信号与线性系统课后习题答案5.pdf 9页

'习题五题5.1求下列函数的单边拉普拉斯变换，并注明收敛域。−to−t−2t（1）1-e(4)cos(2t+45)(6)esin(2t)(7)te解：（1）∞−t−st11F(S)=∫(1−e)edt=−,Re[s]>00−ss+1(4)∞o−st2s2F(S)=cos(2t+45)edt=(−),Re[s]>0∫0−2s2+4s2+4(6)∞2−t−stF(S)=esin(2t)edt=,Re[s]>−1∫0−(s+1)2+4(7)∞1−2t−stF(S)=teedt=,Re[s]>−2∫0−(s+2)2题5.2求下列图示信号的拉普拉斯变换。f(t)f(t)f(t)sin(πt)ttt(b)(e)(f)解：(b)Qf(t)=ε(t)−2ε(t−1)+ε(t−2)∞−st12−s1−2s∴F(s)=∫f(t)edt=−e+e0−sss(e)22Qf(t)=t[ε(t)−ε(t−T/2)]−(t−T)[(ε(t−T/2)−ε(t−T)]TTT−s2−Ts∞−st21−2e+e∴F(s)=f(t)edt=×∫0−Ts2(f)Qf(t)=sin(πt)[ε(t)−ε(t−1)]∞π−st−s∴F(s)=f(t)edt=(1−e)∫0−s2+π21 题5.3利用常用函数的象函数及拉普拉斯变换的性质，求下列信号的拉普拉斯变换。t−t（2）e[ε(t)−ε(t−2)]（7）sin(2t−π/4)ε(t)（9）∫sin(πx)dx02d−(t−3)−αt（11）[sin(πt)ε(t)]（15）teε(t−1)（16）tecos(βt)ε(t)2dt解：（2）11−2sQLT[ε(t)]=，∴LT[ε(t−2)]=ess−t1−2(s+1)∴LT{e[ε(t)−ε(t−2)]}=(1−e)s+1（7）1Qsin(2t−π/4)ε(t)=[sin(2t)−cos(2t)]ε(t)212s∴LT[sin(2t−π/4)ε(t)]=(−)222s+4s+4（9）πttQLT[sin(πt)ε(t)]=，sin(πx)dx=sin(πx)ε(x)dxs2+π2∫0∫−∞t1π∴LT[sin(πx)dx]=×∫0ss2+π2（11）πQLT[sin(πt)ε(t)]=22s+π22dsπ∴LT{[sin(πt)ε(t)]}=222dts+π（15）11−s−t1−(s+1)QLT[ε(t)]=，∴LT[ε(t−1)]=e，∴LT[eε(t−1)]=esss+1−(t−3)3d1−(s+1)s+2−(s−2)∴LT[teε(t−1)]=−e[e]=e2dss+1(s+1)（16）s−αts+αQLT[cos(βt)ε(t)]=∴LT[ecos(βt)ε(t)]=，2222s+β(s+α)+β22−αtds+α(s+α)−β∴LT[tecos(βt)ε(t)]=−[]=22222ds(s+α)+β[(s+α)+β]2 1题5.4如已知因果函数f(t)的象函数F(s)=，求下列函数的象函数。2s−s+1−tt−3t−2t（1）ef()（2）ef(2t−1)（3）tef(3t)（4）tf(2t−1)2解：（1）21/2LT[f(t/2)]==22(2s)−2s+1s−s/2+1/4−t1/2LT[ef(t/2)]=2(s+1)−(s+1)/2+1/4（2）1−s1/2−s/2LT[f(t−1)]=e，LT[f(2t−1)]=e22s−s+1(s/2)−s/2+1−3t1/2−(s+3)/2LT[ef(2t−1)]=e2((s+3)/2)−(s+3)/2+1（3）1−2t1LT[f(3t)]=，LT[ef(3t)]=22(s/3)−s/3+1((s+2)/3)−(s+2)/3+1−2td19(2s+1)LT[tef(3t)]=−=222ds((s+2)/3)−(s+2)/3+1[s+s+7]（4）1/2−s/2LT[f(2t−1)]=e2(s/2)−s/2+1d1/2−s/2s(s+2)−s/2LT[tf(2t−1)]=−e=e222ds(s/2)−s/2+1(s−2s+4)题5.7求下列有始周期信号的象函数f(t)f(t)sin(βt)LLπ2π3π4πttββββ(b)(d)解：(b)∞Qf(t)=sin(βt)[ε(t)−ε(t−π/β)]∗∑δ(t−2nπ/β),n=03 