弹性力学基础(程尧舜_同济大学出版社)课后习题答案 38页

'习题解答第二章2.1计算：(1)，(2)，(3)。解：(1);(2);(3)。2.2证明：若，则。证：。2.3设、和是三个矢量，试证明：证：。2.4设、、和是四个矢量，证明：证：。2.5设有矢量。原坐标系绕轴转动角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试求矢量在新坐标系中的分量。解：，，，，，，，，。，37 ，。2.6设有二阶张量。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量在新坐标系中的分量、、和。解：变换系数同上题。，，，。2.7设有个数，对任意阶张量，定义若为阶张量，试证明是阶张量。证：为书写简单起见，取，，则，在新坐标系中，有(a)因为和是张量，所以有比较上式和式(a)，得由于是任意张量，故上式成立的充要条件是即是张量。2.8设为二阶张量，试证明。证：。2.9设为矢量，为二阶张量，试证明：37 (1)，(2)证：(1)。(2)2.10已知张量具有矩阵求的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。解：的对称部分具有矩阵，的反对称部分具有矩阵。和反对称部分对应的轴向矢量为。2.11已知二阶张量的矩阵为求的特征值和特征矢量。解：由上式解得三个特征值为，，。将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三个特征矢量为37 ，，。2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：，其中，和是实数，和是两个相互垂直的单位矢量。解：因为，所以是的特征矢量，是和其对应的特征值。设是和垂直的任意单位矢量，则有所以和垂直的任意单位矢量都是的特征矢量，相应的特征值为，显然是特征方程的重根。令，，则有，上面定义的是相互垂直的单位矢量。张量可以表示成所以，三个特征值是1、0和－1，对应的特征矢量是、和。2.13设和是矢量，证明：(1)(2)证：(1)这一等式的证明过程和书中证明式(2.14)的过程相同，在此略。(2)2.14设，求及其轴向矢量。37 解：由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量。2.15设是一闭曲面，是从原点到任意一点的矢径，试证明：(1)若原点在的外面，积分；(2)若原点在的内部，积分。证：(1)当时，有(b)因为原点在的外面，上式在所围的区域中处处成立，所以由高斯公式得。(2)因为原点在的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为的球面完全在的内部。用表示由和所围的区域，在中式(b)成立，所以即在上，，，于是。2.16设，试计算积分。式中是球面在平面的上面部分.解：用表示圆，即球面和平面的交线。由Stokes公式得37 。第三章3.1设是矢径、是位移，。求，并证明：当时，是一个可逆的二阶张量。解：的行列式就是书中的式(3.2)，当时，这一行列式大于零，所以可逆。3.2设位移场为，这里的是二阶常张量，即和无关。求应变张量、反对称张量及其轴向矢量。解：，，，3.3设位移场为，这里的是二阶常张量，且。请证明：(1)变形前的直线在变形后仍为直线；(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面；(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。证：(1)方向和矢量相同且过矢径为的点的直线方程可以写成(1)其中是可变的参数。变形后的矢径为(2)用点积式(1)的两边，并利用式(2),得上式也是直线方程，所表示的直线和矢量平行，过矢径为的点。所以变形前的直线变形后仍然是直线。37 (2)因为，所以可逆。记，则(3)变形前任意一个平面的方程可以表示成(4)其中是和平面垂直的一个常矢量，是常数。将式(3)代入式(4)，得(5)上式表示的是和矢量垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。(3)变形前两个平行的平面可以表示成，变形后变成，仍是两个平行的平面。3.4在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化；反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。答案：能；能。3.5设位移场为，其中是二阶常张量，和是两个单位矢量，它们之间的夹角为。求变形后的减小量。解：和方向的正应变分别为，用和代替式(3.11)中的和，经整理，得的减小量为又，所以。3.6设和是两个单位矢量，和是两个微小的矢量，变形前它们所张的平行四边形面积为，试用应变张量把变形时它的面积变化率表示出来，其中是面积变形前后的改变量。