离散数学 左孝凌 李为鉴 刘永才编著课后习题答案 27页

'1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。b)不是命题。c)是命题，真值要根据具体情况确定。d)不是命题。e)是命题，真值为T。f)是命题，真值为T。g)是命题，真值为F。h)不是命题。i)不是命题。（2）解：原子命题：我爱北京天安门。复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。（3）解：a)(┓P∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。Q«(R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。R∧Q:我在看电视边吃苹果。c)设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。(5)解：a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Qb)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Qc)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Qd)设P：a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q a)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q：四边形ABCD的对边平行。P«Qb)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨Q）→R(6)解：a)P:天气炎热。Q:正在下雨。P∧Qb)P:天气炎热。R:湿度较低。P∧Rc)R:天正在下雨。S:湿度很高。R∨Sd)A:刘英上山。B:李进上山。A∧Be)M:老王是革新者。N:小李是革新者。M∨Nf)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓Mg)P:我不看电视。Q:我不外出。R:我在睡觉。P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。这个过程可以简记为：A；(A∨B)；(A→(A∨B))同理可记b）A；┓A；(┓A∧B)；((┓A∧B)∧A)c）A；┓A；B；(┓A→B)；(B→A)；((┓A→B)→(B→A))d）A；B；(A→B)；(B→A)；((A→B)∨(B→A))（3）解：a）((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C))b）((B→A)∨(A→B))。（4）解：a)是由c)式进行代换得到，在c)中用Q代换P,(P→P)代换Q. d)是由a)式进行代换得到，在a)中用P→(Q→P)代换Q.e)是由b)式进行代换得到，用R代换P,S代换Q,Q代换R,P代换S.∨（5）解：a)P:你没有给我写信。R:信在途中丢失了。PQb)P:张三不去。Q:李四不去。R:他就去。(P∧Q)→Rc)P:我们能划船。Q:我们能跑步。┓(P∧Q)d)P:你来了。Q:他唱歌。R:你伴奏。P→(Q«R)（6）解：P:它占据空间。Q:它有质量。R:它不断变化。S:它是物质。这个人起初主张：(P∧Q∧R)«S后来主张：(P∧Q«S)∧(S→R)这个人开头主张与后来主张的不同点在于：后来认为有P∧Q必同时有R，开头时没有这样的主张。（7）解：a)P:上午下雨。Q:我去看电影。R:我在家里读书。S:我在家里看报。(┓P→Q)∧(P→(R∨S))b)P:我今天进城。Q:天下雨。┓Q→Pc)P:你走了。Q:我留下。Q→P1-4 （4）解：a)P  Q  RQ∧RP∧(Q∧R)P∧Q(P∧Q)∧RT  T  TT  T  FT  F  TT  F  FF  T  TF  T  FF  F  TF  F  FTFFFTFFFTFFFFFFFTTFFFFFFTFFFFFFF所以，P∧(Q∧R)Û(P∧Q)∧Rb)  P  Q  R    Q∨R  P∨(Q∨R)    P∨Q (P∨Q)∨R T  T  T T  T  F T  F  T T  F  F F  T  T F  T  F F  F  T F  F　F　ＴＴＴＦＴＴＴＦＴＴＴＴＴＴＴＦ　　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｆ　　　Ｆ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｆ所以，P∨(Q∨R)Û(P∨Q)∨R　ｃ）Ｐ　Ｑ　ＲＱ∨ＲＰ∧（Ｑ∨Ｒ）Ｐ∧ＱＰ∧Ｒ（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｒ）Ｔ　Ｔ　ＴＴ　Ｔ　ＦＴ　Ｆ　ＴＴ　Ｆ　ＦＦ　Ｔ　ＴＦ　Ｔ　ＦＦ　Ｆ　ＴＦ　Ｆ　ＦＴＴＴＦＴＴＴＦＴＴＴＦＦＦＦＦＴＴＦＦＦＦＦＦＴＦＴＦＦＦＦＦＴＴＴＦＦＦＦＦ所以，P∧(Q∨R)Û(P∧Q)∨(P∧R)　ｄ）P    Q┓P┓Q┓P∨┓Q┓(P∧Q)┓P∧┓Q┓(P∨Q)T    TT    FFFFTFTFTFFFF F    TF    FTTFTTTTTFTFT所以，┓(P∧Q)Û┓P∨┓Q, ┓(P∨Q)Û┓P∧┓Q（5）解：如表，对问好所填的地方，可得公式F1～F6，可表达为  P  Q  R  F1  F2  F3  F4  F5  F6  T  T  T  T  F  T  T  F  F  T  T  F  F  F  T  F  F  F  T  F  T  T  