高等数学过关与提高下册第九章习题答案.pdf 9页

'高等数学过关与提高下册第九章习题答案一、填空题1．解：写出曲线的参数方程：x=cost,y=sintπ≤t≤2π，直接利用公式有2π222222∫(x+y)ds=∫(sint+cost)sint+costdt=π。Lπ2．解：利用格林公式有2442∂(xy+x)∂(y+yx)∫(y+yx)dx+(xy+x)dy=∫∫(−)dxdy∂x∂xLD3=∫∫(2xy+1−4y−x)dxdy（利用对称性）D=∫∫dxdy=πab（利用椭圆面积公式）D3．解：利用高斯公式及三重积分的球面坐标变换有333333∂(x)∂(y)∂(z)∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy=∫∫∫[++]dxdydz∂x∂y∂zΣΩ2222ππ122112=3∫∫∫(x+y+z)dxdydz=3∫0dθ∫0dϕ∫0r⋅rsinϕdr=6π⋅⋅2=π。55Ω∂u∂u∂uxyz4．解：gradu={,,}={,,}，222222222∂x∂y∂zx+y+zx+y+zx+y+zxyz∂∂∂222222222x+y+zx+y+zx+y+zdivgradu=(++)∂x∂y∂z22212x12y12z=−+−+−222222222222222222222x+y+z(x+y+z)x+y+z(x+y+z)x+y+z(x+y+z)22232(x+y+z)321=−=−=。2222222222222222x+y+z(x+y+z)x+y+zx+y+zx+y+z二、选择题1．解：选（D）。x+ayy∂∂222(x+y)(x+y)a(x+y)−2(x+y)(x+ay)−2y(x+y)由题意知=，即=，44∂y∂x(x+y)(x+y)a(x+y)−2(x+ay)=−2y，(a−2)x+ay(−1)=−2y，故a=−2，所以应选（D）。2．解：选（C）。1 根据《高等数学过关与提高》（下册）137页“关于曲面积分的对称性定理”即可得结论。3．解：选（A）。可知Σ在xoy平面上的投影为单位圆面，故/2/2yds=y1+z+zdxdy=3ydxdy∫∫∫∫xy∫∫2222Σx+y≤1x+y≤1根据对称性可得∫∫yds=∫∫3ydxdy=0。故选（A）。22Σx+y≤14．解：选（B）。设题中所给立体上表面为Σ，下表面为Σ，侧面为Σ，则可知Σ在xoy平面的投影为半1231径为2，圆心在原点的圆面，Σ在xoy平面的投影为单位圆面，Σ在xoy平面的投影为单23位圆与半径为2，圆心在原点的圆所形成的圆环，故22z2x+yeeee∫∫22dxdy=∫∫22dxdy−∫∫22dxdy−∫∫22dxdyΣx+yx2+y2≤4x+yx2+y2≤1x+y1≤x2+y2≤4x+y2r2π2e2π1e2π2e222=∫0dθ∫0⋅rdr−∫0dθ∫0⋅rdr−∫0dθ∫1⋅rdr=4πe−2πe−2π(e−e)=2πe。rrr故应选（B）。5．解：选（B）。根据格林公式可知应选（B）。三、计算证明题1．解：方法1在极坐标系下，曲线L:r=−2sinθ,根据直角坐标与极坐标的关系可得曲线L的参数方程:⎧xr==cosθ−sin2θ⎨2⎩yr==sinθ−2sinθ此时θ的变化范围为−≤≤πθπ0,()或≤≤θ2πθ,ds=2d.02224故∫x+yds=∫−sin2θ+4sinθ⋅2dθLπ00=2sinθθ⋅=−⋅=2dd2sinθθ28.∫∫−−ππ⎧x=cosθ方法2L:⎨.