π−sββ(1+e)LT{sin(βt)[ε(t)−ε(t−π/β)]}=,22s+β∞1LT[∑δ(t−2nπ/β)]=2π,−sn=0β1−e∞∴LT[f(t)]=LT{sin(βt)[ε(t)−ε(t−π/β)]}×LT[∑δ(t−2nπ/β)]n=0β1=22πs+β−sβ(1−e)(d)∞Qf(t)=[ε(t)−ε(t−T/2)]∗∑δ(t−nT)n=0T−1−e2s∞1LT[ε(t)−ε(t−T/2)]=,LT[∑δ(t−nT]=−Tssn=01−e∞1∴LT[f(t)]=LT[ε(t)−ε(t−T/2)]×LT[∑δ(t−nT)]=T−sn=0s(1+e2)题5.8求下列信号的拉普拉斯逆变换。21s+4s+52s+4（1）（3）（5）22(s+2)(s+4)s+3s+2s(s+4)解：（1）11/21/2Q=−，(s+2)(s+4)s+2s+4−11−11/21/21−2t−4t∴LT[]=LT[−]=(e−e)ε(t)(s+2)(s+4)s+2s+42（2）2s+4s+5s+321Q=1+=1+−22s+3s+2s+3s+2s+1s+22−1s+4s+5−t−2t∴LT[]=δ(t)+(2e−e)ε(t)2s+3s+2（3）2s+41s2−12s+4Q=−+，∴LT[]=(1−cos2t+sin2t)ε(t)2222s(s+4)ss+4s+4s(s+4)4 题5.9求下列象函数的拉普拉斯逆变换，粗略画出他们的波形图。−Ts−2(s+3)−s1−eeπ(1+e)（1）（3）（5）22s+1s+3s+π解：（1）−t1QLT[eε(t)]=，s+1−Ts−11−e−t−(t−T)∴f(t)=LT[]=eε(t)−eε(t−T)]，画出波形图如下图（1）s+1（3）−2s−2(s+3)e−3teQLT[ε(t−2)]=，LT[eε(t−2)]=，ss+3−2(s+3)−1e−3t∴f(t)=LT[]=eε(t−2)，画出波形图如下图（3）s+3（5）πQLT[sin(πt)ε(t)]=，22s+π−s−1π(1+e)∴f(t)=LT[]=sin(πt)ε(t)+sin(π(t−1))ε(t−1)22s+π=sin(πt)[ε(t)−ε(t−1)]，画出波形图如下图（5）f(t)f(t)f(t)−6esin(πt)ttt（1）（3）（5）题5.15描述某LTI系统的微分方程为y′′(t)+3y′(t)+2y(t)=f′(t)+4f(t)，求在下列条件下的系统的零输入响应和零状态响应。（1）f(t)=ε(t)，y(0−)=0，y′(0−)=1解：（1）对原微分方程等式两边同时求单边拉普拉斯变换，令Y(s)=LT[y(t)]，F(s)=LT[f(t)]，结合单边拉普拉斯变换的时域微分性质有5 sy(0−)+y′(0−)+3y(0−)s+4Y(s)=+F(s)，22s+3s+2s+3s+2sy(0−)+y′(0−)+3y(0−)111Y(s)===−，x22s+3s+2s+3s+2s+1s+2s+4s+41231Y(s)=F(s)=×=−+，f22s+3s+2s+3s+2sss+1s+2−1−t−2t∴y(t)=LT[Y(s)]=)[e−e]ε(t；xx−1−t−2t∴y(t)=LT[Y(s)]=)[2−3e+e]ε(tff题5.16描述某LTI系统的微分方程为y′′(t)+3y′(t)+2y(t)=f′(t)+4f(t)，求在下列条件下的系统的零输入响应和零状态响应。−2t（2）f(t)=eε(t)，y(0+)=1，y′(0+)=2解：（2）""−2t因为，零状态响应满足微分方程：y(t)+3y(t)+2y(t)=δ(t)+2eε(t)，fff"所以，y(0+)=0，y(0+)=1；y(0−)=1，y′(0−)=1；ff对原微分方程等式两边同时求单边拉普拉斯变换，令Y(s)=LT[y(t)]，F(s)=LT[f(t)]，结合单边拉普拉斯变换的时域微分性质有sy(0−)+y′(0−)+3y(0−)s+4Y(s)=2+2F(s)s+3s+2s+3s+2sy(0−)+y′(0−)+3y(0−)s+432Y(s)===−，x22s+3s+2s+3s+2s+1s+2s+4s+41323Y(s)=F(s)=×=−−，f222s+3s+2s+3s+2s+2s+1(s+2)s+2−1−t−2t∴y(t)=LT[Y(s)]=)[3e−2e]ε(t；xx−1−t−2t∴y(t)=LT[Y(s)]=)[e−(2t+3)e]ε(tff题5.17求下列方程所描述系统的冲激响应h(t)和阶跃响应g(t)（1）y′′(t)+4y′(t)+3y(t)=f′(t)−3f(t)解：（1）对原微分方程等式两边同时求初始状态为零的单边拉普拉斯变换，令Y(s)=LT[y(t)]，F(s)=LT[f(t)]，ff6 