信号与线性系统 第二版 (阎鸿森 著) 西安交通大学出版社 课后答案 258页

'第二章习题答案2.1(1)已知连续时间信号x()t如图P2.1(a)所示。试画出下列各信号的波形图，并加以标注。(a)xt(2)(b)x(1t)(c)xt(22)(2)khdaw.com根据图P2.1(b)所示的信号ht()，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。(a)ht(3)t(b)h(2)2(c)ht(12)(3)根据图P2.1(a)和(b)所示的x()t和ht()，画出下列各信号的波形图，并加以标注。(a)x()()tht(b)xt(1)(ht1)t课后答案网(c)xh(2)(t4)2www.hackshp.cn图P2.1解：(1)各信号波形如下图所示：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com xt(2)x(1t)xt(22)2221111tt2t012352012210111(a)(b)(c)(2)各信号波形如下图所示：tht(3)h(2)ht(12)2111ttt5432100024681113khdaw.com222(a)(b)(c)(3)各信号波形如下图所示：tx()()thtxt(1)(ht1)x(2)2222111tt2t101210012246(a)(b)xth(2/2)(t4)0(c)课后答案网2.2已知信号x(52)t的波形图如图P2.2所示，试画出x()t的波形图，并加以标注。x(52)twww.hackshp.cn1t01325322图P2.2解：波形如下图所示：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com x(52)tx(5t)x()tx(5t)1111tttt01325301234566543210012222.3(1)已知离散时间信号x()n如图P2.3(a)所示，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。(a)x(4n)(b)khdaw.comxn(21)nx(),n(c)xnˆ()30,其他n(2)对图P2.3(b)所示的信号hn()，试画出下列个信号的波形，并加以标注。(a)hn(2)(b)hn(2)(c)hn(2)(1hn)(3)根据图P2.3(a)和(b)课后答案网所示的x()n和hn()，画出下列各信号的波形图，并加以标注。(a)x(2nhn)(12)(b)xn(1)(hn4)www.hackshp.cn(c)xn(1)(3hn)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com hn()32x()n211112241101234n01234n112(a)3(b)22图P2.3解：(1)各信号波形图如下图所示：khdaw.comx(4n)11/2n210123456(a)xˆ()nxn(21)11nn21001122331(b)(c)(2)各信号波形图如下图所示：课后答案网www.hackshp.cnhn(2)(1)hn1/263n54321012(c)22(3)各信号波形如下图所示：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com x(2nhn)(12)x(1nhn)(4)23/23/211/2nn1/41210101231/23/4(a)(b)xn(1)(3hn)1/210123n45671/21khdaw.com(c)3/22.4画出图P2.4所给各信号的奇部和偶部。xt()xt()1100112t21t(a)(b)课后答案网www.hackshp.cn图P2.4解：(a)Euxt()dx()t1122t21t2100112212(b)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com Euxt()dx()t1112t22t21011221012(c)11xe()nxo()nnn4321210112233440khdaw.com1(d)3/2x()n3/2x()neo11/21/21/21/21/2nn321012301/21/21/21/21/23/22.5已知x()n如图P2.5所示，设：ynxn()(2)1课后答案网x(/2),nn偶yn()20,n奇画出y()n和y()n的波形图。12www.hackshp.cnxn()214101234n图P2.5解：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 2.6判断下列说法是否正确？如果正确，则求出每个信号基波周期之前的关系，如果不正确，则举出一个反例。(1)(a)若x()t是周期的，则x(2)t也是周期的。(b)若x(2)t是周期的，则x()t也是周期的。khdaw.com(c)若x()t是周期的，则x(/2)t也是周期的。(d)若x(/2)t是周期的，则x()t也是周期的。x(/2),nn偶(2)定义ynxnyn()(2),()120,n奇(a)若x()n是周期的，则y()n也是周期的。1(b)若y()n是周期的，则x()n也是周期的。1(c)若x()n是周期的，则y()n也是周期的。2(d)若y()n是周期的，则x()n也是周期的。2课后答案网解：(1)(a)正确。若x()t的周期为T，则x(2)t的周期为T/2。(b)正确。若x(2)t的周期为T，则x()t的周期为2T。www.hackshp.cn(c)正确。若x()t的周期为T，则x(/2)t的周期为2T。(d)正确。若x(/2)t的周期为T，则x()t的周期为T/2。x(/2),nn偶(2)由ynxnyn()(2),()120,n奇(a)正确。设x()n的周期为N。如果N为偶数，则y()n的周期为N/2；如果N1为奇数，则必须有22NN，才能保证周期性，此时y()n的周期为NN。010n(b)不正确。设x()ngnh()()n，其中gn()sin，对所有n，khdaw.com4若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com n1,n奇hn()3显然x()n是非周期的，但y()n是周期的。10,n偶(c)正确。若x()n的周期为N，则y()n的周期为2N。2(d)正确。若y()n的周期为N，则N只能是偶数。x()n的周期为N/2。22.7判断下列各信号是否是周期信号，如果是周期信号，求出它的基波周期。(a)xt()2cos(3t/4)(b)xn()cos(8/72)njt(1)jn(/8)(c)xt()e(d)xn()ekhdaw.com(e)x()nn(3)m(13)nmm0(f)x()cos2ttu()t(g)xn()cos(/4)cos(nn/4)(h)x()tEcos2tu()t(i)x()tEcos(2t/4)u()tvv(j)xn()2cos(n/4)sin(n/8)2sin(n/2/6)2解：(a)xt()2cos(3t/4)，周期信号，T。38(b)xn()cos(8/72)n，周期信号，，N707jt(1)课后答案网(c)xt()e，周期信号，T2。jn(/8)(d)xn()e，非周期信号，因为/2是无理数。0www.hackshp.cn(e)x()nn(3)m(13)nm，设周期为N，则有mx()nN(3nNm)(1nN3m)，令N3k，（k为整数）m则x(3nk)nmk3()n13()mk，令mkl则有mx(3)nknl3n13l显然，x()n是周期信号，其周期为mN3。(f)x()cos2ttu()t，非周期信号。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com n(g)cos是非周期的，x()n是非周期信号。41(h)x()tEcos2tu()t(cos2)tu()(cos2)ttut()，周期的，周期v2T1。(i)x()tEcos(2t/4)u()t，非周期信号。vnnn(j)x()n是周期信号，其周期就是cos、sin和sin的公共周期。4826周期为N16。2.8(a)设x()t和yt()都是周期信号，其基波周期分别为T和T。在什么条件下，和式khdaw.com12x()ty()t是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？(b)设x()n和yn()都是周期信号，其基波周期分别为N和N。在什么条件下，和式12x()ny()n是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？解：(a)x()t，yt()是周期的，x()(tkTxt)，y()(tkTyt)12令f()tx()ty()t，欲使f()t是周期的，必须有stT()()()(xtTytTxt)(yt)(ft)000Tl1TkTlT即，其中kl,为整数。012课后答案网Tk2T1这表明：只要x()t和y()t的周期之比是有理数，x()ty()t就一定是周期的。Twww.hackshp.cn2其基波周期T是TT,的最小公倍数。012(b)x()n和yn()是周期的，x()(nNxnynNyn),()()12令f()nx()()nyn，欲使f()n是周期的，必须有NkNmN（km,为整数）012""NNmgcd(N,N)N11121即""NkNNNNgcd(,)22122""""N与N无公因子，mNkN,1212khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com "NNNNN/gcd(,NN)02112122.9画出下列各信号的波形图：tt(a)x()(2te)()ut(b)xt()ecos10tut(1)ut(2)22(c)xt()ut(9)(d)xt()(t4)解：各信号波形如下图所示：khdaw.com图PS2.92.10已知信号xt()sintutut，求：2dt(a)x()tx()tx()t(b)x()tx()d1dt2课后答案网2解：xt()sintututdxt()costututwww.hackshp.cnsintttdtcostutut2dxt()sintututcosttt2dtsintututtcos0tcossintututtt2d(a)xt()xtxt()()()t(t)12dtkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 00tt(b)xt()xd()1cos0tt22t2.11计算下列各积分：t(a)sinttd()t(b)et(2)dt2t30(c)(2tt)(td1)t(d)ut()()ttdt2012(e)e()dt(f)(4td)t1解：(a)sinttd()tsin122khdaw.comt(2)2(b)etd(2)tee(c)同(b)，4ttt000(d)ut()()()(ttdtutu)002220(e)ed()te1(f)02.12根据本章的讨论，一个系统可能是或者不是：①瞬时的；②时不变的；③线性的；④因果的；⑤稳定的。对下列各方程描述的每个系统，判断这些性质中哪些成立，哪些不成立，说明理由。x()t(a)y()te(b)yn()xnxn()(1)(c)yn()xn(2)2(17)课后答案网xn(d)yt()xt(1)x(1)t(e)yt()xt()sin6t(f)yn()nxn()0,twww.hackshp.cn00,xt()0(g)yt()(h)yt()x()txt(100),t0xt()xt(100),()xt0(i)yn()xn(2)(j)yt()xt(/2)解：(a)无记忆。输出只决定于当时的输入。非线性。eextxt12()()xtxt12()e()y()()tyty()ty()t1212时不变。eyxtt()0()tt0因果。无记忆系统必然是因果的。x()tMxt()稳定。当x()tM时，yt()eee。(b)记忆。输出不只决定于当时的输入。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 非线性。系统不满足可加性和齐次性。时不变。x()nnxnn(1)(ynn)。000因果。输出只与当时和以前的输入有关。稳定。当x()n有界时，xn(1)也有界，从而yn()必有界。(c)记忆。yx(1)(1)2(16)x，输出与以前的输入有关。时不变。x()(2nnxnn)2xnn(17)()ynn。0000？线性。系统满足可加性和齐次性。因果。输出只和以前的输入有关。稳定。khdaw.com当x()n有界时，yn()一定有界。(d)记忆。yxx(0)(1)(1)，输出与以前和以后的输入有关。时变。令y()tytyt()()，其中ytxt()(1)是时不变的，而121y()txt(1)是时变系统整个系统是时变的。2线性。系统满足可加性和齐次性。非因果。y()tx(1)t是非因果的。2稳定。x()t有界时，xt(1)和x(1t)都有界，从而yt()必有界。(e)无记忆。yt()课后答案网只与当时的输入有关。时变。(sin6txtt)()()syttin6()()ttxtt0000线性。系统满足可加性和齐次性。因果。无记忆系统必定是因果的。www.hackshp.cn稳定。sin6t有界，当x()t有界时，yt()必有界。(f)无记忆。yn()只与当时的输入有关。时变。nxnnynn()()()nnxnn()。0000线性。系统满足可加性和齐次性。因果。无记忆系统必定是因果的。不稳定。x()n有界但n时，yn()。(g)记忆。yxx(0)(0)(100)，输出与以前的输入有关。时变。输入为x(tT)时，相应的输出为khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 0,t0wt()xtT()xtT(100),t00,tT而ytT()显然ytT()(wt)x(tTxtT)(100),tT线性。系统满足可加性和齐次性。因果。yt()只和当时以及以前的输入有关。稳定。x()t有界时，xt(100)也有界，从而yt()必有界。(h)记忆。xt()0时，yt()不仅与当时的输入而且与以前的输入有关。时不变。khdaw.com输入为x(tT)时，相应的输出为0,xtT()0wt()ytT()xtT()xtT(100),xtT()0非线性。若xt()0,()0,()xtxtxtxt()()012312则有yt()0,ytxtxt()()(100),yt()012223显然，y()tytyt()()，系统不满足可加性。312因果。yt()只和当时以及以前的输入有关。稳定。x()t有界时，课后答案网xt(100)也有界，从而yt()必有界。(i)记忆。yx(1)(2)表明输出与以前的输入有关。时变。输入为x(nn)时，输出是x(nn)的偶数位。显然，输出不等于www.hackshp.cn00y()nn。0线性。系统满足可加性和齐次性。非因果。yx(1)(2)，表明输出与以后的输入有关。稳定。x()n有界时，x(2)n也有界，从而yn()必有界。1(j)记忆。yx(1)()表明输出与以后的输入有关。2时变。输入为x(tt)时，系统的输出为0khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com t1zt()x(t)x(2)ttyt(2)tytt()000022线性。系统满足可加性和齐次性。非因果。yt()与以后的输入有关。t稳定。x()t有界时，x()也有界，从而y()t必有界。22.13判断下列每个系统是否是可逆的。如果是可逆的，则写出其逆系统；如果不是，则找出使该系统具有相同输出的两个输入信号。(a)yt()xt(4)(b)yt()cos()xtt(c)yn()nxn()(d)yt()xd()khdaw.com(e)yn()xnxn()(1)(f)yn()x(1)ndxt()(g)yt()(h)y()txt(2)dtx(/2),nn偶(i)y()nxn(2)(j)yn()0,n奇解:(a)系统可逆。其逆系统为yt()xt(4)。(b)系统不可逆。当x()tx()2tk时，系统的输出为yt()cos()xt111cosx()ty()t课后答案网。这表明系统的输入与输出不是单纯一一对应的。(c)系统不可逆。当输入为()n或2(n)时，系统的输出都为零。d(d)系统可逆。其逆系统为yt()xt()。www.hackshp.cndt(e)系统不可逆。当输入为()n或(1n)时，系统的输出都为零。(f)系统可逆。其逆系统为yn()x(1)n。(g)系统不可逆。当x()t为任意常数时，yt()均为零。t(h)系统可逆。其逆系统为yt()x()。2(i)系统不可逆。只要x()n和x()n的偶数位相同，就会产生相同的输出。12(j)系统可逆。其逆系统为yn()xn(2)。2.14对图P2.14(a)所示的系统（图中开平方运算产生正的平方根）khdaw.com。若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (a)求出x()t和yt()之间的函数关系。(b)判断该系统的线性和时不变性。(c)当输入x()t如图P2.14(b)所示时，响应yt()是什么？khdaw.com(a)xt()211012t1(b)解：(a)由图P2.14可得出22yt()xt()xt(1)2()(1)xtxtxt()xt(1)(b)由(a)知，系统的输入输出不满足可加性，故系统是非线性的。由(a)可看出，当输入为课后答案网x(tt)时，输出为y(tt)，故该系统是时不变的。00(d)由(a)可得出响应yt()如图PS2.14所示。www.hackshp.cnyt()21t10123图PS2.142.15判断下列说法是否正确，并说明理由：(a)两个线性时不变系统的级联仍然是线性时不变系统。(b)两个非线性系统的级联仍然是非线性系统。解：(a)结论正确。设两线性时不变系统如图PS2.15所示级联。当x()taxtb()xt()时，khdaw.com12若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 则有wt()awtbwt()()，于是y()taytb()yt()，因此整个系统是线性的。1212若输入为x()tt，则由于时不变性可知系统1的输出为wtt()，这正是系统200的输入，因此总输出为y(tt)。即整个系统是时不变的。0x()twt()yt()ht()ht()12图PS2.15(b)结论不对。如系统1为wt()xt()3t，系统2为yt()wt()3t。虽然两系统都不是线性的，但它们的级联yt()xt()却是线性的。2.16对图P2.16所示的级联系统，已知其3个子系统的输入-输出方程由下列各式给出：khdaw.com系统1：yn()xn()系统2：yn()axn(1)bxncxn()(1)系统3：yn()xn()其中：abc,,都是实数。(a)求整个互联系统的输入-输出关系；(b)当abc,,满足什么条件时，整个系统是线性时不变的；(c)当abc,,满足什么条件时，总的输入-输出关系与系统2相同；课后答案网(d)当abc,,满足什么条件时，整个系统是因果系统。www.hackshp.cn图P2.16解：(a)yn()()znawn(1)bwncwn()(1)axn(1)()(1bxncxn)(b)对任意实数abc,,，整个系统都是LTI系统。(c)当ac时，总的输入输出关系与系统2相同。(d)当a0时，整个系统是因果的。2.17已知某线性时不变系统对图P2.17(a)所示信号x()t的响应是图P2.17(b)所示的1y()t。分别确定该系统对图P2.17(c)和(d)所示输入x()t和x()t的响应y()t和1khdaw.com232若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com y()t，并画出其波形图。3y()txt()112110012tt12(a)(b)xt()xt3()22khdaw.com1101234tt10121(c)(d)图P2.17解：(a)xtxtxt()()(2)ytytyt()()(2)如图PS2.17(a)所示。211211(b)x()txt(1)xt()ytyt()(1)yt()如图PS2.17(b)所示。311311yt()yt()232课后答案网4tt012310122(a)www.hackshp.cn(b)图PS2.172.18(a)某离散时间线性系统对输入x(),()nxn和x()n分别有响应y(),()nyn和12312y()n如图P2.18(a)所示。如果该系统的输入为图P2.18(b)所示的x()n，求系3统的输出yn()。(b)如果一个离散时间线性时不变系统对图P2.18(a)所示的输入x()n有响应y()n，11那么该系统对x()n和x()n的响应是什么？23khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com x()nyn()1111nn00123312yn()2x2()n211nn200123131khdaw.comyn3()x()n311nn2410112103(a)1x()n211n课后答案网10(b)2www.hackshp.cn图P2.18解：(a)x()3()2()2()nxnxnxny()3()2()2()nynynyn如图123123PS2.18(a)所示。(b)xnxnxn()()(1)ynynyn()()(1)如图PS2.18(b)所示。211211xnxn()(1)ynyn()(1)如图PS2.18(c)所示。3131khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 32yn1()2yn2()yn3()11104nnn11123102340122(a)(b)(c)4图PS2.182.19对图P2.19所示的反馈系统，假定n0是，yn()0。(a)当x()n()n时，求输出y()n，并画出其波形图。khdaw.com11(b)当x()nun()时，求输出y()n，并画出其波形图。22zn()Dx()nyn()图P2.19解：由图P2.19可得出yn(1)()(ynxn)(a)当x()n()n时，由递推可得y()n如图PS2.19(a)所示。11(b)当x()nun()时，由递推可得y()n如图PS2.19(b)所示。2211课后答案网246nn210013512345671(a)www.hackshp.cn(b)图PS2.192.20某线性时不变系统，当输入为图P2.20(a)所示的x()t时，输出y()t如图P2.20(b)11所示。试求当输入为P2.20(c)所示的x()t时，系统的输出y()t。22图P2.20khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 解：由观察可知xtxtxt()()(1)xt(2)2112当输入为x()t时，输出为y()t11由LTI系统性质可知当输入为x()t时，输出ytytyt()()(1)yt(2)。22112yt()yt(1)113/23/2tt01223445560136yt1(2)yt2()khdaw.com3/23/2tt012345601234562.21试写出图P2.21所示模拟图对应的微分或差分方程。byn()x()tyt()x()nDa13图P2.21解：(a)由图P2.21(a)可得（设积分器前输入端为课后答案网y()t）1xtayt()()yt1()dyt()dyt()1byt()ytdt()yt()或byt()111www.hackshp.cndtdt消去y()t可得1dxt()dyt()bx()(1taba)y()tdtdt(b)由图P2.21(b)可得1x()ny(1)ny()n31即yn()yn(1)()xn3khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第三章习题答案3.1计算下列各对信号的卷积积分yt()xtht()：tt(a)x()teu()th()teu()t（对和两种情况都做）。2t(b)x()tu()2(tut2)u(t5)h()te3t(c)xt()eut()ht()ut1tet,0(d)xt()ht()utut()(1)5ttkhdaw.comeet,0(e)x()sinttutut()(2)ht()u(2)t(f)x()t和ht()如图P3.1(a)所示。(g)x()t和ht()如图P3.1(b)所示。课后答案网www.hackshp.cn图P3.1tt()tt()解：(a)yt()xtht()()eedeed(t0)00()te1t当时，y()teu()tt当时，y()tteu()t(b)由图PS3.1(a)知，khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 2512(ttt)2()22(t2)2(t5)当t1时，y()tededeee20222512(tt)2()22(t2)2(t5)当13t时，y()tededeee2t122512(tt)2(5)2当36t时，yt()edeet12当t6时，yt()0(c)由图PS3.1(b)知，当t1时，yt()0t1133(t1)当t1时，yt()ed1e0313(1)tyt()1eut(1)khdaw.com3(d)由图PS3.1(d)知：ttt1当t0时，yt()edeet10t1455ttt(1)当01t时，yt()ed(e2)ed2eeet1055t1155ttt5(1)(t1)当t1时，yt()(e2)edee2e2et155(e)如下图所示：课后答案网11(f)令ht()ht(2)t，则yt()xtht()()xt(2)113www.hackshp.cn3t424由图PS3.1(h)知，yt()xtht()()(abd)at(21)b1t133324a11yt()(21)tbat(2)batbxt()3333(g)x()t是周期信号，由此可推知yt()xtht()也是周期的，且周期也为2。因此只需求出yt()的一个周期。由图PS3.1(j)可知：1112t12当t时，yt()(1t)d1(1t)dtt22t142khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1132t27当t时，yt()(1t)d1(1t)dt3t22t142yt()的一个周期为1121tt,(t)422yt()tt23,71(t3)422khdaw.com图PS3.13.2计算下列各对信号的卷积和yn()xnhn()():nn(a)xn()un()hn()un()n课后答案网(b)x()2()nunh()nu()nn(c)xn()(1)()(unun8)hnunun()()(8)(d)x()n和hn()如图P3.2(a)www.hackshp.cn所示。(e)x()n和hn()如图P3.2(b)所示。(f)x()n和hn()如图P3.2(c)所示。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com x()nhn()21113210122n0345(b)1x()nhn()1011223n210n(c)khdaw.com图P3.2nknk解：(a)y()nx()*()nhnx()(khnk)un()kk0nnn11nk()()unun()k0n1mkn1(b)当n0时，yn()22kmn201mk当n0时，yn()22km02课后答案网n1y()2(1)2nunun()(c)由图PS3.2(a)知，当n8或n8时，yn()0nkn1171n当80n时，ynwww.hackshp.cn()(1)11(1)1k7220kn11n6当08n时，yn()(1)111(1)kn722(d)由图PS3.2(b)知，当n1或n21时，yn()0nk当16n时，y()nn11k27k当6n10时，y()nn112kn4khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 当n11时，yn()2nk当12n15时，yn()1n10k1116k当16n20时，y()nn116(4)121nkn4(e)利用列表法计算，由表3.2-1可得：yy(2)1,(1)211,(0)121,(1)110,yyyyyy(2)110,(3)123,(4)123,(5)112,khdaw.comy(6)1,当n2或n6时，yn()0(f)由表3.2-2可得,当n3或n5时，yn()0yy(3)1,(2)213,(1)325,(0)2316,yyyy(1)12216,(2)1326,(3)235,yyy(4)123,(5)1课后答案网www.hackshp.cn3.3各信号波形如图P3.3所示，求下列卷积:(a)x()txt()(b)x()txt()1213(c)x()txt()(d)x()txtxt()()14123图P3.3khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 解：图PS3.33.4某LTI系统的单位冲激响应为ht，当输入为x()t时，输出为y()t（如图P3.4所示）。000现给出以下各组单位冲激响应ht()和输入x(t)，分别求yt()xt()*ht()（用y()t表0khdaw.com示即可），并画出yt()的波形图。(a)x()2()txth()th()t00(b)x()txtxt()(2)h()tht()000(c)xt()xt(2)ht()ht(1)00(d)x()txt()h()tht()00""(e)x()txt()h()tht()00课后答案网www.hackshp.cn图P3.4解：(a)x()2(),txth()th()t00y()2()*()2()txthtyt如图PS3.4(a)所示。000(b)x()txtxt()(2),h()tht()000yt()yt()yt(2)如图PS3.4(b)所示。00(c)xtht()(1)(1yt),(2xt)(1ht)(1yt)000000y()txt(2)ht(1)yt(1)如图PS3.4(c)所示。000khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (d)yt()xtht()*()x()(htd)x()(ht)dyt()00000如图PS3.4(d)所示。""""(e)yt()xtht()*()yt()如图PS3.4(e)所示。000khdaw.com3.5对图P3.5所示的两个LTI系统的级联，已知：hn()sin8n1nhnauna()(),12输入为xn()()nan(1)求输出yn()。课后答案网图P3.5解：y()nxnhnhnxnhnhn()*()*()(()*())*()12www.hackshp.cn21nn1nx()*()nhnaunaaun()(1)a()n()n2ynhn(()*()nhn()sin8n113.6对图P3.6-1所示的LTI系统的互联：(a)用hnhnhnhnhn(),(),(),(),()表示总的单位脉冲响应hn()；12345n1(b)当hn()4unun()(3)12hnhn()()(1)()nun23hn()(1)n4hn()()4(3)nn5khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 时，求hn()。(c)x()n如图P3.6-2所示，求(b)中所给系统的响应，并画出响应的波形图。图P3.6-1khdaw.com图P3.6-2解：(a)hn()hnhn()()*()hnhnhn()*()51234＝hnhnhnhnhnhn()()*()()*()*()512134(b)hnhn()*()(1)()*(1)nunnnun(1)34hn()nun(1)(1)()nunnun(1)un()2课后答案网hnhnhnhn12341()*()()*()hnun()*()nn11kk4(un)4(un3)4(n)6(n1)7un(2)kk0322hn()5()6(1)4(3)7(2)nwww.hackshp.cnnnun(c)yn()xnhn()*()5()6(1)4(3)7xnxnxnxkunk()(2)k其中xn()*7(2)un如图PS3.6(a)所示，yn()如图PS3.6(b)所示。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 3.7某线性时不变系统的输入输出关系由下式表示：t()tyt()ex(2)d(a)该系统的单位冲激响应ht()是什么？(b)当x()t如图P3.7所示时，确定系统的响应yt()。khdaw.com图P3.7tt2()tt(2)(2t)解：(a)yt()ex(2)dx()edxte()*ut(2)(2)tht()eut(2)(b)由图PS3.7知，当t1时，yt()xtht()*()0t1(2)(1t)当14t时，yt()ed1e2t1(2)(4tt)(1)当t4时，yt()edeet2课后答案网图PS3.73.8某LTI互联系统如图P3.8所示，已知：(2)thte()ut(2)0www.hackshp.cn(a)求互联系统总的单位冲激响应；(c)当输入x()t如图P3.7所示时，求系统的输出响应。