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- 2022-04-22 11:25:48 发布
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'习题四(A)1.判断下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理条件,若满足条件,求出相应的ξ值.(1)f(x)=x6−x在[0,6]上;(2)f(x)=3x在[1−,1]上.x解:(1)f"(x)=6-x−=026−x⇒x=4∈[0,6]∴满足21−(2)f(x)=x3≠03∴不满足2.下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日定理条件?如满足,求出相应的ξ值3⎡π⎤(1)f(x)=x+2x在[0,a]上;(2)f(x)=sinx在⎢0,⎥上.⎣2⎦解:(1)f"(x)=3x+2f(0)=0f(a)=a3+2af(a)−f(0)223=f"(ε)⇒a+2=3ε+2⇒ε=aa3∴满足(2)f(x)=cosxπf(0)=0f()=12πf()−f(0)222π=f"(ε)⇒=cosε⇒ε=arccos∈(0,)πππ22∴满足3.证明:π(1)arcsinx+arccosx=;(2)arctanb−arctana≤b−a(a0(a0
∴存在a∈(a,c),β∈(c,b)使得f"(a)>0,f"(β)<0且x∈(α,β),f"(x)递减∴Eε∈(a,b)使f"(ε)<09.设f(x)在(a,b)中有n+1阶导数,求(x−x0)的n次多项式P(x)=a+a(x+x)+a(x−x)2+⋯+a(x−x)nn01020n0使得(k)()(k)()(0,1,2,,)Pnx0=fx0k=⋯nf(n)(x)解:P(n)(x)=n!a=f(n)(x)⇒a=0n0n0nn!f(n−1)(x)P(n−1)(x)=(n−1)!a=f(n−1)(x)⇒a=0n0n−10n−1(n−1)!依此类推,可得a0=f(x0),a1=f"(x0)21xsin10.极限limx能否用洛必达法则计算?其值为何?x→0sinx解:不能2121xsinxsinxx1lim=lim=limxsin==0x→0sinxx→0sinxx→0x11.求下列极限:x4−16(1+x)π−1(1)lim;(2)lim;x→2x−2x→0xlncotxex−e−x−2x(3)lim;(4)lim;x→0lnxx→0x−sinx3ln(xlnx)esinx−1(5)lim(a>0);(6)lim;x→∞xax→0x(1−cosx)f(a+h)+f(a−h)−2f(a)(7)lim(设f"(x)在)x=a点邻近连续).h→0h2x4−164x3(1+x)x−1解:(1)limlim=32(2)lim=limπ(1+x)x−1=πx→2x−2x→21x→0xx→012(−cscx)(3)lncotxcotx−2xlim=lim=lim=−1x→0+lnxx→0+1x→0sin2xxex−e−x−2xex+e−x−2ex−e−xex+e−x(4)lim=lim=lim=lim=2x→0x−sinxx→01−cosxx→0sinxx→0cosx
ln(xlnx)lnx+1⎛11⎞(5)lima=lima=lim⎜⎜a+a⎟⎟=0x→∞xx→∞axln+xx→∞⎝axaxlnx⎠3xesin−1x3(6)lim=lim=2x→0x(1−cosx)x→0x2xxf(a+h)+f(a−h)−2f(a)f(a+h)+f(a)−[f(a)−f(a−h)]1(7)lim=lim.h→0h2h→0hhf"(a)−f"(a−h)=lim=f"(a)h→0h12.求下列极限:1(1)lim⎛x−1⎞⎟;(2)lim⎛1−1⎞;(3)lim(1−x)tanπx;(4)limx1−x;⎜⎜⎜x⎟⎟x→1⎝x−1lnx⎠x→0⎝xe−1⎠x→12x→11⎛1⎞x⎛π⎞lnx11(5)lim1+;(6)lim⎜−arctanx⎟;(7)limcotx⎛⎜−⎞⎟;x→0⎜⎜⎝x2⎟⎟⎠x→+∞⎝2⎠x→0⎝sinxx⎠11(8)lim(cotx)lnx;(9)lim(x+ex)x;(10)lim(arcsinx)tanx.