⎩y=−+1sinθ此时θ的变化范围是:02≤≤θπθ,.ds=d2π2π2222故∫x+yds=∫cosθ+(sinθ−1)dθ=2∫1−sinθdθL002 2πθθ22πθθθ=2∫(sin−cos)dθ=22∫|sin−cos|d()0220222πππ=22∫|sint−cost|dt=4∫|sin(t−)|dt=8。0042/2方法3直接利用极坐标计算：L:r=−2sinθ，−π≤θ≤0，ds=r+rdθ=2dθ，0022则∫Lx+yds=∫−π−2sinθ⋅2dθ=−4∫−πsinθdθ=8。232122212a2πa2．解：由对称性有∫xds=∫(x+y+z)ds=∫ads=⋅2πa=。3333LLL23．解：曲线L：y=2ax−x是以（a，0）为圆心，半径为a的圆弧在第一象限的部分，补曲线L1为从原点O（0，0）沿X轴到A（2a，0）的线段，则L+L1形成封闭曲线，设其所围平面区域为D，则根据格林公式有xxxx∂(ecosy−ax)∂[esiny−b(x+y)]∫[esiny−b(x+y)]dx+(ecosy−ax)dy=∫∫{−}dxdyL+L1∂x∂yDxxπ2，=∫∫(ecosy−a−ecosy+b)dxdy=∫∫(b−a)dxdy=(b−a)a2DD2axx2又∫[esiny−b(x+y)]dx+(ecosy−ax)dy=∫−bxdx=2ab，故L10xxπ22∫[esiny−b(x+y)]dx+(ecosy−ax)dy=(b−a)a−2ab。L24．解：设沿曲线y=asinx的积分为ππ333f(a)=∫(1+y)dx+(2x+y)dy=∫(1+asinx)dx+∫(2x+asinx)⋅acosxdxL002ππaπ33=π−a∫0(1−cosx)dcosx+2a∫0xdsinx+∫0sin2xdx2π313π43=π−a(cosx−cosx)+2acosx=a−4a+π，0330/22/则f(a)=4a−4=4(a−1)，当a>0时，由f(a)=0得a=1。4343又limf(a)=lim(a−4a+π)=π，limf(a)=lim(a−4a+π)=+∞，a→0a→03a→+∞a→+∞3483f(1)=−4+π=π−，故当a=1时积分∫(1+y)dx+(2x+y)dy的值最小，即所求33L曲线为y=sinx,0≤x≤π。25．解：因为∫xydx+yϕ(x)dy与路径无关，故有L3 2∂yϕ(x)∂xy=，∂x∂y//22即yϕ(x)=2xy，ϕ(x)=2x，故ϕ(x)=x+C，又ϕ(0)=0，从而ϕ(x)=x。（1，1）（1，1）112222对（∫0，0）xydx+yxdy沿折线积分有（∫0，0）xydx+yxdy=∫0ydy=。26．解：由《高等数学过关与提高》（下册）124页“平面曲线积分与路径无关的条件，知42λ242λ∂[2xy(x+y)]∂[−x(x+y)]=，∂y∂x42λ42λ−142λ242λ−13即2x(x+y)+2xy⋅λ(x+y)⋅2y=−2x(x+y)−λx(x+y)⋅4x，42235225x(x+y)+xy⋅λy+λx⋅x=0，x+xy+λxy+λx=0，故λ=−1。22(x,y)2xyxx2xyyx则u(x,y)=dx−dy=0dx−dy∫(x0,y0)x4+y2x4+y2∫x0,x4+y2∫y0,x4+y20222x1xy1yxxyy=d()−d()=arctan()−arctan(0)−arctan()+arctan(0)∫x2y∫yy2220x2002xy0y0xx()+11+(2)yx02yπx=−arctan()+−arctan(0)，2x2y02πxy令−arctan(0)=C，则u(x,y)=−arctan()+C。22yx0x−yx+y∂Q(x,y)∂P(x,y)7．解：设P(x,y)=，Q(x,y)=，可知有=。