F  F  T  T  F  T  F  F  F  T  F  T  T  F  F  T  T  T  F  F  T  T  F  F  T  F  T  F  F  F  T  F  F  F  T  T  F  T  T  T  F  F  F  F  F  T  F  T  T  TF1:(Q→P)→R F2:(P∧┓Q∧┓R)∨(┓P∧┓Q∧┓R)F3:(P←→Q)∧(Q∨R)F4:(┓P∨┓Q∨R)∧(P∨┓Q∨R)F5:(┓P∨┓Q∨R)∧(┓P∨┓Q∨┓R)F6:┓(P∨Q∨R)(6) P Q 1   2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 F F F T F T F T F T F T F T F T F T F T F F T T F F T T F F T T F F T T T F F F F F T T T T F F F F T T T T T T F F F F F F F F T T T T T T T T解：由上表可得有关公式为1.F    2.┓(P∨Q)     3.┓(Q→P)      4.┓P         5.┓(P→Q)  6.┓Q   7.┓(P«Q)    8.┓(P∧Q)         9.P∧Q    10.P«Q    11.Q      12.P→Q         13.P      14.Q→P     15.P∨Q       16.T (7)证明：a)A→(B→A)Û┐A∨(┐B∨A)ÛA∨(┐A∨┐B)ÛA∨(A→┐B)Û┐A→(A→┐B)b)┐(A«B)Û┐((A∧B)∨(┐A∧┐B))Û┐((A∧B)∨┐(A∨B))Û(A∨B)∧┐(A∧B)或┐(A«B)Û┐((A→B)∧(B→A))Û┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))Û┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A))Û┐((┐A∧┐B)∨(B∧A))Û┐(┐(A∨B))∨(A∧B)Û(A∨B)∧┐(A∧B)c)┐(A→B)Û┐(┐A∨B) ÛA∧┐B d)┐(A«B)Û┐((A→B)∧(B→A))Û┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))Û(A∧┐B)∨(┐A∧B)e)(((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D)))Û(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D))Û(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D)Û(┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨DÛ((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→DÛ(((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→DÛ((C∧(A«B))→D)f)A→(B∨C)Û┐A∨(B∨C)  Û(┐A∨B)∨C   Û┐(A∧┐B)∨C Û(A∧┐B)→C g)(A→D)∧(B→D)Û(┐A∨D)∧(┐B∨D)Û(┐A∧┐B)∨D Û┐(A∨B)∨DÛ(A∨B)→De)((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))Û(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C))Û(┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨CÛ(┐(A∧B)∧┐(┐D∧B))∨CÛ┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨CÛ((A∨┐D)∧B)→CÛ(B∧(D→A))→C（8）解：a)((A→B)«(┐B→┐A))∧CÛ((┐A∨B)«(B∨┐A))∧CÛ((┐A∨B)«(┐A∨B))∧CÛT∧C ÛCb)A∨(┐A∨(B∧┐B))Û(A∨┐A)∨(B∧┐B)ÛT∨FÛTc)(A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)Û(A∨┐A)∧(B∧C)ÛT∧(B∧C)ÛB∧C（9）解：1）设C为T，A为T，B为F，则满足A∨CÛB∨C，但AÛB不成立。     2）设C为F，A为T，B为F，则满足A∧CÛB∧C，但AÛB不成立。      3）由题意知┐A和┐B的真值相同，所以A和B的真值也相同。    习题1-5（1）证明：a)(P∧(P→Q))→QÛ (P∧(┐P∨Q))→Q  Û(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q  Û(P∧Q)→QÛ┐(P∧Q)∨Q Û┐P∨┐Q∨Q  Û┐P∨TÛTa)┐P→(P→Q) ÛP∨(┐P∨Q)Û(P∨┐P)∨Q ÛT∨QÛTb)((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)因为(P→Q)∧(Q→R)Þ(P→R)所以 (P→Q)∧(Q→R)为重言式。