+++x→0x→0x→01⎛x1⎞xlnx−x+1lnxx1解:(1)lim⎜−⎟=lim=lim=lim=x→1⎝x−1lnx⎠x→1lnx(x−1)x→11x→11121−+lnx+xx2x11ex−1−xex−1ex1⎛⎞(2)lim⎜⎜−x⎟⎟=limx=limxx=limxx=x→0⎝xe−1⎠x→0x(e−1)x→0e−1+xex→02e+xe2πxπxππx(1−x)sin−sin+cos(1−x)(3)lim(1−x)tanπx=lim2=lim222=2x→12x→1πxx→1ππxπcos−sin2221hxlnx1−lim1−lim1(4)limx1−x=lime1x=ex→1x=ex→1x=x→1x→1e⎛1⎞ln⎜1+⎟2⎝x⎠⎛1⎞xlim→012x2xxln⎜1+⎟lim⎛1⎞⎝x2⎠xx→0x3+x(5)lim⎜⎜1+2⎟⎟=lime=e=e=1x→0⎝x⎠x→0⎛π⎞1ln⎜−arctanx⎟⎝2⎠⎛π⎞hxx1(6)lim⎜−arctanx⎟=limehx=lime=x→∞⎝2⎠x→∞x→∞⎛π⎞2e⎜−arctanx⎟(1+x)⎝2⎠⎛x2⎞⎛x3⎞⎜1−⎟⎜x−x+⎟⎛11⎞cosx(x−sinx)⎜⎝2⎟⎠⎜⎝3!⎟⎠1(7)limcotx⎜−⎟=lim=lim=x→0⎝sinxx⎠x→0sin2xx→0x36
12(−cscx)cotxlimlncotxx→0+1lim+1(8)lim(cotx)1=limelnx=ex=ex→0+cosx=1+lnx+ex→0x→011x+ex−1x+ex−1(9)lim(x+ex)x=lim[1+(x+ex−1)]=lime=e2x→0x→0x+ex−1xx→0x2sinx1(10)tanxtanxlnarcsinxlnarcsinxarcsinx1−x20lim(arcsinx)=lime=lime=lime=e=1+++cotx+x→0x→0x→0x→013.设⎧sinx⎪,x>0,f(x)=⎨x⎪⎩ax+b,x≤0在x=0点可导,求a,bsinx⎫limf(x)=lim=1⎪解:x→0+x→0+x⇒b=1⎬limf(x)=lim(ax+b)=b⎪−−x→0x→0⎭sinx⎫−1⎪f"(0+)=limx=0⎪⎬⇒a=0x→0x⎪f"(0−)=a⎪⎭14.设当x→0时f(x)=ex−(ax2+bx+1)=o(x2)求常数a,b.f(x)(ax2+bx+1)ex−b−2axex−2a解:lim=limex−=lim=limx→0x2x→0x2x→02xx→02xx1从而可得lim(e−b)=0⇒b=1,lim(e−2a)=0⇒a=x→0x→0215.求下列函数的单调区间:x2(1)y=x4−2x2+2;(2)y=x−ex;(3)y=;(4)y=2x2−lnx.1+x解:(1)y"=4x3−4x=0⇒x=0,x=1,x=−1123所以,当x∈(−1,0)∪(1,+∞)单调增当x∈(−∞,−1)∪(0,1)调减(2)y"=1−ex=0⇒x=0所以,当x<0单调增当x>0单调减
2x(1+x)-x22x+x2(3)y"=2=2=0⇒x1=0,x2=−2(1+x)(1+x)所以,当x<−2单调增当−2≤x<0单调减当x≥0单调增11(4)y"=4x-=0⇒x=±x21所以,当x<−单调增211当−≤x<单调减221当x≥单调增216.证明下列不等式:x1(1)e>ex(x>1);(2)2x>3−(x>1);xx2lnxx(3)x>sinx>x−(x>0);(4)1<2(x2>x1>1).2lnx2x1解:(1)令F(x)=ex−ex(x>1)F"(x)=ex−e当x>1时,F"(x)>0且limF(x)=0x→1∴F(x)>0得证1(2)令F(x)=2x−(x>1)x11F"(x)=+>0xx2且limF(x)=3+x→1得证(3)令F(x)=sinx−x(x>0)F"(x)=cosx-1≤0且limF(x)=0x→1∴x>sinxx2令G(x)=sinx−x+2G"(x)=cosx+x−1
