同济大学结构力学课后习题答案(朱慈勉) 180页

'朱慈勉结构力学第2章课后答案全解2-2试求出图示体系的计算自由度，并分析体系的几何构造。(a)(ⅠⅡ)(ⅠⅢ)Ⅰ`Ⅱ(ⅡⅢ)Ⅲ舜变体系ⅠⅡⅢ(b)W=5×3-4×2–6=1>0几何可变(c) 有一个多余约束的几何不变体系(d)W=3×3-2×2–4=1>0可变体系2-3试分析图示体系的几何构造。(a)(ⅠⅢ)(ⅠⅡ)ⅠⅡⅢ几何不变(ⅡⅢ) (b)（ⅡⅢ）（ⅠⅡ）ⅠⅡ（ⅠⅢ）Ⅲ几何不变2-4试分析图示体系的几何构造。(a)ⅠⅡ（ⅡⅢ）（ⅠⅡ）（ⅠⅢ）Ⅲ几何不变(b)W=4×3-3×2-5=1>0几何可变体系 (c)（ⅠⅢ）（ⅡⅢ）（ⅠⅡ）ⅠⅡⅢ几何不变(d)二元杆Ⅱ（ⅠⅡ）ⅠⅢ（ⅡⅢ）（ⅠⅢ）有一个多余约束的几何不变体 (e)ⅢⅠⅡ（ⅠⅢ）（ⅠⅡ）（ⅡⅢ）舜变体系(f)Ⅲ（ⅠⅢ）（ⅡⅢ）ⅠⅡ（ⅠⅡ）无多余约束内部几何不变 (g)（ⅠⅢ）二元体（ⅠⅡ）（ⅡⅢ）ⅠⅡⅢ(h)（ⅡⅢ）多余约束Ⅱ（ⅠⅢ）Ⅰ（ⅠⅡ）ⅢW=3×8-9×2–7=-1,有1个多余约束二元体 2-5试从两种不同的角度分析图示体系的几何构造。(a)ⅡⅠ（ⅠⅡ）Ⅲ（ⅠⅢ）舜变体系（ⅡⅢ）(b)（ⅡⅢ）几何不变ⅡⅠ（ⅠⅡ）Ⅲ（ⅠⅢ） 同济大学朱慈勉结构力学第3章习题答案3-2试作图示多跨静定梁的弯矩图和剪力图。(a)FPFPaAFBCDEaaaaaFaFaPP22ＭFaP4FPFＱP243FP4(b)2kN/m10kNABCD2m2m2m6m4m 2020M４Q10/310４26/3(c)15kN20kN/mABCDEF2m2m3m3m3m4m180M4018070210Q401540604kN(d)6kN·m4kN·mABCDEFGH2m2m2m2m2m2m2m3mA M7.584145Q42.523-3试作图示刚架的内力图。(a)2kN4kN·mBC6m1kN/mAD3m3m24MQ16182020186(b)BC3m10kND3mA40kN·m6m M30Q30301010210110(c)2kN/m4kNBC3m6kN3mAD6mMQ564762(d)4kN·m2kNCD2m2kNE2mAB6m MQ4244444/3N000(e)C4m1kN/mABD4m4m44``841(f)4kNC2kN/mB4mA3m2m4m MQ22201225N0.83-4试找出下列各弯矩图形的错误之处，并加以改正。(a)FP(b)(c) FP(d)M(e)(f)FPFP3-5试按图示梁的BC跨跨中截面的弯矩与截面B和C的弯矩绝对值都相等的条件，确定E、F两铰的位qADEBCFxxlll 置。2qlM8ADEBCFqql12Mlxxqx()xcFD222MMMBC中BC12MqlqC()lx162ql12xql2161xl83-6试作图示刚架的弯矩和剪力图。(a)M909045对B点求矩135209(4.53)RR645()405FF2MR0.5209459405,135()EEMM453135,0.520990QCFCDM0.520990BA (b)113.75MQ12.12.95.754.25M4.2542421EM3.51.50.2525.75K对A7242点求矩：RR52.50.5()BB对C点420.52求矩：244.25()HHBBVH3.5(),0.25()AA5.75QQ2.1,244.253.75K左EF2.5(c)160QM80/33016016401008080601608080MM380,6160DAED33H30()C对FV点求矩:(2023304)/2120()C对AV点求矩:61201030420211B320V()B380V()A3 (d)435MQ16/344/38/33520354/38/388M4142DA33对A点VV求矩:41614284()BB4对C点HH求矩:441426()BB38HV(),0AA3(e)MQFFFF----2Fa2Fa2Fa2Fa2Fa+2Fa2FMC0VB2Fp(),ME02HBVFMB03FP2a2aHH2FP2aVF2aHF(),V2F()HPFPH4F(),V0DPD(f) 84884+4+--44+-4488-+848利用对称性8进一步简化HIVIHB88VB可知:4H(KN),V4KN()BBHKNVKN4(M),Nm4(),42810IIA(g) qq2qa对H点求矩：2DEFGHIJ2qaqaHaHqaCC1.5()a2ABC对F点求矩：qaaH1.5aH0qa1.5()AAaaaaaa22HMqaM0,,1.5qa2DGFGH23qaqa2222qa2qa23qa3qa22qa222qaqa22qa2qa1.5qa1.5qa3-11试指出图示桁架中的零杆。FPFP FPFFPP、3-12试求图示桁架各指定杆件的内力。(b)m32kN先求出支座反力,如图所示。零杆亦示于图中。D1E取1-1截面以上部分分析23kN1B1m32kN对B点求矩×3FAC4382303FKN7.5AAC3kNFFAC32KNFBC由Fx0知10.5KN7.5KNFF42KN02.5BCBC4m4m4m53FyBCAC03F3F0F5F6KN3然后再依次隔离ABD,,点不难求得FKN7.5F(),KNF3,KN4()21BD (a)Ax4MFABP0a32MFCNP0242P2CMFBNaNF0,a211取虚线所示的两个隔离体有：224FxFNNFa0,a212a2332a2FP联立方程解得：FFa,5NN12334DP2杆3的内力可以通过D节点求得BFPaaaaN3(c)先去除结构中的零力杆2再求出支座反力1在AB,点用节点法可求得4313FFNP1213又易求得杆4=FPF4PFPFP再利用节点法可得FP2FPF13FFFP，NN12P24 3-13试选用两种途径求图示桁架各指定杆件的内力。(a)方法方法一：利用对称性和反对称性CFGFPa22Ea1aDAB原结构可等价为(已经去除零力杆)FPFPFPFP22222FPFPFP1FP2222对正对称和反对称结构使用节点法FPFP22对B点进行分析对A点进行分析172可求得FFBDP可求得FF8AFP2对D点进行分析1可求得FFDEP4对E点进行分析25综上，FFFF,12PP28EFGFP方法二D2ⅠⅠ1CABEFGFPD21FFNN1FF2NP1由F点平衡知,FN11FN,又Fx0,FNFP222再分别分析B节点和G节点，不难求得155FFF,FFFBGPGDPN2P888 (b)方法一：ⅠⅡFPFP先去除零力杆，再求出支座反力B13D2CEAⅠⅡ0.75FP1.25FPFP取1-1截面左半部分讨论由平衡条件知:,FFFF2341F1334又FFFF023PPF2555B55FF，即FF2PN12F32424A5再对B点取矩，F3a4aF3aF4144C55FFF,F14PP66取2-2截面右半部分讨论5F5再分析C节点,不难得到FNP2F8F6用同样的方法分析22截面右半部分D55可求得F0.5FF,FF,FF,0.5FF75P688P7P8PA最后用节点法分析E节点,得F0.5FF8N3P0.75FP方法二：可将结构的荷载分解为正对称和反对称再加以考虑。 3-14试选定求解图示桁架各指定杆件内力的合适步骤。1FPFPFP443132FP2FP3CDFP2B1412一.按123的顺序，依次使用节点法可求得FFNP322二.再求出4然后可求出FFNP12三.由M0,B0.75可求得FFCPX1四.分析截面右半部分X2由M0,D12可求得xFxFPPF由节点法,对C分析可求得FPN243-15试求图示桁架各指定杆件的内力。(a)FPFPDAAFPFP22FACFABFCBFFFFF5由对称性ACABACABP2EFPFP22再分析B节点22F5P由Fx0,F11FAB0FFP55245由对称性有FFFCE1P4再由节点法分析CD,两节点容易求出11FFF,FCDP2P42 (b)F2FPDF42F6EF53B21131C取截面左侧分析由FyFPPFF0,F0531336A1FP13再由节点法分析A,B节点马上可以求得F=FF,0.5F1P1P31133FxFPPFPF0,F0F24F24F2613取截面右侧,由0,20MFCPdFdFd24FFF3,F242PP再由节点法分析D,E节点马上可以求得F=2FF,5FDEP3P3-15试求图示桁架各指定杆件的内力。(c)FPBC取图示隔离体，对A点取矩FPA1F1FPD2FP0.5FPF21.5FP215MA0,FPaF1aF1a0F1FP553再用节点法依次对B,C,D节点进行分析，容易求出2172F=-FF,,FFFBCPCDP2P336 3-16试作图示组合结构刚架杆件的弯矩图，并求链杆的轴力。(a)1取1-1截面左边qqABFFCGACXFFCY2qaDE2qaF2qaDED112由MqaCDEFDE0,aqa22a2Fqa2F再分析节点EDF不难求得FDA12FqaF22qaM,2,qaFDADFFADE2D1122qaqa所以弯矩图为22(b)qaDEF1NNqaNN,0DEABBCBF2q12qa2qaABC12qaqa80 (c)FP1CEDFP1EFFQFAQFB1由对称性,FFFQFAQFBP22分析AF区段AFBFHGFP2由MA0求得FFF2111HGPGI21F()FFPP12()FFPP12()FFP2PP1222221由节点法,2易,得FFFFFFEGPQECQED2P1P22MFaFFaM2(2)CQECPPD121MFaFaMHQFAPI22FaFa2PP12FaFa2PP12M图11FaFaP2P222 (d)qaC313MqaDFGaFGF0,a2F0qa24222用节点法分析G节qaF点，Fqa易得F=,2GEGCGD2EF考虑DB杆DFGDA1.25qaB0.75qa32qaF1.5qa20.5qa3qa43Bqa2335由FxFGDqaGC0,2Fqaqaqa4443232qaqa44同济大学朱慈勉结构力学第4章习题答案 4-5试用静力法作图示结构中指定量值的影响线。(a)FP=1ACBalMA、FQA、MC、坐标原点设在A处，由静力平衡可知MxF,1AQA当F在C点M以左时F，x0,a0()PCQC当F在C点M以右时xa，a(xF)x,a1()PCQCMA的影响线FQA的影响线MC的影响线FQC的影响线(b)以A为坐标原点，方向如图所示BFP=1假设F向上为正，由静力分析知Fxl/RBRBCxlal(/),(0)xaF(la),(xa)ARBαMCaFax,(a)axl,()xaRAlaxlcos,(0)xalFQCFRB、MC、FQC(1x)cos,()axll2aa(1)cosal1lFRB的影响线MC的影响线acosFQC的影响线l (c)D3355由MFBNCDxF0NCDx知41(7，)0512123Fxx2(5),(05)3mNCD5MEACEBFx32,(57)NCD5FP=1xx3,(03)MC3m4×2m2m0,(37)xRFNCD2a、ME、MC、FQC3Fx1,(03)31xx,(03)5NCD44RFQC37Fxx1x,(37),(37)NCD544F的影响线ME的影响线NCD314MC的影响线R3FQC的影响线(d)FP=1DE以D点为坐标原点，向右为正ACBxxx111FMF,,RBCQC4m2m2m8485m5mMC、FQC94189184MC的影响线FQC的影响线 (e)FP=1ACBa4a2aLRFQA、FQA、FQC、MC1,(0)0,(0xa)xaLRFF,QAQA0,(7)axa1,(ax7)a0,(05)x,(0axa5)xaFM,QCC1,(5a7)xa4,(5aaxa7)(f)xx1,(02),(02)xaxaFF22aa,RAQBFP=10,(25)a0,(2xaa5)xaAEBCFDxx,(0)xa,(02)xa24aaaaaaxx3MaaxaF,(a2),xa,(24)EQFFRA、FQB、ME、FQF222a0,(25)axa5x,(45)axa22a11F的影响线F的影响线QBRA1/21/2a/2F的影响线1/2QFM的影响线E 4-6试用机动法作图示结构中指定量值的影响线。(a)FP=1AHBECFDG2m2m2m2m2m4m4m1FRA1/41/81/23/2FRD1MC21/4LFQC1/211RFQC1/211/2MH1/411/21/4FQH1/81/21/2 (b)FP=1AEIFBCGDH2m2m2m2m2m3m4m4mFRB3/21/4FA1/2QA1MA3MI1FQI1/21/2 (c)FP=1AEBFCGDFQE3/411/21/4FQF1/23dMCd1RFQC (d)FP=1EIFGJHABCDFQAMDLFQDRFQF 4-7试绘制图示结构主梁指定量值的影响线，并加以比较。(a)MC22``1/3FQC1/3(b)3MC1/2L1/2FQC1/2R1/2FQC1/21/24-8试绘制图示刚架指定量值的影响线。(a) MA0知15d7F1(5ddx)RBxxFF,RBQDB77ddxx,(0d2)MCD()以右侧受拉为正DC2,(2ddxd5)CC2dD5/7AAFMDCQDB(b) 以A为坐标原点，向右为x轴正方向。弯矩M以右侧受拉为正x当0xa时，MF0F1()RAa分析F以右部分，GCD为附属部分，可不考虑x/aMxEFBGxFNEEaFp=1当axa3时，去掉AF,GCD附属部分结构,分析中间部分FBGM=(2a-x),F1ENEE4-x/a当3axa40时，由MG知FBGxax3xM=x-4a,F3,F4ERDNEaaaEa11AAFBGCFBGCaM的影响线FNE的影响线E4-9试绘制图示桁架指定杆的内力影响线，分别考虑荷载为上承和下承两种情况。 (a)1ABC3DEF212mGHIJK110×2m上承荷载时：x以A点为坐标原点，向右为x轴正方向。F=1-()RA20当08()xC点以左时，取1-1截面左侧考虑xx由MI0FN3[(10xx)(1)10]/2204当12xD20()点以右时，x(1)1020x由MI0FN3524F在CD之C间的D影响线用点及的值。直线相连。N3当0x8时，取1-1截面左侧分析x2由Fy01FN2sin451F知N22x2020x由Fx0FN1F3Fcos45N245ABCDEFFN3FN2FN1下承荷载情况可同样方法考虑(b) xMBRARA01(8dxd)F8F18dxFF1FRARBRB8d上承荷载时25x当0xd311时，0取FF截面0右侧F分析。FyN1RBN1516d255x当4dxd811时，0取FF截面F左侧分析。FyN1RAN1516d2当0xd422时，取截面右侧分析。xMC0FRBN2N24ddF20F4d3xMK0FRBN3N33ddF2F16d当5dxd822时,取截面左侧分析。xMC0FRAN2N24ddF20F24d55xMK0FRAN3N35ddF2F216d54FN13516FN211516FN3下称荷载时，用同样方法分析，得到影响线如下 54FN158FN2153FN3484-13试求图示简支梁在吊车竖向荷载作用下B支座的最大反力。设一台吊车轮压为FP1=FP2=285kN,另一台轮压为FP3=FP4=250kN，轮距及车挡限位的最小车距如图所示。B支座反力的影响线如下：1ABCFF或置于BB点时，支座可能取得最大反力。P2P3231F置于B点时1P2300276300123127LR285285250()FPFPCRFP630030055.4235.8KNKNab6623127LR285250()FPFP7.92FPCRKN300300ab6123127此时R=285+285250()547.5KNB6300300F置于B点时231P3193006023119LR285250250FPFPCR30079.2KNFP6013.2KNab6619LR250250FPFPFPCR6037.525KN54.9ab623119此时R=250+285250548.62KNB30060综上所述，R548.62KNmax 4-15试求在图示分布移动荷载作用下B支座反力FyB的最大值。6B支座的反力影响线如右图所示15求s=qA的最大值设荷载左端距A结点为X,求A14.5xx4.5()(0x7.5)1.84.0521010x(0x7.5)4421611(13.5)xx2A=18(7.5x12)xxx0.152.77.425(7.5x12)25210250.914.175(12xx13.5)11813.5xx[]4.5(12x13.5)255dA当7.512x0.3xx2.7时09，。此时A=2.79-810.15-7.425=4.725dx1.84.05当07.5x7.54.3875时，Amax44A4.725S=qA=4.72556264.6,9KNx此时。max4-10试绘制图示组合结构FN1、FN2、FN3、MK和FQK的影响线。123FP=1KAB采用联合法求解求FFF,1影AB响123线时只需求得当F作用于中点时杆，，的轴力。N1N2N31P求M的影响线，需求得当F1作AB用K于中点与点时M的值。KPK求影响线需求得当FAB作用F于中点及K点两侧时的值。PQK首先，用静力法求得当F1作FF用于FAB中点时FM的值。PN1KN2N3QK采用节点法C节点FNCD根据对称性LRLRFQCFQCFQC=FQC不妨设LRFQC=FQC=则FNCD=1-2FQCFP=11717D节点,同样使用节点法可得FN2F(12F)NCDQC225F2F5(12F)N1N2QC17E节点,同样使用节点法可得FF112FN1N2QCFFN3NCD5172212F1QC再根据AC杆的A点力矩平衡：MA0F=2F,N3QC即2FQCFQC2622171于是F,F51.49F1.37FNCDN1N2N3333312FFMF4(以下侧受拉为正)QKQCKQC63 1231/21/2KAB当F1作用于K点时,可把体系看成一对对称荷载与一对反对称荷载的叠加Pa.对称体系由节点法可得17F=-2FFF=-17FF5F25FFFNCDQCN2NCDQCN1NCDQCN3QC211M0AN3F8QCQC12F16F24(a)MF41KQCR()aaL()1111在K点FF右F侧QKQKQC24441/2AKB1/2AKBC1/2F1/2FYBYAb.反对称体系CD杆0轴F力F等F0于N1N2N311M0AYBBYAFM0F88(b)R(b)L(b)113MF121.5FFFFKYAQKYAQKYA828RL113135M11.52.5FFKQKQK488488F1.49M的影响线N1的影响线K-0.671.37FN2的影响线3/8的影响线1/6FQK0.33FN3的影响线5/84-11试利用影响线计算图示荷载作用下MK和FQK的值。(a) 先不考虑力偶产生的内力1.44MK的影响线23M=1.4420+102.41.44101.21.4464.8K340.40.6FQK的影响线R23F200.6102.40.6101.20.418QK34再考虑力偶产生的内力10FyAFyB1010FFKNKNyAyA66R10MF3.66FFKNmKNKyAQKyA6R10综上所述M64.8658.8F18KNm19.67KNKQK6 (b)M的影响线Kaaa222a21aa2M(222)qa2ABqaqaM0段的荷载引起的为KK222FR的影响线QK111222K1122R根据对称性，F=0QK4-17试求图示简支梁在移动荷载组作用下的绝对最大弯矩，并与跨中截面的最大弯矩相比较。(a)FR150kN50kN100kN4mA2B22m62m6m333C显然，100KN为产生最大弯矩的临界荷载22100(6)50(10)MB0F3383.3KNyA122MF(6)504355.6KNmKyA3当100KN作用于跨中时，跨中弯矩最大。50kN100kNAC31M100350350KNC (b)显然只有300KN100KN和最左的可能是产生最大弯矩的临界荷载对300KN进行分析F800KNR200KN300KN100KN100KN100KNABFyAFyB50.375m20.375m50.375m5m5mMB0FF(50.375)/10370KNyARMKNm370(50.375)2001.51411.25max对100KN进行分析F800KNR200KN300KN100KN100KN100KNABFyAFyB50.375m20.375m50.375m5m5mMA0FFKN(50.375)/10370yBRMKN370(50.375)1001.510031261.25max因此,最大弯矩为1411.25KN所以,当300KN作用于跨中时,跨中弯矩最大M3002.52001.75100(1.751.00.25)1400KNmCmax 同济大学朱慈勉结构力学第5章习题答案5-1试回答：用单位荷载法计算结构位移时有何前提条件？单位荷载法是否可用于超静定结构的位移计算？FPFPDEaABCaaaa由对称性分析知道(bFF0,FF2FRFFRFFFFNCDNCENBEANADNBCBPNACPPPDE12222222211221112212F2a(2F)2aFFNl22PP1(F)2a6.83NPPcx22FaP()EAEAEAEAEA5-4已知桁架各杆截面相同，横截面面积A＝30cm2，E＝20.6×106N/cm2，FP＝98.1kN。试求C点竖向位移ΔyC。 5F5FPP5FP5F5F5FPPP442FP5F2FPkP4由节点法知：对A节点F=-5FFF2NADNAEPP55对E节点FFFFNECNEFPP441k由节点法知：5对A节点F=-F1NADNAE2FFlN155NPycPPP(12251FFF6()()24)-55EAEA4211.46cm()5-5已知桁架各杆的EA相同，求AB、BC两杆之间的相对转角ΔB。杆的内力计算如图所示-8-12-12-8-4242424242-42-4-44488448kN44施加单位力在静定结构上。其受力如图14214221其余未标明的为零力杆48414111424411BFFlNNP(1242)EAEA5-6试用积分法计算图示结构的位移：（a）ΔyB；（b）ΔyC；（c）B；（d）ΔxB。 (a)q2q1AEIBl以B点为原点，向左为正方向建立坐标。qq21qx()xq1l123qq21Mxqx()xp126l显然，Mx()xll11134qq21()()()MxMxdxqxxdxyc1pEIEIl2600111q2414=()lqlEI30120(b)qBClEI=常数A3ll4q2l2l5q2l47l4MPM211ql31523251q23151274(llqllqllllll)ql()ycEI3242443422434EI16 (c)1kN/m2kNBR=2m4mAO12MR()R(sin)12(1cos)2M()121121[(sin)RRRd12(1cos)]BEI20(8-3)-1.42=()逆时针EIEI(d)AqREI=常数OBqdsqRd2MqRd()sin(RqR)(1cos)0MR()sin211124M()M()(1cos)sindsqRRRdqR()xBEIEIEI205-7试用图乘法计算图示梁和刚架的位移：（a）ΔyC；（b）ΔyD；（c）ΔxC；（d）ΔxE；（e）D；（f）ΔyE。(a) 1113222以Ax为原点，向右为正方向建立坐标2Mx()x5x1x(0x3)2Mx()13(3xx6)26181Mx()Mxdx()()ycEIEI0(b) 2kN/m6kNEABCDEI=常数1m2m2m6m0.5MPA13M6611211(23)6236yD62EI3EI84311(32162(3)(6))62EI225+612()62EIEI(c)2kN2kN1B2EIC6EIEI6m2kN/m1AD3m3m3m2233421863630MPM3(21822182230423018423042366436630)xc62EI261226918+(2366)63()6EIEI38EI(e)2kN/m4kNEICDkEI6mABEI3m4m4m4m k6.513.56.512MPM1428116262MM11110PDPdsFF(1231)(2121)EIkEIEI2612141111311(1016)(226)(416)13.5EIEI3EI26k232486227=()顺时针316EIk5-9图示结构材料的线膨胀系数为α，各杆横截面均为矩形，截面高度为h。试求结构在温度变化作用下的位移：（a）设h＝l/10，求ΔxB；（b）设h＝0.5m，求ΔCD（C、D点距离变化）。（a）+25℃CD+25℃+35℃+25℃lABl 1LL11MNtt6012tCC30t=tt1002122tktt0FdsNMdsh10122=301(2)lllh22l=30(10lll2)/23010(b)CD1155433400003m44A000B+t+t+t1114m4m4mN图t5ktt0FdsNMdst5h451tt+5(1)12t(43243)422h33M图54.5(t)5-10试求图示结构在支座位移作用下的位移：（a）ΔC；（b）ΔyC，ΔC。(a)CDEE′D′C′ΔChABB′blla22 111hh001aCFCRa[()]()方向与图示一致hh(b)1ABCDc13c2cA′B′C′D′0Δ0.51.5C2aa2aFR图1331ycFCRCCC[]C()122122223515311[]CCCCCCC12321344a2a4a4a2aa3514a4a2a 习题6-1试确定图示结构的超静定次数。(a)2次超静定(b)6次超静定(c)4次超静定(d)3次超静定(e)II去掉复铰，可减去2（4-1）=6个约束，沿I-I截面断开，减去三个约束，故为9次超静定(f)沿图示各截面断开，为21次超静定(g)所有结点均为全铰结点刚片I与大地组成静定结构，刚片II只需通过一根链杆和一个铰与I连接即可，故为4次超静定III (h)题目有错误，为可变体系。6-2试回答：结构的超静定次数与力法基本结构的选择是否有关？力法方程有何物理意义？6-3试用力法计算图示超静定梁，并绘出M、FQ图。(a)FPA2EI4EIBC×2ll232a3lFpF3p解：上图=+lX1=1M1MpX01111p其中：2l311lll23lll14l1122lll2EI2333326EI33381EI2l3322l7Fpl1p2lFpllFp6EI233381EI37Fl314lpX0181EI81EI1XF1p2MM1X1Mp1Flp6M图1Flp6 QQXQ11p1Fp2Q图1Fp2(b)FPABEC4DFEI=常数×lllll2222a2FP解：4基本结构为：×X1X22alM1l3lM21Flp2FP4Mp×12aFlp311X112X21p021X122X22p0MM1X1M2X2MpQQXQXQ1122p6-4试用力法计算图示结构，并绘其内力图。(a) 20kN/mB1.75EICDEI6mA6m3m解：基本结构为：20kN/mX161M16810810MpX01111pMM1X1Mp(b)Ea2CDqa4EI=常数AB4a4a解：基本结构为： X1计算M1，由对称性知，可考虑半结构。112a122M1计算M：荷载分为对称和反对称。