数学分析 第三版 下册 (华东师大数学系 著) 华东师大出版社 课后答案 153页

'课后答案网您最真诚的朋友www.hackshp.cn网团队竭诚为学生服务，免费提供各门课后答案，不用积分，甚至不用注册，旨在为广大学生提供自主学习的平台！课后答案网：www.hackshp.cn视频教程网：www.efanjy.comPPT课件网：www.ppthouse.com课后答案网www.hackshp.cn 第十二章!!数项级数khdaw.com内容提要课后答案网一!定义!给定一个数列!!""#对它的各项依次用$!%号连接起来的表示式www.hackshp.cn!"!!#!&&!"!&&!称为数项级数或无穷级数’也常简称级数(#其中!"称数项级数!的通项#数项级数!记作$"!"或"!"#"$"二!级数收敛的柯西准则级数!收敛的充要条件是)任给!#%#总存在自然数%#使得当&#%和任意的自然数’#都有$!&!"!!&!#!&!!&!’$%!反之#级数!发散的充要条件是)存在某正数!%#对任何自然数%#都存在&%#%和自然数’%#有$!&!"!!&!#!&!!&!’$&!%%%%由此易得)若级数!收敛#则&’(*)+*,)’!$三!正项级数收敛性的判别方法"-正项级数!"!!#!&!!"!&&收敛的充要条件是)部分和数列!(""有界#即存在某正数)#对一切自然数"有("%)##-比较判别法.-比较原则的极限形式khdaw.com/-达朗贝尔判别法’或称比较判别法(0-比较判别法的极限形式*!*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#1-柯西判别法’或称根式判别法(2-根式判别法的极限形式3-积分判别法4-拉贝判别法"%-拉贝判别法的极限形式四!一般项级数收敛性的判别方法"-级数"$!"$收敛#则级数"!"绝对收敛#若"!"收敛#"$!"$发散#称级数"!"为条件收敛##-莱布尼兹判别法.-阿贝尔判别法/-狄利克雷判别法典型例题与解题技巧khdaw.com$$#*"$例!%!设"*"收敛#证明)"收敛’*"#%(#"$"课后答案网"$#!"&)"分析!本题主要考查正项级数的判敛#要求灵活运用正项级数的几种判敛法#*""#"证明!%%%*"!#!"&)"#’"&)"($$$易知)"收敛’积分判别法(#又#收敛#所以"#"收敛#www.hackshp.cn""&)#""*""#’*""&)#"("$#"$#"$#$*"由比较判别法知"收敛’*"#%(#"$#!"&)"+’,($例"%!设+’,(在点,+%的某一邻域内具有连续的二阶导数#且&’(+%#,’%,$"证明)级数"+’(绝对收敛#""$"分析!本题考查级数与之前所学知识的综合运用#级数的绝对收敛的判定#+’,(证明!由&’(+%#又+’,(在,+%的某邻域内具有连续的二阶导数#可推出,’%,+’%(+%#!+’-%(+%将+’,(在,+%的某邻域内展成一阶泰勒公式"#"#+’,(++’%(!+’-%(,!+.’"(,++.’"(,!’"在%与,之间(##又由题设+’.,(在属于邻域内包含原点的一个小闭区间连续#因此()#%#使$+’.,($)!#于是$+’,($+"$+.’"($,#)!,###$$""!"""令,+#则$+’($)*##因为"#收敛#故"+’(绝对收敛#""#""""$""$"khdaw.com*"*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十二章!数项级数历年考研真题评析!$$题!%!’中山大学##%%1年(级数"*"收敛的充要条件是)对任意的正整数序列/"#/##&#/"#&"$"都有&’(’*"!"!*"!#!&!*"!/(+%#""’!$分析!本题考查对级数收敛的定义的理解程度#$证明!必要性!因为"*"收敛#所以对*!#%#(%#%#当"#%及*0+%#有"$"$*"!"!*"!#!&!*"!’$%!特别地$*"!"!*"!#!&!*"!/$%!"所以&’(’*"!"!*"!#!&!*"!/(+%""’!$充分性!用反证法#若"*"发散#则(!%#%#*%#%#("#%及自然数’#使$*"!"!&!*"!’$&!%"khdaw.com特别地%"+"#(""#"及自然数/"使$*"!"!&!*"!/$&!%""%#+(56!""##"#课后答案网("##%##及自然数/##使$*"!"!&!*"!/$&!%"##&&&&这与&’(’*"!"!*"!#!&!*"!/(+%的假设矛盾#""’!$www.hackshp.cn$",$题"%!’同济大学##%%1年(证明)级数"’7"(8’)*,,%都是条件收敛的#""$"分析!本题考查条件收敛的判断#莱布尼兹判别法与比较判别法的灵活运用#,#,,证明!不妨设,#%#则(%,#%#当"#%,时#%%%#此时8’)#%#且!8’)"为单调递减"#"",数列#且&’(8’)+%#"’!$"$",由莱布尼兹判别法知"’7"(8’)收敛#""$",8’)",,"而当"#%,时#’7"(8’)+8’)#%#&’(+"#"""’!$,"$$,,又"发散#由比较判别法知"8’)也发散#"""$""$"$",所以*,,%#级数"’7"(8’)都是条件收敛的#""$"课后习题全解!!!9"!级数的收敛性khdaw.com-"-证明下列级数的收敛性#并求其和数)*#*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#""""’"(111&11&+"*11*""""*"1’0"2/(’0"1"(""""""’#(’1(1’#1#(1&1’"1"(1&+#.#.#.$"’.(+""’"1"(’"1#("$"$’/(’!"1#2#!"1"1!"(+""$"$#"2"’0(-"#""$"!分析!’"(进行积分和差的转化#’/(以某一项拆分为两项的方式重新组合原式#""""""!解!’"(("$"$"’2(’032/(’031"(0032/031"3$"3$"""$’"2(00"1"""于是($&’(("$#故级数收敛且其和为-khdaw.com"’$00"""""""’#(("$"课后答案网’313($"31"33$"#.3$"#3$".""""2"1"2"1"##...""$1$2"2"""###4."2"2www.hackshp.cn#...于是($&’(("$#故级数收敛且其和为-"’$##""""""’.(("$"$",2-3’31"(’31#(#3’31"(’31"(’31#(3$"3$""""$,2-##’"1"(’"1#(""于是($&’(("$#故级数收敛且其和为-"’$//"’/(("$"’!31#2#!31"1!3(3$"""$"’!31#2!31"(2"’!31"2!3(3$"3$"$’!"1#2!#(2’!"1"2"("$"2!#1!"1#1!"1"于是("$&’(("$"2!##故级数收敛且其和为"2!#-"’$""#32"#32"’0(("$#("2("$"32"2"33$"#3$"#khdaw.com"""2"#32"#32"##"2"$"1"#32"2"#3$"1"#32#"3$#3$"3$"*$*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十二章!数项级数""2"2"##"2""#"2"$"12"$.2"2#2"’"&#("###"2#于是($&’(("$.#故级数收敛且其和为.-"’$.#-证明)若级数"!"发散#5,%#则"5!"也发散-!证明!因为级数"!"发散#即(!%#%#对任何%+:1#总有&%+:1和’%+:1使6!&1"1!&1#1&1!&1’6&!%%%%%所以65!&1"15!&1#1&15!&1’6$6566!&1"1!&1#1&1!&1’6&656!%%%%%%%%于是"5!"亦发散-..-设级数"!"与"7"都发散#试问"’!"17"(一定发散吗.又若!"与7"’"$"###&(都是非负数#则能得出什么结论.!解!若"!"#"7"都发散#则"’!"17"(不一定发散-khdaw.com例如#""和"’2"(是发散的#但"’"1’2"((是收敛的+""和"#是发散的课后答案网#"’"1#($".亦是发散的-若"!"#"7"都发散且!&%#7"&%#则"’!"17"(发散-由柯西收敛准则#知(!%#!"#%#对任何的%+:1#总存在&%#’%#&"+:1#使6!&1"1!&1#1&1!&1’6$!&1"1!&1#1&1!&1’&!%%%%%%%%%和www.hackshp.cn67&1"17&1#1&17&1’6$7&1"17&1#1&17&1’&!"""""""""故6’!&1"17&1"(1’!&1#17&1#(1&1’!%1’17&1’(6%%%%%%%$’!&1"1!&1#1&1!&1’(1’7&1"17&1#1&7&1’(&!%%%%%%%%%即"’!"17"(必发散-$-/-证明)若数列!*""收敛于*#则级数"’*"2*"1"($*"2*#"$"!分析!单项收敛则和也收敛#!证明!由已知条件知#数列!*""收敛于*#即&’(*"$*#"’$"故("$"’*32*31"($*"2*"1"3$"从而($&’(("$&’(’*"2*"1"($*"2&’(*"1"$*"2*"’$"’$"’$-0-证明)若数列!8""有&’(8"$$#则"’$’"(级数"’8"1"28"(发散+"""’#(当8",%时#级数"2$-’8"8"1"(8"分析!’#(中间项相互抵消即可#"证明!’"(因为("$"’831"283($8"1"28khdaw.com"3$"($&’(("$&’(’8"1"28"($$"’$"’$*%*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#故"’8"1"28"(发散-’#(当8",%时"""""("$"82$2’3831"(8"8"1"3$""""即($&’(("$2&’($"’$8""’$8"1"8""""故级数"2收敛于-’8"8"1"(8"-1-应用第/#0题的结果求下列级数的和)$$’"(""+!!!!!!’#("’2"("1"#"1"+’*1"2"(’*1"("’"1"("$""$"$#"1"’.(-"’"##"$"1"(,’"1"(1"-"!分析!’"(积化和差将原式拆分#简化了问题#’.(识记&’(#$%#khdaw.com"’$"!解!’"(因为$$"""课后答案网"’*1"2"(’*1"($"’*1"2"2*1"("$""$""而数列收敛于%#故由第/题的结论#可知!*1"2""$"""www.hackshp.cn"$2%$’*,%(’*1"2"(’*1"(*1"2"*"$"’#(因为$$’2"("’2"("1"’2"("1"#"1",2(-""’"1"($""2’2"1""$""$"’2"("而数列!2"收敛于%#故"$’2"("’2"("1"#"1""$22%$""’"1"(""$"’.(因为$$#"1""""’"##$",#2’"1"(#-"$"1"(,’"1"(1"-"$""1"1""而数列收敛于%#故#!"1""$#"1""""’"##$#2%$#"$"1"(,’"1"(1"-"1"-2-应用柯西准则判别下列级数的敛散性)"’2"("2"#8’)#"’"(+!!!!’#(+"#""#"#1"’2"(""’.("+’/("-khdaw.com"!"1"#分析!’"(运用柯西准则进行判别#’/(注意取"%时#应考虑合适的取法#*&*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十二章!数项级数&1"&1#&1’8’)#8’)#8’)#解!’"(由于!6!&1"1!&1#1&1!&1’6$6&1"1&1#1&&1’6###""""""!!%&1"1&1#1&1&1’$&2&1’%&######因此#对任意的!#%-取&$,&;<#"-使得当&#%及*’+:1#由上式就有6!&1"!"8’)#1!&1#1&1!&1’6%!成立#故由柯西准则可推出""收敛-#’2"("2"#""""’#(因&’(#$##故取!%$-对任一%+:1#总存在&%#%#和’%$"’$#"1"#//"#有’&(#%1""6!&%1"6$##$!%#’&%1"(1"/’2"("2"#"由柯西准则可知发散-"#"#1""’.(由于数列!"单调减小#故khdaw.com"&1!""’2""6!&1"1!&1#1&1’6$21&1’2"(%课后答案网%%&%1"&%1#&%1’""%%&%1"&%www.hackshp.cn因此#*!#%#取%$,-"1"!当&%#%及’+:1时#都有6!&1"1!&1#1&1!&1’6%!成立-%%%由柯西准则可知级数"’2"(""收敛-""’/(取!%$##!*%+:1#及取&%$#%#’%$&%#则当&%#%时#就有’%’’%%""""!’&(1’&(##"#$"3$"%13%133$"!#’&%13(3$"!#’&%13(’%""#"$3$"!#’&%1&%(##!"由柯西准则知发散-"#!"1"/3-证明级数"!"收敛的充要条件是)任给正数!#存在某正整数%#对一切"#%总有6!%1!%1"1&1!"6%!-!分析!由结论6!%1&1!"6%"的形式推出用柯西准则证明khdaw.com#!证明!必要性!若"!"收敛#则由柯西准则可知*!#%#(%"+:1使得*"#&#%"时有*’*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#6!&1"1!&1#1&1!"6%!取%#%"1"#则*"#%#有6!%1!%1"1&1!"6%!充分性!若*!#%#(%+:#*"#%#总有16!%1!%1"1&!"6%!/#则*&#%及’+:有1!6!&1"1!&1#1&1!&1’6)6!%1!%1"1&1!&1’616!%1!%1"1&1!&6%!/#1!/#$!由柯西准则知级数"!"收敛-!小结!"/#和"都是表示无穷小的数#形式不一样但含义一样#.4-举例说明)若级数"!"对每个固定的’满足条件&’(’!"1"1&1!"1’($%#"’$khdaw.com此级数仍可能不收敛-"!解!调和级数"对每一个固定自然数’#有"课后答案网""""""&’(11&1$&’(1&’(1&1&’($%"’$’"1""1#"1’("’$"1""’$"1#"’$"1’"但该级数是发散的-www.hackshp.cn"#$/"%-设级数!"满足)加括号后级数’!"1!"1#1&1!"1"(""31"333$"收敛’""$%(#且在同一括号的!"1"#!"1##&#!"符号相同#证明!"亦收敛-3331""分析!证明"收敛需要证其和表达式("收敛于某数(#!"$证明!因为级数’!"1"1!"1&1!"(收敛#则有"331#31"3$"&’(’!"1"1!"1#1&1!"($%3331""’$所以*"+:1#总存在3+:1#使"$"319’")9)"31"2"3(时#有"32"("$!"$’!"1"1!"1#1&1!"(1’!"1!"1#1&!"("":::1"31"3319:$":$"$(-32"1’!"1"1!"1#1&1!"(33319其中(-32"表示加括号级数的前32"项之和-当"’$时#32"’1$#从而有($&’(("$&’((-32"1&’(’!"1"1!"1#1&1!"($&’((-32"33319"’$"’$"’$"’$故"!"收敛#其和不变-小结!此题根据3’1$时和(3与(31"的极限一样得出结论#9#正项级数khdaw.com-"-应用比较原则判别下列级数的敛散性)*(*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十二章!数项级数’"("+!!!!!!!!!!’#(#"8’)#+""#1*#"."$""’.(+’/(+"#"’&)"("!"1""$#""’0(’"2=;8(+’1(+"""""!"$""’2("’!*2"(’*#"(+’3("’&)"(&)"+"$#""’4(’*2""1*"2#(’*#%(-!分析!’"(将原式同"比较得出结果#’#(考虑8’)#*#"$#’#("#’1(识记"数列是发"#."."""散的#’2(先做代换;$#"""!解!’"(因为%)##%#"1*"""khdaw.com而正项级数收敛#所以级数收敛-""#""#1*#"’#(因为课后答案网%%#"##8’)"$#’(.!’"’$(."而正项级数#收敛#所以级数"#收敛-"#’(."#8’)."""’.(www.hackshp.cn因为&&%!"1"#"1"""而正项级数发散#所以级数发散-""1""!"1"#’/(因为%%"%"!’"#>#(’&)"(""#""而正项级数收敛#所以级数收敛-"#""’&)"("#"""’0(因为"2=;8$’(’"’1$("#"""而正项级数收敛#所以级数"2=;8收敛-"#"#"’"("’1(因为&’(!"$"#故(%+:1#当"#%时#有"’$"!"%#""即#""!"#"""而正项级数发散-所以级数发散-"#""""!""令;$""*;2"khdaw.com*;&)*’2(因为&’(!*2"000000&’($&’($&)*"’$";’%;;’%""*)*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#""而正项级数"发散#所以级数"’!*2"(发散-""""""’3(因为&)"$&)"$&)"&)’&)"($&)’&)"(%#’&)"(>&)’&)"(’>(""""而正项级数收敛#所以级数收敛-""#"’&)"(&)"""""2’*2#’4(因为&’(*"1*"2##"2*#"($&’("’$’"(#"’$’"(##"#""令;$#"*;2*2;##000000&’(’;($’#&)*(1;’%"#"2"而正项级数"’(收敛#所以级数"’*"1*"2#(收敛-#"-#-用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性)"*.*&*’#"2"(’"1"(0’"(+!!!’#(+khdaw.com""0""%"’.(’"("+’/("0+"#"1"课后答案网"""#"".*"0’0(+’1(+"#"""""8’2("’其中*"’*’"’$(+*"#8#*#%#且#*,8(-’(*"www.hackshp.cn"分析!’/(运用到&’(’"1,(,$>知识点#’2(根据*18不同取值情况考虑#,’%!"1""*.*&*’#"1"("0解!’"(因为!&’($&’(*"’$!""’$’"1"(0"*.*&*’#"2"(#"1"$&’($#"’$"1""*.*&*’#"2"(所以由比式判别法知正项级数发散-""0’"1#(0"!"1""%"1#’#(因为&’($&’("1"*’"1"(0$&’($1$"’$!""’$"%"’$"%’"1"(0所以由比式判别法知正项级数发散-""%""’.(因为&’(’"("$&’("$"%""’$!#"1""’$#"1"#所以由根式判别法知正项级数"’"("收敛-#"1"’"1"(0"!"1""""’/(因为&’($&’(’"1"("1"*$&’($%""’$!""’$"0"’$’"1"(">""0所以由比式判别法知正项级数收敛-"""khdaw.com""#’#’0(因为&’("!"!"("!!"$&’($&’($%""’$"’$#"’$##*!**若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十二章!数项级数#"所以由根式判别法知正项级数收敛-"#""1"’"1"(0"!"1"."’1(因为&’($&’(’"1"("1"*""’$!""’$."0..$&’($#""’$’"1"(">""."0所以由比式判别法知正项级数发散-""""88’2(因为&’(!!"$&’($"’$"’$*"*所以由根式判别法知#当*#8时#正项级数"’8("收敛+当*%8时#正项级数*""’8("发散-*"-.-设"!"和"7"为正项级数#且存在正数%%#对一切"#%%#有khdaw.com!"1"7"1")-!"7"证明)若级数"7"课后答案网收敛#则级数"!"也收敛+若"!"发散#则"7"也发散-!分析!运用比式判别法进行证明即可#!"1"7"1"!证明!若"7"收敛#由题意#知当"#%%时#有)#即www.hackshp.cn!"7"!"1"!"!%%1"%%))&)7"1"7"7%1"%!%1"%故!"1")*7"1"!’"#%%(7%1"%!%1"%而是常数#所以由比式判别法知正项级数"!"亦收敛-若正项级数"!"发散#同7%1"%理可证正项级数"7"亦发散-#亦收敛+试问反之是否成立../-设正项级数"*"收敛#证明"*"!证明!由正项级数"*"收敛可知!!&’(*"$%"’$即(%%+:1#当"#%%时#有!!%)*"%"从而%)*#"%*"由比较原则可知#正项级数*"#收敛#但反之不一定成立#例如正项级数"收敛#但"""#"正项级数发散-""#收敛--0-设*"&%#"$"###&#且!"*""有界#证明"*"!分析!注意条件$!"*""有界%#可由此设%)"*"%)再进行证明khdaw.com#!证明!由题意可知()#%#*"+:1#有%)"*"%)*!!*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#)即%)*"%"#从而%)*#)"%#""#而级数"#收敛#由比较原则可知级数"*"亦收敛-"#*".1-设级数"*"收敛#证明"’*"#%(也收敛-"!证明!对*"#%及任意正整数"#有*""#"%%)*"1#"#’"(#"*"而"*"#"#都收敛#故"亦收敛-""-2-设正项级数"!"收敛#证明级数"!!"!"1"也收敛-"!分析!注意运用!*8)’*18(#khdaw.com#!证明!对!"#%#及任意正整数"#有"课后答案网%)!!"!"1")’!"1!"1"(#而级数"!"收敛#故由比较原则知级数"!!"!"1"收敛-.3-利用级数收敛的必要条件#证明下列等式)"’#"(0"’"(&’(www.hackshp.cn’"0(#$%+!!!’#(&’("0$%!’*#"(-"’$"’$*""""!解!’"(设!"$’"0(##则正项级数"!"$"’"0(#是收敛的#这是因为’"1"("1"’"0(#"!"1"""&’($&’(,’"1"(0-#*"$&’(’"1"($%"’$!""’$""’$"1"""故由柯西准则可知&’(!"$&’(#$%-"’$"’$’"0(’#"(0’#"(0’#(设!"$"0则正项级数"!"$""0是收敛的#这是因为**’#’"1"((0"0’#"1"(’#"1#(!"1"*&’($&’(’"1"(0*’#"(0$&’("1"$%"’$!""’$*"’$*’#"(0故由柯西准则知&’(!"$&’("0$%-"’$"’$*-4-用积分判别法讨论下列级数的敛散性)""’"(+!!!!!!!’#(+""#1"""#1""$""’.(+’/(#""&)"&)’&)"(""’&)"(’’&)&)"(<"$."$.!分析!’.(运用积分判别法#’/(分别讨论’1<的不同取值情况khdaw.com#"!解!’"(设+’,($#,1"*!"*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十二章!数项级数则+’,(在,"#1$(上为非负递减函数#而1$?,##$1""1,/"故由积分判别法知收敛-""#1",’#(设+’,($#,1"则+’,(在,"#1$(上为非负递减函数#而,&’(,*#$",’$,1"1$,"由?,发散#于是由积分判别法知发散-#"#1",1""1""’.(设+’,($,&),&)’&),(则+’,(在,.#1$(上为非负递减#而1$1$1$?,?!+’,(?,$$$1$khdaw.com1.1.,&),&)’&),(1&)&).!""故由积分判别法知发散-""&)"&)’&)"(课后答案网"$."’/(设+’,($,’&),(’’&)&),(<则+’,(在,.#1$(上非负递减-www.hackshp.cn$(若’$"#这时有1$1$?,?!<$<1.,&),’&)&),(1&)&).!当<#"时级数收敛#当<)"时级数发散-%(若’,"#这时有1$1$?,?!’’&)&),(<$’’2"(!<1.,’&),(1&)&).>!对任意的<#当’2"#%时#取;#"#有;"&’(!*’’2"(!<$%!’$>!即该积分收敛#当’2"%%时#有;"&’(!*’’2"(!<$1$!’$>!即该积分发散-即对任意的<#当’#"时级数收敛+当’%"时级数发散-$&/"%-设!*""为递减正项数列#证明)级数"*"与"#*#&同时收敛或同时发散-"$"!分析!首先证明(")="#即可证="收敛2("收敛+证发散也可类似此法khdaw.com#&!证明!设正项级数"*"的部分和为("#正项级数"#*#&的部分和为="#则由于!*""为递减正项数列#即有*!#*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#("$*"1’*#1*.(1’*/1*01*11*2(1&1*")*"1’*#1*.(1’*/1*01*11*2(1&’*#91&1*#91"2"(99)*"1#*#1&1#*#9$=9!’")#(&故若正项级数"#*#&收敛#则正项级数"*"亦收敛-反之当" 时#则92"("&*"1*#1’*.1*/(1&1’*#1"1&1*#9("9"#’*"1#*#1/*/1&1#*#9($=9##&故若正项级数"*"收敛#则正项级数"#*#&亦收敛-发散的情况类似可证-!小结!需要对"的取值分类讨论#.""-用拉贝判别法判别下列级数的敛散性)"*.*&*’#"2"("’"("*+#*/*&*’#"(#"1""0khdaw.com’#("!’,#%(-’,1"(’,1#(&’,1"(!解!’"(因为课后答案网!"1"!&’(""2"’$’!"("*.*&*’#"1"(#*/*&*’#"(*’#"1"($&’(,"2*-www.hackshp.cn"’$#*/*&*’#"1#(*’#"1.("*.*&*’#"2"("’1"10(.$&’($#""’$’#"1#(’#"1.(#所以由拉贝判别法知级数收敛-’#(因为!"1"!&’(""2"’$’!"(’"1"(0’,1"(’,1#(&’,1"($&’(""2"’$,’,1"(’,1#(&’,1"1"("0-",$&’($,"’$,1"1"所以由拉贝判别法知+当,#"时级数收敛+当,)"时级数发散-"2"2’2"(收敛#并说明比式判别法对此级数无效--"#-用根式判别法证明级数"#!分析!此题是说明比式与根式判别法并不是在任何地方都有效的例子#"2"2’2"(#则!证明!设!"$#"""""&’(!!"$&’("$"’$"’$#!#’2"(#由根式判别法知"!"收敛#但!"1"2"1#’2"(khdaw.com"&’($&’(#"’$!""’$不存在#所以比式判别法对此级数无效-*!$*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十二章!数项级数.".-求下列极限’其中’#"()’"(&’("""+"’$,’"1"(’1’"1#(’1&1’#"(’-"""’#(&’("1"1"1#1&1#"-"’$’’’’("!解!’"(因为’#"#"’收敛-由柯西准则知"*!#%#(%+:1#当"#%时#有"""’"1"(’1’"1#(’1&1’#"(’%!所以&’("1"1&1"$%"’$,’"1"(’’"1#(’’#"(’-"’#(因为’#"#级数收敛#由柯西准则知""’*!#%#(%+:1使得对一切"#%时#有khdaw.com""""1"1"1#1&1#"%!’’’所以课后答案网&’(""""1"1"1#1&1#"$%"’$’’’’(/"/-设*"#%#证明数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"*"同时收敛或同时发散-!分析!由题意可知两数列有相同敛散性www.hackshp.cn#只需证明一种即可#!证明!由于数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"&)’"1*"(有相同的敛散性-因而本题只需证"*"和"&)’"1*"(的敛散性相同-这两者之一若收敛#必有&’(*"$%"’$且当&’(*"$%时"’$&)’"1*"(&’($""’$*"故由比较原则的推论可知"&)’"1*"(与"*"有相同的敛散性-故数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"*"有相同的敛散性-!小结!注意运用比较原则的推论#9.!一般项级数-"-下列级数哪些是绝对收敛#条件收敛或发散的)’"("8’)",+!!!!!!!’#("’2"(""+"0"1"’2"("’.(+’/(’2"("8’)#+"’1"""""khdaw.com’2"(""’2"("&)’"1"(’0(1+’1(+"’!""(""1"*!%*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#"""#"1"%%,’2(’2"(+’3("0-"’."1"("’("!分析!’.(需要将’分为’2%#%-#’%#"-#’"#1$(三段讨论#’1(通常是先证绝对收敛#再证条件收敛#8’)","!解!’"(因为)"0"0"8’)",而收敛#所以为绝对收敛-""0""0’#(因为&’(’2"(""$",%"’$"1"所以’2"(""发散-""1"’2"("’.(当’)%时&’(",%"’$’1""故这时级数发散-当’#"时#由于khdaw.com’2"(""’1"$’课后答案网""""而收敛#故这时级数绝对收敛-""’"当%%’)"时#令!!!"$"’1www.hackshp.cn"""""!"1"""""""’"1"(则$%$!"’"1"(’’"1"("’"1"(’"’"1"(’"1"""1""""’""而’"1(’>’#"#""’"1"(’"!’"’$("从而当"充分大时#有!"1"%!"即!!""为单调递减#又有&’(!"$%"’$’2"("故由定理"#-""’莱布尼茨判别法(可知#级数在%%’)"时条件收敛-"’1""""##’/(因为’2"(8’)$’"’$("""##而发散#即原级数不是绝对收敛级数#但!8’)"是单调递减且&’(8’)$%-""""’$"所以由莱布尼茨判别法可知"’2"("8’)#条件收敛-"’2"("’0(由于"发散#’2"(""收敛#故"发散-1"""!""’!"khdaw.com"(&)’"1"("’1(因为#"1""1"*!&*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十二章!数项级数’2"(""&)’"1"(&)’"1"(而发散#即不是绝对收敛级数#但是单调""1"""1"!"1""减且&)’"1"(&’($%"’$"1"’2"("&)’"1"(所以条件收敛-""1"""#"1"%%#’2(因为&’($%""’$!’."1"(.""#"1"%%所以’2"(绝对收敛-"’."1"(!"1"6,66,6’3(因为&’($&’($"’$!""’$’"1"(">"所以当6,6%>时#原级数绝对收敛+当6,6&>时#原级数发散--##应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性)’2"(""khdaw.com’"(,!’,#%(+!!!’#(8’)",#,+’%###(!’&#%(+"""1,"""&#’.("’2"("=;8课后答案网",-"!分析!’"(对,进行不同取值情况的讨论#’.(对原式进行逐级放大#最后得出一个上界#",!解!’"(数列"#当,#%时有www.hackshp.cn!"1,""",,%%"%"$""1,,同时#当%%,%"时有"1"",,"1"%""1,"1,",即严格递减且有界+"!"1,"’2"("当,$"时#原级数为#满足莱布尼兹条件#即收敛+"#",#"时#有"1"",,"1"#""1,"1,",即严格递增且有界-"!"1,"’2"("又由于是收敛的#故由阿贝尔判别法知原级数收敛-""’#(由于当,+’%###(时#有$""8’)3,),3$"8’)#khdaw.com"即"8’)",的部分和数列有界#而数列*’*#%(单调减#且!""*!’*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#"&’(*$%"’$"故由狄利克雷判别法知原级数收敛-’.(由于"""’2"(3"’2"(3=;8#3,$"1""’2"(3=;8#3,##3$"3$"3$"""’2"(3)"1""’2"(3=;8#3,##3$"3$"""")1"=;83’#1#,(##3$""8’)’"1(’#1#,(""#"$12###1#,##8’)#")"1#1#,/8’)khdaw.com#即’2"("#"单调递减且&’(""课后答案网=;8",部分和有界#而数列!"""’$"$%-故由狄利克雷判别法知原级数收敛-..-设*"#%#*"#*"1"’"$"##&(且&’(*"$%-证明级数"’2"("2"*"1*#1&1*"是收敛"’$"的-www.hackshp.cn*"1*#1&1*"!证明!设!"$"则由所给条件知!"2!"1"#%#即数列!!""单调递减#且*"1*#1&1*"&’(!"$&’($%"’$"’$"故由莱布尼茨判别法可得出交错级数"’2"("2"*"1*#1&1*"收敛-"-/-设’"#<"如’3(式所定义#证明)若"!"条件收敛#则级数"’"与"<"都是发散的-!分析!将’"#<"用!"表示出来再进行证明即可#!证明!式’3(为6!"61!"6!"62!"’"$#!<"$##由已知得"6!"6发散#又""’"$"’6!"61!"(#得知"’"发散-若不然#由""#6!"6$"’"2"khdaw.com!"可得"6!"6收敛#与题意矛盾-同理亦可知"<"是发散的-*!(*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十二章!数项级数/0-写出下列级数的乘积)$$$$’2"("’"(’"","2"(’"’2"("2"","2"(+’#(’""(’"(-"0"0"$""$""$%"$%!分析!分别先求%#&与%#&1"#再进行综合#$$"2"和’2"("2""2"#当6,6%"时绝对收敛#由柯西定理知这两个级数的!解!’"(级数"","","$""$"乘积也绝对收敛#从而按对角线相乘$"32"(,’2"("23’"231"(,"23-$,"2"’2"("23%"$"3’,"3’"231"(3$"3$"当"$#&时#&#&2"’2"(#&23%#&$,"3’#&231"(3$"#&2",’2"(*’#&(1#’#&2"(2.’#&2#(1&1’2"(&$,&’&1"(&2"’&1"(&-1#&*"2’#&2"(*#1’#&2#(*.1&1’2"(#&2"khdaw.com$,*%$%当"$#&1"时##&1"#&课后答案网’2"(#&1"233’#&1"231"(%#&1"$,"3$"#&1"#&1"#&$,,"’2"(#&1"2331"’2"(#&1"233’#&231"(-3$"3$"www.hackshp.cn#&1"#&’2"("23$,"33$"#3,"2#1.2/102&2#&1#&1"$,1#’#1/1&1#&(2#’/111&1#&(-#&$’&1"(,$$$故’"2"(’’2"("2""2"($’"1"(,#"#6,6%""","",""$""$""$%$$’2"(""’#(由于和是绝对收敛的#故这两级数的乘积亦绝对收敛#且""0""0"$%"$%$$$"’2"("’2"("23""’"(’"($"’"*("0"030’"23(0"$%"$%"$%3$"$"’2"("’2"(3"0$"1"’"("030’"23(0"$"3$"$’"2"("’2"("$"1"$""0"$"!小结!’"(最关键的一步是按对角线相乘可得出%"#$$$""’*18("*8.1-证明级数"与"绝对收敛#且它们的乘积等于"-"0"0"0"$%"$%"$%khdaw.com"1"6*6"06*6!证明!由于&’(’’"1"(0*"($&’($%"’$6*6"’$"1"*!)*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#$$""*8故级数"绝对收敛-同理"亦绝对收敛#且"0"0"$%"$%$$$"$"""3"23’"*(’"8($"’"*8($""’""0*38"23("0"030’"23(0"0’"23(0"$%"$%"$%3$%"$%3$%$’*18("$""0"$%’2"("1""#使它成为发散级数--2-重排级数""!分析!注意将原式展开后进行适当的重新组合#!解!将原级数展开#引用括号且适当重排为’2"("1""!""""""1""$"2121&1’2"(1&#./"""""""""""""""$"212’1(1’1(2’111(1’111(#./1023"%"#"/4"""."0khdaw.com"""""""!2&2’313131&131"(1’331&131"(2&##1##1/#2##1"#1.#2"这样#取!%$"课后答案网#则(3#使"%$#3#%及’32"时有%$#/"""6!"%1!"%1"1&1!"%1’%6$3131&13##1##1#’’%2"(www.hackshp.cn"""$3131&131"##1##2#31"33#2#"#"#31"$3#/’#2"(/#2"/即这样重排后级数发散-,!"-’2"(/3-证明)级数"收敛-"!分析!将原级数展开再进行适当的重新组合#引进新的级数进行表示#!证明!由于,!"-’2"(""""""""""$2"221111122"#./01234"%"""""""!22222111&"""#"."/"0"1"2""#"""""$’2"(’"1#1.(1’2"(’/10111213(."""""""