G"(x)=-sinx+1>0又limG"(x)=0+x→0∴G(x)>0x2∴sinx>x−2综上得证(4)令F(x)=xlnx(x>1)F(x)=lnx+1>0∴F(x2)>F(x2)(x2>x1>1)∴得证17.设p,q∈Z+,p,q>2,试比较pq与qp的大小.(提示:利用函数f(x)=lnx/x的单调性).lnx解:令f(x)=(x>2)x1−lnxf(x)=x2∴1°当20若p>q则f(p)>f(q)lnplnqpq>pqpq∴qlnp>plnq∴eqlnp>eplnqqlnpplnq∴e>e2°当x≥ef"(x)<0同理若p>q则pq0,f"(x)>0,则f(x)在(a,b)上(B).A.单调上升,下凸B.单调上升,上凸C.单调下降,下凸D.单调下降,上凸解:Bf"(x)>0f"(x)<019.给定曲线C:y=f(x)(x∈I),已知y"=f"(x)的图形如4-17,则曲线C在(−∞,+∞)上是(C).A.下凸的B.上凸的
图4-17C.单调上升的D.单调下降的解:C20.确定下列曲线的上、下凸区间和拐点:1x2(1)y=x2−x3;(2)y=;(3)y=xex;(4)y=.4−2x+x2x−1解:(1)y"=2x−3x2y"=2−6x=01x=312∴拐点(,)3271当x∈(−∞,)下凸31当x∈(,+∞)上凸31(2)y=(x+1)2+3-2(x-1)y"[(x+1)2+3]2-2[(x+1)2+3]2+8(x−1)2[(x+1)2+3]y"==0[(x+1)2+3]4∴x1=0x2=211∴拐点(0,)(2,)44在(−∞,0)∪(2,+∞)下凸在(0,2)上凸(3)y"=ex+xexy"=2ex+xex=0∴x=−22∴拐点(−2,)e2在(−∞,-2)上凸
在(-2,+∞)上凸x2(4)y=x−12x(x-1)-x2x2−2xy"==(x−1)2(x−1)22(x-1)3-2(x-1)(x2-2x)y"==0(x−1)4x无解∴无拐点当x=1时y"不存在∴在(-∞,1)上凸在(1,+∞)下凸21.设f(x)在(a,b)上有连续的三阶导数,若有c∈(a,b)使得f"(c)=0,且,f""(c)≠0,则点P(c,f(c))必是曲线Γ:y=f(x)(x∈(a,b))的拐点吗?解:f"(c)=0f""(x)≠0⇒在点P(c,f(c))两侧f"(x)异号⇒P(c,f(c))是拐点22.讨论下列函数的凸性:43(1)y=x;(2)y=(2x−5)3x2.1244解:(1)y"=x3y"=x3>039∴凸212(2)y"=2x3+(2x−5)x331144-4-2-y"=x3+x3−(2x−5)x3=03391∴x=-当x=0y"不存在21∴(−∞,-)凹21(−,0)和(0,+∞)凸223.求下列函数的极值322x2−x(1)y=x−3x+7;(1)y=;(3)y=xe;1+x2(4)2323x−xy=(x−2)•x;(5)y=(x−1)(x+1);(6)y=2e+e.解:(1)y"=3x2−6x=0⇒x=0x=212y"=6x-6y"(0)=-6y"(2)=6∴极大值为7,极小值为3
2(1+x2)-4x2(2)y"=22=0⇒x1=1x2=−1(4+x)4x(1+x2)−4(2−2x2)(1+x2)3−2xy"=y"(1)=-8y"(-1)=8(1+x2)4∴极大值为1,极小值为-1(3)y"=2xe−x−x2e−x=0⇒x=0x=212y"=2xe-x−4xe−x+x2e−x=(2−4x+x2)e−x∴y"(0)=2y"(2)=-2e−2∴极大值y(2)=4e−2极小值y(0)=021(4)32231y=2(x−2)x+(x−2)x=0⇒x1=2x2=不可导点x3=032由第一判别法知193∴极大值y()=228极小值y(0)=y(2)=0(5)y=(x−1)(x+1)3321y"=(x+1)+3(x−1)(x+1)=0⇒x1=−1x2=2因y在x=−1两侧同号故x1=−1非极值点127极小值y()=−216x−x1(6)y"=2e−e=0⇒x1=−ln22x−x12y"=2e+ey"(-ln2)=2212∴极小值y(−ln1)=2224.求c使方程f(x)=x3−3x+c有(1)1个;(2)2个;(3)3个实根数(重根以一个计).解:f"(x)=3(x-1)⇒x=±1f"(x)=6x∴极大值f(−1)=2+C极小值f(1)=C−2∴1°1根2+C<0或C−2>0∴C<−2或C>2