p对称荷载时：qa2q22qaqa22226qa6qa6qa反对称荷载时：q2aqa2q22qaqa22228qa8qa8qa22qa22M14qa2qap X01111pMM1X1Mp6-5试用力法计算图示结构，并绘出M图。(a)CEI6m11kNDBEI2EI6mA3m3m解：基本结构为：X111KNX2111KN336112633M1M2Mp用图乘法求出,,,,1112221p2p11X112X21p021X122X22p0(b) EDEI=常数6m20kN/mACB6m6m解：基本结构为：X2X1X2X120kN/m111163633M1M21503090180150MMp6108233233266116EIEI62332330126EI6108233233266226EIEI11221231227001p61803620661803EI2338223EI1122123125402p61803620661803EI2338223EI 1082700X0EI1EIX251108540X5X02EI1EIM1803255390KNmCAM18032553120KNmCBM6530KNmCD(c)CEA=∞DII3m10kN·m10kN·m5I5I6mAB12m解：基本结构为：X110kN·m10kN·m113310kN·m10kN·m10kN·m991010N1M1Mp136558112332332992392EI66E5I5EI61442103291091031021p6E5IEIX0X1.291111p1M91.29101.61KNmAC M31.29106.13KNmDAM31.293.87KNmDC3.876.136.133.871.611.61M(d)DEA=∞EII3mEA=∞FG10kN/m5I5I2I6mABCX2解：基本结构为：X110kN/m11339966M1M245405Mp36111.623322332992392116EI6E5IEI 625.226936126E5IEI6650.4266266226E5I6E2IEI1136121721.251p345323452940534054596456EI346E5I5EI3EI02p111.625.21721.25XX0EI1EI2EIX17.39125.250.4X8.69XX02EI1EI2M405917.39248.49KNmADM68.69917.39104.37KNmBFM317.3952.17KNmFEM68.6952.14KNmCG52.17M248.49104.3752.146-6试用力法求解图示超静定桁架，并计算1、2杆的内力。设各杆的EA均相同。(a)(b)11a21.5m2FPFP30kNaaa2m2m题6-6图6-7试用力法计算图示组合结构，求出链杆轴力并绘出M图。(a) FPA4BEI12EI×kθ=l2aEA=2EIl=l2=Cll解：基本结构为：FP12lFlFpP1M1Mp3l2l2l7l22l2l2l11EA6EIk2EI3lFplFpl2Fl2lFll2l1ppp6EIk2EI2X0XF1111p1p723MFlF2lFlAppp773Flp72FlMp7(b)qqaEFGaEACEA=EI/a2DaEI=常数ABaa 6-8试利用对称性计算图示结构，并绘出M图。(a)FP4DEA=∞EEA=∞F×EI2EIEI9m2aABC6m6m解：FFpFpFpp原结构=+2222①②①中无弯矩。②取半结构：Fp2基本结构为：FFppX1122999Fp2M1Mp212243211999EI23EI11922431p9Fp9FpEI2232EI1X0XF1111p1p4 9999FpF9FFpFp4pp4244M图整体结构M图(b)60kNCDEI=常数3mAB4m5m4m(c)qCDEI=常数lABql解：根据对称性，考虑1/4结构：q基本结构为：q2qX1l181M1Mp1ll11112EI2EI22211lqllqlql111pEI3282812EI 2qlX0X1111p112MM1X1Mp222qlqlql2424242ql2ql12ql2121222qlqlM2424(d)qDEFEI=常数lABCqll解：取1/4结构：q基本结构为：qX2X11q2l2l11M11M2Mp 231l2ll11EI233EI2112l12l1EI22EI1l3l2211l11EI22EI2411ql3qlll1pEI3248EI2311qlqll12pEI326EI324llql5XX0Xql1213EI2EI8EI12231l3lqlXql2X1X202362EI2EI6EI22qlql92922qlqlql36363622qlqlM36362ql(e)950kN4×E2IF2aII6mC2IDII6mAB9m (f)4FPHGIa2EDFa2ABC(BEH杆弯曲刚度为2EI，其余各杆为EI)aaaa取1/2结构：2FFFpppFpFp=+2FFpFpFpFpp①②②中弯矩为0。考虑①：反对称荷载作用下，取半结构如下：FFpFpFpp2222=+FpFpFpFFpFp22p22③④④中无弯矩。考虑③：FFFpppa222FpaF2p2弯矩图如下：FpFpaa22FpFpa2aFpaFFppaa22FpaFpFap2a2Fpa2 (g)3EIk=3k4aEFaFPCGD4a×AEI=常数B2aaa解：原结构=+FpFpFpFp2222①②①弯矩为0。反对称荷载下：Fp2基本结构为：X1Fp21Fp2Fpa2a2M1Mp31128a112a2a2aEI233EI 3aFpFp5Fpa22aaaa1p6EI2212EI35F3X18ap34a5XXaXXF1111p111pk3EI12EI3EI48M图如下：5Fpa485Fap4877FpaFpa2424(h)4FPBDF4×IIII2aI2I2I2IIhACEllll6-9试回答：用力法求解超静定结构时应如何恰当地选取基本结构？6-10试绘出图示结构因支座移动产生的弯矩图。设各杆EI相同。(a)ABCDEEI=常数2llll(b)22CDa3AEI=常数BB′4a4a4a题6-10图6-11试绘出图示结构因温度变化产生的M图。已知各杆截面为矩形，EI=常数，截面高度h=l/10，材料线膨胀系数为α。(a)(b)B-15℃CA+15℃B-15℃℃℃℃+25℃l10-l10-+15C+15℃DA+5℃lll 题6-11图6-12图示平面链杆系各杆l及EA均相同，杆AB的制作长度短了，现将其拉伸（在弹性范围内）拼装就位，试求该杆轴力和长度。FPABCDABl题6-12图题6-13图6-13刚架各杆正交于结点，荷载垂直于结构平面，各杆为相同圆形截面，G=0.4E，试作弯矩图和扭矩图。6-14试求题6-11a所示结构铰B处两截面间的相对转角ΔB。6-15试判断下列超静定结构的弯矩图形是否正确，并说明理由。(a)(b)(c)qFPFP(d)qFP题6-15图6-16试求图示等截面半圆形两铰拱的支座水平推力，并画出M图。设EI=常数，并只考虑弯曲变形对位移的影响。FPCRABRR题6-16图 同济大学朱慈勉结构力学第7章位移法习题答案7-1试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。(a)(b)(c)EIEIEI2EI2EI1个角位移3个角位移，1个线位移4个角位移，3个线位移(d)(e)(f)EI1=∞EI1=∞EIEA3个角位移，1个线位移2个线位移3个角位移，2个线位移(g)(h)(i)k一个角位移，一个线位移一个角位移，一个线位移三个角位移，一个线位移7-2试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？7-3试说出位移法方程的物理意义，并说明位移法中是如何运用变形协调条件的。7-4试回答：若考虑刚架杆件的轴向变形，位移法基本未知量的数目有无变化？如何变化？7-5试用位移法计算图示结构，并绘出其内力图。(a)qAiDiCliBll 解：（1）确定基本未知量和基本结构有一个角位移未知量，基本结构见图。12ql3iZ11R3r1p114iii12ql62iM1图Mp图（2）位移法典型方程rZR01111p（3）确定系数并解方程12r8i,Rql111p3128iZql0132qlZ124i（4）画M图721qlql224812ql652ql24M图(b)2.5kN/m10kNA2EIBEIDEI4mC4m4m解：（1）确定基本未知量1个角位移未知量，各弯矩图如下 390EIZ112r511EI1EI2M图M图1p（2）位移法典型方程rZR01111p（3）确定系数并解方程5rEIR,35111p25EIZ3501214Z1EI（4）画M图4026147M图()KNm(c)FP4DEA=∞EEA=∞F×EI2EIEI9m2aABC6m6m解：（1）确定基本未知量一个线位移未知量，各种M图如下 Z11r11FpR1pEI2EIEI272727M图112EIEI1243243EIMp图243（2）位移法典型方程rZR01111p（3）确定系数并解方程4rEIRF,111pp2434EIZF01p243243Z14EI（4）画M图999FpFpF424pM图(d)EFEAEAa2ABCDEI1=∞FPFPaa2aa解：（1）确定基本未知量一个线位移未知量，各种M图如下 24EAa/2EAa/255rZ1111M图122EAa/2EAa/2255EA简化5r11M图1R1p143aaFa5F5p5pMp图（2）位移法典型方程rZR01111p（3）确定系数并解方程26rEAaRF/,111pp5526EAZF01p55a3aZ1EA（4）画M图0.6F1.2Fpp0.6FaFappM图(e)DCFPEA4×lEAEA2aBAl 解：（1）确定基本未知量两个线位移未知量，各种M图如下r21EAlZ11r11EA2r111l4EA2l2EAr214lM图1r22Z21r12EAEA2EAr1l22l42lM图20FpR1pRF01ppR002pM图p（2）位移法典型方程rZrZR01111221prZrZR02112222p（3）确定系数并解方程 EA22EAr1,rr111221ll44EA2r122l4RFR,012ppp代入，解得122lZF1p212EA1lZF2p212EA（4）画M图122Fp2122Fp1F212p212M图7-6试用位移法计算图示结构，并绘出M图。(a)10kN/mACEF6mEI=常数BD6m6m6m解：（1）确定基本未知量两个角位移未知量，各种M图如下22EIEI332r11EI21EIEI313rEI2131EI3M1图 2EI312EI111EI3EIr22EI3361EI3M图230R301pR01pMp图（2）位移法典型方程rZrZR01111221prZrZR02112222p（3）确定系数并解方程1rEIr2,rEI111221311rEI226RR30,012pp代入，解得ZZ15.47,2.8112（4）画最终弯矩图35.1619.699.383.2710.311.871.40M图(b)AB10kN/mEI=常数6mCDE6m6m解：（1）确定基本未知量两个位移未知量，各种M图如下 4ir112i3i2ir4i21M1图i/2iri12ri22M图23030R1pR2pMp图（2）位移法典型方程rZrZR01111221prZrZR02112222p（3）确定系数并解方程rirr11,01112213ir224RKNR30KN,3012pp代入，解得3011ZZ,401211ii（4）画最终弯矩图2075.4534.558.1820.9129.09M图(c) C30kN2mAEFDEI=常数2mB2m2m2m解：（1）确定基本未知量两个位移未知量，各种M图如下ir4i113i2i3ir21M图13i3ir1222r22M2图30KNR1pR2pMp图（2）位移法典型方程rZrZR01111221prZrZR02112222p（3）确定系数并解方程 3irirr11,11122126ir224RRKN0,3012pp代入，解得6.31646.316ZZ,12EIEI（4）求最终弯矩图4.2125.2612.636.329.47M图(d)ElqqlGBDFQLlFEI=常数AClll2解：（1）确定基本未知量两个位移未知量，各种M图如下2EIl3EIZ11lr4EI11l3EIr21l3EIlM1图 6EI2l6EIr12l2Z213EIr222l3EI2lM2图12ql812ql16R1pR2pMp（2）位移法典型方程rZrZR01111221prZrZR02112222p（3）确定系数并解方程133EIEIrrr,1112212ll18EIr222l12RqlRql,12pp16代入，解得3466211qlqlZZ,1236003600EIEI（4）求最终弯矩图20.315ql20.125ql220.278ql0.008ql20.231ql20.055ql20.176qlM图(e)20kN50kN·m80kN·m10kN·mDA2EIBEICEI4m4m4m4m8m 解：（1）确定基本未知量两个角位移未知量，各种M图如下3EIZ1411rEIr114211EI2M图11EIZ1r1222r2213EIEI48M图225252020252050M图p（2）位移法典型方程rZrZR01111221prZrZR02112222p（3）确定系数并解方程51rEIrrEI,111221447rEI228RKNmR45,012pp代入，解得ZZ38.18,10.9112（4）求最终弯矩图25.9115.913.64M图7-7试分析以下结构内力的特点，并说明原因。若考虑杆件的轴向变形，结构内力有何变化？