!1’2"(’41"%1""1"#1".1"/1"0(1&3"""故引进一个级数!"’2"(#1#1&1#’331"31#3("""且记!3$#1#1&1#331"3khdaw.com1#3"""#31"则%%!3%#1#1&1#$#3333*"**若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十二章!数项级数故&’(!3$%且3’$"""!32!31"$#1#1&1#’331"31#3("""!2,’31"(#1’31"(#1&1’31"(#(-1"1#’31"#3""""$"’3#192’31"(#19(2’31"(#2’31"(#9$%1#31"1#31##3#31"""$"’3##2’31"(#2’31"(#9$%19(,’31"(19-1#31"1#31#’#31"(###’3##-1#32’31"(##%1#3(,’31"(1#31"即数列!!"单调递减#则由莱布尼兹判别法知级数’2"(3""!3收敛#$’2"(,!"-因而设的部分和为(#’2"(3""""!3的部分和为)%#则有"$"khdaw.com6("2)%6)6)%1"2)%6$6!%1"6’%!’%’$(因此("2)%’%’"’$(即&’(("$&’()%课后答案网"’$"’$,!"-’2"(因此级数收敛-""!小结!利用莱布尼兹判别法可得出原级数部分和www.hackshp.cn("是收敛的#总练习题-"-证明)若正项级数"!"收敛#且数列!!""单调#则&’("!"$%#"’$!分析!运用柯西准则将"!"收敛的数学表达方式表示出来#!证明!由于正项级数"!"收敛#即&’(!"$%#"’$故数列!!""单调递减#由柯西准则知*!#%#(%#对一切"#%#有%%!%1"1!%1#1&!"%!/#又当"#%时!%1:&!"#:$"###&#"2%从而当"#%时%%’"2%(!")!%1"1!%1#1&1!"%!/#"当"##%#则%%!")’"2%(!"%!/##因而%%"!"%!’"##%(故&’("!"$%"’$.#-若级数"*"与"5"都收敛#且成立不等式*")8")5"!’"$"###&(#证明级数"8"也收敛#若"*"#"5"都发散#试问"8"一定发散吗khdaw.com.!证明!由于"*"#"5"收敛#可知"’5"2*"(亦收敛-再由%)8"2*")5"2*"知"’8"2*"!*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#*"(收敛-故"8"$"’8"2*"(1"*"收敛-但当级数"*"#"5"都发散时#级数"8"不一定发散#例如"*"$"’2.(1"5"$".都发散-若取8"3"亦满足不等式*"%8"%5"#而"8"$""是发散-’2"("’2"("若取8"$#亦满足不等式*"%8"%5"#但级数"条件收敛#""’2"("’2"("若取8"$##亦有*"%8"%5"#但级数"#绝对收敛-""*"..-若&’($3,%#且级数"8"绝对收敛#证明级数"*"也收敛#若上述条件中只知道"8""’$8"收敛#能推出"*"收敛吗.*"6*"6!证明!由于&’($3,%#即&’($636#%#由比较原则知"6*"6收敛#即"*"也"’$8""’$68"6收敛-’2"("’2"(""若只知"8"收敛#则"*"不一定收敛-例如#设*"$1#8"$khdaw.com!""!"*"’2"(""则$’"1(’",%!’"’$(课后答案网8"!""’2"(""’2"(而"8"$"收敛#但"*"$"’1(发散-!"!""!"1"-/-’"(设"www.hackshp.cn!"为正项级数#且!%"#能否断定"!"收敛."!"1"’#(对于级数"!"有&"#能否断定级数"!"不绝对收敛#但可能条件收敛.!"’.(设"!"为收敛的正项级数#能否存在一个正数!#使得!"&’($5#%-"’$""1!"!分析!本题考虑条件的充分必要性判断#"!解!’"(否-如!"$#有"!"1""""$*$%"!""1"""1""但"!"$"发散-"!"1"’#(否-由&"!"得6!"1"6&6!"6&6!"6#%知&’(!",%"’$从而"!"发散-khdaw.com"’.(不一定-若取收敛级数#则*!#%#有"""*""*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十二章!数项级数""""&’($&’("2"2!$%"’$""’$""1!"-0-证明)若级数"*"收敛#"’8"1"28"(绝对收敛#则级数"*"8"也收敛-!分析!由"*"8"的部分和收敛证明结论#"!证明!设"*"的部分和为!!!("$"*33$"则"*"8"的部分和为""2""*383$"’832831"((318"("3$"3$"由"*"收敛#即("有界#因而()#%-使*"+:有6("6%)由"’8"1"28"(绝对收敛知"’8"1"28"(收敛#即&’(8"$%#故可得khdaw.com"’$&’(8"("$%"’$再由6’8328课后答案网31"((36))’832831"(及"’8"1"28"(绝对收敛知"’832831"((3收敛#因而"*"8"收敛-*".1-设*"#%#证明级数"是收敛的-www.hackshp.cn’"1*"(’"1*#(&’"1*"(!证明!该级数为正项级数#且其部分和"*3("$"’"1*(’"1*(&’"1*(3$""#3"""$",2(-3$"’"1*"(&’"1*32"(’"1*"(&’"1*3"$"2%"’"1*"(&’"1*"(即数列!(""有界#故原级数收敛-#与#收敛#则级数’*(#也收敛#且/2-证明)若级数"*""8""*"8"和""18"’####"*"8"()"*"*"8""""’’*(#(#(#(""18"#)’"*"#1’"8"#-!分析!注意运用柯西一施瓦兹不等式与闵可夫斯基不等式####收敛#则有’*##(收敛#而!证明!由于"*""8"""18"6*"’*##("8"6)"18"#故"*"8"绝对收敛-又由于!’*(#’*##($khdaw.com##""18"$""1#*"8"18""*"1"8"1#"*"8"故’*(#收敛-""18"*"#*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#在柯西2施瓦兹不等式"""’##*#"*383()"*3"833$"3$"3$"和闵可夫斯基不等式""""""’’*(#(#(#("3183#)’"*3#1’"83#3$"3$"3$"中令"’$取极限#即可得到所要证明的不等式-!小结!必须先判断"*"8"是否绝对收敛#此步为关键#khdaw.com课后答案网www.hackshp.cnkhdaw.com*"$*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十三章!!函数列与函数项级数khdaw.com内容提要课后答案网一!函数列及其一致收敛性!"-函数列收敛与一致收敛的概念设函数列www.hackshp.cn!+""与函数+定义在同一数集>#’"(对,+>#*!#%#(数%’!#,(#%#当"#%时总有$+"’,(7+’,($%!#称+"收敛于+#记为+"’,(’+’,(’"’$(#,+>#’#(若对任给的正数!#总存在某一自然数%#使得当"#%时#对一切,+>#都有$+"’,(7+’,($%!#则称函数列!+""在>上一致收敛于+#记作+"’,(’’+’,(!’"’$(#,+>##-函数列一致收敛的柯西准则函数列!+""在数集>上一致收敛的充要条件是)对任给正数!#总存在正数%#使得当"#&#%时#对一切,+>#都有$+"’,(7+&’,($%!#.-函数列!+""在数集>上一致收敛于+的充要条件&’(8@A$+"’,(7+’,($+%#"’!$,+>二!函数项级数及其一致收敛性"-函数项收敛与一致收敛的概念设!("’,("是定义在数集?上的函数项级数"!"’,(的部分和函数列khdaw.com#若!("’,("在数集>上收敛于(’,(#则称(’,(为"!"’,(的和函数#记为&’(("’,($(’,(#,+>4?#前"’1$*"%*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#称>为函数项级数的收敛域##-函数项一致收敛的柯西准则略#.-函数项级数的一致收敛性判别法6("1’’,(2("’,(6%!#或6!"1"’,(1&1!"1’’,(6%!#B>’>C8DC588判别法)若对充分大的"#恒有实数*"#使得6!"’,(6)*"对@上任意的,都成$$立#并且数项级数"*"收敛#则"!"’,(在@上一致收敛#"$""$"E’)’定理)若在有限区间,*#8-上连续函数序列!("’,("收敛于连续函数(’,(而对,*#8-上每一个,#("’,(是单调数列#则!("’,("在,*#8-上一致收敛于(’,(#FG>&判别法)若在@上""’,(一致收敛#又对@中每一固定的,#数列&"’,(单调#而对任’意"和@中每一个,有6&"’,(6)A’不依赖于,和"的定数(#那么"&"’,(’"’,(在@上一致收敛#$"khdaw.comE’C’=H&>D判别法)设"’"’,(的部分和B3’,($"’:’,(在@上一致有界#对@内每一固"$":$"定的,#数列&"’,课后答案网(单调#并且函数列!&"’,("在@上一致收敛于零#则"&"’,(’"’,(在@上一致收敛#四!一致收敛函数列的性质www.hackshp.cn"-函数极限与序列极限交换定理+"’,(’+’,(#,+CD’,%(69&’(*"+&’(+’,(’存在("’$,’,’%528&’(+"’,(+*":’即&’(&’(+"’,(+&’(&’(+"’,((#7"’$,’,,’,"’$,’,%%%讨论单侧极限时#只要把以上定理中的,+CD’,%(与,’,%分别改为CD!’,%(’或CD7’,((与,’,!’或,’,7(即可#%%%#-连续性定理若函数列!+""在区间E上一致收敛#且它的每一项都在E上连续#则其极限函数+也在E上连续#.-逐项求积定理若函数列!+""在,*#8-上一致收敛#且它的每一项都在,*#8-上连续#则88&’(+"’,(?,$&’(+"’,(?,#1*"’$"’1$*注!若函数列!+""的每一项都在,*#8-上可积#相应定理结论也成立#/-逐项求导定理设函数列!+""定义在区间,*#8-上#若,%+,*#8-为函数列!+""的一个收敛点#!+""的每一项在,*#8-上有连续的导数#且!+-""在,*#8-上一致收敛#则khdaw.com??’&’(+"’,((+&’(+"’,(#?,"’$"’$?,*"&*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十三章!函数列与函数项级数五!函数项级数的性质"-逐项求极限定理#-连续性定理.-逐项求积定理/-逐项求导定理典型例题与解题技巧$例!%!求下列函数项级数的收敛域)$"’"(+""1,""$"$’#(""’,#1,1"("#"’"1"("$"解题分析!本题考查函数项级数收敛域的基本求法#"解题过程!’"(!&’(6!"1"’,(6$&’(6"1,6khdaw.com"1""’$6!"’,(6"’$6"1,6$9"课后答案网%"#6,6#""!"’,(收敛6,6"$"$8"#2"%,)"方法失效:不存在#,$2"方法失效www.hackshp.cn$"当6,6%"时#!"’,($";;2’!%’"’$(#I"!"’,(发散#"1,"$"$"当,$"时#!"’,(;;2’!%’"’$(#I"!"’,(发散##"$"$当,$2"时#&’(!"’,(不存在#I"!"’,(发散#"’$"$"$"故的收敛域为’2$#"(<’"#1$(#""1,""$""’#(&’(""’,#"#!6!"’,(6$&’(1,1"($,1,1""’$"’$!"’"1"($当,#1,1"%"#即’,1"(,%%22"%,%%时"!"’,(收敛#"$"$$""令,$%#原级数$收敛#令,$2"#原级数$收敛#故""’"1"(""’"1"("$""$"$"!"’,(的收敛域为,2"#%-#"$"$例"%!+’,(+,"#"在%),)"是否一致收敛."7,解题分析!考查区间收敛与一致收敛的逻辑关系注意联系闭区间连续性与一致连续的关系#解题过程!这里&’(’,"#"(+%++’,(#%),)"#令+-’,(+","7"’"7#,"(+%#得+"’,(+&’(7,""’$"’$khdaw.com"","+"#由于+"’,(&%#而+"’%(++"’"(+%#所以#在,"+"点+"’,(取极大值#!#!#*"’*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册##"#""""8@A$+"’,(7+’,($+8@A$,7,$+7+%),)"%),)"’(#’(#/所以+"’,(=’’+’,(#%),)"当8@A$+"’,(7+’,($不好求时#只好诉之于一致或不一致收敛的定义或柯西准则#从,+,*#8-上例题也可看出#函数列在有限闭区间上收敛#未必一致收敛#!,"#""在,%#"-上就是7,如此#这与有限闭区间上连续函数一定一致连续不同#历年考研真题评析!$题!%!’北京大学##%%1年(设在,*#8-上#+"’,(一致收敛于+’,(#F"’,(一致收敛于F’,(#若存在正数列!)""#使得$+"’,($))"#$F"’,($))"#’,+,*#8-#"+"###&(#证明)+"’,(*F"’,(在,*#8-上一致收敛于+’,(*F’,(#分析!本题主要考查一致收敛的知识#证明!先证!+"’,("一致有界#khdaw.com+"’,(一致收敛于+’,(#所以*!#%#(%-#%#当"#%-时#$+"’,(7+’,($%!’,+,*#8-(特别地对!+"#有$+"’,(7+’,($%"所以$+’,($)$+课后答案网"’,($!"))"!"#即+’,(是有界的#记)-"+8@A$+’,($#则当"#%-时#$+"’,($)$+"’,($!"))-"!"#,+,*#8-取)+(56!)"#)##&)%-#)-"!""#则*"+%#*,+,*#8-#$+"’,($))#同理可证F’,(是有界的#即()-#%#使得$F’,($))-#,+,*#8-#由于+www.hackshp.cn"’,(一致收敛于+’,(#F"’,(一致收敛于F’,(#所以对*!#%#(%#%#当"#%时对一切,+,*#8-有!!$+"’,(7+’,($%#!$F"’,(7F’,($%#)-#)所以当"#%时!$+"’,(F"’,(7+’,(F’,($)$+"’,(F"’,(7+"’,(F’,($!$+"’,(F’,(7+’,(F’,($)$+"’,($$F"’,(7F’,($!$F’,($$+"’,(7+’,($!!%)*!)-*+!#)#)-故+"’,(F"’,(在,*#8-上一致收敛于+’,(*F’,(#$$题"%!’复旦大学##%%1年(证明级数’2"("2""关于,在’2$#1$(上为一致收敛#但""1,#"$"$对任何,并非绝对收敛#而级数#"虽在,+’2$#1$(上绝对收敛#但并",’"1,#(""$"不一致收敛#分析!本题考查一致收敛的证明#$证明!对级数’2"("2""#设&"’,($"#"’,($’2"("#""1,#"1,#’"$"khdaw.com$"则6"’3’,(6)"一致有界#&"’,($#单调减且趋于零’"’$(#由E’C’=H&>D判别法3$""1,*"(*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十三章!函数列与函数项级数$"知级数’2"("2""关于,在’2$#1$(上一致收敛#又由&’(’2"(""##$"#"$""1,"’$"1,"$$’2"("2""%#故级数发散#即级数非绝对收敛#""1,#""1,#"$""$"$#,对级数#*,+’2$#1$(有"’"1,#(""$""",#9#%"#,,%!’"1,#("’8"1,!!’"’$(:%#,$%$#,故可知在’2$#1$(上绝对收敛#"’"1,#(""$"但当,+’2$#1$(时$,#""#,,%("’,($"’"1,#(3$"2’"1,#("’(’,($!’"’$(3$"!%#,$%$"#,,%,#!("’,("的极限函数(’,($在,$%点不连续#故级数在’2$#"’"1,#("khdaw.com!%#,$%"$"1$(上非一致收敛课后答案网#课后习题全解!!!9"!一致收敛性www.hackshp.cn/"-讨论下列函数列在所示区间>上是否一致收敛#并说明理由)’"(+"’,($,#1"#"$"###&#>$’2"#"(+#!",’#(+"’,($#"$"###&#>$’2$#1$(+##"1","92’"1"(,1"#%),)#"1"’.(+"’,($"$"###&+8"%#%,%"#:"1",’/(+"’,($#"$"###&#’$(>$,%#1$(#’%(>$,%#"%%%-+",’0(+"’,($8’)#"$"###&#’$(>$,2G#G-#’%(>$’2$#1$(#"!分析!本题是考察一致收敛知识点的基础题#不同小题运用不同的方法#务必掌握#!解!’"(由于&’(+"’,($6,6$+’,(!’,+>$’2"#"(("’$#"&’(8@A6+"’,(2+’,(6$&’(8@A6,1#26,66"’$,+>"’$,+>!""#"khdaw.com"$&’(8@A$&’($%"’$,+>""’$"#,1#16,6!"*")*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#故,#1"’6,6#’">$(#,+’2"#"(#!"’’#(因为&’(+"’,($%$+’,(#,+’2$#1$("’$6,6"&’(8@A6+"’,(2+’,(6$&’(8@A##)&’($%"’$,+>"’$,+>"1"6,6"’$#",故##’%#’">$(#,+’2$#1$("1",’’.(当,$%时#&’(+"’%($"#"’$"当%%,)"时#只要"#2"#就有+"’,($%#从而&’(+"’,($%#于是在,%#"-上,"’$的极限函数为"#!!,$%+’,($!%#%%,)"因8@A6+"’,(2+’,(6$"’"$"##&(#故+"’,(在,%#"-上不一致收敛#%),)"khdaw.com’/(易见极限函数为+’,($%#,+,%#1$(#,’$(因为8@A6+"’,(2+’,(6$8@A66$1$%课后答案网),)1$%),%1$",所以!"在,%#1$(上不一致收敛#""%%%’%(因为!!&’(8@A6+"’,(2+’,(6$&’($%www.hackshp.cn"’$,+,%#"%%%-"’$",故!"%#’">$(#,+,%#"%%%-"’’’0(易见极限函数+’,($%#,G’$(因为8@A6+"’,(2+’,(6$8@A68’)6)>%#’">$(,+,2G#G-,+,2G#G-"",故8’)’%#’">$(#,+,2G#G-"’,’%(因为8@A6+"’,(2+’,(6$8@A68’)6$",+’2$#1$(,+’2$#1$(",故!8’)"在’2$#1$(上不一致收敛#"!小结!函数列的收敛与一致收敛是两个不相同的概念#收敛是一个局部概念#一致收敛是一个整体概念#函数列一致收敛则一定收敛#反之不成立#判断函数列!+"’,("在,*#8-上一致收敛的方法有)5-+"’,(’+’,(?8@A6+"’,(2+’,(6’%#’"’$(#’,+,*#8-G-关于函数序列一致收敛的柯西定理#=-化成相应的函数项级数#再用函数项级数判断一致收敛的方法#这些方法中最常用的还是’5(#在用’5(时必须估计8@A6+"’,(2+’,(6#因此往往需要先,+>khdaw.com求6+"’,(2+’,(6的极大值#但是带绝对值求导很不方便#这时可以先求’+"’,(2+’,((的极大值#然后求6+"’,(2+’,(6的极大值#*#**若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十三章!函数列与函数项级数.#-证明)设+"’,(’+’,(#,+>#*"’%’"’$(’*"#%(#若对每一个正整数"有6+"’,(2+’,(6)*"#,+>#则!+""在>上一致收敛于+#!证明!因6+"’,(2+’,(6)*"#’,+>#"$"###&(#且*"’%#’"’$(#所以&’(8@A6+"’,(2+’,(6)&’(*"$%"’$,+>"’$故+"’,(’’+’,(#’">$(#,+>/.-判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性)",’"(#,+,2/#/-+"’"2"(0’2"("2"#,’#(#,+’2$#1$(+"’"1,#(""’.(#6,6#/&"+","",’/(#,+,%#"-+""#khdaw.com’2"("2"’0(#,+’2$#1$(+",#1"#’1(,课后答案网#,+’2$#1$(#"’"1,#("2"!分析!函数项级数在给定区间上一致收敛的判别法同样是基础知识点#为更深入地学习一致收敛的各种定理提供必要的理论知识前提#!解!’"(www.hackshp.cn*,+,2/#/-#有""",6,6/$)’"2"(0’"2"(0’"2"(0""/!"1"//令!"$#则$>%#’">$(#所以"收敛#由)判别法知#’"2"(0!""’"2"(0",在,2/#/-上一致收敛#"’"2"(0#’"2"(,’#(令!"’,($’2"(#7"’,($’"1,#("#则*,+’2$#1$(#有"6"!3’,(6)"#’"$"###&(#又对每一个,+’2$#1$(#!7"’,("单调递减#且3$"#,"由%)’"1,#(")>%’">$(知#7"’,(’%#’">$(#,+’2$#1$(#由狄利"’’2"("2"#,克雷判别法知在’2$#1$(上一致收敛#"’"1,#(""’.(当6,6&/#%时#有")"#且&’(!"$"#因此当"%"即/#"时#"""""6,6/"’$////"收敛#由)判别法知在6,6&/#"上一致收敛#当/$"时原级数不一致收敛#","""’/(因,"#’,+,%#"-#"$"###&(#而"收敛khdaw.com#由)判别法知,在,%#"-"#)"#""#""#上一致收敛#*#!*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#’2"("’0(由莱布尼茨判别法知#知’2$#1$(上任意一点,#收敛#由于",#1""&’(8@A6H"’,(6$&’($%"’$,+’2$#1$("’$"1"’2"("2"故在’2$#1$(上一致收敛#",#1"’1(当,,%时"8@A6H"’,(6$8@A’"1,#("2"$",+’2$#1$(,+’2$#1$(#,故在’2$#1$(上不一致收敛#"’"1,#("2"!小结!判断函数项级数"!"’,(在区间E$,*#8-上一致收敛的方法可以总结如下)5-"!"’,(在E上一致收敛?8@A6H"’,(6>%#’">$(#如本题的第’0(’1(小题#,+EG-函数项级数一致收敛的柯西准则#=-三个判断函数项级数一致收敛的充分条件))判别法#如本题第’"(’.(小题#狄利克雷khdaw.com判别法#如本题第’#(小题#阿贝尔判别法#-/-设函数项级数"课后答案网!"’,(在>上一致收敛于(’,(#函数F’,(在>上有界#证明级数"F’,(!"’,(在>上一致收敛于F’,((’,(#!分析!本题考察两不同函数项级数的乘积是否一致收敛的判断方法#!证明!设www.hackshp.cn6F’,(6))#,+>#因"!"’,(在>上一致收敛于(’,(#所以#*!#%#(%#当"#%时#对一切,+>#有"!6"!3’,(2(’,(6%)3$"于是#当"#%时#对任一,+>#有""6"F’,(!3’,(2F’,((’,(6$6F’,(66"!3’,(2(’,(6%!3$"3$"故"F’,(!"’,(在>上一致收敛于F’,((’,(#.0-若在区间E上#对任何正整数"#6!"’,(6)7"’,(#证明当"7"’,(在E上一致收敛时#级数"!"’,(在E上也一致收敛#!证明!因"7"’,(在E上一致收敛#所以#*!#%#(%#%#当"#%时#对一切,+E和一切’’’’自然数’#都有6"7"1’’,(6%!#从而6"!"13’,(6)"6!"13’,(6)"7"13’,(%3$"3$"3$"3$"!#故"!"’,(在E上一致收敛#.1-设!"’,(’"$"###&(是,*#8-上的单调函数#证明)若"!khdaw.com"’*(与"!"’8(都绝对收敛#则"!"’,(在,*#8-上绝对且一致收敛#!证明!因!"’,(’"$"###&(是,*#8-上的单调函数#所以*#"*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十三章!函数列与函数项级数6!"’,(6)6!"’*(616!"’8(6’"$"###&#,+,*#8-(由"6!"’*(6与"6!"’8(6收敛知)"’6!"’*(616!"’8(6(收敛#故"!"’,(在,*#8-上绝对并一致收敛#-2-在,%#"-上定义函数列""9#,$#""!"’,($8!!!!"$"###&#"%#,,#:"证明级数"!"’,(在,%#"-上一致收敛#但它不存在优级数#!分析!本题运用反证法#先设"!"’,(存在优级数")"#!证明!因""9#!,$"1""1"""#!,$khdaw.com"1#"1#6!"1"’,(1!"1#’,(1&1!"1’’,(6$8&!!&课后答案网"#!,$""1’"1’:%#其他点’"所以www.hackshp.cn#当%),)"时#恒有"!"13’,(%#’"#’$"##&(#于是#*!#%#取%$"3$"’,-"1"#则当"#%时#对一切,+,%#"-和一切自然数’#都有"!"13’,(%!#故!3$"所给级数在,%#"-上一致收敛#"假设"!"’,(在,%#"-上存在优级数")"#取,$#则""")"&6!"’,(6$!"’("$"#%""由")"收敛得知"收敛#这与"发散矛盾#故"!"’,(不存在优级数#""-3-讨论下列函数列或函数项级数在所示区间>上的敛散性)$"2#"’"(#>$,2"#"-+"’,##(,,##-"$#1"1’"2"(’#(#"8’),#>$’%#1$(+"."#,’.(#>$’%#1$(+","1’"2"(,#-’"1",#(",’/(#>$,2"#%-+"!"khdaw.com#"1"’0("’2"(",#>$’2"#"(+#"1"*##*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#$8’)",’1("#>$’%###(#""$"!分析!’"(运用函数项级数一致收敛的柯西准则进行判断#’.(将原式积化和差进行拆项#’1(可初步判断该级数不一致收敛#用一致收敛的柯西准则#对任意自然数%#可取"$%#’$""%1"#经运算后可凑出!%$8’)#.#!解!’"(因"1’"2#36("1’’,(2("’,(6$"’,#13#(,,#1’32"(#-3$"1""1’""$",##2,##’131’32"((3$"1"""""$##2##%##),1’"1’(,1",1""所以#*!#%#取%$,-"1"#当"#%时#对一切,+,2"#"-和一切自然数’#都!!khdaw.com有6("1’’,(2("’,(6%!#由函数项级数一致收敛的柯西准则所给级数在课后答案网,2"#"-上一致收敛#’#(对任意自然数"#取,"$##."+’%#1$(#有#",""#8’)"$#.www.hackshp.cn所以#"8’),在’%#1$(内不一致收敛#"."’.(因为"("’,($""2","1’32"(,#"13,#-3$""$"2#’"!’"’$(#(’,($"’"1",(所以""8@A6(’,(2("’,(6&#$#"$"###&%%,%1$"#"1"’(!"由函数项级数一致收敛的充要条件知#所给级数在’%#1$(内不一致收敛#"’2,("’/(记!’,($’2"("#7’,($#则"""!3’,()"#,+,2"#%-#对每一个,+,2!"3$"’2,("""#%-#!7"’,("单调递减且)’%’"’$(#可见7"’,(’%’">$(#,+!"!"’",,2"#%-#由狄利克雷判别法知#在,2"#%-上一致收敛#"!"#"1"#"1"’0(记!"’,($’2"("#7"’,($,#与’/(类似可得#khdaw.com"’2"(",在’2"#"(上不#"1"#"1"一致收敛#*#$*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十三章!函数列与函数项级数"""’1(取!%$8’)#对任意自然数%#存在"$%#’$%1"#,%$+,%###-#.##’%1"(使!6!"1"’,%(1!"1#’,%(1&1!"1’’,%(6"%1""%1#"#%1"$8’)18’)1&18’)%1"#’%1"(%1##’%1"(#%1"#’%1"(""""""#8’)11&1#8’)$!%#’%1"%1##%1"(.#8’)"#故在’%###(上不一致收敛#""’2"(""’"2,(在,%#"-上绝对并一致收敛#但由其各项绝对值组成的级数在/4-证明)级数",,%#"-上却不一致收敛#"1"#得到!’,(的最大值后进行证明#!分析!首先判断出6H"’,(6)’"2,(,"1""1"#再求函数!!’,($’"2,(,"1"在,%#"-上的最大值#由!证明!易见6H"’,(6)’"2,(,"1"!-"1"’,($’"1#(,"’"1"2,(#知!"1"’,(在,$"1"时达到,%#"-上的最大值#所khdaw.com"1#"1#以"1"课后答案网""1""6H"’,(6)%"1#’"1#("1#"因此&’(8@A6H"’,(6&’($%"’$%),)""’$"1#$$故www.hackshp.cn’2"(""’"2,(在,%#"-上一致收敛#对’2"(""’"2,(各项绝对值组成的级",","$%"$%$"2"数"’"2,(#由于!(’,($’"2,(3"且","",$"2,"$%3$%"#%),%"&’(("’,($(’,($"’$!%#,$%可见8@A6("’,(2(’,(6$"%),)"故所给级数在,%#"-上绝对并一致收敛#但其各项绝对值组成的级数在,%#"-上却不一致收敛#!小结!H"’,(在证明中起着非常重要的作用#."%-设+为定义在区间’*#8(内的任一函数#记,"+’,(-+"’,($#"$"###&#"证明函数列!+""在’*#8(内一致收敛于+#!证明!由于""6+"’,(2+’,(6$6,"+’,(-2"+’,(6)!"$"###&""所以#*!#%#取%$,-"1"#则当"#%时对一切,+’*#8(均有6+"’,(2+’,(!khdaw.com6%!#故!+"’,("在’*#8(内一致收敛于+’,(#/""-设!!"’,("为,*#8-上正的递减且收敛于零的函数列#每一个!"’,(都是,*#8-上的单调函数#*#%*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#则级数!"’,(2!#’,(1!.’,(2!/’,(1&在,*#8-上不仅收敛#而且一致收敛#!分析!运用狄利克雷判别法进行判断#"#则!证明!记7"’,($’2"("6"73’,(6)"#’,+,*#8-(#!"$"###&3$"因!"’,(在,*#8-上单调#则%%!"’,()!"’8(1!"’*(#,+,*#8-#!"$"###&又!"’*(#!"’8(收敛于零#所以*!#%#(%#%#当"#%时有6!"’*(1!"’8(6%!#从而对一切,+,*#8-#有6!"’,(2%6)6!"’*(1!"’8(2%6%!故!"’,(’’%’">$(#,+,*#8-#又对每一个,+,*#8-#!!"’,("递减#由狄利克雷判khdaw.com别法知#所给级数在,*#8-上一致收敛#!小结!注意证明一致收敛的方法课后答案网#此题根据定义证明#9#!一致收敛函数列与函数项级数的性质."-讨论下列各函数列!+""在所定义的区间上)’5(!+""与!+-""的一致收敛性+’G(!+""www.hackshp.cn是否有定理".-4#".-"%#".-""的条件与结论#"#,1",’"(+"’,($#,+,%#8-+!’#(+"’,($,2#,+,%#"-+,1""#’.(+’,($",>2",#,+,%#"-#"!解!’"(’5(&’(+"’,($"$+’,(#,+,%#8-"’$,88@A6+"’,(2+’,(6$8@A$>%!’">$(%),)8%),)8,1"81"由于"+-"’,($##&’(+-"’,($%$F’,(#,+,%#8-’,1"("’$从而""8@A6+-"’,(2F’,(6$8@A#$>%!’">$(%),)8%),)8’,1"("故!+"’,("与!+-"’,("都在,%#8-上一致收敛##,1"#,1"’G(因在,%#8-上一致收敛#且每一项都连续#所以具有定理".-4#!,1""!,1""#,1"".-"%的条件#从而具有定理结论#又-在,%#8-上一致收敛#每一项在,%#8-!,1""#,1"连续#且!+"’,("在,%#8-上收敛#所以具有定理khdaw.com".-""的条件和结论#!,1""’#(’5(因为!!&’(+"’,($,$+’,(#,+,%#"-"’$*#&*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十三章!函数列与函数项级数从而","8@A6+"’,(2+’,(6$8@A66$>%’">$(%),)"%),)""","所以!,2’,$+’,(’">$(#,+,%#"-"’又"#%),%""2"#&’(+-"’,($"2,+-"’,($"’$!%#,$"从而!+-"’,("的每一项在,%#"-上连续#!+-"’,("的极限函数在,%#"-上不连续#故!+-"’,("在,%#"-上不一致收敛#"",,’G(因!,2"在,%#"-上一致收敛#且每一项连续#所以,2具有定理".-4#"!""".-"%的条件从而具有定理结论#由于!+-"’,("在,%#"-上不一致收敛#所以!+"’,("不具有定理".-""的条件#又+-’,($,-$",&’(+-"’,(#从而不具有定理".-""的结"’$论##khdaw.com’.(’5(易见!!&’(2",+"’,($&’(",>$%$+’,(#!,+,%#"-"’$"’$#2",8@A6+"’,(2+’,(6$8@A",>课后答案网%),)"%),)"由+-’,($">2",#’"2#",#(知+’,(在,$"达到,%#"-上的最大值#所以""!#""2"8@A6+"’,(2+’,(6$>#’$’"’$(www.hackshp.cn%),)"!##故!",>2","在,%#"-上不一致收敛##因为+-’,($",2",’"2#",#("所以%#%%,)"&’(+-"’,($"’$!1$#,$%!+-"’,("的每一项在,%#"-上连续#其极限函数在,%#"-上不连续#故!+-"’,("在,%#"-上不一致收敛#’G(因!+"’,("与!+-"’,("在,%#"-上都不一致收敛#所以!+"’,("不满足定理".-4#".-"%#".-""的条件#又!+"’,("的极限函数+’,($%#在,%#"-上连续#故""2",#"&’(",>?,$,&’(+"’,(?,$%"’1$%#1%"’$由于!+-"’,("在,$%不收敛#所以!+"’,("具有定理".-"%的结论+不具有定理".-4#".-""的结论#!小结!函数列一致收敛是定理".-4#".-"%#".-""结论成立的充分而非必要条件#在三个定理条件满足的前提下极限运算可以与极限运算换序#极限运算可以与积分运算换序#极限运算可以与求导运算换序#而当函数列不一致收敛时三个定理的结论可能成立也可能不成立#如第.小题!+"’,("与!+-"’,("都在,%#"-上不一致收敛khdaw.com#但极限运算可以与极限运算换序#而极限运算与积分运算和求导运算就不能换序#-#-证明)若函数列!+""在,*#8-上满足定理".-""的条件#则!+""在,*#8-上一致收敛#*#’*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#!分析!定理".-""的条件为充要条件#先假设+-"’,(一致收敛于F’,(#再进行证明即可#!证明!设+-"’,(’’F’,(!’">$(#,+,*#8-因对,*#8-上的任意,#,%#有,+"’,($+"’,%(1+-"’;(?;1,%,+"’,($&’(+"’,($+’,%(1F’;(?;"’$1,%所以,!6+"’,(2+’,(6$6+"’,%(2+’,%(1,+-"’;(2F’;(-?;61,%,)6+"’,%(2+’,%(616,+-"’;(2F’;(-?;61,%,)6+"’,%(2+’,%(616+-"’;(2F’;(6?;1,%由!+"’,("在点,%收敛知#*!#%#(%"#当"#%"#有khdaw.com!6+"’,%(2+’,%(6%!课后答案网#又+-"’,(’’F’,(#’"’$(#,+,*#8-#对上述!#%#(%##当"#%#时#对一切;+,*#8-#有!6+-"’;(2F’;(6%&www.hackshp.cn#’82*(取%$(56!%"#%#"#则当"#%时#!&成立#从而6+"’,(2+’,(6%!#因此+"’,’’+’,(#’">$(#,+,*#8-#..-证明定理".-"#和".-"/#$!证明!定理".-"#之证)设,%为,*#8-上任意一点#"!"’,(在,*#8-上一致收敛于(’,(#则当"$",+,*#8-时6(’,(2(’,%(6$6(’,(2("’,(1("’,(2("’,%(1("’,%(2(’,%(6)6(’,(2("’,(616("’,(2("’,%(616("’,%(2(’,%(6$因"!"’,(在,*#8-上一致收敛于(’,(#从而*!#%#(%#当"#%时#对一切,+,*#"$"8-#有!!6(’,(2("’,(6%#6("’,%(2(’,%(6%..由!"’,(在,*#8-上连续’"$"###&(知)对取定的"#%#("’,(在,*#8-上连续#所以对上述!#((#%#当,+,*#8-#且6,2,%6%(时!6("’,(2("’,%(6%.khdaw.com于是当6,2,%6%(且,+,*#8-时有6(’,(2(’,%(6%!