∴2°2根2+C=0或C−2=0∴C=−2或C=2∴3°3根2+C>0或C−2<0∴−20y(0)=c=1∴a=1b=−3c=127.求下列函数在指定区间上的最大值和最小值:x21(1)32,⎡⎤;y=2x(x−6),[-2,4];(2)y=⎢−,1⎥1+x⎣2⎦32⎡1⎤2⎡π⎤(3)y=(x−1)x,⎢−1,⎥(4)y=2tanx−tanx,⎢0,⎥.⎣2⎦⎣3⎦4x(x−6)+2x2解:(1)y"==0⇒x=4x=0时y"不存在223[2x(x−6)]3y(0)=0y(-2)=y(4)=-4∴最大值y(0)=0最小值y(−2)=−42x(1+x)-x2x2+2x(2)y"===0(1+x)2(1+x)2∴x1=0x2=−2x3=−1时y"不存在y(0)=011y(−)=y(1)=22∴最小值y(0)=01最大值2
212−(3)y"=x3+(x−1)x3=032∴x1=x2=0时y"不存在5111123⎛4⎞3y(0)=0y(-1)=-2y()=−y()=-⎜⎟22155⎝25⎠43∴最小值y(0)=0最大值y(−1)=−2(4)y"=2secx-2tanxsecx=0π∴x=4ππ3y()=1y(0)=0y()=3−434π∴最大值y=()=14最小值y(0)=028.用截面是直径为d的圆形木材加工成截面为矩形的梁,如矩形的底为b,高为h,则梁的强度y=kbh2(k为常数),问b,h为何值时y最大?2b2h2d2解:y=kbh()+()=()222∴y=kb(d2−b2)(04问x为多少时总利润最大?解:1°当0≤x≤4时12Q=4x−x−2(2+x)2Q"=3-x=05∴x=3Q=22°当x>4时Q=8−(2+x)=6−xQ"=-1∴无最大值5∴x=3Q=234.某商店每周购进一批商品,进价为6(元/件),如零售价定为10(元/件)可售出120(件)当售价降低0.5(元/件)时,销量增加20(件),问售价p定为多少和每周进货多少时利润最大,其值为何?解:利润R⎡10−p⎤R=(P−6)⎢120+20⎥⎣0.5⎦=(P−6)[120+40(10−P)]R"=120+400-40P−40(P−6)=0∴P=9.5进货量为140最大利润为49035.求下列曲线的水平和竖直渐近线:1x2−e1sinx(1)y=;(2)y=ex;(3)y=;(4)y=(5)y=.1+3e−x1+xxx(x−1)1−e1−x解:(1)limy=2limy=0x→+∞x→−∞∴水平渐近线为y=2和y=0无竖直渐近线(2)limy=1limy=1x→+∞x→−∞∴水平渐近线为y=1∵x=0为间断点∴limy=0limy=+∞+−x→0x→0
∴x=0为竖直渐近线(3)limy=0limy=+∞x→−∞x→+∞∴水平渐近线为y=0limy=∞x→−1∴x=−1为竖直渐近线1e(4)limy==x→+∞1−e−1e−1e∴水平渐近线为y=e−1limy=1limy=0+−x→1x→1∴x=1为竖直渐近线(5)limy=0x→+∞∴水平渐近线为y=0limy=−1limy=∞x→0x→1∴x=1为竖直渐近线36.证明:对于曲线C:y=f(x)和直线l:y=kx+b(k≠0,k和b是常数),如有lim[f(x)−kx−b]=0或lim[f(x)−kx−b]=0x→−∞x→+∞则l是C的斜渐近线.由此导出求曲线C的斜渐近线的方法.f(x)解:lim=kx→∞xlimf(x)−kx=b⇒斜渐近线y=kx+bx→∞37.求下列曲线的渐近线:(1)y=x2+1;(2)y=xarctanx.x2+1x2+1解:(1)lim=1lim=−1x→+∞xx→−∞xlimx2+1−x=0limx2+1+x=0x→+∞x→−∞∴y=x和y=−xxarctanxπxarctanxπ(2)lim=lim=−x→+∞x2x→−∞x2ππlimxarctanx−x=−1limxarctanx+=−1x→+∞2x→−∞2ππ∴y=x−1和y=−x−122