Yf(s)s−3H(s)==，2F(s)s+4s+3s−31G(s)=LT[g(t)]=H(s)×LT[ε(t)]=×，2s+4s+3s−1−t−3th(t)=LT[H(s)]=[−2e+3e]ε(t)，−1−t−3tg(t)=LT[G(s)]=[−1+2e−3e]ε(t)题5.18已知系统函数和初始状态如下，求系统的零输入响应y(t)xs+6（1）H(s)=，y(0−)=y′(0−)=12s+5s+6解：（1）Yf(s)s+6QH(s)==，2F(s)s+5s+62∴(s+5s+6)Y(s)=(s+6)F(s)，等式两边求拉普拉斯逆变换得系统方程f为y′′(t)+5y′(t)+6y(t)=f′(t)+6f(t)，则有y(t)满足微分方程：y′′(t)+5y′(t)+6y(t)=0，该式两边求拉普拉xxxx斯变换sy(0−)+y′(0−)+5y(0−)s+643得：Y(s)===−x22s+5s+6s+5s+6s+2s+3−1−2t−3t∴y(t)=LT[Y(s)]=)[4e−3e]ε(txx−2t题5.19已知LTI系统的阶跃响应g(t)=[1−e]ε(t)，欲使系统的零状态响应为−2t−2ty(t)=[1−e+te]ε(t)，求系统的输入信号f(t)。f−2t1121解：QG(s)=LT[g(t)]=LT[(1−e)ε(t)]=−==H(s)ss+2s(s+2)s2∴H(s)=，又s+2−2t−2tQY(s)=LT[y(t)]=LT[(1−e+te)ε(t)]ff111=−+=H(s)F(s)2ss+2(s+2)7 11/2−1−2t∴F(s)=+，∴f(t)=LT[F(s)]=(1+0.5e)ε(t)ss+2题5.22如图所示的复合系统，由4个子系统连接而成，各子系统的系统函数或11−2t冲激响应分别为：H(s)=，H(s)=，h(t)=ε(t)，h(t)=eε(t)，求1234s+1s+2复合系统的冲激响应h(t)。H(s)h(t)23f(t)y(t)H1(s)h4(t)∑解：QH(s)=LT[h(t)]=H(s)×[H(s)H(s)−H(s)]123411H(s)=LT[h(t)]=，H(s)=LT[h(t)]=3344ss+211111−s1/223/2∴H(s)=×(×−)==−+，s+1s+2ss+2s(s+1)(s+2)ss+1s+2−11−t3−2t∴h(t)=LT[H(s)]=(−2e+e)ε(t)22题5.28某LTI系统，在以下各种情况下初始状态相同。已知：当激励f(t)=δ(t)1−t−t时，其全响应y(t)=δ(t)+eε(t)；当激励f(t)=ε(t)时，其全响应y(t)=3eε(t)。122−2t（1）如f(t)=eε(t)，求系统的全响应y(t)；33（2）如f(t)=t[ε(t)−ε(t−1)]，求系统的全响应y(t)。44解：设系统的系统函数为H(s)，系统零输入响应的象函数为Y(s)，x1则：Y(s)=Y(s)+H(s)F(s)=Y(s)+H(s)=1+，1x1xs+113Y(s)=Y(s)+H(s)F(s)=Y(s)+H(s)=，2x2xss+112解得：H(s)=1−，Y(s)=；xs+1s+1（1）1QF(s)=LT[f(t)]=33s+212∴Y(s)=LT[y(t)]=Y(s)+H(s)F(s)=+，33x3s+1s+28 −1−t−2t∴y(t)=LT[Y(s)]=(e+2e)ε(t)33（2）−s−sse+e−1QF(s)=LT[f(t)]=−442s−s−s−s2sse+e−111e∴Y(s)=LT[y(t)]=Y(s)+H(s)F(s)=−=+−，44x42s+1s+1sss+11−1−t∴y(t)=LT[Y(s)]=(1+e)ε(t)−ε(t−1)449'