图P3.8(2)tt(3)解：(a)ht()htht()(1)eut(2)eut(3)0khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 由图PS3.8知，当t1时，ytxtht()()*()000t1(2)(1t)当12t时，yt()ed1e0231t(2)(2)(3)当24t时，yt()edeed02311(tt1)(2)(t2)(t1)(1eeee)1eet13(2)(3)(2)当45t时，yt()eeded032t(4)ttt(2)(1)eee1t1(2)(3)(ttt4)(2)(5)(t1)当t5时，yt()eedeeeekhdaw.com0t2图PS3.8(b)yt()xtht()*()xtht()*()xtht()*(1)yt()yt(1)00bb其中y()t即为3.7(b)中所求得的响应。b当t1时，yt()00课后答案网(1)t当12t时，yt()1e0(1)tt(2)(2)t(1)t当24t时，yt()1e1eee0(4)ttt(2)(1)当45t时，yte()ee10www.hackshp.cn(4)tttt(1)(5)(2)当t5时，yte()eee03.9判断下列说法是否正确。对你认为是正确的加以证明，对你认为是错误的举出相反的例子。(a)x()*()()nhngnx()*()nhngn()nnn(b)axnahnaxnhn()*()()*()(c)如果yt()xtht()*()，则yt(2)2(2)*(2)xtht(d)如果yn()xnhn()*()，则yn(2)2(2)*(2)xnhnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (e)如果x()t和ht()都是奇函数，则yt()xtht()*()是偶函数。n解：(a)错误。例如，当x()nunhnaun(),()(),(0a1),()gn()n时，有hngn()()(n)，从而x()*()()nhngnx()*()nnx()nnk而x()*()nhngn()aunn()()()nxn()。k0(b)正确。证明：nnknknnaxnahn()*()axkahnka()()xkhnk()()axnhn()*()khdaw.comkk(c)正确。证明：2(2)*(2)xtht2(2)2(xht)d,令2x()(2ht)dyt(2)(d)错误。例如，当x()nn(),()hnu()n时，有x(2)nn(),(2)hnu()n，从而可得2(2)*(2)2()*()2xnhnnunun但yn()xnhnun()*()课后答案网()，ynun(2)()；2(2)*(2)xnhnyn(2)(e)正确。证明：yt()xht()(),d且x()t与ht()均为奇函数y()txwww.hackshp.cn()(htdx)()[(ht)]d，令x()(ht)dx()(ht)dx()(ht)dyt()，即yt()是偶函数。3.10判断下列说法是否正确，并说明理由：(a)如果ht()是一个LTI系统的单位冲激响应，且ht()是周期性的非零函数，那么该系统是不稳定的。(b)一个因果LTI系统的逆系统也是因果的。(c)如果对任何n有hn()K，其中K是一个给定的数，那么以hn()为单位脉冲响应的LTI系统是稳定的。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (d)如果一个离散时间LTI系统具有有限持续期单位脉冲响应hn()，则该系统是稳定的。(e)如果一个LTI系统是因果的，则该系统是稳定的。(f)一个非因果系统和一个因果系统的级联必定是非因果的。(g)对一个连续时间LTI系统来说，当且仅当它的阶跃响应St()绝对可积，也就是：Stdt()时，该系统是稳定的。(h)对一个离散时间LTI系统来说，当且仅当对n0它的阶跃响应Sn()为零时，该系统是因果的。khdaw.com解：(a)正确。ht()为周期性非零函数时，htdt()。(b)错误。若系统的冲激响应为()ttt,0，则其逆系统的冲激响应为()tt，000显然是非因果的。(c)错误。若hnun()()，显然hn()1；但hn()，因此系统不稳定。n(d)正确。hn()为有限长时，必然有hn()。n(e)错误。若ht()ut()，显然系统是因果的，但由于ht()，因此系统不稳定。0(f)错误。若系统A的冲激响应课后答案网ht()(3)t，系统B的冲激响应ht()(5)t；AB系统A非因果，系统B因果；但它们级联后有ht()htht()*(2)t，显然AB是因果的。www.hackshp.cnt(g)错误。若某系统的ht()eut()，显然该系统稳定，但其阶跃响应ttSt()ed(1e)()ut并不绝对可积。0(h)正确。un()(nkSn),()hnk()，如果n0时，Sn()0，则kk00必有n0时，hn()0，从而系统是因果的。反之，若系统因果，则n0时，nhn()0，从而必有n0，sn()hk()0。k3.11判断下列每一个系统的稳定性和因果性。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1nn(a)hn()()()un(b)hn()(0.99)un(3)2nn(c)hn()(0.99)un()(d)hn()(4)(2)un3t3t(e)ht()eut(1)(f)ht()eu(1)t4tt(g)ht()e(h)ht()teut()解：(a)n0时，hn()0，系统是因果的。n1又hn()()2系统是稳定的。nn02(b)khdaw.comn0时，hn()0，系统是非因果的。n123又hn()(0.99)100(0.99)(0.99)(0.99)nn2系统是稳定的。(c)n0时，hn()0，n0时，hn()0，系统反因果。0n又hn()(0.99)，系统不稳定。nn(d)n0时，hn()0,系统非因果。2课后答案网n64又hn()(4)，系统稳定。nn3(e)t0时，ht()0，系统是因果的。www.hackshp.cn3t又htdt()edt，系统稳定。1(f)t0时，ht()0，系统非因果。13t又htdt()edt，系统不稳定。(g)t0时，ht()0，系统非因果。011144tt又htdt()edtedt，系统稳定。0442(h)t0时，ht()0，系统是因果的。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com t又htdt()tedt，系统稳定。03.12对图P3.12所示的级联系统，已知系统A是LTI系统，系统B是系统A的逆系统。设y()t表示系统A对x()t的响应，y()t是系统A对xt的响应。1122(a)系统B对输入ayt()byt()的响应是什么？这里a和b是常数。12(b)系统B对输入yt()的响应是什么？1图P3.12解：khdaw.com(a)系统B是系统A的逆系统，图P3.12所示的整个系统是恒等系统。系统A对axt()bxt()的响应为ayt()byt()，因此系统B对输入ayt()byt()的响121212应为axt()bx()t。12(b)系统A对xt()的响应是yt()，11系统B对yt()的响应是xt()。113.13已知图P3.13(a)所示的连续时间LTI系统的单位阶跃响应为：St()ut()2(1)utut(2)。1现对图P3.13(b)所示的系统，如果课后答案网xt()utut()(2)，求系统响应yt()，并绘出yt()的波形图。www.hackshp.cn图P3.13"解：htSt()()()2(1)tt(2)t113.14已知某连续时间LTI系统当输入为图P3.14(a)的所示的x()t时，输出为图P3.14(b)所示khdaw.com1若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 的y()t。现若给该系统施加的输入信号为xt()(sin)()tutut(1)，求系统的12输出响应y()t。2(a)(b)图P3.14解：khdaw.com3.15一个零初始状态的LTI系统由以下差分方程描述：yn()2(1)ynxn()2(2)xn现已知x()n如图P3.15课后答案网所示，用递归法解差分方程，求出系统的响应yn()。www.hackshp.cn图P3.15解：系统最初松弛，当n3时，yn()0由yn()xn()2(2)2(1)xnyn可递推得出khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com yxxy(2)(2)2(4)2(3)1yxxy(1)(1)2(3)2(2)0,yxx(0)(0)2(2)2(1)y5,yxx(1)(1)2(1)2(0)y4,yxxy(2)(2)2(0)2(1)16,yxxy(3)(3)2(1)2(2)27,yxxy(4)(4)2(2)2(3)58,yxx(5)(5)2(3)2y(4)114,n5n6时，yn()114(2)3.16用直接Ⅱ型结构实现下列每个连续时间LTI系统，假定这些系统都是最初松弛的。khdaw.comdyt22()dyt()dxt()(a)42(xt)322dtdtdt4dyt()dxt()(b)xt()24dtdt2dyt()dyt()dxt()t(c)22()ytx()t3xd()dt2dtdt解：(a)直接Ⅱ型结构如图PS3.16(a)所示。(b)直接Ⅱ型结构如图PS3.16(b)所示。(c)将方程两边微分一次得"""""""""yt()2()2()yt课后答案网ytxtxt()3()xt其直接Ⅱ型结构如图PS3.16(c)所示。www.hackshp.cn图PS3.163.17用直接Ⅱ型结构实现下列每个离散时间LTI系统，假定这些系统都是最初松弛的(a)2(ynyn)(1)(3)()5(4)ynxnxn(b)yn()xnxn()(1)2(3)3(4)xnxn解：(a)直接Ⅱ型结构如图PS3.17(a)所示。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (b)直接Ⅱ型结构如图PS3.17(b)所示。图PS3.17khdaw.com课后答案网www.hackshp.cnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第四章习题答案4.1由于复指数函数是LTI系统的特征函数，因此傅里叶分析法在连续时间LTI系统分析中具有重要价值。在正文已经指出：尽管某些LTI系统可能有另外的特征函数，但复指数函数是唯一能够成为一切LTI系统特征函数的信号。在本题中，我们将验证这一结论。．．．．(a)对单位冲激响应ht()()t的LTI系统，指出其特征函数，并确定相应的特征值。(b)如果一个LTI系统的单位冲激响应为ht()(tT)，找出一个信号，该信号不具st有e的形式，但却是该系统的特征函数，且特征值为1。再找出另外两个特征函数，khdaw.com它们的特征值分别为1/2和2，但不是复指数函数。提示：可以找出满足这些要求的冲激串。(c)如果一个稳定的LTI系统的冲激响应ht()是实、偶函数，证明cost和sint实该系统的特征函数。(d)对冲激响应为ht()ut()的LTI系统，假如()t是它的特征函数，其特征值为，确定()t应满足的微分方程，并解出()t。此题各部分的结果就验证了正文中指出的结论。解：(a)ht()()t的LTI系统是恒等系统，所以任何函数都是它的特征函数，其特征值为1。(b)ht()(tT)，课后答案网x()tx(tT)。如果x()t是系统的特征函数，且特征值为1，则应有x()tx(tT)。满足这一要求的冲激序列为x()tt(kT)。k若要找出特征值为1/2www.hackshp.cn或2的这种特征函数，则可得：k1x()tt()(kT)，特征值为1/2。k2kx()tt2(kT)，特征值为2。k1jtjt(c)costee()21jt()jt()y()th()()txth()eed211jtjjtjeh()edeh()ed22khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ht()为实、偶函数jjhed()hed()1jtjtjyt()(ee)he()dcostHj()2同理可证sint。(d)ht()ut()y()tx()tdty"tt()khdaw.comyttt于是()tce4.2求下列信号的傅里叶级数表示式。(a)x()cos4cos6tttt(b)x()t是以2为周期的信号，且x()te,1t1(c)x()t如图P4.2(a)所示。(d)x()t如图P4.2(b)所示。(e)x()t如图P4.2(c)所示。(f)x()t如图P4.2(d)所示。课后答案网www.hackshp.cn图P4.21111jt446jtjtjt6解：(a)cos4tteeeesin6，取2，则有02222jj111aa;;;aaa0(k2,3)2233k22jj2(b)T2,,则0khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com k111tjkt(1jk)(1jk)(1)1aeedtee()ek212(1jkj)2(1k)ek2(1)(e1)jktx()tek2(1ejk)(c)T2，x()t是奇函数，a00k111(1jktjkt11jktj1)atete||,e(k0)k11221jkjkk1kkjj(1)jkt(1)jktxt()eekkkk1khdaw.com(d)T6,0/3，可求得1112jktjktae33dtedtk6621112jkt3312jktkkee||sinsin,(k0)2122jkjkjk26jktxt()xt()a0;xtae30kk1(e)T4,/2，x()t是偶函数，a0021102ttjktjkt1cosktae(1)22dt(1)edtk202242课后答案网2kk(f)T4,/2，可求得01112jktjktae222dtedtk4401www.hackshp.cn11jkt2212jktjjkjk2eee||(2e),(k0)01jk22jkk31jk1jkjktaa;(sk)(es42k)e;xtae20kaak44422k4.3已知某LTI系统的单位冲激响应为4tht()eut对下列输入信号，求输出响应yt()的傅里叶级数表示式。(a)x()cos2ttkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (b)x()tt(n)nn(c)x()tt(1)(n)n(d)x()t如图P4.3所示。khdaw.com图P4.3解：设yt()bejk0t,则baHk();其中ab、分别是x()t和yt()的傅里叶级数kkk0kkk系数。1(a)xt()cos2,t2;aa,其余a0011k211*baH(),bb，其余b011011k4(2j)4(2j)(b)x()tt(n)；Ta1,02;k1,k＝，，，012n1课后答案网bk＝，，，012k42jkn(c)x()tt(1)(n);T2,0;nwww.hackshp.cn1110,k偶at2()(1)tejktdt(1ejk)k1221,k奇20,k偶bk1,k奇4jk(d)由图P4.3所示x()t可得：T1,2011sin(k/2)aa,,k1,2,0k22/k2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 0,kk偶，01bb0,ksin(k/2)8,k奇kj(42k)4.4(a)证明:以T为周期的信号x()t如果是偶函数,即x()txt(),则其三角函数形式的傅里叶级数表示式中只含有余弦分量；如果x(t)是奇信号，即x()tx()t，则其三角函数形式的傅里叶级数中只含有正弦分量。(b)如果以T为周期的信号x()t同时满足Txt()xt()2khdaw.com则称x()t为偶谐信号．．．．；如果同时满足Txt()xt()2则称x()t为奇谐信号。证明偶谐信号的傅里叶级数中只包含偶次谐波；奇谐信号．．．．的傅里叶级数只包含奇次谐波。(c)如果x()t是周期为2的奇谐信号，且x()ttt,01，画出x()t的波形，并求出它的傅里叶级数系数。221T/2jkt1T/2jkt解：(a)ax()teTdt，ax()teTdtkTT/2kTT/2若x()txt()，则课后答案网aakk222jktjktjktxt()aeTT(aeaeT)kkkkk0www.hackshp.cn2k2catkosk0T若x()tx()t，则aakk2kxtja2skintk0T22211TTjkt/2jktTjkt(b)axte()TTdtxte()dtxte()TdtkTT00/T222T1TT/2jkTTtk/2jkt若xt()xt()，则ax()tedtx(1)()tedtk2T00khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 22T/2jkt当k为偶数时，ax()teTdtkT0当k为奇数时，a0k只有偶次谐波同理可证奇谐信号只包含奇次谐波。T(c)xtT():2,奇谐信号，xt()xt()2tt,01xt()(1tt),10khdaw.comx()t如图PS4.4所示。图PS4.41jkt11jktjkt1atedtteek0jkjk0，（k为奇数）122jk()ka0，（k为偶数）k课后答案网4.5假如图P4.5所示的信号x()t和zt()有如下三角函数形式的傅里叶级数表示式22ktktxt()a02Bkkcos()Csin()www.hackshp.cnk13322ktktzt()d02Ekkcos()Fsin()k133画出信号12kt2ktyt()4(ad00)2(BkkE)cos()Fksin()k1233图P4.5khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1解：ad;0;而aBEx2(tdEEz);2(t);0000kvkv32(FOzt)kd12kt2ktyt()4(ad00)2(BkkE)cos()Fksin()k123311(Extvv)EztOzt()(d)2khdaw.com4.6设x()t是一个周期信号，其基波周期为T，傅里叶级数的系数为A，用A表示下列0kk信号的傅里叶级数系数。此题证明了表4.2中所列的傅里叶级数的有关性质。(a)x(tt)(b)x()t0t*(c)xt(d)x()d,（假设A0）0课后答案网dxt()(e)(f)xata(),0,（要先确定该信号的周期）dt22kk2k11jttT00jt1T0jt()t0解：(a)Ax()ttedTTtx()ttedtx(t)eTdtk00TTTt0T000www.hackshp.cn022kk2k1jt00T0jtjtexTT()tedteTAkT00TT0022kk11jtjt(b)Ax22()teTTdtx()tedtAkTT00kTT0022*22kk11TT00jtjt*(c)Ax()teTTdtx()tedtAkkTT0000tTttTt(d)x()dx()dx()dx()dTA00tkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com tTtA0(xd)(xd)为T周期信号0002k1TtjtAx()deTdtkT0022kk11TTjtTjtx()edTTtdxed()tdTT00002k1TTjtxed()Ttd0T002kj1TeTxd()T02k0jTAkhdaw.comk2kjTdxtT()(dxt)(e)因此以T为周期dtdt22kkTTdxt()jtjtAeTTdtedx()tk00dt22kkjtTT2kjtx()teTTxtj()edt00T2kjAkTT0(f)xatxatT()xat()课后答案网0aT0该信号周期为Taak222kkaajtTTjt/a11jtATTxate()www.hackshp.cndtxte()Ta/dtxte()TdtAkkTTa00T04.7已知某周期信号的前四分之一周期的波形如图P4.7所示。就下列情况画出一个周期（0tT）内完整的波形。图P4.7(a)x()t是偶函数，只含有偶次谐波。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (b)x()t是偶函数，只含有奇次谐波。(c)x()t是偶函数，含有奇次和偶次谐波。(d)x()t是奇函数，只含有偶次谐波。(e)x()t是奇函数，只含有奇次谐波。(f)x()t是奇函数，含有偶次和奇次谐波。T解：(a)x()txt()且x()(txt)，如图PS4.7(a)所示。2T(b)x()txt()且x()(txt)，如图PS4.7(b)所示。khdaw.com2(c)x()txt()，如图PS4.7(c)所示。T(d)x()tx()t且x()(txt)，如图PS4.7(d)所示。2T(e)x()tx()t且x()(txt)，如图PS4.7(e)所示。2(f)x()tx()t，如图PS4.7(f)所示。课后答案网www.hackshp.cn图PS4.74.8计算下列信号的傅里叶变换：3t(a)xt()eut(2)ut(3)dt()(b)x()tut()2(32)t，其中ut()11dt(c)x()t如图P4.8(a)所示。(d)x()t如图P4.8(b)所示。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1cos,tt1(e)xt()0,t1(f)x()t如图P4.8(c)所示。(g)x()t如图P4.8(d)所示。khdaw.com图P4.836tt3(2)93(t3)解：(a)eut(2)(3ut)eeut(2)eeut(3)jj2333tt1(2)ee3(t3)eut()eut(2)eut(3)33jjj336tj129j3eut(2)(3ut)(ee)课后答案网3j3131j(b)ut()j,(32)t(t)e212223jut()2(32)twww.hackshp.cnje21jt02jtjt22cos2(c)X()xte()dt(2)tedt(2)tedt202(d)xt()(1ut)(ut)3(1ut)(3ut)1jjj3Xj()(0)e13eej1111jtjtj()tj()t(e)x()t(1cos)tedtedteedt11212sin()sin()sinkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 112jtjtjt(f)X()(1)edttedtedt21122jjcos2sin(cos2cos)j2112jtjtjt(g)X()edt(1)tedtedt211j2(sin2sin)2je2sinj24.9确定下列傅里叶变换所对应的连续时间信号：(a)X()cos(4/3)(b)khdaw.comX()2(1)(1)3(2)(2)2sin3(2)(c)X()(2)(d)X()如图P4.9(a)所示。(e)X()如图P4.9(b)所示。(f)X()的模和相位如图P4.9(c)(d)所示。课后答案网www.hackshp.cn图P4.91jjjt4433jt解：(a)设Xt()cos(4t/3)eeee2jj/3/3Xt()e(4)e(4)xˆ()1Xx()()txˆ()t211jj/3/3即xt()e(t4)e(t4)22khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 11jj/3/3et(4)et(4)22(b)sintt(1)(1);cos(1)(1)j23jsintt2(1)(1);cos23(2)(2)23j故有x()ttsincos2t2sin3(c)ut(3)(3ut)2sin3(2)jt2xt()eut(3)ut(3)2jt2khdaw.comet,3即xt()0,t31jt(d)x()tX()ed212123jtjtjtjt(1)ed(1)ed(1)eded23212jt22jtjtjt12(cos2jttjtteeeecos3)2(cos2cos)2()22ttjtt11jt0jtWjt(e)x()tXed()1ed1ed22WWW01WWjt课后答案网0jtjtWWeded0ed2WW12sinWtWcosWtsinWt22tttwww.hackshp.cnj3(f)由图P4.9(c)、(d)知，Xe(),111101jtj33jtjjtx()tX()edeedeed222101sin(3tt)cos(3)12tt3(3)4.10先求出图P4.10所示各信号x()t的频谱X()，再用X()表示图中信号x(),tx(),tx(),(),(),txtxtx()t的频谱。123456khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 图P4.10j1jt11e解：Xt()(1)edtkhdaw.com0j2jjj11extxt()(1)X()eeX()112jjxtxt()(1)X()eX()22txt()2xX()4(2)X332xtxtxt()()()X()X()X()44jxtxtxt()()(1)X()X()eX()55课后答案网x60()tx()txt()cost11XXX60()()(00)X()X(0)22www.hackshp.cn4.11设X()是图P4.11所示信号x()t的频谱，不求出X()而完成下列计算：(a)求X(0)(b)求X()d2sinj2(c)计算X()ed2(d)计算X()d(e)画出ReX()对应的信号。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 图P4.11解：(a)Xx(0)()tdt817(b)Xd()2(0)4xsin(c)2(ut1)ut(1)sinj22(eutu3)(tx1)(t)1khdaw.com2sinj2Xe()d2()*()xtxt10t312(xtdt)24712221(d)X()dx2()tdtt44(44)2tdt077644331(e)eeX()xt()xtxt()()，如图PS4.11所示。2课后答案网www.hackshp.cn图PS4.114.12一个实连续时间信号x()t的傅里叶变换为X()且lnX()，如果已知x()t是(a)偶时间函数；(b)奇时间函数。求x()t。*解：(a)x()()txtXXXX()()()()khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ,0lnXX()ln(),01,02即lnX()Xe()2,010jtjtx()tX()edX()ed2010jtjteedeed20111jt221jt1jt(1)tkhdaw.com*(b)xt()xt()X()X()X()X()10jtjtx()tX()edX()ed201jtjtXeed()201jtjteeed20jt2(1t)4.13如果图P4.13所示的实信号x()t存在傅里叶变换X()，试判断哪些信号的傅里叶变换满足下列性质之一。课后答案网(a)ReX()0(b)ImX()0ja(c)可以找到一个实数a，使得X()e是实函数。www.hackshp.cn(d)Xd()0(e)Xd()0(f)X()是周期的。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 图P4.13解：(a)ReX()0x()t为奇函数因而图P4.13(a),(b)满足条件。(b)ImX()0x()t为偶函数khdaw.com因而图P4.13(d),(f)满足条件。(c)由已知可得，x()t平移a后为偶函数因而图P4.13(a),(c),(d),(f)满足条件。(d)Xd()0x(0)0因而图P4.13(a),(b),(c),(e),(f)满足条件。"(e)Xd()0x(0)0因而图P4.13(c),(d),(e),(f)满足条件。(f)由条件可知(c)满足。4.14求图P4.14所示周期信号x()t的傅里叶变换。x()t课后答案网1TT101TT1twww.hackshp.cn图P4.14222kkk211jtjTjTj解：ateTTTdtee1(0k)k022Tk24k111atdt0TT022kjt2kxt()aeTX()2a()kkT4.15假设周期信号x()t是某个LTI系统的输入，x()t的傅里叶级数表示式为k1jktx()te4k2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 系统的频率响应为1,WH()0,W为了该系统的输出至少具有x()t在一个周期内平均能量的90％，W必须取多大？解：根据帕斯瓦尔定理，可得信号x()t的平均能量为：1222k22kk11222kk0k111设W的取值使系统能通过x()t的第N次谐波，则系统输出的平均能量为khdaw.comNN1222N2k22kk122kNk0kN1由题意应有222N221212N0.1(1)0.9即：22211222lg0.11lg2NN即：WN(1)2lg44能保证输出至少具有x()t一个周期平均能量的90％。11lg0.1(1)lg1课后答案网42本题中，得N212lg2*4.16(a)如果信号x()t满足www.hackshp.cnx()txt()，那么x()t的傅里叶变换具有什么性质？(b)如果一个系统的输入为x()t，输出为y()t，且yt()Re()xt，试用x()t的傅里叶变换表示yt()的傅里叶变换(c)如果x()t和yt()是两个任意信号，其傅里叶变换分别为X()和Y()，证明帕斯瓦尔定理的一般形式1**x()()tytdtX()()Yd2**解：(a)设xt()X()，由共轭对称性有xt()X()由尺度变换性有xt()X()khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com **而x()txt()，XX()()表明X()是实函数。(b)设xt()X()，yt()Y()1*y()tx()tx()txRe()t21*YX()()X()21**jt(c)x()()tytdtX()()yteddt2*1X()dy()tejtdt2khdaw.com1*XYd()()24.17在第3章我们指出LTI系统可以由它的单位冲激响应完全表征。在本章中我们又指出LTI系统可以由它的频率响应H()完全表征。但这并不意味着单位冲激响应或频率响应不同的LTI系统，对任何同样的输入信号所产生的响应都一定不同。(a)为了说明这一点，可以证明3个LTI系统对x()costt具有完全相同的输出响应，这3个系统的单位冲激响应分别为：2ttht()ut();ht()2()5teut();ht()2teut()123(b)找出对cost也会产生同样响应的另一个LTI系统的单位冲激响应。解：(a)xt()cos,tX课后答案网()(1)(1)1htut()(),H()()11j2t512jht22()2()5twww.hackshp.cneutH(),()222jjt2ht()2teut()H()3321j1YX11()()()H(1)(1)()j(1)(1)jyt()sint112jYX()()()H(1)(1)222jkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (1)(1)jy()sintt22YX33()()()H(1)(1)22j(1)(1)jyt()sint3可见，y()tytyt()()sint123(b)khdaw.com由(a)可知，只要把(a)中三个系统的冲激响应线性组合起来，就可以构成满足题意要求的LTI系统。例如：1ht()htht()()4122就是满足要求的另一个LTI系统。同样地，11ht()htht()();ht()htht()();513623221ht()hththt()()()等等，都是满足要求的LTI系统。712324.18(1)假定信号x()cos2ttsin6t是对具有如下单位冲激响应的LTI系统的输入，试确定每种情况下的输出。sin4课后答案网t(a)ht()tsin4ttsin8(b)ht()2twww.hackshp.cnsin4ttcos8(c)ht()t(2)某LTI系统的冲激响应为sin2tht()t对下列输入信号x()t，分别求系统的输出y()t。ii(a)x()t是图P4.18(a)所示的周期性方波信号。1(b)x()t是图P4.18(b)所示的方波信号。2(c)x()txt()cos5t31khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 10(d)x4()ttkk3(e)x()t是实信号，X()的模对0如图P4.18(c)所示，X()对0555有恒定相位。