38.画出下列曲线的草图:x2(1)y=x3−x2−x+1;(2)y=x−ln(x+1);(3)y=.3x+1解:(1)y"=3x2−2x−1=(3x+1)(x−1)y"=6x-2132函数无不可导点,其驻点为x=1和x=−,对应的函数值y=0和y=.3271y"=0时y=16x=32711在区间(−∞,−)上y">0,函数单调增加;在区间[−,1)上y"<0,函数单调减小;在区33间(1,+∞)上y">0,函数单调增加,易知.1x=−为极大值点,x=1为极小值点.3111在区间(−∞,)上,y"<0,曲线上凸;在(,+∞)上曲线是下凸的,故点(,16)33327为曲线的极点.综上可列出函数在(−∞,+∞)上的性态表.11x(−∞,-13)-130(−,-13)13(,1)1(1,+∞)33y"+0----0+y"---2-0+4+y↗3227-1↘1627↘0↗曲线无渐近线,绘制草图如下图.y322711627-1011x33x(2)解:函数在(-1+∞)上有定义,且连续x=−1为函数的无穷间断点.1x1y"=1-=,y"=x+1x+1(x+1)2函数在其定义域内无不可导点,唯一驻点.x=0,y=0又y"恒大于0,从而函数是下凸的.x=0函数为(-1,0),y"<0,为单调减小;在(a,+∞)为单调增加,且有.limx−ln(1+x)=+∞x→−1
函数特性表如下:x(-1,0)0(0,+∞)y"-0+y"+1+y↘0↗绘制草图如下:yx-1011(3)函数的定义域为(−∞,-)U(-,+∞),33在定义域内连续x=−13为它的无容间断点.2x(3x+2)4(3x+1)(6x-1)4(6x−1)y"=,y"==(3x+1)2(3x+1)4(3x+1)3其驻点为:x=0,y=0−2x=,y=−493y"=0时,x=−13且lim−f(x)=−∞,lim+f(x)=+∞x→−13x→−13在区间(−∞,-23)和(0,+∞)上,y">0,为单调增函数;211在区间(−,−)和(−,0)为单调减函数;333从而x=−23,与x=0分别为函数的极大值与极小值点.1在(−∞,-13)上y"<0为上凸,在(-,+∞)上y">0为下凸,故而点(-13,-∞)为极点.3(B)
1.单项选择题(1)设函数f(x)在点x0处取到极大值,则(D).A.f"(x0)=0B.f"(x0)<0C.f"(x0)=0且f"(x0)<0D.f"(x0)=0或不存在解:(1)D极大值⇒f"(x0)=0或不存在f(x)−f(a)(2)设lim=−1,则(C).2x→a(x−a)A.f(x)在x=a处导数不存在B.f"(a)=-1C.f(a)为极大值D.f(a)为极小值解:(2)Cf(x)−f(a)f"(a)lim=lim=−1x→a(x−a)2x→ax−a⇒f"(a)-0f"(a)=-1⇒f(a)为极大值f(x)(3)设在(−∞,+∞)上f"(x)>0,又f(0)≤0,则函数(D).xA.在(−∞,0)内递增,在(0,+∞)内递减B.在(−∞,0)内递减,在(0,+∞)内递增C.(−∞,0)和(0,+∞)上都递增D.(−∞,0)和(0,+∞)上都递减解:(3)Df(x)>0⇒凹f(x)x≤0时f(x)递减递增xx>0时同理21+e−x(4)曲线y=(D).21−e−xA.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有竖直渐近线D.水平的和竖直的渐近线都有解:(4)Dlim=1∴水平x→∞(5)设函数y=(f(x)在(−∞,+∞)上有二阶导数,且y"=f"(x)的图形如图4-19所示.则下列结论正确的是(A).A.点(-1,f(-1))是曲线y=f(x)的拐点B.点(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点C.在(−∞,−1)上曲线y=f(x)是上凸的D.在(−1,+∞)上曲线y=f(x)是下凸的解:(5)A图4-19(6)若f(−x)=f(x)(−∞0,f"(x)<0,则f(x)在(0,+∞)内有