*#(*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十三章!函数列与函数项级数故和函数(’,(在,%点连续#由,%的任意性知(’,(在,*#8-连续#定理".-"#得证#下证定理".-"/#设@’,(#由!-’,(在,*#8-上连续及定理".-"#知#函数"!-"’,(在,*#8-上一致敛于("@’,(在,*#8-上连续#又由定理".-".知#*,+,*#8-($$,,,@’;(?;$("!-"’;(?;$"!-"’;(?;1*1*1*"$""$%$$$"!"’,(2"!"’*($(’,(2(’*("$""$",故@’;(?;$(’,(2(’*(#两端关于,求导#得(1*$@’,($(-’,($("!"’,(#*,+,*#8-"$"$"2",,./-设(’,($"##,+,2"#"-#计算积分(’;(?;#"1%"$","2"$"2""2"",,!解!#)#’,+,2"#"-(#由)判别法知#"#在,2"#"-上一致收敛#显然#’"$khdaw.com"""$""""###&(#在,2"#"-上连续#由定理".-".知课后答案网,$,"2"$";,(’;(?;$?;$"#".1%1%"""$""$"$,=;8",.0-设(’,($"#,+’2$#1$(#计算积分(’;(?;#1%www.hackshp.cn"$"""!$=;8","=;8",!解!).#,+’2$#1$(#由)判别法知"在’2$#1$(上一致收敛#显""!"#"$"""!=;8",然’"$"###&(在’2$#1$(上连续#由定理".-".有""!$$,,=;8";8’)",1%(’;($"1%?;$"#"$"""!"$""!"$&).2",#,#%#计算-1-设(’,($"">(’;(?;#1&)#"$"2",(-%%#再计算#需要用到定理".#".#!分析!先判断出’"I2",(-$2"#2",!解!由’">>%%有2",2"&)##!,+,&)##&).-">)">$对级数2"&)##有"">"$""""2"&)#!"!""!">$&)#$’%"!’">$(>##$$于是2"&)#收敛#从而2",在,&)##&).-上一致收敛#显然">2",’"$"###&(#在,&)"">"">"$""$"##&).-上连续#由定理".-".知khdaw.com$$&).&).2";"""(’;(?;$"">?;$""2"$1&)#1&)#’#.(#"$""$"*#)*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#8’)",.2-证明)函数+’,($".在’2$#1$(上连续#且有连续的导函数#"8’)",""8’)",!证明!由.).#而".收敛#由)判别法知".在’2$#1$(上一致收敛#""""8’)",=;8",=;8",""=;8",因.-$##而#)##由"#收敛知"#在’2$#1$(上’"("""""=;8",一致收敛#又’"$"###&(在’2$#1$(上连续#从而由定理".-".知+’,(具有#"连续的导数#从而+’,(也连续#$"-3-证明)定义在,%###-上的函数项级数"/=;8",’%%/%"(#满足定理".-".条件#且"$%$##’""/=;8",(?,$###1%"$%$"!分析!先证"/=;8",是一致收敛的#再运用定理".#".#"$%$$""#而"’%%/%"(收敛#故"!证明khdaw.com!因6/=;8",6)/"/"/=;8",在,%###-上一致收敛#又"$%"$%$""/=;8",在,%课后答案网###-上连续#所以"/=;8",满足定理".-".的条件#且"$%$$####""1%’"/=;8",(?,$"1%/=;8",?,"$%"$%####因www.hackshp.cn?,$###=;8",?,$%!’"$"###&(#所以1%1%$##"’"/=;8",(?,$##1%"$%.4-讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及极限函数的连续性1可微性和可积性)#’"(+’,($,>2",#"$"###&#,+,2G#G-+"",’#(+"’,($#"$"###&#",1"’$(,+,%#1$(#’%(,+,*#1$(’*#%(#!解!’"(由于&’(+"’,($%$+’,(#,+,2G#G-"’$从而2",#"2"8@A6+"’,(2+’,(6$8@A6,>6)>#>%’">$(,+,2G#G-,+,2G#G-!#"所以#2",’%’"’$(#,+,2G#G-,>’#因极限函数+’,($%#知+’,(在,2G#G-上连续1可积1可微#且由,>2",在,2G#G-上连续及定理".-"%有khdaw.comGG&’(+"’,(?,$&’(+"’,(?,12G"’$"’1$2G*$**若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十三章!函数列与函数项级数#但由+-’,($>2",’"2#",#(知"%#%%6,6)G,%&’(+-"’,($"’$!"#,$%因此,&’(+"’,(--,&’(+-"’,("’$"’$’#(’$(易见%,$%&’(+"’,($+’,($"’$!"%%,%1$由于!+"’,("的每一项在,%#1$(上连续#而+’,(在,%#1$(上不连续#所以!+"’,("在,%#1$(上不连续#所以!+"’,("在,%#1$(上不一致收敛#%#,$%由+"’,($知#+’,(在,%#1$(上不连续1可积1不可微#!"#%%,%1$’%(因为&’(+"’,($"$+’,(#,+,*#1$("’$所以khdaw.com",!8@A6+"’,(2+’,(6$8@A2",+,*#1$(,+,*#1$("1",课后答案网""$8@A$’%!’"’$(,+,*#1$("1","1"*",所以’"!’"’$(#,+,*#1$(!’*#%("1",’www.hackshp.cn由+’,($"知+’,(在,*#1$(上连续1可微#不可积#/"%-证明函数"(’,($"",在’"#1$(内连续#且有连续的各阶导数#!分析!先证(’,(连续#再证其一致收敛#即得出结论#$"""!证明!*,%+’"#1$(#取"%’%,%#则%%,)’’,&’(#又"’’’#"(收敛#从而""""$"$""在,’#1$(上一致收敛#由’"$"###&(在,’#1$(上连续及定理".-"#知#"",","$"函数(’,(在,’#1$(上连续#特别(’,(在,%连续#由,%的任意性知(’,(在’"#1$(内连续#’3(因"3"3,$’2"(,&)"在’"#1$(内连续#’3$"###&(#*,%+’"#1$(#取’’(""3&)"33’’3&)"&)""(+’"#,%-#则’2"(,)’’,&’(#固定3#取)使’#)#"#由$""")"333&)"’%#’"’$(及"’)#"(收敛知&)"收敛#于是#’2"(3&)"在,’#"’2)"")""’khdaw.com"","1$(上一致收敛#显然#",在,#"时收敛#由逐项求导及连续性定理知"*$!*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#’3(3’3(’,($"’2"(3&)"("’(",$"",’3(在,’#1$(上连续#特别在,%点连续#由,%的任意性知#(’,(在’"#1$(内连续#故(’,(在’"#1$(内连续且有连续的各阶导数#!小结!运用逐项求导及连续性定理证(’,(有连续的各阶导数#’"(.""-设+在’2$#1$(上有任何阶导数#记J"$+#且在任何有限区间内J"’’*’">$(#试证’,($5>,’5为常数#(*’"(!证明!由于+在’2$#1$(上有任何阶导数#所以+在任何有限区间’*#8(内有连续的导数#’"(’"1"(又+在’*#8(内一致收敛于’,(#且+在’*#8(内也一致收敛于’,(#由定理".-""**知’"(’"(’"1"(*-’,($,&’(+--$&’(,+--$&’(+$*’,(#,+’*#8("’$"’$"’$令F’,($>2,’,(#则F-’,($%#*,+’2$#1$(#F’,(35’常数(#即’,($5>,**#总练习题khdaw.com."-试问3为何值时#下列函数列课后答案网!+""一致收敛)’"(+’,($,"32",#%),%$+">9,"3#%),)"#"#3"#’#(+"’,www.hackshp.cn($’2,("#%,)#"""#%#%,)"#:"!解!’"(因为&’(+"’,($%$+’,(#,+,%#1$("’$所以32",8@A6+"’,(2+’,(6$8@A,">,+,%#1$(,+,%#1$(由+-"’,($"3>2",’"2",(知+"’,(在,$"达到,%#1$(上的最大值#所以"32"2"#于是#当32"%%#即3%"时#有8@A6+"’,(2+’,(6$">,+,%#1$(8@A6+"’,(2+’,(6’%!’"’$(,+,%#1$(当32"&%#即3&"时#有1$#3#"98@A6+"’,(2+’,(6$"!’"’$(,+,%#1$(8#3$":>故当3%"时#!,"32","在,%#1$(上一致收敛#>’#(当,$%时#+"’,($%#所以+’,($&’(+"’,($khdaw.com%"’$#当%%,)"时#只要"##就有+"’,($%#所以+’,($%#,*$"*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十三章!函数列与函数项级数于是!+"’,("在,%#"-上的极限函数为+’,($%#因为!8@A6+"’,(2+’,(6,+,%#"-%#3%""932"$+"’("$">8"#3$"!’">$(:1$#3#"故仅当3%"时#!+"’,("在,%#"-上一致收敛#-#-证明)’"(若+"’,(’’+’,(#,+E#且+在E上有界#则!+""至多除有限项外在E上一致有界的+’#(若+"’,(’’+’,(’">$(#,+E#且对每个正整数"#+"在E上有界#则!+""在E上一致有界#!分析!要证!+""一致有界#需要先证出6+"’,(2+’,(6%!#!证明khdaw.com!’"(设6+’,(6))"#,+E#由+"’,(’’+’,(’">$(’,+E(知#对!$"#(%#当"#%时#对一切课后答案网,+E#有6+"’,(2+’,(6%!$"#从而*,+E6+"’,(6%"1)"!’"#%(故!+"’,("除前%项’有限项(外在E上一致有界#’#www.hackshp.cn(因+"’,(’’+’,(’">$(#,+E#由柯西准则*!$"#(%#当"#%1"#%时#对一切,+E有6+"’,(2+%1"’,(6%!$"所以当"#%1"时#*,+E#6+"’,(6%6+%1"’,(61"#又对每个正整数"#+"’,(在E上有界#设6+"’,(6))"!’"$"###&#%1"#,+E(令)$(56!)"#)##&#)%1""#则对一切正整数"#有6+"’,(6))1"’,+E(#..-设+’,(为,"#"-上的连续函数#证明)#’"(!,""上收敛++’,("在,#"-#’#(!,""上一致收敛的充要条件是+’"($%#+’,("在,#"-#"9%#),%"!证明!’"(由于&’(,"+’,($#!从而!,"+’,("在"#上收敛#且极限8""’$,#-:+’"(#,$"函数为"khdaw.com9%#),%"F’,($8#:+’"(#,$"*$#*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#’#(必要性!因+’,(在闭区间,"#"-上连续#所以+’,(在,"#"-上有界#又##!,""上一致收敛#,""上连续#所以其极+’,("在,#"-+’,(’"$"###&(在,#"-##限函数F’,(在,"#"-上连续#从而#+’"($F’"($&’(F’,($%,’"充分性!设6+’,(6))#,+"#由+’"($%知!,"’,#"-(+’,("的极限函数#"F’,(3%#考虑6,+’,(2%6#"由于+’,(在,$"连续#从而*!#%#((#%#’不妨设(%(#当"2(%,)"#时6+’,(2+’"(6$6+’,(6%!#从而当"2(%,)"时#6,"+’,(2%6)6+’,(6%!当""")#而’"2((")>%’"’$(#所以#khdaw.com),)"2(时#6,+’,(2%6)’"2((#对上述!课后答案网#(%#当"#%时#对一切,+,"#"2(-#有#""6,+’,(2%6)’"2(()%!综上#*!#%#(%#当"#%时#对一切,+"有6,",#"-+’,(2%6%!#故www.hackshp.cn#!,""上一致收敛#+’,("在,#"-#//-若把定理".-"%中一致收敛函数列!+""的每一项在,*#8-上连续改为在,*#8-上可积#试证!+""在,*#8-上的极限函数在,*#8-上也可积#"!分析!要证+"’,(的极限函数+’,(在,*#8-可积#即要证)*!#%#存在分割=#使"%:’,:%:$"!#可令%:$8@A6+’,-(2+’,.(6#利用+"’,(一致收敛于+’,(及任一+"’,(可积的,-#,.+’:定义#将6+’,-(2+’,.(6分成三部分#6+’,-(2+’,.(6)6+’,-(2+%’,-(616+%’,-(2+%’,.(616+%’,.(2+’,.(6上不等式右端的第二个绝对值与’,:相乘作和可小于!!’因为+%’,(可积(#第一及第三个绝对值都小于’因为+"’,(’+’,(#"’..’82*(’"!$(#这两项各与’,相乘作和各小于#即可得"%:’,:%!#.:$"!证明!设+"’,(的极限函数为+’,(#对,*#8-任作一分割=#+’,(在’:上的振幅为%:$8@A6+’,-(2+’,.(6,-#,.+’:因+"’,(’’+’,(’">$(#,+,*#8-#所以#*!#%#khdaw.com(%#使!6+%’,-(2+’,-(6%.’82*(*$$*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十三章!函数列与函数项级数!6+%’,.(2+’,.(6%#,-#,.+,*#8-.’82*("又+%’,(在,*#8-上可积#所以对上述!#((#%#只要A=A%(#有"%-:’,:%!#其.:$"中%-:$8@A6+%’,-(2+%’,.(6于是#当,-#,.+’:时6+’,-(2+’,.(6)6+’,-(2+%’,-(616+%’,-(2+%’,.(616+%’,.(2+’,.(6#!%1%-:.’82*(从而""#!"%:’,:)",1%-:-’,::$":$".’82*(""#!#"$.’82*("’,:1"%-:’,:%.!1.!$!:$":$"khdaw.com故+’,(在,*#8-上可积#!小结!此题考察了极限函数的基本定义#必须牢牢掌握#.0-设级数"*"收敛课后答案网#证明*"&’(",$"*"#1",’%""""!证明!因,)"’,+,%#1$((#且’"1"(,),#所以,单调一致有界#又"*"收敛#www.hackshp.cn""!""*"从而"*"在,%#1$(上一致收敛#由阿贝尔判别法知",在,%#1$(上一致收敛#"*"*"显然’"$"###&(#在,%#1$(连续#由连续性定理知在,%#1$(上连续#故","","**"&’(",$"&’(,$"*",’%1",’%1"-1-设可微函数列!+""在,*#8-上收敛#!+-""在,*#8-上一致有界#证明)!+""在,*#8-上一致收敛#!分析!可用一致收敛的柯西准则证明!+"’,("的一致收敛性#即要证*!#%#(%#当"#%时#对一切,+,*#8-和一切正整数’都有6+"’,(2+"1’’,(6%!可将6+"’,(2+"1’’,(6放大为两部分#利用!+-"’,("的一致有界性#!+"’,("在,*#8-上收敛及拉格朗日中值定理#可证每一部分都小于!#即可证得6+"’,(2+"1’’,(6%!##!证明!设6+-"’,(6))#’"$"###&#,+,*#8-(#对!#%#在,*#8-上取’&2"(个点#*$,%%,"%&%,&2"%,&$8使它们把,*#8-分割成&个’有限(小区间’:$,,:2"#,:-且’,:$,:2,:2"%!’:$/)"###&#&(#因!+"’,("在,*#8-上收敛#所以对’:上任取一点khdaw.com,:#(%:#%#当"#%:时#对任意自然数0#有6+"’,:(2+"1’’,:(6%!’,+’:(#对函数+"’,(2+"1’’,(应用微#*$%*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#分中值定理知)*,+’:#(位于,与,:之间的"使得6+"’,(2+"1’’,(2+"’,:(1+"1’’,:(6!$6+-"’"(2+-"1’’"(66,2,:6%#)*/)于是#6+"’,(2+"1’’,(6)6+"’,(2+"1’’,(2+"’,:(1+"1’’,:(616+"’,:(2+"1’’,:(6!!%1$!##取%$(56!%"#&#%&"#则当"#%时#对一切,+,*#8-#有6+"’,(2+"1’’,(6%!#故!+"’,("在,*#8-上一致收敛#khdaw.com课后答案网www.hackshp.cnkhdaw.com*$&*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十四章!!幂!级!数khdaw.com内容提要课后答案网一!幂级数的收敛区域与收敛半径!"-阿贝尔第一定理www.hackshp.cn$""#-设幂级数"*",的收敛半径为H#如果&’(!$*"$++存在#则"+%"’$"’"(当%%时#幂级数的收敛半径为H+++%!$+’#(当时#幂级数的收敛半径为H+!$+++%’.(当时#幂级数的收敛半径为H+%#++!$$*""!".-设幂级数"*",的收敛半径为H#如果&’($$++#则"+K"’!$*""’"(当%%时#H+++%!$+’#(当时#H+!$+++%’.(当时#H+%#++!$二!幂级数的性质"-阿贝尔第二定理$"的收敛半径为H’#%(##-设幂级数"*","$%’"(若幂级数在右端点,$H处收敛#则在,%#H-上一致收敛#其和函数(’,(在,$H点左连续+khdaw.com’#(若幂级数在左端点,$2H处收敛#则在,2H#%-上一致收敛#其和函数(’,(在,$2H处右连续#*$’*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#三!幂级数和函数的解析性质"-幂级数的收敛半径#-连续性.-逐项微分/-逐项积分四!幂级数的展开"-函数可展开成幂级数的条件#-几个常用的初等函数的展开式#",,,’"(>+"!,!!&!!&’7$%,%!$(#0"0.#"7"’#(8’),+,7,!&!’7"("7",!&’7$%,%!$(.0’#"7"(0##",",’.(=;8,+"7!&!’7"(!&’7$%,%!$(khdaw.com#0’#"(0#."’/(&)’"!,(+,7,!,7&!’7"("7",!&’7"%,)"(课后答案网#.".0#"!",,",’0(5C=D5),+,7!7&!’7"(!&’7"),)"(.0#"!"$’1(’"!,(&+"!L""#L"&’&7"(&’&7"!"("&,&+’"0(www.hackshp.cn"$"其收敛域为,7"#"-#&#%9E+’7"#"-#7"%&%%8:’7"#"(#&)7"特别当&+7"时#即为几何级数"#""+"7,!,7&!’7"(,!&!’7"%,%"("!,典型例题与解题技巧$$""$例!%!设*"&%#"*"收敛#8&+""!&*"#’"("$""$"$&"试证)级数"8&,的收敛半径H满足不等式))H)"#>&$"解题分析!本题考查收敛半径的求法#&&&&$$"$$解题过程!因"&&&"*")""1&*"$!8&)!>"*"$>*"*"’"(!"$"!"$"!"khdaw.com$"!"$"&$注意到&’("*"$"#所以我们有&’$!"$"*$(*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十四章!幂级数&")&’(!8&)>"’$"从而对于收敛半径H有)H)"#>,$?>2""$例"%!展开’(作为,的幂级数#并推出"$"#?,,"+"’"1"(0解题分析!本题主要考查幂级数的展开##"解题过程!因>,$"1,1,1&,1&’2$%,%1$(#0"0,"2#"2">2",,,$"11&111&’,,%(,#0’"2"(0"0逐项微分得,’"2"(,"2#"2">2""#,",’(-$11&111&’,,%(,#0.0"0’"1"(0,,,>2",>7>1"’,(-$,#$"khdaw.com,$",$""#’"2"("故"$11&111�.0"0’"1"(0课后答案网$"即"$""+"’"1"(0历年考研真题评析www.hackshp.cn!$题!%!’东北师范大学##%%1年(证明不等式8’),15C=8’),##,1",0#,+’%#"-#"#分析!本题考查常用函数的泰勒展开#证明!应用8’),与5C=8’),的泰勒展开式#由$8’),$"’7"("",#"!"#,+’7$#!$("+%’#"!"(0$’#"7"(00#"!"#,+,7"#"-5C=8’),+"’#"(00’#"!"(,"$%得到$’#"7"(00""#"!"8’),!5C=8’),+",’#"(00’#"!"(!’7"(’#"!"(0-,"$%$#"!"+"*#"!",!!!,+,7"#"-"$%由于"*"+##!*.+%#!*0+"#’#"7"(00""*#"!"+!’7"(’#"(00’#"!"(’#"!"(0’#"7"(00"khdaw.com&7#%!’"#"(’#"!"(0’#"!"(0因此当,+’%#"-时#有*$)*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#"08’),!5C=8’),##,!,"#$’,!#(#"$题"%!’北京科技大学##%%1年(求幂级数+’2"("的收敛域与和函数#""*."!""$"解题分析!本题考查幂级数的收敛域与和函数的相关知识’,!#(#$’,!#(#"$"解题过程!令;+#则’7"("+’7"("*;.""*."!"".""$""$""$’7"(""";&’($$+"#所以"’7"(*的收敛半径为"#当;+"时#由莱布尼兹判别"’$!.".""$"$"";法知’7"(*收敛#".""$"$"又;&%#所以"’2"(";的收敛域为,%#"-#.""$"’,1#(#由%)$;)"得!!!!2#2!.),)2#1!..khdaw.com所以原级数的收敛域为,2#2!.#2#1!.-#$"令+’;($"’2"(";#则.""课后答案网$"$$’2"(""2"!+-’;($";$2""’2;("2".."$""$";""""$2*#+’;($2*?,www.hackshp.cn."1;1%’."1,("$2&)’"1;(.$’,1#(#"’,1#(#所以’2"("$2"&)"1’,+,2#2!.#2#1!.-(""*."1".’.("$"课后习题全解!!!9"!幂级数."-求下列幂级数的收敛半径与收敛区域)"’"(","+!!!!!!!!!!!!!’#(,+"""#*#"#’"0(#’.("+’/(""’%%/%"(+"’#"(0,"/,’,2#(#"2"""’0("+’1(".1’2#(’,1"("+’#"2"(0"#"""",’2("’"11&1"(,+’3(""###"khdaw.com!解!’"(因为+$&’(!"$""’$收敛半径H$"#而当,$M"时#’M"(""的收敛区域为’2"#"(#""均发散#故"",*%**若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十四章!幂级数"""’#(因为+$&’(#"$"’$!"##’M#("",收敛半径H$##而当,$M#时#级数是收敛的#故的收敛区域为""##"""##",2###-#,’"1"(0-#’#"(0’"1"(#"’.(因为!+$&’(’#"1#(0*’"0(#$&’(’#"1#(’#"1"($"’$"’$/’"0(#收敛半径H$/#而当,$M/时#级数’M/("的通项!有""’#"(0’"0(#"/6!"6$’#"(0当,$2/时#6!"6’1$’"’$(#即级数发散+当,$/时#由于!"1"""&’(""2$&’(2$2%""’$’!"("’$’#"1#(#’"0(#即由拉贝判别法知"的收敛区域为’2/#/(#khdaw.com"!"发散#故"’#"(0,#’/(设!"#%%/%""$/课后答案网""#由于&’("!!"$&’(!/$%"’$"’$#即级数"的收敛半径H$1$#收敛区域为’2$#1$(#"/#"2"’0(www.hackshp.cn作变换)N$,2##则原级数为"!"$"N’#"2"(0#!"1"N由于&’($&’($%"’$!""’$#"’#"1"(即原级数的收敛半径H$1$#收敛区域为’2$#1$(#"".1’2#(’1(设!"$"!"1"由于&’($."’$!""/#故收敛半径H$#其收敛区域为’2#2(#..."""当,$2/时#幂级数".1’2#(’2"("’("是收敛的+."."""#.1’2#("当,$2时#幂级数’(是发散的#."".""故原级数.1’2#(’,1"("的收敛区域为/#2##"",2..(""’2(设!"$"11&1#"!"1"由于&’($""’$!"khdaw.com"""即原级数收敛半径H$"#而当6,6$"时在原级数发散#故级数’"11&1(,"#"*%!*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#的收敛区域为’2"#"(##",’3(设!"$"#%#6,6%"9"由于"6,6"#6,6$"+$&’(!!"’,($&’($8"’$"’$##:1$#6,6#"#",而当6,6#"时#级数发散#故级数的收敛半径H$"#收敛区域为,2"#"-#"#"-#-应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数’应同时指出它们的定义域().0#"1",,,’"(,111&11&+.0#"1"’#(,1#,#."1.,1&1",1&+’.("*#,1#*.,#"1&1"’"1"(,1&#!分析!求幂级数的和函数的方法有多种#这里考察的是典型的逐项求导和逐项求积分的方法#$khdaw.com.0#"1"#"1"#"1",,,,,!解!’"(由,111&11&$"#设!"$.0#"1"#"1"#"1"课后答案网"$%!"1"#可知&’($,"’$!"即该级数收敛半径H$"#当,$M"时#级数’M"(#"1""是发散的#故该级数"#"1"www.hackshp.cn的收敛区域为’2"#"(#因此#*,+’2"#"(#有$$#"1",#""’"#"1"(-$",$"2,#"$%"$"故和函数$,,#"1",;"(’,($(-’;(?;$’"#"1"(-?;$#?;1%1%"$%1%"2;""1,""1,$&)2(’%($&)#,+’2"#"(#"2,#"2,’#(设+’,($,1#,#."#1.,1&1",1&#则该级数的收敛区域为’2"#"(#即,1#,."1.,1&1",1&的和函数$"2"(’,($,*"",$,*F’,(#,+’2"#"("$"$其中F’,($"2""","$"$$,,而";"2"?;$,"$,F’;(?;$""1%1%"$""$""2,,"F’,($’F’;(?;-($#1%’"2,(故(’,($,#,+’2khdaw.com"#"(’"2,(#’.(由于该级数的收敛区域为’2"#"(#即该级数的和函数*%"*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十四章!幂级数$"#,+’2"#"((’,($""’"1"(,"$"$$,,故(’,($""1’%(’;(?;-($1’%""’"1"(;?;-($’,*"",(-"$""$",##,$-$.#!,+’2"#"(,’"2,(#-’"2,($$-.-证明)设+’,($"*","在6,6%H内收敛#若"*"H"1"也收敛#则"1""$%"$%$H*""1"+’,(?,$"H1%"1""$%$’注意)这里不管"在,$H是否收敛(#应用这个结果证明)"*","$%$""?,$&)#$"’2"(""#1%"1,""$"$!分析khdaw.com!先证明"*","1"的和函数在,%#H-上连续#再证明结论#"1""$%!证明!由于幂级数在课后答案网6,6%H内收敛#于是由定理"/-3有$,+’;(?;$"*","1"#!,+’2H#H(1%"1""$%$而"*","1"在,%#H-上收敛#故由定理".-"#和定理".-".知幂级数"1"www.hackshp.cn"$%$,*","1"的和函数"+’;(?;在,%#H-上连续#即"1"1%"$%$$H,*""1"*""1"+’;(?;$&’(+’;(?;$"&’(,$"H1%,’H12%"$%,’H2’"1"("$%"1"应用这个结果#取$’2"(""+’,($","$%"当,+’2"#"(时+’,($"1,$而’2"(""的收敛区域为’2"#"(#故*,+’2"#"(#有","$%$$,’2"("1"’2"("?;"1""$",$",1%"1;"1"""$%"$"$$’2"("’2"(""即","$"’"("$?;$&)#""1%"1;"$""$"./-证明)$/",’/(’"(N$"满足方程N$N+’/"(0"$%khdaw.com$",’#(N$满足方程,N.1N-2N$%#"’"0(#"$%*%#*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#$/",!证明!’"(由于N$"’/"(0"$%的收敛域为’2$#1$(#则可在’2$#1$(内任意阶逐项微分#即有$$/"2"/"2#,,N-$"#!N.$"#’/"2"(0’/"2#(0"$""$"$$/"2./"2/,’/(,N,$"#!N$"#’/"2.(0’/"2/(0"$""$"$$$/"2//’"2"(/"’/(,,,而N$"$"$"$N’/"2/(0’/’"2"((0’/"(0"$""$""$%$",’#(由于N$"’"0(#"$%的收敛区域为’2$#1$(#则可在’2$#1$(内任意阶逐项微分#即有$$"2""2#,,N-$"#!N.$""0’"2"(0"0’"2#(0"$""$#$$$"2""2"",,,故,N.1N-2N$12khdaw.com""0’"2#(0""0’"2"(0"’"0(#"$#"$""$%$""""2"课后答案网$"’"0’"2#(01"0’"2"(02’"2"(0’"2#(0(,"$#$%-0-证明)设+为幂级数’#(在’2H#H(上的和函数#若+为奇函数#则级数’#(仅出现奇次幂的项#若+为偶函数www.hackshp.cn#则’#(仅出现偶次幂的项#!分析!注意奇偶函数各自的特性#再进行证明#$"#!,+’2H#H(!证明!由于+’,($"*","$%$所以+’2,($’2"(""#!,+’2H#H("*","$%当+’,(为奇函数时#应有*’2"(""1*"$%!’"$"###&(而当且仅当"$#32"’3$"###&(时#才满足!!*’2"(""1*"$%$故这时必有+’,($#32"#,+’2H#H(’3$"###&("*#32","$"当+’,(为偶函数时#应有"*"2’2"(*"$%!’"$"###&(于是当且仅当"$#3时#才满足"*"2’2"(*"$%!’3$"###&(’"$"###&($故这时必有+’,($#3’3$"###&(#"*#3,"$%.1-求下列幂级数的收敛域)#"",""’"("""!’*#%#8#%(+!’#("’"1"(,#*18khdaw.com"!解!’"(设!"$""’*#%#8#%(*18*%$*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十四章!幂级数"9#*&8#%!*"1"由&’($"’$!"8"#8#*#%:8所以收敛半径H$(56!*#8"#由于6,6$H时""9#!*$8H#&’(""$8"’$*18:"#*,8",即在,$MH处发散#故其收敛域为’2H#H(#"*""18"""’#(由于&’(!*"$&’(’"1($>"’$"’$""即收敛半径H$>#"""""而当,$M时&’(’"1"(’M>(,%>"’$#"khdaw.com故’"1"(,"的收敛域为2"#"#""’>>(-2-证明定理"/-.并求下列幂级数的收敛半径课后答案网),.1’2"("-"’"("+","’#(*18,1*,#.18,1&!’%%*%8(#!分析!第www.hackshp.cn’"(题需要对+进行不同取值情况的讨论+第’#(题利用根式法求解#!解!先证明定理"/-.#$对于定理"/-.的幂级数"#由于"*","$%"+$&’(!6*"6"’$""即&’("!6*",6$6,6&’(!6*"66$6,6+"’$"’$故由定理"#-3知)当6,6#即6,6%"时#级数*","绝对收敛+当6,6#即+%""+#"+6,6#"时#级数"*","发散#因而就有定理"/-.的结论)+$(当%%+%1$时#幂级数"*","的收敛半径为H$"++%(当+$%时#恒有6,6+%"#即H$1$+((当+$1$时#除,$%外恒有6,6+#"#即H$%#"".1’2"("’"(由于&’(!6*"6$&’("$/$+#即H$#"’$"’$!/"""’#(由于&’(!6*"6$&’(!8$"#即H$"#"’$"’$.3-求下列幂级数的收敛半径及其和函数)khdaw.com$$"",,’"("+!!!!!’#("#"’"1"("’"1"(’"1#("$""$"*%%*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#"!解!’"(设*"$"’"1"(*"1""’"1"(则由+$&’($&’(’"1"(’"1#($""’$*""’$$$$’2"(""即收敛半径H$"#而当,$M"#级数和都收敛#故""’"1"(""’"1"(""$""$""$"",的收敛区域为,2"#"-#"’"1"($$""1",,设F’,($,"$"#,+’2"#"("’"1"("’"1"("$""$"$"1"$",,则有F-’,($"-$"’"$""’"1"(("$""$"2""F.’,($",$"2,"$",?;从而F-’,($$2&)’"2,(1%"2;khdaw.com,F’,($2&)’"2;(?;$’"2,(&)’"2,(1,1%$课后答案网",故的和函数""’"1"("$""2,9&)’"2,(1"#,+’2"#"(#,,%,www.hackshp.cn(’,($8"#,$":%#,$%"’#(设*"$"’"1"(’"1#(""则由+$&’($""’$!"’"1"(’"1#("得收敛半径H$"#而当,$M"时#级数和""’"1"(’"1#($’2"("",都收敛#故的收敛区域为,2"#"-#""’"1"(’"1#(""’"1"(’"1#("$"$$""1#令F’,($,#",$",#6,6)""’"1"(’"1#("’"1"(’"1#("$""$"$"1",则F-’,($"$’"2,(&)’"2,(1,"’"1"("$",即F’,($,’"2;(&)’"2;(1;-?;1%$2"’"2,(#&)’"2,(2,1.,###/因此和函数khdaw.com$"’"2,(#,".(’,($"$2#&)’"2,(21#%%6,6%""$""’"1"(’"1#(#,#,/*%&*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十四章!幂级数"而当,$"时!!!!(’"($/"0当,$2"时(’2"($#&)1#/当,$%时(’%($%’"2,(#".92#&)’"2,(21#%%6,6%"#,#,/$""#,$",故(’,($"$/"’"1"(’"1#(8"$"%#,$%"0#&)1#,$2":#//4-设*%#*"#*##&为等差数列’*%,%(#试求)$$"*"’"(幂级数*",的收敛半径+!!!!’#(数项级数的和数#""#""$%"$%!分析!本题利用逐项求积分的方法进行求和数#!解khdaw.com!’"(设数列!*""的公差为O’"$%#"###&(#则有*"$*%1"O#*"1"O从而+$&’($&’("1$"课后答案网"’$*""’$*%1"O即收敛半径H$"#’#(由于*"$*%1"O$$$$*"*%"O*%"www.hackshp.cn所以""$""1"$""1O"""$%#"$%’##("$%#"$%#$*%*%而""$$#*%#""$%"2#$"至于O"#""$%$令+’,($",""#""$%$则+’,($","2"#6,6%#,"#""$%,$,$,",从而!+’;(?;$";"2"?;$$##%"1%;"1%#""’(##2,#"$%"$%所以+’,($#-$#’#2,(#,’#2,(#,即+’,($’#2,(#$"令,$"#可得O""$#O#"$%$因而*"$#*khdaw.com""%1#O$#’*%1O(#"$%!小结!注意要先求出6,6%#为其收敛条件#*%’*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#9#!函数的幂级数展开-"-设函数+在区间’*#8(内的各阶导数一致有界#即存在正数)#对一切,+’*#8(#有’"(6+’,(6))#!"$"###&#证明)对’*#8(内任一点,与,%有$’"(’,(+%’,2,("’%(’,($+’,(#%0$"(#+’,($"%!’+"0"$%!分析!将+’,(展开为泰勒公式#再进行证明#运用定理"/#""#!证明!由于函数+在区间’*#8(内的各阶导数存在且一致有界#所以对任意的,#,%+’*#8(#+’,(可展开为+.’,%(’,2,(#1&+’,($+’,%(1+-’,%(’,2,%(1%#0’"(+’,%("!1’,2,%(1H"’,("0’"1"(而!6H’,(6$+’"(’,2,("1")"1""’"1"(0%)682*6’%!’"’