2012版金融计量学课后习题答案.pdf 15页

'《金融计量学-时间序列分析视角》中国人民大学出版社2012年出版课后习题答案张成思zhangcs@ruc.edu.cn 第1章（略）第2章1、解：（1）y=c+αy；t0t−1y=c+αy；t−10t−2y=c+αy；t−20t−3…y=c+αy；100由此，yt=c0+α()c0+αyt−2()2=1+αc+αy0t−2()2()=1+αc+αc+αy00t−3…()2t−1t=1+α+α+…+αc+αy00t−1it=c0∑α+αy0i=0（2）只有当α≠1时，E2才可以化为E3式。c0若α<1，那么y就是一个收敛的序列，极限为y=。tt1−α若α>1，那么y就是一个发散的序列。t若α<1，那么E1式可以写为()1−αLy=ct0()()−1−1y=1−αLc=1−αct00（3）当α=1时，E1属于一个带截距项的随机游走过程。1 2、（1）y=c+αy+bε+bεt0t−11t2t−1(1-αL)y=c+bε+bεt01t2t−1因为α<1，所以-1-1y=(1-αL)c+(1-αL)（bε+bε）t01t2t−1-12233=(1-α)c+(1+αL+αL+αL+…（)bε+bε）01t2t−1-12t=(1-α)c+(bε+αbε+αbε+…+αbε)+01t1t−11t−2102t−1（bε+αbε+αbε+…+αbε）2t−12t−22t−320-1()()t−1()=(1-α)c+bε+αb+bε+ααb+bε+…+ααb+bε01t12t−112t−2120（2）ε对y的动态乘数为tt+i∂yt+jj−1()=ααb+b12∂εt（3）∂y∂y∂y∂yt+jt+jt+jt+j+++…+∂ε∂ε∂ε∂εtt+1t+2t+jj−1()()()j−2=ααb+b+ααb+b+…+αb+b+b1212121jj−1ii=b1∑α+b2∑αi=0i=03、2（1）特征方程：λ−1.2λ+0.2=0，解方程得，λ=1，λ=0.2.有一个单位根，12是非平稳的。2逆特征方程：1−1.2z+0.2z=0，解方程得，z=1，z=5.（互为倒数），122（2）特征方程：λ−1.2λ+0.4=0，解方程，无实数解，复数解为22λ=0.6+0.2i，λ=0.6−0.2i.。根的模为0.6+0.2=0.632，在单位圆内，12所以是平稳的。2逆特征方程：1−1.2z+0.4z=0，解略。2 2（3）特征方程：λ−1.2λ−1.2=0，解方程得，λ=1.85，λ=−0.65.有一个12根位于单位圆外，是非平稳的。2逆特征方程：1−1.2z−1.2z=0，解方程得，z=0.54，z=−1.54.（互12为倒数），有一个根位于单位圆内，是非平稳的。2（4）特征方程：λ−1.5λ+0.5=0，解方程得，λ=1，λ=0.5.有一个单位根，12是非平稳的。2逆特征方程：1−1.5z+0.5z=0，解方程得，z=1，z=2.（互为倒数），12有一个单位根，是非平稳的。3 第3章4、（1）平稳性条件：2特征方程：λ−αλ−α=0根都在单位圆内。122逆特征方程：1−αz−αz=0根都在单位圆外。