(C).A.f"(x)>0,f"(x)<0B.f"(x)>0,f"(x)>0C.f"(x)<0,f"(x)<0D.f"(x)<0,f"(x)>0解:(6)Cf"(x)(7)设f(x)的导数在x=a处连续,又lim=−1,则(B).x→ax−aA.f(a)是极小值B.f(a)是极大值C.(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点D.f(a)不是极值,(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点解:(7)Bf"(x)lim=−1⇒f"(a)=0f"(a)=-1<0x→ax−a2.填空题f(−2x)(1)设曲线y=f(x)经过原点,且在点(x,f(x))处切线的斜率为-2x,则lim=.x→0x2(2)函数y=x2lnx在点x=有极值,其值为.1ax⎛1⎞(3)设00∴仅有一个根(4)limy=1limy=1x→+∞x→−∞∴水平渐近线y=1limy=−∞x→−∞
∴竖直渐近线x=0(5)1=ALaKβ∂KL∂KL∂EKL=.=−.=−∂LKβLKβx⎛1⎞3.试证明f(x)=⎜1+⎟在区间(0,+∞)内单调增加.⎝x⎠1xln(1+)11解:f"(x)=ex[ln(1+)]-xx+111令G(x)=ln(1+)−x>0xx+11G(x)=−<0x(1+x)2且limG(x)=0x→+∞∴G(x)>0∴f"(x)>0得证12xπ4.求证:当x≥1时arctanx−arccos=.21+x2412x解:令f(x)=arctanx−arccosx≥121+x22(1+x2)−4x211(1+x2)2f(x)=+1+x222⎛2x⎞1−⎜⎟⎜(1+x2)⎟⎝⎠2(1+x2)1(1+x2)2=+=01+x22x2−1(1+x2)Π取x=1代入得f(x)=4∴得证5.设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于C(c,f(c)),其中01则f(0)f(2)中必有1个小于1据介值定理存在α使得f(α)=1又f(3)=1∴存在ε∈(0,3)使f"(ε)=0217.设某产品的成本函数为C=aq+bq+c,需求函数为q=(d−p),其中p为单价,a,b,ec,d,e都是正的常数,且d>b.求:(1)利润最大时的产量及最大利润;(2)需求对价格的弹性:(3)需求对价格的弹性的绝对值为1时的产量.解:(1)R=I−C=pq−(aq2+bq+c)=(a−eq)q−(aq2+bq+c)=−(a+e)q2−bq+dq−cR"=-2(a+e)q-b+d=0d−b∴q=2(a+e)(d−b)2maxR=4−C2(a+e)∂qp1⎛d−eq⎞d(2)Eqp==−⎜⎜⎟⎟=1−∂pqe⎝q⎠eqd(3)Eqp=1−=1eqd2e∴=2q=eqd8.一商家销售某种商品的价格满足关系p=7−0.2x(万元/吨),x为销售量(单位:吨),商品的成本函数是C=3x+1(万元).(1)若每销售一吨商品,政府要征税t(万元),求该商家获得最大利润时的销售量.(2)t为何值时,政府税收量大.解:(1)R=Px−(3x+1)−tx
=(7−0.2x)x−3x−1−tx=−0.2x2+(4−t)x+6R"=-0.4x+(4−t)=05x=(4−t)2(2)T=tx5=t.(4−t)252=(4t−t)25T=(4−2t)2=10−5t=0∴t=2'
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