解：变形后，和变成，对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得37 (a)注意到所以，从式(a)可得利用习题2.4中的等式，上式也可写成3.7设在一个确定的坐标系中的应变分量为，让坐标系绕轴转动角，得一个新的坐标系，求在新坐标系中的应变分量。解：，，，，，，，，。，，，，，3.8在平面上，、、和轴正方向之间的夹角分别为、、，如图3.9所示，这三个方向的正应变分别为、和。求平面上任意方向的相对伸长度。解：在平面中，和方向成角的方向，其方向余弦为37 ，，这一方向的相对伸长度为(a)利用上式，可得，，解之，得，，将求出的、和代回式(a)，得3.9试说明下列应变分量是否可能发生：，，，，，其中和为常数。解：如果列出的应变分量是可能的，则必须满足协调方程。将题中的应变分量代入协调方程(3.34c)，可以发现，必须有。所以当和不为零时，上述应变分量是不可能发生的。3.10确定常数，，，，，，之间的关系，使下列应变分量满足协调方程，，，。解：将所给应变分量代入协调方程，可以得到常数之间的关系如下：，。其它三个常数、、可以是任意的。3.11若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关，试写出位移的一般表达式。37 解：由于应变张量和空间位置无关，所以书中的式(3.36a)简化成其中是任意的刚体平移，是任意的角位移矢量。3.12设，，，，其中，，是常量，求位移的一般表达式。解：所给的应变张量是，很容易验证，且有所以从式(3.36a),得第四章4.1已知物体内一点的六个应力分量为：，，，，，试求法线方向余弦为，，的微分面上的总应力、正应力和剪应力。解：应力矢量的三个分量为，，总应力。正应力。剪应力。4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为和，在这两个面上的应力矢量分别为和，试证。证：利用应力张量的对称性，可得37 。证毕。4.3某点的应力张量为且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求及该平面的单位法向矢量。解：设要求的单位法向矢量为，则按题意有即，，(a)上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得上式有两个解：或。若，则代入式(a)中的三个式子，可得，这是不可能的。所以必有。将代入式(a)，利用，可求得。4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分量，满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数、和。解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们满足平衡方程。在的边界上，有边界条件，所给的应力分量自动满足上面的第二个条件。将37 的表达式代入上面的第一个条件，得(1)在上斜面上，有，所以斜面上的应力分量可以简化成，，，(2)斜面上的外法向方向余弦为，，(3)将式(2)和(3)代入边界条件，得(4)联立求解(1)和(4)，得，，4.5图4.9表示一三角形水坝，已求得应力分量为，，，，和分别是坝身和水的比重。求常数、、、，使上述应力分量满足边界条件。解：在的边界上，有边界条件，将题中的应力分量代入上面两式，可解得：，。在左侧的斜面上，，外法向方向余弦为，，把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件，可解得：，。4.6物体的表面由确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷，试写出其边界条件。解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为37 或按题意，边界条件为因此即上式的指标形式为。4.7如图4.10所示，半径为的球体，一半沉浸在密度为的液体内，试写出该球的全部边界条件。解：球面的外法向单位矢量为或当时，有边界条件即或。当时，球面上的压力为，其中为重力加速度，边界条件为即或。4.8物体的应力状态为，其中为矢径的函数。(1)证明物体所受的体积力是有势力，即存在一个函数，使；(2)写出物体表面上的面力表达式。解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以所以，只要令，就有。(2)表面上的面力为或。37 4.9已知六个应力分量中的，求应力张量的不变量并导出主应力公式。解：应力张量的三个不变量为：，，。