《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案三.doc 19页

'《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案习题三（A）1．根据导数定义求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）解：(1)(2)）(3)(4)2．求下列曲线在指定条件下的切线方程；（1）曲线的与直线平行的切线；（2）余弦曲线在点处的切线；（3）双曲线的经过点（2，0）的切线.。解：(1)则直线可得或。斜率为5，且经过或的斜率为y=5x-3或(2)-1=当x=时斜率为且经过的斜线为(3)得直线为过 则在上,代入3．如一直线运动的运动方程为求在时运动的瞬时速度.解：当时，4．设函数在点可导，求：（1）（2）（3），如已知解：(1)(2)(3)5．设可导，求.解：6．设函数在点连续，且极限问函数在点处是否可导？若可导，求解：在点连续，7．求函数的不可导点. 解：当时，即或当时，即，为的为不可导点8．设在什么条件下可使在点处（1）连续；（2）可导；（3）导数连续.解：为有界函数函数1）连续2）可导存在此时3）导数连续若再处连续，则9．设可导且证明在点可导，并求解：10．对于函数如存在，是否必存在？解：不一定，如，此极限在处为，但不存在 11．设，(1)若在点连续，求；(2)若点是的间断点，是否在处必不可导，为什么？解：1)2)如，则.如不存在，则不存在.12．设函数则下列结论正确的是（）.A．在点间断B．在点连续，但不可导C．在点可导，但在点间断D．在点连续解：D.，，时在点连续13．设为可导函数，且满足求曲线在点处切线的方程.解：则4+f(1)=0f(1)=4 所以k=2且经过则切线为14．设是偶函数，且在点可导，证明：解：f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),两边求导为:所以当x=0时，等式变为所以15．求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）解：1)2)3)4)5) 6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)16)=16．应用反函数求导法则证明：（1）（2）解：1) 2)17．设函数有反函数，且曲线在点（2，1）处的切线方程为，求常数a，b.解：因为函数有反函数，且曲线在点（2，1）处的切线方程为，所以函数f(x)过点(1,2),又因为曲线在点（2，1）处的切线方程为，所以a=1,b=2.18．求下列分段函数的，（1）（2）解：1)=2)19．求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10） （11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）常数可导）；（21）（22）（23）（24）（25）（26）（27）（28）解：1)2)3)4).5) 6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)16)17)18) 19)20)21)22)23)24)25)，即，所以，即所以； 26)27)28),即,所以,即所以20．设可导，求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）解：1）2）3）4）21．设求解： 22．设在点可导，求.解：因为在处可导，所以在处一定连续.所以有，即，所以23．设曲线与相切，求.解：因为曲线与在处相切，所以，即,所以,此时.所以,所以.24．设是可导周期函数，证明也是周期函数.解：因为是可导周期函数，设为的周期，所以,所以,所以也是周期函数。25．证明双曲线上任意一点的切线与轴围成的三角形的面积为一常数.解：，,任取一点,则有，则切线方程为，与轴的交点为，与轴的交点为，则围成的三角形面积为,为一常数。26．求下列函数的二阶导数：（1）（2）（3）（4） （5）（6）有二阶导数）.解：1）2）3）4）5）6）27．求下列函数的阶导数：（1）（2）（3）（4）解：1）2）3）4），令，则即28．设的阶导数求 解：因为的阶导数，所以所以29．设函数在上满足，求解：因为，令,则(式1),令,则(式2)。(式1)*2-(式2)=>.所以,即30．求出函数在依次等于时的改变量与微分的差，并比较所得结果.解：，当依次等于时，依次等于，所以愈小则愈小，后者为前者的2阶无穷小31．求下列函数的微分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：1）2）3）4） 5）6）7）8）32．证明当很小时，下列近似式成立：（即当时误差是的高阶无穷小）（1）（2）（3）（4）解：1)（罗必大法则）.所以.2)（微分求近似解）3).4)33．求下列诸数的近似值：（1）（2）解：1）2）34．一球形薄壳，其处半径为2米，厚度为0.1厘米，如已知用材每米的重量为公斤，求此球壳重的精确值和近似值.解： m的精确值35．设一圆柱体的高为25cm，底半径为求圆柱体体积和侧面积的绝对误差和相对误差.解：1）36．已知某商品的成本函数为.求当产量Q=120时的总成本和边际成本.解：（总成本）（边际成本）37．设某产品的销量Q与从价格P之间的关系为（元），求收益函数及当Q=100（件）时的总收益与边际收益.解：元（总收益）元38．设生产某产品的固定成本为60000元，可变成本为每件20元，价格函数为其中Q为销量.设供销平衡，求：（1）边际利润；（2）当P=10元时价格上涨1%，收益增加（还是减少）的百分数？解：1）2）当元时，总收益元P上涨1%，则Q增加3990元，增加48% 39．设某商品的需求函数为求当时的需求价格弹性和收益价格弹性，并说明其实际含义.解：当时40．设某商品的供给函数为，求供给价格弹性函数及当时的供给价格弹性，并说明其实际含义.解：供给价格弹性函数当时,所以当价格从3提升1%时供给从11增加0.82%。41．对下列需求函数，当在什么范围变动时需求是高弹性或低弹性？（1）（2）解：1)所以当时是低弹性，即。当时是高弹性，即.2)所以当时是低弹性,即，当时是高弹性，即（因为）42．设某商品的需求函数为，如需求弹性小于-1，求商品价格的取值范围.解： 因为（B）1．单项选择题（1）设在点处均可异，且则A．-2B．0C．2D．4（2）函数在点处（C）.A.不连续B.连续，但其图形无切线C.其图形有垂直的切线D.可微（3）设函数在点处可异，则A．-1B．0C．1D．（4）函数在点处的导数为（D）.A．-1B．0C．1D．不存在（5）设函数则在处（C）.A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导（6）设函数在点处可导，则函数在点处不可导的充分条件是（B）.A.且B.且且C.且D.且且解：1)3）4），，所以.所以在处的导数不存在。 5）有界所以连续所以在处不可导.6）若在a处可导,而在a处不可导即且2．填空题（1）设为奇函数，且则.（2）若拋物线在其上一点处的切线经过原点，则应满足的条件是.（3）设是不恒等于0的奇函数，且存在，则是的间断点.（4）设函数，则.（5）则.解：1）因为,两边求导数，,所以,所以；2）设切线方程为,经过原点，则,设，则所以任意；3）因为设是奇函数，所以,所以是的可去间断点.4）5）'