c)((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))«(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))Û((a∨c)∧b)∨(c∧a)Û((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a))Û(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)所以((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))«(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)为重言式。（1）证明：a)(P→Q)ÞP→(P∧Q)  解法1：设P→Q为T （1）若P为T，则Q为T，所以P∧Q为T，故P→(P∧Q)为T（2）若P为F，则Q为F，所以P∧Q为F，P→(P∧Q)为T命题得证解法2：设P→(P∧Q)为F ，则P为T，(P∧Q)为F ，故必有P为T，Q为F ，所以P→Q为F。解法3：(P→Q)→(P→(P∧Q))Û┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q))Û┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q))ÛT所以(P→Q)ÞP→(P∧Q) b)(P→Q)→QÞP∨Q设P∨Q为F，则P为F，且Q为F，故P→Q为T，(P→Q)→Q为F，所以(P→Q)→QÞP∨Q。c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))ÞR→Q设R→Q为F，则R为T，且Q为F，又P∧┐P为F所以Q→(P∧┐P)为T，R→(P∧┐P)为F所以R→(R→(P∧┐P))为F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为F即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))ÞR→Q成立。（1）解：a)P→Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。b)a)的逆换式Q→P表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。c)a)的反换式┐P→┐Q表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。d)a)的逆反式┐Q→┐P表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。（2）解：a)如果天下雨，我不去。设P：天下雨。Q：我不去。P→Q逆换式Q→P表示命题:如果我不去，则天下雨。逆反式┐Q→┐P表示命题:如果我去，则天不下雨b)仅当你走我将留下。设S：你走了。R：我将留下。R→S逆换式S→R表示命题：如果你走了则我将留下。逆反式┐S→┐R表示命题：如果你不走，则我不留下。c)如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。设E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。E→H逆换式H→E表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。逆反式┐H→┐E表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助（5）试证明P«Q，Q逻辑蕴含P。证明：解法1：本题要求证明(P«Q)∧QÞP,设(P«Q)∧Q为T，则(P«Q)为T，Q为T，故由«的定义，必有P为T。 所以(P«Q)∧QÞP解法2：由体题可知，即证((P«Q)∧Q)→P是永真式。 ((P«Q)∧Q)→PÛ(((P∧Q)∨(┐P∧┐Q))∧Q)→PÛ(┐((P∧Q)∨(┐P∧┐Q))∨┐Q)∨PÛ(((┐P∨┐Q)∧(P∨Q))∨┐Q)∨PÛ((┐Q∨┐P∨┐Q)∧(┐Q∨P∨Q))∨PÛ((┐Q∨┐P)∧T)∨PÛ┐Q∨┐P∨PÛ┐Q∨TÛT（5）解：P：我学习      Q：我数学不及格      R：我热衷于玩扑克。　如果我学习，那么我数学不会不及格：  P→┐Q如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习:  ┐R→P但我数学不及格:                    Q因此我热衷于玩扑克。               R即本题符号化为：(P→┐Q)∧(┐R→P)∧QÞR证：证法1：((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→RÛ┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q)∨RÛ(P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨RÛ((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P))Û┐Q∨P∨R∨┐PÛT　所以，论证有效。证法2：设(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q为T，则因Q为T，(P→┐Q)为T，可得P为F，由(┐R→P)为T，得到R为T。故本题论证有效。 （5）解：P：6是偶数    Q：7被2除尽    R：5是素数如果6是偶数，则7被2除不尽      P→┐Q或5不是素数，或7被2除尽         ┐R∨Q5是素数                       R所以6是奇数                    ┐P即本题符号化为：（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧RÞ┐P证：证法1：((P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)→┐PÛ┐((┐P∨┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)∨┐PÛ((P∧Q)∨(R∧┐Q)∨┐R)∨┐PÛ((┐P∨P)∧(┐P∨Q))∨((┐R∨R)∧(┐R∨┐Q))Û(┐P∨Q)∨(┐R∨┐Q)ÛT　所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。证法2：(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R为T，则有R为T，且┐R∨Q为T，故Q为T，再由P→┐Q为T，得到┐P为T。（6）证明：a)PÞ(┐P→Q) 设P为T，则┐P为F，故┐P→Q为Tb)┐A∧B∧CÞC假定┐A∧B∧C为T，则C为T。c)CÞA∨B∨┐B因为A∨B∨┐B为永真，所以CÞA∨B∨┐B成立。d)┐(A∧B)Þ┐A∨┐B 设┐(A∧B)为T，则A∧B为F。若A为T，B为F，则┐A为F，┐B为T，故┐A∨┐B为T。若A为F，B为T，则┐A为T，┐B为F，故┐A∨┐B为T。若A为F，B为F，则┐A为T，┐B为T，故┐A∨┐B为T。命题得证。 a)┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐AÞB∨C设┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A为T，则D∨E为T，(D∨E)→┐A为T，所以┐A为T又┐A→(B∨C)为T，所以B∨C为T。命题得证。b)(A∧B)→C，┐D，┐C∨DÞ┐A∨┐B设(A∧B)→C，┐D，┐C∨D为T，则┐D为T，┐C∨D为T，所以C为F又(A∧B)→C为T，所以A∧B为F，所以┐A∨┐B为T。命题得证。（9）解：a)如果他有勇气，他将得胜。P：他有勇气         Q：他将得胜原命题：P→Q        逆反式：┐Q→┐P表示：如果他失败了，说明他没勇气。b)仅当他不累他将得胜。P：他不累          Q：他得胜原命题：Q→P        逆反式：┐P→┐Q表示：如果他累，他将失败。习题 1-6(1)解：a)(P∧Q)∧┐PÛ(P∧┐P)∧QÛ┐(T∨Q)b)(P→(Q∨┐R))∧┐P∧QÛ(┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧QÛ(┐P∧┓P∧Q)∨(Q∧┓P∧Q)∨(┓R∧┓P∧Q) Û(┓P∧Q)∨(┓P∧Q)∨(┓P∧┓R∧Q)Û┓P∧QÛ┐(P∨┐Q) c)┐P∧┐Q∧(┐R→P)Û┐P∧┐Q∧(R∨P)Û(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧P)Û(┐P∧┐Q∧R)∨FÛ┐P∧┐Q∧RÛ┐(P∨Q∨┐R)(2)解： a)┐PÛP↓Pb)P∨QÛ┐(P↓Q)Û(P↓Q)↓(P↓Q)c)P∧QÛ┐P↓┐QÛ(P↓P)↓(Q↓Q)(3)解：P→(┐P→Q) Û┐P∨(P∨Q)ÛTÛ┐P∨P Û(┐P↑┐P)↑(P↑P)ÛP↑(P↑P)P→(┐P→Q) Û┐P∨(P∨Q)ÛTÛ┐P∨P Û┐(┐P↓P)Û┐((P↓P)↓P)Û((P↓P)↓P)↓((P↓P)↓P)(4)解： P↑QÛ┐(┐P↓┐Q)Û┐((P↓P)↓(Q↓Q))Û((P↓P)↓(Q↓Q))↓((P↓P)↓(Q↓Q))(5)证明：┐(B↑C)Û┐(┐B∨┐C) Û┐B↓┐C┐(B↓C)Û┐(┐B∧┐C)Û┐B↑┐C(6)解：联结词“↑”和“↓”不满足结合律。举例如下： Ûa)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↑Q)↑R为T，P↑(Q↑R)为F故(P↑Q)↑RP↑(Q↑R).Ûb)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↓Q)↓R为T，P↓(Q↓R)为F故(P↓Q)↓RP↓(Q↓R).(7)证明：设变元P，Q，用连结词«,┐作用于P，Q得到：P，Q，┐P，┐Q，P«Q，P«P，Q«Q，Q«P。但P«QÛQ«P，P«PÛQ«Q，故实际有：P，Q，┐P，┐Q，P«Q，P«P（T）（A）用┐作用于（A）类，得到扩大的公式类（包括原公式类）：P，Q，┐P，┐Q，┐（P«Q），T，F，P«Q（B）用«作用于（A）类，得到：P«Q，P«┐PÛF，P«┐QÛ┐（P«Q），P«（P«Q）ÛQ，P«（P«P）ÛP，Q«┐PÛ┐（P«Q），Q«┐QÛF，Q«（P«Q）ÛP，Q«TÛQ,┐P«┐QÛP«Q，┐P«（P«Q）Û┐Q，┐P«TÛ┐P,┐Q«（P«Q）Û┐P，┐Q«TÛ┐Q,（P«Q）«（P«Q）ÛP«Q.因此，（A）类使用运算后，仍在（B）类中。对（B）类使用┐运算得：┐P，┐Q，P，Q，P«Q，F，T，┐（P«Q），仍在（B）类中。对（B）类使用«运算得：P«Q，P«┐PÛF，P«┐QÛ┐（P«Q），P«┐（P«Q）Û┐Q，P«TÛP，P«FÛ┐P，P«（P«Q）ÛQ，Q«┐PÛ┐（P«Q），Q«┐QÛF，Q«┐（P«Q）Û┐P，Q«TÛQ,Q«FÛ┐Q，Q«（P«Q）ÛP，┐P«┐QÛP«Q，┐P«┐（P«Q）ÛQ，┐P«TÛ┐P,┐P«FÛP,┐P«（P«Q）Û┐Q，┐Q«┐（P«Q）ÛP，┐Q«TÛ┐Q,┐Q«TÛ┐Q,┐Q«（P«Q）Û┐P，┐（P«Q）«TÛ┐（P«Q），┐（P«Q）«FÛP«Q，┐（P«Q）«（P«Q）ÛFT«FÛF，T«（P«Q）ÛP«QF«（P«Q）Û┐（P«Q）（P«Q）«（P«Q）ÛP«Q.