2222x+yx+y∂x∂yx−yx+y（1）在L所围成的平面区域D上，P(x,y)=与Q(x,y)=有连续的一阶2222x+yx+y(x−y)dx+(x+y)dy∂Q∂P偏导数，故有=(−)dxdy=0。∫22∫∫x+y∂x∂yLD（2）在L中作一个以原点为圆心，ε为半径的圆，圆周的逆时针方向设为L1，则可知闭曲x−yx+y线L-L1所围成的平面区域D上P(x,y)=与Q(x,y)=有连续的一阶偏导2222x+yx+y(x−y)dx+(x+y)dy∂Q∂P数，故有=(−)dxdy=0，即∫22∫∫x+y∂x∂yL−L1D4 (x−y)dx+(x+y)dy(x−y)dx+(x+y)dy(x−y)dx+(x+y)dy==∫22∫22∫2x+yx+yεLL1L11∂(x+y)∂(x−y)222=(−)dxdy=dxdy=⋅πε=2π，2∫∫2∫∫2ε∂x∂yεεD1D1其中D1为以原点为圆心，ε为半径的圆面。8．解：方法1将曲线L分成四条曲线L1，L2，L3，L4，它们分别为平面x+y+z=2与x+y=1、x+y+z=2与−x+y=1、x+y+z=2与x+y=−1、x+y+z=2与−x−y=1的交线，曲线参数方程分别为⎧x=x⎧x=x⎪⎪L1：⎨y=1−x，x从1到0；L2：⎨y=x+1，x从0到-1；⎪⎪⎩z=1⎩z=1−2x⎧x=x⎧x=x⎪⎪L3：⎨y=−x−1，x从-1到0；L3：⎨y=x−1，x从0到1，⎪⎪⎩z=3⎩z=3−2x222222则L=L1+L2+L3+L4，若设Ii=∫(y−z)dx+(2z−x)dy+(3x−y)dz,i=1,2,3,4，Li007222那么I=[(1−x)−1+(2−x)(−1)]dx=(2x−2x−2)dx=；1∫1∫13−1222222I=[(x+1)−(1−2x)+2(1−2x)−x+(−2)(3x−(x+1))]dx2∫0−1−1222=∫[3(x+2x+1)+4x−4x+1−7x]dx=∫(2x+4)dx=−3；00002222I=[(x+1)−9−(18−x)]dx=(2x+2x−26)dx=−27+；3∫−1∫−131222222I=[(x−1)−(3−2x)+2(3−2x)−x+(−2)(3x−(x−1))]dx4∫01−1222=∫[3(x−2x+1)+4x−12x+9−7x]dx=∫(−18x+12)dx=3，0072故I=I1+I2+I3+I4=−3−27++3=−24。33//方法2将空间曲线L投影到xOy平面，设为L，L所围的平面区域设为D，则D={(x,y)||x|+|y|≤1}，且有22222222I=(y−(2−x−y))dx+(2(2−x−y)−x)dy−(3x−y)dx−(3x−y)dy∫L/22222222=(y−(2−x−y)−3x+y)dx+(2(2−x−y)−x−3x+y)dy∫L/5 2222=(y−2x−2xy+4x+4y−4)dx+(3y−2x+4xy−8x−8y+8)dy∫L/=2∫∫(y−x−6)dxdy（利用格林公式）D=2∫∫(−6)dxdy（根据对称性）D=−24。222229．解：Σ在xOy平面的投影为D={(x,y)|(x−a)+y≤a}，对曲面z=x+y，/2/2有dS=1+z+zdxdy=2dxdy，故xy2222∫∫(xy+yz+zx)dS=∫∫2(xy+yx+y+xx+y)dxdyΣD22=2∫∫[xy+(x+y)x+y]dxdy（利用对称性）D⎧x=rcosθ22=2∫∫xx+ydxdy（作极坐标变换⎨）D⎩y=rsinθπ2acosθ22=2dθrcosθ⋅rdr∫π∫0−2π14=22cosθ⋅(2acosθ)dθ∫−π42π=82a42cos4θdsinθ（作变换t=sinθ）∫041226424=82a∫(1−t)dt=a。