12（2）将方程改写为(2)1−αL−αLy=c+ε12tt因为平稳性满足，所以可以写为−12−1y=()1−α−αc+()1−αL−αLεt1212t−12−1μ=E(y)=()1−α−αc+()1−αL−αLE(ε)t1212t()−1=1−α−αc12（3）证明：将c=()1−α−αμ代入原方程，得到12y−μ=α（y−μ）+α（y−μ）t1t2t令yˆ=y−μ,则ttyˆ=αyˆ+αyˆt1t−12t−2那么，γ=E()yˆyˆ=E()αyˆ+αyˆyˆjtt−j1t−12t−2t−j=αE()()yˆyˆ+αEyˆyˆ1t−1t−j2t−2t−j=αγ+αγ1j−12j−2两边同时除以γ，得到0ρ=αρ+αρj1j−12j−2 （4）ρ=αρ+αρ1102−1=αρ+αρ1021α1所以ρ=；11−α2ρ=αρ+αρ21120=αρ+α112222αα−α+α1122=+α=21−α1−α22（5）当α=0.6，α=0.3时，12α1ρ==0.86；11−α222α−α+α122ρ==0.81.21−α25 第4章1、（1）解：μ=E（y）=E()ε−θε−θε=0tt1t−12t−222()()σ=E（y−μ）=Eε−θε−θεε−θε−θεytt1t−12t−2t1t−12t−2()222=1+θ+θE(ε)12t()222=1+θ+θσ12ε（2）解：γ=E(yy)=E(ε−θε−θε)(ε−θε−θε)0ttt1t−12t−2t1t−12t−2()222=1+θ+θσ12εγ=E(yy)=E()ε−θε−θε()ε−θε−θε1tt−1t1t−12t−2t−11t−22t−32=(θθ−θ)σ121εγ=E(yy)=E()ε−θε−θε()ε−θε−θε2tt−2t1t−12t−2t−21t−32t−42=−θσ2ε所以，γθθ−θγ−θ112122ρ==，ρ==。122222γ01+θ1+θ2γ01+θ1+θ2（3）该模型在任何情况下都是平稳的，因为其右边由是一系列白噪音过程的叠加。可逆条件为逆特征方程的根位于单位圆外。2、证明：(2p)令α(L)=1−αL−αL−…−αL12p()2mφ(L)=1−φL−φL−…−φL,则12mφ(L)e=εtt−1⇒e=φ(L)εtt代入α(L)y=c+e中，得tt−1α(L)y=c+φ(L)ε，tt⇒α(L)φ(L)y=φ(L)c+εtt因为()2p()2mα(L)φ(L)=1−αL−αL−…−αL1−φL−φL−…−φL12p12mm+p=αφL+……pm最高阶为m+p,所以y服从AR(m+p)过程。t 3、（1）方程可以改写为(1−αL)y=c+(1−θL)ε1t1t−1两边同时乘以(1−αL)，得1−1−1y=(1−α)c+(1−αL)(1−θL)εt111t−122=(1−α)c+(1+αL+αL+……)(1−θL)ε1111t−122223=(1−α)c+(1+αL+αL+……−θL−αθL−αθL−……）11111111−12=(1−α)c+ε−(θ−α)ε−α(θ−α)ε−α(θ−α)ε−……1t11t−1111t−2111t−3（2）(1−αL)y=c+(1−θL)ε1t1t−1两边同时乘以(1−θL)，得1−1−1(1−αL)(1−θ)y=(1−θ)c+ε11t1t22−1⇒(1−αL)(1+θL+θL+……)y=(1−θ)c+ε111t1t22223−1⇒(1+θL+θL+……−αL−αθL−αθL−……）y=(1−θ)c+ε1111111t1t{}2−1⇒1+(θ−α)+θ(θ−α)+θ(θ−α)+……y=(1−θ)c+ε11111111t1t−12⇒y=(1−θ)c−(θ−α)y−θ(θ−α)y−θ(θ−α)y+……+εt111t−1111t−2111t−3t（3）结论变为−1y=(1−α)c+εt1t−1y=(1−θ)c+εt1t7 第5章（略）第6章2、解：y=αy+αy+αy+…+αy+εt1t−12t−23t−3pt−pt()23p⇒1−αL+αL+αL+…+αLy=ε123ptt因为有一个单位根，将方程改写为()*⇒1−Lα(L)y=εtt*⇒(y−y)α(L)=εtt−1t*⇒Δyα(L)=εtt*α(L)已经不再含有单位根，所以Δy是平稳序列。