故由（B）类使用«运算后，结果仍在（B）中。 ∨由上证明：用«,┐两个连结词，反复作用在两个变元的公式中，结果只能产生（B）类中的公式，总共仅八个不同的公式，故{«,┐}不是功能完备的，更不能是最小联结词组。∨∨已证{«,┐}不是最小联结词组，又因为PQÛ┐（P«Q），故任何命题公式中的联结词，如仅用{,┐}表达，则必可用{«,┐}表达，其逆亦真。故{,┐}也必不是最小联结词组。(8)证明{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词组。证明：若{∨}，{∧}和{→}是最小联结词，则     ┐PÛ（P∨P∨……）     ┐PÛ（P∧P∧……）     ┐PÛP→(P→(P→……)对所有命题变元指派T，则等价式左边为F，右边为T，与等价表达式矛盾。→c所以{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词。(9)证明{┐,→}和{┐,}是最小联结词组。证明：因为{┐,∨}为最小联结词组，且P∨QÛ┐P→Q所以{┐,→}是功能完备的联结词组，又{┐},{→}都不是功能完备的联结词组。→c→c→c所以{┐,→}是最小联结词组。→c又因为P→QÛ┐(PQ)，所以{┐,}是功能完备的联结词组，又{┐},{}不是功能完备的联结词组，所以{┐,}是最小联结词组。习题 1-7(1) 解：P∧(P→Q) ÛP∧(┐P∨Q) Û(P∧┐P)∨(P∧Q) P∧(P→Q)Û(P∨(┐Q∧Q))∧(┐P∨Q)Û(P∨┐Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨Q)(2) 解：a)(┐P∧Q)→R  Û┐(┐P∧Q)∨R  ÛP∨┐Q∨R Û(P∧Q)∨(P∧┐Q) ∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(R∧P)∨(R∧┐P) b)P→((Q∧R)→S)Û┐P∨(┐(Q∧R)∨S)  Û┐P∨┐Q∨┐R∨S Û(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q) ∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(┐R∧S)∨(┐R∧┐S)∨(S∧P)∨(S∧┐P) a)┐(P∨┐Q)∧(S→T)Û(┐P∧Q)∧(┐S∨T)Û(┐P∧Q∧┐S)∨(┐P∧Q∧T)b)(P→Q)→RÛ┐(┐P∨Q)∨RÛ(P∧┐Q)∨R Û(P∨R)∧(┐Q∨R) c)┐(P∧Q)∧(P∨Q)Û(┐P∨┐Q)∧(P∨Q)Û(┐P∧P)∨(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)∨(┐Q∧Q)Û(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)(3)解：a)P∨(┐P∧Q∧R) Û(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(P∨R) Û(P∨Q)∧(P∨R)     b)┐(P→Q)∨(P∨Q)Û┐(┐P∨Q)∨(P∨Q)Û(P∧┐Q)∨(P∨Q) Û(P∨P∨Q)∧(┐Q∨P∨Q) c)┐(P→Q)Û┐(┐P∨Q)ÛP∧┐QÛ(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐Q∨┐P)d)(P→Q)→RÛ┐(┐P∨Q)∨RÛ(P∧┐Q)∨RÛ(P∨R)∧(┐Q∨R)e)(┐P∧Q)∨(P∧┐Q)Û(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)∧(Q∨┐Q) Û(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)(4)解：a)(┐P∨┐Q)→(P«┐Q)Û┐(┐P∨┐Q)∨(P«┐Q)Û(P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)Ûå1，2，3ÛP∨Q=P0b)Q∧(P∨┐Q)Û(P∧Q)∨(Q∧┐Q)ÛP∧Q=å3ÛP0，1，2Û(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐P∨Q)c)P∨(┐P→(Q∨(┐Q→R))ÛP∨(P∨(Q∨(Q∨R))ÛP∨Q∨R=P0Ûå1，2，3,4,5,6,7=(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧R)∨(P∧┐Q∧┐R)∨(P∧┐Q∧R)∨(P∧Q∧┐R) ∨(P∧Q∧R)d)(P→(Q∧R))∧(┐P→(┐Q∧┐R))Û(┐P∨(Q∧R))∧(P∨(┐Q∧┐R))Û(P∧┐P)∨(P∧(Q∧R))∨((┐Q∧┐R)∧┐P)∨((┐Q∧┐R)∧(Q∧R))Û(P∧Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧┐R)=å0,7ÛP1，2，3,4,5,6Û(P∨Q∨┐R)∧(P∨┐Q∨R)∧(P∨┐Q∨┐R)∧(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨Q∨┐R)∧(┐P∨┐Q∨R)e)P→(P∧(Q→P)Û┐P∨(P∧(┐Q∨P)Û(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q∨P)ÛT∨(T∧┐Q)ÛTÛå0,1,2,3=(┐P∧┐Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(P∧Q)f)(Q→P)∧(┐P∧Q)Û(┐Q∨P)∧┐P∧QÛ(┐Q∨P)∧┐(P∨┐Q)ÛF