01510．解：可画出积分曲面图如下z2222y=8-x-zy=x+z+61678yDx6 利用高斯公式，有1/x11/xxI=[f()⋅+f()⋅(−)+1]dxdydz=dxdydz∫∫∫2∫∫∫yyyxyyΩΩ228−x−z22=dxdzdy=[2−2(x+z)]dxdz∫∫∫x2+z2+6∫∫DD2π1211=∫∫dθ2(1−r)rdr=4π(−)=π。0024222⎧x+y=a11．解：设曲面Σ1:⎨，取下侧，则其在xOy平面上的投影为平面xOy上的⎩z=0222区域D={(x,y)|x+y≤a}，且Σ与Σ构成一个封闭曲面，可利用高斯公式，故1323232I=∫∫(x+az)dydz+(y+ax)dzdx+(z+ay)dxdyΣ+Σ1323232−∫∫(x+az)dydz+(y+ax)dzdx+(z+ay)dxdyΣ12222=∫∫∫(3x+3y+3z)dxdydz−(−∫∫aydxdy)ΩDπ2πa2πa22222=3∫0dθ∫0dϕ∫0r⋅rsinϕdr+∫0dθ∫0arsinθ⋅rdrπ652152π1−cos2θ=πa∫sinϕdϕ+a∫dθ504026515295=πa+πa=πa。54202212．解：设从A（0，0）沿圆周(x−1)+y=1到B（1，1）的曲线为L，则所求功为yy2x(1−e)eW=dx+dy∫L(1+x2)21+x22x(1−ey)ye∂22y∂2y(1+x)−2xe1+x−2xe因为=,=，故此积分与路径无关，设C（1，0），2222∂y(1+x)∂x(1+x)yyyy2x(1−e)e2x(1−e)e则W=dx+dy+dx+dy∫AC(1+x2)21+x2∫CB(1+x2)21+x2y1e11=∫dy+∫0dx=(e−1)。020213．解：设曲面的面密度为ρ(x,y,z)=1，则曲面的重心公式为7 ∫∫xdS∫∫ydS∫∫zdSΣΣΣx=，y=，z=，∫∫dS∫∫dS∫∫dSΣΣΣ根据对称性可知x=0，y=0，而222/2/2a2−x2−y2⋅adxdy∫∫a−x−y⋅1+zx+zydxdy∫∫222DDa−x−yz==222πa2πaa∫∫dxdy2a⋅πaaD===，222πa2πa2a故所求重心坐标为(0,0,)。214．证明：yπLDπx（1）所证结论即siny−sinx−sinysinx∫xedy−yedx−∫xedy−yedx=0，LLsiny−siny−sinxsinx也就是∫x(e−e)dy−y(e−e)dx=0，L利用格林公式有siny−siny−sinxsinx∫x(e−e)dy−y(e−e)dxLsiny−siny−sinxsinx∂x(e−e)∂[−y(e−e)]=∫∫{−}dxdy∂x∂yDsiny−siny−sinxsinx=∫∫(e−e+e−e)dxdyDsiny−siny−sinxsinx=∫∫(e−e)dxdy+∫∫(e−e)dxdy（利用D关于y=x对称）DDsinx−sinx−sinxsinx=∫∫(e−e)dxdy+∫∫(e−e)dxdy=0。DD8 siny−sinx−sinysinx所以∫xedy−yedx=∫xedy−yedx。LL（2）利用格林公式有siny−sinxsiny−sinx∫xedy−yedx=∫∫(e+e)dxdyLDsiny−sinx=∫∫edxdy+∫∫edxdy（利用D关于y=x对称）DDsinx−sinx=∫∫edxdy+∫∫edxdyDDsinx−sinxsinx−sinx2=∫∫(e+e)dxdy≥2∫∫e⋅edxdy=2∫∫dxdy=2π。DDD9'