2khdaw.com图P4.18解：(1)X()(2)(2)(6)(6)j(a)Hu()(4)(4)课后答案网uYXH()()()(2)(2)yt()cos2twww.hackshp.cnsin4ttsin8(b)ht()htht()()，则有tt121HHH()()()，如图PS4.18-1所示。122其中：Hu()(4)(4),()(8)(8)uHuu12khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 223Y()42266jyt()4cos2t3sin6t1sin4tjt88jt(c)ht()ee，则有2t1HH()11(8)H(8)。如图PS4.18-2所示。2khdaw.com其中：Hu()(4)(4)u1Y()662j1yt()sin6t2(2)Hu()(2)(2)u(a)X1()2Xkk4课后答案网1k其中Xk为x1()t的傅里叶级数系数，1www.hackshp.cnkksinsin122Xk1kk22YXH()()()111yt()12ksin32(b)X2()2Xkk2，其中Xk22kkkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 33Y2()222123yt()cost22211(c)XX()(5)X(5)31122YXH33()()()1yt()cost333(d)X4()kkhdaw.com55k333YXH44()()()k55k331369y()ttcoscostcost452555(e)由图P4.18(C)及相位条件，可得出X()的一个周期为：5Xj(),25YXHj()()()H()55ddtt1sin22cos2sin2tyt()ht()52课后答案网dtdtttt4.19图P4.19所示4个LTI系统互联，其中：dsinccttj2/csin3ht();H()e;ht();htut()()1234dt2ttwww.hackshp.cn(a)确定H()，并粗略画出其图形。1(b)求整个系统的单位冲激响应ht()。1(c)当输入为x()sin2ttcost时，求系统输出y()t。cc2图P4.19khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com dsinttsin1cc解：(a)ht();u()u()1ccdt22tt21Hj(),，如图PS4.19所示。2c2图PS4.19khdaw.com1,3c1(b)HH();()340,3jcHHeHH()()1j2/c()()134而HH()()H()1311,cHHH()()()HH()()2134140,c2sintc1sinccttcsinht()2课后答案网t22tttccccc(c)X()22ccjwww.hackshp.cn22利用(b)的结果，由YXH()()()可得j2/ccc1,ecY()2220,ccc也就是：Y()22cyt()cost2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 4.20对图P4.20所示电路，求出系统的传输函数HUI()()/()，欲使该系统不失真传输信号，试确定R和R。12图P4.201R21Rjj解：R并1RRjkhdaw.com21jut()itR()并1R21RjU()jHR()并I()1RRj21j4.21(1)已知x()t的频谱为X()，p()t是一个周期信号，其傅里叶级数表示式为pt()Aejk0tkk其中，为基波频率。如果课后答案网yt()xtpt()()，试问yt()的傅里叶变换是什么?0(2)如果X()如图P4.21(a)所示，对下列p()t画出yt()xtpt()()的频谱。t(a)p()costt(b)www.hackshp.cnpt()cos2(c)p()cos2tt(d)p()ttnn(e)p()tt4n(f)p()t如图P4.21(b)所示。n图P4.21khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 解：(1)pt()P()2ann0n1YX()()*()PXan()*n02naXnn0n(2)(a)P()(1)(1)1YXX()(1)(1)，如图PS4.21(a)所示。211(b)P()()()khdaw.com22111YXX()()()，如图PS4.21(b)所示。222(c)P()(2)(2)1YXX()(2)(2)，如图PS4.21(c)所示。2(d)Pn()()n1YX()课后答案网(n)，如图PS4.21(d)所示。2n1n(e)P()()22nwww.hackshp.cn1nYX()()，如图PS4.21(e)所示。42nsinn/3(f)Pn()22nn11sinnn/3sin/3YX()2nX2n，如图nnnn3/3PS4.21(f)所示。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com khdaw.com图PS4.214.22(a)如果单位冲激响应为ht()和gt()的两个LTI系统是彼此互逆的，它们的频率响应分别为H()和G()，试问H()与G()之间有什么关系。(b)逆系统被广泛用于干扰抵消。假定一个有回声的大厅，将其声学结构作为一个LTI系统来建立其模型。该系统的单位冲激响应由一系列冲激组成，其中第k个冲激表示第k次反射。在此情况下，单位冲激响应表示为kTht()etkTk其中ekT表示第k课后答案网次反射时的阻尼。为了获得高质量的音响效果，必须对检测到的声音进行处理，借以消除回波的干扰。假定G()代表LTI系统的频率响应，该系统被用来处理检测到的音响信号，试确定www.hackshp.cnG()，使得回波干扰能完全消除。(c)一个最初松弛且由下列微分方程描述的LTI系统""""""y()6()9()tytytx()3()2()txtxt该系统的逆系统也是最初松弛的，求出描述该逆系统的微分方程。并求出原系统的单位冲激响应ht()和逆系统的单位冲激响应gt()。解：(a)若ht()和gt()互逆，则有htgt()*()()tHG()()1,H()1/()GkTjT1(b)He()e1jTk1ekhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 11jTGe()1H()(c)两边傅里叶变换22Yj()6YY()9()Xj()3XX()2()2Yj()322jj32H()1222Xj()6933jj3j2216j93j14H()12Hjj()322j2j1j33ttkhdaw.comht()()3teut()2teut()2ttgt()()teut()4eut()22dyt()dyt()dxt()dxt()逆微分方程：32()ytx69()t22dtdtdtdt4.23(a)某连续时间LTI系统的频率响应为ajH()aj其中，a0，求出H()和相位，并求出系统的单位冲激响应h()t。这样的系统称为全通系统。．．．．(b)如果对(a)中所给的系统输入信号为课后答案网btxt()eut(),b0当ba时，输出y()t是什么？当ba时，y()t又是什么？www.hackshp.cn比较y()t与x()t，即可看出尽管系统对输入信号的各个频率分量在幅度上一视同仁，但由于系统相位特性的非线性，致使不同频率的分量产生不同的时延，从而导致输出信号发生了失真。这种失真即是所谓的相位失真。1/2*1/2ajaj解：(a)HH()()()H1ajaj111Ht()gtgt2gaaaaj2aatHh()1,()t()2taeu()tajajkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1(b)X()；当ba时有bjaj2/(aba)abab/()YXH()()()ajbjajbj2aaatbbtyt()eut()eut()baabaj12a当ba时，Y()22ajajajataty()2tateu()teu()t4.24khdaw.com某LTI系统对输入信号tt3x()teeu()t的响应为tt4yt()2e2eut()(a)求该系统的频率响应。(b)求该系统的单位冲激响应。(c)写出描述系统的微分方程，并用直接II型结构实现该系统。1142j解：(a)X()213jjjj43226Y()214jj课后答案网jj54Y()33j3/23/2H()Xjjjj()2424324ttwww.hackshp.cn(b)ht()eeut()22dyt()dyt()dxt()(c)68y(tx)39(t)2dtdtdt其直接II型结构如图PS4.24所示。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 4.25某因果LTI系统由下列微分方程描述"y()2()tytx()t(a)确定该系统的频率响应H()和单位冲激响应ht()。t(b)如果x()teu()t，求系统的输出响应y()t。(c)如果输入x()t的傅里叶变换分别为：13jj1XXX();();()21(jjj1)(2j)khdaw.com重新求系统的输出响应yt()。Y()1解：(a)H()X()2j2tht()eut()1111(b)YXH()()()212jjj12jtt2y()2teu()2teu()t1j(c)X()2j课后答案网111jjYXH()()()2222jj22jj22ttyteutteut()()www.hackshp.cn()3jX()1j3121jYXH()()()1212jjjjtt2yt()2euteut()()1X()(1j)(2j)11YXH()()()1(j2)jj2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 111212jj2jttt22yt()euteutteut()()()4.26如果连续时间LTI系统的冲激响应ht()是实、因果函数，其频率响应H()可以完全由它的实部来确定；如果ht()是实因果函数，且在t0不包含奇异函数，那么H()也可以由它的虚部完全确定。本体研究的就是这一特性。(a)考查ht()的偶部ht()，指出如何由ht()得到ht()，进而证明H()可以完全ee由它的实部来确定。khdaw.com(b)如果因果系统的频率响应的实部为cos，试确定ht()，并进而确定H()。(c)如果ht()在t0不包含任何奇异函数，由于ht()是因果的，除了t0以外，有ht()htut()()且上式两边的傅里叶变换必然恒等，根据傅里叶变换的调制特性，证明：1(H)Hd()j(d)利用上式导出用H()的虚部H()表示实部H()以及用H()表示IRRH()的关系式。I这表明，因果LTI系统的冲激响应是实信号时（这正是工程实际中应用的情况）课后答案网，系统频率响应的实部和虚部是互相制约的。从而系统的幅频特性与相频特性也是相互制约的。由H()和H()互相表示的这种约束关系称为希尔伯特（Hilbert）变IR换。www.hackshp.cn1解：(a)ht()htht()()，且ht()为实函数。ee211*ht()H()H()H()H()H()Re()Hee22又ht()是因果的，ht()2()(),(0)htuthh(0)ee由H()的实部可完全确定ht()；由ht()又可完全确定ht()。从而H()可ee以完全由它的实部来确定。1jj(b)ReHe()cose21jht()(1)t(1),()tht(1),tH()ee2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1(c)ht()htht()()，当ht()为因果函数时有o2ht()2(),htt0o因此，除了t0一点外，可以由ht()得到ht()。o如果ht()在t0不包含奇异函数，而且h(0)A，则有00jtjthte()dt00edt00jt因而hte()dtH()将不会因为h(0)为任何有限值而改变。这表明khdaw.comH()与h(0)的值无关。1由ht()htht()()可得o21*HH()()Hj()Im()Ho2于是，由ImH()可以确定ht()。再根据ht()2()()htut（除t0外），oo可由ht()求得H()。因此H()可以完全由其虚部确定。11111HH()()*HH()()*由此得22jj2111H()HH()()*d课后答案网jj(d)令HHj()()H()，则有RI11HH()()www.hackshp.cnRIjHH()()djdRI11HH()()RIHd(),H()dIR4.27在图P4.27所示系统中H()是理想低通滤波器，其截止频率为，群时延t为常cd112sin/2t数，试对和两种情况求输入为xt()时，系统的输出响cc22t应yt()。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 图P4.27"jT解：He()1H()"YXH()()()12,2而X()khdaw.com0,12jT1121e,2因此，当时，Y()yt()xt()xtT()c20,12jT121e,c当时，Y()c20,c2sintt2sin(T)ccyt()ttT4.28求图P4.28所示已调信号的频谱。课后答案网www.hackshp.cn图P4.28解：x()txt()cost，其中x()t如图PS4.28所示。110010khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 图PS4.281XX()()()()110002x()t：调制周期为T的方波，x()t同x()t22010x()t：调制周期为T的方波，x()costtm330khdaw.comT同X()，可计算X()及X()。1234.29图P4.29所示系统中，已知输入信号的频谱为X()，如图所示。试确定并粗略画出yt()的频谱Y()。图P4.291课后答案网解：YX()()(5)(5)WWH()121(3)(3)(WWH2)2www.hackshp.cn1XW(5)(5)()(3)(3)(XWH12WWH)44.30在4.8节讨论同步解调时，我们从频谱图直观地说明了调制器和解调器所用的载波应该同频。由于通信系统中调制和解调常常是在相距很远的两地进行的，因此做到这一点比较困难。本题讨论两个载波不同频但频率同步的情况。假定在khdaw.comDSB调制中，载若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 波频率为，解调器的载波频率为，它们的频率差为，同时假cddc定x()t是带限的，即时，X()0；同步解调时理想低通滤波器的截止M频率W满足下列条件：W2McM(a)证明此时解调器中理想低通滤波器的输出正比于x()costt如果不随时间变化，即和是同步的，我们就可以通过二次解调得到cdkhdaw.comx(t)。(b)如果x()t的频谱如图P4.30所示，请绘出同步解调器输出的频谱。X()10MM图P4.30解：设解调器输出为xˆ()t11wt()xt()costcostxt()costcostcddc课后答案网22x()t带限于，上式第二项的频谱在频率范围MdcMwww.hackshp.cndcM即：22cMcM而McW2M，因此频谱完全在低通滤波器的通带之外。1但x()costt的频谱位于范围内，因此完全在低通滤MM2波器通带中，由此可得xˆ()tx()costt这就证明了：解调器的输出正比于x()costt。二次解调有khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com xt()costcoscdtcost1xt()costcostcoscdt2111111xt()cos2txt()coscdcd22222211xt()1cos2txt()cos2dctcos2t441111xt()xt()cos2txt()cos2txt()cos2tdc44441因此，可以得到x()t，即得到x()t。4(b)如图PS4.30所示。khdaw.comXˆ()12MMMM4.31在讨论幅度调制时，调制和解调都是由乘法器完成的，但在工程实际中，由于乘法器往往难以实现，所以很多实际系统中都采用非线性器件。图P4.31给出了这样一个幅度调制系统。假定x()t是带限的，当时，X()0，试确定带通滤波器M的参量A,和，使得y()tx()costt，并给出和的必要约束条件。lh00h课后答案网www.hackshp.cn图P4.31222解：xt()costxt()2()cosxttcos00022为了使y()tx()costt，就必须使带通滤波器滤除x()costt，且要求参001量A221x()t带限于，xt()X()()XM22x()t带限于2。M21而costt1cos2，其频谱位于0和2处；x()costt的00002khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 频谱位于范围内，因此，带通滤波器应满足如下要求：00MM2,2Ml00MMh0欲使这两个条件都满足，对和应有如下约束：0M3M04.32图P4.32所示的调制解调系统中，解调器所用的载波是一个方波信号，它与调制器的载波具有相同的零点，如图所示。x()t是带限信号，其最高频率，频谱的M0实部和虚部如图所示。khdaw.com(a)分别画出ztpt(),()和yt()的傅里叶变换ZP(),()和Y()的实部与虚部，并加以标注。(b)画出使xˆ()tx()t的滤波器的H()，并加以标注。课后答案网www.hackshp.cn图P4.3211解：(a)由图P4.32可得：ZX()()X()如图PS4.32-1所示。0022图PS4.32-1由图P4.32可求得p()t的傅里叶级数系数为khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 4sink2ak,(0);a0k02k4sink2pa()2k(k00)(k)(0)kkkk如图PS4.32-2所示。P()444455303055000044khdaw.com331YZ()()()P211Re()ReYZ()()PZRe()P()2211Im()ImYZ()()PZIm()P()22如图PS4.32-3所示。课后答案网www.hackshp.cn图PS4.32-3(b)由Y()可以得出：使xˆ()tx()t的滤波器的H()应如图PS4.32-4所示。H()2MMkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 4.33在DSB调制中，已调信号的带宽是原始信号带宽的两倍，我们把高于载频的部分称为上边带，低于载频的部分称为下边带。由于上下边带是以载频对称的，这在频带利用上是不经济的。为了更充分地利用频带，在通信中还采用单边带调制(SSB)技术。图P4.33给出了利用移相法产生单边带信号的系统。(a)绘出图中x(),(),()tytyt的频谱示意图。p12(b)绘出y()tytyt()()的频谱，说明此时yt()是只保留了下边带的信号；如12果y()tyty()(t)，则yt()只保留了上边带。12(c)从频域分析单边带信号如何同步解调，绘出解调系统及相关的频谱图。y()t1khdaw.comX()x()tyt()cos0tj,0xp()tyt2()H()j,0MMsint0图P4.33解：(a)XX()()()Hp1YXX10()()(0)；21YXX()()()20pp02j各频谱分别如图PS4.33(a)-(1)课后答案网、(2)、(3)所示。XP()Y1()Y2()11j22www.hackshp.cn00MM0M00M0M00Mj12(b)如图PS4.33(b)-(1)、(2)所示。yt()yt12()yt()yt()yt12()yt()Y()Y()0000khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (c)[()cos]*()ytht0H()yt()x()tMMcost(sint)00X()22khdaw.com0MM0MM4.34一个AM调幅波为x()tt10.3cos120.1costsin0t33其中：2510/rads；2310/rads；12624510/rads；A100V。求：0(a)该调幅波的幅度调制指数m。(b)如果我们对调制信号的各个谐波分量分别定义调制指数，并将其称为部分调幅指数，试求该调幅波的部分调幅指数。(c)绘出调制信号与已调信号的频谱图。此调幅波的带宽是多少？课后答案网AA1.40.60.8maxmin解：(a)m0.4AA1.40.62maxmin1.30.71.10.9(b)m0.3;m0.11www.hackshp.cn11.30.71.10.9(c)频谱图如图PS4.34所示。带宽＝2201图PS4.34khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 4.35图P4.35是一个脉冲幅度调制（PAM）系统，该系统的输出rt()是PAM信号。(a)假定x()t是一个带限于T的信号，X()如图所示，试确定图中x()t和prt()地频谱。(b)求出的最大允许值，使得rt()经过一个适当的滤波器M()后，有xˆ()tx()t。(c)这个适当的滤波器的频率响应M()应该如何确定？并绘出M()的示意图。khdaw.com图P4.3522解：(a)Pk()，xp()tx()()tptTTk11TXp()XP()*()X(k)，如图PS4.35(a)所示。22Tk课后答案网sin2H()如图PS4.35(b)所示，2www.hackshp.cnsin22R()XHp()()XkTTk2当T时，R()如图PS4.35(c)所示。(b)欲使rt()经过一个适当的滤波器后能恢复成x()t，就必须保证在范围内T12有RX()()()H。因此，可以看出必须有，即2T，从TT而有2T。maxkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com T(c)为了使xˆ()tx()t，必须有RM()()X()，于是得M()H()时，而在时应有M()0，如图PS4.35(d)所示。TTT,T2sinM()20,Tkhdaw.com图PS4.354.36已知信号x()t带限于，x()t带限于，x()t与x()t相乘之后被理想抽样。112212试确定允许的最大抽样间隔T，使抽样后的信号能够通过理想低通滤波器不失真地恢复成原始信号。课后答案网1解：xtxt()()X()X()频带范围为(),()1212121222若不失真恢复，则2()即T12Twww.hackshp.cn124.37如果信号x()t的最高频率为500Hz，x()t的最高频率为1500Hz，下列信号是由x()t121和x()t构成的，试确定对每一个信号进行理想抽样时，所允许的最大抽样间隔T。2(a)f()txtxt()()(b)f()txtxt()*()112212(c)f()txt(/2)(d)f()txt(3)3142(e)ftxt()(5)(f)f()txtxt()(/3)5161222解：(a)fT15003000T30001500khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 2(b)fT5001000T5002(c)fT250500T2502(d)fT45009000T45002(e)fT5001000T5002(f)fT(5004500)10000T50004.38在实际工程中，常常采用零阶保持抽样。它可以等价为图P4.38所示的系统，在理想抽样之后经过一个零阶保持系统。khdaw.com(a)求出零阶保持系统的单位冲激响应。(b)绘出x()t和rt()的波形示意图。(c)如果x()t是带限于的信号，抽样间隔T满足抽样定理的要求，为了能从rt()M恢复成x()t，应该让rt()通过一个什么样的系统，确定该系统的频率响应并绘出其幅频特性和相频特性的略图。课后答案网图P4.38零阶保持抽样4.39设连续时间信号x()t带限于，现在以T为间隔对其理想抽样，然后将各样点用直M线连接起来构成折线信号xˆ()t。这一过程可以等效为理想抽样后，再经过一个LTIwww.hackshp.cn系统。试确定该系统的单位冲激响应ht()。该系统称为一阶保持系统。如果要从一阶保持系统的输出xˆ()t恢复成x()t，还需要级联一个什么样的系统，确定该系统的频率响应，并绘出略图。4.40已知连续时间信号x()t被图P4.40所示的窄脉冲串抽样，x()t的频谱为X()，p()t的频谱为P()。(a)证明抽样后信号x()t的频谱为p122Xp()Xk()(Pk)TTkTkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (b)为了能够从x()t恢复原信号x()t，需要满足哪些条件？px()tp()tx()txp()tp()ttTTt22图P4.404.41根据抽样定理，如果x()t带限于，抽样频率2T，且大于2，理想低MsMs通滤波器截止频率T，通带增益为T。那么经过理想低通重建的信号c2x()t将完全等于x()t。如果不满足上述要求，即欠抽样的情况下，则x()t将不khdaw.comrsr等于x()t。但只要有2，无论抽样间隔等于多少，x()t和x()t在抽样时刻csr总是相等的。即xkT()xkT(),0k,1,2,。试证明这一结论。r4.42在正文中我们提到取样示波器用了欠抽样的效果，本题对这一问题进一步讨论。假定x()t是一个频率很高的带限信号。我们对x()t抽样时，抽样间隔为T，其中T时信号x()t得周期，是根据x()t的带宽适当选择的间隔增量。如图P4.42所示。只要将抽样所得到的冲激串通过一个适当的低通内插滤波器，那么恢复的信号yt()将正比于x()at，其中a课后答案网1。若xt()ABcos2t，求的取值范围，使图P4.42中的yt()正比于Tx()at，其中a1，并用T和确定a的值。www.hackshp.cnx()t周期为T，当W时，X()0图P4.42jj22解：由X()2A()be()be()TTkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 22P()(k)可得p()()txt的频谱如图PS4.42所示。要使TTkyt()正比于x()at，a1，就必须有21T即TT()2(T)422由a得aTT()TT1yt()xat()Tkhdaw.com图PS4.424.43只要平均抽样密度为每秒2W个样点，则带限于W的信号就可以从非均匀抽样的样本得到恢复。图P4.43就是一个非均匀间隔抽样的系统。在图中假定x()t是带限于W的信号，即W时，X()0；p()t是如图所示的非均匀间隔的周期性冲激串；f()t是周期性波形，其周期为2。f(0)a，f()b，H()是900相移器，T1课后答案网j,0H()1j,0H()是理想低通滤波器2www.hackshp.cnKW,0*HK(),W020,W图P4.43khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 其中，K为常数，也可以是复数。在此条件下就以下各题：(a)求p()t的傅里叶变换P()。(b)求gt()ptft()()的傅里叶变换G()，用参数ab,表示。(c)在0W区间，求y()tx()()()tptftx()()tgt地频谱Y()。11(d)在0W区间，求y()t地频谱Y()。22(e)在0W区间，求y()t地频谱Y()。33(f)作为的函数，求出实参量a和b以及复增益K的值，使得对任何带限信号x()tkhdaw.com和任何，0，都有zt()xt()。W解：(a)由图P4.43可以写出22pt()tntnnnWWjPe()1WnW如图PS4.43-1所示。n22(b)令gt()ptft()，则gt()atnbtnnnWWjGW()(a课后答案网be)(kW)如图PS4.43-2所示。kwww.hackshp.cn(c)由图P4.43可得：y()tx()()()tptftx()()tgt11YX()()*()G12在区间0W内，由于x()t带限于WWWjW故Ya()(b)()Xa(be)(XW)122khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (d)由图P4.43知YYH()()()21在区间0W内有Yj()Y()21(e)由图P4.43知y()tx()()tpt31YX()()*()P32在区间0W内，由于x()t带限于WWjW故YW()2()(1Xe)(XW)32(f)Z()YYHK()()()YY()(),0Wkhdaw.com23223欲使0时，zt()xt()，就要求KY23()()YX()WWWjWjW即：2()()jabX(1e)(jabe)(XW)221X()KjWjW为此必须有1(ejabe)01cosWbsinW0即：由此可解得abcosWsinW0aWsinbWcosctgW1cos课后答案网WbsinW2W2sinWKwww.hackshp.cn2()jabW2sinWj4.44图P4.44所示的X()由于能量集中在某一频带内，因而这种信号通常称为带通信号。如果对x()t进行抽样，按照抽样定理就应该使抽样频率2。但实际上，s2对带通信号可以用低于两倍最高频率的速率抽样，这就是所谓的带通抽样。假定图示系统中，，求出T的最大值和常数A,、的值，使得xˆ()tx()t。121abkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 图P4.4422解：由图P4.44知p()tt(nT)，Pn()()nTTn112XXp()()*()PX(n)2TTnkhdaw.com要在低于22的抽样频率下使xˆ()tx()t，就必须保证Xp()在区间12,不发生频谱混迭。1令B，当k为正整数时，在以最低频率抽样而不发生频谱混迭的21B情况下，X()如图PS4.44(a)所示。p此时应有ks11(1k)s222221即skk122B(课后答案网)s21在这种情况下，最大抽样间隔为TmaxBwww.hackshp.cn2111当不是整数时，设N是小于的最大整数，则有kBaB，其中1BB0a1；此时若仍以2B抽样，则Xk()与X()必在,sss12区间混迭，如图PS4.44(b)所示。图PS4.44khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 为了避免混迭现象，必须调整使得sks11(1kk)0,1,2,,Ns22由此可得带通信号抽样时，所允许地抽样频率2221kN0,1,2,,skk12a2最低抽样频率为2(1B)sNN11(1N)最大抽样间隔为TmaxaB(1)2N1khdaw.com根据图P4.44，XXHˆop()()()，为了恢复x()t应有AT;;ba214.45图P4.45所示的信号x()t是一个时限信号，其时域持续区间为(,2)TTT，X()00m代表它的频谱。如果对X()进行频域抽样，在频域有XX()()()P，其中pPk()(0)k课后答案网图P4.452(a)如果2T，粗略画出www.hackshp.cnX()的傅里叶反变换x()t。mpp02(b)在2T的情况下，可以通过对加窗口函数恢复出x()t，即x()txt()()wt。mp0试去定并画出wt()。本题所得到的结论是对4.10节所讨论的情况的更一般的推广。解：(a)Pk()(0)k12p()tt(k)00kkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 12xp()tx(tk)00k如图PS4.45-1所示。图PS4.45-122Tmkhdaw.com0不发生信号混叠。(b)用以恢复x()t的时窗为,2TTTT000mwt()0,其他如图PS4.45-2所示。课后答案网图PS4.45-2www.hackshp.cnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第五章习题答案1.对下面离散时间周期信号，确定其离散时间傅立叶级数的系数A。k(a)x(n)cos(2n)3sin(2n)7n1(b)x(n),2n,3且x(n)以6为周期。2(c)x(n)1sin(n)4,0n,3且x(n)以4为周期。khdaw.com(d)x(n)1sin(n)4,0n11,且x(n)以12为周期。(e)x(n)如图P5.1(a)所示。(f)x(n)如图P5.1(b)所示。(g)x(n)如图P5.1(c)所示。(h)x(n)如图P5.1(d)所示。