特征方程是上式的三个根即三个主应力为和4.10已知三个主应力为、和，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三角形，其法向单位矢量为，，求八面体各个面上的正应力和剪应力。解：，，，。4.11某点的应力分量为，，求：(1)过此点法向为的面上的正应力和剪应力；(2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。解：(1)，。正应力为。剪应力为。由此可知，是主应力，是和其对应的主方向。(2)用表示主应力，则37 所以，三个主应力是，。由上面的结论可知，和对应的主方向是，又因为是重根，所以和垂直的任何方向都是主方向。第五章5.1把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为，试写出柔度系数张量的具体表达式。解：所以。5.2橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力作用，如图5.2所示。设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。试求铁盒内侧面所受的压力、橡皮块的体积应变和橡皮中的最大剪应力。解：取压力的方向为的方向，和其垂直的两个相互垂直的方向为、的方向。按题意有，，由胡克定律得所以盒内侧面的压力为37 体积应变为最大剪应力为。5.3证明：对线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是一致的。非各向同性体是否具有这样的性质？试举例说明。解：对各向同性材料，设是应力的主方向，是相应的主应力，则(1)各向同性的胡克定律是将上式代入式(1)，得，即由此可知，也是应变的主方向。类似地可证，应变主方向也是应力主方向。因此，应力主方向和应变主方向一致。下面假定材料性质具有一个对称面。设所取的坐标系是应变主坐标系，且材料性质关于平面对称。因为，所以从式(5.14)得若应变主坐标系也是应力主坐标系，则，即上式只能在特殊的应变状态下才能成立。总之，对各向异性材料，应力主方向和应变主方向不一定相同。5.4对各向同性材料，试写出应力不变量和应变不变量之间的关系。解：由式(5.17)可得主应力和主应变之间的关系(1)从上式得(2)37 （3）(4)式(2)、(3)、(4)就是用应变不变量表示应力不变量的关系。也容易得到用应力不变量表示应变不变量的关系。第六章6.1为什么同时以应力、应变和位移15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足的？解：因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程自动满足。6.2设其中、、、为调和函数，问常数为何值时，上述的为无体力弹性力学的位移场。解：同理。由上面两式及和是调和函数可得(1)因、、、为调和函数，所以(2)将式(1)、(2)代入无体力的Lamé-Navier方程，得上式成立的条件是即。6.3已知弹性体的应力场为37 ，，，，。(1)求此弹性力学问题的体力场；(2)本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力场。解：(1)将所给的应力分量代入平衡方程，就可以得到体力场为。(2)所给的应力分量和已求出的体积力满足Beltrami-Michell应力协调方程，所以给出的应力分量是弹性力学问题的应力场。6.4证明下述Betti互易公式，其中、、和、、分别为同一弹性体上的两组面力、体力和位移。证：利用平衡方程、几何方程和弹性模量张量的对称性，可得。证毕。6.5如果体积力为零，试验证下述(Papkovich-Neuber)位移满足平衡方程其中，。证：无体力的Lamé-Navier方程为又，所以Lamé-Navier方程可以写成将所给的位移代入上式的左边，并利用，可得37 因为和是调和的，所以上式为零，即所给位移满足平衡方程。6.6设有受纯弯的等截面直杆，取杆的形心轴为轴，弯矩所在的主平面为平面。试证下述位移分量是该问题的解。提示：在杆的端面上，按圣维南原理，已知面力的边界条件可以放松为，，其中是杆的横截面。证：容易验证所给的位移分量满足无体力时的Lamé-Navier方程。用所给的位移可以求出应变，然后用胡克定律可以求出应力：，其它应力分量为零。(a)上述应力分量满足杆侧面无面力的边界条件。杆端面的边界条件为，，，式(a)表示的应力分量满足上述端面条件。所以，所给的位移分量是受纯弯直杆的解。6.7图6.6表示一矩形板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压，求应力和位移。解：显然板中的应力状态是均匀的。容易验证下述应力分量37 ，，满足平衡方程、协调方程和边界条件，即是本问题的解。由胡克定律可求得应变为利用题3.11的结果，可求得位移为6.8弹性半空间，比重为，边界上作用有均布压力，设在处，求位移和应力。