$(khdaw.com’"1"(0故由定理"/-""#可知课后答案网+.’,%(’,2,(#1&+’,($+’,%(1+-’,%(’,2,%(1%#0’"(+’,%("!1’,2,%(1&"0$’"(www.hackshp.cn+’,%(’,2,("#,#,’*#8($"%%+"0"$%.#-利用已知函数的幂级数展开式#求下列函数在,$%处的幂级数展开式#并确定它收敛于该函数的区间)"%’"(>,#+!!!!!!!!!!!!!’#(,+"2,’.(,+’/(8’)#,+!"2#,,>,’0(+’1(+#"2,"1,2#,,’2(8’);?;+’3(’"1,(>2,+1%;’4(&)’,1!"1,#(#$"!解!’"(由于>,$",#,+’2$#1$("0"$%$$#"#",#’,(,所以>$"$"#,+’2$#1$("0"0"$%"$%$’#(由于"$","#,+’2"#"("2,"$%khdaw.com$"%所以,$","1"%#,+’2"#"("2,"$%*%(*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 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!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#$"所以!’"1,(>2,’2"(",$’"1,(""0"$%$$""1"’2"(",’2"(",$""01""0"$%"$%$’2"("2"’"2"("1"#!6,6%1$$","0"$%$’4(由于!"’2"("’#"2"(00#"#;+,2"#"-$"1";#’#"(00!"1;"$"所以,,$&)’,1!"1,#($"?;$"’#"2"(00#"?;1%!"1;#1%,"1"’2"(’#"(00;-"$"$’#"2"(00’2"("#"1"#,+’2$#1$($,1"’#"(00’#"1"(,"$%..-求下列函数在,$"处的泰勒展开式)khdaw.com’"(+’,($.1#,2/,#12,.+!!!!’#(+’,($"#,’"(!解!’"(由于+’"(课后答案网$3#+-’"($"0#+.’"($./#+,’"($/##!+’"($%#"&/所以!+’,($31"0’,2"(1./’,2"(#1/#’,2"(.#0.0#.#!,+’2$#1$($31"0’,2"(1"2’,2"(12’,2"($’#(+www.hackshp.cn’,($"$"$"’2"("’,2"("#!,+’%##(,"1’,2"("$%-/-求下列函数的麦克劳林级数展开式)’"(,+!!!!’#(,5C=D5),2&)!"1,##’"2,(’"2,#(!分析!注意要先求出,的取值范围#令其满足收敛条件#,"""!解!’"(’"2,(’"2,#($#22#’"2,(/’"2,(/’"1,($$$""-2"","2""’2"(","#’"2,(//"$%"$%$$$""","2"2""’"1’2"("(,"#/"$""$%$$$""’"1"(,"2""’"1’2"("(,"#/"$%"$%$"""1’2"("$"’"1"2(,#!,+’2"#"(##"$%$,,’#(由于5C=D5),$?;$’2"(";#"?;#"1%"1;1%"$%$’2"(""#"1"#!6,6)"$",#"1""$%khdaw.com$#"&)!"1,#$"&)’"1,#($""’2"("2",##""$"*&**若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 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!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#$’#(>,=;8&8’)’,8’)&($"8’)"&,""0"$%总练习题"."-证明)当6,6%时#"#""2"#$"1.,12,1&1’#2"(,1&#"2.,1#,"#"!证明!由于#$2"2.,1#,"2#,"2,"所以当6#,6%"#即6,6%时#$$$"$#’#,("2,"$’#"1"2"(,""2.,1#,#""""$%"$%"$%#""2"$"1.,12,1&1’#2"(,1&-#-求下列函数的幂级数展开式)’"(+’,($’"1,(&)’"1,(+!!!!’#(+’,($8’).khdaw.com,+,’.(+’,($#=;8;?,#1%课后答案网!分析!求函数的幂级数展开式需要先判断函数在,取什么值时才是收敛的#$’2"(""1"#,+’2"#"-!解!’"(由于!&)’"1,($","1""$%www.hackshp.cn所以+’,($’"1,(&)’"1,($&)’"1,(1,&)’"1,($$’2"("’2"(""1""1"$""1",1,""1","$%"$%$$’2"("2"’2"("2"""1"$"",1"","$""$"$’2"(""#!,+’2"#"-$,1","’"2"("$#$#"2"’#(由于8’),$"’2"("1",#!,+’2$#1$(’#"2"(0"$"所以!!+’,($8’).,$"’.8’),28’).,(/$$#"2"’.,(#"2"$."’2"("1",2""’2"("1"/’#"2"(0/’#"2"(0"$""$"$#"2"$""’2"(".2.,#"2"#!,+’2$#1$(/’#"2"(0"$#$$’2"("’2"("’.(由于!=;8;#’;#(#"/"#!,+’2$#1$($"’#"(0$"’#"(0;"$%"$%$,,’2"("所以+’,($#/"=;8;?;$"’#"(0;?;1%1%"$%khdaw.com$’2"("/"1",$"#!,+’2$#1$(’#"(0’/"1"("$%*&"*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十四章!幂级数..-确定下列幂级数的收敛域#并求其和函数)$$’"("#,"2"+!!!!!’#(#"1",#"+""#"1""$""$%$$#"1"’.("2"+’/(’2"("2",""’,2"("’#"(##"$""$"2"$$##则由&’(*"1"’M"("2"#都发散#可知#"2"的收敛区域为’2!解!’"(设*"$"$"及"""","’$*""$""$""#"($$,,再由于"#;"2"?;$","$,+’;(?;$""’"2,(#1%1%"$""$"$,所以+’,($#"2","",$’+’;(?;-($’"2,(#-1%’("$""1,$#,+’2"#"(’"2,(.#’#(设*#"1"#"#则由&’(*"1",可知H$!##"$"1",$khdaw.com#"’$*"#$$当,$M!#时#级数#"1"*#"是发散的#即#"1",#"的收敛区域为’2!##!#(#"#"1""#"1"课后答案网"$%"$%且其和函数$$$#"#"1"#""1"#",+’,($"#"1",$"#",2"#"1""$%"$%"$%www.hackshp.cn$#"$#",",$"’"1"(’(2"##’(#"$%"$%#""",1#$##2*#$’#2,#(##!,+’2!##!#(,#,’"2("2##$$’.(设*"$"#则由&’(*"1"$"及"’M"("2""发散#可知级数""’,2"("2"的收敛区域"’$*""$""$"为’%##(#且其和函数$+’,($"’,2"("2"$"$"#!,+’%##(","2’,2"(-#’#2,(#"$"#"1.’#"(#’/(由于&’(!"1"’,(6,62"#$&’(’#"1#(#*#"1"$,"’$!"’,("’$2"6,6$’2"("2"’M"(#"1"及当,$M"时#级数都绝对收敛#故原级数"’#"(#"$"2"$’2"("2"#"1"的收敛区域为,2"#"-#"’#"(#,"$"2"其和函数$#"1"’2"("2",#!6,6)"+’,($"’#"(#"$"2"khdaw.com$#"1"又由于"+-’,($"’2"("2",-,,’"’#"(#2"("$"*&#*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#$#"$""’2"("2",,#"2""$"$#"2"’2"("2",$"$5C=D5),#"2""$",,故+’,($+-’;(?;$;5C=D5);?;1%1%$",’"1,#(5C=D5),2#,-#6,6%"#-/-应用幂级数性质求下列级数的和)$$’2"(""’"("+!!!’#("#’"1"(0."1""$""$%!分析!第’"(题需要对其进行项的拆分+第’#(题先对+’,(求导再进行计算较为简便#$"!解!’"(由于>,$",#!,+’2$#1$("0"$%$$所以!"$""khdaw.com""$"’"1"(0""$","02’"1"(0-$$$"2"课后答案网,’""0(2"-,’""0(2"2"-"$%"$%,,$’>2"(2’>2"2"($"$’2"("’#(设+’,($."1"#则其收敛区域为’2"#"-#由于",."1"www.hackshp.cn"$%$+-’,($’2"(",."$"及+’%($%""1,."$%$’2"("""?,故+’"($"$+-’,(?,$."$%."1"1%1%"1,"’,1"(#$"&)!.5C=D5)#,2",1,#1.-2,1"!.%"##$&)#1...!$",/0-设函数+’,($"#定义在,%#"-上#证明它在’%#"(上满足下述方程)"$""+’,(1+’"2,(1&),&)’"2,($+’"(#!分析!令等式左边为J’,(#先证J’,(为一常数#即J-’,($%#再证J’,($+’"(#!证明!设J’,($+’,(1+’"2,(1&),&)’"2,(#,+’%#"(""则J-’,($+-’,(2+-’"2,(1&)’"2,(2&),,"2,$$$"2"’"2,("2"",",$""2""2,"""$""$"khdaw.com"$"$’,2"("2""’2"("2""2,""$"*&$*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十四章!幂级数$$$$"2"’"2,("2""2"’"2,("2",,$""2""2""1"""$""$""$""$"$%即J’,($L’L为常数(#,+’%#"(#从而&’(J’,($+’"(#2"’"所以+’,(1+’"2,(1&),&)’"2,($+’"(#,+’%#"(!小结!此类题目一般均是先求导确定J’,(是常数#再根据特殊点的极限值确定常数#.1-利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限)",25C=8’),’"(&’(#+!!!!’#(&’(#,2,&)"1.,’$,’,(-,’%8’),!解!’"(!&’(,2,#&)"1",’$,’,(-$&’(,2,#"2"1"1K",’$,’,#,#.,.’(,.(-""""$&’(,2,121K$khdaw.com,’$,#.,’(,-#",..(,25C=8’)课后答案网,,2’,111K’,(’#(&’(.$&’(’,1K’,((.,’%8’),,’%",..(21K’,1"$&’(.$2www.hackshp.cn,’%’,1K’,((1khdaw.com*&%*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十五章!!傅里叶级数khdaw.com内容提要课后答案网一!正交函数系!函数列!+www.hackshp.cn"’,("定义在区间,*#8-上#每个+"’,(在,*#8-上可积且不恒为零#若函数列!+"’,("8中任意两个不同的函数+"’,(和+&’,(#有+"’,(+&’,(?,3%#则称函数列!+"’,("为,*#8-1*上的正交函数系#二!傅里叶级数若三角级数$*%!"’*"=;8",!8"8’)",(!#"$"$*%在,7###-上一致收敛于+’,(#则*,+,7###-#+’,(+!"’*"=;8",!8"8’)",(并且#"$"#"*"++’,(=;8",?,’"+%#"##&&(#17##"8"++’,(8’)",?,’"+"##&&(#17#则称*"#8"为函数+’,(的傅里叶’L;@C’>C(系数#而称三角级数!为+’,(的傅里叶级数#三!收敛定理设+’,(是以##为周期的,7###-上按段光滑的函数#则+’,(的傅里叶级数在’7$#!$(上的每一点,处都收敛于+’,(在点,的左右极限的算术平均值khdaw.com#即$+’,!%(!+’,7%(*%+!"’*"=;8",!8"8’)",(#其中*"#8"为+’,(的傅里叶系数###"$"*&&*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十五章!傅里叶级数四!傅里叶级数的性质性质"!局部性定理!函数+’,(的傅里叶级数在,点的收敛和发散情况#只和+’,(在这一点的充分邻近区域的值有关#性质#!可积和绝对可积函数的傅里叶系数*"#8"趋向于零#即##""&’(+’;(=;8";?;+%#!&’(+’;(8’)";?;+%"’$#17#"’$#17##"!"#"!"#8’)!#8’)!"#"#性质.!积分*’!(?!#*’!(?!的收敛情况相同#即#1%!#1%!#8’)##"""#"!"&’(*’!(,7-8’)!?!+%"’$#1%@!##8’)#这里’!(++’,!!(!+’,7!(7#Q#*五!傅里叶级数的一致收敛性khdaw.com性质"!设周期为#课后答案网#的可积和绝对可积函数+’,(在比,*#8-更宽的区间,*7(#8!(-’其中(#%(上有有界导数+-’,(#那么+’,(的傅里叶级数在区间,*#8-上一致收敛于+’,(#性质#!设周期为##的可积和绝对可积函数+’,(在比,*#8-更宽的区间,*7(#8!(-’其中(#%(上连续且为分段单调函数www.hackshp.cn#那么+’,(的傅里叶级数在区间,*#8-上一致收敛于+’,(#六!傅里叶级数的收敛定理"-贝塞尔不等式#-黎曼3勒贝格定理.-收敛定理/-帕塞瓦尔’M5C8>K5&(等式典型例题与解题技巧$例!%!设+’,(+#7,#,+’%##(#’"(将+’,(展开为正弦级数#’#(写出和函数的表达式#绘出和函数图形#’.(该级数在’%##(上是否一致收敛#解题分析!本题主要考察函数的傅里叶展开基础知识解题过程!’"(将+’,(作奇延拓到,7##%-上#求延拓后的函数在,7###-上的L;@C’>C级数#这时*"+%!’"+%#"###&(##8"+’#7,(8’)",?,#1%#####+7’#7,(=;8",7khdaw.com=;8",?,+"#"#1%"%因延拓后的函数分段光滑#据收敛定理*&’*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#$#+’,(+8’)",!,+’%##("""$"’#(级数和函数#7,#!!!!在’%##(内$9#"8’)",+87#!,#在’7##%(内""$":%#当,+%#N#呈周期性变化#在,7###-外#其图形如图"03"所示#khdaw.com图"03"’.(该级数在’%##(内非一致收敛#因为在区间端点,+%1#上级数收敛#假若级数在’%##(内一致收敛课后答案网#则级数在,%##-上一致收敛#和函数应在,%##-上连续#矛盾#$例"%!假设函数+’,(在闭区间,7###-上可积#="’,(为三角多项式)"&%="’,(+!"’&3=;83,!’38’)3,(!#3$"试求系数www.hackshp.cn&3#’3使均方误差#"#("3$+’,(7="’,($?,##17#&最小#解题分析!本题主要考查三角函数的正交性解题过程!将式!代入&并利用三角函数的正交性#可得#"#%)("+$+’,(7="’,($?,##17###B"D"+##1’,(7&%’&3=;83,!’38’)3,(?,7#+7"#3$"CE"#"#"+#’,(O,7*%####1+#,!’*3183(-7##"3$""""’&(#!’’#’&(#37*33783(!!%7*%!"#!#3$""其中*3#83是+的傅里叶系数#可见当&3+*3!’3+%#"###&(!!’3+83!’3+"###&(时("最小#此时khdaw.com"#"#"(#’,(?,7*%##"+##1+#!’*3183()7#,#"-3$"*&(*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十五章!傅里叶级数历年考研真题评析!##9$,$#7%,%##$题!%!’西北工业大学##%%1年(将函数+’,(+展开成傅里叶级数#8#%#)$,$)#:#解题分析!本题主要考查函数的傅里叶展开###’,(#解题过程!+’,(为偶函数#故*%++?,+#1%/####"#")#"*"++’,(=;8",?,+’8’)!#=;87#(#1%##)#"#"8"+%!’"+"###.&&(#故由收敛定理#*,+’7###(#,,N#且,,N时#$###"#""#"+’,(+!"’8’)!#=;87#(=;8",3##"#"#"khdaw.com"$"#"###当,+N时#级数收敛于,+’!%(!+’7%(-+##课后答案网####"当,+N#时#级数收敛于,+’#!%(!+’#7%(-+%##$$题"%!’复旦大学##%%1年(’"(试讨论级数7’"7"(,关于%),)"是否一致收敛+",Iwww.hackshp.cn"$"$’#(设函数+的周期为###且+’,(+’#7,(##%%,)###试利用+的L;@C’>C展开计算"#"$""的和数##"解题分析!本题主要考查级数一致收敛性与傅里叶展开#"解题过程!’"(*%#%#("%#%#取’%+"%!"#,%+#则"%"1’%%2’"2"(,"7’"7"(""7"""7#"""%!#7#"",I+I%"%!I%"%!&&!I%"%&I##"%"%"%"%I"$"%$故",I2’"2"(,关于%),)"不一致收敛#"$"’#(L;@C’>C系数###*"’#7,(##%+?,+#1%#1##*"’#7,(#""+=;8",?,+#!’"+"###&&(#1%#"##8"’#7,(#8’)",?,+%!’"+"###&&("+#1%#由于+’,(在’%###(上连续#由收敛定理知*,+’%khdaw.com###(#有#$#=;8",+’,(+"#!""#"$"*&)*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#在端点,+%和,+##处#其傅里叶级数收敛于#+’##7%(!+’%!%(#+#/##$##"令,+###有+!"##/"#""$"$#"#故"#+#"1"$"课后习题全解!!!9"!傅里叶级数."-在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数)’"(+’,(+,#!’$(7#%,%##!’%(%%,%##+’#(+’,(+,##!’$(7#%,%##!’%(%%,%##+*,#!7#%,)%#khdaw.com’.(+’,(+!!’*,8#*,%#8,%(#8,#%%,%#!解!’"(’$(函数+’,课后答案网(及其周期延拓后的图象如图"0R#所示#显然+’,(是按段光滑的#故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数#www.hackshp.cn图"0R###""由于*%++’,(?,$,?,$%#12##12#当"&"时#有##","*"$,=;8",?,$8’)",28’)",?,$%#12#"#2#"####"""8"$,8’)",?,$2,=;8",1=;8",?,#12#"#2#"#12##92#!!!当"为偶数"$8##当"为奇数:"所以在区间’2###(上$’2"("1"8’)",+’,($#"""$"khdaw.com’%(函数+’,(及其周期延拓后的图象如图"0R.所示#显然+’,(是按段光滑的#由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数#*’**若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十五章!傅里叶级数图"0R.##"由于*%$,?,$###1%当"&"时##"*"$,=;8",?,$%#1%######"""#8"$,8’)",?,$2,=;8",1=;8",?,$2#1%"#%"#1%"所以在区间’%###(上$khdaw.com8’)",+’,($#2#"""$"’#(’$(函数+’课后答案网,(及其周期延拓后的图象如图"0R/所示#显然+’,(是按段光滑的#故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数#www.hackshp.cn图"0R/#由*",#?,$###%$#12#.当"&"时###"#8’)"###*"$,=;8",?,$,2,8’)",?,#12#"#2#"#12#/#!!当"为偶数时9#"$8/2#当"为奇数时#:"#"#8"$,8’)",?,$%#12#所以在区间’2###(上$#+’,($#1/’2"("=;8khdaw.com",.""#"$"’%(函数+’,(及其周延拓后的图象如图"0R0所示#显然+’,(是按段光滑的#由收敛定*’!*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#理#它可以展开成傅里叶级数#图"0R0##由*%$",#?,$3###当"&"时#1%.##"#/*"$,=;8",?,$##1%"##"#/8"$,8’)",?,$2#!!’"$"###&(#1%"所以在区间’%###(上khdaw.com$+’,($/##1/’=;8",2#8’)",(.""#""$"’.(函数+’,(及其延拓后的函数是按段光滑的课后答案网#可以展开成傅里叶级数#由#""%#82**%$+’,(?,$*,?,18,?,$#12##1,2#1%-#%#*"$",*,=;8",?,18,=;8",?,-$*28,"2’2"("-www.hackshp.cn##12#1%"#%#8"$",*,8’)",?,18,8’)",?,-$*18’2"("1"!’"$"###&(#12#1%"所以#在区间’2###(上$$+’,($82*#1#’*28("=;8’#"2"(,1’*18(’2"("1"8’)",/#"’#"2"(#"""$""$"-#-设+是以##为周期的可积函数#证明对任何实数5#有51###""*"$+’,(=;8",?,$+’,(=;8",?,#"$%#"###&##15#12#51###""8"$+’,(8’)",?,$+’,(8’)",?,#"$"###&##15#12#!分析!注意在证明过程中作变量代换;$,1###!证明!由定积分的性质知51##""+’,(=;8",?,$#15#2#2##51##+’,(=;8",?,1+’,(=;8",?,1+’,(=;8",?,中对于积分+’,(=;8,-151512#1#",?,作变量代换);$,1###由于+’,(以##为周期#所以2##+’,(=;8",?,$+’;2##(=;8khdaw.com"’;2##(?;15151##51##$2+’;(=;8";?;1#*’"*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十五章!傅里叶级数将此结果代入上式#得51###""+’,(=;8",?,$+’,(=;8",?,$*"#"$%#"###12#同理可证第二等式#..-把函数#92#!!2#%,%%#/+’,($8##%),%#:/展开成傅里叶级数#并由它推出#"""’"($"2121&+/.02#"""""’#($"122111&+.02"""."2."""""’.(!#$"212111f"""."2!解khdaw.com!函数+’,(及其延拓后的图象如图"0R1所示#显然是按段光滑的#故它可以展开成傅里叶级数#课后答案网www.hackshp.cn图"0R1由于#%#""#"#*%$+’,(?,$’2(?,1?,$%#12##12#/#1%/%#"#"#*"$’2(=;8",?,1’(=;8",?,$%#12#/#1%/%#"#"#8"$’2(8’)",?,1’(8’)",?,#12#/#1%/"%#9#!!当"为奇数时"""$=;8",2=;8",$8/"2#/"%:%#当"为偶数时所以#当,+’2##%(<,%##(时$"+’,($"8’)’#"2"(,#"2""$"当,$%时#上式右端收敛于%+当,$#时#由于+’#($##所以/#/#"""khdaw.com$"2121&/.02证得’"(式#*’#*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册##""""又$2121&#所以"#.4"0#2##"""""""1$’"2121&(1’2121&(/"#.02.4"0#2""""$"12211&02""".#"""""即!$"122111&.02"""."2证得’#(式#当,$#时#由于+’#($##所以../#$!.’"2"1"2"1"2"1&(/#02"""."2故有!."""""#$"212121&102"""."2khdaw.com证得’.(式#-/-设函数+’,(满足条件课后答案网)+’,1#($2+’,(#问此函数在’2###(内的傅里叶级数具有什么特性#!分析!根据傅里叶级数的形式#考察+’,(由条件+’,1#($2+’,(应满足的特性#!解!由于#"*"$www.hackshp.cn+’,(=;8",?,#12#"%#$,2+’,1#(=;8",?,1+’,(=;8",?,-#’"$%#"##&(#12#1%在上式右端第一个积分中令,1#$N#则得"##*"$#,2+’N(=;8"’N2#(?N1+’,(=;8",?,-1%1%#$",’2"("1"1"-+’,(=;8",?,#1%于是#有*#"$%’"$%#"##&(#同理#有8#"$%’"$"###&(#因此#函数+’,(在’2###(内的傅里叶级数的特性为)*#"$%#8#"$%’"$%#"##&(#.0-设函数+’,(满足条件)+’,1#($+’,(#问此函数在’2###(内的傅里叶级数具有什么特性#!解!与上题类似#我们可以求得#*"$",’2"("1"-+’,(=;8",?,!’"$%#"###&(#1%因此有*#"2"$%’"$"###&(#同理得8#"2"$%’"$"###&(#故函数+’,(在’2###(内的傅里叶级数的特性为*#"2"$8#"2"$%’"$"###&(#/1-试证函数系=;8",#"$%#"##&和8’)",#"$"###&都是,%##-上的正交函数系#但它们合起来的’0(式不是,%##-上的正交函数系#khdaw.com!分析!证=;8",与8’),为正交函数系#只要当"不同时#证它们任何两个不相同的函数的乘积在,%##-上的积分为%#*’$*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十五章!傅里叶级数!证明!对于函数系=;8",’"$%#"###&(#因为#=;8",?,$%1%##"=;8&,=;8",?,$,=;8’&1"(,1=;8’&2"(,-?,$%!’其中&,"(1%#1%#又#"?,$#1%##=;8#",?,$"’=;8#",1"(?,$##!’",%(1%#1%#所以#在三角函数系=;8",’"$%#"###&(中#任何两个不相同的函数的乘积在,%##-上的积分都等于零#而任何一个函数的平方在,%##-上的积分都不等于零#因此#函数系=;8",’"$%#"###&(是,%##-上的正交函数系+同理#函数系8’)",#’"$"###&(也是,%##-上的正交函数系#对于函数系"#=;8,#8’),#=;8#,#8’)#,#&#=;8",#8’)",#&#由于##"=;8#,8’),?,$,8’).,28’),-?,1%#1%khdaw.com#""#$2=;8.,1=;8,$2,%课后答案网#,.-%.所以#这个函数系不是,%##-上的正交函数系#!小结!注意,的取值范围为,%##-时才满足结论#/2-求下列函数的傅里叶级数展开式)’"(+’,www.hackshp.cn($#2,#%%,%##+!!!!’#(+’,($!"2=;8,#2#),)#+#’.(+’,($*,#18,15#’$(%%,%###’%(2#%,%#+’/(+’,($=H,#2#%,%#+!!!!’0(+’,($8H,#2#%,%##!分析!此题考察各种不同类型的函数的傅里叶级数展开式######!解!’"(*%$"#2,?,$"’#,2,($%#1%####%######"#2,#2,"*"$=;8",?,$8’)",18’)",?,$%#1%##"#%#"#1%######"#2,#2,"8"$8’)",?,$2=;8",2=;8",?,#1%##"#%#"#1%"$’"$"###&("所以#在区间’%###(上$#2,8’)",$"#""$",92!#8’)#!2#),%%#’#(+’,($!"2=;8,$#8’)#,!$8#,!#8’)#%),)#:#khdaw.com"#!#%#/#!所以*,,%$+’,(?,$’8’)(?,18’)?,$#12##1,2##1%#-#*’%*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#!#%#*"$,28’),=;8",?,18’),=;8",?,-#12##1%#在上式右端第一个积分中#令,$2N#则!#%#*"$,8’)’2N(=;8’2"N(?N18’),=;8",?,-#1##1%####!,/#!$8’)=;8",?,$2##1%##’/"2"(!#%#8"$,8’),8’)",?,18’),8’)",?,-#12##1%#在上式右端第一个积分中#令,$2N#则!#%#8"$,8’)2N8’)’2"N(?N18’),8’)",?,-$%#1#’#(1%#因此#在区间’2###(上$##!/#!"!"2=;8,$2"#=;8",khdaw.com##"$"/"2"当,$M#时#上式右端收敛于+’#2%(1+’#1%(!#1!#课后答案网$$!#$+’M#(##所以#在区间’2###(上$##!/#!"!"2=;8,$2"#=;8",www.hackshp.cn##"$"/"2"###’.(’$(!*%$"’*,#18,15(?,$3*#1#8#1#5#1%.##*"’*,#/*"$18,15(=;8",?,$##1%"##8"’*,#/#*#8"$18,15(8’)",?,$22#1%""因此#在区间’%###(上$#/*#/*/*#1#8*,18,15$#18#151"#=;8",28’)",.’""("$"#’%(!*%$"’*,#18,15(?,$#*#1#5#12#./*#当"为偶数时9#"#"’*,#*"$18,15(=;8",?,$8#12#/*2#当"为奇数时#:"#892#当"为偶数时"#"’*,#8"$18,15(8’)",?,$8#12##8#当"为奇数时:"因此#在区间’2###(上khdaw.com$#*#*,18,15$151"’2"("/*=;8",2’2"("#88’)",.,"#"-"$"*’&*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十五章!傅里叶级数#"#’/(*%$=H,?,$8H##12###"*"$=H,=;8",?,#12###""$8H,=;8",18H,8’)",?,#2##12#####"""$8H,’2"(1=H,8’)",28H,=;8",?,##2##12#"##$’2"(8H#2"*"#所以’2"("#*"$#8H#"1"##"8"$=H,8’)",?,#12###""$8H,8’)",28H,=;8",?,khdaw.com#2##12#####"""$2=H课后答案网,=;8",1=H,8’)",?,$8"#2##12##所以有8"$%’"$"###.#&(#故在区间’2###(上#$=H,$8H#"’2"(""=;8#,#1""#",-www.hackshp.cn"$%1"’0(由+’,($8H,为’2###(上的奇函数#知#"*%$8H,?,$%#12##"*"$8H,=;8",?,$%’"$"###&(#又#12####"""8"$8H,8’)",?,$=H,8’)",2=H,=;8",?,#12##2##12###""#""2"#$28H,=;8",28H,8’)",?,$8H#*’2"(2"8"#2##12##所以有8"2""*#"$’2"(#8H#"1"#故在区间’2###(上$’2"("2"#8H,$8H#"#8’)",#"$""1"!小结!一般地只有周期函数才能展成傅里叶级数#这是因为傅里叶级数必定收敛于周期函数#对于非周期函数#特别是仅仅要求在有限区间展开函数时#需将其延拓在’2$#1$(上以##为周期的周期函数#然后展成傅里叶级数#当区间是开区间时khdaw.com#按定理展开#当区间为闭区间时#对于左右端点需由收敛定理验证左右端点是否收敛于该点左右极限的算术平均值#*’’*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册##.3-求函数+’,($"’.,#21#,1###(#%%,%##的傅里叶级数展开式#并应用它推出#$""#1"##"!解!利用第2题中第’.(小题的结论)在区间’%###(上$#/*#/*/*#1#8*,18,15$#18#151"#=;8",28’)",.’""("$"#"##将*$#8$2#5$代入#得/#1$"’.,#21#,1###($"=;8",#%%,%##"#""#"$"当,$%时#上式右端收敛于####1#+’%1%(1+’%2%(11#$$##1$khdaw.com##"所以有$#1""#"$课后答案网"-4-设+为,2###-上光滑函数#且+’2#($+’#(#*"#8"为+的傅里叶系数#*-"#8-"为+的导函数+-的傅里叶系数#证明)*-%$%#*-"$"8"#8-"$2"*"’"$"###&(#!分析!根据+’,(在,2###-上的光滑性和有连续的导函数进行证明#!证明!因www.hackshp.cn+’,(在,2###-上光滑#所以+’,(在,2###-上有连续的导函数##""*-%$+-’,(?,$,+’#(2+’2#(-$%#12#####"""*-"$+-’,(=;8",?,$+’,(=;8",1+’,(8’)",?,$"8"#12##2##12####"""8-"$+-’,(8’)",?,$+’,(8’)",2+’,(=;8",?,$2"*"#12##2##12#故*%$%#*-"$"8"#8-"$2"*"’"$"###&(#/"%-证明)若三角级数$*%1"’*"=;8",18"8’)",(#"$"中的系数*"#8"满足关系!6"..8@A*"6#6"8"6"))#")为常数#则上述三角级数收敛#且其和函数具有连续的导函数#!分析!运用定理".-"#和".-"/进行证明#!6"..!证明!由8@A*"6#6"8"6"))#知"))6*"6).#68"6).!’"$"###&(""因为*"+%#有khdaw.com#)6*"=;8",18"8’)",6)6*"=;8",6168"8’)",6)6*"6168"6)."*’(*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十五章!傅里叶级数$$#)*%且级数".收敛#所以级数1"’*"=;8",18"8’)",(收敛#并且绝对收敛#一致收"#"$""$"敛#$$*%记"!"’,($1"’*"=;8",18"8’)",(#"$%"$"则$$"!-"’,($"’"8"=;8",2"*"8’)",("$%"$"由于!6"8"=;8",2"*"8’)",6#))6"8"=;8",616"*"8’)",6)6"8"616"*"6)#!’"+%("$$#)且级数"#收敛#所以级数"’"8"=;8",2"*"8’)",(一致收敛#由定理".-"##此级"$"""$"数的和函数连续#由定理".-"/#有$$$khdaw.com?’!?!"’,($’"8(""’,(($"’(""=;8",2"*"8’)",?,?,"$%"$%"$"$*%课后答案网因此#级数1"’*"=;8",18"8’)",(的和函数具有连续的导函数##"$"!6"..!"..!小结!若将此题中条件8@A*"6#6"8"6"))#改为8@A*"#"8""))#则结论不一定成""$立#例如三角级数’2"=;8",2"8’)",(中#*#8@A!6"..www.hackshp.cn""$8"$2"*"6#6"8"6")""$""#但此级数不收敛#因为&’(’2"=;8",2"8’)",(,%#"’$9#!以#G为周期的函数的展开式/"-求下列周期函数的傅里叶级数展开式)’"(+’,($6=;8,6’周期#(+!!!!’#(+’,($,2,,-’周期"(+’.(+’,($8’)/,’周期#(+!!!!!’/(+’,($8<)’=;8,(’周期##(#!分析!基础题型#注意求解方法和技巧###!解!’"(+’,(是,2#-上的偶函数#+’,(及其延拓后的图##象如图"0R2所示#由于+’,(是按段光滑的#因此#可以展开为傅里叶级数#且这个级数为余弦级数#由#######*%$6=;8,6?,$=;8,?,2=;8,?,##1%#1%#1#图"0R2/$###*"$6=;8,6=;8,?,$%#1%##khdaw.com###*"$=;8,=;8",?,1’2=;8,(=;8",?,##1%#1#*’)*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册##"#$,=;8’"1"(,1=;8’"2"(,-?,#1%#"2,=;8’"1"(,1=;8’"2"(,-?,#1##%#!!!!!!!!!!