信号与线性系统 第二章 (潘双来 著) 清华大学出版社 课后答案 7页

'课后答案网：www.hackshp.cn课后答案网您最真诚的朋友www.hackshp.cn网团队竭诚为学生服务，免费提供各门课后答案，不用积分，甚至不用注册，旨在为广大学生提供自主学习的平台！课后答案网：www.hackshp.cn视频教程网：www.efanjy.comPPT课件网：www.ppthouse.com课后答案网www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn第二章作业及答案⎡06⎤At2.1用三种方法计算下列矩阵A的矩阵指数函数e。1）A=⎢⎥；⎣−1−5⎦解：At（1）用定义计算eAt122133e=+IAt+At+At+⋯2!3!⎡10⎤⎡06⎤1⎡-6-30⎤21⎡30114⎤3=⎢⎥＋⎢⎥t+⎢⎥t+⎢⎥t+⋯⎣01⎦⎣−1−5⎦2⎣519⎦3!⎣-19-65⎦2323⎡13−t+5t+⋯6t−15t+19t+⋯⎤⎢⎥=⎢−+52−193+−+192+653+⎥ttt⋯15ttt⋯⎢⎣2626⎥⎦At（2）拉氏变换法计算e（注意求逆伴随矩阵计算能力）At−1−1e=L[(sI−A)]−1⎡s−6⎤−1=L⎢⎥⎣1s+5⎦⎡s+56⎤⎢⎥1⎡s+56⎤(s3)(+s+2)(s3)(+s+2)=−1=−1⎢⎥L⎢⎥Lss(+5)6+⎣−1s⎦⎢−1s⎥⎢⎥课后答案网⎣(s3)(+s+2)(s3)(+s+2)⎦⎡3266⎤−−⎢⎥=L−1⎢s+2s+3s+2s+3⎥⎢1132⎥−−⎣⎢s+3s+www.hackshp.cn2s+3s+2⎥⎦−2t−3t−2t−3t⎡3e−2e6e−6e⎤=⎢⎥−3t−2t−3t−2t⎣e−e3e−2e⎦At（3）待定系数法（凯莱－哈密尔顿Cayley-Hamilton法）计算e∵2λI−A=λ+5λ+6∴λ1=−3,λ2=−2At2n−1e=α()tI+α(t)A+α(t)A+⋯+α(t)A，根据凯莱－哈密尔顿定理，有012n−1eλit=α()t+α(t)λ+α(t)λ2+⋯+α(t)λn−1（注意：书上p42-43错！α后不01i2in−10应乘以I）1若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn−3te=α()t+α()(3)t−01−2te=α()t+α()(2)t−01−2t−3t−2t−3t解之得α()t=3e−2e，α()t=e−e01Ate=α()tI+α()tA01−2t−3t−2t−3t⎡3e−2e6e−6e⎤=⎢⎥−3t−2t−3t−2t⎣e−e3e−2e⎦At（4）非奇异变换法（对角、约旦标准形法）计算e⎡λ1t⎤AtPAP−1−1⎢⎥−1e=PeP=P⋱P⎢⎥⎢⎣λt⎥⎦n∵2λI−A=λ+5λ+6∴λ1=−3,λ2=−2⎡p11⎤当λ1=−3时，求A的特征向量p1=⎢⎥p⎣12⎦⎡λ−6⎤⎡p⎤⎡−3−6⎤⎡p⎤1111(IA)pλ−=⇒0⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥=01⎣1λ+5⎦⎣p⎦⎣12⎦⎣p⎦1212⎧−3p−6p=0⎡−2⎤1112−1∴⎨⇒p=⎢⎥（注意，p1不唯一，但最终求得的PAP唯一）1⎩p+2p=0⎣1⎦1112课后答案网⎡p21⎤当λ=−2时，求A的特征向量p=⎢⎥2p⎣22⎦⎡λ−6⎤⎡p⎤⎡−2−6⎤⎡p⎤22121(IA)pλ−=⇒0⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥=021⎣1λ+5⎦⎣p⎦⎣13⎦⎣p⎦www.hackshp.cn22222⎧−2p−6p=0⎡−3⎤1112∴⎨⇒p=⎢⎥（同样，p2不唯一）2⎩p+3p=0⎣1⎦1112⎡−2−3⎤∴=P[p1p2=]⎢⎥⎣11⎦⎡