课后答案网（a）www.hackshp.cn(b)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (c)khdaw.com(d)解：22221jnjn1jnjn(a)x(n)e3e3e7e7,N=212课后答案网2j22221j7nj7n1j3nj3ne21e21e21e2122j若取0k20www.hackshp.cn，则有：1111a;aa;a;aa;其余a071473183k222j2j216j2kjk1e131njkn14e323(b)ake6n2261j3k1e2611=21k2,(0k5)3jk1e32khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com n1jnjn(c)x[n]1sin1(e4e4),(0n3)42j881811jkn1jn(k)1jn(k)ae2e22e22k4n08jn08jn011j2(k)j2(k)11ej2k11e211e2=114jk8jj(k)8jj(k)1e21e221e22j2k211e12=4jk21e22cosk2khdaw.com2132即：a11()2,0441k1ka()11(2cos),k3,2,1k42111131131jkn1jn(k)1jn(k)(d)ae6e62e62k12n024jn024jn033j2(k)j2(k)11ej2k11e211e2=12jk24jj(k3)24jj(k3)61e621e61e2课后答案网j2k211e12=12jk61e62cosk2621www.hackshp.cn2112即：a1062212k2cos11216a,1k11k12122cosk2cosk634jk15jkn15jkn11e3(e)ax[n]e3e3k6n06n06j3k1ekhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com jk2e2sink132=1k5;a063sink6n2221jkn1jkjkjkjk(f)ax[n]e3[e32e312e3e3]k6n261212=coskcosk,0k5633332242241jkn1jkjkkjk(g)ax[n]e52[e5e5e52e5]k5n25khdaw.com2j24=-(sink2sink),(0k4)555521jkn1jkjk(h)ax[n]e31(2e32e3),0k5k6n062.已知周期为8的离散时间信号具有如下傅立叶技术系数，试确定信号x(n)。(a)Acos(k)sin(3k)(b)A如图P5.2(a)所示。k44ksin(k),0k6(b)Ak3(d)Ak如图P5.2(b)所示。,0k7课后答案网www.hackshp.cn(a)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com khdaw.com（b）1jk1jk1j8k1j8k解：(a)ae4e4e4e4,N8k222j2jx[n]4[n]14[n]14j[n]34j[n]4,3n4x[n]x[n8r],即为所求周期信号。r(b)111a2[k][k]1[k]1[k]2[k]2[k]3k224课后答案网1[k]344kjkn13x[n]ae422cosncosncosn,(0n7)k3www.hackshp.cn4224x[n]=x[n8r]即为所求周期信号。r(c)33a2[k][k]1[k]1[k]2[k]2k2211[k]3[k]3224jkn13x[n]ae422cosncosncosn,0n7kk34224khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com x[n]x[n8r]即为所求周期信号。r(d)a[k][k]1[k]1[k]3[k]3[k]4,(3k4)k4jknn3x[n]ae412cosn()12cosn,(0n7)kk344x[n]x[n8r]即为所求周期信号。r3.如图x(n)是以N为周期的实信号，其傅立叶级数系数为Aajb，其中a和b均khdaw.comkkkkk为实数。课后答案网(a)www.hackshp.cn(b)*(a)证明A＝A。进而推出a与a，b与b之间的关系。kkkkkkkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (b)证明当N为偶数时，A是实数，A是实数，Aa。NNNN2222(c)证明x(n)能够表示为三角函数形式的傅立叶级数，即N为奇数时(N)12x(n)a2[acos(2kn)bsin(2kn)]0kNkNk1N为偶数时N12x(n)[a()1na]2[acos(2kn)bsin(2kn)]0NkNkN2k1(d)若AAejk，其中AA,是A的相角，证明三角函数形式的傅立叶级数kkkkkk也可以表示为如下形式：khdaw.comN为奇数时：(N)12x(n)a2Acos(2kn)0kNkk1N为偶数时：N12x(n)[a()1na]2[Acos(2kn)]0NkNk2k1(e)如果P5.3所示信号x(n)和y(n)的三角函数形式傅立叶级数为：8x(n)a2[acos(2kn)bsin(2kn)]0k7k7k1课后答案网8y(n)b2[dcos(2kn)fsin(2kn)]0k7k7k1试画出z(n)的图形8z(n)(ad)www.hackshp.cn2[dcos(2kn)(fb)sin(2kn)]00k7kk7k1解：(a)x[n]是实信号，x[*n]x[n]N12N12jknjkn而x[*n]a*eNa*eNx[n]kkk0k0N12jkn＝x[*n]aeNkk0aa*或写为a*akkkk令abjc，则有abjc，从而有kkkkkkkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com bb，cckkkk(b)当N为偶数时，N为一整数。21N1j2Nn1N11N1ax[n]eN2x[n]ejn()1nx[n]N2N0N0Nn0显然，a是一个实数。N2(c)设abjc,由傅立叶级数综合公式有。kkkN1jk2nN1jk2nx[n]aeN(bjc)eNkkkkhdaw.comk0k0当N为奇数时，上式可写为：(N)1222jknj(Nk)nx[n]a(aNaeN)0kNkk1(N)1222jknj(Nk)na(aNa*eN)0kkk1(N)1222＝a02(bkcoskncksin(kn))k1NN当N为偶数时，相应有(N)－1222jknj(Nk)nx[n]aa()1n(aNaeN)0课后答案网NkNk2k1(N)－1222jknj(Nk)n＝aa()1n(aNa*eN)0Nkk2www.hackshp.cnk1(N)1222n＝a0aN()12(bkcoskncksin(kn))2k1NN(d)由(c)知，当aAejk时，有kk(N)122jknx[n]a2Re{aN}N为奇数时：0kk1(N)122＝a2(Acos(kn)0kKk1Nkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (N)122jknN为偶数时：x[n]aa()1n2Re{aN}0Nk2k1(N)122na0aN()12Akcos(knk)2k1N8(e)y(n)(ad)2[dcos(2kn)(fc)sin(2kn)]00k7kk7k182{x[n]}a02bkcosknk1782khdaw.comd{x[n]}2cksinknk1782{z[n]}d02dkcosknk1782d{z[n]}2fksinknk17y(n)a2d{z[n]}{x[n]}{z[n]}00vdd而a,1d;1{z[n]},{z[n]}，{x[n]}分别如图PS5.3-1所00dd示，因此y[n]如图PS5.3-2所示。课后答案网www.hackshp.cnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com khdaw.com课后答案网PS5.3-1www.hackshp.cnPS5.3-2j2kn4.已知x(n)是以N为周期得序列，其傅立叶级数表示式为x(n)AeN,试用Akkkhdaw.comkN若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 表示下列信号得傅立叶级数系数N(a)x(nn)(b)x(n)x(n)1(c)x(*n)(d)()1x(n)设N为偶数0N(e)()1x(n)(假定N为奇数，此时该信号得周期为2N).x(n),n为m得倍数(f)x(m)(n)m0，其他n22221jkn1jkmjknjkn0解：(a)aˆx[nn]eNx[m]eNeNaeNk0kNnNNmN221jknjk(b)aˆ(x[n]x[n1])eNaaeNkkkkhdaw.comNnN221jkn1jkn(c)aˆx[*n]eN[x[n]eN*]a*kkNnNNnN2N21njkn1j(k)n(d)aˆ()1x[n]eN[x[n]e2N]akNNnNNnN(k)2(k=0,1,2,……..N-1)1njkn1jknjn(e)aˆ()1x[n]eNx[n]eNek2Nn22N2NnN1N1j2n(kN)2N1j2n(kN)[x[n]eN2x[n]eN2]2Nn0课后答案网nN1N1j2n(kN)N1j2n(kN)[x[n]eN2x[nN]eN2ej(kN)]2Nn0n01j(kN)a1(e)(kN)www.hackshp.cn22a，k为奇数(kN)20，k为偶数(f)x[n]是以mN为周期的序列，m221jkn1jknaˆx[n]emN＝x[n/m]emNk(m)mNnmNmNnmN21jkmr1＝x[r]emNa(,k,2,1,0mN)1kmNnrm5.(a)如果x(n)和y(n)都是以N为周期的，它们的傅立叶级数系数分别为A和B，试推khdaw.comkk若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com j(2)kn倒离散时间傅立叶级数的调制特性。即证明x(n)y(n)CeN，其中kkNCkAlBklAklBlkNNk(b)利用调制特性求下列信号的傅立叶级数表达式，其中x(n)的傅立叶级数系数的A。k1．x[n]cos(6n)2.x[n](nKN)NK(c)如果x[n]cos(n)，y(n)的周期为12，且3,1n3y[n]khdaw.com4,0n8求x(n)y(n)的傅立叶级数表达式。解：22jknjkna.(ab)eNa(b)eNlkllklkNlNkNlN22jmnjln=abeNeNlmlNmN22jnjmn=aeNbeN=x[n]y[n]lmlNmN2jknx[n]y[n]=ceN,其中cab课后答案网kklklkNlN同样可以证明：ckaklblwww.hackshp.cnlN226n1j3n1j3n1b(i)coseNeN得：bb;其余b033kN22211ckaklblak3ak3lN22261jknx[n]cosn(aa)eNk3k3NkN221jkn=(aa)eNk3k3NkN2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 2jkn(ii)令[nrN]beN，其中krNk2jkn1b[n]eNknNN1ckaklblalblkallNlNNiN21jknx[n][nrN](a)eNirNkNiN221jn1jn(c)x[n]=khdaw.comcosne6e6,3221aaa,其余a＝02210k277jkjksink18jkn1e21(e6)112be6(0k11)k12n812j6k12sink1e1277sin(k)2sin(k10)112112ckalbkl(0k11)l1224sin(k)224sin(k10)12126.求下列信号的离散时间傅立叶变换课后答案网:1nnn(a)()u(n)2(b)2u(n)(c)(acosn)u(n),a104n1n(d)(asinn),a1)(e)5(3n)(f)n()0www.hackshp.cn2nsin(n)sin(n)(g)1(n3k)(h)cos(18n)sin(2n)(i)[3][4]k47nncos(n)(j)x(n)3,4n4(k)x(n)如图P5.6(a)所示。(l)x(n)如图P5.6(b)所示,0其他n(m)x(n)如图P5.6(c)所示(n)x(n)如图P5.6(d)所示khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com khdaw.com(a)课后答案网www.hackshp.cn(b)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com khdaw.com(c)课后答案网www.hackshp.cn(d)1j21j2(e)e1njn416解：(a)x()()en2411ej11ej440njn1(b)x())2(e1n1ej2n1nj0nj0n(c)x[n[acosn]u(n)a[ee]u[n]02khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com x()1(a)nej(0)n1anej(0)n1(11)2221aej(0)1aej(0)nn00j1aecos0=j2j212acoseae0(d)1njnnjnx()(a)sin(0n)easin(0n)enn01111aej(0)aej(0)[][]2j1aej(0)1aej(0)2j1aej(0)1aej(0)22ja(a)1sinsin0khdaw.com22221(2acos)4a1(a)coscos2acos200j2(e)6(3n)x()e1n(f)令x(n)(),则有：121(1)nejnnjnx1()2e2nn013je2141j1j51e1ecos2课后答案网233sind4x()jX()j1d52(cos)www.hackshp.cn41njn13kjn(g)x()()[n3k]e()[n3k]enkk0404n13kj3k1=()e41k01(ej)341818181jnj7n1j2nj2n(h)cos(n)sin2n(e7e)(ee)722jkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 18181j()n1j()n1jn()21jn()2x()e7e7ee2nn22jn2jn=44[(2k)(2k)j(22k)j(22k)]k77sin(n),133(i)X1()n,0khdaw.com2sin(n),144X2()n,04如图PS5.5所示。441jn()1jn()(j)X()e3e32n42n4j(4)j(6)j(4)j(5)e3课后答案网e3e3e3j()j()1[2e3]1[2e3]sj3j4j5j6eeeejj21(2ee)www.hackshp.cn4j5jnjn1e(k)X()x(n)eejnn01e3jn(l)X()x(n)e23cos2cos2cos3n3(m)x[n]是以6为周期的序列，因此有11jkn1ax(n)e31(4jsink)k6n163khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 5X()2ak(k2l)lk0351(4jsink)(k2l)3lk033Njn(n)X()x(n)e2Nsin(N)(2N)1sin[(N1)]2sinnN=jNjN(1)jj2jNe(1N)ee0e2ejN(1)jN(1Ne)NejNjjjjj=khdaw.comNe()e(N1)(ee)(ee)=2sin(NNN)2(1)sin[(N1)]2sinj7.已知离散时间信号的傅立叶变换为X()e,求信号x(n).jjj24j(a)Xe()13e2e4e1,0Wj(b)Xe()0,Wjk(c)X()ek(1)()k2(d)Xe()cjos()s课后答案网jin2jje(e)Xe()11jj2w1ee66www.hackshp.cn0,0(f)Xe()1j,30,23j(g)X(e)如图P5.7(a)所示j(h)X(e)如图P5.7(b)所示解：(a)xn()2[()3(1)2(2)4(4)]nnnnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1sWjwninWn(b)xn()edw2Wn(c)X()如图PS5.7-1所示，在一个周期内可表示为khdaw.comPS5.7-1X()()()()()2211jnjnjnnjnxn[](1ee22e)cos(1e2)221111jj(d)X()eeee22jj()2222课后答案网1jjjjjnx[]ne(22eee)ed4=www.hackshp.cn1111jn()221jn()1jn(1)1jn(1)[]eeee]4(11jn1)jn(1)jn()jn()2211sin(nn)sin()122=[(nn1)(1)]211nn22n1(1)11=[1nn][1]21222(n)4khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 135(e)(sinnnsin)n8861nn61x[]nu()[]n()[]un535211233jj22njjn(f)x[]neede2ed2233211jn(2)33jn(2)=ee2jn(2)2jn(2)23312=[sin(nn2)sin(2)]khdaw.com(2n)331jn0jn(g)x[]ne[(1)d()ed]20n1(1)=2jn(h)令X()＝XX()＋()，其中X()和X()如图PS5.15-2所示。12121(sinnnsin)n88538＝1[]eeejn8jnjn2jn385813课后答案网5＝(sinnnsin)n88111788jnjnjnx()nededed22227www.hackshp.cn8818＝[]eeejn8jnjn2jn881＝(sinnnsin)n881(23cos2cos2cos3)88．已知x()n如图P5.8(a)所示得周期信号，x()n和x()n分别是从x()n中截取一个周期12所得到得非周期信号，如图P5.8(b),(c)所示。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com khdaw.com(a)课后答案网(b)www.hackshp.cn(c)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (a)求出x()n得离散时间傅立叶级数得系数Akjj(b)分别求出X(e)和X(e)。在这里可以看到，由于截取一个周期时，截取得12方式不同，因而所得到得非周期信号具有不同得傅立叶变换。(c)证明无论怎样截取，下列关系总是成立得：AX1()ej2kNkN231j()kn1j()kn解：(a)Ax()neN=xne()4kNnN8n3khdaw.com13=(23cos(kk)2coscosk)84242222a1aaaa,aa0,a003517264883jjn(b)Xe1()xne()=23cos2cos2cos3n47jjn31jj2j31j5j6j37X2()ex()ne2eee0eeen02222jj显然X(e)和X(e)不同。12课后答案网1j(c)由(a)与(b)可以看出。Ax()e2k18wk8311jwww.hackshp.cn3jj44kk1xe()2[2ee188wk22又857jjkk13j6kjkeeee2444]221＝(23cos2cos2cos3)8jj9.如果X()e是图P5.9所示信号x(n)的傅立叶变换，不求出X()e而完成下列计算。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com khdaw.com5.9j0jjja)求X()e(b)求X()e的相位()e。(c)求X()e的值。22jjj(d)计算X()ed(e)计算X()ed和dXe()dd。解：jn(a)Xx()[]ne,Xx(0)[]6nnnj2(b)x[n+2]是一个偶实序列，x[2nX]()e而偶实序列的频谱为偶实函数。即课后答案网X()2()X()2(),其中(是x[n+2]的相位频谱。www.hackshp.cnjnn(c)XX()[]ne(1)[](11211211)2xnnn(d)1jnx[]nX()edXd()2[0]4x(e)(i)由Parseval定理有22Xd()2x[]2nn(ii)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com dXn[]j[]xnd2dX()2dn2jx[n]2dxn10.确定图P5.10所示信号中哪些信号的傅立叶变换满足下列条件之一：jjjja(a)Re[(Xe)]0(b)Im[(Xe)]0(c)存在一个实数a，使得X()ee是实函jj0数。(d)X()ed=0(e)Xe()0解：满足(a)的有b，g。满足(b)的有d，e。满足（c）的有abedf。满足（d）的有d，b，e，f，g。满足（e）的有b，c，gj11.khdaw.com如果P5.11(a)所示的X()e是信号x(n)的离散时间傅立叶变换，试用x（n）表示图P5.11中其他傅立叶变换所对应的信号。解：由调制性质考虑xne()jj0nXe(())nj()取可知xn()(1)Xe()即为图(b)0n()bxnxn()()(1)1jdXe()2j易知x()e2djjdXe1()即Xe()22d课后答案网jdXe1()又nxn()jdj(j)nxn()www.hackshp.cnj(j)dXe1()Xe()j222dj即(j)nxn()Xe()22(c)x()nnjx()n22jjjX()eX()()eXe32(d)x()nxnx()()(1j)()nnxn322jjj(e)X()()()eXeXe41nx()nx()nxn()[1(1)]()xn41khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com jjj(f)X()()()eXeXe52x()nx()()(1j)()nxnnxn52212.如果离散时间信号x(n)的傅立叶变换如图P5.12所示，请粗略画出下列连续时间周期信号的波形，并加以标注。j(5)ntj(5)nt(a)xt1()xne()(b)xt2()xne()nnj(5)ntj(3)nt(c)xt3()Oned()(d)xt4()Enev()nnkhdaw.comjnt5jn解：(a)x1()tx[]ne;()Xx[]nennxtX()()。其实部与虚部如图PS5.12-1所示。1t5Re{()}xt1课后答案网5252{()}xtwww.hackshp.cnm1图PS5.12-122jjntmt(b)x()tx[]ne10x[]mex10()t如图PS5.12-2所示。21nmkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com Re{()}xt21......-10-5-5/25/2510t{()}xtm2khdaw.comPS5.12-2221jjnt11nt1(c)x(t)=x[]ne88xne[]X(t)X()t如图PS5.12-3所32nn22424示：Re{()}xt3121课后答案网2{()}xtwww.hackshp.cnm3PS5.12-22111jjntnt1(d)x(t)=x[]ne66xne[]X(t)X()t如图，PS5.12-4所4222nn323示：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com Re{()}xt4{()}xtm4khdaw.comPS5.12-413.已知x()n是以8为周期的离散时间方波信号，且1,0nxn()0,4n7kn求x()n的X()k，其中X()kx()nWNnN课后答案网323sin(k)jjknk解：Xk()xnW()kne88e2NnNn0sin(k)814.如果x()n与yn()都是以www.hackshp.cn8为周期的序列，且1,0n1,4nxn()y()n0,其他n0,其他n求x()n与y()n得周期卷积f()x()nny()n，并求出相应的Fk()。3,nn0N1解：fn()xmynm()()0,n3m0nn3,46fn()3()2(1)(2)0(3)(4)2(5)3(6)nnnnnnnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com f()nf(7)nrr4323sin(k)jjknkxk()e77e7n0sin(k)762sin(k)jjknkyk()e77e7n4sin(k)74sin(kk)sin()jkFk()xkyk()()e7772khdaw.comsin(k)75.15求下列有限长序列地DFT，并用闭式表示：(a)x()nRn()。(b)x()sin(nn)()Rn(c)x()neRnjn()NNNn(d)x()cos(nn)()Rn(e)x()nnRn()(f)x()naRn()NNN解：(a)x()nRn()NNN11j2kknjkn1eXk()WeN2jknn00N1e课后答案网＝(b)x()sinnnR()n0Nwww.hackshp.cnj0n1*sinneIm[]由关系Im[()]xnX[()kX()]k02j11eejjnn11有X()kDFTx[()][n]()Rk2j1eWjj00kk2j1eWNNNkkWNsinsinsin(N1)WNN000＝R()kkk2N12cosWW0NN(c)x()neRnj0n()Nkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com N11eWj0NkNX()kDFTx[()]neWRkj0Nkn()NRk()NN1eWj0kNn0NN1sin(N)j(k0)2eR2()kNk0sin()2N(d)x()cosnnR()n0Nj0n1*cos(ne)Re[]由关系：Re[()]xnx[()kx()]k02有11eejj00NN1X()kDFTx[()]n[]()Rkkhdaw.com21eWjj00kk1eWNNNkk1cos(NW)cosWcos(N1)00NN0R()kkk2N12cosWW0NN(e)x()nnRn()NN1knN1dWNknkn0X()kDFTx[()]nnWRkWNN()[N]()RkNn0dxj(kk)NeRN()kNk2sin()N(f)课后答案网N1knNNkn1(aWN)X()kDFTxn[()]aWRkNN()kRkN()n01aWNN1aRk()2Njk1aeNwww.hackshp.cn2jkNkNN1W1enk,0N其中Rn()Rk()NNk21Wjk0,k0NN1e16.已知有限长序列地DFT为X(k)，求x(n)=IDFT[x(k)]。NjNjekm,－ekm,22NjNj(a)X()ke,kNm(b)X()kej,kNm220,其他k0,其他kkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 其中m为正整数且0M解：(a)先构造序列x1(n)(x(nrN))RN(n),然后计算x1(n)的N点FFT即可.r(b)先将序列添加一系列等于零的点，使得课后答案网x(n),0nM1x0(n),0MnN122jkjkn再计算x(n)的N点FFT即www.hackshp.cnX(eN|)x(n)eN0,kN1即可0zzk030.用一个N点复序列的FFT运算可以一次完成两个N点实序列或一个2N点实序列DFT运算。本题讨论这种算法。(a)假定x(n)和y(n)是两个N点实序列，我们构成复序列h(n)=x(n)+jy(n)(b)如果x(n)是一个2N点实序列，将其按奇偶位分组得到两个N点是序列，其中:xnxn()(2)1xnxn()(21),0nN12再组成N点复序列hn()xn()j()xn,试用Hk()表示XkX()和(k)。如何从1212XkX()和(k)得到全部的X(k)？12khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 解：(a)Hk()Xk()j()Yk*由于HkXkYk()()j()1*故X()kH[()kH()]k21*Yk()[()HkHk()]2jk当kN1时，X()kXkWXk()()12N2k且有X(kNXkWXk)()()12N2kkhdaw.comXkWXk12()N2(),0kXk()kXkNWXkNNkN()(),2112N231.有人提出了一种修正的DFT，它实际上是偏离开计算DFT的点来计算离散时间傅立叶j变换的样本。也就是说，如果XkXe()()M(2kN)Nk,0,1,2,...N1假设N为偶数。（a）序列x(n)的N点修正DFT相当于一个序列X(n)的N点DFT,试由x(n)构造出Mx(n)。M（b）如果x(n)是实序列，则其课后答案网DFT的所有点并不都是独立的，因为DFT具有共轭对*称性。即X(k)X((k))R(k)。因此，当x(n)是实序列时，其修正DFTNN的所有点也不全是独立的，试求出此时X(k)中各点间的关系。www.hackshp.cnM（c）令R(k)X2(k)，根据（b）中的结论证明可以从R(k)确定出X(k)。R(k)MMN可以看成一个点的序列r(n)的修正DFT,试求出联系r(n)与x(n)的表示式。2由此可以看出，一个实序列x(n)的修正DFT可以这样计算，即先由x(n)构造一N个r(n)，然后计算r(n)的点修正DFT。2（d）假定x(n),x(n),x(n)都是长度为N的序列，X(k),X(k),X(k)分别1231M2M3M代表它们的修正DFT，如果X(k)X(k)X(k)3M1M2Mkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 试利用x(n)和x(n)表示x(n)。所得到的x(n)的表示式应该象圆周卷积的形式1233那样（但并不相同）表示成x(n)和x(n)的某种组合的单重和式。12N（e）上面所得的结果也可称为修正圆周卷积。如果n时序列x(n)和x(n)都等于122零，试证明x(n)和x(n)的修正圆周卷积等于x(n)和x(n)的线性卷积。1212j解：（a）X(k)X(e),k3,2,1,0,...,N1M2kNNN12kj()nX(k)x(n)eNNMkhdaw.comn0N12kjnjn=x(n)eN.eNn0jnX(n)x(n)eNM*(b)X(k)X(Nk)1MM*(c)X(k)X(Nk)1MM当k取偶数时，上式左边对应于序列的偶数点部分，右边对应于序列的奇数点部分，从而可以由序列的偶数点部分获取整个序列，从而由R(k)确定出X(k)。M因为R(k)XM课后答案网2(k)，所以R(k)可以看成XM(k)的二抽取过程，频域的抽取导致时域的周期延拓。故j(nrN)2/r(n)(x(nrN2/))R(n)(x(nrN2/)eN)R(n)MNNrwww.hackshp.cn2r2（d）由于X(k),X(k),X(k)可以看成新的序列x(n),x(n),x(n)的1M2M3M1M2M3MDFT，则根据DFT的性质，有：N1jnjmj(nm)x(n)eN(x(m)eNx(nm)eN)R(n)312Nm0N1j(nm)j(nm)x(n)(x(m)eN(x(nm)eN))R(n)312Nm0j(nm)jnx(nm)eN表示将序列x(n)eN以N为周期延拓后再移位m22khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com j(nm)j(nkNm)个单位，故：x(nm)eNx(nkNm)eN，从而有：22kN1j(nm)j(nkNm)x(n)(x(m)eNx(nKNm)eN)R(n)312Nmk0N1jk=(x1(m)x2(nkNm)e)RN(n)km0N1k=(x1(m)x2(nkNm)()1)RN(n)km0显然，上式可以看成的某种组合的单重和式，与圆周卷积类似，但又不完全一样。khdaw.comN1（e）令fL(n)x1(m)x2(nm)，则：m0x(n)(f(n)f(nN)f(nN)f(n2N)f(n2N)....)R(n)3LLLLLNN由于n时序列x(n)和x(n)都等于零，故线性卷积f(n)仅在0,…N-1上有非零、12L2值。故修正圆周卷积等于线性卷积。32.假设x(n),x(n),x(n),x(n)是四个N点实序列，它们的DFT分别为1234X(k),X(k),X(k),X(k)。如果x(n)与x(n)是圆周偶对称的；x(n)与x(n)是圆12341234周奇对称的，即：x(n)x((Nn))课后答案网R(n),x(n)x((Nn))R(n)11NN22NNx(n)x((Nn))R(n),x(n)x((Nn))R(n)33NN44NN我们可以通过一个N点复序列的www.hackshp.cnFFT运算来计算上述四个序列的DFT。本题就讨论这种算法。（a）由x(n)和x(n)构成序列y(n)x(n)x(n)，如果Y(k)是y(n)的DFT,试问如1311311何从Y(k)恢复X(k)和X(k)。113（b）类似地，可以构成实序列y(n)x(n)x(n)，并将y(n)和y(n)组合成、复序22412列y(n)y(n)jy(n)。试问如何由Y(k)求出Y(k)和Y(k)，再利用(a)的结果，312312说明如何从Y(k)分别求得X(k),X(k),X(k)和X(k)。