当"$#31"时9$8’2"(31"/#!!当"$#3时#:#’/32"(其中3$"###&#因此#由收敛定理有$’2"("1"#/6=;8,6$1"#=;8#",#!2$%,%1$##"$"/"2"’#(+’,(是以"为周期的周期函数#+’,(的图象如图"0R3所示#由于+’,(是按段光滑的#因此#可以展开成傅里叶级数#khdaw.com课后答案网图"0R3"""*%$!,2,,-"?,$#,?,$""1%1%www.hackshp.cn#"""*"$!,2,,-"=;8#"#,?,$#,=;8#"#,?,$%"1%1%#"""8"$!,2,,-"8’)#"#,?,$#,8’)#"#,?,"1%1%#",""$#,2=;8#"#,1#8’)#"#,-$2"##"#/’"#(%因此#由收敛定理#当,,%#M"#M##&时$""8’)##",,2,,-$2"##""$"’.(首先在,2###-上将+’,($8’)/,展开成傅里叶级数#由于#/"2=;8#,.""8’),$’#($32#=;8#,13=;8/,故有##."".*%$’2=;8#,1=;8/,(?,$#1%3#3/##.""*"$’2=;8#,1=;8/,(=;8",?,#1%3#3khdaw.com*(**若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十五章!傅里叶级数%#!!!",##",/9"2#"$#$8#"#"$/:3#"/8"$8’),8’)",?,$%’"$"###&(#12#由收敛定理#得.""+’,($2=;8#,1=;8/,’2$%,%$(3#3’/(+’,(是以##为周期的函数#且是偶函数#按段光滑#因此可以展开成傅里叶级数#并且这个级数是余弦级数######*%$8<)’=;8,(?,$#?,1’2"(?$%#1%#,#,-1%1########/"#*"$8<)’=;8,(=;8",?,$=;8",?,2=;8",?,$8’)##1%#1%#1"##khdaw.com#%#!!!!!!!!当"为偶数9$8’2"课后答案网(3/#当"$#31"!’3$%#"###&(:’#31"(#由收敛定理#,,#"#M#时#$/’#"1"(,www.hackshp.cn8<)’=;8,($",’2"("=;8-#"$%#"1"当,$#"#M#时#上式右端收敛于零#因此上述展开式对一切2$%,%1$都成立##!小结!函数展成傅里叶级数#其间有许多技巧#也有不同的方法#如第’"(小题#除上述方法外还可以利用教材M2/本节例#的结果#’"(的另一解法)由本节例#知$#/68’),6$2"#=;8#",’2$%,%1$(#"$"#’/"2"(由于#+’,($6=;8,6$8’)’,1#(所以$#/#6=;8,6$#2"#’/"#2"(=;8#"’,1#("$"$’2"("1"#/$1"#=;8#",’2$%,%1$(##"$"/"2"-#-求函数,#!!%),)"#9khdaw.com+’,(8"#"%,%##:.2,##),).*(!*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#的傅里叶级数并讨论其收敛性#!分析!首先延拓+’,(#使其按段光滑#满足傅里叶展开式的要求#!解!将+’,(延拓#如图"0R4所示#易见+’,(的延拓函数为偶函数#从而8"$%#因其按段光滑#因而可作傅里叶展开式#图"0R4.##"#./*%$+’,(?,$,?,1?,1’.2,(?,$.1%.,-.1%1"1##""#,#"#,."#,khdaw.com*"$,=;8?,1=;8?,1’.2,(=;8?,.1,%.1".1#.-$1课后答案网"#"#""###,2"1#=;8#=;812’2"(-%#!!!!!!!!!!!!当"$#32"时9$.’3$"###&(www.hackshp.cn8##,2"1’2"(3=;83#-#当"$#3时:3#.由收敛定理知$#."’2"(""##"#,+’,($.1##",2#1#=;8-=;8."$""".上述级数对任意的,#2$%,%1$#都收敛于+’,(##..-将函数+’,($2,在,%##-上展开成余弦级数##!解!对+’,(作偶式周期延拓#如图"0R"%所示#图"0R"%###*%$’2,(?,$%#1%###*"$##2,=;8",?,$#*"’2=;8",(khdaw.com’#(##1%#"%*("*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十五章!傅里叶级数%#!!!当"为偶数时9$/8#当"为奇数时#:"#由收敛定理及+’,(延拓后连续知$#/=;8’#"2"(,2,$"##!,+,%##-##’#"2"("$",./-将函数+’,($=;8在,%##-上展开成正弦级数##!解!对+’,(作奇式周期延拓#如图"0R""所示#khdaw.com图"0R""*%$%#*"$%课后答案网’"2"###&(##,8%$=;88’)",?,#1%###"""$8’)"1,18’)"2,?,www.hackshp.cn#1%#,’#(’#(-##$"*#"1#*""##"1",2=;8’"1#(,-%##"2",2=;8’"2#(,-%3"$*##/"2"由收敛定理#在区间’%##(上$,3"=;8$"#8’)",##"$"/"2"当,$%##时#右端级数收敛于零#-0-把函数"2,#!%%,)##+’,($!,2.#!#%,%/在’%#/(上展开成余弦级数#!分析!此题+’,(为分段函数#在作延拓时要考虑此特点#!解!对+’,(作偶式周期延拓#如图"0R"#所示#/#"#/*%$+’,(?,$’"2,(?,1’,2.(?,$%/1%#,-1%1#/#"#,*"$+’,(=;8?,khdaw.com/1%/*(#*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#图"0R"#"#"#,/"#,$’"2,(=;8?,1’,2.(=;8?,#1,%/1#/-#"/"#,/#"#,$’"2,(8’)2=;8#,"#/’("#/-%/"/"#,/#"#,!1’,2.(8’)1=;8#,"#/’("#/-##$/"#""khdaw.com’("#,2=;81’"1’2"((-##%#!!!!!!!!!!课后答案网当"$#32"9$/38##,2’2"(1"-#当"$#3:3#%#!!!!!!!!!!当"$#32"9www.hackshp.cn%#当"$#3且3$#&$8!&$"###&3#当"$#3且3$#&2"’#&2"(##:#由收敛定理#在区间’%#/(上$3"’#"1"(#,+’,($#"’#"1"(#=;8##"$%#在’%#"(上展开成余弦级数#并推出.1-把函数+’,($’,2"(#""#$1’"1#1#1&(##.!解!为把+’,(展开成余弦级数#对+’,(作偶式周期延拓#如图"0R".所示#"*%$#’,2"(#?,$#1%."’,2"(#*"$#=;8"#,?,1%""$#,"’,2"(#8’)"#,2#’,2"(8’)"#,?-,"#%"#1%/"""/$"#*"#,’,2"(=;8"#,2=;8"#,?,-$##%1%"#由收敛定理#在区间’%#"(上khdaw.com$"/=;8"#,+’,($.1#"##"$""*($*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十五章!傅里叶级数当,$%时#由+’,(延拓后连续#可得$"/""$.1#"#,"$""故!##"1"1&$1"1##’#.(.2-求下列函数的傅里叶级数展开式)’"(+’,($5C=8’)’8’),(+!!’#(+’,($5C=8’)’=;8,(#图"0R".!解!’"(+’,(是以##为周期的连续周期函数#又+’,(为’2###(内的奇函数#从而*%$*"$%###8"$5C=8’)’8’),(8’)",?,#1%#####/"#$,8’)",?,1#’#2,(8’)",?,$#8’)#1%#1"###%#!!!!!!!!!当"$#3时93$%#"###&$!!’2"(3/#当"$#31"时#khdaw.com:#’#31"(由收敛定理知$课后答案网’2"("1"/5C=8’)’8’),($"’#"2"(#8’)’#"2"(,’2$%,%1$(#"$"’#(+’,(是以##为周期的连续周期函数#又+’,(为偶函数#从而8"$%#####*www.hackshp.cn%$5C=8’)’=;8,(?,$5C=8’)8’)#2,?,#1%#1%,’#(-###$’2,(?,$%#1%######*"$5C=8’)’=;8,(=;8",?,($’2,(=;8",?,#1%#1%###"##"##"$,2,8’)",18’)",?,-$*#’2=;8",(#"’#(%"1%#"%%#!!!!当"$#3时9$/8#当"$#32"时’#32"(#:由收敛定理知$/=;8’#"2"(,5C=8’)’=;8,($’2$%,%1$(#"’#"2"(#"$%-3-试问如何把定义在,%##-上的可积函数+延拓到区间’2###(内#使它们的傅里叶级数为如#下的形式)$$’"("*#"2"=;8’#"2"(,+!!!’#("8#"2"8’)’#"2"(,#"$""$"khdaw.com!分析!’"(为了使+’,(的傅里叶系数8"$%’"2"###&(#可以对+’,(作偶式延拓+又为了使*#"$%’"$%#"###&(#由本章9"习题/的结论#可证延拓后的+’,(满足+’,1#($2*(%*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#+’,(#’#(为了使+’,(的傅里叶系数*"$%’"$%#"###&(#可以对+’,(作奇式延拓#使+’2,($2+’,(+又为了使8#"$%’"$"###&(#由本章9"习题/的结论#可证延拓后的+’,(满足+’,1#($2+’,(#!解!’"(先把+’,(从,%##-内到,2###-内作偶式延拓#然后根据+’,1#($2+’,(延拓###到,2###(上#再偶式延拓到’2###(上#如图"0R"/所示##khdaw.com图"0R"/这样得到的函数是课后答案网’2###(上的偶函数#且满足+’,1#($2+’,(#因此其傅里叶系数8"$%’"$"###&(#*#"$%’"$%#"###&(#即它的傅里叶系数的形式为$"*#"2"=;8’#"2"(,#!,+’2###(www.hackshp.cn"$%’#(先把+’,(从,%##-到,2###-上作奇式延拓#然后再根据+’,1#($2+’,(延拓###到,2###(上#再奇式延拓到’2###(内#如图"0R"0所示##图"0R"0这样得到的函数是’2###(上的奇函数#且满足+’,1#($2+’,(#因此#其傅里叶系数*"$%’"$%#"###&(#8#"$%’"$"###&(#即它的傅里叶级数的形式为$"8#"2"8’)’#"2"(,#,+’2###("$"9.!收敛定理的证明khdaw.com-"-设+以##为周期且具有二阶连续的导函数#证明+的傅里叶级数在’2$#1$(上一致收敛于+#*(&*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十五章!傅里叶级数6*%6!分析!要证+’,(的傅里叶级数在’2$#1$(上一致收敛#可利用定理"0-"证明级数1#$"’6*"6168"6(收敛#借用9"习题4结论#可推出+-’,(与+’,(的傅里叶系数的关"$"$6*%6系#由贝塞尔不等式及正项级数的比较判别法可证得1"’6*"6168"6(是收敛#"$"的#!证明!由题设知+’,(可展成傅里叶级数#即$6*%6+’,($1"’*"=;8",18"8’)",(#"$"由+’,(在’2$#1$(上具有二阶连续导数函数#知+-’,(在,2###-上可积#且由9"习题4的结论知#+-’,(的傅里叶系数与+’,(的傅里叶系数的关系是*-%$%#*-"$"8"#8-"$2"*"’"$"###&(故6*-"668-"6"-#""-#"6*"6168"6$1)*"1#18"1#khdaw.com""#’"(#’"($"’*-##(1""18-"#课后答案网#"$$由贝塞尔不等式知级数’*-"#18-"#(收敛#且级数"也收敛#应用正项级数的比较"""#"$""$"$6*%6原则www.hackshp.cn#即可推得级数1"’6*"6168"6(收敛#由定理"0-"可知+’,(的傅里叶级#"$"数在’2$#1$(上一致收敛于+’,(#-#-设+为,2###-上可积函数#证明)若+的傅里叶级数在,2###-上一致收敛于+#则成立帕塞瓦尔’M5C8>K5&(等式)##$",+’,(-#?,$*%1"’*"#18"#(##12##"$"这里*"#8"为+的傅里叶系数#!分析!由+’,(的傅里叶级数在,2###-上一致收敛于+’,(求出+’,(的傅里叶展开式#!证明!+’,(的傅里叶级数在,2###-上一致收敛于+’,(#所以$*%+’,($1"’*"=;8",18"8’)",(#,+,2###(#"$"#!",+’,(-#?,#12##$"$+’,(*%1’*?,#12#,#""=;8",18"8’)",(-"$"$##*%""$+’,(?,1+’,("’*"=;8",18"8’)",(?,##12##12#"$"khdaw.com##$*%"$1",*"+’,(=;8",18"+’,(8’)",-?,##12#"$"*(’*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#$*%由+’,(在,2###-上可积知#+’,(在,2###-上有界#由于1"’*"=;8",18"8’)",(#"$"$在,2###-上一致收敛#由第十三章9"习题/和",*"+’,(=;8",18"+’,(8’)",-在"$",2###-上一致收敛#因此#"#!,+’,(-?,#12##$#*%"$1",*"+’,(=;8",18"+’,(8’)",-?,##12#"$"#$*%"#"#$#1",*"*+’,(=;8",?,18"*+’,(8’)",?,-"$"#12##12##$$*%1’*##(""18"#"$"..-由于帕塞瓦尔等式对于在,2###-上满足收敛定理条件的函数也成立’证略(#请应用这个结果证明下列各式)$#khdaw.com’"(#$"’提示)应用9"习题.的展开式导出(+3"’#"2"(#"$"$##"课后答案网’#($’提示)应用9"习题’"(’$(的展开式导出(+1""#"$"/#"’.($’提示)应用9"习题"’#(’$(的展开式导出(#4%""/!证明!’"www.hackshp.cn(由9"习题.的结论知#2#2#%,%%$98’)’#"2"(,/"#"2"$+’,($8"$"##%),%#:/由帕塞瓦尔等式有$##"#"?,$"’#"2"(##12#"1"$"$##"故$3"’#"2"(#"$"’#(由9"习题"’"(’$(的结论$’2"("1"8’)",#’2#%,%#(,$#"""$"由帕塞瓦尔等式有$#"#’2"("1"#,?,$"*##12#"$","-$##"故$1""#"$"’.(由9"习题"’#(’$(的结论知khdaw.com$#,#$#1/’2"("=;8",#’2#%,%#(.""#"$"*((*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十五章!傅里叶级数由帕塞瓦尔等式有$####"/"#,?,$’(1"’2"("/#12##."$","#-$/#"故$4%""/"$"-/-证明)若+#F均为,2###-上可积函数#且它们的傅里叶级数在,2###-上分别一致收敛于+和F#则$#"*%&%+’,(F’,(?,$1"’*"&"18"’"(##12##"$"其中*"#8"为+的傅里叶系数#&"#’"为F的傅里叶系数#!分析!根据+’,(#F’,(在,2###-上的可积性得出+’,(F’,(的可积性#再进行证明#!证明!由+’,(的傅里叶级数在,2###-上一致收敛于+’,(#所以$*%+’,($1"’*"=;8",18"8’)",(#,+,2###-#"$"$*%khdaw.com+’,(F’,($F’,(1",*"F’,(=;8",18"F’,(8’)",-#"$"课后答案网$由第十三章9"习题/知#级数",*"F’,(=;8",18"F’,(8’)",-在,2###-上一致收"$"敛于+’,(F’,(#由于+’,(#F’,(均为,2###-上的可积函数#故+’,(F’,(在,2###-上可积#所以#www.hackshp.cn"!+’,(F’,(?,#12#$#"*%$F’,(1",*"F’,(=;8",18"F’,(8’)",-?,#12#!#"$""$##"*%"$F’,(?,1",*"F’,(=;8",18"F’,(8’)",-?,!#12###12#"$"$#""$*%&%1",*"F’,(=;8",18"F’,(8’)",-?,&##"$1"2#$""#"#$#*%&%1",*"F’,(=;8",?,18"F’,(8’)",?,-"$"#12##12#$"$*%&%1"’*"&"18"’"(#"$"上面的推证中从!式到&式利用了定理".-".’逐项求积(的推广##.0-证明)若+及其导函数+-均在,2###-上可积#+’,(?,$%#+’2#($+’#(#且成立帕塞瓦12#尔等式#则####6+-’,(6?,&6+’,(6?,#12#12#注)此题有误#例如若设khdaw.com,#!!2#%,)##+’,($!##,$2##*()*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#则其导函数+-’,($"’2#%,)#(满足收敛定理的要求’周期延拓后(#从而帕塞瓦尔等式成#立#但显然+’,(?,$%#故要证的不等式不真#12#总练习题-"-试求三角多项式"S%="’,($1"’S3=;83,1B38’)3,(#3$"的傅里叶级数展开式#!分析!根据="’,(的周期性和光滑性判断其可在H上展开为傅里叶级数#!解!="’,(是以##为周期的光滑函数#从而在’2$#1$(上可展开成傅里叶级数###"""S%?,$S*%$="’,(?,$1’S%#12##12#,#"3=;83,1B38’)3,(-3$"#"*&$="’,(=;8&,?,#12#khdaw.com#"$"S%=;8&,?,#12#,#1"’S3=;83,1B38’)3,(-课后答案网3$"S&#当&)"时$!%#当&#"时#"8&$="’,(8’)&,?,www.hackshp.cn#12##"$"S%8’)&,?,#12#,#1"’S3=;83,1B38’)3,(-3$"B&#当&)"$!%#当&#"因此#在’2$#1$(上有$"*%S%="’,($1"’*&=;8&,18&8’)&,($1"’S3=;83,1B38’)3,(##&$"3$"即="’,(的傅里叶级数展开式是其本身#/#-设+为,2###-上可积函数#*%#*3#83’3$"###&#"(为+的傅里叶系数#试证明)当S%$*%#S3$*3#B3$83’3$"###&#"(时#积分#,+’,(2=’,(-#"?,12#取最小值#且最小值为#"##,+’,(-?,2#*%’*#18##12#,#1"33(-3$"上述="’,(是第"题中的三角多项式#S%#S3#B3为它的傅里叶系数###!分析!首先将#,+’,(2="’,(-?,展开#代入S%#S3#B3的值#再进行证明#17khdaw.com"*%!证明!因+’,($1"’*3=;83,1838’)3,(#而#3$"*)**若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十五章!傅里叶级数S%$*%#S3$*3#B3$83’3$"###&"(所以#,+’,(2=’,(-#!"?,12###"$+’,(2S%1’S?,12#!,#"3=;83,1B38’)3,(-"3$"#"$2#+’,(S%1’S?,12#!,#"3=;83,1B38’)3,(-"3$"##"1S%1’S?,12#,#"3=;83,1B38’)3,(-3$"#"1#+’,(*%1’*?,12#,#"3=;83,1838’)3,(-3$"##"2*%1’*?,12#,#"3=;83,1838’)3,(-khdaw.com3$"""""S%"###$2##’#*%1"S3*31"B383(1#’#S%1"S31"B3(课后答案网3$"3$"3$"3$""""""###"###1##’#*%1"*31"83(2#’#*%1"*31"83(3$"3$"3$"3$"""$www.hackshp.cn#"’S(#1’S(#1’B(#&%,%2*%"32*3"3283-#3$"3$"#因此#当S#S#B’3$"###&(时#积分,+’,(2=’,(-#%$*%3$*33$83"?,取得最12#小值#以下求这个最小值##"!+’,(2*%1’*?,12#!,#"3=;83,1838’)3,(-"3$"##",+’,(-#$?,2#+’,(**%1’*?,12#12#,#"3=;83,1838’)3,(-3$"##"1*%1’*?,12#,#"3=;83,1838’)3,(-3$"""##",+’,(-#*%##*#$?,2##1#"*31#"831%*##1’#*##12#’#3$"3$"(,/"31#83(-3$"""##,+’,(-#*%##$?,2#1"*31"8312#’#3$"3$"("##,+’,(-#?,2#*%1’*##($"318312#’#3$"(khdaw.com#所以积分,+’,(2="’,(-?,的最小值为12#*)!*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#"##,+’,(-#?,2#*%1’*##("318312#’#3$"(!小结!此题计算量较大#但思路并不复杂#..-设+为以##为周期#且具有二阶连续可微的函数###""8"$+’,(8’)",?,#8."$+.’,(8’)",?,##12##12#若级数"8."绝对收敛#则$$""!6836)#’#1"68.36(#3$"3$"#"!证明!8."$+.’,(8’)",?,#12###""$+-’,(8’)",2+-’,(=;8",?,#2##12#"##$2#,+’,(8’)",1"+’,(8’)",?,-khdaw.com2#12#$2",+’,(=;8",2+’2#(=;8’2"#(-2"#8"$2"#8"#课后答案网$##"由9.习题.’#(知$#故1""#"$"$$$"""!’#1"68.36(&"#1"68.36www.hackshp.cn#3$"#’3$"33$"($$""168.""##$#"’3#36($#",#13’!6836(-3$"3$"3$$$""&"#**3*!6836$"!6836&"!6836#33$"3$"3$"$$"故"!6836)’#1"68.36(##3$"3$"./-设周期为##的可积函数*’,(与-’,(满足以下关系式)’"(’2,($’,(+!!’#(’2,($2’,(#*-*-试问*的傅里叶系数*"#8"与-的傅里叶系数&"#’"有什么关系.!解!’"(令,$2;#得##""*"$*’,(=;8",?,$*’2;(=;8";?;#12##12##"$-’;(=;8";?;$&"!’"$%#"###&(#12###""8"$*’,(8’)",?,$*’2;(8’)";?;#12##12##"$-’;(8’)";?;$2’"!’"$"###&(#12#khdaw.com’#(仿’"(可知)此时*"$2&"’"$%#"###&(#8"$’"’"$"###&(#/0-设定义在,*#8-上的连续函数列!*""满足关系*)"*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十五章!傅里叶级数8%#!",&#*"’,(*&’,(?,$1*!"#!"$&#对于在,*#8-上的可积函数+#定义8*"$+’,(*"’,(?,#"$"###
*$证明)#收敛#且有不等式"*""$"$8#,+’,(-#"*")?,#1*"$"$&!分析!先作级数"*"*"’,(#考察(&’,("*"*"’,(与+’,(的关系#再进行证明#""$"$&!证明!作级数"*"*"’,(#令Q&’,($"*"*"’,("$""$"考察积分*888,+’,(2(’,(-##’,(?,2##’,(?,&?,$++’,((&’,(?,1(&khdaw.com181*1*1*由于&&888#+’,课后答案网((&’,(?,$+’,("*"*"’,(?,$"*"+’,(*"’,(?,$"*"1*1*1*"$""$"&8同理##’,(?,$#于是(&"*"#1*"$"&88www.hackshp.cn%),+’,(2(’,(-#?,$#’,(?,2*#&+""1*1*"$"&88因此###’,(?,#此式对任何自然数&都成立#而#’,(?,为有限值#所以正"*")++1*1*"$"$8项级数的部分和数列有界#因而它收敛#且有不等式#,+’,(-#"*")?,#1*"$"&8##’,(?,中&的任意性得到证明中的不等式成立#!小结!通过结论"*")+1*"$"khdaw.com*)#*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十六章!!多元函数的极限与连续khdaw.com内容提要课后答案网一!平面点集与多元函数!"-任意一点www.hackshp.cnS与任意点集?的关系’"(内点!若存在点S的某邻域C’S(#使得C’S(4?#则称点S是点集?的内点#’#(外点!若存在点S的某邻域C’S(#使得C’S(F?+.#则称点S是点集?的外点#’.(界点!若在点S的任何邻域内既含有属于?的点#又含有不属于?的点#则称点S是集合?的界点#’/(聚点!若在点S的任何空心邻域CD’S(内部都含有?中的点#则称点S是?的聚点#’0(孤立点!若点S+?#但不是?的聚点#则称点S是?的孤立点##-几种特殊的平面点集’"(开集!若平面点集?所属的每一点都是?的内点#则称?为开集#’#(闭集!若平面点集?的所有聚点都属于?#则称?为闭集#’.(开域!若非空开集?具有连通性#即?中任意两点之间都可用一条完全含于?的有限折线相连接#则称?为开域#’/(闭域!开域连同其边界所成的点集称为闭域#’0(区域!开域1闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集#统称为区域##上的完备性定理.##’"(点列收敛定义)设!0"4##为平面点列#0#为一固定点#若对任给的正数!#存在正"%+#整数%#使得当"#%时#有0"+C’0%#!(#则称点列!0""收敛于点0%#记作&’(0"+0%或0"’0%!’"’$(#"’$khdaw.com’#(点列收敛定理’柯西准则(’.(闭域套定理*)$*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十六章!多元函数的极限与连续’/(聚点定理’0(推论’1(有限覆盖定理/#二元函数定义!设平面点集>4###若按照某对应法则+#>中每一点0’,#N(都有惟一确定的实数P与之对应#则称+为定义在>上的二元函数’或称+为>到#的一个映射(#记作+)>’##06;;’P#且称>为+的定义域#0+>所对应的P为+在点0的函数值#记作P++’0(或P++’,#N(’注)其它多元函数与二元函数相似(#二!二元函数的极限定义!设+为定义在>4##上的二元函数#0为>的一个聚点#S是一个确定的实数#若*!%#%#((#%#使0+CD’0%#((F>时#都有khdaw.com6+’0(2S6%!#则称+在>上当0’0%时#以S为极限#记作&’(+’0(+S#有时简记为&’(+’0(+S#当010’00’0%%课后答案网0+>0%分别用’,#N(#’,%#N%(表示时#上式也写作&’(+’,#N(+S#’,#N(’’,#N(%%三!极限的充要条件www.hackshp.cn"#*?4>#’%始终为?的聚点#则有&’(+’’($S?&’(+’’($S#’’’’’’%%’+>’+?##*!’3"4>#&’(’3+’%’’3,’%(#则有3’$&’(+’’($S?&’(+’’3($S#’’’3’$%’+>四!广义极限&’(+’’(+!$’或7$#或$(的定义)’%为>的聚点#*)#%#((#%#当’+CD’’%+((F>’’’%’+>时#满足+’’(#)!’或+’’(%2)#或6+’’(6#)(#五!累次极限&’(&’(+’,#N(+A的意义是)设>+?,O?N#对每个N+?N’N,N%(#有N’N,’,%%&’(+’,#N($*’N(#9,’,%,+?8,khdaw.com:&’(*’N($A#N’N%N+?N*)%*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#类似地#&’(&’(+’,#N(+T的定义是,’,N’N%%&’(+’,#N($-’,(#,+?,’,,,%(#9N’N%N+?8N:&’(-’,($T#,’,%,+?,相对于累次极限#前面的极限&’(+’,#N(+S也称为重极限#’,#N(’’,#N(%%六!重极限与累次极限的关系累次极限与重极限是两种不同的概念#它们的存在性没有必然的蕴含关系#但在一定的条件之下#这两种极限之间也存在着联系#定理!若重极限&’(+’,#N(+S存在#则’,#N(’’,#N(%%’"(当&’(&’(+’,#N(+A存在时#必有S+A+N’N,’,%%’#(当&’(&’(+’,#N(+T存在时#必有S+T#,’,N’N%%推论khdaw.com!!当上述重极限与两个累次极限都存在时#三者必相等+推论"!当两个累次极限都存在课后答案网#但不相等时#重极限必定不存在#七!二元函数的连续性#上的二元函数#0#*!#%#((#%#只要0+C’0#(("#定义!设+为定义在点集>4!%+>%F>#就有www.hackshp.cn6+’0(2+’0%(6%!#则称+关于集合>在点0%连续#若+在>上任何点都连续#则称+为>上的连续函数#若&’(,+’,%#N(7+’,%#N%(-+%则称+’,#N(在0%+’,%#N%(处关于N连续#同理可定义关于,N’N%连续###复合函数的连续性定理.#有界闭域上连续函数的性质典型例题与解题技巧$例!%!证明下列函数在’,#N(’’%#%(时的极限不存在)#,N,N’"(+’,#N(++!!’#(F’,#N(++/#,!N,!N#.,7N!N’.(U’,#N(+###,!N分析!本题主要考查二元函数极限存在的条件#证明!’"(由于/&,&&’(+’,#N($&’(’"1&#(,/$#’,#N(’’%#%(,’%"1&’N$&,#(khdaw.com它随&而异#因此&’(+’,#N(不存在#’,#N(’’%#%(’#(由于*)&*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十六章!多元函数的极限与连续#,&’(F’,#N($&’($%’,#N(’’%#%(,’%#,’N$,(#’,2"(,&’(F’,#N($&’(#$2"’,#N(’’%#%(,’%,’N$,#2,(因此&’(F’,#N(不存在#’,#N(’’%#%(’.(由于二累次极限不相等,"&’(&’(U’,#N($&’($,’%N’%,’%#,##.2N1N&’(&’(U’,#N($&’(#$2"N’%,’%N’%N因此&’(U’,#N(也不存在#’,#N(’’%#%($例"%!设+’,#N(是在区域>)$,$)"#$N$)"上的有界3次齐次函数’3&"(#问极限&’(!+’,#N(1’,2"(>N",’%N’%是否存在.若存在#试求其值#解题分析khdaw.com!本题主要考查二元函数极限存在的条件#解题过程!因+为3次齐次函数#故*;+H有课后答案网3+’;,#;N($;+’,#N(因此+’/=;8/#/8’)/(+/3+’=;8/#8’)/(又因+’,#N(有界#()#%#使得$+’,#N($))’*’,#N(+>(#所以33$+www.hackshp.cn’/=;8/#/8’)/($+/$+’=;8/#8’)/($)/)’%’当/’%时关于/+,%###-一致(’于是&’(!+’,#N(!’,7"(>N"+7"#,’%N’%历年考研真题评析!$题!%!’厦门大学##%%1年(设二元函数+’,#N(在正方形区域,%#"-O,%#"-上连续#记V+,%#"-#’"(试比较’)P8@A+’,#N(与8@A’)P+’,#N(的大小并证明之+N+V,+V,+VN+V’#(给出并证明使等式’)P8@A+’,#N(+8@A’)P+’,#N(成立的’你认为最好的(充分条件#N+V,+V,+VN+V分析!本题主要考查二元函数连续的性质#证明!’"(*N+V#有8@A+’,#N(&+’,#N(&’)P+’,#N(#对于任意的,都成立#则8@A+’,#N(&8@A,+VN+V,+VN+V’)P+’,#N(#由N的任意性可知’)P8@A+’,#N(&8@A’)P+’,#N(,+VN+V,+V,+V,+V’#(若(,%+V#使+’,#N()+’,%#N(’*,+V#N+V(下面证明上面条件为充分条件#显然8@A+’,#N(++’,%#N(#,+V+’,%#N(在,%#"-在连续#(N%+V#使+’,%#N%(+’)P+’,%#N(+’)P8@A+’,#N(N+VN+V,+V+’,%#N%(+’)P+’,%#N()8@A’)P+’,#N(N+V,+VN+khdaw.comVI’)P8@A+’,#N(+8@A’)P+’,#N(#N+V,+V,+VN+V$题"%!’辽宁大学##%%1年(0为Q#中的开集#’,#N(+0#+’,#N(为0上的函数#且%%*)’*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#’"(对每个’,#N(+0的,存在&’(+’,#N(+F’,(#N’N%’#(&’(+’,#N(+U’N(#关于’,#N(+0中的N一致#,’,%试证)&’(&’(+’,#N($&’(&’(+’,#N(#!,’,N’NN’N,’,%%%%分析!本题主要考察累次极限#为了证明等式!#只要证明等式左端的累次极限&’(+’,#N(+&’(F’,(+S存在#且右端的N’N,’,%%函数U’N(3&’(+’,#N(当N’N%时趋向S#,’,%证明!"R’证明&’(F’,(存在(因’,%#N%(+0’0为开集(#所以(("#%#使得!’,#N($$,7,%$%("#$,’,%N7N%$%(""G0#据条件’#(*!#%#((#%’(%("(#当%%$,-7,%$%(#%%$,.7,%$%(时#有$+’,-#N(7+’,.#N($%!#!’*N+!N)$N7N%$%("(令N’N%取极限’据条件’"(我们得khdaw.com6F’,-(2F’,.(6)!据S5@=HT准则#知&’(F’,(存在#即等式!左端极限存在#记之为S#,’,课后答案网%#R’证明&’(U’N(+S(*!#%#由N’N%6U’N(2S6)6U’N(2+’,#N(616+’,#N(2F’,(616F’,(2S6&利用条件www.hackshp.cn’#(及"R之结论#可取,与,%充分接近使得!!6U’N(2+’,#N(6%#6F’,(2S6%..将,固定#由条件’"(((#%#使得$N7N%$%(时!6+’,#N(2F’,(6%.!!!于是由&式知$U’N(7S$%!!+!#证毕#...课后习题全解!!!9"!平面点集与多元函数."-判断下列平面点集中哪些是是开集1闭集1有界集1区域.并分别指出它们的聚点与界点)’"(,*#8(4,5#O(+!!!!!!!!’#(!’,#N(6,N,%"+’.(!’,#N(6,N$%"+’/(!’,#N(6N#,#"+’0(!’,#N(6,%##N%##,1N##"+’1(!’,#N(6,##1N$"或N$%#%),)""+’2(!’,#N(6,##1N)"或N$%#"),)#"+’3(!’,#N(6,#N均为整数"+’4(!’,#N(6N$8’)"khdaw.com#,#%"-,!解!’"(,*#8(4,5#O(是有界集1区域#其聚点为?$!’,#N(6*),)8#5)N)O"#界点为*)(*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十六章!多元函数的极限与连续,$*,$8*),)8*),)8!’,#N(6!或!或!或!#!5)N)O!5)N)O!N$5"!N$O"’#(!’,#N(6,N,%"是开集#其聚点为?$Q##界点为!’,#N(6,N$%"-’.(!’,#N(6,N$%"是闭集#其聚点为?$!’,#N(6,N$%"#界点为1?$?$!’,#N(6,N$%"-’/(!’,#N(6N#,#"是开集1区域#其聚点为?$!’,#N(6N&,#"#界点为!’,#N(6N$#"-,’0(!’,#N(6,%##N%##,1N##"是开集1有界集1区域#其聚点为?$!’,#N(6,)##N)##,1N&#"界点为!’,#N(6,$##%),)#"为闭域#因为闭域是开域连同边界所成的点集#闭集?是?的所有聚点都属于?#所以#*0+>#情况")当0+开域>20是>的内点20必为>的聚点+情况#)当0+1>4>20为>的非孤立的界点20为>的聚点-从而得知>的一切点均为>的聚点#故>为闭集-反之不真-反例)!?$!’,#N(6"),##1N)#或,$##%)N)""#则?的开域是?!’,#N(6"%,####"$1N%#"#?"的边界是1?"$!’,#N(6,1N$##""U!’,#N(6,1N$#"-khdaw.com闭域?"<1?"I?#又显然?中的一切点均为聚点#且为?的全部聚点#所以?为闭集#非闭域--0-证明)点列!0"’,"#N"("收敛于0%’,%#N%(的充要条件是&’(,"$,%和&’(N"$N%-课后答案网"’$"’$!分析!要证&’(,"$,%#只要证6,"2,%6%"#同理证&’(N"$N#只要证6N"2N%6%!#"’$"’$!证明!必要性!设&’(0"$0%#则*!#%#(%+:1#当"#%时#有0"+C’0%+!(即"’$’0#0($’,(##www.hackshp.cn+"%!"2,%1’N"2N%(%!