(a)(b)(c)FPFPFP4×2a (d)(e)(f)MFP4q×4FP×2aEI1=∞4EI2a7-8试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出×M图。对称轴(a)2a20kNE4×2aBEI1=∞3EI3mDEI1=∞G3EI3EIEI6mACF8m8m解：（1）画出M,M,M图12pr112EIr11Z1224EI1EIEI44399EIEI8132EIr21r2102EI2EI9M图由图可得：1124rEIrrEI,111221813r2EI2114EIEI2EI6Z2131EIrr122222EI1136EIEIEI618212EI1EI2EI96M2图由图可知：14rEI229 20KNR1pR2pM图pR1KNp20R02p（2）列方程及解方程组1124EIZEIZ20081312414EIZEIZ01239解得：11ZZ83.38,71.4712EIEI（3）最终弯矩图18.5323.8235.7411.9123.8259.5618.5335.7411.91M图(b)D6mBC10kN4m10kN4×2aEI=常数4mA8m35解：C点绕D点转动，由Cy=1知，Cx,CCD44知 EI9EI3EI3EIr11EI,r12r21,r31r134128321284EI4EI93327r22EI,r23r32EIEIEI108103240160R1p10KNm,R2p0,R3p6.25KN求r33MD0知273399EIEIEIEIEI14160401281281288r330.055EI8EI3EIZ1Z2EIZ31004128Z117.9/EIEI9EI27Z1Z2EIZ30Z258.5/EI410160327Z3285.6/EIEIZ1Z20.055EIZ36.250128160(c)FPCBEI1=∞EIEIaDAaaa22解：（1）作出各M图o瞬心10EI2a9EI264EIEIa22aa42EI2a42EI62EIEI2a22aaM1图 918EIEIMr011aaa0233aa9218EIr113ao瞬心PR1p1Pa4M图paMP01Ra00p2PR1p2（2）列出位移法方程rZR01111p解得：3PaZ129218EI（3）最终M图5Pa92185Pa92181Pa452Pa2921822Pa92184Pa9218M图(d)qEI1=∞AB4EICEIDk=3llll22解：基本结构选取如图所示。作出M1及Mp图如下。 9EI8EI22l2l10EIZ121lr11M图112112qlql2ql12812M图p10EI8EI10EI9EI29EIrll/211l2l2l22l23l1127R1pqlql/lql21212由位移法方程得出：47qlrZR0Z1111p1348EI作出最终M图852ql34852ql76841122qlql3488M图7-9试不经计算迅速画出图示结构的弯矩图形。(a)BθAAC(b)ByBB′AC题7-9图7-10试计算图示有剪力静定杆的刚架，并绘出M图。qqaFCGaqqaDBEaEI=常数Aaa 解：（1）画出M,M,M图12p3iZ111r11rql212ql1282i3ii3iZ11ql2r221r8ql22212ql23iiql2M1图M2图Mp图由图可知，得到各系数：r7i,rri,r8i1112212252132Rqa,Rqa1p2p885312求解得：Z,Z1244055（2）求解最终弯矩图1592ql4402632ql4401042ql440362ql55432ql551772ql4402382ql440672ql55M图7-11试利用对称性计算图示刚架，并绘出M图。(a)20kN/mABCDEEI=常数6mFG6m6m6m6m解：（1）利用对称性得： 2120EI3Z116060r1121EIREI31p31EI3M1图Mp图4（2）由图可知：rEI,R300KNm111p34EIZ3000133225可得：Z30014EIEI（3）求最终弯矩图36036021021015150150157575M图(b)CEIEI20kN3mABEI4m4m解：（1）利用对称性，可得：EI10KNEI2EI5Z=11r112010KNEI4204EI5M1图Mp图（2）由图可知，各系数分别为：EI421rEIEI114520R20KNm1p21EIZ200120 400解得：Z121EI（3）求最终弯矩图如下7.6215.2424.76M图(c)FPABEI12IEAA=2llEIEICDEll解：（1）在D下面加一支座，向上作用1个单位位移，由于BD杆会在压力作用下缩短，所以先分析上半部分，如下图。1Pl8P4x51x512EI12EIl2N245lNPl6EI52l6EI6EI2l2Z1rl111R1pM图M图p13EI12EI4D点向上作用1个单位，设B向上移动x个单位，则x1x，得x个单位。33ll5（2）同理可求出Mp图。12EI212EI132EI4rx,RPl113331pl5l5l53Pl可得：Z133（3）求最终弯矩图 3Pl118NPl1122PlPl11112Pl11M图(d)10kNC3mDBEIEIB′D′EIEI2EI2EI4mAA′4m4m4m4m(e)EIDEICC′EIEIEI3mEBB′EI1=∞EI1=∞EI50kNEI3mAA′3m3m解：（1）利用对称性，取左半结构25KN Z1221EIEI4EIr113r3R1p3122EI94EI23EI34EI29EI43EI98rEIZ1219225KNr22R2pM1图M2图Mp图（2）由图可知：8420rEI,rrEI,rEI112112223927R0,R25KN1p2p2575解得：Z,Z124EI3EI（3）求得最终弯矩图50503312522562256650503312512566252533M图(f)10kNABC2m10kNDEEI=常数2mF2m2m解：由于Ⅱ不产生弯矩，故不予考虑。只需考虑（Ⅰ）所示情况。对（Ⅰ）又可采用半结构来计算。如下图所示。 5kN5kN5kN5kN5kN5kN原图=+5kN5kN（I）（II）Z1Z225kN4ir21r22Z12i1Z1r11r124i2i4i5kN12i1基本结构M1图M2图5kNR2pR1p5kNMp图7-12试计算图示结构在支座位移作用下的弯矩，并绘出M图。(a)AEIBEICDEIlll (b)BC3EIEIEIlADΔll解：（1）求M,M,M,M图。123p12ir116ir21r12r22rr13234ir314ir326ir336il6i12il6i6i2i2illM1图M2图M3图（2）由图可知：6i24ir16i,rr6i,rr,r16i,r11122123322233ll18iR0,R8i,R1p2p3pl代入典型方程，得：Z0.426,Z0.374,Z0.763l123（3）求最终弯矩图EI2.87lEI1.93lEIEI4.673.73llM图7-13试用位移法求作下列结构由于温度变化产生的M图。已知杆件截面高度h＝0.4m，EI＝2×104kN2－5·m，α＝1×10。+20℃A0℃B0℃+20℃4mC6m题7-13图解：（1）画出M,M,M图。t1tt 4EI20lEI3r11R1tR1t4EI45EI2EIl3l10EI2EIlM1图M1t图Mt图595（2）求解各系数，得，rEI,REI,R0111tt36595典型方程：EIZEI013619解得：Z12（3）求最终弯矩图7.407.4011.9713.55M图7-14试用混合法作图示刚架M图。DFPlACFEI=常数lBEll题7-14图 同济大学朱慈勉结构力学第8章矩阵位移法习题答案8-1试说出单元刚度矩阵的物理意义及其性质与特点。8-2试说出空间桁架和刚架单元刚度矩阵的阶数。8-3试分别采用后处理法和先处理法列出图示梁的结构刚度矩阵。(a)ABCD2EIEIEIlll解：（a）用后处理法计算（1）结构标识y①②③x1234单元局部坐标系（ij）杆长cossin各杆EI①12l102EI②23l10EI③34l10EI（2）建立结点位移向量，结点力向量T11223344TFFMFMFMFMy11y22y33y44（3）计算单元刚度矩阵12126l-126lk①k①2EI6l4l2-6l2l2k①1112k①k①l312-6l12-6l2122226l2l-6l4l1263l-63lk②k②2EI3l2l2-3ll2k②2223k②k②l36-3l6-3l3233223ll-3l2l 1263l-63lk③k③2EI3l2l2-3ll2k③3334k③k③l36-3l6-3l4344223ll-3l2l（4）总刚度矩阵12341234126l-126l0000226l4l-6l2l0000①①k11k1200-12-6l18-3l-63l00①①②②222k21k22k22k2302EI6l2l-3l6l-3ll00k②②③③30k32k33k33k34l00-6-3l120-63l③③003ll204l2-3ll200kk43440000-6-3l6-3l2200003ll-3l2l（5）建立结构刚度矩阵支座位移边界条件νθθθ00001134将总刚度矩阵中对应上述边界位移行列删除，得刚度结构矩阵。18-3l3l0222EI-3l6ll0kl33ll24l2l22200l2l(b)用先处理法计算（1）结构标识yx12345单元局部坐标系（ij）杆长cossin各杆EI①12l012EI②23l01EI③34l01EI（2）建立结点位移向量，结点力向量TT00001145 T故22345（3）计算单元刚度矩阵222EI12-6l①k32l-6l4l234126l6l②EI22k6l4l2l3l6l2l24l24522EI4ll③k322ll4l（4）建立结构刚度矩阵（按对号入座的方法）2234518-6l3l3l02-6l4l0002EIk3l02l2l203l2223l0l4ll22000l2l(b)ABCD2EIEIEIlll8-4试分别采用后处理法和先处理法分析图示桁架，并将内力表示在图上。设各杆的EA相同。yFP1①24×2al③④⑤⑥EA=常数34x②l解：（1）结构标识如图 单元局部坐标系（ij）杆长cossin①12l10②34l10③13l0-1④24l0-1⑤23222l22⑥14222l22（2）建立结点位移向量，结点力向量T11223344TFFF0-FFF00x1y1px3y3（3）计算单元刚度矩阵123410-1010-10①EA0000同理②①EA0000kkkl-1010l-101000000000132400000000③EA010-1同理④③EA010-1kkkl0000l00000-1010-101231411111111----2222222211-1-111-1-1⑤EA2222同理⑥⑤EA2222kkk2l11112l1111----2222222211111111----22222222（4）形成刚度矩阵，刚度方程 123442222--1000-444424222-000-1-444442222-10--0044442422200--0-1EA4444kl2242200---104444222420-1--00444422422-00-10-444422242-0-100-4444刚架总刚度矩阵方程：TTkFF0-FFF0011223344x1y1px3y3（5）建立结构刚度矩阵，结构刚度方程10110制作位移边界条件为：02330将刚度矩阵中对应上述边界位移的行、列删除，即得结构刚度矩阵，相应结构刚度方程为：4220044242200-1-FEA442pl4224000-44402420-1-44（6）计算节点位移，得： 14220044224200.557810-1-F2EA44p-2.13544l4220-0.442200-4440-1.69282420-1-44（7）计算各杆内力231111--222211110.55780.7888--5EA22222.1354Fpl0.7888FpF2l11110EA0.78882--222200.78881111--222211000.78880.7888Fp552-11000.7888Fp0FTF200110.788820.7888Fp00-110.78880同时可得其他杆内力。FP0.5578Fp40.6253F×p-0.7888Fp2a0.4422Fp0.4422Fp（b）采用先处理法（1）步与后处理法相同。（2）建立结点位移向量，结点力向量T2244TF0F00p 24①EA10②①EA10kkkl00l00244400001111EA010-1EA-EA-k④k⑤22k⑥22l00002l112l11--0-1012222（4）形成总刚度矩阵，结构刚度方程4220044242200-1-FEA442pl4224000-44402420-1-44（5）结点位移及内力计算同上。8-5试列出图示刚架的结构刚度方程。设杆件的E、A、I均相同，结点3有水平支座位移s，弹簧刚度系数为k。ys20kN30kN·m33′1m②2k4①2m×E、A、I=常数21xa3m解：（1）结构标识y3②2③①1x单元局部坐标系（ij）杆长cossin①12201②2323122 （2）建立结点位移向量，结点力向量T2223TF200-300（3）建立单元刚度矩阵（l=2m）22212EI6EI033llEA①k00l6EI4EI02ll222333EA3EI000034ll3EA12EIEA9EI000334ll4ll②3EI33EI4EIk2200lll3EA3EI3EA12EI3EI3EA3EI3-32304ll4lll4ll3EI33EI2EI3EI4EI222lllll③kk（4）建立结构刚度方程（对号入座的原则写出保留支座位移在内的刚度方程）33EA15EIk000034ll3EA12EI5EA9EI33000220KN4ll4ll03EI33EI8EI22200230KNlllF3x33EA3EI3EA12EI3EI3EA3EI-00332334ll4lll4ll3EI33EI2EI3EI4EI222lllll由已知，支座位移c，将以上刚度矩阵的行删除，并将与刚度矩阵第4列乘333 积移至方程右端与荷载向量合并。