ÛP0,1，2，3=(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐P∨Q)∧(┐P∨┐Q)(5)证明：a)(A→B)∧(A→C)Û(┐A∨B)∧(┐A∨C)A→(B∧C)Û┐A∨(B∧C)Û(┐A∨B)∧(┐A∨C)b)(A→B)→(A∧B)Û┐(┐A∨B)∨(A∧B)Û(A∧┐B)∨(A∧B)ÛA∧(B∨┐B)ÛA∧TÛA(┐A→B)∧(B→A)Û(A∨B)∧(┐B∨A)ÛA∨(B∧┐B)ÛA∨FÛAc)  A∧B∧(┐A∨┐B)Û((A∧┐A)∨(A∧┐B))∧BÛA∧B∧┐BÛF┐A∧┐B∧(A∨B)Û((┐A∧A)∨(┐A∧B))∧┐BÛ┐A∧┐B∧BÛFd)  A∨(A→(A∧B) ÛA∨┐A∨(A∧B)ÛT┐A∨┐B∨(A∧B)Û┐(A∧B)∨(A∧B)ÛT(6)解：AÛR↑(Q∧┐(R↓P)),则A*ÛR↓(Q∨┐(R↑P))AÛR↑(Q∧┐(R↓P))Û┐(R∧(Q∧(R∨P)))Û┐R∨┐Q∨┐(R∨P)Û┐(R∧Q)∨┐(R∨P)A*ÛR↓(Q∨┐(R↑P))Û┐(R∨(Q∨(R∧P))Û┐R∧┐Q∧┐(R∧P)Û┐(R∨Q)∧┐(R∧P)(7)解：设A：A去出差。B：B去出差。C：C去出差。D：D去出差。若A去则C和D中要去一个。   A→(CD)B和C不能都去。          ┐(B∧C)C去则D要留下。          C→┐D按题意应有：A→(CD)，┐(B∧C)，C→┐D必须同时成立。因为CDÛ(C∧┐D)∨(D∧┐C)故(A→(CD))∧┐(B∧C)∧(C→┐D)Û(┐A∨(C∧┐D)∨(D∧┐C))∧┐(B∧C)∧(┐C∨┐D)Û(┐A∨(C∧┐D)∨(D∧┐C))∧(┐B∨┐C)∧(┐C∨┐D)Û(┐A∨(C∧┐D)∨(D∧┐C))∧((┐B∧┐C)∨(┐B∧┐D)∨(┐C∧┐D)∨┐C)Û(┐A∧┐B∧┐C)∨(┐A∧┐B∧┐D)∨(┐A∧┐C∧┐D)∨(┐A∧┐C)∨(┐B∧┐C∧D)∨(┐C∧D∧┐B∧┐D)∨(┐C∧D∧┐C∧┐D)∨(┐C∧D∧┐C)∨(┐D∧C∧┐B∧┐C)∨(┐D∧C∧┐B∧┐D) ∨(┐D∧C∧┐C∧┐D)∨(┐D∧C∧┐C)在上述的析取范式中，有些（画线的）不符合题意，舍弃，得(┐A∧┐C)∨(┐B∧┐C∧D)∨（┐C∧D）∨(┐D∧C∧┐B)故分派的方法为：B∧D ,或D∧A,或C∧A。(8) 解：设P：A是第一。Q：B是第二。R：C是第二。S：D是第四。E：A是第二。  由题意得(PQ)∧(RS)∧(ES)Û((P∧┐Q)∨(┐P∧Q))∧((R∧┐S)∨(┐R∧S))∧((E∧┐S)∨(┐E∧S))Û((P∧┐Q∧R∧┐S)∨(P∧┐Q∧┐R∧S)∨(┐P∧Q∧R∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S)∨(┐E∧S))   因为 (P∧┐Q∧┐R∧S)与(┐P∧Q∧R∧┐S)不合题意，所以原式可化为     ((P∧┐Q∧R∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S)∨(┐E∧S))Û(P∧┐Q∧R∧┐S∧E∧┐S)∨(P∧┐Q∧R∧┐S∧┐E∧S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧E∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E∧S)Û(P∧┐Q∧R∧┐S∧E)∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E)因R与E矛盾，故┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E为真，即A不是第一，B是第二，C不是第二，D为第四，A不是第二。于是得：A是第三    B是第二    C是第一    D是第四。习题1-8(1)证明：a)┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐RÞ┐P(1)┐R             P(2)┐Q∨R         P (3)┐Q          (1)(2)T,I (4)┐(P∧┐Q)     P(5)┐P∨Q      (4)T,E(6)┐P          (3)(5)T,Ib)J→(M∨N)，(H∨G)→J，H∨GÞM∨N(1)(H∨G)→J       P(2)(H∨G)           P(3)J             (1)(2)T,I(4)J→(M∨N)        P (5)M∨N         (3)(4)T,Ic)B∧C，(B«C)→(H∨G)ÞG∨H(1)B∧C         P (2)B            (1)T,I (3)C           (1)T,I (4)B∨┐C       (2)T,I(5)C∨┐B      (3)T,I(6)C→B         (4)T,E(7)B→C        (5)T,E(8)B«C        (6)(7)T,E(9)(B«C)→(H∨G)   P (10)H∨G        (8)(9)T,Id)P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S)Þ┐S(1)(┐Q∨R)∧┐R          (2)┐Q∨R            (1)T,I(3)┐R               (1)T,I(4)┐Q               (2)(3)T,I(5)P→Q                 P(6)┐P               (4)(5)T,I(7)┐(┐P∧┐S)         P(8)P∨┐S             (7)T,E(9)┐S                (6)(8)T,I(2)证明：a)┐A∨B，C→┐BÞA→┐C(1)┐(A→┐C)              P                    (2)A                     (1)T,I(3)C                      (1)T,I(4)┐A∨B                 P(5)B                      (2)(4)T,I(6)C→┐B                  P(7)┐B                   (3)(6)T,I (8)B∧┐B                矛盾。(5),(7)b)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E)ÞA→(B→F)(1)┐(A→(B→F))            P(2)A                       (1)T,I(3)┐(B→F)                (1)T,I(4)B                       (3)T,I(5)┐F                     (3)T,(6)A→(B→C)                P(7)B→C                    (2)(6)T,I(8)C                       (4)(7)T,I(9)┐F→(D∧┐E)            P(10)D∧┐E                 (5)(9)T,I(11)D                     (10)T,I(12)C∧D                   (8)(11)T,I(13)(C∧D)→E             P(14)E                      (12)(13)T,I(15)┐E                    (10)T,I(16)E∧┐E                 矛盾。(14),(15)c)A∨B→C∧D，D∨E→FÞA→F(1)┐(A→F)                P(2)A                       (1)T,I(3)┐F                     (1)T,I(4)A∨B                    (2)T,I(5)(A∨B)→C∧D            P(6)C∧D                    (4)(5)T,I(7)C                       (6)T,I(8)D                       (6)T,I(9)D∨E                    (8)T,I(10)D∨E→F                 P(11)F                       (9)(10)T,I(12)F∧┐F                  矛盾。(3),(11) d)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E)ÞB→E(1)┐(B→E)                P(2)B                       (1)T,I(3)┐E                     (1)T,I(4)┐B∨D                  P(5)D                       (2)(4)T,I(6)(E→┐F)→┐D           P(7)┐(E→┐F)              (5)(6)T,I(8)E                       (7)T,I(9)E∧┐E                  矛盾e)(A→B)∧(C→D)，(B→E)∧(D→F)，┐(E∧F)，A→CÞ┐A(1)(A→B)∧(C→D)         P(2)A→B                   (1)T,I(3)(B→E)∧(D→F)          P(4)B→E                    (3)T,I(5)A→E                    (2)(4)T,I(6)┐(E∧F)                P(7)┐E∨┐F                (6)T,E(8)E→┐F                  (7)T,E(9)A→┐F                  (5)(8)T,I(10)C→D                   (1)T,I(11)D→F                   (3)T,I(12)C→F                   (10)(10)T,I(13)A→C                   P(14)A→F                   (13)(12)T,I(15)┐F→┐A               (14)T,E(16)A→┐A                 (9)(15)T,I(17)┐A∨┐A              (16)T,E(18)┐A                    (17)T,E(3)证明：a)┐A∨B，C→┐BÞA→┐C (1)A                    P(2)┐A∨B                P(3)B                    (1)(2)T,I(4)C→┐B                P(5)┐C                  (3)(4)T,I(6)A→┐C               CPb)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E)ÞA→(B→F)(1)A               P (2)A→(B→C)        P (3)B→C           (1)(2)T,I(4)B               P (5)C              (3)(4)T,I(6)(C∧D)→E      P (7)C→(D→E)      (6)T,E(8)D→E           (5)(7)T,I(9)┐D∨E         (8)T,E(10)┐(D∧┐E)    (9)T,E(11)┐F→(D∧┐E)     P(12)F             (10)(11)T,I(13)B→F              CP(14)A→(B→F)         CPc)A∨B→C∧D，D∨E→FÞA→F(1)A                   P(2)A∨B               (1)T,I(3)A∨B→C∨D          P(4)C∧D                (2)(3)T,I(5)D                   (4)T,I(6)D∨E               (5)T,I(7)D∨E→F             P(8)F                   (6)(7)T,I(9)A→F                CP d)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E)ÞB→E(1)B                   P(附加前提)(2)┐B∨D          P(3)D          (1)(2)T,I(4)(E→┐F)→┐D       P(5)┐(E→┐F)          (3)(4)T,I(6)E               (5)T,I(7)B→E                CP(4)证明：a)R→┐Q，R∨S，S→┐Q，P→QÞ┐P(1)R→┐Q                P(2)R∨S                  P(3)S→┐Q                P(4)┐Q                  (1)(2)(3)T,I(5)P→Q                  P(6)┐P                  (4)(5)T,Ib)S→┐Q，S∨R，┐R，┐P«QÞP证法一：(1)S∨R                P (2)┐R                  P(3)S                 (1)(2)T,I (4)S→┐Q              P  (5)┐Q              (3)(4)T,I (6)┐P«Q              P(7)(┐P→Q)∧(Q→┐P)   (6)T,E(8)┐P→Q           (7)T,I (9)P                (5)(8)T,I 证法二：（反证法）(1)┐P                P（附加前提）(2)┐P«Q                 P(3)（┐P→Q）∧（Q→┐P）(2)T，E (4)┐P→Q                 (3)T,I(5)Q                  (1)(4)T,I(6)S→┐Q                 P(7)┐S                 (5)(6)T,I(8)S∨R                 P(9)R                 (7)(8)T,I(10)┐R                 P(11)┐R∧R                矛盾（9）（10）T，Ic)┐(P→Q)→┐(R∨S)，((Q→P)∨┐R)，RÞP«Q(1)R                     P(2)(Q→P)∨┐R           P(3)Q→P                  (1)(2)T,I(4)┐(P→Q)→┐(R∨S)     P(5)(R∨S)→(P→Q)        (4)T,E(6)R∨S                  (1)T,I(7)P→Q                   (5)(6)(8)(P→Q)∧(Q→P)       (3)(7)T,I(9)P«Q                 (8)T,E(5)解：a)设P：我跑步。Q：我很疲劳。                         前提为：P→Q，┐Q(1)P→Q           P     (2)┐Q            P     (3)┐P           (1)(2)T,I  结论为：┐P，我没有跑步。b)设S：他犯了错误。R：他神色慌张。前提为：S→R，R          因为（S→R）∧RÛ（┐S∨R）∧RÛR。故本题没有确定的结论。      实际上，若S→R为真，R为真,则S可为真，S也可为假，故无有效结论。c)设P：我的程序通过。Q：我很快乐。R：阳光很好。    S：天很暖和。（把晚上十一点理解为阳光不好） 前提为：P→Q，Q→R，┐R∧S           (1)P→Q              P           (2)Q→R              P           (3)P→R             (1)(2)T,I           (4)┐R∨S            P           (5)┐R              (4)T,I           (6)┐P              (3)(5)T,I结论为：┐P，我的程序没有通过'