解：由问题的对称性，可以假设，把上述位移分量代入Lamé-Navier方程，可以发现有两个自动满足，余下的一个变成解之得其中的、是待定常数。由已知条件得所以应力分量为，，。在边界上的边界条件为：，，。前两个条件自动满足，最后一个成为37 即所以最后得，；，，。6.9设一等截面杆受轴向拉力作用，杆的横截面积为，求应力分量和位移分量。设轴和杆的轴线重合，原点取在杆长的一半处；并设在原点处，，且。答案：，；，，。6.10当体力为零时，应力分量为，，，，，式中，。试检查它们是否可能发生。解：所给应力分量满足平衡方程，但不满足协调方程，故不可能发生。6.11图6.7所示的矩形截面长杆偏心受压，压力为，偏心距为，杆的横截面积为，求应力分量。解：根据杆的受力特点，假设，其中、是待定的常数。上述应力分量满足无体力时的平衡方程和协调方程，也满足杆侧面的边界条件。按圣维南原理，杆端的边界条件可以放松为，，，前面两个条件自动满足，将应力分量代入后两个条件，可求得，，其中。37 所以，得最后的应力分量为，。6.12长方形板，厚度为，两对边分别受均布的弯矩和作用，如图6.8所示。验证应力分量，，是否是该问题的弹性力学空间问题的解答。解：所给应力分量满足无体力的平衡方程和协调(Beltrami-Michell)方程，也满足板面上无面力的边界条件。板边上的边界条件可以放松为，，，容易验证应力分量满足上述条件。同样可以说明应力分量满足板边、、上的边界条件。所以，所给的应力分量是所提空间问题的解答。第七章7.1在常体力的情况下，为什么说平面问题中应力函数应满足的方程表示协调条件？解：在无体力的情况，不管是平面应力问题还是平面应变问题，用应力表示的协调方程都是若把用应力函数表示的应力，即、代入上式，就可以得到所以，上式就是用应力函数表示的协调条件。37 7.3设有任意形状的等厚度博板，不计体力，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力，求板中的应力分量。答案：，。7.4图7.5所示悬壁梁受均布载荷作用，求应力分量。提示：假定和无关。解：假定和无关，即，于是有积分两次，得(1)其中和是的待定函数。将应力函数代入双调和方程，得上式对任意成立的充要条件是，，(2)解上面的前两式，得，中略去了不影响应力的常数项。由式(2)中的第三个方程，得所以，有在上式中略去了不影响应力的常数项和线性项。将求出的函数、和代入式(1)，得应力分量为37 本问题的边界条件是：，(3)，(4)(5),(6)由条件(5)可求得，，由条件(3)和(4)可以求得，，，将求得的常数代入应力分量表达式，得(7)由条件(6)中的第一个条件可以求得，由(6)中的第二个条件可以求得最后的应力分量为其中，是截面的惯性矩。37 7.5图7.6所示的简支梁只受重力作用，梁的密度为，重力加速度为，，求应力分量。提示：假定和无关。解：假设即经过和上题类似的运算，可以得到和上题相同的应力函数应力分量为由对称性可知，，所以，由此得，，在梁的任意截面上，方向的合力为零，即故有，利用上面求得的结果，应力分量的表达式简化为在梁的端部有条件在梁的上下表面上有条件，将应力分量表达式代入上述条件，可以求得37 ，，，最后的应力分量为，。7.6设有矩形截面的竖柱，其密度为，在一边侧面上受均布剪力，见图7.7，求应力分量。提示：假设或。解：设，积分得把上式代入双调和方程，得因而有，所以，在和的表达式中略去了不影响应力分量的项。应力函数为应力分量为边界条件是，，，把应力分量的表达式代入上述条件，可以求得37 ，，，，最后的应力分量为，，。7.7图7.8表示一挡水墙，墙体的密度为，，水的密度为，，求应力分量。提示：设。解：设，积分两次，得将上式代入双调和方程，得上式成立的充要条件是，，解上述三个方程，得在上面的三个函数中，已略去了不影响应力分量的项。应力函数为应力分量为37 边界条件为，，，，把应力分量的表达式代入上述条件，可以求得，，，，，，，，应力分量为7.8图7.9所示的三角形悬壁梁只受重力作用，梁的密度为，求应力分量。提示：设该问题有代数多项式解，用量纲分析法确定应力函数的幂次。解：应力与外载荷(即体力)成比例，所以任意一个应力分量都可以表示成如下形式应力的量纲是[力][长度]－2，的量纲是[力][长度]－3，和的量纲是[长度]，是无量纲的，所以若是多项式，则必是一个和的齐一次表达式。应力函数应是比高两次的多项式，故有37 应力分量的表达式为在的边界上，有，由上面两式得在斜面上，有，，，斜面上的边界条件为由此得，故，。把求出的常数代回应力分量的表达式，得，，。第八章8.1对平面应变问题，试证明极坐标形式的应变协调方程为证：在极坐标系中，有37 所以协调方程是即或。证毕。8.3在内半径为、外半径为的圆筒外面套以内半径为的刚性圆筒，内筒的内壁受压力作用，如图8.17所示，求应力分量和位移分量。注：按平面应力问题求解。