3153EA3EI3333EAEIkEI-EIEAEIc8842244883EA3EI5933332EA3EI3EAEIEIEIc4228844222433323EIEI4EIEI30KNmEIc44343333-EIEIEI2EIEIc4448-6试采用先处理法列出图示刚架的结构刚度方程，并写出CG杆杆端力的矩阵表达式。设各杆的EI=常数，忽略杆件的轴向变形。50kN50kN10kN②5FG6①315kN2⑤③D6m④EI=常数3mABC1474m6m解：（1）结构标识如上图。单元局部坐标系（ij）杆长cossin①2354/53/5②35610③6760-1④12301⑤43601（2）建立结点位移向量，结点力向量T22356TF15100000（3）建立单元刚度矩阵（考虑杆件①及②两端点无相对水平位移，故水平位移可以不考虑）234EI2EI①ll其中l=5mk2EI4EIll 354EI2EI②ll其中l=6mk2EI4EIll2612EI6EIl3l2其中l=6m③k6EI4EIl2l2212EI6EIl3l2其中l=3m④k6EI4EIl2l2312EI6EIl3l2其中l=6m⑤k6EI4EIl2l（4）建立结构刚度方程（按对号入座的方式）223565211EIEIEI0EI93662EI32EI2EI0022531550123212EIEIEIEI00365153125000EIEI0033612EI000EI63(方程中已省去单位)282.0625.3121解得：1.813EI0.90520.526 （5）写出CG杆杆端力的矩阵表达式12612611110--0-0--0-366366186186600000082.0600000082.06666012110-0402-0036EI66120.52636320.52F6126126EI0111107-00-00366366018618607700000000000000661112-0204-006663638-7试采用矩阵位移法分析图示刚架，并作出刚架的内力图。设各杆件E、A、I相同，A=1000I/l2。qCBl45E、A、I=常数A3ll5解：（1）结构标识yx②32①11000IA2l单元局部坐标系（ij）杆长cossin①12l3/54/5②23l10（2）建立结点位移向量，结点力向量T222T2qlqlF0--212（3）建立单元刚度矩阵22222222EA312EI4EA12EI126EI491921185624l5l35ll325l25-25l325l35l222k①EA12EI12EA412EI36EI3EI1185616108-18ll325l5l35l2525l325l35l26EI46EI34EI-24184225l25l2ll5l5l 2221000EI00325l②12EI6EIk0l3l26EI4EI02ll(4)建立结构刚度矩阵341921185624-33225l25l5l118561640818kEI-25l325l35l224128-225l5ll(5)结构刚度方程02qlk2222ql1220.0003解得：0.000920.010028-8试利用对称性用先处理法分析图示刚架并作出M、FQ图。忽略杆件的轴向变形。(a)10kNDEIEEIF2EI3mAEIBEIC4m4m解：（1）结构标识（取半结构）y5KN1①2x②3③4 单元局部坐标系（ij）杆长cossin①12410②2330-1③54410T24TF5KN0(2)建立单元刚度矩阵2①12EIl=4mk3l2412EI6EI-l3l2l=4m③k6EI4EI-l2l(3)建立结构刚度矩阵2424EI6EI-l3l2k6EI4EI-l2l(4)建立结构刚度方程24EI6EI-l3l2256EI4EI40-l2l642-1解得：3EI48(5)计算杆件内力12126-60ll1Q5033EI64l-62l14M5FF264l-12-612-6-EI-1Q43ll0M4-862l-64l 12126-60ll4Q1011EI64l-62l18M1FF264l-12-612-6-EI-4Q23ll8M2062l-64l(6)作出M、F图Q8KNm8KNm4KN8KNm4KNm4KNm1KNMN(b)30kND3EIE3EIF2EI2EI2EI4m10kN/mABC3m3m解：原结构等效为下面结构：15kN15kN15kN15kN+5kN/m5kN/m5kN/m5kN/m正对称反对称1.正对称结构(1)结构标识如图所示22①3y2②211x(2)结构位移向量1122 (3)等效结点荷载2020331025KN10KN10202033T2020F,33(4)建立单元刚度矩阵22114EI2EI11①ll2k22EI2EI4EI11ll222②4EI4k33EIl3(5)建立结构刚度方程202113EI16220314020解得：，1233EI11EI(6)求杆端力3333-10--130168168Fy220331011-1-80①M238822-F2EI11Fy1-1033330---90M201681681-111331-310828 424240-9393112432080-②3383211F3EI4242040----9393111222440-33331180804013011111301111114040111190901111M图Q图2．反对称结构2(1)结构标识如图所示23①3y2224②③211x(2)结构位移向量2020331025KN10KN1020203320113M12220M2,F3M3330y34y325(3)计算单元刚度矩阵 y4322113338443①kEI21431242233②42kEI24y433333③168kEI318(4)建立刚度方程32104203131624220EI330253804333925448161111解得：43.54，3.21，7.08，111.501234EIEIEIEI(5)求杆端力3333--10168168Fy2203314-3.25-1-①M23882227F2EIFy1-1033330-16.75---M120168168103313-1828 4242-9393Fy224320-20.58-②M233832-27F3EIFy34242020.58---M393933-34.732224-33333333-168168Fy3331418.251-③M3882334.73FEIFy433330-18.25---M4168168038.27313-182834.7320.582769.46273.253.2534.7336.576.5416.7516.75M图Q图整体受力图为：31.0916.9424.2219.7369.4634.2715.0738.3736.58.5776.5424.93M图Q图8-9设有如图两杆件刚结组成的特殊单元ij（或称为子结构），试直接根据单元刚度矩阵元素的物理意义，求出该特殊单元在图示坐标系中的刚度矩阵元素k33和k31。yEIEIaxijaa 解：将单元在3方向转动单位角度视为主动力作用情况：（加一个刚臂）2iR2i4i1pr8i114i2i2i4iEIi2aMM1p18iZ2i0Z114得出在3方向转动单位角度的弯矩图如下：i1i27i277EI72EIki33222a4a71/2a292EIkk3113228a8-10试采用先处理法列出图示刚架的结构刚度方程。设各杆的EI=常数，忽略杆件的轴向变形。8kN·m4kN·mCD6kN6mEI=常数AB6m6m解：(1)结构标识如图 y23②1①③414x显而易见，41(2)建立结构位移向量和结构荷载向量TT22321234TF6KN,8KNm,4KNm,0(3)建立单元刚度矩阵14222222EAEIEAEIEI241442414424①22222kEAEIEAEIEI241442414424222EIEIEI24243423EIEIEI1866②EI2EIkEI633EIEI2EI63313EIEI③186kEI2EI63(4)建立结构刚度方程将上述单元刚度矩阵的元素，按照其对应的未知节点位移序号对号入座，即可得到结构刚度矩阵，据此可列出结构的刚度方程。 2822122EAEIEIEIEAEI241442462414422214216KNEIEIEIEI8KNm2433242114134KNmEIEIEIEI63364022421282EAEIEIEIEAEI2414424624144将带入上式，然后将结构刚度矩阵第一列减去第四列得方程。418221144246222216KN18KNmEI12331424KNm0333082421144246上述方程组四个方程，三个未知数，为了获得位移解的存在性，以及刚度矩阵的对称性，我们将第一个方程减去第四个方程，得：82220121216KN22221EI28KNm12334KNm143033 同济大学朱慈勉结构力学第9章超静定结构的实用计算方法与概念分析习题答案9-1试说出何为杆端转动刚度、弯矩分配系数和传递系数，为什么弯矩分配法一般只能用于无结点线位移的梁和刚架计算。9-2试用弯矩分配法计算图示梁和刚架，作出M图，并求刚结点B的转角φB。(a)20kN/m40kNAEIBEIC6m2m2m解：设EI=6，则i1,i1.5ABBC410.47BA4131.531.50.53BC4131.5结点ABC杆端ABBABC分配系数固端0.470.53绞支固端弯矩-6060-300分配传递-7.05-14.1-15.90最后弯矩-67.0545.9-45.9011MmMmB3iBABA2ABAB2145.96067.0560EI221.152KNm逆时针方向EI67.545.94090(b)D40kN3m2EIABC3mEIEI2EI6mE20kN/m9m9m解：设EI=9，则 i1,i1ABBCi3,i3BDBE330.36BDBE33333141410.16BA33333141310.12BC33333141结点ABC杆端ABBABCBDBE分配系数固端0.160.120.360.36绞支固端弯矩00045-900分配传递3.67.25.416.216.20最后弯矩3.67.25.461.2-73.8011MmMmB3iBABA2ABAB317.203.60EI216.22KNm顺时针方向EI607.261.23.65.473.8909-3试用弯矩分配法计算图示刚架，并作出M图。(a)32kN8kN/m6kNAEIBEIC100kN·m2m4m4m8m解：Ｂ为角位移节点设EI=8,则ii1，0.5ABBCBABCPablb324412固端弯矩M48KNmBA222l2829l1M6258KNmBC82结点力偶直接分配时不变号结点ABC杆端ABBABC分配系数铰接0.50.5固端弯矩048-5812 5050分配传递05512最后弯矩0103-31210331212.556.5(b)60kN60kN40kN40kN/mABCDEEI=常数2m2m2m2m6m6m解：存在B、C角位移结点设EI=6，则iii1ABBCCD410.5BABC4141414CB314173BC7固端弯矩：M80KNmABM80KNmBAMM0BCCB24061M80140KNmCD82结点ABC杆端ABBABCCBCD分配系数固结0.50.54/73/7固端弯矩-808000-140-20-40-40-2047.591.468.6-11.4-22.8-22.8-11.4分配传递3.256.54.9-0.82-1.63-1.63-0.820.60.45最后弯矩-112.2215.57-15.4866.28-66.05 112.228066.2815.57(c)24kN/mBEICEIDAEI3m4m5m5m解：B、C为角位移结点1144,BABC1451454411,CBCD145145固端弯矩：2244M64KNmAB62244M128KNmBA32245M50KNmBC122245M50KNmCB122245M200KNmCD32245M100KNmDC6结点ABCD杆端ABBABCCBCD滑动分配系数滑动0.20.80.80.2-100固端弯矩64128-5050-20015.6-15.6-62.4-31.272.48144.9636.24-36.2414.5-14.5-58-29分配传递11.623.25.8-5.82.32-2.32-9.28-4.643.70.93-0.93 最后弯矩96.4295.58-95.6157.02-157.03-142.97157.0295.58147.9796.42(d)20kNm2kN/mCDE4mEI=常数AB4m4m解：410.5CACD4141414DCDE41413111313DB41413111固端弯矩：2248MKNmDE1238MKNmED3结点ACDE杆端ACCACDDCDBDEED分配系数固结0.50.54/113/114/11固结固端弯矩00000-2.672.67-5-10-10-546/3392/3369/3392/3346/33分配传递-0.35-23/33-23/33-0.350.1270.0960.1270.064最后弯矩-5.35-10.7-9.3-2.442.190.254.129.34.122.090.2510.72.445.35(e)3kN/mEI1=∞CD2EIEEIEIEIk4m16m3AB4m6m EI2解：当D发生单位转角时：YK41mC4EI1则M4EIm(假设12）DC4S12,S9,S16,S12,S16DCDADEEBDE1291643,,,,DCDADEEDEB37373777结点DEB杆端DCDADEEDEBBE分配系数12/379/3716/374/73/7固结固端弯矩00-9900-2.57-5.14-3.86-1.933.752.815-2.5分配传递-0.72-1.43-1.07-0.540.230.180.310.16最后弯矩3.982.99-6.985-5-2.476.983.9852.992.47(f)2kN/mAA′1.5EIEIEI4m2kN/mBB′1.5EI6m解：截取对称结构为研究对象。