数学与应用数学毕业论文.doc 28页

'毕业论文论题方向：数学与应用数学方向课题名称：极限求解的若干方法指导教师：张秀英学生姓名：赵彦辉2015年4月11日 摘要：高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值，因此极限运算是高等数学的基本运算。极限理论是一种近代发展起来的重要数学思想，也是数学分析的基础和首要的教学内容。极限理论所研究的是变量在其变化过程中的趋势问题，在数学分析课程教学中所讨论的极限问题大体上分为两类：一类是数列的极限，它是微积分的基础,贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹法,单调有界法,施笃兹公式法等方法进行求解。另一类是函数的极限，它也是微积分学中的一个关键问题,是学习的主要内容之一,对函数极限概念的理解及对函数极限求法的掌握至关重要。求极限是数学分析中困难问题之一，中心问题有两个：一、证明极限的存在性，二、求解极限值。这两者有密切关系，两者是辩证统一的。用极限解决问题的方式通常是先考察未知量并设法将其与变量相关联，并确认以无限的过程来得到未知结果。本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法,1：利用两个准则求极限,2:利用极限的四则运算性质求极限,3:利用两个重要极限公式求极限,4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限,6：利用无穷小量的性质求极限,7：利用等价无穷小量代换求极限,8：利用导数的定义求极限,9：利用中值定理求极限,10：利用洛必达法则求极限,11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限,13：利用泰勒展开式求极限,14：利用换元法求极限。本文主要探讨、总结求极限的一般方法并补充利用级数收敛及利用积分等求极限的特殊方法,而且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明,并以实例加以例解,弥补了一般教材的不足。关键词：夹逼准则,单调有界准则,无穷小量的性质,洛必达法则,中值定理,定积分,泰勒展开式,级数收敛的必要条件. 目录摘要01引言02极限的求法02.1利用两个准则求极限02.2利用极限的四则运算性质求极限02.3利用导数的定义求极限02.4利用两个重要极限公式求极限02.5利用级数收敛的必要条件求极限02.6利用单侧极限求极限02.7利用函数的连续性求极限02.8利用无穷小量的性质求极限02.9利用等价无穷小量代换求极限02.10利用中值定理求极限02.11洛必达法则求极限02.12利用定积分求和式的极限02.13利用泰勒展开式求极限02.14换元法求极限03结论0参考文献0致谢0 1引言极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪，由A.-L.柯西、K.(T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数在处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。2极限的求法2.1利用两个准则求极限(1)函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数N,当n>N时，有，且则有.利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得。例1求的极限解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项 则又因为（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例2证明下列数列的极限存在，并求极限。证明：从这个数列构造来看显然是单调增加的。用归纳法可证。又因为所以得.因为前面证明是单调增加的。两端除以得因为，则，从而即是有界的。根据定理有极限，而且极限唯一。令则则。因为解方程得 所以2.2利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算法则叙述如下：若1：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差。(1)(2)2：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。若B≠0则：3:通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。（为常数）上述性质对于总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。例3：求极限(1)(2)(3)(4)已知，求 解：(1)(2)(3)(4)因为所以2.3利用导数的定义求极限导数的定义：函数在附近有定义，，则，如果存在，则此极限值就称函数在点的导数记为.即在这种方法的运用过程中。首先要选好。然后把所求极限。表示成在定点的导数。例4：求解：取，则 2.4利用两个重要极限公式求极限两个极限公式但我们经常使用的是它们的变形：在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。例5：求下列函数的极限(1)(2)解：(1)（2）例6： 解：令t=.则sinx=sin(t)=sint,且当时故例7：求解：原式=例8:求的极限解：原式=利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。