t3、解：真实方程：y=y+ett−1t假设回归：y=c+βt+εtt得到以下结果：y=cˆ+βˆt+εˆtt对y去除时间趋势，即t*y=y−cˆ−βˆt，ttt同时，由于yti=+ye0∑，（具体过程参考课本），则有i=1y*=y−cˆ−βˆtttt=y+∑e−cˆ−βˆt0ii=1t=(y−cˆ)−βˆt+∑e0ii=1t由于(y0−cˆ)为常数，∑ei为一平稳过程，而在上述方程中，i=1还包括一个趋势项βˆt，所以y*并不是一个平稳序列。t 第7章1、（1）证明：y=c+αy+αy+εt1t−12t−2t⇒y−y=c+(α−1)y+αy+εtt−11t−12t−2t⇒Δy=c+(α+α−1)y−α(y−y)+εt12t−12t−1t−2t⇒Δy=c+(α+α−1)y−αΔy+εt12t−12t−1t即可证明（2）证明：若y~I(1)，说明y存在一个单位根，一阶差分平稳，所以ttΔy=c+(α+α−1)y−αΔy+ε是一个平稳过程，t12t−12t−1t那么α+α−1=0才能满足条件，12所以α+α=1122、对于高于二阶的情况，需要从倒数第一项α开始往前推导，pAP(p)过程y=c+αy+αy+αy+…+αy+εt1t−12t−23t−3pt−pt⇒y=c+αy+αy+αy+…+（α+α）y−α（y−y）+εt1t−12t−23t−3p−1pt−p+1pt−p+1t−pt……⇒y=c+αy−（α+α+α+…+α）(y−y)−（α+α+…+α）Δyt1t−1234pt−1t−234pt−2+…−（α+α）Δy−αΔy+εp−1pt−p+2pt−p+1t⇒y−y=c+(α+α+α+α+…+α−1)y−(α+α+α+…+α）Δytt−11234pt−1234pt−1−（α+α+…+α）Δy+…−（α+α）Δy−αΔy+ε34pt−2p−1pt−p+2pt−p+1t⇒Δy=c+(α+α+α+α+…+α−1)y−(α+α+α+…+α）Δyt1234pt−1234pt−1−（α+α+…+α）Δy+…−（α+α）Δy−αΔy+ε34pt−2p−1pt−p+2pt−p+1tppp⇒Δyt=c+(∑αi−1)yt−1−∑αiΔyt−1−∑αiΔyt−2i=1i=2i=3+…−（α+α）Δy−αΔy+εp−1pt−p+2pt−p+1t所以pΔyt=c+αyt−1+∑φiΔyt−(i−1)+εti=2pα=∑αi−1i=1pφi=−∑αij=i 第8章1、判断VAR（1）是否为平稳系统，主要看其矩阵Φ（z）=I−Φz=的特n1征根是否在单位圆外。1−0.9z−0.1zΦ（z）=I−Φz==()z−1(0.8z−1)=01−0.1z1−0.9z5得到z=1,z=124有一个单位根，系统不平稳2、①将方程改写为()I−ΦLy=εtt()−1y=I−ΦLεtt()22=I+ΦL+ΦL+.........εt=ε+Φε+Φ2.ε+.........tt−1t−2∞=∑Ψjεt−jj=0j12其中Ψ=Φ，Ψ=I,Ψ=Φ,Ψ=Φj012②（原题需要假定当t>0时，ε=0）t⎛⎞1yI=Φ×+×0ε=⎜⎟00⎝⎠1⎛⎞0.60.11⎛⎞y=+Ψ=+Φ=εε0ε⎜⎟⎜⎟11100⎝⎠−0.61.11⎝⎠2⎛⎞0.60.1⎛⎞1y=+εεεΨ+Ψ=++00⎜⎟⎜⎟221120⎝⎠−0.61.1⎝⎠1③（原题需要假定当t>0时，ε=0；并且问题应改为“证明通过（2）中获得的t结果可以直接求出y1和y2在j=0,1,2时的脉冲响应函数”）10 2因为y=ε+Φε+Φ.