从而6,"2,%6)+’0"#0%(%!#6N"2N%6)+’0"#0%(%!故&’(,"$,%#&’(N"$N%"’$"’$充分性!设&’(,"$,%#&’(N"$N%#则*!#%#(%+:1#当"#%时#有6,"2,%6%"’$"’$!#6N"2N%6%!#从而0"’,"#N"(+C’0%’,%#N%(+!(’方邻域(所以&’(0"$0%-"’$.1-求下列各函数的函数值)#’"(+’,#N($5C=D5)’,1N(#求+’"1!.#"2!.(+,5C=D5)’,2N(-###,NN’#(+’,#N($#求+"#+,#1N#’,(’.(+’,#N($,#1N#2,ND5),#求+’;,#;N(-N#B5C=D5)"’"1!.1"2!.(D#"1!.#"2!.#5C=D5)"4!解!’"(+’($$$##",5C=D5).!-"15C=D5)’"1!.2"1!.(C#EN#*"*khdaw.comN,#,N’#(+’"#,($#$##$+’,#N(#N,1N"1’(,*!***若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十六章!多元函数的极限与连续’.(+’;,#;N($’;,(#1’;N(#2’;,(’;N(D5);,;N###,#$;’,1N2,ND5)($;+’,#N(N.2-设J’,#N($&),&)N#证明)若!#%#7#%#则J’,N#!7($J’,#!(1J’,#7(1J’N#!(1J’N#7(-!证明!J’,N#!7($&)’,N(&)’!7($’&),1&)N(’&)!1&)7($&),&)!1&),&)71&)N&)!1&)N&)7$J’,#!(1J’,#7(1J’N#!(1J’N#7(.3-求下列各函数的定义域#画出定义域的图形#并说明这是何种点集)##,1N"’"(+’,#N($+!!!!’#(+’,#N($+####,2N#,1.N’.(+’,#N($!,N+’/(+’,#N($!"2,##1!N2"+’0(+’,#N($&),1&)N+’1(+’,#N($8’)’,##!1N(+2’,#1N#(khdaw.com’2(+’,#N($&)’N2,(+’3(+’,#N($>+P’4(+’,#N#P($+##,课后答案网1N1"’"%(+’,#N#P($!H#2,#2N#2P#1"!’H#/(-####!,1N1P2/##!解!’"(要使+’,#N($,1N有定义#必须,#2N#,%#即N,M,#故定义域##www.hackshp.cn,2N>$!’,#N(6N,M,">的图形如图"12"所示#>为开集#非开域’因为不连通(-!!!!图"12"!!!!!!!!!!!!图"12#’#(要使+’,#N($"有定义#必须分母#,#1.N#,%#即,#1N#,%#故定义域###,1.N##>$!’,#N(6,1N,%">的图形如图"12#所示#>为开集#也是开域-’.(显然+’,#N($!,N的定义域为>$!’,#N(6,&%#N&%或,)%#N)%"$!’,#N(6,N&%">的图形如图"12.所示#>为闭集#也为闭域-khdaw.com’/(要使+’,#N($!"2,##1!N2"有定义#必须##"2,&%#N2"&%*!*!*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#!!!!图"12.!!!!!!!!!!图"12/故定义域>$!’,#N(66,6)"#6N6&"">的图形如图"12/所示#>为闭集#非区域’因为不连通(-’0(显然+’,#N($&),1&)N的定义域为>$!’,#N(6,#%#N#%"khdaw.com>的图形如图"120所示#>为开集#也是开域-课后答案网www.hackshp.cn!!!图"120’1(要使+’,#N($8’)’,##!1N(有定义#必须##(&%8’)’,1N即!!#3#)’,##()’#31"(##3$%#"###&1N故定义域##>$!’,#N(6#"#),1N)’#"1"(##"$%#"###&">的图如图"121所示#>为闭集#非区域-!!!图"121!!!!!!!!!!!图"122’2(显然+’,#N($&)’N2,(的定义域为>$!’,#N(6N#,khdaw.com">的图形如图"122所示#>为开集#也是开域-2’,#1N#(’3(显然+’,#N($>的定义域*!*"*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十六章!多元函数的极限与连续#>$#故>为开集#也是闭集#是开域也是闭域-P’4(显然+’,#N#P($的定义域##,1N1".>$#故>为开集#也是闭集#是开域也是闭域-’"%(要使+’,#N#P($!H#2,#2N#2P#1"有定义#必须####!,1N1P2/########H2,2N2P&%#,1N1P2/#%故定义域>$!’,#N#P(6/#####"%,1N1P)H>为有界集#但既不是开集#也不是闭集--4-证明)开集与闭集具有对偶性333若?为开集#则J?为闭集+若?为闭集#则J?为开集-!分析!此题介绍了开1闭集的对偶性概念#证明相对较为简单#!证明!设?为开集#*0+?#由于0为?的内点#所以((#%#使C’0+((4?#因而不存在0-khdaw.com+J?使+’0#0-(%(#故0不是J?的聚点#于是J?的所有聚点都属于J?#即J?为闭集-另一方面#设课后答案网?为闭集#*0+J?#即0K?#因而0不是?的聚点#故((#%#使C’0+((F?$H#即C’0+((4J?#所以0为J?的内点#即J?为开集--"%-证明)’"(若J"#J#为闭集#则J""#"$"###&#由条件$(知>"1’4>"#因此0"#0"1’+>"#从而有+’0"#0"1’()O"’%!’"’$(由柯西收敛准则知#(0##使&’(%+#0"$0%-"’$现在#任意固定"#*’+:1#有0"1’+>"1’4>"#令’’1$#由于>"为闭集#0%作为>"的聚点必然属于>"#即&’(0"1’$0%+>"#"$"###&’’$khdaw.com最后证明0%的惟一性-若(0"+>"#"$"###&#则由于+’0%#0"()+’0%#0"(1+’0"#0"()#O"’%!’"’$(所以+’0%#0课后答案网"($%#即0%$0"-/"#-证明定理"1-/’有限覆盖定理(-!分析!本题用反证法较为简单#通过假设得到闭域套!W""#且能用!’&"中的一个开域’-&所覆盖#与题设矛盾##为一有界闭域#所以(*#8##!证明!反证法www.hackshp.cn)假设不能用!’&"中有限个开域覆盖>-因为>4#5#O+##使!>4X$!’,#N(6*),)8#5)N)O"-""用直线,$’*18(#N$’51O(将矩形域X分成四个小矩形域X":’:$"###.#/(###而X":’:$"###.#/(将>划分为若干个小闭域#且其中至少有一个闭域不能被有限开域覆盖#记此闭域为>"#>"所在的小矩形域为X""#且设X""$!’,#N(6*"),)8"#5")N)O""则>"4>#>"4X""4X#且/"$O’>"()O’X""($"!’82*(#1’O25(##""又用直线,$’*"18"(#N$’5"1O"(将X""分成四个小矩形域X#:’:$"###.#/(###而X#:’:$"###.#/(将>"划分为若干个小闭域#且其中至少有一个闭域不能被有限个开域覆盖#记此闭域为>##>#所在的小矩形域为X#"#且设X#"$!’,#N(6*#),)8##5#)N)O#"则>#4>"#>#4X#"4X""且/#$O’>#()O’X#"($"’8(#1’O#!"2*""25"(#""因为8"2*"$’82*(#O"25"$’O25(#所以##khdaw.com/#$O’>#()"!’82*(#1’O25(###*!*$*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十六章!多元函数的极限与连续重复上述过程并不断进行下去#得到一个闭域套!>""#它满足$(>"L>"1"#"$"###&#+%(/"$O’>"()"!’82*(#1’O25(#’"$"###&(#&’(/"$%-"#"’$即!>""是闭域套#且其中每一个闭域>"都不能用有限个开域覆盖-其中>"1"4>"$!’,#N(6*"),)8"#5")N)O""""8"2*"$"’82*(#O"25"$"’O25(##由闭域套定理知#存在惟一点0%+>"’"$"###&(-由于!’*"是>的一个开覆盖#故(’*-+!’*"使0%+’*--又因为&’(/"$%#(%+:1使当"#%时#有>"4’*--"’$这表明>"能用!’*"中的一个开域’*-所覆盖#与假设$不能用!’*"中有限个开域覆盖>%相矛盾#故必存在!’*"中有限个开域’"#’##&#’"来覆盖>-!小结!证明过程中要特别注意闭域套!>""是如何通过假设一步步得到的#这最为关键#9#!khdaw.com二元函数的极限"-试求下列极限’包括非正常极限()##课后答案网##’"(&’(,N+!!!!!!!’#(&’("1,1N+####’,#N(’’%#%(,1N’,#N(’’%#%(,1N##,1N,N1"’.(&’(+’/(&’(+//’,#N(’’%www.hackshp.cn#%(!"1,#1N#2"’,#N(’’%#%(,1N""’0(&’(+’1(&’(’,1N(8’)+##’,#N(’’"##(#,2N’,#N(’’%#%(,1N##(8’)’,1N’2(&’(-##’,#N(’’%#%(,1N####,N,N"!解!’"(因为%)##)$6,66N6’%’’,#N(’’%#%((#所以,1N#6,66N6###,N&’(##$%’,#N(’’%#%(,1N’#(作极坐标代换-令,$/=;8/#N$/8’)/#则###"1,1N"1/&’(##$&’(#$1$’,#N(’’%#%(,1N/’%/’.(令,$/=;8/#N$/8’)/#则###&’(,1N$&’(/$&’(’"1!"1/#($#’,#N(’’%#%(!"1,#1N#2"/’%!"1/#2"/’%’/(令,$/=;8/#N$/8’)/#则#,N1"/8’)/=;8/1"&’(//$&’(///’,#N(’’%#%(,1N/’%/’=;8/18’)/(*)#%#因为/’%#所以不妨设%%/%"#由于"##/8’)#/1"khdaw.com#/8’)/=;8/1"#/1#/8’)#/#/’=;8//$$/’.1=;8//(#///18’)/(//*"’.1=;8//(////*!*%*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#/取($(’)"#"#则当%%/%(时#便有’!#)(#/8’)/=;8/1"//’=;8//18’)//(#),N1"故&’(//$1$’,#N(’’%#%(,1N’0(因为&’(’#,2N($%#由无穷小与无穷大之间的关系#知’,#N(’’"##("&’($$’,#N(’’"##(#,2N"’1(因为&’(’,1N($%#而8’)##)"#利用有界函数与无穷小之积仍为无穷’,#N(’’%#%(,1N小#即知"&’(’,1N(8’)##$%’,#N(’’%#%(,1N’2(令,$/=;8/#N$/8’)/#则##(#8’)’,1N8’)/&’(##$&’(#$"khdaw.com’,#N(’’%#%(,1N/’%/.#-讨论下列函数在点课后答案网’%#%(的重极限与累次极限)#N""’"(+’,#N($+!!!!!!!’#(+’,#N($’,1N(8’)8’)+##,1N,N##..’.(+’,#N($,N’/(+’,#N($,1N+####,N1’,2N(,1Nwww.hackshp.cn",#N#’0(+’,#N($N8’)+’1(+’,#N($+..,,1N,N>2>’2(+’,#N($-8’),N!解!’"(令N$3,’3,%(#则#####N3,33&’(##$&’(###$&’(#$#’,#N(’’%#%(,1N,’%,13,,’%"13"13N$3,#由于极限值随3的变化而变化#故重极限&’(N不存在-##’,#N(’’%#%(,1N#累次极限&’(&’(N$&’(%$%##,’%N’%,1N,’%#N&’(&’(##$&’("$"N’%,’%,1NN’%’#(因为&’(’,1N($%’,#N(’’%#%(""而8’)8’))",N""所以重极限&’(’,1N(8’)8’)$%’,#N(’’%#%(,N累次极限&’(&’(’,1N(8’)"8’)"$&’("&’(’,1N(8’)"不存在#8’),’%N’%,N,’%,,’Nkhdaw.com’%N(-""同理&’(&’(’,1N(8’)8’)不存在-N’%,’%,N*!*&*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十六章!多元函数的极限与连续’.(令N$3,#则,#N#3#,#"#!3$"&’(###$&’(###$’,#N(’’%#%(,N1’,2N(,’%3,1’"23(!%#!3,"N$3,所以重极限不存在-##,N累次极限&’(&’(###$&’(%$%,’%N’%,N1’,2N(,’%##,N&’(&’(###$&’(%$%N’%,’%,N1’,2N(N’%’/(令N$2,#则....,1N,2,&’($#$&’(#$%’,#N(’’%#%(,1N,’%,2,N$2,又令N$,.##则2,...4321,1N,1,2.,1.,2,&’($#$&’(.$"’,#N(’’%#%(,1N,’%,.#N$,2,所以重极限不存在-..khdaw.com累次极限&’(&’(,1N$&’(,$%#,’%N’%,1N,’%..课后答案网,1N#&’(&’(#$&’(N$%N’%,’%,1NN’%"’0(因为&’(N$%#而8’))"#所以重极限’,#N(’’%#%(,www.hackshp.cn"&’(N8’)$%’,#N(’’%#%(,"累次极限&’(&’(N8’)$&’(%$%,’%N’%,,’%""&’(&’(N8’)$&’(N&’(8’)N’%,’%,N’%,,’%,-不存在-’1(令N$,#则##/,N,&’(..$&’(.$%’,#N(’’%#%(,1N,’%#,N$,又令,$N#2N#则###’N/.#(,NN2#N1N"&’(..$&’(.10/.$’,#N(’’%#%(,1NN’%N1’N2.N1.N2N(.#,$N2N所以重极限不存在-##,N累次极限&’(&’(..$&’(%$%,’%N’%,1N,’%##,N&’(&’(..$&’(%$%N’%,’%,1NN’%’2(令N$,#则khdaw.com,N>2>%&’($&’(#$%’,#N(’’%#%(8’),N,’%8’),N$,*!*’*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#又令,$N2N##则#,NN’>2N2"#>2>>2"(2N&’($&’(#.$&’(#.$2"’,#N(’’%#%(8’),NN’%8’)’N2N(N’%N2N#,$N2N所以重极限不存在-,N,N>2>>2>累次极限&’(&’(与&’(&’(都不存在-,’%N’%8’),NN’%,’%8’),N-.-证明)若"D&’(+’,#N(存在且等于S+#DN在8的某邻域内#存在有&’(+’,#N($*’N(#则’,#N(’’*#8(,’*&’(&’(+’,#N($S-N’8,’*!分析!要证+’,#N(存在且等于S#则证&’(&’(+’,#N($&’(*’N($S#N’8,’*N’8!证明!依题意#即证&’(&’(+’,#N($&’(*’N($S-N’8,’*N’8设N+C’8+("(#因为!&’(+’,#N($S’,#N(’’*#8(所以*!#%#((##%#当%%6,2*6%(##%%6N286%(#时#有6+’,#N(2S6%!又因为&’(+’,#N($*’N(#!N+C’8+("(khdaw.com,’*((.#%#当%%6,2*6%(.#6N286%("时#有课后答案网6+’,#N(2*’N(6%!取!$(’)!("#(##(."#则对上面的!#%#当%%6,2*6%(#%%6N286%(时#有6*’N(2S6)6*’N(2+’,#N(616+’,#N(2S6%#!故&’(&’(+’,#N($S-www.hackshp.cnN’8,’*./-试应用!2(定义证明#,N&’(##$%-’,#N(’’%#%(,1N##!证明!因为*,#N+##有,1N,6*6N6#因此##,N,6N6"##2%$##)6,6,1N,1N#所以#*!#%#取($#!#则当%%6,6%(#%%6N6%(时#就有#,N##2%%!,1N#,N故&’($%-##’,#N(’’%#%(,1N-0-叙述并证明)二元函数极限的惟一性定理#局部有界性定理与局部保号性定理-’"(二元函数极限的惟一定理)若&’(+’,#N(存在#则此极限惟一-’,#N(’’*#8(’#(二元函数局部有界性定理)若&’(+’,#N(存在#则+’,#N(在0%’*#8(的某一空心邻域’,#N(’’*#8(内有界-’.(二元函数的局部保号性定理)若&’(+’,#N($S#%’或%%(#则对任何正数/%S’或’,#N(’’*#8(/%2S(#存在CD’0%(使得对一切’,#N(+CD’0%(有+’,#N(#/#%!’或+’,#N(%khdaw.com2/%%(-!分析!第’"(小题用反证法较为简便+第’.(题要证+’,#N(#/#%#只要证+’,#N(#S2!$/即可#*!*(*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十六章!多元函数的极限与连续!证明!’"(反证法)假设&’(+’,#N($S#!&’(+’,#N($B#且S%B’,#N(’’*#8(’,#N(’’*#8(B2S因为&’(+’,#N($S#所以#对给定的!%$#%#(("#%#当’,#N(+’,#N(’’*#8(#CD’’*#8(+("(时#有6+’,#N(2S6%!%.S2BS1B即%+’,#N(%##同理#由&’(+’,#N($B#对上面的!#%#((##%#当’,#N(+CD’’*#8(+(#(时#’,#N(’’*#8(有6+’,#N(2B6%!%S1B.B2S即%+’,#N(%##取($(’)!("#(#"#则当’,#N(+CD’’*#8(+((时#有S1BS1B%+’,#N(%khdaw.com##故矛盾#所以假设不对#即极限惟一-’#(由于极限课后答案网&’(+’,#N($S存在#所以#对!%$"#((#%#当’,#N(+CD’0%+((’,#N(’’*#8(时#有6+’,#N(2S6%!%$"www.hackshp.cn于是6+’,#N(6$6+’,#N(2S1S6)6+’,#N(2S616S6%"1S$)故+’,#N(在CD’0%+((内有界-’.(设S#%’对于S%%的情况可类似地证明(#对*/+’%#S(#由&’(+’,#N($’,#N(’’*#8(S#则对!$S2/#%#((#%#当’,#N(在CD’0%+((时#有6+’,#N(2S6%!$S2/即+’,#N(#S2!/故结论成立-.1-试写出下列类型极限的精确定义)’"(&’(+’,#N($S+!’#(&’(+’,#N($S-’,#N(’’1$#1$(’,#N(’’%#1$(!解!’"(若*!#%#()#%#当,#)#N#)时#有6+’,#N(2S6%!则称’,#N(’’1$#1$(时#+’,#N(以S为极限#记为&’(+’,#N($S’,#N(’’1$#1$(’#(若*!#%#((#%#)#%#当%%6,6%(且N#)时#有6+’,#N(2S6%!则称’,#N(’’%#1$(时#+’,#N(以S为极限#记为&’(+’,#N($S’,#N(’’%#1$(.2-试求下列极限)khdaw.com##’"(&’(,1N+!!!!’#(&’(’,#1N#(>2’,1N(+//’,#N(’’1$#1$(,1N’,#N(’’1$#1$(*!*)*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册##,,8’)N"",1N’.(&’("1+’/(&’(’"1(-’,#N(’’1$#1$(’,N(’,#N(’’1$#%(,!解!’"(利用极坐标转换-令,$/=;8/#N$/8’)/#当’,#N(’’1$#1$(时#/’1$#由于###,1N/"//%%//$/’=;8//$#’.1=;8//()#’%!’/’1$(,1,//18’)/(/#/##,1N故&’(/#$%-’,#N(’’1$#1$(,1N’#(!&’(’,##(>2’,1N(1N’,#N(’’1$#1$(,,#2,2N#2N2,-$&’(>>1N>>’,#N(’’1$#1$(’,#2,(*&’(2N’N#2N(*&’(2,$&’(>>1&’(>>$%,’1$N’1$N’1$,’1$8’)N,8’)NN"",N’.(&’("1$&’("1’,#N(’’1$#1$(’,N(’,#N(’’1$#1$(,’,N(-8’)N&’(,NN’1$N"%$,&’("1-$>$"khdaw.com’,#N(’’1$#1$(’,N(#,,&’(",1N,’,#N(’’1$#%(,1N’/(&’("1""’,#N(’’1$#1$课后答案网(’,($,&’(’"1,(-$>$>,’1$.3-试作一函数+’,#N(使当,’1$#N’1$时#’"(两个累次极限存在而重极限不存在+’#(两个累次极限不存在而重极限存在www.hackshp.cn+’.(重极限与累次极限都不存在+’/(重极限与一个累次极限存在#另一个累次极限不存在-#!解!’"(令+’,#N($N#则##,1N##NN&’(&’(##$"#&’(&’(##$%,’1$N’1$,1NN’1$,’1$,1N但由定理"1-1的推论#知重极限不存在-""’#(令+’,#N($8’),=;8N18’)N=;8,#由于,N""&’(&’(8’),=;8N$&’(=;8N&’(8’),$&’(%$%N’1$,’1$,N’1$,,’1$,-N’1$但是&’(=;8,不存在#故&’(&’(+’,#N(不存在-同理&’(&’(+’,#N(也不存在-,’1$N’1$,’1$,’1$N’1$又因为68’),=;8N6)"#68’)N=;8,6)"#所以""&’(8’),=;8N$%#&’(8’)N=;8,$%’,#N(’’1$#1$(,’,#N(’’1$#1$(N即&’(+’,#N($%#故重极限存在-’,#N(’’1$#1$(’.(令+’,#N($,8’)N1N=;8,#则易知#当,’1$#N’1$时#重极限与两个累次极限均不存在-khdaw.com"’/(令+’,#N($=;8N#则,*!!**若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十六章!多元函数的极限与连续""&’(=;8N$%#&’(&’(=;8N$&’(%$%’,#N(’’1$#1$(,N’1$,’1$,N’1$"但&’(&’(=;8N不存在-,’1$N’1$,/4-证明定理"1-0及其推论.-!分析!要证&’(+’0($S#只要证6+’0(2S6%!+证!+’0"("收敛#则要证&’(+’0"($S#0’0"’$%0+?!证明!’"(必要性!设&’(+’0($S#所以*!#%#((#%#当0+CD’0%+((F>时#有0’0%0+>6+’0(2S6%!由于?4>#0%为?的聚点#所以CD’0%+((F?,H#故当0+CD’0%+((F?4CD’0%+((F>时#有6+’0(2S6%!即表明&’(+’0($S0’0%0+?充分性!设?4>#0%为?的聚点#&’(+’0($S-0’0%khdaw.com0+?"下面采用反证法)假设&’(+’0(,S#则必(!%#*("$#%#(0"+CD’0%+("(F0’0"课后答案网%0+>>#使6+’0"(2S6&!%#且0"互不相同-"因此#取?为?$!0""4>#&’(+’0"#0%()&’($%www.hackshp.cn"’$"’$"所以0%为?的聚点#这与条件&’(+’0($&’(+’0"($S相矛盾#故假设不对#即有0’0"’$%0+?&’(+’0($S0’0%0+?’#(必要性!设&’(+’0($S#令?$!0""4>#由0",0%#&’(0"$0%#知0%为?0’0"’$%0+>的聚点#故由上面已证的定理"1-0#即可得&’(+’0($&’(+’0($&’(+’0"($S0’00’0"’$%%0+>0+?充分性!设当0%,0"+>#&’(0"$0%时#有&’(+’0"($S收敛-"’$"’$首先#应说明的是上面的极限是惟一的-采用反证法)假设’"(’#(’"(’#((!0""4>#!0""4>#&’(0"$&’(0"$0%"’$"’$’"(’#(且&’(+’0"($S#&’(+’0"($B"’$"’$B2S但S%B#则对于给定的!%$#%#(%+:1#当"#%时#有#’"(S1B’#(+’0"(%S1!%$$B2!%%+’0"(#故发生矛盾#即假设不对#所以S$B-其次#利用类似于定理"1-0充分性证明中采用的反证法可证khdaw.com&’(+’0($S-0’0%0+>!小结!反证法证明此题比较简单#在证明推论时#除了说明!+’0"("收敛于S#还要证明S的惟*!!!*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#一性#9.!二元函数的连续性."-讨论下列函数的连续性)’"(+’,#N($D5)’,##(+!!’#(+’,#N($,,1N-+1N8’),N9#!N,%#’.(+’,#N($N8:%#N$%+98’),N#!,#1N#,%###’/(+’,#N($!,1N8##+:%#,1N$%%#!!!,为无理数#’0(+’,#N($!N#,为有理数+###(#!,##N&)’,1N1N,%#’1(+’,#N($##!%#,1N$%+khdaw.com"2,’2(+’,#N($+!!’3(+’,#N($>N-8’),8’)N!解!’"(当,#1N#课后答案网$#13#$"1#3#时#+’,#N($D5)’,#1N#(间断#故D5)’,#1N#(的间##断曲线为圆族,#1N#$#’"1#3(#!3$%#"###&www.hackshp.cn#’#(当,1N$M"时#+’,#N($,,1N-间断#故,,1N-的间断曲线为直线族,1N$M"#!"$%#"###&’.(因为*’,#%(+###,#有%%,%8’),N&’(+’,#N($&’($,%,+’,%#%($%’,#N(’’,#%(’,#N(’’,#%(N%%所以间断点集为!’,#N(6,,%#N$%"-8’),N’/(当’,#N(,’%#%(时#+’,#N($连续#当’,#N($’%#%(时##!,1N8’),N8’),N,N,N&’($&’(*$"*&’(’,#N(’’%#%(!,#1N#’,#N(’’%#%(,N!,#1N#’,#N(’’%#%(!,#1N##/8’)/=;8/$&’($%$+’%#%(/’%/故+’,#N(在全平面连续-’0(*’,#N(+Q##N#有%%%,%%#!,%为无理数+’,%#N%($!N%!,%为有理数$(当,%为无理数时#取有理点列!,""使,"’,%’"’$(#则&’(+’,#N($&’(+’,"#N%($&’(N%$khdaw.comN%,%$+’,%#N%(,’,"’$"’$"%N$N%%(当,%为有理数时#取无理点列!,""#使,"’,%’"’$(#则*!!"*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十六章!多元函数的极限与连续&’(+’,#N($&’(+’,"#N%($&’(%$%,N%$+’,%#N%(,’,"’$"’$"%N$N%而*’,#%(+###有%&’(+’,#N($%$+’,%#N%(’,#N(’’,#%(%故+’,#N(仅在直线N$%上连续#间断点集为!’,#N(6N,%"-’1(令,$/=;8/#N$/8’)/#因为###($&’(’#/##&’(+’,#N($&’(N&)’,1N&)/(’8’)/($%$+’%#%(’,#N(’’%#%(’,#N(’’%#%(/’%所以+’,#N(在全平面连续-"’2(因为+’,#N($的定义域为8’),8’)N>$!’,#N(6,,3##N,3##3$%#M"#M##&"所以+’,#N(在>内连续-,’3(因为+’,#N($>2N的定义域为>$!’,#N(6,+##N,%"khdaw.com所以+’,#N(在>内连续-.#-叙述并证明二元连续函数的局部保号性课后答案网-!证明!记S$+’0%(#则二元连续函数局部保号性定理为二元函数极限局部保号性定理的特例#其证明见本章9#习题0--.-设,#!!,#1N#,%#www.hackshp.cn9’,##(’+’,#N($81N!’’#%(###:!%#,1N$%试讨论它在’%#%(点处的连续性-!分析!需要先将直角坐标系转化为角坐标系#!解!令,$/=;8/#N$/8’)/-因为,"2#’&’(+’,#N($&’(##’$&’(/=;8/’,#N(’’%#%(’,#N(’’%#%(’,1N(/’%"9!%#!!!%%’%#$8"不存在#’&:#""所以当%%’%时#+’,#N(在’%#%(点处连续#’&时#+’,#N(在’%#%(点处不连续###-/-设+’,#N(定义在闭矩形域($,*#8-4,5#O--若+对N在,5#O-上处处连续#对,在,*#8-’且关于N(为一致连续#证明+在(上处处连续-!分析!取(上任一意0%#先证+在0%处的连续性#再由0%的任意性即得到结论#!证明!*0%’,%#N%(+(#因为+’,#N(对N在,5#O-上处处连续#所以*!#%#(("#%#当5)N)O#6N2N%6%("时#有6+’,%#N(2+’,%#N%(6%khdaw.com!/#又由于+’,#N(对,在,*#8-上且关于N一致连续#因而对上面的!#%#((##%#当,"#,#+,*#8-时#*N+,5#O-#在6,"2,#6%(#时#有*!!#*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#6+’,"#N(2+’,##N(6%!/#取($(’)!("#(#"#则当’,#N(+(#6,2,%6%(#6N2N%6%(时#有6+’,#N(2+’,%#N%(6)6+’,#N(2+’,%#N(616+’,%#N(2+’,%#N%(6%!即表时+’,#N(在0%处连续#由0%+(的任意性#知+’,#N(在(上处处连续-#是有界闭域#+为>上连续函数#则+’>(不仅有界’定理"1-3(#而且是闭区间-.0-证明)若>4##为有界闭域#+’,#N(在>上连续#所以由定理"1-3知+’,#N(在>上取最!证明!因为>4#小值&和最大值)-又由于+不是常数函数#因而&%)#从而*’&#)(#由定理2+"1-"%’介值性定理(知(0%+>#使+’0%($2#故+’>($,&#)--#上对,连续#对N满足利普希茨条件).1-设+’,#N(在区域X4#6+’,#N-(2+’,#N.(6)A6N-2N.6#其中’,#N-(#’,#N.(+X#A为常数#试证明+在X上处处连续-!证明!首先#若A$%#则由+’,#N-($+’,#N.(且+’,#N(在X上对,连续#即知+’,#N(在X上处处连续-其次#若A#%#对任给聚点0%’,%#N%(+X#因为+’,#N(对,连续#所以*!#%#(("#khdaw.com%#当0’,#N%(+X#6,2,%6%("时#有6+’,#N%(2+’,%#N%(6%!/#取($(’)(课后答案网"#!#则当0’,#N(+X#6,2,%6%(#6N2N%6%(时#有!#A"6+’,#N(2+’,%#N%(6)6+’,#N(2+’,#N%(616+’,#N%(2+’,%#N%(6!!!)A6N2N%61%A*1$!www.hackshp.cn##A#所以+’,#N(在0%点处连续#由0%+X的任意性即知+’,#N(在X上处处连续--2-若一元函数*’,(在,*#8-上连续#令+’,#N($*’,(#!’,#N(+>$,*#8-4’2$#1$(-试讨论+在>上是否连续.是否一致连续.!分析!注意一致连续可推出连续#但连续并不一定一致连续#!解!+’,#N(在>上连续且一致连续-因为’,(在闭区间,*#8-上连续#所以’,(在,*#8-上一致连续-因而*!#%#((#%#**当,"#,#+,*#8-#6,"2,#6%(时#有6*’,"(2*’,#(6%!由于+’,#N($*’,(与N无关#所以*0"’,"#N"(#0#’,##N#(+>#当6,"2,#6%(#6N"2N#6%(’或+’0"#0#(%!#((时#就有6+’,"#N"(2+’,##N#(6$6*’,"(2*’,#(6%!故+’,#N(在>上一致连续-.3-设"+’,#N($#’,#N(+>$,%#"(4,%#"("2,N证明)+在>上连续#但不一致连续-!证明!’"(+’,#N($"在>上连续-khdaw.com"2,N因*0%’,%#N%(+>#%),%%"#%)N%%"#,%N%%"#有*!!$*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十六章!多元函数的极限与连续""&’($$+’,%#N%(’,#N(’’,#N("2,N"2,%N%%%故+’,#N(在>上连续-’#(+’,#N(在>上不一致连续-"因为对于!%$"#对无论多么小的正数(’%(#只要取#/((((0%’,%#N%($’"2#"2#(#!0"’,"#N"($’"2#"2.(+>#.虽然有’0"#0%($!’,"2,%(#1’N"2N%(#$"(%(+!"3""但是6+’,"#N"(2+’,%#N%(6$#2#(("2’"2.("2’"2#("#20("#20(0$##"#2(’12((’/2((#/(#/#"$!%"khdaw.com故+’,#N($在>内不一致连续-"2,N#上分别对每一自变量,和N是连续的#并且每当固定,时+对N是单调的#证明+是/4-设+在#课后答案网#上的二元连续函数-##任一点0#只需证明+’,#N(在0处连续#由0的任意性即可得到结论#!分析!取#%%%##故只须证明+’,#N(在0处连续-!证明!任取0%’,%#N%(+#%不妨设每当固定www.hackshp.cn,时+对N是单调递减-因为+’,#N(对N是连续的#所以*!#%#(("#%#当6N2N%6%("时#有6+’,%#N(2+’,%#N%(6%!/#!即+’,%#N%(2%+’,%#N(%+’,%#N%(1!/##又因为+’,#N(对,是连续的#同样对上面的!#%#((##%#当6,2,%6%(#时#有6+’,#N%1((2+’,%#N%1((6%!/#即+’,%#N%1((2!%+’,#N!%1((%+’,%#N%1((1##!6+’,%#N%2((2+’,#N%2((6%#亦即+’,%#N%2((2!%+’,#N!%2((%+’,%#N%2((1##这里#($(’)!("#(#"#则当6,2,%6%(#6N2N%6%(时#有+’,#N(2+’,%#N%(%+’,#N%2((2+’,%#N%(!!!%+’,%#N%2((12+’,%#N%(%1$!###+’,#N(2+’,%#N%(#+’,#N%1((2+’,%#N%(khdaw.com!!!#+’,%#N%1((22+’,%#N%(#22$2!###*!!%*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#即6+’,#N(2+’,%#N%(6%!这表明+’,#N(在0处连续-%!小结!此题根据固定,时N是单调的条件可得出+’,#N%2((%+’,#N%(的重要结论#总练习题#是有界闭集#O’?(为?的直径-证明)存在0#0#使得’0#0($O’?(--"-设?4#"#+?+"#!分析!由于闭集?有无聚点并不清楚#所以要分为两种情况加以讨论#!证明!因为闭集?可以无聚点#所以分下列两种情况加以证明-情况")!设有界闭集?4##没有聚点#则?中只有有限个孤立点-因为?中若有无限个孤立点#则由聚点定理知?在##中至少有一个聚点#但有界闭集?无聚点#所以?中只有有限个孤立点#由O’?(的定义)!O’?($8@A’0#0-(#以及?中孤立点个数的有限+M#MV+?-性#即知(0"#0#+?#使+’0"#0#($O’?(-情况#)!设有界闭集?中有聚点#由O’?(的定义及上确界的概念#知*(#%#(0#0-+?#使khdaw.comO’?(2(%+’0#0-()O’?("现取一数列("$#"$"###&#则得到点列!0""4?#!0-""4?#使课后答案网"O’?(2("%+’0"#0-"()O’?(对于有界点列!0""4?#无论!0""中有无限个互不相同的点’此是可用聚点定理(#还是!0""中包含无穷个相同的点#都存在子列!0""4!0""使3&’(0"$0"+?3www.hackshp.cn3’$"故对数列("$#有3"3O’?(2("%+’0"#0-"()O’?(333同样#对于有界点列!0-""4?#无论!0-""中有无限个互不相同的点’此时可用聚点定33理(#还是!0-""中包含无穷个相同的点#都存在子列!0-""4!0-""#使33&’(0-"$0#+?3/’$/由于!"3"4!"3"#所以!0""4!0""#故有/33/&’(0"$0"3/’$/"最后#对数列("$#有3/"3/O’?(2("%+’0"#0-"()O’?(333///令/’$#则有+’0"#0#($O’?(.#-设+’,#N($"#/$!,#1N##3#"#,N">"$!’,#N(,)N)3,"#3>#$!’,#N(6,#%#N#%khdaw.com"-试分别讨论:$"##时极限&’(+’,#N(是否存在.为什么./’1$’,#N(+>:*!!&*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十六章!多元函数的极限与连续"!解!’"(:$"时#>"$’,#N(),)3,-!3""若记&$5C=D5)#’$5D=D5)3#又令,$/=;8/#N$/8’)/#则>"又可表示为3>"$!’