2.5利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数收敛，则运用这个方法首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限。例9：求解：设则 由比值判别法知收敛由必要条件知2.6利用单侧极限求极限形如：(1)求含的函数趋向无穷的极限，或求含的函数趋向于的极限;(2)求含取整函数的函数极限(3)分段函数在分段点处的极限(4)含偶次方根或的函数以及的函数，趋向无穷的极限.这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例10：求在的左右极限解：2.7利用函数的连续性求极限即： 这种方法适用于求复合函数的极限。如果在点连续,而在点连续，那么复合函数在点连续。即也就是说，极限号可以与符号f互换顺序。例11：求解：令,因为在点处连续所以2.8利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果,在某区间有界，那么.这种方法可以处理一个函数不存在但有界和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。例12：求解：因为所以2.9利用等价无穷小量代换求极限定理1无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理2当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：～～～～～～。说明：当上面每个函数中的自变量换成时（），仍有上面的等价 关系成立，例如：当时，～；～。定理3如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。等价无穷小量：当时，称是等价无穷小量：记为～在求极限过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。但是，不是乘除的情况，不一定能这样做。例13：(1)求解：由～(2)求的极限解：由而；（）；（）故有=注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如：由于，故有又由于故有arctanx，(x). 另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中，若因有tanx，而推出=则得到的结果是错误的。2.10利用中值定理求极限1微分中值定理：若函数满足在连续.()在可导；则在内至少存在一点，使例14：求解：2积分中值定理：设函数在闭区间上连续;在上不变号且可积，则在上至少有一点使得例15：求解： 2.11洛必达法则求极限在前面的叙述中，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限，在此笔者叙述一种牵涉到无穷小（大）量的比较的求极限的方法。我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作型或型的不定式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达法则。定理：若此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：1、要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。2、应用洛必达法则，要分别求分子，分母的倒数，而不是求整个分式的倒数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否认为未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。4、当不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例16：(1)求(2)求解：(1)由所以上述极限是待定型(2)它为型 由对数恒等式可得例17：求解：容易检验f(x)=1+与g(x)=在的邻域里满足定理的条件①和②，又因==-故由洛比达法则求得，==在此类题目中，如果仍是型的不定式极限，只要有可能，我们可再次利用洛比达法则，即考察极限是否存在。当然，这是和在的某邻域内必须满足上述定理的条件。例18：求解：利用（），则得原式===在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，如下例， 例19：求解：这是型不定式极限，可直接运用洛比达法则求解，但是比较麻烦。如作适当的变换，计算上就会更方便些，故令当时有，于是有=2.12利用定积分求和式的极限利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数。把所求极限的和式表示成在某区间上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。例20：求解：由于可取函数区间为上述和式恰好是在上等分的积分和。所以 2.13利用泰勒展开式求极限泰勒公式是本章的一大难点，大家在学习时首先要清楚泰勒定理成立的条件，清楚泰勒公式、麦克劳林公式的表达形式以及常见的麦克劳林展开式。实际上，泰勒公式在证明、极限计算等方面有着广泛而独到的应用，大家可以通过多做一些相应的练习题来体会。泰勒展开式：若在点有直到阶连续导数,那例21：求解：泰勒展开式于是所以2.14换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。例22：求 解：令则3结论本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法,以上只是众多求解极限方法的一小部分，或许并不全面，大家如有兴趣可以继续探索新的求解方法。