31234（c）假定4个序列都是圆周偶对称的，即：x(n)x((Nn))R(n),i4,3,2,1iiNNkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 如果将其中x(n)按下列方法组成u(n:)33u(n)[x((n1))x((n1))]R(n)33N3NN证明u(n)是圆周奇对称的，即：u(n)u((Nn))R(n).333NN（d）若U(k)是u(n)的DFT,试利用X(k)求得U(k)。3333（e）利用（c）的方法可以组成N点实序列y(n)x(n)u(n)，试确定如何从Y(k)恢1131复X(k)和X(k)。13（f）现在构成复序列y(n)y(n)jy(n)，其中：khdaw.com312y(n)x(n)u(n),y(n)x(n)u(n)113224u(n)[x((n1))x((n1))]R(n)33N3NNu(n)[x((n1))x((n1))]R(n)44N4NN试确定如何从Y(k)得到X(k),X(k),X(k)和X(k)。应当指出，此时不能得到31234NNX)0(和X)0(。当N为偶数时，也不能得到X()和X()。343422N（g）证明不需要任何乘法就可以算出k0或k时的X(k)和X(k)。342解：（a）x(n)x((Nn))R(n),x(n)X((Nn))R(n)11NN33NNx(n)的DFT课后答案网为实数，x(n)的DFT为虚数。13故有：x(n)IDFT[Re(Y(k))]11x(n)IDFT[Im(Y(k))]3www.hackshp.cn1（b）构造Y(k)的圆周共轭偶部和圆周共轭奇部，有：31*Y(k)[Y(k)Y(Nk)]3e3321*Y(k)[Y(k)Y(Nk)]3o332根据DFT的性质有：IDFT[Y(k)]y(n)3e1IDFT[Y(k)]jy(n)3o2在获得y(n)和y(n)的值以后，再利用（a）的结论可以获得12khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com X(k),X(k),X(k)和X(k)。1234（c）u(n)[x((n1))x((n1))]R(n)33N3NNu((Nn))R(n)[x((Nn1))x((Nn1))]R(n)3NN3N3NN=[x((N(n1)))x((N(n1)))]R(n)3N3NN又x(n)为圆周偶对称，所以有：3u((Nn))R(n)[x((n1))x((n1))]R(n)u(n)3NN3N3NN3故u(n)是圆周奇对称的。khdaw.com3kk（d）U(k)WX(k)WX(k)3N3N3(e)y(n)x(n)u(n),其中，x(n)为圆周偶对称序列，u(n)为圆周奇对称序列，11313则根据DFT的性质有：Re(Y(k))X(k)11Im(Y(k))U(k)13再利用（d）的性质可以获得X(k)。3（f）构造Y(k)的圆周共轭偶部和圆周共轭奇部，有：31课后答案网*Y(k)[Y(k)Y(Nk)]3e3321*Y(k)[Y(k)Y(Nk)]3o332www.hackshp.cn则根据DFT的性质，有:Y(k)Y(k),Y(k)Y(k)。13e23o又X(k)Re[Y(k)],X(k)Re[Y(k)]13e23oU(k)Im[Y(k)],U(k)Im[Y(k)]33e43o由（d）知：kkX(k)U(k)/(WW)33NNkkX(k)U(k)/(WW)44NNkk当k0时，WW0；NNkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com Nkk当k且N为偶数时也有WW0。NN2NN故无法得到X0(),X0(),X(),X()343422N1（g）当k0时，X3(k)x(n)，故不需要乘法。n0N1NNn当k时，X3()()1x3(n)，也不需要乘法。22n0对X(k)上述结论同样成立。41n33.如果一个LTI系统的单位脉冲响应为hn()()，对下列输入信号求该系统响应y(n)khdaw.com2的傅立叶级数表达式：(a)xn()sin(3n)(b)x()nn(4)k4k(c)x(n)是周期为6的信号，并且1,n0.1xn()0,n2,3nn(d)xn()(1)j解：11||nn1nhn[]()()[]()[][课后答案网ununn22211jj1ee1233www.hackshp.cn1jjnnxn[](e44e),N8,于是有2j11(a)aa;,0其余a,(3k4)33k2j2j3313jjnn1333yn[]H()e44H()esin()n2j42j452241(b)xn[][4],nkN4,ak(0k3)k4令khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 3jknyn[]be2，则可得kk0111baHk()(1),kk004211jjkk11ee22222coskk33cos22154coskk4cos5223jjkn33njn6yn[]be226ee26cosnkk055521khdaw.com111jjknkjk(c)ax[]ne33(1ee3)(12cosk)k666n134(2cosk)13bk(12cos)[1]k635cosk3213coskk2cos2333cosk532513coskkcos233jkny[]ne[]33k0cos课后答案网k53(d)jnnn2jnxn[]j(1)www.hackshp.cnee,N4aaaa1,1,0;由可baH(k)得1203kk0113bbb0,103111jj511ee2222111b1211jj311ee223131jn2jnnnyn[]ee(j)(1)53531n34.已知某离散时间LTI系统得单位脉冲响应为hn()()()un，对下列输入信号求该系2统得输出响应y(n):khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 3nn1n(a)x()()()nun(b)xn()(1)(c)x()(1)()()nnun(d)x()cos(2)nn443n1解：(a)x[]()[nun]X()43j1e411YXH()()()13jj(1ee)(1)242313jj11ee2413nnyn()[2()3()][]un24khdaw.comnnj(b)xn[](1)e,()2X()k42nYk()(2),[](1)yn33k11n(c)()[]unX()141j1e411ndnu()[]njX()X()14d1j2(1e)411Y()11jj课后答案网21(ee1)24421=111jjj21(eee1)(1)244www.hackshp.cn11nn1nyn[][4()2()(1)()][]nun24411n(d)hn[]()[],unH()21j1e21jjnnxn()(e22e)24cosnn2sin11jjnn22yn()H()e22H()e22225sin(n3)35.某离散时间LTI系统的单位脉冲响应为hn()。对下列每一个输入，求该nkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 系统的输出。(a)x()nn(4)k(b)xn()(1)(1)nnk(c)x(n)为图P5.35所示的方波信号n(d)x(n)等于(1)乘以图P5.35所示的信号。khdaw.comP5.35解：(a)xn()(8),nkN8,0；同样只有直流分量与基波分量可以通过系k4统。11课后答案网11naa,.yn[]cos01288844511(b)yn()yn(1)yn(2)xn()xn(1)(b)482jjXee()2coswww.hackshp.cn;2cos3Y()0,||3(c)x(n)的周期N=8，;只有x[n]的直流分量与基波分量可以通过系统。042j2j341sjneein58ae41j488n2(1e)8sin65a08khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com sin(5)5nyn[]cos184sin(8)4(d)x(n)如图P5.35-2所示。N=8,；只有直流分量与基波分量可以通过系统。04khdaw.com2j2j4cos(5)11jn1ee18aa;[xn]e401j488n281e8cos()8cos5118nyn[]cos384cos(8)436.对下列差分方程所描述的因果课后答案网LTI系统，确定其逆系统的频率响应，单位脉冲响应和描述逆系统的差分方程。11(a)yn()xn()xn(1)(b)yn()yn(1)xn()4211(c)yn()yn(1)xn()www.hackshp.cnxn(1)245111(d)yn()yn(1)yn(2)xn()xn(1)xn(2)484851(e)yn()yn(1)yn(2)xn()48511(f)yn()yn(1)yn(2)xn()xn(1)48211j解：(a)yn()[]xnxn[1],()1He4411nGg();[]()[]nun1j41e4khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1逆系统的差分方程：yn[]yn[1][]xn411(b)yn[]yn[1][],()xnH21j1e21j1e211nn11Gg();()()()()(1)nunun1j4241e411逆系统的差分方程为：yn[]yn[1][]xnxn[1]425111(d)yn[]yn[1]yn[2][]xnxn[1]xn[2]4848khdaw.com111eejj248H()51jj21ee4851jj21ee4822G()11111jjjj(1eeee)(1)11422411nngn[][]2()[]2()[]nunun24逆系统的差分方程为：1151yn[]yn[1]yn[2][]xnxn[1]xn[2]4848(e)课后答案网51y[]ny[1]ny[2][];nxn481H()51jjwww.hackshp.cn21ee4851jj2Ge()1e4851gn[][]n[1]n[2]n48逆系统的差分方程为：51yn[][]xnxn[1]xn[2]48511(f)yn[]yn[1]yn[2][]xnxn[2]482khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1j1e2H()51jj21ee4851jj23j21eee487j4Ge()111jj411ee22731n2gn[][]n[1]n()un[2]442逆系统的差分方程为：151yn[][1yn][][1xnxn][2xn]248khdaw.comsin(n)2j37.某离散时间LTI系统如图P5.37(a)所示。其中hn()()n。He()和12njHe()分别如图P5.37(b),(c)所示，如果该系统的输入具有图Pd5.37()所示的傅立叶变换，3求该系统的输出响应y(n).解：根据图P5.37-1(a)所得：y[][][]*[]([][]*[])*[]nxnhnhnxnxnhnhn1213YXHHXHH()()()()()[1()]()1213即YXHH()()[()()[1HH()]()]1213sinn2课后答案网hn[][]n,H()1[(u)(u)],||11n22HH((H(121HH((13www.hackshp.cnH()如图PS5.37-1（a）所示。Y()如图PS5.37-1(b)所示。211jn414y[]nX()edcosnd(4cosnd22024124=[sinnncos]sinn2nnn0241－[sinnncos]2nn2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com jj＝Ya()2()2()XbXaeXb()eX()1212H()33222222(a)khdaw.comY()22(b)图PS5.37-15.38(1)某离散时间系统得输入为x(n),输出为y(n)，它们得傅立叶变换满足一下关系。jjjjjdXe()Ye()2()Xe课后答案网eXe()d(a)该系统是线性得嘛？为什么？(b)该系统是时不变得嘛？为什么？(c)如果x()()nnwww.hackshp.cn，求y(n)(2)如果一个离散时间系统得输入和输出得傅立叶变换满足以下关系：4jjYe()Xed()4求出用x(n)表示y(n)得表达式。解：(1)a.设x[]naxnb[]xn[]，则Xa()Xb()X()，代入Y()得：1212jjYa()2()2()XbXaeXb()eX()1212khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com jjYa()2()2()XbXaeXb()eX()1212dX()dX()12abddaY()bY();12系统是线性得b.xnn[]ejn0X(),代入Y()表达式中得到：0Yeˆ()2jjnn00XeXn()(1)jj()jenn00Xe()dX()0dYe()jn0,系统是时变得。khdaw.comc.当x[][]nn时，X()1；代入Y()式中有jYe()2;[]2[][1]ynnn(2)令YX()()(H)d，可以看出：2当Hu()()(u)时，即有444YX()()dyn[]2[][]xnhn4nsinn2[]sinxn44而hn[]yn[]nn39.(a)如果一个离散时间LTI系统对输入信号11nn课后答案网11xn[]()()un()un(1)2421n所产生得输出响应为：yn[]()()un3求该系统得频率响应，单位脉冲响应以及描述该系统得差分方程。www.hackshp.cnnn(b)如果某离散时间LTI系统对输入(2n)(12)(un)所产生得响应为()()1un，为使该4n系统产生得输出为()(12)()nun，应该给系统输入什么信号？解：(a)11jjee1144X();111jjj111eee2221Y()1j1e3(i)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1j1e23H()1111jjjj(1eeee)(1)11344311nnhn[][3()2()][]un43(ii)由H()可得出差分方程：711yn[]yn[1]yn[2][]xnxn[1]12122图PS5.39khdaw.comX[n]11Y[n]fD7/12-1/2D-1/120(a)课后答案网www.hackshp.cn(b)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1-2X[n]DY[n]1/30D13D1/40(c)图5.39khdaw.com(b)11nn1nx[](2)()[](1)()[]()[]nnunnunun122221ej112X()1111j2jj2(1eee)1(1)2221j2(1e)12YH();()111jj212ee(1)441je12而Y()111jj11ee课后答案网22Y()X()H()jj12ee(1)www.hackshp.cn411jj2(1ee)(1)22951=ej[]16168111jjj211(eee1)22291nnn1115111xn[][()()n()](1)un1621628240.某因果LTI离散时间系统由下列差分方程描述y(n)-ay(n-1)=bx(n)+x(n-1)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 其中a是实数，且||a1。j(a)求b的值，使该系统的频率响应对任何满足|()|1He，这样的系统称为全通系统。1j(b)当a＝，b取(a)中所求的值时，概略画出区间内He()的相位曲线。21j(c)当a=,b取(a)中所求得的值时，概略画出区间内He()的相位曲线。2n1(d)如果输入为x()(12)()nun，a，b取(a)中所求得的值时，求该系统的输出，2并绘出输出的图形。从这里可以看出，非线性相位对信号的影响。解：j2be12bbcos(a)H(),|()|H;欲使对所有,|(H)|1,则应有：khdaw.comj21ae12aacos22bb2cosaa2cos当b＝－a时，可使|(H)|1，对所有。1je112(b)a时，b；H()221j1e2112sinsinHt()gtg，如图PS5.40(a)所示。12cos2cos1je112(c)a时，b课后答案网H()221j1e211sin2sinHt()gtg,如图PS5.40(b)所示。2coswww.hackshp.cn12cos11n(d)xn()()[],una时，有221je12XH(),()11jj11ee225434YXH()()()11jj11ee2251nn311n2nyn[][()()][]()[53(1)][]unun，如图PS5.40(c)所示。42422khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 0033233(a)(b)11khdaw.com2141183216(c)41.两个离散时间LTI系统的频率响应分别为：jjj1(12)ej(12)eHe()He()1j2j1(14)e1(14)ejjj(a)证明这两个系统的频率响应具有相同的模。即|He()||He()|，但He()122j的相位的绝对值大于He()的相位的绝对值。1(b)求出这两个系统的单位脉冲响应和阶跃响应，并加以图示。课后答案网jjjjj(c)证明He()可表示为He()()(GeHe)，其中Ge()是一个全通系统，221j频率响应为He()形式的系统通常成为最小相移系统。这表明：非最小相位系1www.hackshp.cn统总可以分解成最小相移系统与全通系统的机联。11jj1ee22解：(a)HH(),()1211jj11ee4454cos54cos|()HH|,|()|12111716cos1716cos22|HH()||()|12HH()与(）的分母相同，只需比较它们的分子相角。显然有：12khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com -1sin-1sinHH()＝tg;()tg12NN2cos1cos21在0区间内，2coscos2|(HH)||()|，从而有12NN|(HH)||()|12NN(b)11nn111nhn[]()[]un()[1]2[]()[]unnun142441jkhdaw.com2eH()211jj11ee4411nn1171nhn[]()[]()[1]4[]ununn()[]un22442411nn1n1()1()441sn11[]hm[]un[]un[1]112m01144641n1[()]un[]55411nn1n1()1()44sn22[]hm[]un[]un[1]11m011课后答案网446141n1[()]un[]554两系统的脉冲响应与阶跃响应如图www.hackshp.cnPS5.45所示。hn[]1141641112816khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 577194643071625612Sn[]1hn[]2khdaw.com111553712886133251212Sn[]2图PS5.45课后答案网11jj1jeee1222(c)HH()()()G21111jjj111eee442www.hackshp.cn1je2其中，G()1j1e25cos4|()|G15cos4G()是一个全通系统。这就证明了：非最小相移系统可以分解成最小相移系统与一个全通系统的级联khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第六章习题答案1.用定义计算下列信号的拉氏变换及其收敛域，并画出零极点图和收敛域。atatat(a)euta(),0(b)teuta(),0(c)euta(),0(d)[cos(tut)]()cat(e)[cos(tu)]()t(f)[setin()]u(t),a0(g)()atba,b和为实数cc2tet,0(h)xt()3tet,01解：(a),Re{}sa，见图(a)khdaw.comsa1(b),Re{}sa,见图(a)2()sa1(c),Re{}sa,见图(b)sas(d),Re{}sa,见图(c)22scscossinc(e),Re{}0s,见图(d)22scc(f),Re{}sa,见图(e)22()asc课后答案网sb12(g)ea,整个s平面||a11www.hackshp.cn(h),2Re{}3s,见图(f)32ssjkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (a)ja0(b)khdaw.comj(c)j课后答案网www.hackshp.cn0(d)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com jakhdaw.com(e)j23课后答案网(f)2.用定义计算图P6.2所示各信号的拉氏变换式。www.hackshp.cn(a)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (b)khdaw.com(c)课后答案网www.hackshp.cn(d)(e)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com sint(f)解：(a)stsintedt0T1khdaw.comstsTsTedt(1e)st11s1e0ssin[()tutut()]edtess2211s21(b)123stststedt2edtedt01212sss221s3s(1ee)(ee)(e)sss1sss23(1eee)s11TstsT1sT(c)tedte(1e)Ts0Ts2(d)T1st课后答案网(1ted)t0T11sTsTs1T11sTeee(1)(1)(1e)22sTsssTs(e)Xs()12esT22(1www.hackshp.cnesT2)e2s[12(1esT)]22sTssTs(f)stsintedt0ssTst11s1esin[()tutut()]edtess2211s213.对图P6.3所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。2t(a)x(t)的傅立叶变换存在。(b)x()te的傅立叶变换存在(c)xt()0,t0(d)x()0,tt5khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 解：(a)x(t)的傅立叶变换存在，则sj应在X()s的收敛域内图(a)1Re{}1s图(b)3Re{}3s图(c)Re{}s12t(b)x()te的傅立叶变换存在，则s＝-2轴一定在x()s的收敛域内图(a),Re{}s1khdaw.com图(b),3Re{}3s图(c),3Re{}1s(c)x(t)=0,t>0,则x(t)为左边信号图(a),Re{}s1图(b),Re{}s3图(c),Re{}s3(d)x(t)=0,t<5,则x(t)为右边信号图(a),Re{s}>1图(b),Re{s}>3图(c),Re{s}>-1课后答案网4.针对图P6.4所示的每一个信号的有理拉氏变换的零极点图，确定：(a)拉氏变换式。(b)零极点图可能的收敛域，并指出相应信号的特征。www.hackshp.cn(1s)解：图(a)拉氏变换为Xsk()，k为常数。(3ss)(1)收敛域Re{}s3时，信号为左边信号为Re{}s1时，信号为右边信号。为3Re{}1s时，信号为双边信号2s1图(b)拉氏变换为Xsk()(2sss)(1)(1)收敛域Re{}s2时，信号为左边信号khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 为Re{}1s时，信号为右边信号。2Re{}1s时为信号为双边信号时，信号为双边信号1Re{}1s时5.在正文中我们提到，虽然拉氏变换的收敛性比傅立叶变换收敛性要强，但并不是任何信号的拉氏变换都存在。对下列信号，判断拉氏变换是否存在。若存在，请求出其拉氏变换及其收敛域t2tet,0t2tte(a)tut()(b)tut()(c)teut()(d)eut()(e)eut()(f)xt()tet,01解：(a)存在，Re{}0s2skhdaw.com(b)1(c)存在，Re{}s22(2s)(d)(e)(f)不存在16.若已知{()}ut，收敛域为Re{}0s，试利用拉氏变换性质，求下列信号的拉氏变s换及其收敛域。2tat(a)eut()[cos(tut)]()(b)[sin(tt)cos()]()ut(c)[cetos()]u(t)cccatt(d)[cos(tt)]()ut(e)[cteos()tut]()(f)eutT()cct"2""k2(g)teutT()(h)tt()课后答案网(i)tt()(j)atk()T(k)tut(1)k0(l)eutt0(tT)(m)[cos()]()tt2ut(n)[sin(tutT)]()cct1at(o)sin()d(p)teu(1)()t0cwww.hackshp.cns解：(a),Re{}0s2scsc(b),Re{}0s2scs(c),Re{}s2()sc22sc(d),Re{}0s22()sckhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 22()sc(e),Re{}s2()sc(1sT)e(f)Re{}s1s1TsT1(1sT)(g)es,Re{}12(1s)(h)-1,Re{}sR(i)1,Re{}sRkhdaw.com1lna(j),||ssT1aeTs112(k)es(),Re{}023sss2(1s)Tte(l)e0s1222(3ss)c(m),Re{}0s223()scsTe(n)(cosTscos)T,Re{}0s22ccc()scc课后答案网(o),Re{}0s22ss()casa(2)(p),Re{}0s22ssa()www.hackshp.cn7.求图P6.7所示信号的拉氏变换式及收敛域。1ss2(a)(1ees)(1),Re{}02sass1(b)(1ea)e,Re{}s0ss11st(c)es0,Re{}02ss2(1e)(d),Re{}0s24sse(1)(e)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com sTec[(cosTssinT)]2222cccsscc2,Re{}0ss(1ec)s2ecs()c(1ec)2222csscc1c,Re{}0s22ssc1ecTTss222(1ee)1(f),Re{}0sTsTse(1)skhdaw.comse(12)11()ss()(1ee)(12s)1e(g)1142ss()sese(1)()(1)8.计算下列X(s)的拉氏反变换：3s(a),Re{}0s22(1ss)(4)(costtcos2)()ut23s(b),Re{}0s2ss4313tt3课后答案网()eeu(t)222s1(c),Re{s}3(2ss1)(3)2twww.hackshp.cn1125"3t[(eut)(t)2(t)9eut()]T42s1(d),Re{}s32ss5632tt2()(euteut)2ss1(e),Re{}1s32sst()teut()khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com s1(f),Re{}s12ss56t[cetos(2)](ut)s1(g),1Re{}0s32sss44232tcos2()tutsin2()tuteut()510532ss1(h),Re{}s12ss31khdaw.com2"tt3euteut()()2()t()ts3(i),1Re{}0s32sss2231134s22222sss33tt1ut()ecos()tutesin()tut2221(j),Re{}0s2s9课后答案网1sin3()tut39.已知LTI系统的系统函数H(s)及输入x(t)，求系统的响应y(t).23s(a)Hs(),()xtut()ss268www.hackshp.cns4t(b)Hs(),()xteut()2ss(32s)2ss22t(c)Hs(),()xteut()2ss(9)s1t(d)Hs(),()xtteut()2ss56311151解：(a)Hs()8428sss43124tt5yt()ut()eut()eut()848khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 2413s(b)Hs()2ss12s(s1)ttt2y()2()tuteu()teu()3tteu()t1(c)yt()sin3()tut311tt23t(d)yt()euteut()()eut()2210.计算下列微积分方程描述的因果系统的系统函数Hs()。若系统最初是松弛的，而且x()tut()，求系统的响应yt()。khdaw.comdyt2()dyt()dxt()(a)43y(tx)(t)2dtdtdt2dyt()dyt()dxt()(b)45yt()2dtdtdtt如果x()t为eut()，系统的响应y(t)又是什么？1解：(a)Hs()s3113tyt()ut()eut()33s(b)Hs()2ss45课后答案网2ty()tesin()tutt当输入eut()时，(a)yt()11euttt()www.hackshp.cneut3()2211tt22t(b)yt()eut()ecos()tutesin()tut332tt11.已知LTI因果系统的输入x()teu()t，单位冲激响应ht()eut()。(a)用时域分析法求系统响应y(t).(b)用复频域分析法求系统响应y(t)解：(a)2tttyt()eueut()()de(1eut)()(b)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1Ys()(1ss)(2)tt2yt()euteut()()12.某LTI系统的有理系统函数H(s)的零极点及收敛域如图P6.12所示，若H(0)＝1。求：(a)求产生此输出的输入信号x(t).(c)若已知|()|xtdt，求输出信号x(t).,2t(d)已知一稳定系统，当输出eut()时，输出为上述x()t中的一个，确定是哪一个？求出系统的单位冲激响应。解：(a)3(s2)khdaw.comHs()(1ss)(6)10(s1)(b)Hs()(1sss)(2)(5)2(c)Hs()(1ss)(2)2(d)Hs()(1ss)(2)s12t13.已知因果全通系统的系统函数Hs()，输出信号y()teu()ts1(a)求产生此输出的输入信号课后答案网x(t).+(b)若已知|x(t)|dt，求输出信号x(t).－2t(c)已知一稳定系统当输入为eut()时，输出为上述x(t)中的一个，确定是哪个？求出系统的单位冲激响应h(t).www.hackshp.cn解：(a)1Ys()s1x()tHs()。Re{}s2，Xs()2s2Hs()(1)(2)ss由于Hs()的ROC为Re{}s1，X()s的ROC为2Re{}1s或Re{}1s122tt若ROC为-21，x()tee(2)()ut223x()t，x()t分别如图PS6.13(a),(b)所示：12khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com khdaw.com(a)课后答案网www.hackshp.cn(b)+(b)若|x(t)|dt，则只能是x()txt()1－khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 122tt即：x()teu()teu()t33ss11(c)XsYSHs()()(),Hs()这就是(a)中系统的逆系统。(1ss)(2)s1由于系统稳定ROC为ut()Re{}1sctht()()2()teutYs()的ROC为Re{}sX2,()s的ROC为2Re{}1s12ttx()teu()2()teut3khdaw.com22ttty()*()thteuteuteut()2()*()0122tt(t)2t当t>0时，euteut()*()eedeut()3t122tt(t)2t当t<0时，euteut()*()eedeut()3122ttytht()*()eut()eut()xt()33从而证明该系统当输入为yt()，输出为x()t14.某LTI系统的零极点如图P6.14所示。(a)指出与该零极点分布有关的所有可能的收敛域。(b)对(a)中所指出的每一个收敛域，确定相应的系统是否稳定，因果。解：课后答案网(a)(,2);(2,1);(1,2);(2,)(b)非因果，稳定；非因果，不稳定；非因果，稳定；因果，不稳定；2t15.对一个LTI系统，我们已知如下信息www.hackshp.cn：输入信号x()4teu()t；输出响应22tty()teuteu()()t(a)确定系统的系统函数H(s)及收敛域。(b)求系统的单位冲激响应h(t)t(c)如果输入信号x(t)为xt()e,t求输出y(t)。