1−3⎤⎡-13⎤−1∴P=−⎢⎥=⎢⎥⎣-12⎦⎣1-2⎦2若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnAtPAP−1−1⎡λ1t0⎤−1e=PeP=P⎢⎥P0λt⎣2⎦−2t−3t−2t−3t⎡−2−3⎤⎡−3t0⎤⎡-13⎤⎡3e−2e6e−6e⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥−3t−2t−3t−2t⎣11⎦⎣0−2t⎦⎣1-2⎦⎣e−e3e−2e⎦⎡λ1t⎤⎢⎥（注意：P中一列对应的特征向量应与⋱相对应）⎢⎥⎢⎣λt⎥⎦n⎡01⎤⎡1⎤ẋ=⎢⎥x+⎢⎥u2.3已知系统方程如下，⎣−6−5⎦⎣0⎦，求输入和初值为以下值时的状态响应和y=[1−1x]⎡1⎤输出响应。3）u(t)=1(t),x(0)=⎢⎥⎣1⎦At解：首先求状态转移矩阵，采用拉氏变换法求取e，则At−1−1e=L[(sI−A)]−2t−3t−2t−3t（注意：该题eAt与上题不一致）⎡3e−2ee−e⎤=⎢⎥−2t−3t−3t−2t⎣−6e+6e3e−2e⎦t本题中，t=0，因此，根据公式xt()=eA(tt)−0x+eAt(−τ)bu()ττd得（注意：书上p470t∫0t0错！积分项e的次幂应该没有负号课后答案网）tAt−At(−τ)xt()=ex+ebu()ττd0∫0⎡1⎤当u(t)=1(t),x(0)=⎢⎥时www.hackshp.cn⎣1⎦tAtAt(−τ)xt()=ex+ebu()ττd0∫0−2t−3t−2t−3t−2(t−τ)−3(t−τ)−2(t−τ)−3(t−τ)⎡3e−2ee−e⎤⎡⎤1t⎡3e−2ee−e⎤⎡⎤1=⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥××1dτ−2t−3t−2t−2t∫0−2(t−τ)−3(t−τ)−3(t−τ)−2(t−τ)⎣−6e+6e−2e+3e⎦⎣⎦1⎣−6e+6e3e−2e⎦⎣⎦0−2t−3tt−2(t−τ)−3(t−τ)⎡4e−3e⎤⎡3e−2e⎤=⎢−2t−3t⎥+∫⎢−2(t−τ)−3(t−τ)⎥dτ⎣−8e+9e⎦⎣−6e+6e⎦0t⎡⎤−2(t−τ)−3(t−τ)⎢∫(3e−2e)dτ⎥−2t−3t⎡4e−3e⎤⎢0⎥=⎢⎥+−8e−2t+9e−3t⎢t⎥⎣⎦−2(t−τ)−3(t−τ)⎢∫(6−e+6e)dτ⎥⎣⎢0⎥⎦3若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnt⎡⎤−2t2τ−3t3τ⎢∫(3e⋅e−2e⋅e)dτ⎥−2t−3t⎡4e−3e⎤⎢0⎥=⎢⎥+−8e−2t+9e−3t⎢t⎥⎣⎦−2t2τ−3t3τ⎢∫(-6e⋅e+6e⋅e)dτ⎥⎢⎣0⎥⎦⎡⎤−2t12τ−3t13τ⎢(3e⋅e−2e⋅e)⎥t⎡4e−2t−3e−3t⎤⎢23τ=0⎥=⎢⎥+⎢⎥−2t−3t⎣−8e+9e⎦⎢11⎥−2t2τ−3t3τ⎢(-6e⋅e+6e⋅e)t⎥⎢⎣23τ=⎦⎥0⎡−2t12t−3t13t−2t1−3t1⎤⎡4e−2t−3e−3t⎤⎢(3e⋅2e−2e⋅3e)(3−e⋅−22e⋅3)⎥=⎢⎥+⎢⎥−2t−3t⎣−8e+9e⎦⎢−2t12t−3t13t−2t1−3t1⎥(-6e⋅e+6e⋅e)(-6−e⋅+6e⋅)⎣⎢2323⎥⎦−2t−3t⎡323−2t2−3t⎤⎡4e−3e⎤(−)(−e−e)=⎢⎥+⎢2323⎥−2t−3t⎢⎥⎣−8e+9e⎦−2t−3t⎣(-32)+−(-3e+2e)⎦−2t−3t⎡53−2t2−3t⎤⎡4e−3e⎤−e+e=+⎢⎥⎢−−2t+−3t⎥⎢623⎥⎣8e9e⎦−1+3e−2t-2e−3t⎣⎦⎡55−2t7−3t⎤+e−e=⎢⎥623⎢−2t课后答案网−3t⎥⎣−1-5e+7e⎦1115−2t28−3tyt()=[1−1()xt]=+e−e（注意计算能力）623www.hackshp.cn−2t⎡1⎤⎡e⎤x()0=⎢⎥时x()t=⎢−2t⎥⎣−1⎦⎣−e⎦2.5对线性定常系统ẋ=Ax()t，已知−t⎡2⎤⎡2e⎤x()0=⎢⎥时x()t=⎢−t⎥⎣−1⎦⎣−e⎦求系统矩阵A。