在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解的,从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析，不能机械地用某种方法，对具体题目要注意观察，有时解题可多种方法混合使用，要学会灵活运用。所以求极限时，首先观察数列或函数的形式．选择适当方法，只有方法得当，才能准确、快速、灵活的求解极限。因为数学知识博大精深，我们目前只接触到一点点而已，我们应不停的接受知识，虽然我们还处在那数学的基础层，但这并不妨碍我们对数学的喜爱与学习。参考文献[1]陈传璋,金福临编.数学分析（上下册）第二版[M]，上海：高等教育出版社,2006:123-146[2]蔡子华主编.2005年数学复习大全（经济类）[M]，北京：现代出版社,2005:25-46[3]冯丽珠.变形法求极限的变法技巧，湖北：武汉职业技术学院学报[N],2003-3-17[4]李小光.求极限的若干技巧，陕西：西安航空技术高等专科学校学报[N],2002-2-3[5]郝梅.求函数极限的方法，福建：福建教育学校学报[N],2006,(10):16-21[6]刘小军.高等数学解题方法，云南：云南广播电视大学理工学院学报[N]，2006，（8）：35-48[7]刘书田.高等数学，北京：北京大学出版社，2005：125-168[8]郝涌.卢士堂等.数学考研精解[M]，湖北：华中理工大学出版社，2004：27-79 赵彦辉2015年4月11日本科毕业设计（论文）开题报告学生姓名学号专业班级指导教师职称单位课题性质设计□论文□课题来源科研□教学□生产□其它□毕业设计（论文）题目 开题报告（阐述课题的目的、意义、研究现状、研究内容、研究方案、进度安排、预期结果、参考文献等）一、论文研究的目的、意义1、现实意义：指出现实当中存在这个问题，需要去研究，去解决，本课题的研究有什么实际作用。2、理论意义：论文的理论和学术价值。二、研究现状1、国内研究现状：（国内对此课题研究到了什么程度）2、国外研究现状：（国外对此课题研究到了什么程度）三、研究内容此部分即为论文大纲（大纲格式如下：）绪论(论文研究的目的、意义论文研究的内容论文的研究方法)1．。。。。。（只写该标题的名称即可）1．1．。。。1．1．1．。。。。1．2．。。。。1．2．1．。。。。2．1．。。。2．1．1．。。四、研究方案此部分内容为研究方法，即通过何种途径完成本篇论文。如观察法、调查法、实验法、 经验总结法、个案法、比较研究法、文献资料法等。在介绍方法时简单写一下通过此方法研究出了什么内容。五、进度安排在毕业任务书中有，粘贴过即可。六、预期结果本部分为你的论文预期达到什么程度。（即达到本科毕业论文答辩水平）七、参考文献参考文献的格式一定要写对。1、期刊格式：[序号]主要责任者．文献题名[J]．刊名，年，卷（期）：起止页码．如：[1]周颖，王姣.谈邮政储蓄银行对银行业竞争格局的影响[J].商业时代，2006[2]景玉琴.构建中小企业政策性金融支持体系[J].上海金融学院学报，20042、著作格式：[序号]主要责任者．文献题名[文献类型标识]．出版地：出版者，出版年.起止页码．如：[1]陈晓红.中小企业融资[M]北京.中国金融出版社，20013、报纸文章：[序号]主要责任者.文献题名[N].报纸名，出版日期（版次）．4、电子文献：[序号]主要责任者.电子文献题名[电子文献及载体类型标识].电子文献的出处或可获得地址，发表或更新日期/引用日期（任选）． 指导教师意见：指导教师签名：年月日教研室意见：审查结果：同意□不同意□教研室主任签名：年月日 电子科技大学毕业设计(论文)成绩考核表题目：教学中心：学生姓名：学号：专业：指导教师：职称：所在单位： 指导教师意见：签字：年月日评审意见：评阅人：年月日 答辩意见：答辩小组组长签名：年月日毕业设计（论文）成绩1．设计说明书（论文报告）分总分：（等级：）2．答辩分3．平时成绩分学校意见：年月日1．学生毕业设计（论文）正本存教学中心。2．本表一式两份，一份存入学生档案，一份学校存档。3．此表须用钢笔填写。 附件2：2008级统招本科生毕业论文(设计)中期检查表（学生用表）学院检查时间年月日论文题目指导教师学生姓名专业班级学号目前已完成的任务是否符合任务书要求的进度是否尚需完成的任务能否按期完成任务能不能存在的问题及拟采取的办法存在的问题拟采取的办法对指导教师的建议学生（签名）：年月日 本科生毕业论文(设计)中期检查表（教师用表）学院检查时间年月日论文题目指导教师学生姓名专业班级学号指导情况指导方式工作进度完成情况提前完成按计划完成延期完成没有完成质量评价（学生前期已完成的工作的质量情况）优良中差工作态度情况（学生对毕业论文的认真程度、纪律及出勤情况）认真较认真一般不认真选题是否有变化有无选题变化原因目前存在的问题，拟采取解决问题的方案及措施对该同学阶段性工作的评价指导教师（签名）：年月日（此表一式两份，一份学院存档，一份交教务处实践科存档。） 致谢我历时将近两个月时间终于把这篇论文写完了，在这段充满奋斗的历程中，带给我的学生生涯无限的激情和收获。在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师给我提供了很多方面的支持与帮助，尤其要强烈感谢我的论文指导老师—XX老师，没有她对我进行了不厌其烦的指导和帮助，无私的为我进行论文的修改和改进，就没有我这篇论文的最终完成。在此，我向指导和帮助过我的老师们表示最衷心的感谢！ 同时，我也要感谢本论文所引用的各位学者的专著，如果没有这些学者的研究成果的启发和帮助，我将无法完成本篇论文的最终写作。至此，我也要感谢我的朋友和同学，他们在我写论文的过程中给予我了很多有用的素材，也在论文的排版和撰写过程中提供热情的帮助！ 金无足赤，人无完人。由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和同学批评和指正！'