SEIAA0.5EISEI4AB41/21AA2/332AB321同理可得：,BBBA33另 CCAABB11CCABBA2ABAAAA2/31/3A0-6-342-21.33-0.89-0.44-0.440.15-0.10-0.050.054.49-4.49-4.51BABBBB2/31/3B0-6-322.671.33-1.33-0.440.290.15-0.15-0.050.030.02-0.024.50-4.50-4.504.494.514.504.504.50M图9-4试用弯矩分配法计算图示梁，并作出M图。设图a梁含无限刚性段；图b梁B支座处含转动弹簧，刚度系数为kθ=4i。(a)MEI1=∞AEIBEICll3l443l44解：4iBBBBC16i6i28i4i33 i1EIMBC3i33l4i(其中i3)l4l44M0CB16iMBC316iMBCS,C0BCBC3MCB11MBA4i6i3l6il4411M2i6il4iAB3l4428SMiBABA3M3ABCBAM7BA结点ABC杆端ABBABCCB分配系数固结7/114/11铰结固端弯矩00分配传递3M/117M/114M/110最后弯矩3M/117M/114M/1107M1143MM1111M图(b)32kNkθ4AiBiC×4m2m2m2a解：首先在B点偏右作用一力矩，如图所示。MkθAiBiC根据杆BC端，可得M4ik①BCBCBA根据杆BA端，可得k4i②BCBABA4ikθ由②式得：θθ③BCBAkθ将②式代入①式得：M4iθ4iθ④BCBA 4iθθ4ik4i4i2BCBCBC4iθ4iθθθ4i2k4i8i3BCBABCBAk1μ1μBABC4i2k39-5试用弯矩分配法计算图示剪力静定刚架，并作出M图。(a)EI1=∞EC2EIlqDBEI2EIlAll解：作出M图（在B处加刚臂）S3i,S0,S2iBDBABC0.6,0,0.4BDBABC结点ABCE杆端ABBDBABCCBCEEC分配系数铰结0.600.4铰结222固端弯矩0-2ql-ql/3-ql/600222分配传递021ql/15014ql/15-14ql/1502222最后弯矩021ql/15-2ql3ql/5-33ql/3000(b)10kN10kNEFGH3mABCDEI=常数4m4m4m解：提取左半部分分析10kN5kN5kN5kN5kNEFG=+ABC10kN5kN5kN5kN5kN(a)(b) （a）图中结构不产生弯矩，（b）图中结构为反对称结构，因此可以取下半部分分析得：S3Ei/1.52EIAE1SEI/4EIAB4111AB24498AE1AB91SSEIBAAB4SBFSAE2EI1SBCEI/2EI21111BA2442111112BC2242118BF1BABC11ABAE5kNA1/98/9-10E1.118.89-1.010.110.9-9.799.795kNBABCBF1/11B2/118/11F-10-1.111.012.028.08-0.110.010.020.08-10.22.048.16C9.798.162.0410.2M图9-6试回答：剪力分配法的适用范围如何？什么叫柱子的并联和串连？由并联和串连所构成的合成柱，其剪切刚度和剪切柔度应如何计算？9-7试用剪力分配法计算图示结构，并作出M图。(a)10kNBDFHEA=∞EA=∞EA=∞EI3EI3EIEI10m6kN/m10kN/mACEG解：AB、CD、EF、GA均为并联结构。①首先转化结间荷载F5qlF3qlFQ62.5KNQ37.5KNQ22.5KNABBAAG88 2Fql固端弯矩：M125KNmAB83EI9EI9EI3EI24ikkkkk并ABCDEFGH33332lllll13于是边柱和中柱的剪力分配系数为r,r1288转化后的荷载为：37.5+22.5+10=70KN边柱和中柱的剪力分别为：70Fr70KNQ118210Fr70KNQ22870边柱柱脚弯矩为：10125212.5KNm8210中柱柱脚弯矩为：10262.5KNm8262.5262.5212.5MKNm图(b)EI1=∞EI1=∞EI1=∞BD10kNFHEI3EI3EIEI8m10mACEG13解：同上题，边柱和中柱的剪力分配系数为r,r1288转化结间荷载2F108104Q8.96KNFE310边柱和中柱的剪力分别为：2F1082Fr8.961.12KN,M3.2KNmQ1EF11002FP82Fr8.963.36KN,M12.8KNmQ2FE2100边柱柱脚弯矩为：1.1255.6KNm中柱CD柱脚弯矩为：3.36516.8KNm中柱EF柱脚弯矩为：3.216.820KNm 29.65.65.616.835.75.616.8205.6MKNm图(c)BEH30kNEI1=∞EI1=∞4mdEIEIe30kNa4EIDEI1=∞G4mbEIEIcACF解：R1530kN1515de30kNa1515bc1515(a)当顶层横梁没有水平位移时，d、e、b、c并列R=45KN1rrrrbced4FFFF7.5KNQbQcQdQe45KN60303060d15KNe15KNa3015KN303030b15KNc15KN603030(b)单位：KNmd并e串b并并ac 12EI设k1d34则kkkk1bcde124EI1ka382kdekdke21kbcde1kbckbkc21122121rbcde11ra1rbcde233FQa45/315KNFQdeFQbc30KN1FQbFQcFQdFQeFQde15KN260151560604545151560454560MKNm图(d)AaCbEdGEIEIEIEI1=∞EI1=∞ceFBEIDEI20kN2m2m2m解：结构分析：bc并联与de并联，经串联后的结合柱与a并联。3EI1159EIk并3113l13l12EI3EI12EI12EI3333llll39120120241r,r,rrabcdebc159159159392120151120154r,rde159395159395Q4.97KN,QQ4.64KN,Q1.16KN,Q4.64KNabcde 9.82MKNm图9-8图示刚架设各柱的侧移刚度如括号内所示，试用剪力分配法计算，并作出M图。30kNFEI1=∞JEI1=∞Mg(1)h(1)i(1)4m55kNEEI1=∞IEI1=∞Ld(2)e(2)4mBHf(3)EI1=∞DEI1=∞a(2)b(3)c(3)4mACGK解：2030KN202020g(1)h(1)i(1)202020R(a)g、hi、三杆并联1rrrgni3FFFKN10QgQhQiRKN305585 18085KN1804040d20KNe20KN30302045KN40a10KNb15KNc15KN203030180(b)ab并c串d并并fek2338abck224de18kabcde1138488173abcde338891f17179FKN8545Qf178FKN8540Qabcde171FFKN4020QdQe22FKN4010Qa83FFKN4015QbQc8将（a）、（b）两图叠加得： 202020180404016020204060703020304040203030160MKNm图9-9试运用力学基本概念分析图示结构，并作出M图的形状。(a)qEI=常数lll解：对于跨间均布荷载的等截面连续梁。其变形曲线如图所示。C点角位移应是顺时针方向。2C支座处承受负弯矩，数值应小于C端为固定端时的弯矩ql/3MCM2MBA2(b)q2EI2EIl2qlEIEIl2ll2Plql解：若D点固定，则MDC222ql实际结点的转动受到弹性约束MDC22ql若DE段两端固结，则MDE12但MM，D结点左侧下缘将受拉DEDC MMEDDEMMDBBAM,MBDAB22(c)EI1=∞aEIFPEIEIaEIEI2aa解：对于仅有结点线位移的刚架B端若为固定端则A、B两点固端弯矩为F/4paB端若为自由端，则B端弯矩为F/4paB端实际弯矩应介于两者之间。根据柱的侧移刚度，B端弯矩为左边受拉。MBD且M2MDBCD2(d)FlFP34lEI=常数ll（a）解： F3PFlFPp811FlFlpp82（b）（c）B点没有线位移，于是考虑两种极端情况，如（b）、（c）所示。11可以看出MABFpl,Fpl821且MMFlABBAp2我们还应注意BD杆没有剪力。M图(e)+tEI=常数，正六边形(f)Ma2EI=常数aa解：M1M11M1MM2222=+反对称正对称 反对称：可知AB杆和ED杆没有剪力，因为如果有，则剪力方向相同，结构水平方向的里无法平衡。所以AB杆与ED杆的弯矩与杆平行。1MB2C3M17M14A3EISBCaEISBA2a6BC71BA73M711MM223M171MM1414(a)对称：C铰只能提供水平力，忽略轴向变形。11MM221M411MM1221MM221M14M4（b）（a）、（b）两图叠加，得 3M73M74M73M759MM2828M图(g)FP2EIEIEIhFP2EIEIEIhl解：忽略轴向变形，则竖直方向的Fp不产生弯矩，可略去。1111FFFFFppppP2222=+反对称对称对称结构不产生弯矩。反对称：DE1MMF11pBC2M1AM1(a)(b)1MFh1p4b图中因BC杆的比较大，所以M接近于M。BCBC1 DFGBAHM图其中MM，所以反弯点偏上，这是考虑节点转动的原因。ABBA(h)Mqh2EI1=∞EIEIhqEI1=∞EIEIhl解：单独考虑力矩和竖向荷载。力矩：MMMMM2222=+反对称对称反对称：M2EDM2BCA(a) AB，BD杆中无剪力，又因为M，所以AB杆中无弯矩，又因为DE杆的EI，DAB01点无转角，对于剪力静定杆而言，无转角则无弯矩，所以DB杆中无弯矩。对称：M2EDM2BCA(b)这是结点无线位移结构，又因为DE杆与BC杆的EI，所以结点又无转角，所以AB杆、1BD杆、BC杆无弯矩。（a）、（b）图叠加：MM(c)竖向荷载：ED12ql8CB12ql8A(d)本结构无线位移，D、B两结点又无转角，DB杆、BA杆上又无荷载，所以DB杆、BA杆无弯矩。(c)(d)两图叠加得： 12ql812ql8M图9-10试用静力法求图a所示超静定梁B支座反力FyB的影响线方程，并绘制它的影响线。设取基本结构如图b所示。(a)FP＝1xABEIl22Pxll23xPxxl解：由力法求出：FyB3322ll故影响线为：1+(b)FP＝1xABFyBLR9-11试用机动法绘制图示等截面连续梁FyB、FQB、FQB、M2和MC的影响线形状。FP=1A1B2C3DEEI=常数llll2解：①FyB ++-F1yBL②FQB-1R③FQB④M211⑤MC11同济大学朱慈勉结构力学第10章结构动..习题答案10-1试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？10-2试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？10-3什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的动力自由度？10-4将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？10-5试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。(a)m1m2EIEI(b) ymEI1=∞EI分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y，。(c)mmEIEI2EI(d)mmmmmm在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。10-6建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？10-7单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？10-8图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m，B处有一弹性支座（刚度系数为k），C处有一阻尼器（阻尼系数为c），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。q(t)ACkBEI=∞mcl2l33解：1）刚度法该体系仅有一个自由度。