解：这是一个整环的轴对称问题，应力分量可以表示成如下形式，，若不计刚体位移，则位移分量的表达式为，边界条件为将和的表达式代入上面两个条件，可以求得，将求出的常数代入应力和位移的表达式，得，，37 8.4设有一块内半径为、外半径为的薄圆环板，内壁固定、外壁受均布剪力作用，如图8.18所示，求应力和位移。解：由对称性可知，极坐标系中的应力分量和无关。平衡方程(8.8)中的第二式简化成解之得由边界条件得即所以。平衡方程(8.8)中的第一式和应力协调方程简化成，这是齐次方程组，有特解，这一特解满足边界条件。所以应力分量的解是，，。利用胡克定律，得，，由于对称性，位移分量和也和无关，所以几何关系简化成，，上面前两式的解是，第三式的通解是由边界条件可以确定常数，所以位移分量的解是37 ，。解法二：根据对称性，可知、和无关。利用胡克定律和几何关系，可得，，。把上述表达式代入平衡方程，得，由此解得，利用边界条件可以确定常数、、、。8.5图8.19表示一尖劈，其一侧面受均布压力作用，求应力分量、和。提示：用量纲分析法确定应力函数的形式。解：任意一个应力分量都可以表示成，应力和有相同的量纲，所以应是无量纲的。根据应力和应力函数之间的关系可知，应力函数应该是的两次表达式，即将上式代入双调和方程，得解出上式的解后，可得应力函数应力分量为边界条件为，，，37 把应力分量的表达式代入上面的四个条件，可以求出常数、、和。最后的应力分量为8.6图8.20所示的是受纯剪的薄板。如果离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。解：无孔时板中的应力分量为，在极坐标系中的应力分量为，，假定小圆孔的半径为。由于孔的半径很小，且远离板边，所以孔的存在只会引起孔附近应力场的变化，因此这一问题的边值问题可以写成根据边界条件和应力与应力函数之间的关系，设应力函数有如下形式(a)将上式代入双调和方程，可以得到把上式的解代入式(a)，得所以有把上述应力分量的表达式代入边值问题中的边界条件，可以求得37 ，，，将求出的常数代入应力分量的表达式，得在孔边上，有，因此最大正应力是，最小正应力是。解法二：将直角坐标系转动，得一新的坐标系。无孔时，在新的坐标系中有，，。这一问题可以看成是方向受拉问题和方向受压问题的叠加，所以可以利用书中§8.7的结果和叠加原理求解。在孔边上，有，。8.7楔形体在侧面上受有均布剪力，如图8.21所示，求应力分量。提示：用量纲分析法确定应力函数的形式，或假定和无关。解：用完全和题8.4中的分析方法相同的方法，可得边界条件为，，，将应力分量的表达式代入上面的条件，可以求出，，，所以，有，，。8.8在弹性半平面的表面上受个法向集中力构成的力系作用，这些力到原点的距离为37 ，如图8.22所示，求应力分量。解：利用§8.10中的式(8.32)和叠加原理，即可得到本题的应力分量，，第九章9.1设和分别是扭转函数和Prandtl应力函数，试说明方程和所表示的物理意义。解:方程是用扭转函数表示的平衡方程；方程是用应力函数表示的协调方程。9.2求图9.11所示等边三角形截面杆扭转问题的应力分量、最大剪应力和抗扭刚度。提示：设应力函数为。解：在图9.11中所取的坐标系中，三角形的三条边的直线方程是，，所以猜测Prandtl应力函数为上式满足在截面边界上为零的条件。应力函数还应该满足方程，将的表达式代入，可以求得，所以，，37 最大剪应力出现在截面的边界上。由于对称性，出现在每条边上的最大剪应力应该相等，所以只要求这条边上的最大剪应力就可以了，在这条边上，有，因此最大剪应力为。9.3半径为的圆截面扭杆有半径为的圆弧槽，且，如图9.12所示。求应力分量、最大剪应力以及抗扭刚度。提示：两条圆弧的方程是和。设应力函数为。解：两条圆弧的方程是和，所以猜测应力函数为上式在截面边界上为零。将上式代入方程，可知应取，因此用表示整个大圆的区域，则和的面积差小于。应力分量为在小圆上，有，；(1)在大圆上，有37 ，(2)由(1)和(2)式可知，最大剪应力发生在小圆的处，其绝对值为。9.4已知截面边界为椭圆的杆，扭转刚度为，求上述边界与椭圆()所围成的空心截面杆的扭转刚度。解：大椭圆所围区域用表示，小椭圆所围区域用，截面用表示，。在中定义函数(1)容易验证上式满足方程，也满足条件和常数又即所以式(1)定义的函数是本问题的应力函数。因为在上，，所以根据已知条件，有37 。解法二：横截面为大椭圆的实心杆扭转时，因为小椭圆是应力函数的等值线，所以与小椭圆对应的材料和外部材料之间没有相互作用力，这相当于两根独立的杆件在一起扭转，因此有。9.5一闭口薄壁杆具有图9.13所示的横截面，壁厚是常数。试证明：杆扭转时中间腹壁上无剪应力；并导出用扭矩表示的远离角点处的应力公式和单位长度的扭转角。解：应力函数在外边界上的值为零，在左内边界上的值为，在右内边界上的值为。由于壁很薄，由书中的式(9.17)可以近似地得到，。解上面的方程组，得对本问题的薄壁杆，近似地有所以左右薄壁上的剪应力为，中间腹壁上的。37'