1解：(a)Hs(),Re{}s2s22t(b)ht()eut()()2tt(c)yt()eeud()ekhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 2t2tt16.若系统的单位阶跃响应为st()(1eut)()，为使输出响应y()(tee)()ut,求输出信号x()t。1t解：x()teu()t217.一个LTI系统的零极点如图P6.17所示。(a)确定该系统的逆系统的零极点图。(b)如果逆系统为稳定系统，求系统的单位冲激响应h(t).(c)如果逆系统为因果系统，求逆系统的单位冲激响应h(t).解：(a)tt(b)()teute()ut()khdaw.comtt(c)()(teeu)()t18.已知x(t)的单位拉氏变换()s,试用()s表示下列信号的单边拉氏变换。2sttdxt()(a)x(tT)(b)x()te0(c)x()d(d)(e)x()atdt2(f)tx(t)0sTst解：(a)esx()()tedtT(b)X()ss0t(c)设x()ds()则有课后答案网tt0x()dx()dx()d，由时域积分性质得010()ssx(()())d，也可由定义直接求得。swww.hackshp.cn2"(d)sss()X(0)X(0)1s(e)X()||aad(f)X()sds19.求下列由微分方程描述的增量线性系统的响应y(t):(a)确定该系统的逆系统的零极点图。(b)如果逆系统为稳定系统，求系统的单位冲激响应h(t).(c)如果逆系统为因果系统，求逆系统的单位冲激响应h(t).c解：(a)sYs()12()Ys22sckhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 22sccY(s)=s22"tt22yt()4eut()2()t()(t)eut()cc223(b)sYs()283()62()ssYsYs32ss234sss1Ys()2ss(56s)(2ss)112tyt()ut()eut()22223(c)sYs()283()62()ssYsYs32khdaw.comss43223sss2Ys()32ss(32s)2tt1121ty()[3tee]()ut2223223(d)sYs()ss13()332()2sYsssYss132sss567157Ys()3222(1ssssss)(32)1(1)ss2tt772tyt()eut()5teut()ut()eut()课后答案网2220.图P6.20所示电路，在t＝0以前已经处于稳定状态。当t=0时，开关K由“1”到“2”，试计算ｔ>0时的ut()和ut().cL解：(a)u(0)1cwww.hackshp.cndut()c3()utuut()ccdt3sus()cs22tut()()teut()ct(b)3(utut)()udut()()LLLkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 31us()us()2us()LLLss23sus()21stut()()2teut2()L21.对图P6.21(a)所示电路，起输入为图P6.21(b)所示，当t0时uV(0)1，i(0)0，cL求t>0时的ut()。c解：211dut()dut()ccut()uic2khdaw.com22dtdts111e211sus()sus()us()cccs22221sesus()c1121ss222(tt221)2(t1)ut()2eut()eut(1)eut(1)c3322.图P6.22所示电路，在t<0时已处于稳定状态，在t＝0时，开关K闭合，试求t>0时的it()及it()cL课后答案网23.某系统如图P6.23所示，若电路达到稳定状态后，开关K转换，试求K转换后的响应ut()。cwww.hackshp.cnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第七章习题答案1.用定义求下列信号的z变换及收敛域。1(a)X()zXzXz＝()()Xz()()nn(2)(b)unun()(3)右左121zaz201n(c)()(2)un22nn,1,2,31nan(d)()()un(f)eu()n(g)xn()1,n420,n0khdaw.comn2,n1,2,3(h)xn()1,0n311n2解：(a)[()nnz(2)]1zz,除去0或|z|=的全部zn2241z(b)，收敛域z01111zz2z1(c),0zz||1121z2课后答案网z1(d).||z1121z21www.hackshp.cnz211(e).||2,||zz111211zz221a(f),||zea11ez3421nn23z(g)nzzz49zz1.|z|1nn141z1z2111(h),||z1113211zz232.信号x(n)的z变换的零极点如图P7.2所示，试确定满足下述情况的khdaw.comx(n)：若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (a)x(n)为左边序列；(b)x(n)为右边序列；(c)x(n)为右边序列；111z22解：(a)xz()31311111(1zzz)(1)11z222311nn3xn()[()(un1)()(un1)]22211nn3(b)x()[()()()()]nunun22211nn3(c)x()nu[()(n1)()()]un222khdaw.com13.根据单位阶跃信号u(n)的z变换Uz(),||1z，利用z变换的性质。(1)求下列信11z号的z变换及收敛域。(2)画出零极点图，并标出收敛域。1n1n(a)unun()(4)(b)[1(1)]()un(c)()(un)(d)(nu1)()n22(e)(1)()nnun(f)(1nu)(12n)(g)euin0(1n)(h)nn(1)(1un)(i)eunan()(j)eunj0n()(k)(naunan)(),||1(l)nrn1un()n1n22(m)(anuna)(),||1(n)knk041z解：(a),||1z1z1课后答案网0,n为偶数(b)xz()1，|z|01，为奇数n1zwww.hackshp.cn1(c)xz(),||2z112z1z1(d),||1z121(1zz)11z(e),||1z12(1z)(f)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 22xnunxn()(),()nunxn(),()nunxn(),()(1)(1)nun12341dXz()z1Xz()z212dx(1z)zz11"Xz()z()z312(1zz)1z1Xz()43(1z)zej0(g),||1z1ze1j0(h)2khdaw.comxn()nun(1)nun(1)zz(1)(1zz)2zXz()333(1zzz)(1)(1)za(i)X()zz,||ea11ezz(j)Xz(),||1z1ezj01z1(k)X()zz,||a21(1za)1z11nnn(l)令x11()na,()Xzaznn课后答案网dXz1()1nn"()azdzn0n11nnwww.hackshp.cn1az1zzn01az1X()zdzln(za)11za(1z)zXz()ln(za)2(1z)nn(1)(21n)(n)xn()632276zzzXz(),||1z36(z1)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 4.如果X(z)代表x(n)的z变换，R代表它的收敛域，试用X(z)和R确定下面每个序列y(n)的z变换和响应的收敛域：*1解:(a)YzX()(),z0,zR(收敛域)z*1XzX()()z(b)Yz(),z0,zR2Xz()(c),0z11zm1z(d)Yz(),Rz||111zXz()(e)Yz(),R{||1}{||}zzakhdaw.com11(1za)(1z)zX()a(f)Yz(),||aR{||}za11az2(g)zR,n(h)zR,5.已知因果序列x(n)的z变换X(z)，求序列x(n)的初值与终值。1解：(a)Xz()1211.5zz0.5XX(0)lim{}1,zXz()lim(1)()Xz2zz课后答案网1121zz(b)Xz()11(1zz)(112)xx(0)1,()6www.hackshp.cn1223zz(c)Xz()11121zz66xx(0)2,()0121zz(d)Xz()11(1zz)(112)xx(0)1,()26.用z变换证明以下各等式：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com nnn(a)[aun()]*[()](1)()aunnaun1证明：两边取z变换，则左边的z变换＝右边的变换z12(1az)n112(b)[u(n)]*[u(n)]=u(n)n!n!n!12z21zX(z)=(e)X(z)＝,e左右1ze2(c)nxnxn[()*()]xn()*[nxn()][nxn()]*xn()khdaw.com121212d(X(z)X(z))12""X(z)=-zzXzXz()()zXzX()(),z左1212dzdXz()dXz()21X(z)＝-zX(z)()zX()z右12dzdznnn(d)[axn()]*[axn()]axnxn[()*()]121211X()zXazXaz＝()()左12X()zXzXz＝()()Xz()右左121zaz07.用幂级数展开法求下列各式的z反变换，计算前4个非零取样值。11课后答案网1z2(a),||z(b),||2z1212116zz81z2111zz12www.hackshp.cn12z1(c),||2z(d),||z1231413zz2121zz4811解：(a),||z1121z21nx()()[]nun2(b)11nnx()3nu()(1n)2()()un23nnn1xn()(2)(un1)(4)(un1)2(4)(un1)2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 112z(c)Xz()1111zz2nn1x()nu()(2)nu(1)2(2)()nun11nn(d)x()[4()3()]()nun248.先对X()z微分，再利用z变换的性质，确定下列X()z的反变换。1(a)Xz()ln(12),||zz2dXz()2dXz()1zdz12zdz111zkhdaw.com2dXz()而znx()ndz11nxn()()(un1)n211n(b)xn()()(1)unn29.对题7.8中的X()z，利用幂级数展开式kxln(1x),||1x，确定其z反变换。k1kn2解：(a)xn()un(1)课后答案网nn2(b)xn()un(1)n10.试用部分分式展开法求以下各式的www.hackshp.cnz反变换。11(a),||z1121z21nx()()()nun2111z21(b),||z1221z41nx()()()nun2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1z1(c),||z1311221zz221nx()nu2(n1)2()()un21(d),||1z1213zz2nn1xn()(1)(un1)2un(1)111(e),||z111132(1zz)(1)23khdaw.com11nnx()3nu()(1n)2()()un23111n1z(f)Hz(),()()()hnun,||1z1212112coszz1z0213nn53n115nxn()()()()un(1)(un1)()un(1)(1)un(2)2565313nn225()()un(2)(1)un(3)2561212zz(g),0.6||1z1210.4zz0.6课后答案网12zz2(h),||0.8z111(10.8zzz)(10.4)(10.6)nnwww.hackshp.cnnx()nu5(0.8)()2(0.4)nu()7(0.6)nu()n111.z变换X(Z)为Xz()1411(1zz)(1)33(a)确定与X(z)有关的所有可能的收敛域；(b)求每种收敛域对应的离散时间序列；(c)以上哪种序列存在离散时间傅立叶变换。4114解：(a)可能的收敛域||,||,||zzz33334114nn4(b)||,()()()()()zxnunun35353khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 111nn44||,()zxn()(un1)()(un1)3535314114nn4||,()()()()(1zxnunun)33535314(c)当||z3312.对下列差分方程所描述的LTI因果系统，求系统的系统函数及单位脉冲响应。1(a)yn()yn(1)xn()2(b)yn()2(1)2(2)ynynxn(1)2(2)xn(c)yn()5(1)6(2)ynynxn()3(2)xn(d)khdaw.comyn()3(1yn)3(2yn)(3yn)()(2xnxn)(3xn)11n解：(a)Hz(),()()()hnun1121z2212z(b)Hz()1212zz2213z(c)Hz()1215zz6nn11nn2hn()(2)un()3()3(2)unun(2)3un(2)23课后答案网1zz(d)Hz()13(1z)1(nn1)(2)n(1)()un3(1z)www.hackshp.cn2(1nn)(1)nn(1nn)hn()(1)()un(1)(2)un22(2nn)(1)n3(1)un(3)213z13.画出系统函数Hz()的零极点图，写出与下列情况所对应的收敛域，并5121zz2求出相应的单位脉冲响应h(n).(a)系统是因果的；(b)系统为反因果的；(c)系统是稳定的。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 21解：Hz()1211z11z2nn11(a)x()nu2()()()nun2nn11(b)xn()2un(1)()(un1)2nn11(c)xn()2un(1)()(un1)214.一个输入为x(n)，输出为y(n)的离散时间LTI系统，满足差分方程311yn()yn(1)yn(2)xn()xn(1)482求满足该方程的所有可能的单位脉冲响应，并指出它们的因果性与稳定性。khdaw.com11z1234解：Hz()3112111111zzz1z4842111nn当||z因果，稳定。x()nu3()()4()()nun2421111nn当||z。不因果，稳定。xn()3()()4()(unun1)4242111nn当||z，反因果，不稳定。xn()3()(1un)4()(1un)44231n115.某离散时间LTI系统，当输入x()nu()n，对应的响应yn()[()1]()un，11431nn若输入x()[()(1)]()nun，问此时yn()?222课后答案网733Yz()168821解：XzHz()()Xz()()22()271111Xzz11111zzwww.hackshp.cn321671nnn313yn()[()()()()()(1unun)()]un227832287．16对差分方程511y(n)y(n)1y(n)2x(n)x(n)1662所确述的LTI稳定系统，确定（a）系统函数；（b）单位脉冲响应；（c）若系统输入x(n)u(n)，求系统的响应y(n)；1n1n（d）如果系统输出y(n)(2[)(3)]u(n)，求系统输入信号x(n)。32khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 111zY(z)21解：（a）H(z)X(z)5112111zz1z6631n（b）h(n)()u(n)3111313（c）Y(z)()11111z141z11z1z33311ny(n)u(n)()u(n)443（d）？7.17khdaw.com某离散时间LTI因果系统在z平面上的零极点如图P7.17所示。已知系统的单位脉冲响应h(n)的初值h)0(1。（a）确定系统函数；（b）求系统的单位脉冲响应；（c）写出系统的差分方程；课后答案网1n（d）若系统的响应y(n)()u(n)，求系统激励x(n)；2（e）求出一个满足该系统差分方程的稳定系统的单位脉冲响应。k解：（a）H(z)www.hackshp.cnk.1由h)0(1得1111(z)(12z)2114（b）H(z)()114113z1z211nnh(n)()u(n)2u(n)423（c）y(n)y(n)1y(n)2x(n)2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1111zY(z)21（d）X(z)12zH(z)11111(z)(12z)27.18某一离散时间LTI因果系统的零极点如图P7.18所示，已知系统的单位脉冲响应h(n)的终值lim()hn=1。nkhdaw.com（a）确定系统函数；（b）求系统的单位脉冲响应；（c）写出系统的差分方程；n（d）若系统的激励x()(2)()nun，求系统响应y()n；（e）求出一个满足该系统差分方程的非因果系统的单位脉冲响应。课后答案网111711011zYz()2z1333解：（a）Hz()Xz()11111111111(zzzz1)(1)11z42424www.hackshp.cn111z33921616（b）Hzz()()1111z1z231n9hn()()(2)unun(2)16316213（c）yn()yn(1)yn(2)xn(2)334khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 32z4（d）Yz()HzXz()()1111(1zzz)(1)(12)3（e）？11nn117.19某离散时间LTI系统，当输入xn()()()un()un(1)时，输出3431nyn()()()un。2（a）确定系统函数Hz()；（b）求系统单位脉冲响应hn()；khdaw.comj（c）计算系统的频率特性He()；（d）写出系统的差分方程。111171101z1zYz()2333解：（a）Hz()Xz()11111111111(zzzz1)(1)11z42424111z371nn101（b）h()n()()un()()un3234jj（c）He()()Hzze课后答案网111（d）yn()yn(1)yn(2)xn()xn(1)4837.20某离散时间LTI因果系统如图P7.20所示。www.hackshp.cn（a）试求该系统的系统x()nyn()函数Hz()；KKD2（b）K为何值3时，系统是稳定的？（c）如果图P7.20K1，系1n统输入x()nn()()()un，求系统输入y()n4khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com KK解：（a）yn(1)()()ynxnxn(1)34K11z4KHz()zK131z3K（b）1K3352n（c）yn()()1237.21序列yn()是某一离散时间LTI系统当输入为x()n时的输出，该系统由下列差分方程描khdaw.com述：31yn()xn()xn(1)xn(2)22（a）确定系统函数Hz()，在z平面上画出它的零极点，并指出其收敛域；1（b）若要用一个离散时间LTI系统从yn()恢复x()n，求该系统的系统函数Hz()；2（c）若Hz()所表征的系统的稳定的，求其单位脉冲响应hn()。221112解：（a）Hz()2()131111121z11zzz222课后答案网11（b）Hz()z1231121111(zz1zz)(1)2221nn（c）hn()()()2(1)()unun22www.hackshp.cn7.22某离散时间LTI系统的差分方程为ynayn()(1)xnbxn()(1)试确定使此系统成为一全通系统时的b值()ba。11bz解：Hz()11az7.23对于图P7.23所示的连续时间LTI系统，其单位冲激响应为ht()，频率响应为H()，cc系统的微分方程为khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com xc()ty()tht()ccH()c图P7.23nmkkdyt()dxt()ccabkkkkkk00dtdt假若我们要用一个离散时间系统来近似这个系统。微分运算被近似为后向差分，也就是dxt()xnT()xnTT()xnxn()(1)cccdtTTkhdaw.comtnT我们定义x()n的一阶后向差分为(1)xnxn()(1)xn()T而x()n的k阶后向差分为()kk(1)(1)x()nx()n0其中x()nx()n。于是，该离散时间系统的差分方程可以表示为nm()kk()aykk()nbx()nkk00课后答案网s3（a）如果ht()的拉氏变换Hs()为Hs()，确定该离散时间系统的ccc(1ss)(2)系统函数Hz()。dwww.hackshp.cn（b）一般来说，Hs()和Hz()之间的关系是什么？cd（c）通过差分变换能把s平面上的j轴近似映射为z平面上的什么闭合围线？（d）如果连续时间系统Hs()是稳定的，此时离散时间系统Hz()是稳定的吗？cd（假定两个系统都是因果的）。解：（a）由Hs()知，连续时间系统可由如下LCCDE描述：c2dddy()4ty()3()tytx()2()txt2cccccdtdtdt相应的离散时间系统可由前向差分方程描述khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (2)(1)(1)yn43ynynxnxn2ddddd(1)11xnx(1)(nxnzX1)(z)ddddTT(2)1112xddnx()(nz21)Xd(z)T对前向差分方程两边作z变换有1421(1z)()(1YzzYzYz)()3()(1zXz)()2(Xz)2dddddTTT1(1z)2THz()d142(1zz)(1)32TTkhdaw.com（b）对比Hzd()和Hsc()可以看出HzHsdc()()sz1(1)T11（c）由sz(1)得：jz(1)zT1jTTT当0时，z1jT；表明z平面的j轴映射为z平面上的zj1T。即z1。fzT。em（e）如果Hs()是稳定的，因果的，则Hs()的所有极点都位于左半s平面。设ccsj是一个极点，0；经映射后，该极点映射为0000z1TjT；显然这一映射关系不能保证0时，一定有z1。00课后答案网000因此Hs()是因果、稳定的，并不能保证所得Hz()也是因果稳定的。cd7.24用定义求下列信号的单边z变换及收敛域：（a）unun()(2)www.hackshp.cnn3（b）aun(3)（c）()nm1n（d）()(1)un2（e）eujn0()n1,0nN（f）xn()0,nNkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 2解：（a）z111z3a（b）za11aznm（c）()nmzzn011nnnn（d）()(1)unz()znn01221（e）z11ezj01khdaw.comNN1n1z（f）z1zRz0n01z7.25如果()z为x()n的单边z变换，R为相应的收敛域。用()z和R表示下列信号的单边z变换及收敛域：（a）xn(1)（b）xn(2)1n（c）()(1)un2（d）eunjn0(1)课后答案网n（e）zxn()0n（f）x()knwww.hackshp.cn1解：（a）zz()221（b）zXzzX()((0)Xz(1))11（c）z1121z2ezj01（d）z11ezj01n（e）zXz()zR0khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1（f）Xz()z111z7.26利用单边z变换，求解由下列差分方程所描述的增量线性系统的响应yn()。11（a）yn()yn(1)xn()xn(1),xnun()(),y(1)122（b）yn()0.1(yn1)0.2(yn2)10(),xnxnun()(),y(1)4,y(2)64（c）yn()2()2(1)(2)ynynynxn()3n3xn()3(),uny(1)0,y(0)khdaw.com4（d）yn()5(1)6(2)ynynxn(2)，xnun()(),y(0)0,y(1)1解：（a）对方程两边求单边拉氏变换，得1111Yz()zYzy()(1)Xz()zXzx()(1)22131Yz()31211z11z231nyn()3()un()()un22121（b）Yz()0.1zYzy课后答案网()(1)0.2zYzzy()(1)y(2)Xz()11.80.8zYz()112(1zz)(10.70.2z)www.hackshp.cnyn()?1214（c）Yz()2zYzy()(1)zYzzy()(1)y(2)Xz()31z3Yz()1214(1zz)4(13)31nny()nn3(1)u()n442121z（d）Yz()5zYzy()(1)6zYzzy()(1)y(2)11zkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1当n1时，推出y(1)65n0时，推出y(2)362zYz()112(1zzz)(166)yn()?7.27某离散时间系统的差分方程为yn()3(1)2(2)ynynxn(1)2(2)xn3初始条件yy(2),(1)1。当加入激励信号x()n时，系统响应khdaw.com2ny()(21)()nun，求系统激励信号x()n。解：对差分方程两边进行单边z变换12111(13zz2)()Yzz2zz3Xz()2121212121zz22zzzzzz2212zn故x()32()nun第八章8.1某连续时间LTI因果系统由下列微分方程描述：课后答案网y()2()tytx()t（a）确定该系统的系统函数Hs()及收敛域；（b）判断系统的稳定性，若系统是稳定的求出系统的频率响应；www.hackshp.cn（c）求出系统的单位冲激及单位阶跃响应；t（d）如果系统输入x()te，求输出响应y()t；11t（e）如果系统输入x()teu()t，求输出响应y()t；22s1（f）当系统输出yt()的拉氏变换为Ys(),Res2，求出系统的2(2s)输入信号x()t。解：（a）sYs()2()YsXs()khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com Ys()1Hs()Res2Xs()s22t（b）系统稳定ht()eut()2t（c）单位冲激响应ht()eut()11111单位阶跃响应Hs()()1sss22s2112tht()ut()eut()122tt1（d）ythe()(1)e13khdaw.com1111（e）Ys()2ssss2112tt2yteuteut()()()2s1（f）Ys()Res22(2s)1Ys()s1Hs()Xs()s2Hs()s222tt2tx()(teu())teu()tteu()()t8.2考查图P8.2所示的离散时间LTI稳定系统；课后答案网x()ny()n1D13www.hackshp.cn4D29图P8.2（a）确定该系统的系统函数及收敛域；（b）求出系统的频率响应、单位脉冲响应和单位阶跃响应；n（c）如果系统的输入xt()(1)，求系统响应y()t；11khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com n（d）若系统输入x()(1)()tun，求系统响应y()t；2212nn（e）当系统响应yn()[()()]()un，求系统的输入信号x()n。3317451z41212解：（a）Hz()收敛域z31212112111zzz1z393371nn52（b）单位脉冲响应ht()()()un()()un123123nn27（c）ytH()(1)z(1)116111zkhdaw.com41（d）YzHzXz()()()22121112z1zz3971nnn7525nyt()()()un(1)()()()(1unun)()un216316434112z113（e）Yz()1212111111(zzz1)(1z)33331111221121zzz2zYz()3393Xz()Hz()12111111(1zz)(1)1z1z334411nn课后答案网11xn()2()()un()un(1)4348.3图P8.3所示的连续时间LTI系统最初是松驰的，试确定系统函数；若系统是稳定的求K的取值范围。www.hackshp.cnx()tyt()s2ss44K()akhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com Ksx()ts1yt()1s2()bkhdaw.com1Kx()ts1yt()1s3()c课后答案网Ks11x()tss2yt()www.hackshp.cn()d图P8.3s解：（a）Hs()稳定k42sk(4)s4ksks（b）X()sY()sY()sss1(1)(s2)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com kss(2)Hs()稳定k32sk(3)s21k（c）YsXs()()(1)Ys()ss31sk1Hs()2ssk3(2)Ys()s1（d）Hs()稳定k32X()ss(3)1ks8.4对P8.4所确定的离散时间LTI因果系统，求系统函数及其收敛域，并判断系统的稳定性。khdaw.com1z112x()n12zzyn()()a1111z411zx()n1yn()11课后答案网1z2()bwww.hackshp.cn111111z11zyn()x()n231z()ckhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1111111z1zyn()x()n42()d图P8.41z解；（a）Hz()z0稳定312khdaw.com1zz21111（b）Hz()()(1z)z稳定1111211zz421（c）Hz()z1不稳定11z11z4（d）Hz()z22不稳定111z818.5在正文中我们指出：系统函数为z的有理函数的离散时间LTI系统，其系统因果的充分必要条件是系统函数的收敛域必须位于最外部极点的外部，并且包括课后答案网z。例如，11zHz(),z111121zz22www.hackshp.cn所确定的系统就是因果的。32zz1（1）考查下述系统函数：Hz()若该系统的收敛域也是最外部极点的外21zz12部，请问该系统是因果的吗？为什么？（2）判断下列系统函数所描述的系统是否为因果的（假设系统函数的收敛域均为最外部极点的外部）。12(1z)（a）111z2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 12(1z)（b）111z2121zz（c）11121zz222z4（d）211zz6613()zkhdaw.com（e）312()z212()z3（f）13()z23z（g）231zz48131zz（h）1213zz2课后答案网解：（1）不因果，不包括z（2）（a）因果；（b）因果；（c）因果；（d）因果（e）不因果；（f）因果；（www.hackshp.cng）不因果；（h）因果。8.6连续时间系统函数如下，试分别用一个一阶系统与一个二阶系统的级联和并联结构实现（用相加器、积分器和放大器表示）。57s（a）2(4sss)(1)s1（b）(1sss)(2)(3)2ss2（c）2(1sss)(22)2ss25（d）(1sss)(2)(3)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 57ss571解：（a）22(4ssssss)(1)1412s原式=2ss41sx()t151yt()khdaw.com174()ax()ty()t4112()a1课后答案网s1（b）(1sss)(2)(3)132原式=www.hackshp.cnsss123x()t1123()bkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com x()t11y()t23khdaw.com32()b212ss（c）2sss12227s原式=2sss156x()ty()t课后答案网1121www.hackshp.cn()c22khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com x()ty()t1222khdaw.com()c2212ss5（d）2sss15627s原式=2sss156x()ty()t1课后答案网152()dwww.hackshp.cn65khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com x()ty()t12157()dkhdaw.com68.7离散时间系统函数如下所示，试分别用一个一阶系统与一个二阶系统的级联和并联结构实现（用延时器、相加器和放大器表示）。