可设A截面转角a为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m上的惯性力呈三角形分布。其端部集度..为mla。1..21..3取A点隔离体，A结点力矩为：MmlallmalI2331212由动力荷载引起的力矩为：qllqltt233 la1.2由弹性恢复力所引起的弯矩为：klcal33根据A结点力矩平衡条件MMM0可得：Ips31...kaqlt322mallcal393...kaca3qt整理得：ma3lll2）力法12qlt3BCA1l31lk3.lc解：取AC杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移。根据几何关系，虚功方1112...l程为：qllklllcmxxdx0333t0...kaca3qt则同样有：ma。3lll10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量m，A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c，试建立体系自由振动时的运动方程。ABmCDEmFckEI=∞kkθaaaaa解：k32...3ca2ka3maka2取DF隔离体，MF0：2a..322R2amxdxka02.32R2maka4 取AE隔离体：MA03a...222kmxdxcakaRa4300将R代入，整理得：..2532R15makak0410-10试建立图示各体系的运动方程。(a)M(t)ABmEIEI1=∞ll2解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。M(t)1..ml2（2）画出M和M1图（在B点处作用一附加约束）p3EIlkR111pMtm..MlM3ptM124（3）列出刚度法方程3EIm..3k11，R1lpMtl24kR0111p代入R、k的值，整理得：1p11..72EI24Mtm43ll(b)FP(t)mEIll22解： lP11M1图lP122M2图试用柔度法解题此体系自由度为1。设质量集中处的竖向位移y为坐标。y是由动力荷载F和惯性力矩M共同引起的。ptIyMF11112()pt由图乘法：3122lll1123EI3EI3ll/2ll5l2l1262EI22EI48..惯性力矩为myl33..ll5ymylFpt348EIEI经整理得，体系运动方程为：..35EImyyF。3ptl1610-11试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。(a)mEI=常数2aaa解：a1a2M1图311225aaa图乘得：faaa2a2211EIEI22323616EI3mf5ma11 (b)mEI1=∞kll2解：此体系为静定结构，内力容易求得。2在集中质量处施加垂直力P，使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为。34由此根据弯矩平衡可求得Pk。94k92k。mm3(c)mEIEIEA1=∞2EIllll2222解：可以将两个简支梁视为两个并联的弹簧。332ll上简支梁柔度系数为486EIEI3l下简支梁柔度系数为96EI31l于是两者并联的柔度系数为并696EIEI102EI3l1102EI3mml(d)mlEI=常数lll解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩图如下。30EI30EI水平支杆中力为，即k。311313l13lk30EI113m13ml 9EI13l330EI9EI313l313l12EI313l6EI313l(e)忽略水平位移ma3EA=常数4a4a解：12233151512266M1图22245527aaafa221311362EAEAEA12EAmf27ma11(f)mlEI=常数ll22解：33ll11611633ll32323l53213ll3264 M1图M2图M图31312331323162130.014974llllllllEIEI32233232219332193641EIEI8.17233m0.014974mlml10-12为什么说自振周期是结构的固有性质？它与结构哪些固有量有关？关系如何？10-13试说明有阻尼自由振动位移时程曲线的主要特点。此时质量往复一周所用的时间与无阻尼时相比如何？10-14什么是阻尼系数、临界阻尼系数、阻尼比和振幅的对数递减率？为什么阻尼对体系在冲击荷载作用下的动力响应影响很小？10-15设已测得某单自由度结构在振动10周后振幅由1.188mm减小至0.060mm，试求该结构的阻尼比ξ。1y11.188k解：lnln0.04752ny200.06kn10-16设有阻尼比ξ＝0.2的单自由度结构受简谐荷载FP(t)=Fsint作用，且有0.75。若阻尼比降低至ξ＝0.02，试问要使动位移幅值不变，简谐荷载的幅值应调整到多大？F1解：Am222221422已知从0.2降低至0.02.0.75，FFsint，A不变。12929140.2F11616F0.827F21F22929140.021616F简谐荷载的幅值应调整到0.827F。10-17试说明动力系数的含义及其影响因素。单自由度体系质量动位移的动力系数与杆件内力的动力系数是否相同？10-18什么是共振现象，如何防止结构发生共振？10-19试求图示梁在简谐荷载作用下作无阻尼强迫振动时质量处以及动力荷载作用点的动位移幅值，6EI并绘制最大动力弯矩图。设。3ml(a)FsintmAEIBl3l解：由力法可知，单位荷载作用在B点引起位移。3EI 13EI6EI，33mmlml331FFlFlyttsinsin即幅值为t22m3EI3EI12当幅值最大时，弯矩也最大。FlM图max(b)FsintmACEIBll22解：l1l2M1图M2图（1）求结构运动方程333lll5如所示弯矩图，图乘后，ffff,,11221221243EI48EIEI..yfFfFsintfmyfFsinttC11I121112..24EI5Fyysint3ml2m2*24EI5其中,PF3ml2稳态解：*P1ytsintC22m1253Fl21=sint24EI11435Fl=sint36EI35Fl所示结构的运动方程为yt=sintC36EI35FlC点最大动位移幅值为36EI （2）求B点的动位移反应..yfFfPtfmyfPtsinsintBtB212221I22*P1ytsintB22m12..*2P1ytsintB22m1235Flyt=sintC36EI21*yfPPftsintB212222125ll53123=sinPPt22482EI3EI12Pl32251=1sint22332EI1227Pl31232=sint23EI123Pl1214=sint31283EI3121Pl=sint288EI3121PlB点的动位移幅值为288EI（3）绘制最大动力弯矩图12EI3EI2l2mlm11kk1122M1图M2图33121Pl3EI5Pl12EI281MPlAmax22288EIll36EI963121Pl3EI121MPlCmax2288EI2l192 281Pl96121Pl192最大动力弯矩图10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k。q(t)=qsintmmABEI=∞CD3klll22解：l23ll2..lm..2klm3l329若qt为静力荷载，弹簧中反力为ql。8已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角为坐标。建立动力方程：....3ll3lm3lmlkll2qxdx222320..9..92222mlklqlmkq88121219则弹簧支座的最大动反力为l。281210-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106N24·m，t1＝0.1s，FP0＝8×10N。(a)2000kN4000kN2000kNFP(t)EA=∞EA=∞EI2EIEI6m 解：求排架自振频率，横梁无限刚性，则各排架水平侧移相同。可将排架柱视为三个并联的弹簧。3EI6EI边柱刚度柔数kk中柱k13323hh12EIk并3h62k12610Nm0.645rad/s332m6m800010N2T9.73st0.111数值很小T9.7397.3所以认为当FPt作用结束时，结构位移很小，弹性力忽略不计，于是根据动量守恒原理可得：1514mvFt810v8100.1t11t1223v510m/st1再根据势能守恒得：1mv21ky2181055103211106y2t1maxst22223y0.0077mst16Fyk0.0077101283NQ中st中61FF642NQ边Q中2(b)FP(t)FP0Ott1 10-22设图a所示排架横梁为无限刚性，并有图b所示水平短时动力荷载作用，试求横梁的动位移。(a)FP(t)mEI1=∞EIEIh解：在三角形冲击荷载作用下单自由度体系的质点位移反应可分两个阶段考虑。第一阶段（0tt）：11tytFP0ZsintZdZm0FtZP0sintZdZm0t1FP01sint2tmt11sintystt11Tttyssin22t1Tt1tTsin2Ttys2t1t1求T的过程。6EI2h16EI2h6EI6EIh22hM1图24EIk113h k24EI113mmh32mhT224EI第二阶段（tt）1因为不受外力作用，所以横梁以t时刻的位移和速度为初始值做自由振动。1(b)FP(t)FP0Ot1t10-23设题10-22图a所示刚架m＝4000kg，h＝4m，刚架作水平自由振动时因阻尼引起振幅的对数递减率γ＝0.10。若要求振幅在10秒内衰减到最大振幅的5％，试求刚架柱子的弯曲刚度EI至少为何值。解：（1）求周期数。Yln0.050.05yyenn30000.1m（2）求k：tn2nk2232nm23.14159304.0103k1421.22310N/m22t10n两柱并联12622EIkEI3.7910Nm3h10-24设某单自由度体系在简谐荷载FP(t)=Fsint作用下作有阻尼强迫振动，试问简谐荷载频率分别为何值时，体系的位移响应、速度响应和加速度响应达到最大？解：在简谐荷载FP(t)=Fsint作用下，稳态位移响应可表示为ytAsintF1Aym22st2221422其中：2tan1212 2222（1）使动位移最大，即使最大，从而得出14最小。222222设f12422222f4122422使f0，则12（2）ytAcos(t)1设g222211221242422121如果使速度响应最大，则g最大，设g142，显然要求g1最111小。使：g12220得。2（3）ytAsin(t)21h2221124221242222222114令h12222显然要求h1最小。2112则h1220解的：21210-25结构自振频率的个数取决于何种因素？求解结构自振频率的问题在数学上属于何类问题？10-26试用柔度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。(a)mlEI=常数mll 解：ll2l221l2l2ll22l12M1图M2图31l2l1ll2ll（1）EIf2l2f11112232222324EI31l2lll5lEIf2llf222222322212EIff01221（2）振型方程3l1m2A10A204EI35l10A2mA0112EI2212EI令，频率方程为：32ml30D0010-310010,31212EIEI1.09513310mlml12EIEI22333mlml（3）振型图如下 111第一振型第二振型(b)llll解：P1P1lll22l体系具有两个自由度。