位置。为判断平衡的稳定性，取势能V的二阶导数：当时，，即时是不稳定平衡。 当时，由上式可知：1．当且时，即是稳定平衡位置；2．当且时，即是不稳定平衡位置。OxyhCθθβ4-15解：取半径为r的半圆柱为研究对象，圆心为C。半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个半圆心连线与y轴夹角为广义坐标。作用在半圆柱上的主动力为重力，系统为保守系统，如图所示，其中。由于半圆柱作纯滚动，有：（1）取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位置的势能为： 代入（1）式有：由平衡条件可得为平衡位置。势能V的二阶导数：由上式可得当，是稳定的。'