11z（a）131112(1zzz)(1)254112z（b）432111(1zzz)(1)(1)555课后答案网1112(1zz)(1z)2（c）111111(1zzz)(1)(1)234www.hackshp.cn121zz（d）111111(1zzz)(1)(1)423111z解：（a）13111211zzz254khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com x()ny()n3D1D5121D()a4112z1（b）711223111zzzkhdaw.com5255x()ny()n7D2D52512D()b2511211zz1z2（c）11111211zz课后答案网z21212x()nyn()1D11Dwww.hackshp.cn112221D()c1121211zz（d）15111211zzz466khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com x()nyn()51DD61141D1()d618.8（a）某连续时间系统的系统函数为Hs()，试用三个一阶系统的级联结构实3(2s)khdaw.com现。该系统能否由3个一阶系统并联实现，为什么？1（b）考虑系统函数Hs()，用一个三阶系统和一个一阶系统的极联结3(3ss)(2)构实现。能否用两个二阶系统的并联实现，为什么？若用一个二阶系统和两个一阶系统实现该系统，应如何联结？s3（d）对系统函数Hs()，所确定的系统用四种不同的一个一阶系统2(1ss)(2)和一个二阶系统级联来实现。111解：（a）Hs()不能用三个一阶的并联实现sss22211111333（b）Hs()32课后答案网(1sssss)2(1)12ss3113s31s31（c）Hs()2222(1ssssssssss)21321322(1)www.hackshp.cn18.9（a）某离散时间系统函数为Hz()，请问该系统能否用3个一阶系统的级113(1z)2联域并联实现？如果可以画出结构图，如果不能请说明理由。（b）对下述系统函数描述的系统，能否用三个一阶系统的级联或并联实现，为什么？11zHz()121112(1zz)(1z)224(c)对（b）所示的系统，画出所有可能的一阶和/或二阶系统级联和并联实现结构。111解：（a）Hz()111111111zzz222khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 可由3个一阶系统级联但不可并联。（）不能由b3个一阶系统级联实现，也不能由并联实现111z（c）H()z121zz1211z1242111z原式=11211z1zz12224x()ny()n2Dkhdaw.comD11221D41x()nyn()2D1D221课后答案网1D48.10对图P8.10所确定的因果系统，求系统函数及收敛域。www.hackshp.cn1221()a1khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1151()b61khdaw.comD13D1421()cD8课后答案网D2www.hackshp.cnD1D3()dkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 151DD2164()e1D6图P8.102sss23解：（a）Hs()Res1khdaw.comss12211ss（b）Hs()Res32sss156111z21（c）Hz()z1311112z1zz48123（d）Hz()12zz3zz01111z11z4（e）Hz()z151112211zzz266课后答案网8.11某连续时间因果系统函数Hs()的零极点如图P8.11所示，且H()1。该系统的单2t位阶跃响应中一定包含Keut()，请问当a从0变到4时，相应的K值如何改变。www.hackshp.cnj20图P8.11khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com sa解：Hsk()Hk()11s2sa故Hs()s22tah0(te)2(ut)当从a04变化时，相应的k值为2a，即由2618.12已知某离散时间因果系统函数Hz()的极点位于z处，零点在za处，而且21nH()1。此系统的单位脉冲响应中一定包含Ku()()n。试问a从0变到2，相应2的K值如何随之改变。11az解：khdaw.comHz()111z211nn11n1n1nhn()()()()(1)1()(1)2()(1)1(12)()(1)unaununaunaun22222故K随a增大而减小。8.13已知LTI因果系统函数如下，画出系统函数的零极点图；求系统的单位冲激（或单位脉冲响应），并画出波形示意图。s1（a）2(1s)41（b）2课后答案网(1s)2(1s)（c）2(1s)41www.hackshp.cn1z（d）31121(cos)zz4412(1z)（e）31121(cos)zz4421z（f）111z2t解：（a）ht()ecos2tut()khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com j0131(a)khdaw.comt（b）ht()teut()j(2)01(b)课后答案网t（c）ht()2sin2etut()()twww.hackshp.cnjj201j2(c)（d）hn()?khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com j22i440122i44(d)khdaw.com（e）？11nn2（f）hn()()()()unun(2)22j0112课后答案网(f)8.14LTI因果系统函数如下，试确定系统的单位冲激响应ht()或单位脉冲响应hn()，并画www.hackshp.cn出波形示意图；画出系统的零极点图，注意零极点分布对ht()（或hn()）的影响。s1e（a）s1（b）sT1es1e（c）sTse(1)1zN1（d）11zkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1（e）T1z1zN1（f）1T(1zz)(1)ss11ee解：（a）Hs()sssht()utut()()jkhdaw.com0(a)ht()课后答案网1www.hackshp.cnt0(a)（b）？（c）？1zN1（d）Hz()1z12zzN1111zhnununN()()()khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com jIm{}z()NRe{}z101(d)khdaw.comhn()1..........n10123N11N1(d)（e）？课后答案网（f）？8.15图P8.15给出了连续时间LTI系统的零极点分布。如果系统是稳定的，试用几何求值法概略画出系统的频率特性，并作必要的标注。jwww.hackshp.cnba0(a)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com jb0a(b)khdaw.comja0a(c)j课后答案网j0www.hackshp.cna0aj0(d)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com jj0aa0j0(e)khdaw.comjj0a0j0(f)课后答案网图P8.15解：（a）jwww.hackshp.cna0b(a)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com H()1ab0(a)khdaw.comH()0(a)（b）课后答案网jwww.hackshp.cn0ba(b)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com H()10(b)khdaw.comH()0(b)（c）课后答案网jwww.hackshp.cna0a(c)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com H()a20(c)khdaw.comH()0(c)（d）课后答案网jjwww.hackshp.cn0a0aj0(d)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com H()20000(d)khdaw.comH()3200023(d)课后答案网（e）jj0www.hackshp.cnaa0j0(e)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com H()10(e)khdaw.comH()202(e)课后答案网（f）jj0www.hackshp.cna0j0(f)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com H()20a000(f)khdaw.comH()202(f)课后答案网8.16连续时间LTI系统的零极点分布如图P8.16所示，试判断系统的特性是低通、高通、带通还是带阻。jwww.hackshp.cnba0(a)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com jba0(b)khdaw.comjba0(c)课后答案网jjwww.hackshp.cna0j(d)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com jj0j1a0j1j0(e)khdaw.comjj0a0j0(f)课后答案网图P8.16解：（a）带通（b）带阻（c）带阻（d）低通www.hackshp.cn（e）带阻（f）高通8.17（a）离散时间系统函数的零极点如图P8.17所示。如果系统是稳定的，试用几何求值法概略画出系统的频率特性，并给以必要的标注。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com jIm{}za01Re{}z(a)khdaw.comjIm{}z0a11Re{}za(b)课后答案网jIm{}zwww.hackshp.cnjb01Re{}zjb(c)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com jIm{}zr401Re{}z(d)khdaw.comjIm{}z0a1Re{}z(e)课后答案网jIm{}zwww.hackshp.cna0a1Re{}z(f)图P8.17（b）由（a）的结果可知，图P8.17（b）所确定的系统频率响应的模是与频率无关的常数。因此我们称该系统为全通系统。离散时间全通系统的零点z与极点p有kkkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1z的对应关系，它相当于在s平面镜象对称于j轴，所以也称零点与极点镜kpk象对称于单位圆。求上述全通系统的单位脉冲和单位阶跃响应。解：（a）（a）jHe()21akhdaw.com02(a)jHe()2课后答案网02www.hackshp.cn2(a)（b）khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com jHe()11a1a0khdaw.com(b)jHe()02课后答案网(b)（c）jwww.hackshp.cnHe()221b0(c)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com jHe()2032222(c)khdaw.com（d）jHe()07244课后答案网(d)jHe()www.hackshp.cn2022（e）khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com jHe()1a1a02khdaw.com(e)jHe()2022课后答案网(e)（f）jwww.hackshp.cnHe()121a121a022(f)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com jHe()2022(f)khdaw.com（b）211zz(1)12k2zzkk11zzzkzk21zkHzK()KKKKzKkzp11111111k111zzz1zzzzzkkkk22Kzkz()nkk21zk21nKK(1z)()u()nk11z1zkzk课后答案网221nHz()KznK()(1z)()()unkkzk8.18概略画出下列稳定系统频率响应的波特图。www.hackshp.cn（a）s10（b）s10s10（c）s1s10（d）s1s10（e）2ss121ss12（f）s102（g）ss1khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 2（h）ss1(ss10)(1)（i）2(ss100)(s1)解：(a)G()40dB20dBkhdaw.com0110100(a)H()241课后答案网10100www.hackshp.cn(a)(b)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com G()40dB20dB0110100(b)khdaw.comH()11010042(b)课后答案网(c)G()20dBwww.hackshp.cn0110100(c)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com H()344110100(c)(d)G()khdaw.com20dB0110100(d)H()课后答案网1www.hackshp.cn10100434(d)(e)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com G()20dB0110100(e)khdaw.comH()11010054742(e)课后答案网(f)G()www.hackshp.cn40dB20dB711010020dB8(f)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com H()34240.1110100(f)khdaw.com(g)20lgH()40dB40dBdec/20dB0dB0.111101002课后答案网(g)H()www.hackshp.cn20.1110100(g)(h)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 20lgH()40dB40dBdec/0dB0.111101002(h)khdaw.comH()0.11101002(h)课后答案网(i)dB20lgH()www.hackshp.cn200.010.11110100100022040(i)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com H()400.010.1110100100042(i)8.19khdaw.com已知某连续时间LTI系统的幅度波特图如图P8.19所示。如果该系统是最小相移系统，求出该系统，求出该系统的系统函数及收敛域；如果该系统是非最小相移系统，那么系统函数及收敛域又将是什么？20lgH()604020课后答案网0dB23410101010www.hackshp.cn图P8.19解：8.20某连续时间LTI二阶系统的直接型结构如图P8.20所示。若系统是稳定的，其系统函数s及收敛域为Hs()，Res12ss54khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 54图P8.20（a）由于上述二阶系统的两个极点均为实数，因此该系统可以看成两个一阶系统的khdaw.com1s级联，即HsHsHs()()()，利用一阶系统的频率特性可求12ss14得该二阶系统的频率特性。请概略画出该系统的频率特性的模和相位。（b）又因上述系统还可以看成是两个一阶系统的并联，即1343HsHsHs()()()，所以我们也可以根据两个一阶系统的12ss14时域特性得到二阶系统的时域特性。试求出该系统的单位冲激和单位阶跃响应。1解：（a）H()2214144t（b）ht()ut()eut()33课后答案网128.21差分方程yn()yn(1)yn(2)xn()，描述了一个离散时间二阶因果系统，3912其系统函数及收敛域为Hz()，z12123www.hackshp.cn1zz39（a）由于该系统的两个极点都是实极点，所以二阶系统可以由两个一阶系统的级联来实现，其中一阶系统函数分别为11Hz()和Hz()1211211z1z33请利用这两个一阶系统的频率特性概略画出该系统的频率特性。（b）若上述系统用两个一阶系统的并联来实现，其一阶系统函数分别为1323Hz()和Hz()1211211z1z33试利用两个一阶系统的时域特性，求出二阶系统的单位脉冲及单位阶跃响应。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第九章习题答案9.1如图P9.1所示，两个理想模拟滤波器级联和并联，其中H()是低通，截止频率为；1c1H()是高通，截止频率为：2c2(a)当>时，试证明，图P9.1(a)相当于一个理想带通滤波器，并确定其通带宽度。c1c2（b）当<时，试证明，图P9.1(b)相当于一个理想带阻滤波器，并确定阻带宽度。c1c2（c）如果按图P9.1联接的是两个数字滤波器（离散时间滤波器），情况会是如何？khdaw.comx(t)yt)(H1()H1()(a)H()1H()2课后答案网（b）解：（a）H()是低通，截止频率为；H()是高通，截止频率为1www.hackshp.cnc12c211c1c2H(){，H(){1200c1c2当>时，c1c21c2c1H(){0otherwise故级联后的滤波器为理想带通滤波器，其通带宽度为：B。c1c2（b）当<时，c1c2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 0c1c2H(){，1otherwise故级联后的滤波器为带阻滤波器，阻带宽度为：Bc2c1（c）数字滤波器结果与上类似。9.2图P9.2中的系统常用来从低通滤波器获得高通滤波器，反之亦然。(a)证明当H()是截止频率为的理想低通滤波器时，整个系统相当于一个理想高通p滤波器。确定其截止频率，并粗略绘出其单位冲激响应。（b）如果H()是一个截止频率为的理想高通滤波器，证明整个系统相当于一个理想p低通滤波器。并确定其截止频率。khdaw.com（c）如果把一个离散时间理想低通（或高通）滤波器按图P9.2联接，所组成的系统是理想的离散时间高通（或低通）滤波器吗？x(t)y(t)H()图P9.2解：（a）H()是低通滤波器，截止频率为p1pH(){课后答案网0otherwise整个系统的频率响应为：1pH()1H(){1www.hackshp.cn0otherwise故整个系统为高通滤波器。其单位冲激响应为：sin(t)ph(t)(t)hpt其波形如图所示。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com （b）H()是高通滤波器，截止频率为p1pH(){0otherwise整个系统的频率响应为：1pH()1H(){10otherwise故整个系统相当于一个理想低通滤波器，其截止频率为。p（c）是。9.3某模拟低通滤波器的幅频特性如图P9.3所示。试对下列每种相位特性，求出该滤波器khdaw.com的单位冲激响应并概略绘出其波形。（a）∢H()=0（b）∢H()=ΩT，其中T为常数,2/0（c）∢H()=,2/0图9.3解：（a）若∢H()=0，则有：ha(t)sintc课后答案网t波形如图所示：www.hackshp.cn（b）若∢H()=ΩT,则有：jTH()H()ebasin(tT)ch(t)h(tT)ba(tT)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ,2/0（c)如∢H()=，则,2/0jH()0aH(){cjH()0aH()可视为如下的卷积：cccH()H2(*)j[()()]ca222(sint)ch(t)ckhdaw.comt/29.4若某离散时间理想低通滤波器的单位脉冲响应为h(n)，频率响应如图P9.4所示。另一个新的滤波器的单位脉冲响应为h(n)，且1h(n2/),n为偶数h1(n),0n为奇数j试确定并粗略画出新滤波器的频率特性H(e)。指出它属于哪一种滤波器（低通，1高通，带通，带阻）。jH(e)课后答案网1www.hackshp.cn2cc2jjnj2nj2解：H1(e)h1(n)eh[n]eH(e),其频谱如下所示,它是一个带nn阻滤波器。H(ej)1cc22khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 9.5在许多滤波问题中，人们总希望相位特性是零或者是线性的。对因果滤波器，实现零相位是不可能的。然而，在非实时要求的情况下，零相位过滤是可能的。如果要处理的序列x(n)是有限长的，h(n)是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响应，且h(n)是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响应，且h(n)为实序列，则可以通过以下两种方法实现对x(n)的零相位过滤。（a）按以下三步进行，如图P9.5(a)所示。（b）按以下三步进行，如图P9.5(b)所示。分别对以上两种方法求出从输入x(n)到输出y(n)的整个系统的系统函数，单位脉冲响应，并证明该系统具有零相位特性。khdaw.com(1)x(n)g(n)(1)x(n)g(n)h(n)h(n)(2)g(n)r(n)(2)x(n)r(n)h(n)h(n)(3)y(n)r(n)(3)y(n)g(n)r(n)(a)(b)图P9.5解：（a）由图P9.5(a）可知：课后答案网G()X()H()又g(n)的傅立叶变换为G()www.hackshp.cnr(n)的傅立叶变换为R()G()H()X()H()H()Y()R()X()H()H()又h(n)为实序列，则：*2Y()X()H()H()X()H()故系统函数为：2H()H()1单位冲激响应为：h(n)h(n*)h(n)，它具有零相位特性。1khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (b）由图P9.5(b）可知：G()X()H()R()X()H()Y()G()R()X()[H()H()]*又h(n)为实序列，则H()H()：*H()H()H()H()H()2Re{H()}2这表明复合滤波器具有零相位特性。故系统函数为：2H()H()khdaw.com1单位冲激响应为：h(n)h(n)h(n)。29.6频率选择性滤波器往往被用来分离两个加性信号。如果两个加性信号的频谱不重叠，则用滤波器就可达到目的。然而，当频谱有重叠时，把滤波器设计成从通带到阻带逐渐过渡的形状往往更为可取。本题旨在研究确定滤波器频率响应的一种方法，这种滤波器可以用来近似地分离频谱重叠的信号。设x(t)是一个复合信号，x(t)s(t)wt)(。我们希望设计一个LTI滤波器，从x(t)中分离出st)(，如图P9.6（a）所示。也就是说，滤波器的频率响应H()应使yt)(是对st)(较好的近似。假定用()作为y(t)与st)(之间误差的度量，定义为课后答案网2()S()Y()其中S()和Y()分别是st)(和yt)(的傅立叶变换。www.hackshp.cn（a）用S()，H()和W()表示()。其中W()F[w(t)]。*（b）限定H()为实函数，因此H()H()。通过使()对H()的导数为零，确定使误差()为最小的H()。（c）证明：如果S()和W()不重叠，则（b）中的结果就变为一个理想滤波器。（d）如果S()与W()如图P9.6(b）所示，根据（b）的结果，确定并概略画出H()。x(t)s(t)w(t)y(t)s(t)H()khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com S()(a)1-202W()1khdaw.com-101(b)图P9.6(a)由图p9.6(a)可得：Y()X()H()[S()W()]H()故有：S()Y()S()[S()W()]H()22()S()Y()S()[S()W()]H()222*（b）()S()H课后答案网()S()W()2Re{S()[S()W()]}H()2222*=S()H()S()W()2H()[S()Re{S()W()}]()令：0得：H()www.hackshp.cn22*2H()S()W()[2S()Re{S()W()}]02*S()Re{S()W()}H()2S()W()如果在某一个频率处有S()W()0，则此时X()0，从而有0000Y()0。对此频率来说，H()可以取任意值。00（c）如果S()和W()不重叠，则S()W()0。设S()在区域A为非零，W()在区域B非零，则：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 当A时，S(),0W()0；当B时，S(),0W()0。在此情况下，H()具有如下特性：2S()当S(),0W()0时，H()1；2S()当S(),0W()0时，H()0；当S(),0W()0时，H()可为任意值，当然可以规定为H()0。khdaw.com由以上讨论可见，H()在S()与W()不重叠时，具有理想滤波器特性。（d）根据图p9.6(b)和（b）的结果可得：H()11111H(){122020.5-2-10129.7题9.6讨论了当两个信号的频谱有重叠时，为了从加性信号中分离出一个信号，选择连课后答案网续时间滤波器频率特性的一种特殊准则。试对离散时间的情况，导出与题9.6（b）中所得结果相对应的结果。分别用S()，W(www.hackshp.cn)，H()，Y()和()代替题9.6中的S()，W()，H()，Y()和()有：Y()X()H()[S()W()]H()S()Y()S()[S()W()]H()2()S()[S()W()]H()假定H()为实函数，相应有：2222*()S()H()S()W()2H()[khdaw.comS()Re{S()W()}]若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ()令0，得：H()2*S()Re{S()W()}H()2S()W()同样，如果在某一个频率处有S()W()0，则此时X()0，从而有0Y()0。对此频率来说，H()可以取任意值。009.8在许多滤波器应用中，往往不希望滤波器的阶跃响应出现过冲。例如图象处理中，滤波器阶跃响应的过冲会产生图象轮廓的勾边现象。当滤波器的冲激响应始终非负时，khdaw.com可以消除过冲现象。（a）证明：如果连续时间滤波器的h(t)始终大于或等于零，即h(t)0，则该滤波器的阶跃响应是单调非减的函数，因而不会发生过冲。(b)证明：如果离散时间滤波器的单位脉冲响应总大于或等于零，即h(n)0，则其阶跃响应是单调非减的函数，因而不会发生过冲。解：(a)设st)(为连续时间LTI滤波器的阶跃响应，则有：ds(t)h(t)dtds(t)因此，当h(t)0时，有0，这表明s(t)是单调非减的函数，因而不会dt发生过冲。（b）设s(n)为离散时间LTI滤波器的阶跃响应，则有：课后答案网h(n)s(n)s(n)1因此，当h(n)0www.hackshp.cn时，有s(n)s(n)10，这表明s(n)是单调非减的函数，因而不会发生过冲。9.9对因果的离散时间LTI系统，试推导出其频率响应的实部和虚部之间的依从关系。即离散时间的实部与虚部自满关系。解:设因果系统的单位脉冲响应为h(n),则根据系统的因果性,有:h(n)h(n)u(n)对上式两边同时取傅立叶变换,有:j1j1H(e)H(e)[(2k])d221ej()k整理后有:khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com j1j1H(e)H(e)d21ej()j令:H(e)HjH,带入上式并整理后有:RI11HjH(HHctg)dj(HHctg)dRIRIIR222222所以:1H(HHctg)d;RRI2221H(HHctg)dIIR2229.10对图P9.1所示归一化滤波电路，分别求出其去归一化的实际元件参数，已知工作频khdaw.com6率10rad/s，负载电阻R1K。c0解:由公式9.24,9.26,9.28得实际阻抗和归一化阻抗,实际感抗和归一化感抗,实际容抗和归一化容抗间满足如下关系:R019RRRR(k),LL.0001L,CC10C0Rcc09(a)L.00015H,C4*103/F,R1k;12L9.00049(b)C5.1*10F,LH,C5.0*10F,R1k123L399(c)L.00016/H,C4*10F,L.00005H,C10F,R1k;1课后答案网234L99(d)C6/1*10F,L.0004H,C5.0*10,L.0001H,R1k1234L9.11设计一个巴特沃思模拟低通滤波器，技术指标为：f2KHz,A3dB,f2f,A30dBpwww.hackshp.cnprcr要求得到归一化滤波器的系统函数H(s,)和归一化电路及归一化元件参量。a解：（1）根据技术指标知此时ff，对阻带频率归一化可得：pcfrrr2fpp（2）查图9.8(b)可得5阶巴特沃思模拟低通滤波器满足r2时，A30dBr的要求，故定阶为n5。（3）查表9.1可得5阶巴特沃思模拟低通滤波器归一化系统函数为：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1H(s)B5432s.3236s.5236s.5236s.3236s1（4）查表9.2可得归一化电路结构和元件参量如下图所示。L2L4C1CC32其中，C.06180,L.1618,C.2000,L.1618,C5.061812349.12设计一个巴特沃思模拟低通滤波器，技术指标为：f1kHz,A1dB;f2kHz,A20dBpprrkhdaw.com要求得到归一化滤波器的系统函数，并求出该滤波器的3dB带宽。解：（1）根据9.32式确定滤波器的阶数n。1.0Ar1.0Aplg(10)1/(10)1n.42893rlg()p取整数后为：n5。（2）确定3dB带宽阶数取整数后滤波器有富裕量，将其留给阻带，则将阶数n代入公式9.30得：fp2np10A10lg[1()]10lg[1()]pfcc代入数据后解得：课后答案网f.11446KHzc阶数取整数后滤波器有富裕量，将其留给通带，则将阶数n代入公式9.31得：www.hackshp.cnr2nfr10A10lg[1()]10lg[1()]rfcc代入数据后解得：f.12632KHzc（3）确定归一化滤波器系统函数f2rr当fc.11446KHz，r.17473时，f.11446cc查表9.8（b）得5阶巴特沃思模拟低通滤波器满足A20dB。rf2rr当fc.12632KHz，r.15833时，f.12632cckhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 查表9.8（b）得5阶巴特沃思模拟低通滤波器满足A20dB。r故归一化滤波器系统函数为：1H(s)B5432s.3236s.5236s.5236s.3236s19．13设计两个切比雪夫模拟低通滤波器，它们的技术指标分别为：（a）f10kHz,A1dB;f100kHz,A140dBcprr（b）f100Hz,A1.0dB;f130Hz,A30dBcprr要求得到归一化滤波器的系统函数.解：（a）阻带频率归一化得：khdaw.comfrrr10fcc查表9.12(b)可得切比雪夫模拟低通滤波器阶数为n6.再查表9.3(2)可得切比雪夫模拟低通归一化滤波器的系统函数1H(s)L65432s.092825s.193082s.120214s.093935s.030708s.006891(b)切比雪夫模拟低通滤波器衰减函数为：22A10lg[1T()]np当时，1，此时有：cp课后答案网c222A10lg[1T1()]10lg(1)pn1.0Ap当A1.0时，101.01526pwww.hackshp.cn又归一化阻带频率为：f130rrr3.1f100cc将,r代入公式9.37得滤波器阶数为：ch1(101.0Ar/1)n9.71ch(r)n81H(s)L765432.091981s.242303s.165516s.18369s.084682s.044783s.010734s.001723khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 9.14若巴特沃思模拟低通滤波器技术指标为：f5.0kHz,A3dB;f2kHz,A30dBpprr试通过计算和查图表两种方法确定滤波器的阶数并设计出归一电路。