ε+.........ttt−1t−2y,y在j=0时的脉冲响应函数为12⎛∂y11∂y11⎞⎜⎟∂yt=⎜∂ε11∂ε12⎟=I=⎛⎜10⎞⎟∂ε⎜∂y12∂y12⎟⎜⎝01⎟⎠t⎜⎟∂ε∂ε⎝1112⎠y,y在j=1时的脉冲响应函数为12⎛∂y21∂y21⎞⎜⎟∂yt+1=⎜∂ε11∂ε12⎟=Φ=⎛⎜0.60.1⎞⎟∂ε⎜∂y22∂y22⎟⎜⎝−0.61.1⎟⎠t⎜⎟∂ε∂ε⎝1112⎠y,y在j=2时的脉冲响应函数为12⎛∂y31∂y31⎞⎜⎟2∂yt+2⎜∂ε11∂ε12⎟2⎛0.60.1⎞⎛0.30.17⎞=⎜∂∂⎟=Φ=⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟∂εty32y32⎝−0.61.1⎠⎝−1.021.15⎠⎜⎟∂ε∂ε⎝1112⎠11 第9章（略）第10章1、①证明：Y=ΦY+ΦY+ΦY+εt1t−12t−23t−3t⇒Y=ΦY+(Φ+Φ)Y−Φ(Y−Y)+εt1t−123t−23t−2t−3t⇒Y=(Φ+Φ+Φ)Y−(Φ+Φ)(Y−Y)−Φ(Y−Y)+εt123t−123t−1t−23t−2t−3t⇒Y−Y=(Φ+Φ+Φ−I)Y−(Φ+Φ)(Y−Y)−Φ(Y−Y)+εtt−1123t−123t−1t−23t−2t−3t⇒ΔY=(Φ+Φ+Φ−I)Y−(Φ+Φ)ΔY−ΦΔY+εt123t−123t−13t−2t[2]⇒I+(Φ+Φ)L+ΦLΔY=(Φ+Φ+Φ−I)Y+ε233t123t−1t*2令Φ(L)=I+(Φ+Φ)L+ΦL2333Π=∑Φi−Ii=1*⇒Φ(L)ΔY=ΠY+εtt−1t即证*2②Φ(L)=I+(Φ+Φ)L+ΦL2332、①证明：考察矩阵Φ（z）=I−Φz=0的特征根n1⎛1−0.9z−0.1z⎞Φ（z）=I−Φz=⎜⎟=(1−z)(0.8z−1)=1n1⎜⎟⎝−0.1z1−0.9z⎠5得到z=1,z=124有一个单位根，而其他根落于单位圆外，所以VAR模型系统的所有变量均为I（1）过程。 ②Y=ΦY+εt1t−1t变形为ΔY=(Φ−I)Y+εt1t−1t⎛0.9−10.1⎞⇒ΔY=⎜⎟Y+εt⎜⎟t−1t⎝0.10.9−1⎠⎛−0.10.1⎞⇒ΔY=⎜⎟Y+εt⎜⎟t−1t⎝0.1−0.1⎠⎛−0.1⎞⇒ΔY=⎜⎟()1−1Y+εt⎜⎟t−1t⎝0.1⎠⎛−0.1⎞⇒ΔY=⎜⎟()y−y+εt⎜⎟1t−12t−1t⎝0.1⎠所以存在协整关系Z=y−yt1t2t"()协整向量为B=1−1③由上题可得系统的VECM形式Δy=−0.1()y−y+ε1t1t−12t−11tΔy=0.1()y−y+ε2t1t−12t−12t④系统存在y=y的长期均衡关系，Z=y−y捕捉了y1t相对于y2t的非1t−12t−1t1t2t均衡状态，当y1t超过y2t时，Zt>0，当y1t小于y2t时，Zt<0.若Zt>0时，-0.1表示y2t不变时，y1t在t期变化，消除前一期10%的非均衡值。0.1表示y1t不变时，y2t在t期变化，增加前一期10%的非均衡值。13 第11章1、证明：222将σ=c+αu+βσtt−1t−1()22改写为1−βLσ=c+αutt−1⇒σ2=c()()1−βL−1+α1−βL−1u2tt−1∞2()−1j−12⇒σt=c1−β+α∑βut−1j=1所以原模型变为"2y=xφ+u,u~(0,σ)ttttt∞2()−1j−12σt=c1−β+α∑βut−1j=1即为ARCH（∞）的形式。第12-14章（略）'