t解：本题中，t=0，b=0，根据公式xt()=eA(tt)−0x+eAt(−τ)bu()ττd0t∫0t0At得xt()=ex(0)因此，根据已知条件，可以写出下列方程4若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn−2t−t⎡e2e⎤⎡12⎤At⎢⎥=e⎢⎥−2t−t⎣−e-e⎦⎣−1−1⎦⎡e−2t2e−t⎤⎡12⎤−1⎡2e−t−e−2t2e−t−2e−2t⎤At∴e=⎢⎥⎢⎥=⎢⎥−2t−t−t−2t−t−2t⎣−e-e⎦⎣−1−1⎦⎣-e+e-e+2e⎦dAtAt∵线性定常系统有Φ−̇(tt)=A(tΦ−t)，Φ(t−t)=I（可由(e)=Ae证出）0000dtdAt⎡02⎤∴A=e=⎢⎥t=0dt0⎣−1−3⎦T2.7给定系统ẋ=At)(x和其伴随方程ż=−A(t)z，其状态转移矩阵分别用Φ(,tt)和0TΦ(,tt)表示，证明：Φ(,tt)Φ(,tt)=I。z00z0证明：−1Φ(tt,0Φ)tt,(0=)I由⇒Φ(tt,Φ)tt(,=I)−100Φ(tt,0)=Φtt0(,)对t求导：Φ̇(tt,Φ)tt(,+Φ)tt,(Φ̇tt,)=(0)0000根据定义2.2（书上p48）：线性时变系统Φ满足Φ̇(t,t)=A(t)(t,t)Φ、Φ(t,t)=I0000⇒At()Φtt(,Φ)tt,(+Φ)tt,Φ̇(tt,=)0()0课后答案网000⇒At()+Φtt,(Φ̇)tt,(=0)00−1⇒Φ̇(tt,=−Φ)tt,(At=−Φ)()ttAt,()()000TTwww.hackshp.cnT⇒Φ̇(tt,)=−AtΦ()tt,()00TT又因为Φ(tt,=)I，根据Ż=−A()tZ可得00TTΦ̇(tt0,是)ż=−A(t)z的状态转移矩阵TT即：Φ(t,t)=Φt,t(得：)Φ(t,t=Φ)t,t()Z00Z00T所以Φ(tt,Φ)tt,(=Φ)tt,Φ(tt,)=I()0Z000注意：该题证明利用的是线性时变系统Φ满足Φ̇(t,t)=A(t)(t,t)Φ、Φ(t,t)=I以0000及状态转移矩阵的性质，传递性、反逆性。5若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn2.10已知如下离散时间系统，试求u(k)，使系统能在第二个采样时刻转移到原点。⎡15.0⎤⎡3.0⎤⎡⎤1x(k+1)=⎢⎥x(k)+⎢⎥u(k)，x(0)=⎢⎥（注意：书上没给x（0），应给出）⎣01.0⎦⎣4.0⎦⎣⎦1解：⎡10.5⎤⎡0.3⎤⎡1.5⎤⎡0.3⎤x(1)=⎢⎥x(0)+⎢⎥u(0)=⎢⎥⎢+⎥u(0)⎣00.1⎦⎣0.4⎦⎣0.1⎦⎣0.4⎦⎡10.5⎤⎡0.3⎤⎡⎤0⎡10.5⎤⎡⎛1.5⎤⎡0.3⎤⎞⎡0.3⎤x(2)=⎢⎥x(1)+⎢⎥u(1)=⎢⎥=⎢⎥⎢⎜⎥⎢+⎥u(0)⎟+⎢⎥u(1)⎣00.1⎦⎣0.4⎦⎣⎦0⎣00.1⎦⎣⎝0.1⎦⎣0.4⎦⎠⎣0.4⎦⎡1.550.5u(0)++0.3u(1)⎤⎡⎤0=⎢⎥=⎢⎥⎣0.010.04u(0)0.4u(1)++⎦⎣⎦0解上述方程，得：u(0)=−3.28;u(1)=0.303（注意：x（0）不同，求得的u也不同。⎡⎤1若已知条件设为x(0)=⎢⎥⎣⎦241737则u(0)=−4.436;u(1)=0.393，或者u(0)=−;u(1)=）9494课后答案网www.hackshp.cn6若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn'