现代数字信号处理1-6章习题答案.doc 35页

'第一章 第二章2．1已知是一平稳随机信号，取1、0、-1三个值的概率相等。用对载波进行调制后在噪声信道中传输。接受信号为式中是方差为的零均值白色高斯噪声，与相互独立。上式用矢量表示为（1）求条件概率函数。（2）由求的四种估计：最大后验概率估计，最大似然估计，最小均方误差估计，最小线性均方误差估计。并用图形对它们进行比较。解：（1）先求，显然在这种情况下，是一个的正态随机矢量，求。 =已知简记根据全概率公式，得：记，则由的分布律，我们可以容易得到（1）求最大似然估计已知： 求最小均方误差估计求线性均方误差最小估计已知 ①，②③将④题2。2解：以知设 取题2．3２．４答案：　　　　　　　　　　　　　　　　设　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　２．５解：由信号模型可得系统传输函数：==S对进行谱分解:由得解得可行解对进行因果和逆因果分解：因果部分 ===若用作的估计，则估计误差为２．６解:已知卡尔曼滤波标准形式为：由模型可知：a=0.6c=1G与f的关系为：f=a(1-cG)=0.3将数值代入得：物理解释：(1)式中第一部分是对的预测(2)式中第二部分是在取得第n时刻的观测值，计算观测值和预测值的误差。(3)系数0.5是对预测误差的修正，以期滤波误差能在最小均方差意义下最小。２．７解：由题意得：a=0.95c=1 二次方程为Q=（取正解）解得：=0.31225：　　　２．１０答案　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由上述递推公式和初始条件，可得n012PG n345pG题２．１１由于在实际中常需对非随机信号进行滤波，故采用互补型维纳滤波，其中有两个滤波器，一个为高通，另一个为低通。但这时由于输入的信号是非平稳的，故不能直接进行维纳滤波，这样就需对滤波模型进行改进。采用图中的模型后，维纳滤波器的输入就为平稳的随机信号，符合维纳滤波理论。第三章3．1解：(1):由题设：h(n)=y(n)=则u(n)=h(n)y(n)所以可得最陡下降法解：h(n=1)=h+(I-2μR)h(0)-h-1其中R==（2）：h=RP==（3）：由于R=则可得λ=1，λ=5；所以μ的取值范围为：0＜μ＜n当μ=时迭代公式收敛。n（4）：μ=时h(n)＝+－×h(0)－＝＋h(0)－ 3．2解：（1）空（2）e(n)=x(n)-y(n)[2μe(n-1)y(n-1)+h(n-1)]=x(n)-u(n)[2μe(n-1)y(n-1)+h(n-1)]对e(n)进行z变换：e(Z)=x(z)-2μZe(Z)-Zh(Z)由h(n)=2μe(n-1)u(n-1)+h(n-1)得h(Z)=2μZe(Z)+Zh(Z)h(Z)=所以：e(Z)=x(Z)-2μZe(Z)-ZH(Z)=所以零点在单位园上，极点在Z=1-2μ园上。（3）：要使H(Z)稳定，则极点在单位园内即：3.3(1)性能曲面函数： (2)误差性能曲面matlab程序： (3)(4)(5)3.4 3．6解：（1） 3.11答案：（2）（3）求加权系数表达式 要求3.12答案：3.15解：（1）由题意，是两系数自适应线性组合器，则即性能曲面表示式。（2）由（1）知，不是和的二次函数。4.2．解：设ARMA(1,1)模型的传输系数为：则：所以： 由自相关函数的偶对称性得：（1）而又由：（2）所以：可以得到递推关系试：若用AR(∞)来逼近ARMA(1,1)则由Yule-Walker方程：可以由递推关系写成矩阵形式： =矩阵中当P∞时即可得到AR(∞)逼近ARMA(1,1)时系数所对应的关系。4．3证明：设AR模型要模拟的过程为AR(p)过程，且用AR(p)模型可以精确模拟AR(p)过程其预测误差为：取线性预测系数等于AR模型的参数则:命题得证．※４．４解：（１）++流程图：∑∑x(n)∑∑++(2) 功率谱为：4.4~~~4.5为张金林、王成所做4.4　　　由公式得：　　　　R(0)=1;R(1)=-;R(2)=;AR(0):=R(0)=1AR(1):D=a*R(1)=-r1　　　　　　　　　　　ＡＲ（２）： 　　　一阶预测误差滤波器：　　　　　　　预测误差滤波器：　　　　　（３）格型滤波器的原理图如下：　x(n)　 4.5AR(0):AR(1)AR(2)4．7~4。9为汪枫、李广柱所做4.7解：模型的传输函数为： 其模型输出功率谱为：是随机过程自相关函数的个取样值位置变换而来，即：由(1)、(2)式，得当(1)m>p,4．18举一反例证明在自相关法利用自相关函数的无偏估计将不能保证Yule-Walker方程的系数矩阵正定。解：设数据序列，则其自相关的无偏估计为： 可求得：，显然，Yule-Walker方程的系数矩阵为：非正定。反之，若采用自相关的渐近无偏估计，可计算得，，则，Yule-Walker方程的系数矩阵为：正定。4．19试证明矩阵的维数为且数据由p-1或更少的复正弦波构成时协方差法中的矩阵是奇异的。证明：设数据由p-1个复争正弦波组成，则协方差法中的元素4．20试证明：Burg法估计的反射系数的模总是小于或等于1的。证：得证。4．21以AR（3）为例，证明格形滤波器中各阶反向预测误差是互相正交的。证明：以AR（3）为例，得到格形滤波器的各阶反向预测误差为： 则由二阶Yule-Walker方程知代入上式，则同理可证，与正交，与正交。故命题成立。 第六章1．解：设最小相位信号为，其中，。为简化起见，简记，则最大相位信号为：；混合相位信号为：； 。证明：1．证明：2．证明：由傅立叶变换的性质，将上述双谱的等式进行傅立叶反变换，可导出三阶相关的关系式，即有：3．证明： 所以，和具有相同的谱。1．证明：记，；，。现考察：2．证明统计独立的两个随机矢量“和的累量等于累量的和”。证明：设两随机矢量为和，它们的累量生成函数分别为：和，则： 1．解：由闭合公式，计算：；；。；2．解：由公式也即：两边同除以，并记，，，可得：取分别代入，并计算：；；；；；。故得到方程组：解之可得： 1．解：由四阶闭合公式，计算：；；。；2．解：1）闭合公式法：在没有观测噪声的情况下，基于二阶相关有：这也就是周期图估计；2）而因为线性代数法是基于高阶相关与二阶的关系，所以二阶的线性代数法不存在。3．解：由方程，取；，则计算：；；；；。得到方程：求解该方程得：'