/#/(6&)/)’#%)/%1$"这里%%&%###2&且&%#-故极限’%’$##/"&’(+’,#N($&’(#$%/’1$/’1$/8’)/=;8/’,#N(+>&)/)’"存在-"""#’注)因为8’)#&)8’)/=;8/$8’)/)"#所以"))有界-(##8’)/=;8/8’)#&’#(:$#时#>#$!’,#N(6,#%#N#%"为第一象限内的区域-令N$,#则##/$!,1N$!#,’1$!’,’$("故&’(+’,#N($&’(+’,#N($&’(#$%/’1$,’1$,’1$,’,#N(+>N$,khdaw.com#又令N$>2,’,#%(#则课后答案网/$!,#1N#$!,#1>2#,’1$!’,’1$(,>故&’(+’,#N($&’(+’,#N($&’($1$/’1$/’1$,’1$,’,#N(+>2,#N$>所以极限&’(+’,#N(不存在-www.hackshp.cn/’1$’,#N(+>#-.-设&’(*’N($*’N%($S#&’(-’,(-’,%($%#且在’,%#N%(附近有6+’,#N(2*’N(6)-’,(-N’N,’,%%证明&’(+’,#N($S-’,#N(’’,#N(%%!分析!先证明6*’N(2-’,!#最后得出结论#%(6%#!证明!令&’(*’N($*’N%($S#所以*!#%#(("#%#当6N2N%6%("时#有N’N%6*’N(2*’N%(6$6*’N(2S6%!/#又令&’(-’,($-’,%($%#同样对上面的!#%#((##%#当6,2,%6%(时#有,’,%6-’,(2-’,%(6$6-’,(2%6$-’,(%!/#再由已给条件#知((.#%#当’,#N(+C’’,%#N%(+(.(时#有6+’,#N(2*’N(6)-’,(令($(’)!("#(##(."#则当’,#N(+C’’,%#N%(+((时#有6+’,#N(2S6)6+’,#N(2*’N(616*’N(2S6)-’,(16*’N(2S6%!/#1!/#$!故&’(+’,#N($S-’,#N(’’,#N(%%khdaw.com#上的连续函数#*是任一实数-./-设+为定义在##"?$!’,#N(6+’,#N(#&#’,#N(+#*!!’*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册##"-J$!’,#N(6+’,#N(&&#’,#N(+#证明)?是开集#J是闭集-!证明!’"(取任意的0%’,%#N%(+?#则+’,%#N%(#&#即+’,%#N%(2&#%由于+’,#N(在0%处连续#所以+’,#N(2&也在0%处连续#且&’(’+’,#N(2&($+’,%#N%(2&#%’,#N(’’,#N(%%故由连续函数局部保号性定理知((#%#使当’,#N(+C’0%+((时#有+’,#N(2&#%#!即!+’,#N(#&这表明C’0%+((4?#即0%为?的内点#因而?为开集-’#(因为J$##/?#又##为闭集#而?为开集#故由9"习题"%知J为闭集--0-设+在有界开集?上一致连续#证明)’"(可将+连续延拓到?的边界+’#(+有?上有界-!分析!要证+连续延拓到?的边界#即证?上任一点0%#有&’(+’’($S存在#0’0%khdaw.com0+?!证明!’"(+能连续延拓到?的边界#是指*0%’,%#N%(+1?#若极限&’(+’,#N($S’S为有0’0%课后答案网0+?限数(存在#则定义+’0%($S#就可以使+’,#N(在0%处连续-首先#由+在有界开集?上一致连续可知#*!#%#((#%#当0"’,"#N"(#0#’,##N#(+?#+’0"#0#(%(时#有www.hackshp.cn6+’0"(2+’0#(6%!!现*0%’,%#N%(+1?#由于开集?中每一点均为内点#而界点0%+1?的任何邻域内既有?中的点也不属于?中的点#所以0%为?的聚点-在?中任取满足条件0",0%#&’(0"$0%的点列!0""#下面证明点列!+’0"("收敛-"’$由&’(0"$0%可知#对上面的(#%#(%+:1#当"#%#&#%时#有"’$+’0"#0%(%(/##+’0�%(%(/#从而+’0"#0&(%(/#1(/#$(再由式!#有6+’0"(2+’0&(6%!所以点列!+’0"("为柯西点列#故!+’0"("收敛-由定理"1-0的推论.即知极限&’(+’0(存在-故+可以连续延拓到0%+1?#即+可连续延拓到1?-0’0%0+?’#(设J$?<1?#则J为有界闭集#由’"(的证明知+为有界闭集J上的连续函数#因而+在J上有界#从而+在?上有界-.1-设!$*’,#N(与7$-’,#N(在,N平面中的点集?上一致连续+*与-把点集?映射为!7平面中的点集>#+’!#7(在>上一致连续-证明复合函数+’’,#N(#’,#N((在?上一致连续-*-!证明!因为+’!#7(在>上一致连续#所以对*!#%#((#%#*0"’!"#7"(#0#’!##7#(+>#当+’0"#0#(%(时#有6+’0"(2+’0#(6%!khdaw.com又因为!$’,#N(#7$’,#N(在,N平面中的点集?上一致连续#故对上面的(#%#(3*-#%#*Y"’,"#N"(#Y#’,##N#(+?#当+’Y"#Y#(%3时#有*!!(*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十六章!多元函数的极限与连续6!"2!#6$6*’Y"(2*’Y#(6%(/#67"27#6$6-’Y"(2-’Y#(6%(/#综合上述#*!#%#(3#%#*Y"#Y#+?#当+’Y"#Y#(%3时#有+’’!"#7"(#’!##7#(()6!"2!#6167"27#6%(从而6+’*’Y"(#-’Y"((2+’*’Y#(#-’Y#(6$6+’0"(2+’0#(6%!这表明+’’,#N(#’,#N((在?上一致连续-*--2-设+’;(在区间’*#8(内连续可导#函数+’,(2+’N(J’,#N($!’,,N(#!J’,#,($+-’,(,2N定义在区域>$’*#8(4’*#8(内-证明)对任何5+’*#8(#有&’(J’,#N($+-’5(-’,#N(’’5#5(!分析!运用拉格朗日中值定理是此证明过程中关键的一步#!证明!取’,,’N#使,$51’,+’*#8(#N$51’N+’*#8(#不妨设’,%’N#由+’;(在’*#8(内连续可导知+’;(在闭区间,51’,#51’N-上连续#在开区间#’51’,#51’N(内可导#则由拉格朗日中值定理知#(’’N2’,(+’51’,#51’N(#%%khdaw.com"$51’,1//%"#使+’,(2+’N(+’51’,(2+’51’N(,2N课后答案网$$+-’"(’,2’N$+-’51’,1/’’N2’,((#!%%/%"利用+-’;(的连续性#则有+’51’,(2+’51’N(www.hackshp.cn&’(J’,#N($&’(’,#N(’’5#5(’’,#’N(’’%#%(’,2’N$&’(+-’51’,1/’’N2’,(($+-’5(’’,#’N(’’%#%(khdaw.com*!!)*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十七章!!多元函数微分学khdaw.com内容提要课后答案网一!偏导数与全微分!"#定义!!设函数P++’,#N(#’,#N(+>#若’,%#N%(+>#且+’,#N%(在,%的某一邻域上有定+’,%!’,#N%(7+’,%#N%(义#当&’(www.hackshp.cn存在时#则称这个极限为函数P++’,#N(在点’,%#N%(关4,’%’,1+1P于,的偏导数#记作+-,’,%#N%(#P-,’,%#N%(或’,%#N%(#’,%#N%(#同样可定义+对N1,1,的偏导数#若函数P++’,#N(在其定义域>的内点’,%#N%(的全增量4P可表示为’P++’,%!’,#N%!’N(7+’,%#N%(+S’,!B’N!K’+(其中S1B是仅与点’,#N(有关#而与’,1’N无关的常数####则称函数+’,#%%++!’,!’NN(在点’,%#N%(可微#并称S’,!B’N为函数+’,#N(在点’,%#N%(的全微分#记作?P+?++S’,!B’N###可微的必要条件!若二元函数P++’,#N(在其定义域>的内点’,%#N%(上可微#则函数在该点的偏导数+-,’,%#N%(#+-N’,%#N%(存在#且S++-,’,%#N%(#B++-N’,%#N%(.#可微的充分条件!若函数P++’,#N(的偏导数在点’,%#N%(的某邻域内存在#且在点’,%#N%(上连续#则函数+’,#N(在点’,%#N%(可微#二!二元函数在一点连续!可导"两个偏导存在#与可微的关系偏导存在’khdaw.com偏导数连续;;’可微’连续;;’极限存在*!"**若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十七章!多元函数微分学三!方向导数与梯度设函数!++’,#N#P(#有方向导数1+1+1+1++=;8&!=;8’!=;851G1,1N1P其中=;8&#=;8#=;85是G的方向余弦#’1+1+1+梯度)F/*O+’,#N#P(+:!9!91,1N1P四!多元复合函数的导数设函数P++’!#7(#!+!’,#N(#7+7’,#N(则1P1P1!1P171P1P1!1P17+*!*#+*!*1,1!1,171,1N1!1N171N这个公式称为求复合函数偏导的链式法则#五!隐函数的求导法khdaw.com"#隐函数的存在定理#设J’,#N(满足下面条件课后答案网)’"(在区域>)$,7,%$)*#$N7N%$)8上J,#JN连续+’#(J’,%#N%(+%+’.(JNwww.hackshp.cn’,%#N%(,%#则’"(在点’,%#N%(的某一领域W’,%#6(内#J’,#N(+%惟一确定一个函数N++’,(#且N%++’,%(#’#(N++’,(在W’,%#6(内连续#J,’,#N(’.(N++’,(在W’,%#6(内具有连续导数#且N-+7#JN’,#N(对于方程组的情形也有类似的定理###隐函数的求导法’"(把方程’或方程组(看做恒等式#两边对自变量求导#然后解出所求的导数或偏导数#’#(公式法#设P++’,#N(是由方程J’,#N#P(+%所确定的隐函数#且JP,%#则1PJ,1PJN+7#+7#1,JP1NJP’.(微分法#利用一阶全微分形式的不变性#方程两边求全微分可求出所求的偏导数或导数#六!微分法在几何上的应用"#空间曲线的切线与法平面设空间曲线7的参数方程为,+,’;(#N+N’;(#P+P’;(#则在曲线7上点0’,%#N%#P%(的切线方程为khdaw.com,2,%N2N%P2P%$$,-’;%(N-’;%(P-’;%(*!"!*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#法平面方程为,-’;%(’,7,%(!N-’;%(’N7N%(!P-’;%(’P7P%(+%其中,%+,’;%(#N%+N’;%(#P%+P’;%(#.#空间曲面的切平面与法线’"(设曲面M的方程为J’,#N#P(+%#则在曲面M上点)%’,%#N%#P%(处的切平面方程为J,’,%#N%#P%(’,7,%(!JN’,%#N%#P%(’N7N%(!JP’,%#N%#P%(’P7P%(+%,7,%N7N%P7P%法线方程为!++J,’,%#N%#P%(JN’,%#N%#P%(JP’,%#N%#P%(’#(设曲面M的方程为P++’,#N(#则在M上点)%’,%#N%#P%(处的切平面方程为+,’,%#N%(’,2,%(1+N’,%#N%(’N2N%(2’P2P%($%,7,%N7N%P7P%法线方程为!!!+++,’,%N%(+N’,%N%(7"典型例题与解题技巧$例!khdaw.com%!求"!,##在点’%#%(处的二阶泰勒公式#!!N解题分析!本题考查基础公式课后答案网#解题过程!+’%#%(+",+,+#+,’%#%(+%##!"!,!NN+www.hackshp.cnN+#+N’%#%(+%##!"!,!N#"!N+,,+’"!,##(./##+,,’%#%(+"!N,N+,N+7’"!,##(./##+,N’%#%(+%!N#"!,+NN+’"!,##(./##+NN’%#%(+"!N#(.#.,’"!NN!N7#,N+,,,+7’"!,##(0/##+,,N+7’"!,##(0/##!N!N.##(,!,7#,N.N’"!,+,NN+7’"!,##(0/##+NNN+7’"!,##(0/##!N!N于是##!"1,1N$+’%#%(1+,’%#%(,1+N’%#%(N1"’+,,’%#%(,#1+,N’%#%(,N1+NN’%#%(N#(1H##$"1"’,#1N#(1H##!!其中H#+7"",./,’"!/#N#(,.!.’/.Nkhdaw.com.!/N7#/.,#N(,#N!.’/.,.’"!/####(0/#.0,!/N.#(,N###(N.-!!/,7#/,N!./N’"!/,*!""*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十七章!多元函数微分学##(#"/’,!N+7*’%%/%"(#’"!/#,#!/##(0/#N1!171!171!"17$例"%!若!#7为,#N的函数#,+/=;8/#N+/8’)/#试由+#+7证明等式+#1,1N1N1,1//1/17"1!+7#1//1/解题分析!本题考查偏导数的定义#1!1!1!171717解题过程!由+=;8*!8’)/#+’7/8’)/(!’/=;8/(1/1,1N1/1,1N有1!17171717171!+=;8/78’)/#+/,=;8/78’)/-+/1/1N1,1/1N1,1/1!"17即+1//1/1!1!1!1717又+’7/8’)/(!’/=;8/(+/,78’)/7=;8/-1/1,1N1N1,khdaw.com及171717+=;8/!8’)/课后答案网1/1,1N17"1!所以+7#1//1/历年考研真题评析www.hackshp.cn!##$题!%!’武汉大学##%%1年(设,+>!=;8/#N+>!8’)/#变换方程1P!1P+%###1,1N解题分析!本题主要考查偏导数的求导#解题过程!由P是,#N的函数#,#N又是!#/的函数#故可把P看做以,#N为中间变量的!#/的函数#则1P1P1,1P1N1P!1P!$*1*$I=;8/1>8’)*1!1,1!1N1!1,1N+P++P*+,!+P*+N++P’7>!8’)/(11P>!=;8/+/+,+/+N+/+,1N###1P1P*1,1P*1N!1P!#$#1>=;8/1>=;8/1!’1,1!1,1N1!(1,##1P*1,11P1NI!8’)/11PI!8’)/1#’1,1N1!1N1!(1N###$>!’1P=;8#/1#1P8’)/=;8/11P8’)#/(##1,1,1N1N1>!’1P=;8/11P8’)/(1,1N####同理1P+>!’1P8’)#/7#1P8’)/=;8/!1P=;8#/(7>!1P=;8/!1P8’)/1/#1,#1,1N1N#khdaw.com’1,1N(####两式相加!!1P1P!1P1P#!#+>#!#1!1/’1,1N(*!"#*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册###1P1P在变量代换下#原方程变为#!#+%#1!1/##P,!N!P>+#$题"%!’北京科技大学##%%1年(求曲线在点’"#7"#%(处的切线方程#!##,!,N!N+"解题分析!本题考查隐函数的求导#导数的几何意义#解题过程!令J’,#N#P(+,##P##!N!P>7##X’,#N#P(+,!,N!N7"#则J-#J-#J-P’"!P(#X-#X-#X-,+#,N+#NP+>,+#,!NN+,!#NP+%#P’"!P(1’J#X(#N>++"1’N#P(’"#7"#%(,!#N%’"#7"#%(P’"!P(#,1’J#X(>++"1’P#,(’"#7"#%(%#,!N’"#7"#%(1’J#X(#,#N++%1’,#N(’"#7"#%(#,!N,!#N’"#7"#%(,7"N!"P故曲线在’"#7"#%(处的切线方程为++#khdaw.com""%课后习题全解课后答案网!!!9"!可微性/"#求下列函数的偏导数)’"(P$,www.hackshp.cn#N+!!!!!!!!!’#(P$N=;8,+’.(P$"+’/(P$&)’,#1N#(+##!,1N’0(P$>,N+’1(P$5C=D5)N+,’2(P$,N>8’)’,N(+’3(!$N1P2,+,NPP’4(!$’,N(P+’"%(!$,N#!分析!计算多元函数的偏导数#只需用一元函数的求导公式和求导法则即可##+!解!’"(P,$#,N#!!!!!!!!!!!!!!PN$,’#(P,$2N8’),#PN$=;8,+2,2N’.(P,$’,##(./##PN$’,##(./#+1N1N#,#N’/(P,$###PN$##+,1N,1N’0(P,N#P,N#,$N>N$,>"2N2N,’1(P,$#*#$###PN$##+N,,1N,1N"1’(,khdaw.com’2(P8’)’,N(#8’)’,N(8’)’,N(,"1,N=;8’,N(-#,$N>1,N>=;8’,N($N>8’)’,N(+PN$,"1,N=;8’,N(-,>*!"$*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十七章!多元函数微分学N""P",’3(!,$2#2#!!N$2##!!P$1#+,P,NNP’4(!’,N(P2"#!!’,N(P2"#!!’,N(P,$PNN$P,P$&)’,N(+PPP’"%(!PN2"#!!P2"NNP,$N,N$PN,&),#!!P$,N&),&)N#!小结!若在+’,#N(的表达式中将,换为N#同时把N换为,时#表达式不变#则称函数+’,#N(对,#N有轮换对称性#对具有轮换对称性的函数#如果已经求得N+#则只要在N+的表达式中N,N,N+将,换成N#同时将N换成,#就可得到#NN,.##设+’,#N($,1’N2"(5C=8’)!+求+,’,#"(#N!解!+’,#"($,1%*5C=8’)!,$,#!+,’,#"($’,(-$"#9N8’)"#!,#1N#,%###-.#设+’,#N($8,1N##:%#!!!!!!,1N$%#考察函数khdaw.com+在原点’%#%(的偏导数#!分析!用偏导数的定义计算+,’%#%(#+N’%#%(#!解!因为&’(+’%1课后答案网’,#%(2+’%#%($&’(%2%$%’,’%’,’,’%’,&’(+’%#%1’N(2+’%#%($&’(8’)"不存在#’’N(#’N’%’N’N’%所以www.hackshp.cn#+’,#N(在原点关于,的偏导数为%#关于N的偏导数不存在###在点’%#%(连续但偏导数不存在#./#证明函数P$!,1N####在点’%#%(连续#!证明!因为&’(!,1N$%$P’%#%(#所以P$!,1N’,#N(’’%#%(又P’%1’,#%(2P’%#%($6’,6#当’,’%时#极限不存在#因此P,’%#%(不存在#同’,’,理P’%#%(不存在#N,N8’)"#!,#1N#,%#9##/0#考察函数+’,#N($8,1N在点’%#%(处的可微性###:%#!!!!!!,1N$%N+N+!分析!P$+’,#N(可微?’P2’N,’,1NN’N($%’+(#+’%1’,#%(2+’%#%(%2%!解!由&’($&’($%知+,’%#%($%#同理可得+N’%#%($%#’,’%’,’,’%’,’+’,#N(2+,’%#%(’,2+N’%#%(’N因此!+’,’N"!!$8’)##!’,#1’N#’,1’N’’,(####1’’N(!’,1’N##!!)$’%#!+$!’,1’N’%#’,###!1’Nkhdaw.com故!’+2+,’%#%(’,2+N’%#%(’N$%’+(!’+’%(即+’,#N(在点’%#%(处可微#*!"%*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#!小结!不能认为求出N+#N+后#N+’,1N+’N就是+’,#N(的全微分#N,NNN,NN#9,N#!,#1N#,%###.1#证明函数+’,#N($8,1N在点’%#%(连续且偏导数存在#但在此点不可微###:%#!!!!,1N$%##!证明!因为,N$6,66,N6)6,6#所以&’(,N$%$+’%#%(#即+’,#N(在######,1N,1N#’,#N(’’%#%(,1N点’%#%(连续#+’%1’,#%(2+’%#%(%2%+,’%#%($&’($&’($%’,’%’,’,’%’,同理+’%#%($%N’’,(#’+2+,’%#%(’,2+N’%#%(’N’N$,’’,(##-./#!+1’’N("当’,$’N时#!式的值为+当’N$%时#其值为%#!3所以!式的极限不存在#故+’,#N(在点’%#%(不可微#khdaw.com9’,#1N#(8’)"#!,#1N#,%###-2#证明函数+’,#N($!,1N在点’%#%(连续且偏导数存在#8课后答案网%#,#1N#$:%但偏导数在’%#%(不连续#而+在原点’%#%(可微#!分析!连续1可微1可导之间并不一定是一定等价的#证在’%#%(处连续#即证&’(+’,#N($’,#N(’’%#%(+’www.hackshp.cn%#%(+证在’%#%(处可微#则要通过’,#’N来考虑#!证明!由于&’(’,#1N#(8’)"$%$+’%#%(#所以+’,#N(在点’%#%(连续#’,#N(’’%#%(##!,1N当,##1N$%时+’%1’,#%(2+’%#%("&’($&’(’,8’)$%$+,’%#%(’,’%’,’,’%6’,6当,##1N,%时","+,’,#N($#,8’)2=;8######!,1N!,1N!,1N","而&’(#,8’)$%#&’(=;8不存在’可考察N$%’,#N(’’%#%(##’,#N(’’%#%(####!,1N!,1N!,1N情况(#因此#&’(+,’,#N(不存在#从而+,’,#N(在点’%#%(不连续#’,#N(’’%#%(同理可证+’,#N(在点’%#%(不连续#然而N’+2+,’%#%(’,2+N’%#%(’N!&’(’’,#’N(’’%#%(##!’,1’N##’,1’N"$&’(8’)$%’’,#’N(’’%#%(##!’,1’N!’,1’N所以+在点’%#%(可微#khdaw.com-3#求下列函数在给定点的全微分)’"(P$,//##在点’%#%(#’"#"(+1N2/,N*!"&*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十七章!多元函数微分学,’#(P$在点’"#%(#’%#"(###!,1NN+N+!分析!+在可微条件下#可由公式?,1?N求得+的全微分#N,NN.##P.#!解!’"(因为P,$/,23,NN$/N23,N在点’%#%(’"#"(连续#所以函数在’%#%(’"#"(可微#由P,’%#%($%#PN’%#%($%#P,’"#"($2/#PN’"#"($2/得#?P6’%#%($%#?P6’"#"($2/’?,1?N(##’#(因为P,$N#P2,N在点’"#%(#’%#"(连续#所以函数在’"#%(#’,##(./#N$’,##(./#1N1N’%#"(可微#由P,’"#%($%#P,’%#"($"#PN’"#%($%#PN’%#"($%得#?P6’"#%($%#?P6’%#"($?,#.4#求下列函数的全微分)’"(P$N8’)’,1N(+!!’#(!$,>NP2P1>1N#!解!显然函数P和!的偏导数连续#于是P和!可微#且’"(?P$N=;8’,1N(?,1’8’)’,1N(1N=;8’,1N((?N’#(?!$>NPNPNP2P(?Pkhdaw.com?,1’,P>1"(?N1’,N>2>N#."%#求曲面P$5C=D5)在点’"#"#(处的切平面方程和法线方程#课后答案网,/""!解!由于P在’"#"(处可微#从而切平面存在#因为P,’"#"($2#PN’"#"($#所以切平面##方程为www.hackshp.cn#""P2$2’,2"(1’N2"(/##即,2N1#P$###P2法线方程为,2"N2"/$$""2"2##即#’"2,($#’N2"($#2P/###-""#求曲面.,1N2P$#2在点’.#"#"(处的切平面与法线方程#!分析!先求出P对,#N的偏导函数在’.#"#"(处的值#.,N!解!由1,2#P*P,$%##N2#PPN$%得P,$#PN$#在点’.#"#"(处有P,$4#PN$"#PP所以切平面方程为4’,2.(1’N2"(2’P2"($%#即4,1N2P2#2$%+法线方程为,2.$N2"$P2"#即,2.$4’N2"($4’"2P(#4"2"."##在曲面P$,N上求一点#使这点的切平面平行于平面,1.N1P14$%+并写出这切平面方程和法线方程#!解!设所求点为0’,%#N%#,%N%(#点0处切平面法向量为’P,’khdaw.com,%#N%(#PN’,%#N%(#2"($’N%#".,%#2"(#要使切平面与平面,1.N1P14$%平行#有$$2"#于是,%$2.#N%N%,%*!"’*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#$2"#得0点为’2.#2"#.(#且点0处的切平面方程为2’,1.(2.’N1"(2’P2.($%#即,1.N1P1.$%#法线方程为,1.$N1"$P2.#即.’,1.($N1"$.’P2.(#2"2.2"-".#计算近似值)’"("#%%#4##%%.#.+!!’#(8’)#4R4D5)/1R#4.#%%/!分析!利用近似公式’+O?+#为了使公式有效并易于计算#应适当选取0%#使0%处的函数值和偏导数值都易于计算#并要使6’,616’N6和6’P6尽量小#一般要比"小得多#否则误差较大##.#0’,#N#P($’"###.(#’,$%#%%##’N$%#%%.#’P$!解!’"(选函数+’,#N#P($,NP%%%%%#%%/#于是#..##+,’"###.($N,6’"###.($"%3#+N’"###.($#,NP6’"###.($"%3#+P’"###.($.,NP6’"###.($"%3故+’"#%%####%%.#.#%%/(khdaw.comO+’"###.(1+,’"###.(’,1+N’"###.(’N1+P’"###.(’P$"%31"%34%#%%#1"%34%#%%.1"%34%#%%/$"%3#42#课后答案网即"#%%#4##%%.#.4.#%%/$"%3#42#’#(设+’,#N($8’),D5)N#’,%#N%($’###(#’,$2##’N$##则1/"%3"%3www.hackshp.cn+###$"#+,###$!.#+###$"’/(’/(N’/(1#1#1"!.##8’)#4RD5)/1RO241O%#0%#.##"3%"3%."/#设圆台上下底的半径分别为H$.%=(#/$#%=(#高U$/%=(#若H#/#U分别增加.((#/((##((#求此圆台体积变化的近似值#!解!圆台体积Z$#U’H#1H/1/#(#于是.’ZOZH’H1Z/’/1ZU’U将H$.%#/$#%#U$/%及’H$%#.#’/$%#/#’U$%##代入上式得.#%%##3%%#"4%%#.(’ZO4%#.14%#/14%##$3#%#O#021’=(.../"0#证明)若二元函数+在点0’,%#N%(的某邻域C’0(内的偏导数+,与+N有界#则+在C’0(内连续#!分析!通过$加一项#减一项%的方法#把多元函数化为一元函数#利用一元函数微分中值定理#!证明!设6+,6))#6+N6))在C’0#("(内成立#*’,#N(+C’0#("(#取充分小’,#’N#使’,1’,#N1’N(+C’0#("(#且分别连接这两点到点’,1’,#N(的两线段完全在C’0#("(内#于是!6+’,1’,#N1’N(2+’,#N(6khdaw.com$6+’,1’,#N1’N(2+’,1’,#N(1+’,1’,#N(2+’,#N(6$6+N’,1’,#N1/"’N(’N1+,’,1/#’,#N(’,6*!"(*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十七章!多元函数微分学%%/"%"))’6’N616’,6(#!%%/#%"因此#对任意!#%#存在($(’)("#!#当6’,6%(#6’N6%(时#有6+’,!#’)1"("1’,#N1’N(2+’,#N(6%!#故+’,#N(在C’0#("(内连续#!小结!研究二元函数+’,#N(’一般是"元函数(在两点S’,"#N"(与B’,##N#(的函数值之差+’,"#N"(2+’,##N#(#可用下面两种方法将$多%化为$单%#一是折线法#补加一点L’,"#N#(’或’,##N"((#要求线段SL与LB属于函数+’,#N(的定义域#有’$,+’,"#N"(2+’,"#N#(-1,+’,"#N#(2+’,##N#(-它可分别看作是一元函数#二是直线法#用线段SB连接点S与B#并将线段SB用一个变数;的参数方程,$,"1;’,#2,"(!!%);)"!N$N"1;’N#2N"(khdaw.com表示#这样将动点’,#N(限制在线段SB上#二元函数’一般是"元函数(就化为变数;的一元函数#/"1#设二元函数+在区域课后答案网>$,*#8-4,5#O-上连续#’"(若在’)D>内有+,3%#试问+在>上有何特性.’#(若在’)D>内有+,$+N3%#+又怎样.’.(在’"(的讨论中#关于+在>上的连续性假设可否省略.长方形区域可否改为任意区域.!分析!利用一元函数微分中值定理www.hackshp.cn#!解!’"(在’)D>内+’,#N(仅是N的函数*’N(#事实上#对’)D>内任意两点’,"#N(#’,##N(#其连线完全含于’)D>内#由中值定理#得+’,##N(2+’,"#N($+,’,"1/’,#2,"(#N(*’,#2,"(#%%/%"#由+,3%#得+’,##N(2+’,"#N($%#即+’,##N($+’,"#N(#由’,##N(1’,"#N(的任意性知+’,#N($’N(#*’#(在’)D>内+’,#N($常数#*’,"#N"(#’,##N#(+’)D>#由一元函数的微分中值定理#得!+’,##N#(2+’,"#N"($+’,##N#(2+’,"#N#(1+’,"#N#(2+’,"#N"($+,’,"1/"’,#2,"(#N#(’,#2,"(1+N’,"#N"1/#’N#2N"(’N#2N"((%%/"1/#%"由+,3+N3%#得+’,##N#(2+’,"#N"($%即+’,##N#($+’,"#N"(由’,"#N"(#’,##N#(的任意性知#+’,#N($常数#’,#N(+’)D>#’.(在’"(的讨论中#关于+在>上的连续性假设不能省略#否则结论不一定成立#例如在矩形区域>$,2.#.-4,%##-上的二元函数##khdaw.com.#!,#%#N#%N+’,#N($!%#>中其他点*!")*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#在’)D>内+,3%#可是不连续#由+’"#"($"#+’2"#"($%知+与,有关#结论不成立#在’"(的讨论中#长方形区域不能改为任意区域#否则结论不一定成立#例如设"$!’,#N(6,$%#N&%"#>$##2$#二元函数.#!,#%#N#%N+’,#N($!%#>中其他点在>上连续#且+,’,#N(3%#但+’"#"($"#+’2"#"($%#即+’,#N(与,有关#结论不成立#!小结!本题中的区域>可换成有界闭凸域#若连接区域>内任意两点的线段全属于区域>#那么>称为凸域#-"2#试证在原点’%#%(的充分小邻域内#有,1N5C=D5)O,1N#"1,N!分析!通过’!$,#’7$N来证明#需要算出+’%#%(#+"’%#%(和+7’%#%(的值#!17!证明khdaw.com!设+’!#7($5C=D5)#!%$%#7%$%#’!$,#’7$N#则"1!7课后答案网+’,#N(O+’%#%(1+!’%#%(’!1+7’%#%(’7而!+’%#%($%#+!’%#%($"#+7’%#%($",1N故5C=D5)O,1N"1,N##,1N."3#求曲面www.hackshp.cnP$与平面N$/的交线在,$#处的切线与W,轴的交角#/!解!设该角&#根据偏导数的几何意义)切线对W,轴的斜率为,P,’##/($$"#’##/(即D5)&$"#&$#/所以切线与W,轴的交角&$##/."4#试证)’"(乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和#’#(商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之差#’!?!?,?N!证明!’"(设!$,N#则?!$N?,1,?N#O)1#!!,N’#(设7$,#则?7$N?,2,?N#?7$?,2?N#’7O?7)?,1?N##NN7,N77,N.#其绝对误差限为%#%"=(.+又测得重量[$.%#3%F#其绝对.#%#测得一物体的体积Z$/#/0=([误差限为%#%"<#求由公式O$算出的比重O的相对误差限和绝对误差限#ZNONO"O!解!6’O6O’[1’Z$’O2#’ZN[NZZZkhdaw.com’[’[%#%".%#36’O6)1#)1#4%#%"O%#%"2O%#%#ZZ’Z/#/0/#/0*!#**若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十七章!多元函数微分学’O’[’Z)1O%##1WO[Z所以O的相对误差限为%##1W#绝对误差限为%#%##9#!复合函数微分法-"#求下列复合函数的偏导数或导数)’"(设P$5C=D5)’,N(#N$>,#求?P+?,####’#(设P$,1N,1NNP#NP+>,N#求,NN,NN’.(设P$,#1,N1N##,$;##N$;#求?P+?;’/(设P$,#&)N#,$!#N$.!2#7#求NP#NP+7N!N7N!N!’0(设!$+’,1N#,N(#求#+khdaw.comN,NN’1(设!$+,#N#求N!#N!#N!#’NP课后答案网(N,NNNP!分析!多元复合函数求导法则的关键是弄清函数的复合结构#分清哪些是中间变量#哪些是自变量#明确每次求导时是对哪一层次的变量求导#为直观地显示变量之间的复合结构关系#我们可用结构图’也称树形图(表示出函数P经过中间变量通向自变量的各条路径#对抽象函数求导时www.hackshp.cn#最好设定中间变量#!解!’"(令!$,N#则变量间的结构图为,,;;;;!N;;,由复合函数的求导法则有,,’"1,(?P?PN!N!?NN,>>$1$##1##$##,?,?!’N,NN?,("1,N"1,N"1,>##########’#(NPN’,2N(,1N,1NN’,2N(,1N$##>,N1*##>,NN,,N,N,N######,2N,1N,1N$#"1>,N,N’,N(######NPN2,,1N,1N$#"1>,NNN,N’,N(’.(变量间的结构图为,;;;N;;;于是khdaw.com?PNP?,NP?N.#$1$’#,1N(#;1’,1#N($/;1.;1#;?;N,?;NN?;*!#!*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#’/(变量间的结构图为!,7!N7NPNPN,NPNN"#"$1$#,&)N*1,**.N!N,N!NNN!7N!.!$#,#&)’.!2#7(1-7.!2#7#NPNPN,NPNN#!""$1$2#,&)’.!2#7(1-N!N,N7NNN777.!2#7’0(用+"#+#分别表示函数+对第一个中间变量’,1N(与第二个中间变量’,N(的偏导数#N!N!$+"1+#N#!$+"1,+#khdaw.comN,NN’1(N!$"+N!$2,"N!$2N"##+"1+###+#课后答案网N,NNNNPNP#-##设P$N#其中+为可微函数#验证##(+’,2N"NP"NPP1$##,N,NNNNwww.hackshp.cn##来计算#!分析!把,#N当作是P的自变量#通过设!$,2N###由变量间结构图则!证明!设!$,2NNN;;,!NNPNPN!#,N+-’!($$2#N,N!N,+’!(#NP"NPN!"2N+-’!(+’!(1#N+-’!($1*$1#’!(*’2#N($#’!(NN+’!(N!NN+’!(++于是#"NP"NP2#N+-’!(+’!(1#N+-’!(""PP1$#’!(1#’!($$*$#,N,NNN+N+N+’!(NNN..#设P$8’)N1+’8’),28’)N(#其中+为可微函数#证明)NPNP8>=,18>=N$"#N,NN!证明!设!$8’),28’)N#则NPNP$+-’!(=;8,#$’"2+-’!((=;8NN,NNkhdaw.comNPNP8>=,18>=N$+-’!(1’"2+-’!(($"N,NN*!#"*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十七章!多元函数微分学-/#设+’,#N(可微#证明)在坐标旋转变换,$!=;8/278’)/#N$!8’)/17=;8/之下#’+(##是一个形式不变量#即若,1’+N(F’!#7($+’!=;8/278’)/17=;8/(#则必有’+(####’其中旋转角/是常数(#,1’+N($’F!(1’F7(##的结果#!分析!将F!#F7用+,#+N和表示出来#再计算F!1F7!证明!F!$+,=;8/1+N8’)/F7$+,’28’)/(1+N=;8/’F(######!1’F7($+,=;8/1+N8’)/1#+,+N=;8/8’)/####!1+,8’)/1+N=;8/2#+,+N8’)/=;8/#’=;8###’8’)##$+,/18’)/(1+N/1=;8/(##$+,1+N故+####,1+N$F!1F7#.0#设khdaw.com+’!(是可微函数#J’,#;($+’,1#;(1+’.,2#;(#试求)J,’%#%(与J;’%#%(#!解!J,$+-1+-*.$/+-#J;$+-*#1+-’2#($%因此J,’%#%($课后答案网/+-’%(#J;’%#%($%#3/1#若函数!$J’,#N#P(满足恒等式J’;,#;N#;P($;J’,#N#P(’;#%(#则称J’,#N#P(为3次齐次函数#试证下述关于齐次函数的欧拉定理)可微函数J’,#N#P(为3次齐次函数的充要条件是)www.hackshp.cn,J,’,#N#P(1NJN’,#N#P(1PJP’,#N#P($3J’,#N#P(##,N并证明)P$2,N为#次齐次函数###!,1N"!分析!证充分性时#固定一点0#考虑8’;($3J’;,#;N#;P(的导数即可#;3!证明!必要性!由J’;,#;N#;P($;J’,#N#P(令###等式两边对;求导#得"$;,6$;N9$;P’##(1NJ’##(1PJ’##($3;32",J""696"69""69J’,#N#P(令;$"#有,J,’,#N#P(1NJN’,#N#P(1PJP’,#N#P($3J’,#N#P("充分性!任意固定域中一点’,#N#P(#考察;’;#%(的函数8’;($3J’;,#;N#;P(的导;数#"38-’;($3,,J;,’;,#;N#;P(1NJ;N’;,#;N#;P(1PJ;P’;,#;N#;P(-231"J’;,#;N#;P(;;"$31"!,;,J;,’;,#;N#;P(1;NJ;N’;,#;N#;P(1;PJ;P’;,#;N#;P(-23J’;3#;N#;P(";由已知8-’;($%#从而8’;($5#在定义8-’;(的等式中令;$"#则得5$J’,#N#P(#于是8’;($"J’;,#;N#;P($J’khdaw.com,#N#P(3;即J’;,#;N#;P($;3J’,#N#P(*!##*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#’;,(’;N(###因为P’;,#;N($2’;,(’;N($;,N2;#,N$;#P’,#N(!’;,(#1’;N(#!,#1N#所以P’,#N(为二次齐次函数#!小结!必要性证明较易#充分性证明时计算量较大#容易出错#要仔细#3&"2#设+’,#N#P(具有性质+’;,#;N#;P($;+’,#N#P(’;#%(#证明)’"(+’,#N#P($,"N#P++"#3&’,,(’#(,+,’,#N#P(13N+N’,#N#P(1&P+P’,#N#P($"+’,#N#P(#!证明!’"(由+’;,#;3&P($;""得N#;+’,#N#P(#令;$,N#P2"+"#3&$,+’,#N#P(’,,(即+’,#N#P($,"N#P+"#3&’,,(’#(对+’;,#;3&"N#;P($;+’,#N#P(两边关于;求导#得32"&2""2"khdaw.com,+-"13;N+-#1&;P+-.$";+’,#N#P(其中+-’:$"###.(分别表示+’;,#;3&:N#;P(对第:个变量的偏导数#令;$"课后答案网#有,+,’,#N#P(13N+N’,#N#P(1&P+P’,#N#P($"+’,#N#P(#/3#设由行列式表示的函数*""’;(&*""’;(www.hackshp.cn>’;($44#*""’;(&*""’;(其中*:9’;(’:#9$"###&#"(的导数都存在#证明)*""’;(&*""’;(44"?>’;($"*-3"’;(&*-3"’;(#?;3$"44*""’;(&*""’;(!分析!设*:9’;($,:9#将行列式表示为;的复合函数#用复合函数求导法则和行列式的定义可证得结果#!证明!记*:9’;($,:9’:#9$"###&#"(,"","#&,"",#",##&,#"+’,""#,"##&#,:9#&#,""($!44,"","#&,""由行列式定义知+为"#元的可微函数#且>’;($+’*""’;(#&#*:9’;(#&#*""’;((""于是由复合函数求导法则>-’;($"N+*?,:9$"khdaw.comN+*-:9’;(记行列式!中,:9的:9$"N,:9?;:9$"N,:9代数余子式为S:9#于是*!#$*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十七章!多元函数微分学"N++’,""#,"##&#,:9#&#,""($",:9S:9’:$"###&#"(#!$S:9N,:99$"""从而>-’;($""*-:9’;(S:9’;(#其中S:9’;(是将S:9中元素,3G换为*3G’;(#它恰为行:$"9$"列式*""’;(!*"#’;(!&!*""’;(!44*-:"’;(!*-:#’;(!&!*-:"’;(!44*""’;(!*"#’;(!&!*""’;(中*:9-’;(的代数余子式#于是*""’;(!*"#’;(!&!*""’;(!44">-’;($"*-:"’;(!*-:#’;(!&!*-:"’;(:$"khdaw.com!44课后答案网*""’;(!*"#’;(!&!*""’;(!小结!此题用到行列式的知识点#需明确代数余子式的概念及行列式的性质#9.!方向导数与梯度#.."#求函数!www.hackshp.cn$,N1P2,NP在点’"#"##(处沿方向#’其方向角分别为1%R#/0R#1%R(的方向导数##.!解!函数!$,N1P2,NP在点’"#"##(处可微#且N!N!N!6’"#"##($2"#6’"#"##($%#6’"#"##($""N,NNNP于是!沿方向G的方向导数为N!N!N!N!6’"#"##($=;81%R1=;8/0R1=;81%R$0N;N,NNNP;;’.##求函数!$,NP在点S’0#"##(处沿到点B’4#/#"/(的方向SB上的方向导数#!解!函数!$,NP在点S’0#"##(处可微#且!,’0#"##($##!N’0#"##($"%#!P’0#"##($0#而SB;;’)’/#.#"#(的方向余弦为’/#.#"#(#故在点S处沿SB;;’的方向导数为".".".N!/."#436’0#"##($#41"%4104$N;".".".".####处的-.#求函数!$,1#N1.P1,N2/,1#N2/P在点S$’%#%#%(及点B$’0#2.#.(梯度以及它们的模#!分析!分别求出!,#!N#!P的值#再代入求梯度的公式进行计算##!解!因为!,’%#%#%($2/#!N’%#%#%($##!P’%#%#%($2/#!,’0#2.#.($.###!N’0#2.#.($20#!P’0#2.#.($%#khdaw.com#所以,’=;8N1,8’)N(#所有二阶偏导数+.#NPNP’.(P$,&)’,N(##+##N,NNN,NNkhdaw.com’1<1/’/(!$,NP>,1N1P#N!+’,,’=;8N1,8’)N18’)N(,$>8’)N$>,’,=;8N28’)N(PN$>,’,=;8N1=;8N28’)N(P,N$PN,$>,’=;8N1,8’)N1#8’)N(P,,$>,’,8’)N1=;8N(PNN$2>""’.(P,$&)’,N(1"$&),1&)N1"#P,,$#P,N$,Nkhdaw.com#"于是P,#N$%#P,N$2#N’/(!$,NP>,1N1P,*N>N*P>P课后答案网$,>#由归纳法知’,>,(’’(,#’N>N(’<(N#’P>P(’/(P$’,1’(>$’N1<(>$’P1/(>’因此N!$N>N*P>P’,1’(>,’N,www.hackshp.cn’1P’,1’(>,*’N1<(>N’,’N1<(>N’P1/(>P$’,1’(’N1<(’P1/(>,1N1P’的局部凸区域’邻域(上利用中值定理证明结论成立#然后用有限覆盖定理把结论在局部成立推广到整体成立#!证明!设010-是>上任意两点#由于>是区域#可用一条完全在>内的折线0@"@#@.&@"0-khdaw.com连结’图"22"(#在直线段0@"上每一点0%’,%#N%(存在邻域C’0%(4>#*)’,#N(+C’0%(#由中值定理课后答案网’定理"2#3(得www.hackshp.cn图"22"!+’,#N(2+’,%#N%($+,’,%1/’,2,%(#N%1/’N2N%((’,2,%(1+N’,%1/’,2,%(#N%1/’N2N%((’N2N%($%于是*’,#N(+C’0%(#+’,#N($+’,%#N%(#即在C’0%(内+’,#N(是常数#这就证明了在直线段0@"上任一点都存在邻域#使+’,#N($常数#由有限覆盖定理#存在有限个这样的邻域C’0"(#C’0#(#&#C’0"(将’,"覆盖#不妨设C’0:(FC’0:1"(,8!’:$"###&#"2"(#既然在每个邻域上函数为常数#且在两邻域相交部分函数值相等#故在0@"上+’,#N(为常数#特别+’0($+’,"(#同理可证+’,"($+’,#(#+’,#($+’,.(#&#+’,"($+’0-(#故+’0($+’0-(#由0和0-的任意性知#在>内+’,#N($常数#!小结!通过证明+’’($+’,"(#再运用相同的证法证明+’,"(+’,#(#&#+’,"($+’’-(#要掌握这种常见的证明思路#.1#通过对J’,#N($8’),=;8N施用中值定理#证明对某/+’%khdaw.com#"(#有.##/#/##/#/$=;8=;828’)8’)#/..11.1*!$**若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十七章!多元函数微分学!分析!将,%$%#N%$%#3$##U$#代入到式子中#即可得到结论#.1#上满足中值定理条件#于是!证明!J’,#N($8’),=;8N在#J’,%1U#N%13(2J’,%#N%($J,’,%1/U#N%1/3(U1JN’,%1/U#N%1/3(3令,%$%#N%$%#3$##U$##则.1####/#/##/#/8’)=;8$=;8=;828’)8’).1..11.1.##/#/##/#/即$=;8=;828’)8’)/..11.1.2#求下列函数在指定点处的泰勒公式)’"(+’,#N($8’)’,##(在点’%#%(’到二阶为止(+1N,’#(+’,#N($在点’"#"(’到三阶为止(+N’.(+’,#N($&)’"1,1N(在点’%#%(+’/(+’,#N($#,##2,N2N21,2.N10在点’"#2#(###(在##上存在任意阶连续偏导数#且!解khdaw.com!’"(函数+’,#N($8’)’,1N##(#+’%#%($%#+’,#N($#N=;8’,##(#+’%#%($%课后答案网#+,’,#N($#,=;8’,1N,N1N+N’%#%($%######+,#$#=;8’,1N(2/,8’)’,1N(#+,’%#%($###(#+’%#%($%+,N$2/,N8’)’,1N,N######+www.hackshp.cnN#$#=;8’,1N(2/N8’)’,1N(#+N’%#%($#####..####+,.’/,#/N($2"#/,8’)’/,1/N(23/,=;8’/,1/1N(####.#####+,#N’/,#/N($2//N8’)’/,1/N(23/,N=;8’/,1/N(####.#####+,N#’/,#/N($2//,8’)’/,1/N(23/,N=;8’/,1/N(####..####+N.’/,#/N($2"#/N8’)’/,1/N(23/N=;8’/,1/N(于是8’)’,##($,##1N1N1H#’,#N(其中#H#’,#N($2#,./’,#1N#(#8’)’/#,#1/#N#(1#/.’,#1N#(.=;8’/#,#1.##(-#%%/%"#/N,’#(函数+’,#N($在点’"#"(的某邻域内存在任意阶连续偏导数#且+’"#"($"#+,’,#N",N($#+,’"#"($"#+N’,#N($2##+N’"#"($2"#+,#’,#N($%#+,#’"#"($%#NN"#,+,N’,#N($2##+,N’"#"($2"#+N#’,#N($.#+N#’"#"($##+,.’"#"($+,#N’"#NN"($%#+,N#’"#"($##+N#’"#"($21#+,/’,#N($+,.N’,#N($+,#N#’,#N($%#1#/’"1/,(+,N.’"1/,#"1/N($/#+N/’"1/,#"1/N($0’"1/N(’"1/N(所以,##$"1’,2"(2’N2"(2’,2"(’N2"(1’N2"(1’,2"(’N2"(2’NNkhdaw.com.2"(1H.’,#N(##.I+’,#N($+’"1U#"13($"1U232U3131U323*!$!*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#.U3"1/U/!1’2’"1/3(/1’"1/3(03(’.(因为3’2"(32"’32"(033N+N+#N+’%#%(3$’"1,1N(3$33N,NNN,3$N+’%#%($’2"(32"’32"(03NN"’2"("’"2"(0"N+$#N+’%#%($’2"("2"’"2"(0""2’’"1,1N("’"2’N,NNN,NN3#"#’是任意自然数#于是’,1N(#’,1N(’&)’"1,1N($’,1N(21"’,1N(.1&1’2"(’2"1’2"("#.’’,1N("1"#!%%/%"’"1"(’"1/,1/N("1"’/(+’"#2#($0#+,’"#2#($%#+N’"#2#($%#+,#’"#2#($/+,N’"#2#($2"#!+N#’"#2#($2#khdaw.com所有三阶偏导数均为零#因此H#’,#N($%#于是####!#,2,N课后答案网2N21,2.N10$01#’,2"(2’,2"(’N1#(2’N1#(-3#求下列函数的极值点)’"(P$.*,N2,..’*#%(+2N’#(P$,##2,N1N2#,1N+’.(P$>#,’,1N#www.hackshp.cn1#N(#!分析!先根据极值必要条件求得函数的驻点#再由极值充分条件去排除那些不是极值点的驻点#并判断出极值点是极小值点还是极大值点##P,$.*N2.,$%!解!’"(解方程组!得稳定点0%’%#%(#0"’*#*(##!PN$.*,2.N$%由于S$P’%#%($%#B$P’%#%($.*#L$P’%#%($%#SL2B##PP,NNN$24*%%##S$PPP’*#*($21*%%#B$P,N’*#*($.*#L$PNN’*#*($21*#SL2B$#2*#%所以’%#%(不是极值点#’*#*(为极大值点#’#(’"#%(为极小点##,’#,1#N#P,$>1/N1"($%"’.(解方程组!得稳定点#2"#由于S$!P#,’#N1#($%’#(N$>PPP"#2"$#>#B$P"#2"$%#L$P"#2"$#>#SL2B#$/>#’(,N’(NN’(####"%#所以’#2"(为极小值点##-4#求下列函数在指定范围内的最大值与最小值)’"(P$,###!’,#N(6,##2N1N)/"+’#(P$,###!’,#N(66,616N6)""+2,N1Nkhdaw.com’.(P$8’),18’)N28’)’,1N(#!’,#N(6,&%#N&%#,1N)##"#!分析!本题>都是有界闭域#于是连续函数P在>上能取到最大1最小值#找出+’,#N(在>上*!$"*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十七章!多元函数微分学的全部可疑极值点#算出它们的函数值#并与>的边界上+的最大1最小值进行比较#其中最大1最小者即为+在>上的最大1最小值#!解!’"(先求开区域内的可疑极值点#P,$#,$%#由!得稳定点’%#%(#!PN$2#N$%#再求边界,##1N$/上的可疑极值点####P$,2N由##!得P$#,2/#或P$/2#N###!,1N$/#由P,$#,$%#得,$%#这时N$M##由PN$2/N$%#得N$%#这时,$M##所以边界上的稳定点为’%##(#’%#2#(#’##%(#’2##%(#又P’%#%($%#P’%##($P’%#2#($2/#P’##%($P’2##%($/#所以函数在’##%(#’2##%(取最大值/#在点’%##(#’%#2#(取最小值2/#P,$#,2N$%#’#(解方程组得稳定点’%#%(#P’%#%($%#考察边界’边界上的最大!PN$2,1#N$%#khdaw.com’小(值在可疑极值点和端点之中(#有"P6,1N$"$"2.,’"2,(#P,$2.11,$%#得,$课后答案网#""""这时N$#P’#($#P’%#"($"#P’"#%($"####/"P6,2N$"$"1,’,2"(#P,$#,2"$%#得,$www.hackshp.cn#""".这时N$2#P’#2($#P’%#2"($"####/"P6,1N$2"$"1.,’,1"(#P,$.’#,1"($%#得,$2#""""这时N$2#P’2#2($#P’2"#%($"####/"P6N2,$"$"1,’,1"(#P,$#,1"$%#得,$2#""".这时N$#P’2#($####/所以函数在点’"#%(#’%#"(#’2"#%(#’%#2"(取最大值"#在点’%#%(取最小值%#P,$=;8,2=;8’,1N($%!’.(解方程组!PN$=;8N2=;8’,1N($%&得=;8,$=;8N#因此稳定点在,$N或,1N$##上#在区域内部#将,$N代入!得.,=;8,2=;8#,$2#8’)#,8’)’2#($%于是区域内部仅####..!###为稳定点#P###$#在边界,$%#%)N)’..(’..(khdaw.com#####+N$%#%),)##+,1N$##上#函数值均为零#所以函数在点###取得最’..(*!$#*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#..大值!#在边界上取得最小值零##-"%#在已知周长为#’的一切三角形中#求出面积为最大的三角形#!分析!已知三角形周长为#’#即可得出面积(的表达式#从而通过计算得出(的最大值#!解!设三角形的三边分别为,#N#P#则面积($!’’’2,(’’2N(’’2P(#,1N1P$#’#所述问题就是求函数!+’,#N($!’’’2,(’’2N(’,1N2’(在>$!’,#N(6%%,%’#%%N%’#’%,1N%#’"上的最大值#因>是开区域#把>的边界添加进去得到有界22闭区域>$!’,#N(6%),)’#%)N)’#’),1N)#’"#于是+在>上一定取到最大值5又+在>的边界上的值为%#而+在>内部的值皆大于%#从而+在>内一定取到最大值##因+与+在>内有相同的可疑极值点#所以考虑函数F’,#N($’’2,(’’2N(’,1N2’’(#F,$’’2N(’#’2#,2N($%解方程组!得khdaw.com!FN$’’2,(’#’2#N2,($%##,$’#N$’课后答案网..###于是P$’#+’,#N(在’#’处取得最大值#.’..(故面积最大的三角形为边长为#!.##’的等边三角形#面积($’www.hackshp.cn.4!小结!+在>内部仅有一个稳定点#我们不能像一元函数那样#不管+在边界上的值就断定该点必是+的最值点#如+’,#N($,####’,#N(+>$,20#0-4,2"#"-#2/,1#,N2N易知+在>的内部仅有一个临界点’%#%(#且它是+的极大值点#极大值为+’%#%($%#但+’,#N(在>上的最大值不是%#而是+’0#%($#0#对应用问题#若根据问题的实际意义#知+’,#N(在>内一定达到最大’小(值#而在>内+’,#N(的可疑极值点惟一时#无需判别#可直接下结论)该点的正数值即为+在>内的最大’小(值#-""#在,N平面上求一点#使它到三直线,$%#N$%及,1#N2"1$%的距离平方和最小#!分析!分别表示出此点到所述三直线距离的表达式#再通过求导计算平方和的最小值#!解!设所求点为’,#N(#则它到,$%的距离为6N6#到N$%的距离为6,6#到,1#N2"1$,1#N2"1%的距离为#于是到三直线的距离的平方和为!0’,1#N2"1(###+’,#N($,1N10#’,1#N2"1(9+,$#,1$%03"1由!得,$#N$8/’,1#N2"1(00+N$#N1$%:0khdaw.comS$+3#"1"#3#"10#L$+3#"1"3#SL2B#NN’0($#%#B$+,N’0($NN’0($$000/00*!$$*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十七章!多元函数微分学3"13#%#因此#是+的极小值点#’00(又&’(###"#使得+’,#N($1$#这就是说#存在一个圆C’%#H($!’,#N(6,1N)H##,1N’1$2’,%#N%(+C’%#H(#当’,#N(+C’%#H(时#有+’,#N(#+’,%#N%(#因+在有界闭域C’%#3"13"1H(上连续#所以+在C’%#H(内取到最小值#由’#(是惟一的极值点知#点#是00’00(#上的最小值#+在全平面#."##已知平面上"个点的坐标分别是S"’,"#N"(#S#’,##N#(#&#S"’,"#N"(试求一点#使它与这"个点距离的平方和最小#!解!设所求的点为’,#N(#它与各点距离的平方和为",’,2,(##-+’,#N($":1’N2N:(:$"""9+,$#"’,2,:($#",2#",:$%:$":$"khdaw.com由!得8""+N$#"’N2N:($#"N2#"N:$%::$"课后答案网:$""""",$"",:#N$""N::$":$"因S$+#B$+#L$+#SL2B##,,$#"#%,N$%NN$#"$/"#%www.hackshp.cn""9",:"N:6由""题知:$":$"为所求点##:""7"’,28(#N!#!2’*#8为常数(满足热传导方程)#N.".#证明)函数!$>/*#;$*###*!#;N;N,N!""’,28(#’,28(#2!证明!$21##>/*#;N;,/*!#;./##*!#;/*;-N!2’,28(’,28(#2$>/*#;N,/*.!#;./#N!2’,28(’,28(#’,28(#’,28(#22$>/*#;1>/*#;N,/*.!#;./#3*0!#;./##因此N!$*#N!#N;N,##’*#8为常数(满足拉普拉斯方程."/#证明)函数!$&)!’,2*(1’N28(##N!N!#1#$%#N,NN!证明!因为#’N28(##N!,2*#N!2’,2*($’,2*(###$,’,2*(##-#N,1’N28(N,khdaw.com1’N28(#’,2*(##N!N28#N!2’N28($’,2*(###$,’,2*(##-#N1’N28(NN1’N28(*!$%*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册###N!N!所以#1#$%N,NN-"0#证明)若函数!$+’,#N(满足拉普拉斯方程##N!N!#1#$%N,NN,N则函数7$+#也满足此方程#####’,1N,1N(!分析!函数7是关于,1N的复合函数#用链式法则求7关于,#N的二阶偏导数#,N!证明!令Q$###;$###则有,1N,1N##NQN2,N;#N;2#,NNQ$’,##(#$2$’,##(#$N,1NNNN,1NNNN7N+NQN+N;$*1*N,NQN,N;N,########N7N+NQN+NQN;N+NQN+N;N+N;#$#’(,1#*1#1#’(,1*#N,NQNNQN;N,N,NQN,N;NN;N,########khdaw.com同理N7N+NQN+NQ*N;N+NQN+N;N+*N;NN#$NQ#’(NN1#NQN;NNNN1NQNN#1N;#’(NN1N;NN########由于NQ课后答案网$N;#N;$NQ#N+1N+$%#N;*NQ$2N;*NQ#NQ$2’(N,’(NN’(N,’(NNNQ#N;#N,N,NNNNN,####N;#NQN;#$N,NNNNN,NN######NQNQN;N;N7N7故有www.hackshp.cn#1#$%#同理#1#$%#从而#1#$%#N,NNN,NNN,NN##N!N!N!N!."1#设函数!$*’,1-’N((#证明$##N,N,NNNNN,!证明!令Q$,1-’N(#则###N!$N!*NQ$N!#N!$N!*NQ$N!###N,NQN,N,N,NQN,NQ###N!N!NQN!N!N!$#$#--’N(#$--’N(N,NNNQNNNQNNNQ###于是!N!N!$N!*N!-’N($N!*N!#-#N,N,NNNQNQN,NN##故N!N!$N!*N!##N,N,NNN,NN/"2#设+,#+N和+N,在点’,%#N%(的某邻域内存在#+N,在点’,%#N%(连续#证明+,N’,%#N%(也存在#且+,N’,%#N%($+N,’,%#N%(#J’’,#’N(!分析!按定义+,N$&’(&’(#其中’N’%’,’%’,’NJ’’,#’N($+’,%1’,#N%1’N(2+’,%1’,#N%(2+’,%#N%1’N(1+’,%#N%(对J’’,#’N(用两次一元函数微分中值定理有J’’,#’N($+N,’,%1/"’,#N%1khdaw.com/#’N(’,’N由此可得结论#!证明!对于固定的,%与’,#令*!$&*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十七章!多元函数微分学*’N($+’,%1’,#N(2+’,%#N(于是J’’,#’N($+’,%1’,#N%1’N(2+’,%#N%1’N(2+’,%1’,#N%(1+’,%#N%($*’N%1’N(2*’N%(因+N在点’,%#N%(的某邻域内存在#由中值定理#得J’’,#’N($*-’N%1/#’N(’N$,+N’,%1’,#N%1/#’N(2+N’,%#N%1/#’N(-’N其中%%/#%"#又+N,在点’,%#N%(的某邻域内存在#所以再用中值定理有J’’,#’N($+N,’,%1/"’,#N%1/#’N(’,’N#%%/"%""于是+N,’,%1/"’,#N%1/#’N($!,+’,%1’,#N%1’N(2+’,%#N%1’N(-1’,"",+’,%1’,#N%(2+’,%#N%(-"’,’N由于+N,’,#N(在点’,%#N%(连续#于是对上式两边先取’,’%的极限得+N,’,%#N%1"/#’N($,+,’,%#N%1’N(2+,’,%#N%(-#再取’N’%的极限#有+,N’,%#N%($khdaw.com’N+N,’,%#N%(#课后答案网从而结论成立#!小结!本题的证明用到了+,N的定义#同时利用了两次一元函数微分中值定理#-"3#设+,#+N在点’,%#N%(的某邻域内存在且在点’,%#N%(可微#则有+,N’,%#N%($+N,’,%#N%(#!分析!对www.hackshp.cnJ’’,#’N(用一次一元函数微分中值定理后#对+的一阶偏导+,’+N(用可微定义将J’’,#’N(与二阶偏导数+,N’+N,(联系#取极限得结论#!证明!令*’,($+’,#N%1’N(2+’,#N%(#则!J’’,#’N($+’,%1’,#N%1’N(2+’,%1’,#N%(2+’,%#N%1’N(1+’,%#N%($*’,%1’,(2*’,%($*’,%1/"’,(’,$,+,’,%1/"’,#N%1’N(2+,’,%1/"’,#N%(-’,#!%%/"%"由+,在点’,%#N%(可微知J’’,#’N($,+,’,%1/"’,#N%1’N(2+,’,%#N%(-’,2,+,’,%1/"’,#N%(2+,’,%#N%(-’,$,+,,’,%#N%(/"’,1+,N’,%#N%(’N1K’+"(2+,,’,%#N%(/"’,2K’+#(-’,$+,N’,%#N%(’,’N1K’+(’,J’’,#’N(所以&’($+,N’,%#N%(’’,#’N(’’%#%(’,’N同理#由+N在’,%#N%(处可微#得J’’,#’N(&’($+N,’,%#N%(’’,#’N(’’%#%(’,’N从而+,N’,%#N%($+N,’,%#N%(#"""khdaw.com."4#设!$,NP####,NP*!$’*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#求)’"(!,1!N1!P+’#(,!,1N!N1P!P+’.(!,,1!NN1!PP#%""!解!!,$"NP$’N2P(’2#,1N1P(###,NP同理!N$’P2,(’,2#N1P(#!P$’,2N(’,1N2#P(所以!,1!N1!P$%’#(,!,1N!N1P!P$.’P2N(’,2N(’,2P(’.(!,,$#’P2N(#!NN$#’,2P(#!PP$#’N2,(所以!,,1!NN1!PP$%###-#%#设+’,#N#P($S,1BN1LP1>,N1?NP1JP,#试按U#3#G的正数幂展开+’,1U#N13#P1G(#!分析!先分别求出+对,#N#P的偏导函数#再求其按)#3#G的正数幂展开式#!解!+,’,#N#P($#S,1>N1JP#+N’,#N#P($#BN1>,1?P#+P’,#N#P($#LP1?N1J,#+,,’,#N#P($#S#+NN’,#N#P($#B#+PP’,#N#P($#L#khdaw.com+,N’,#N#P($+N,’,#N#P($>#+NP’,#N#P($?$+PN’,#N#P(#+,P’,#N#P($+P,’,#N#P($J#所有三阶或三阶以上的偏导数均为零课后答案网#于是!+’,1U#N13#P1G(##$+’,#N#P(1’#S,1>N1JP(U1’#BN1>,1?P(31’#LP1?N1J,(G1SU1B3#1www.hackshp.cnLG1>U31?3G1JUG$+’,#N#P(1’#S,1>N1JP(U1’#BN1>,1?P(31’#LP1?N1J,(G1+’U#3#G(总练习题###."#设+’,#N#P($,N1NP1P,#证明#+,1+N1+P$’,1N1P(###+##+#!证明!由+,$#,N1PN$#NP1,P$#P,1N得+’,1N1P(#,1+N1+P$.##求函数..,2N#,#1N#,%#9##+’,#N($8,1N##:%#!!!,1N$%在原点的偏导数+,’%#%(与+N’%#%(#并考察+’,#N(在’%#%(的可微性#’’,(.+’%1’,#%(2+’%#%(!解!+,’%#%($&’($&’(.$"’,’%’,’,’%’’,(.+’%#%1’N(2+’%#%(2’’N(+N’%#%($&’($&’(.$2"’N’%’N’N’%’’N(’+2+,’%#%(’,2+N’%#%(’N’,’N’’,2’N($##./#!’’,(#1’’N(#,’’,khdaw.com(1’’N(-.由于&’(’,’N’’,2’N($&’(2#’’,($2!#,%##./#’’,#’N(’’%#%(,’’,(1’’N(-’,’%##!’’,(.#*!$(*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十七章!多元函数微分学’+2+,’%#%(’,2+N’%#%(’N所以&’(##"/#,%#即+’,#N(在点’%#%(不可微#’’,#’N(’’%#%(,’’,(1’’N(-""&",",#&,"##&,##-.#设!$,",#"444"2""2"&,"2",",#"""N!N!"’"2"(证明)’"("$%+!!’#(",3$!#3$"N,33$"N,3#!分析!’"(将行列式按某列展开再求导#求导后写成行列式#利用行列式性质可得结论#’#(用M"#.第1题齐次函数的欧拉定理#"2"!证明!’"(!$,39S91"#3#3$"###&#"#S是,39的代数余子式#"91"#39$%"2"N!92"$"9,3S91"#3N,39$%khdaw.com"""2""2""N!92"92""N,$""9,3S91"#3$"9",3S91"#3课后答案网3$"33$"9$"9$"3$""!!!"!!&!","!!,#!!&!,""4!!4!!!!492"9,3S91"#3$$%",92"92"&!,92"www.hackshp.cn3$""!,#!"4!!4!!!!4"2""2"&!,"2","!,#!""对一切的9$"###&#"2"都成立#所以"N!$%#3$"N,3’#(由M"#.第1题#关于"次齐次函数的欧拉定理#有""J’;,"#;,##&#;,"($;J’,"#,##&#,"(P2,3J,$"J"33$""’"2"(而!是"1#1&1’"2"($次齐次函数#所以#""’"2"(,3+,$!"3#3$"./#设函数+’,#N(具有连续的"阶偏导数#试证函数F’;($+’*1U;#813;(的"阶导数""?F’;(NN?;"$’UN,13NN(+’*1U;#813;(#!分析!用数学归纳法#?F’;(N+?,N+?NN+N+!证明!当"$"时#$1U13?;N,?;NN?;N,NNNNkhdaw.com$’UN,13NN(+’*1U;#813;(它仍然是以,$*1U;#N$813;为中间变量#;为自变量的复合函数#于是当"$#时*!$)*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册##?F’;(??F’;(NN+N+NN+N+#$’?;($U’U13(13’U13(?;?;N,N,NNNNN,NNNNNN$’U13(’U13(+’*1U;#813;(N,NNN,NN#NN$’UN,13NN(+’*1U;#813;("2"设?F’;(N13N?;"2"$’UN,NN(+’*1U;#813;(成立#""2""2"则?F’;(??F’;(NNNN"$"2"$’U13(’U13(+’*1U;#813;(?;?;’?;(N,NNN,NN"NN$’UN,13NN(+’*1U;813;(所以对一切"#有""?F’;(NN?;"$’UN,13NN(+’*1U;#813;(*1,!81N!51P#-0#设*’,#N#P($O1P!I1,!+1N#求N*#khdaw.com#N,F1N!U1P!31,#课后答案网N*!分析!通过已知*的对,的导数表达式#将其化简分为.个行列式的和#再求##N,"!81N!51P*1,!%!51P*1,!81N!%N*!解!$%!I1,!+1N1O1P!"!+1F1O1P!I1,!%N,www.hackshp.cn%!U1P!31,F1N!%!31,F1N!U1P!"I1,!+1N*1,!51P*1,!81N$11U1P!31,F1N!31,O1P!I1,#N*#$31,1I1,131,1*1,1I1,1*1,$1,1#’*1I13(N,+"’,(+#’,(+.’,(.N8.1#设8’,#N#P($F"’N(F#’N(F.’N(#求#N,NNNPU"’P(U#’P(U.’P(+-"’,(+-#’,(+-.’,(+-"’,(+-#’,(+-.’,(#N8#N8!解!$F"’N(F#’N(F.’N($F-"’N(F-#’N(F-.’N(N,N,NNU"’P(U#’P(U.’P(U"’P(U#’P(U.’P(+-"’,(+-#’,(+-.’,(.N8$F-"’N(F-#’N(F-.’N(N,NNNPU-"’P(U-#’P(U-.’P(#上有!#试求!关于,#N的函数式#-2#设函数!$+’,#N(在#,N$%#上的连续性#再用中值定理进行证明#!分析!先讨论+在##上连续#+’,#N($%#则+’,#N($’N(#!解!首先证明)若+’,#N(在#,*在##上任取两点’,#N(’,#N(#由中值定理+’,#N(2+’,#N($+’,’,(#"##khdaw.com",#1/#2,"N(’,#2,"($%#所以+’,##N($+’,"#N(#由,的任意性知+’,#N(与,无关#即+’,#N($*’N(#*!%**若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第十七章!多元函数微分学其次求!关于,#N的函数式#因!,N$%#由上述结论有!,$’,(#从而N!2’,(?,$%#于是!2’,(?,$*N,’1*(1*’N(#故!$’,(?,1’N($8’,(1’N(#*1***-3#设+在点0%’,%#N%(可微#且在0%给定了"个向量#:#:$"###&#"#相邻两个向量之间的夹角"##为#证明+#’0%($%#""::$"!分析!分别从+#’0#(#+#’0#(#&#一直求到+#’0.(#再进行证明#"#"!证明!由于####+#’0%($+,’0%(=;81+N’0%(8’)"""#*###*##+#’0%($+,’0%(=;81+N’0%(8’)#""&!!&!!&!!&##:##:+#’0%($+,’0%(=;81+N’0%(8’)khdaw.com:""&!!&!!课后答案网&!!&+#’0%($+,’0%(=;8##1+N’0%(8’)##""""##:##:所以+#’0%($+,’0%(=;81+N’0%(8’)"$"""":$":$":$""##www.hackshp.cn"8’)’"1(##:#""而"=;8$2$%"##:$"#8’)""##"8’)’"1(##:"#""8’)$2$%"##:$"#8’)""故+#’0%($%#"::$"-4#设+’,#N(为"次齐次函数#证明&NN’,1N(+$"’"2"(&’"2&1"(+#N,NN"!分析!由+的齐次性得到+’;,#;N($;+’,#N(#再通过代换!$;,#7$;N进行证明#!证明!因为+’,#N(为"次齐次函数#所以"+’;,#;N($;+’,#N(令!$;,#7$;N#将上式两边对;求导#得N+’!#7(N+’!#7("2",1N$";+’,#N(N!N7继续对;求导#共&次#得&,N+’!#7(N+’!#7(khdaw.com"2&’N!1NN7($"’"2"(&’"2&1"(;+’,#N(令;$"#则!$,#7$N*!%!*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com !!数学分析同步辅导及习题全解"下册#&NN’,1N(+$"’"2"(&’"2&1"(+’,#N(N,NN."%#对于函数+’,#N($8’)N#试证,&NN’,1N(+$%#N,NN!证明!因为+’;,#;N($8’)N$+’,#N(#所以8’)N为%次齐次函数#由上题得,,&NN’,1N(+’,#N($%#N,NNkhdaw.com课后答案网www.hackshp.cnkhdaw.com*!%"*若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com'