解：（1）查表法：（a）根据技术指标知此时ff，对阻带频率归一化，可得：pcfrrr4fpp（b）查图9.8(b)可得巴特沃思模拟低通滤波器阶数为n3。（c）查表9.1可得3阶巴特沃思模拟低通滤波器归一化系统函数为：1H(s)B32khdaw.coms2s2s1（2）直接计算法：（a）由公式9.32可得阶数为：lg(101.0Ar)1/(101.0Ap)1lg(10*1.030)1/(103*1.0)1lg(31.6821)n.249lg(/)lg()4lg()4rp取整数得巴特沃思模拟低通滤波器阶数为n3。（b）查表9.1可得3阶巴特沃思模拟低通滤波器归一化系统函数为：1H(s)B32s2s2s1归一化电路如下图所示。课后答案网L2C1C2www.hackshp.cn其中，C1.1000,L2.2000,C3.10009.15若巴特沃思模拟低通的技术指标为：f10kHz,A.092dB;f20kHz,A20dBpprr试通过计算确定该滤波器的阶数。并算出其3dB带宽。解：由公式9.32可以确定滤波器的阶数n。lg(101.0Ar)1/(101.0Ap)1lg(10*1.020)1/(10.0*1.092)1n.436lg(/)20rplg()10取整数后有：n5。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 将富裕量留给阻带，则将阶数代入9.30后有：fp10kHzf11.55kHzc10101.0Ap1.08655将富裕量留给通带，则将阶数代入9.31后有：fr20kHzf12.632kHzc10101.0Ar1.158339.16试求切比雪夫模拟低通滤波器的系统函数表达式。技术指标为：300rad/s时，A1dBp800rad/s时，A20dBkhdaw.comr解：（1）对阻带频率进行归一化，有：800rr.2667300c（2）查表9.12(b)得切比雪夫模拟低通滤波器阶数为：n3。（3）再查表9.3(2)得切比雪夫模拟低通滤波器归一化系统函数为：1H(s)b32s.098834s.123841s.0491319.17（a）一个二阶巴特沃思低通和一个二阶切比雪夫低通都满足通带衰减A3dB，阻p带衰减A15dB的要求，若它们的通带截止频率相同，通过查图表确定并比较r它们的阻带频率。课后答案网（b）若给定f5.1MHz,A3dB;f7.1MHz,A60dB，试确定满足该技术pprr指标的巴特沃思低通与切比雪夫低通的最低阶数。解：（a）对巴特沃思低通滤波器，查图9.8(b)得：www.hackshp.cnbr5.2cb5.2rc对切比雪夫低通滤波器，查表9.12得：cr2cc2rc在通带截止频率相同的情况下，可以看到切比雪夫低通滤波器的阻带截止频率小于巴特沃思低通滤波器的阻带截止频率。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com （b）对巴特沃思低通滤波器有：lg(101.0Ar)1/(101.0Ap)1lg(10*1.060)1/(103*1.0)1n55.20lg(/)lg()5.1/7.1rp取整数后有：n56。对切比雪夫低通滤波器有：11.0Ar1.0Apch(10/110)1n14.881ch(/)rc取整数后有：n15。9.18设计一个巴特沃思高通滤波器，技术要求为：15rad/s时阻带衰减大于40dB；khdaw.com120rad/s时，通带衰减小于3dB。解：（1）对高通进行频率归一化，以f为归一化因子有：pp120r15HP1；HR.0125120120pp根据9.39式得相应的低通原型的归一化截止频率为：11LP;1LR8HPHR从而，低通原型滤波器的技术指标为：LP,1Ap3dB课后答案网;LR,8Ar40dB。（2）查表9.8(b）可得三阶巴特沃思低通滤波器满足上述要求。低通原型的归一化系统函数为：1H(s)L32s2www.hackshp.cns2s1（3）巴特沃思高通滤波器系统函数为：3sH(s)H(s)HL132ss2s2s1s9.19设计一个切比雪夫高通滤波器，其技术指标为：f1kHz,A1dB;f100Hz,A140dBcprr解：（1）对高通进行频率归一化，以f为归一化因子有：pp1000r100HP1；HR1.010001000ppkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 根据9.39式得相应的低通原型的归一化截止频率为：11LP;1LR10HPHR从而，低通原型滤波器的技术指标为：LP,1Ap1dB;LR10,Ar140dB。（2）查图9.12(b）可得6阶切比雪夫低通滤波器满足上述要求。低通原型的归一化系统函数为：1H(s)L65432s.092825s.193082s.120214s.093935s.030708s.006891khdaw.com（3）切比雪夫高通滤波器归一化系统函数为：H(s)H(s)HL1ss6s65432.006891s.030708s.093935s.120214s.193082s.092825s19.20设计一个满足下列技术指标的巴特沃思高通滤波器：通带10kHzf,A1dBp阻带0f2kHz,A45dBR600课后答案网ri解：（1）先设计对应的低通原型滤波器，其技术指标为：fp2kHz,Ap1dB；f10kHz,A45dBrwww.hackshp.cnr由公式9.32得滤波器的阶数满足：lg(101.0Ar)1/(101.0Ap)1lg(10*1.045)1/(101*1.0)1n.3639lg(/)10rplg()2n44阶低通滤波器的归一化系统函数为：1H(s)L432s.2613s.3414s.2613s1（2）巴特沃思高通滤波器系统函数为：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 4sH(s)H(s)HL1432ss.2613s.3414s.2613s1s9.21用切比雪夫滤波器实现题9.20的技术指标。解：（1）先设计对应的低通原型滤波器，其技术指标为：f2kHz,A1dB；ppf10kHz,A45dBrr查图9.21可得切比雪夫低通滤波器的阶数为n3。3阶低通滤波器的归一化系统函数为：1H(s)L32khdaw.coms.098834s.123841s.049131（2）切比雪夫高通滤波器归一化系统函数为：3sH(s)H(s)HL132s.049131s.12384s.098834s1s9.22设计一个满足下列指标的带通滤波器：通带3kHzf6kHz，A1dBp阻带0f1kHz,18kHzf,A45dBr电源内阻R600课后答案网i（a）用巴特沃思滤波器设计。(b)用切比雪夫滤波器设计。解：（a）按巴特沃思滤波器设计。将给定的带通指标转化为低通指标，有：www.hackshp.cn归一化低通的通带截止频率为：2232332B06(*10)(6*10*3*10)LP1333BB6(*103*10*)6*10归一化低通的阻带截止频率为：2232332B0(18*10)(3*10*6*10)LR.567333BB6(*103*10*)18*10低通原型的指标为：LP,1Ap1dB;LR.567,Ar45dBkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com lg(101.0Ar)1/(101.0Ap)1lg(10*1.045)1/(101*1.0)1n.3375lg(/).567rplg()1取整数后为：n4.4阶低通滤波器的归一化系统函数为：1H(s)L432s.2613s.3414s.2613s126s18*10根据表9.4，将上式中的换成s即可获得带通滤波器的实际系统函数.3s*3*10（b）按切比雪夫滤波器设计。11.0Ar1.0Apch(10/110)1n.2706khdaw.comch1(/)rc取n3，可得三阶切比雪夫低通滤波器的归一化系统函数为：1H(s)L32s.09889s.12384s.0491326s18*10将上式中换成s，即可以得到三阶切比雪夫带阻滤波器的系统函数。3s*3*109.23设计满足下列指标的带阻滤波器：通带0f8.3kHz，165.kHzf,A1dBp阻带6.6kHzf7.9kHz,A50dBr电源内阻R600课后答案网i(a)用巴特沃思逼近。(b)用切比雪夫逼近。解：（a）按巴特沃思滤波器设计。将给定的带阻指标转化为带通指标，再转化为归一化低通指标，有：www.hackshp.cn归一化低通的通带截止频率为：2232332B07.9(*10)(6.6*10*7.9*10)LP1333BB7.9(*106.6*10*)7.9*10归一化低通的阻带截止频率为：2232332B0(165.*10)(6.6*10*7.9*10)LR.692333BB7.9(*106.6*10*)7.9*10低通原型的指标为：LP,1Ap1dB;LR.692,Ar50dBkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com lg(101.0Ar)1/(101.0Ap)1lg(10*1.050)1/(101*1.0)1n.3325lg(/).692rplg()1取整数后为：n4.4阶低通滤波器的归一化系统函数为：1H(s)L432s.2613s.3414s.2613s1查表9.4可以获得带阻滤波器的实际系统函数为：H(s)HL(s)s(21)*1.3103ss22232s0s*8(10)（b）按切比雪夫滤波器设计。khdaw.com11.0Ar1.0Apch(10/110)1n.27171ch(/)rc取n3，可得三阶切比雪夫低通滤波器的归一化系统函数为：1H(s)L32s.09889s.12384s.0491331.3*10s将上式中换成s，即可以得到三阶切比雪夫带阻滤波器的系统函数。26s64*109.24求出图P9.24所示有源滤波器电路的系统函数。大致绘出其频率响应的波特图，说明它们分别是什么类型的滤波器。[说明]图P9.24（c），（d）中R与R构成的反馈电路决定该电路的放大倍数。课后答案网sb解：（a）R1R1H(s):低通滤波器1RSC2www.hackshp.cn(b)SRC1H(s)：高通滤波器1SRC2(RR)RCS56(c)H(s)：带通滤波器222RCRS4(RR)RCS2R6656(RR)s56(d）H(s)：带通滤波器22Rs.5(454R.2146R)s.3918R55659．25某电子设备采用一个巴特沃思低通与一个巴特沃思高通级联构成一个带通滤波器。带通的通带上、下截止频率分别为200kHz和100kHz；通带内衰减不大于3dB；低频段khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 在50kHz时A15dB；在高频段f400kHz时，A15dB，试分别求出所需高rr通与低通的系统函数H(s)与H(s)。12解:通过分析可知，满足如下技术参数的高通滤波器和低通滤波器级联后可以构成所需带通滤波器：高通滤波器：f100kHz时，A1dB；f50kHz时，A15dBpprr低通滤波器：f200kHz时，A1dB；f400kHz时，A15dBpprr（1）高通滤波器设计：（a）对高通进行频率归一化，以f为归一化因子有：pkhdaw.compfp100kHzrfr50kHzHP1；HR5.0f100kHzf100kHzpppp根据9.39式得相应的低通原型的归一化截止频率为：11LP;1LR2HPHR从而，低通原型滤波器的技术指标为：LP,1Ap1dB;LR,2Ar15dB。由公式9.32得滤波器的阶数满足：lg(101.0Ar)1/(101.0Ap)1lg(10*1.015)1/(101*1.0)1n.3443lg(/)10课后答案网rplg()2n4(b)4阶低通滤波器的归一化系统函数为：1H(s)L4www.hackshp.cn32s.2613s.3414s.2613s1（c）巴特沃思高通滤波器系统函数为：4sH(s)H(s)H(s)1HL1432ss.2613s.3414s.2613s1s（2）低通滤波器设计LP,1Ap1dB;LR,2Ar15dB解法同上述低通原型设计，可以得到：1H(s)2432s.2613s.3414s.2613s19.26用脉冲响应不变法将以下H(s)转换为H(z)，设采样周期为T。akhdaw.coms若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com sa3(a)H(s)(b)H(s)a22a(sa)b(s1)(s)33s2A(c)H(s)(d)H(s)a2a22s3s1(ss)0解：（a）将H(s)进行部分分式展开，有：a5.05.0H(s)asajbsajb从而有：5.05.0H(z)khdaw.com1e(ajb)Tsz11e(ajb)Ts（b）将H(s)进行部分分式展开，有：a5.15.1H(s)as1s3从而有：5.15.1H(z)1eTsz11e3Tsz1(c)将H(s)进行部分分式展开，有：a11H(s)a2s1s1从而有：5.0课后答案网1H(z)1e5.0Tsz11eTsz1(d)Ha(s)没有单重极点，不能进行部分分式展开。AH(s)www.hackshp.cna2(ss)0h(t)tes0tu(t)a根据脉冲响应不变法，有：h(n)h(nT)nTes0nTsu(nT)，asss对其进行z变换有：Tes0Tsz1sH(z)1(es0Tsz1)29.27用脉冲响应不变法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为f.628318kHz，截止频率f1kHz。并画出该系统的并联型结构。sckhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 解：三阶巴特沃思模拟低通滤波器的归一化系统函数为：1H(s)b32s2s2s1去归一化后得系统函数为：3cHb(s)Hb(s)s3223ss2s2scccc将其进行部分分式展开，有：jj(/)3e6(/)3e6cccH(s)bscsc1(j2/)3sc1(j2/)3根据（9.55）和（9.56）式有：jj(/)3e6(/)3e6ccckhdaw.comH(z)，1ecz11ec1(j2/)3z11ec1(j2/)3z1将T1代入上式，整理后有：cc11.057747.0zH(z)。1121.03678z1.1212z.03678z其并联型结构如下图所示：D课后答案网0.3678y(n)x(n)0.5774www.hackshp.cnD1.212-0.7D-0.36789.28用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为f2.1kHz，s截止频率f400Hz。ckhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 解：对模拟低通截止频率进行预畸变，有：2f/fccstgtg.1732c22三阶巴特沃思模拟低通滤波器的归一化系统函数为：1H(s)b32s2s2s1对上式去频率归一化，得：3cHb(s)Hb(s)s3223ss2s2scccc将.1732代入上式整理后有：ckhdaw.com.5196H(s)b32s.3464s6s.5196对H(s)进行双线性变换，有：b131(z)H(z)Ha(s)1z1321s.132z.1934z.2911z.30111z9.29利用双线性变换法设计满足下列技术要求的数字低通滤波器：f2.1kHz,A5.0dB;f2kHz,A40dB;抽样频率f8kHz.pprrs(a)用巴特沃思型设计。（b）用切比雪夫型设计。课后答案网解：（a）用巴特沃思型设计对频率进行预畸变，有：2f/fppstgtg.05095cpwww.hackshp.cn222f/frrstg()tg()1r22由公式9.32得滤波器的阶数满足：lg(101.0Ar)1/(101.0Ap)1lg(10*1.040)1/(105.0*1.0)1n.838lg(/)1rplg().05095滤波器阶数为n9查表9.1可得9阶巴特沃思模拟低通滤波器的归一化系统函数为：1Hb(s)98765432s.5759s16.582s31.163s41.986skhdaw.com41.986s31.163s16.582s.5759s1若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 根据表9.5，得巴特沃思数字低通滤波器的系统函数为：H(z)Hb(s)111zs1z1c=191(z)19181171216134321(z)12541(z)1(z)18421(z)1(z)17661(z)1(z)...151414151316121712141(z)1(z)6191(z)1(z)2351(z)1(z)631(7.z)1(z)...khdaw.com11819...11.281(z)(1z)1(z)(b)用切比雪夫型设计,根据(9.37)计算低通原型的阶数11.0Ar1.0Apch(10/110)1n.4821ch(/)rp故阶数n5查表9.3可得5阶切比雪夫低通滤波器的归一化系统函数为：1Hc(s)5432s.117249s.193737s.130957s.075252s.017892根据表9.5，得切比雪夫数字低通滤波器的系统函数为：H(z)Hb(s)1课后答案网11zs1z1c=15www.hackshp.cn1(z)151411312121328.921(z)171(3.z)1(z)14.591(z)1(z).5031(z)1(z)...11414....0752521(z)(1z).0178921(z)9.30利用双线型变换法设计数字低通滤波器。指标为：通带最大波动A5.0dB；阻带最p小衰减A60dB；通带截止数字频率.025,阻带截止数字频率3.0，rpr抽样频率f2kHz。s(a)用巴特沃思型设计。(b)用切比雪夫型设计。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 解：对频率进行预畸变，得到模拟滤波器的技术指标：ptg.04142,A5.0dBpp2rtg.05095,A60dBrr2（a）用巴特沃思型设计计算模拟低通滤波器的阶数：lg(101.0Ar)1/(101.0Ap)1lg(10*1.060)1/(105.0*1.0)1n38.43lg(/).05095rplg()khdaw.com.04142滤波器阶数为n39.选用39阶的巴特沃思低通滤波器进行低通原型设计，再采用表9.5从模拟低通原型变换到数字低通。（b）用切比雪夫型设计11.0Ar1.0Apch(10/110)1n12.991ch(/)rp滤波器阶数为n13.选用13阶的切比雪夫低通滤波器进行低通原型设计，再采用表9.5从模拟低通原型变换到数字低通。9.31用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字高通滤波器。采样频率f6kHz，截止课后答案网s频率f5.1kHz（3kHz以上的频率分量不计）。c2f/fccs解：对频率进行预畸变，得模拟截止频率tg()tg()1cwww.hackshp.cn22又三阶巴特沃思模拟低通滤波器的归一化系统函数为：1H(s)L32s2s2s1查表9.5可得三阶巴特沃思数字高通滤波器的系统函数为：131(z)H(z)HL(s)c1(z1)1312111213s1(z)1(2z)1(z)1(2z)(1z)1(z)11z9.32用双线性变换法设计数字带通滤波器，技术指标为：通带.025.035，通带截止频率4.0,2.02khdaw.com1若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com A5.0dB,A60dB,抽样频率2kHz.prcos[(12]2/)cos(.025.0352/)解：cos.059510cos[(]2/)cos(.035.0252/)21cos0cos2.05951cos(.035).015838,A5.0dBcpsinsin(.035)2cos0cosr.05951cos(4.0),3.0A60dBrrsinsin(4.0)r如采用巴特沃思型设计，则滤波器阶数为：lg(101.0Ar)1/(101.0Ap)1lg(10*1.060)1/(105.0*1.0)1khdaw.comn12.41lg(/)3.0rplg().015838取整数后为：n139.33利用双线性变换法设计巴特沃思数字带通滤波器，已知抽样频率f6kHz，其等效s的模拟滤波器指标为：2kHz3kHz,A3dBp6kHz,A50dBr5.1kHz,A20dBr课后答案网解：通带上截止频率为：332*3*10/(6*10)2通带下截止频率为：www.hackshp.cn3322*2*10/(6*10)13阻带截止频率为：332*6*10/(6*10)2r按表9.6进行预畸变，有：cos[(]2/)12cos10cos[(]2/)21coscos02,1A3dBcpsin2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com cos0cosr1cos(2)=?rsinsin(2)r9.34用矩形窗设计线性相位高通滤波器。已知j()je,cH(e){d,00c（a）求出单位脉冲响应h(n)的表达式，确定与N的关系。d（b）该滤波器有几种类型，分别属于哪一种线性相位过滤器？（c）改用海宁窗进行设计，求出h(n)的表达式。d解：khdaw.comj1jjn1j()jnej(n)(a)h(n)H(e)edeededdd222c(n)nc()1sin()c(n)j22=e(n)N1为了保证线性相位，。2(b)当N为奇数，为第一种情况，滤波器偶对称。若N为偶数，为第四种情况，滤波器奇对称。n课后答案网c(n)()1sin()c(n)2j12(c)h(n){e2.1[cos(n)]}R(n)。dN(n)2N19.35若线性相位高通滤波器的特性为www.hackshp.cnj()je,cjj()Hd(e)je,c0,0,2cc重复9.34题的各项要求。解：1j()jn1cj()jn(a)h(n)jeedjeedd2c2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com jej(n)cj(n)[jedjed]2cij(n)j(n)eeec[||]c2nnn()1(cos(n))1c(n)n12()1sin[(n)]2/c(n)n12()1sin[(n)]2/ch(n)h(n*)(n)(n)dRR(n)N1(b)为了保证线性相位khdaw.com2若N为奇数，设N=2k+1则=k2n12sin[(nk)c]2/h(n)()1(n)R(nk)h(n)满足奇对称，即h(n)=-h(N-1-n)属于第III类FIR滤波器若N为偶数，设N=2k则=k-1/22n12sin[(nk)2/1c]2/h(n)()1(nk)2/1h(n)满足偶对称，即h(n)=h(N-1-n)属于第II类FIR滤波器2n1sin[(n)c]2/12n(c)h(n)()11(cos)(n)R课后答案网(n)2N19.36用矩形窗设计线性相位带通滤波器，已知jejc0cHd(e),00,www.hackshp.cn0c0c（a）取N为奇数，设计h(n)。（b）取N为偶数，设计h(n)。（c）若用汉明窗设计，分别求出以上两种情况的h(n)表达式。10cjjn10cjjn解：h(n)eedeedd20c20ckhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com sin[(n)()]sin[(n)()]0c0c(n)2cos(n)sin(n)0c(n)h(n)h(n)(n)dRN1(a)N为奇数时，设N=2k+1，k22cos(nk)sin(nk)0ch(n)(n)R(nk)h(n)满足于偶对称，属于第I类FIR滤波器(b)khdaw.comN为偶数时，设N=2k,=k-1/22cos(nk)2/1sin(nk)2/1ch(n)(n)R(nk)2/1h(n)满足偶对称，属于第II类FIR滤波器(c)N为奇数时，用升余弦窗设计2cos(nk)0sin(nk)c2nh(n).0[54.046cos]R(n)N(nk)N1N为偶数，用升余弦窗设计2cos(nk)2/10sin(nk1/)2c2nh(n).0[54.046cos]R(n)N(nk)N1课后答案网9.37用矩形窗设计线性相位正交变换网络。已知jjH(e)je0,d（a）求h(n)的表达式。www.hackshp.cn（b）N选奇数好还是选偶数好？还是性能一样好，为什么？（c）若用凯塞窗进行设计，求h(n)的表达式。解：（a）jjaj(a)2/H(e)jeedj|H(e|),1()a2/dsin(na)h(n)sgn(na)d(na)sin(na)h(n)h(n)(n)sgn(na)(n)dRR(na)(b)N为奇数时，=(N-1)/2=kkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ,1nah(n),0naN为偶数时，=(N-1)/2=k-1/2sin(nk)2/1h(n)sgn(nk)2/1(n)R(nk)2/1N为偶数时性能好.2sin(na)I(11[n/(N1)])0(c)h(n)sgn(na)(na)I()09.38用频率采样法设计线性相位低通滤波器。N15，幅度采样值为khdaw.com,1k0Hk,5.0k,114,0k3,2,...,13j（a）设计采样值的相位，并求出h(n)和H(e)的表达式。k（b）用横截型和频率采样型两种结构实现该滤波器。画出其结构图。（c）比较这两种结构所需的乘法和加法数目的多少？解：(a)2N1j1(/115)(k)k()k1(/1N),H)0(,1H)1(5.0eddN2Hd(k)Hd(Nk)课后答案网,0k,3,2,13j14(15)1/15*H(14)5.0eH)1(ddN121jknh(n)H(k)eNdNn0www.hackshp.cn14214281jjnjjn1(5.0e15e155.0e15e15)15j1514j1eH(k)H(e)jj22k/1515ko1ee(b)横截型1111x(n)zzzzh)0(h)1(h)2(h)3(h(14)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 频率采样型H(0)jex(n)H(1)1/15y(n)2je15ejj15eH(14)28je15ej(c)横截型用的乘法器多，频率采样型用的加法器多khdaw.com9.39已知h(n)是一个N8的偶对称序列，h(n)是h(n)圆周移动N2/4以后所得121的序列，如图P9.39所示。H(k)DFT[h(n)]，H(k)DFT[h(n)]1122（a）试问H(k)H(k)成立吗？(k)与(k)有何关系？1212（b）分别以h(n)和h(n)作为单位脉冲响应构成的低通滤波器是否是线性相位滤波12器，其时延是多少？（c）这两个滤波器的性能是否相同，若不相同，谁优谁劣，为什么？解：(a)h(n)为h(n)的圆周移位21课后答案网kmjkH(k)H(k)WH(k)e|H(k||)H(k|)21N112(k)(k)k12(b)如图所示，又N,8a(N2/)15.3知h(n)，h(n)均关于n=3.5偶对www.hackshp.cn12称，所以属于线性相位滤波器,时延为3.5(c)滤波器性能不一样。39.40用频率采样法设计线性相位高通滤波器，截止频率，边沿设置一个过渡点p4H(k).039，试设计采样值H(k)。（a）取N=33，（b）取N=34。解：(a)N=33khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 320,0k11,22k32k0,k1633|H(k|).039,k12,21,(k)32(33k),17k32,113k2033(b)N=34330,0k11,23k33k0,k1734|H(k|).039,k12,22,(k)33(34k),18k33,113k21349.41用频率采khdaw.com样法设计线性相位带通滤波器，其通带上下截止频率为4/，34/，，不设边沿过渡点，试对N=33和N=34的情况分别求第1，122，3，4种线性相位滤波器的采样值H（k）。解：(a)N=33，因为N为奇数，所以可能是第I，III型滤波器0,0k,413k20,29k32|H(k|)5,1k12,21k2832k0,k1633第I型(k)32(33k),17k3233课后答案网32k0,k16233第III型(k)32(33k),17k32233(b)N=34,可能是第II,IV型滤波www.hackshp.cn0,0k,413k21,30k33|H(k|)5,1k12,22k2933k0,k1734第II型(k)33(34k),18k333433k0,k17234第IV型(k)33(34k),18k33234khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 9.42用频率采样法分别按h(n)偶对称和h(n)奇对称两种情况设计线性相位低通滤波器，已知N16，幅度采样值的前一半为,1k3,2,1,0Hk.039,k4,0k7,6,5对这两种滤波器的特性加以比较。解：（a）h(n)偶对称，且滤波器点数为偶数，故选择第II型滤波器，此时有：HHkNk115k1()kkkhdaw.comN16(b)h(n)奇对称，且滤波器点数为偶数，故选择第IV型滤波器，此时有：HHkNk1k1()kN29.43利用频率采样法设计线性相位低通滤波器，已知N20，.015rad。如要改c善滤波器的频率效应，应采取什么措施？解：选择滤波器的类型。由于要设计的是低通滤波器，且N为偶数，故选择第2类滤波器。于是有：119k1()k,k2,1,0,...,19。k课后答案网N20由2k/N来确定通带内的点数。通带内点数为2。c根据HH，可得：kNwww.hackshp.cnk1k1,0Hk0k2,..181k19要改善滤波器的频率效应，需要设置过渡带。9.44设计一个具有零相移的FIR低通滤波器，截止频率f125kHz，抽样间隔T1s,cs脉冲响应长度N32。试求：（a）单位脉冲响应h(n)。5（b）当滤波器输入为x(t)sin(5*10t)的100个样点时，求输出响应。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 5（c）当输入为x(t)sin(8*10t)的100个样点时，求输出响应，并与（b）的结果相比较。（d）若输入为50kHz方波的样本点，求滤波器的输出。解：（a）采用矩形窗设计法：数字截止频率为：2f/fccs4sin(n)4h(n),n16,...,15dn55*10（b）由于输入信号的频率为f79.57kHz,在低通滤波器的通带频率范3khdaw.com2*10围内，故经过滤波器后输出仍然为原始信号。58*10(c)由于输入信号的频率为f127.32kHz,在低通滤波器的通带频率范32*10围外，故经过滤波器后输出为零。(d)当输入为50kHz方波的样本点时，由于FIR低通滤波器的截止频率f125kHz，故方波信号中只有直流分量，一次谐波，两次谐波可以通过，其c余谐波衰减为零。9.45用频率采样法设计正交变换网络jjH(e)je0,d课后答案网(a)若为偶数，设置一个过渡点，幅度采样值为,0k0H.0,4k,1N1k,1kwww.hackshp.cn3,2,...,N2请完成的设计。k（b）若N为奇数，对中点k(N2/)1，H(k)为何值？此中点两边是否应设过渡点？此时H(k)应如何设计?解：(a)N为偶数，上面正交网络可设计成第IV型滤波器N12kN1,k,0[,]22N2(k)N12N1()(Nk),k[],1,N122N2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com (b)N为奇数，纯虚数幅度响应样本为：,0k0jHr(k)j,k,1,N1由于这是一个III型线性相位滤波器，在处振幅响应应为零，即H0为了减少波动，k在靠近处（即中点两旁）设过渡点，不妨选值为0.4,0k,0k(N2/)1Hkj2,k(n(,2/)5N2/)3kN24.0j,k(N(,2/)3N,1,2/)1N1N12kN1()(),k,0[]22N2khdaw.com(k)N12N1()()(Nk),k[],1,N122N2课后答案网www.hackshp.cnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com'