先求柔度系数，做出单位弯矩图，由图乘法可得：31121212l11llll2llEI23233EI3112l2l2112l2lEI2326EI32112l2l22l2lEI22326EI得振型方程：3312l12lmAmA03EI216EI2 332l2l1mAmA06EI16EI2213EI令23ml2.4140.707D0.7070.707-由频率方程D=03EIEI3EIEI解得：2.576，1.060133233ml0.4535mlml2.6675mlA2.4142.773A2.4140.358211222，A0.7071A0.70711112(c)m1=mEIEIm2=mk=3lEIllll解：1l11/21/2l/2M1图M2图333l13l5l（1）f，f，ff112212213EI12EI12EI（2）振型方程33l15lm2A1mA203EI12EI335l13l1mA2mA012EI112EI2212EI令，频率方程为：32ml45D0513- 2175225015.227,1.7731212EIEI0.88813315.227mlml12EIEI2.6022331.773mlml81（3）当15.227时，设A1A0.7227111211082当1.773时，设A1A0.62272122210绘出振型图如下：10.622710.7227第一振型第二振型(d)mEI1=∞aEIEI12EI6EIk1=a3k2=3aaa解：112111111a1222a22a2M1图M2图331a11111a11/k1/k26EI22248EI3111a1221/k1/k2/2a2248EI331a11111a22/k1/k26EI22248EI频率方程为： 1mfm111122201fmfm211222213取mmamma,代入整理得：123224448EIaa400其中323am11.045,aa3.6251248EIEI2.08514411.045amam48EIEI3.6392443.625amam振型方程为：1mAmA0111112222a1fmAfmA0211122222将,1Ai1,2代入（a）式中的第一个方程中，得：ii11mama44m21110.23010.22920.1351EIEIA21212ma2a13ma483EI13.62511ma4m2111248EI22.125A222122maa13ma483EI绘出振型图如下：0.13522.125aa11第一振型第二振型(e)maEI=常数amaa 解：1ll2l2lll221M1图M2图1l2M3图333lll（1）f，f，fff11221221332EI2EI6EI（2）振型方程33ll1mAmA00A212326EIEI33ll1mAmA00A122362EIEI3l10A10A2m2A306EI6EI令，频率方程为：32ml310D13-00002- 4,212333EIEI,123332mlml110AAA110123001振型图如下：1111第一振型第二振型1第三振型(f)4mamEI=常数ama解： 111a2a3aM1图M2图M3图（1）1895314333343aa,a,,a,,aa1122332112233231133EI36EI33EIEIEIEI（2）振型方程为：333aaa154mAmAmA40212336EI3EIEI3335a8a1a14mAmAmA40123263EI3EIEI333414aa9a1mAmA12m3A40233EIEIEI6EI令，频率方程为：32ml2532D516-1120828216-231.8,1.936,0.2317123EIEIEI0.161,1.760,5.089132333mamama110A3.469A1.390A0.6871236.6400.2190.05210-27试用刚度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。(a)m1=mEI1=∞lEIEIm2=2mEI1=∞lEIEI 解：6EI6EI6EI6EI2l2l2l2lkk12116EI6EI2ll26EI6EIl2l26EIkk22221l6EI2l6EI6EI22llM1图M2图2424EIEI48EIkkkk,,11211222222lll2324y-24ml0y-2448-2yEIyy7.029,40.97112EIEI2.651,6.4011233mlml11AA,120.7070.707振型图如下：11110.7070.7070.7070.707第一振型第二振型(b)mEAlEAEAl解： k21k22EA01l1k12k11EA02lEAEAl2lF1图F2图EAEA242EAkk1122l2l22lEA22EAkk21212ll24振型方程：4222EAEAmAA044ll1224EA22AEAmA01244ll2ml4令，频率方程为：EA422D02424,42212EA1mlEA1.3062ml1211AA,11(c)mEIEIk=l3EIml解： 3ik11k12l3i1l1kk2221M1图M2图作出附加连杆移动单位位移的弯矩图34iEIkk1123llEIkk12213l34iEIkk2223ll列出频率方程：2kmk11112D02kkm21222解得：23EI13ml25EI23ml结构自振频率分别为：3EI13ml5EI23ml求第一振型：令A1得A11121求第二振型：令A1得A11222结构的振型向量形式为：1211AA,11振型图如下：1111第一振型第二振型(d)EIlEImEI1=∞ll 解：4i3ill2i3il2lk9i2i11k2l12lk21k22M1图M2图15i8ikk12210，k112，k2222ll150yA2ml312列振型方程：*其中y160yA2EI列频率方程并求解：150yDyy015160016-yyy15,1612EIEI2.739,2.8281233mlml求振型11将yA11115,1代入方程组（*）中得：A210，即A020将yA22216,1代入方程组（*）中得：A220，即A1振型图如下：11第一振型第二振型10-28试说明在应用多自由度体系强迫振动的振幅方程（10-66）和（10-71）时，对动力荷载的性质、特点和作用位置分别有何要求？ 10-29试说明为什么可以将惯性力幅值与简谐荷载幅值同时作用在体系上，按静力学方法计算体系的动内力幅值。10-30试求图示结构B点的最大竖向动位移yB(max)，并绘制最大动力弯矩图。设均布简谐荷载频率EIEI，B点处弹性支座的刚度系数k，忽略阻尼的影响。33maaCtaEIsinqmABEIDaa解：1121qaa212qa24M1图M图P画MM,图1p31121115aaafa211EIkEI2232221241111a1a21qa1112222aqaqaaqaqa1pEIkEI24342234244列出方程得：3345aaqaI01124EIEIEI3解得：Iqa1733331113aaqaqaqayBmax72428EIEIEI根据公式MMIM1画出最大动力弯矩图。1p 12qa2132qa28M图10-31图示结构在B点处有水平简谐荷载FP(t)1kNsint作用，试求集中质量处的最大水平位移和EI竖向位移，并绘制最大动力弯矩图。设，忽略阻尼的影响。3mlFsintBCEIm2m22EI22A2m解：作出MM12、图121F22FM1图M2图M图P11213222222211EI23EI3EI1142222112EIEI2112822222EIEI233114F2F221pEI2EI1128F2F222pEI233EI代入惯性力幅值方程： 33244mlFII0123EImEIEIEI3488mlFII012EIEImEI33EI185解得：IKNIKN,121717II12AmmAmm0.941,0.2611222mm将以上求得最大惯性力I、I和动力荷载，同时作用于结构，可得最大动力弯矩图：1236KNm1712KNm17M图10-32图示刚架各横梁为无限刚性，试求横梁处的位移幅值和柱端弯矩幅值。已知m＝100t，l＝5m，EI=5×105kN2·m；简谐荷载幅值F＝30kN，每分钟振动240次；忽略阻尼的影响。m3=mlFsintm2=1.5mlm1=2ml解：k31k32k21k22k11k12 k33k23k1324EI层间刚度设为k，k3lkkkkkkkkk2,k,1122122123323322240n8F=30KNl=5m6060动位移幅值方程为：4824EIEI220mAA3312ll2448EIEI24EI2AmAAF1.5333123lll2424EIEI2AmA03313ll将具体数值代入，解得：AmmA0.1353mmA,0.0926mm,0.271012351212510EIl53底柱柱端弯矩幅值：MAKNm0.13531016.2361133l225512610EIl3中柱柱端弯矩幅值：MAAKNm0.13530.0926105.1242213l25512610EIl3顶柱柱端弯矩幅值：MAKNm0.27101032.52333l2510-33试求图示结构两质量处的最大竖向动位移，并绘制最大动力弯矩图。设m1＝m2＝m，EI2。3mlm1EIEI=常数k=3lm2Fsintll解：该结构有两个自由度，使用刚度法。 kk1211kk2122103EIEIEIk,kkk,k7113122132237lllk的求解过程：113l185l1631116152563237lllllll2EIEI1121631611838961196EIk137l196103EIEIEIkkk1133377lllk的求解过程：221l23211121l左构件lll2EIEI22326216EIk23l267EIEIEIkkk22333lllEI将上述刚度系数，质量值及荷载幅值代入位移幅值方程，并计23ml103EI4EIEIAA0331237lllEI74EIEIAAF31233lll 33FlFl解得：AA0.032,0.34412EIEI最大动力弯矩图0.165FlAB0.137FlCD1.032Fl求解过程：对于AB杆件，相当于在中点作用一集中力196FAk0.032F0.439FAB17对于CD杆件，相当于在中点作用一集中力2FAkFF0.34462.064CD210-34试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想，这一方法是利用了振动体系的何种特性？10-35试用振型分解法计算题10-32。解：2-0kk200m刚度矩阵kkkk-2-质量矩阵Mm01.500-kk00m24EI615其中kNmmKg9610,1103l由刚度矩阵和质量矩阵可得：-0.31150.57740.2639A-0.52780-0.6230-0.6230-0.57740.527811112.11s,30.98ss,45.75123T0.31152000.311511T5m1AMAm0.527801.500.5278m110kg0.62300010.623022T5m2AMAm110kg33T5m3AMAm110kg T0.311501TFAPt1FFttKNPt0.5278sin15.83sin0.62300T0.577402TFAPt2FFtPt0sin00.57740T0.263903TFAPt3FFttKNPt0.6230sin18.695sin0.52780则y应满足方程1t..F2Pt1yy111m1其稳态响应为：315.8310yttmmsin0.3264sin1t25211012.118同理：y02t318.6910yttmmsin0.1279sin3t25211045.758yy11tt-0.31150.057740.26390.32640.1354yAyt-0.52780-0.6230sin0.0926sintmm22ttyy-0.6230.057740.52780.12790.270833tt显然最大位移y0.1354mm1maxy0.0926mm2maxy0.2708mm3max与10-32题的答案基本一致。10-36试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比ξ1＝ξ2＝0.10。解：132430.2143-0.321401刚度矩阵kEIEI质量矩阵Mm8-0.32140.857110431-0.4142得：A0.41421 EI0.28481mEI0.99512m11Tm1AMAm1.171622TmA2MAm1.1716T1T10FAPt1FFtFtPtsin0.4142sin0.41421T0.414202TFAPt2FFtFtPtsinsin11正则坐标y应满足方程：1t...2FPt1yyy2111111m1其稳态响应为：y1Att11sin30.4142101Amm0.8133121.1716m12222142211121tantan110.458710.430112121同理可得：yA2tt22sin31101Amm0.1092221.1716m22222142222222tan112tan0.08130.081122122于是y0.8133sint0.4301mm1ty0.1092sint0.0811mm2ty1t1-0.41420.8133sint0.4301y2t0.414210.1092sint0.08110.8133sintt0.43010.0452sin0.08110.3369sintt0.43010.1092sin0.0811 ytt0.8133sin0.43010.0452sin0.08111t0.8133sincos0.4301ttttsin(0.4301)cos0.0452sincos0.0811sin(0.0811)cos0.6942sin0.3428costt0.7742sintbmm1ymm0.7742（竖直方向）1tmaxytt0.3369sin0.43010.1092sin0.08112t0.3369sincos0.4301ttttsin(0.4301)cos0.1092sincos0.0811sin(0.0811)cos0.4150sin0.1316costt0.4354sintbmm2ymm0.4354（水平方向）2tmax10-37为什么工程上特别关注体系的基本频率和较低的若干个自振频率？当用基于能量原理的近似法求上述自振频率时，所设的位移函数应满足什么条件？如此求得的自振频率的精度取决于什么？它们与精确值之间的关系如何？10-38试用基于能量原理的近似法求图示梁的基本频率。(a)(b)mmmEIEIlll22题10-38图10-39试用瑞利－里兹法求图示变截面悬臂梁的第一和第二自振频率及其相应的主振型。已知梁的截x面厚度为b；高度按直线规律变化，为h(x)h0(1)；设梁单位面积范围内的质量为。设振型函数为lx2xx2Y(x)a1(1)a2(1)。lllyA2，I20)x(A1，I1A1，I14mhhxxl6m题10-39图题10-40图10-40用有限单元法计算图示具有分布质量刚架的第一和第二自振频率及其相应的主振型。已知弹性模量E=2500kN/cm2，材料密度＝0.0025kg/cm3；柱子的横截面面积A241=100cm，惯性矩I1=833.33cm；梁的横截面面积A242=150cm，惯性矩I2=2812.50cm。'