《泛函分析》习题解答(不完全版).pdf 77页

'第一章练习题1．记Cab([,])是闭区间[,]ab上连续函数全体构成的集合,在Cab([,])上定义距离如下:b(,)fg|()fxgxdx()|,fgCab,([,])，a（1）Cab([,])按是否完备?（2）(([,]),)Cab的完备化空间是什么?答：(1)不完备,例如对于[,][0,2]ab以及n1,2,,定义nxx,01,fx():n1,1x2.则{()}fxC([0,2])在本题所定义的距离的意义下是Cauchy列,因为n1(,ff)|fx()f()|xdxnmnm011nmxdxxdx00110,(,mn).nm11另一方面,点列{()}fx并不能在本题所定义的距离的意义下收敛到C([0,2])中的某个元.n事实上,在几乎处处收敛的意义下,我们有0,x[0,1)fx()gx()n1,x[1,2].因此,根据Lebesgue有界收敛定理,可以得到1(,)fg|fx()gxdx()|nn0111nn|x0|dxxdx0.00n1但gx()C([0,2]).1(2)Cab([,])的完备化空间是Lab([,]).因为1(i)在距离的意义下,Cab([,])是Lab([,])的稠密子集.事实上,任意取定一个1fx()Lab([,]),需要证明:对于任意的0,存在gx()Cab[,],使得(,)fg|()fxgxdx()|.[,]ab事实上,首先根据积分的绝对连续性,存在0,使得当E[,]ab,只要mE,就有1 |()|fxdx.E3因为fx()(Lebesque)可积,故几乎处处有限,即mE0,NN1其中E{x[,]||()|abfxN}.由此可以得到lim(mE)0(因为{}E是渐缩集NNNN列并且[,]ab的测度有限),故存在某个自然数N,使得mE且N|()|fxdx,EN3因此有|()|fxN,x[,]abEN.引入一个新函数定义为fx(),x[,]abENfx():0,EN,显然对于x[,]ab恒有|()|fxN.由Lusin定理,存在连续函数gx()C(,)和闭集F[,]ab,使得mab([,]F)min{,/3}N且|()|gxN,进而gx()fx(),xF.则gx()限制在[,]ab即为所求,因为:(,)fg|()fxgxdx()|[,]ab|()fxgxdx()|([,])abFF|()fxgxdx()||()fxfxdx()|[,]abFF(|()|fxNdx)[,]abF|()fxfxdx()||()fxfxdx()|FENNFE|()|fxdxNmab([,])F[,]abF|()|fxdx0dxFENNFE.3332 1(ii)(([,]),)Lab是完备的空间.2．设(,)X是距离空间，A是X的子集，对任意的xX，记(,)inf(,)xAxy，yA则（1）(,)xA是x的连续函数.（2）若{}x是X中的点列,使(,)xA0,{}x是否为Cauchy列?为什么?nnn证：(1)任意取定xx,X,对于任意的yX根据三角不等式,有12(,)xy(,)xx(,)xy,(,)xy(,)xx(,)xy.11222211对两端关于yA取下确界,可以得到inf(,)xy(,xx)inf(,)xy,inf(,)xy(,)inf(,)xxxy.11222211yAyAyAyA即(,)xA(,)xx(,)xA,1122(,)xA(,)xx(,)xA.2211由此可得|(,)xA(,)|xA(,)xx.1212由此容易证明fx()(,)xA是X上的连续函数,实际上,(,)xA还满足Lipschitz常数等于1的Lipschitz条件.(2)答:未必是Cauchy列.例如取XR,其中的距离是Euclid距离.对于A{1,1},对于n1,2,,定义点列为n1x(1).nn对于点列{}x,不难验证,n1(,)xA0;nn但显然{}x不是Cauchy列.这里的原因就在于(,)xA不是点到点之间的距离,而是点到n集合的距离,当这个集合A含有不止一个点时,(,)xA不再具有点点之间距离的性质.n3．E是R中的Lebesgue可测集合,试证LE()按距离3 (,)esssup|()fgfxgx()|xE是不可分空间.证法一：记为方便起见,设E[,]ab.定义1,xa[,],fx()()x[,]a0,xb(,].显然fx()有界,可测,因此必属于L([,])ab.记A{()|fx(,]}ab.则AL([,])ab.既然对于不同的12,[,]ab,f与f不同的部分是正测度集,容易12看出A的势是.进而有(不妨设)12(f,f)infsup|f()xf()|x12E[,]ab12x[,]abEmE0infsup|f()xf()|x12E[,]abx[,]abEmE0infsup|()xx()|[,aa12][,]E[,]abx[,]abEmE0infsup()1.x(12,]E[,]abx[,]abEmE0我们用反证法证明所需的结论.设L([,])ab是可分的，则其必有可数的稠密子集{,ggg,,,,}g,因此至少有一个g属于两个不同的Sf(,1/3)和Sf(,1/3).而由123ii12三角不等式,我们有1(f,f)(f,g)(,gf)121ii2112.333这是一个矛盾.因此L([,])ab不可能是可分的.证法二：既然E是正测度集,存在R0使得mS((0,)RE)0.不难验证,存在一列正数{}R满足:ii10RRRR;12i且mE([(0,SR)(0,)])0SR.ii14 对于每一个(,,,,),其中0或1,定义12iifx(),xE[(0,SR)(0,)]SR,ii1ii1,2,.显然fx()有界,可测,因此必属于LE().记NA{()|fx{0,1}},NN其中{0,1}表示具有上述性质的的全体.则ALE().既然对于不同的,{0,1},(不妨设(,,,),(,,,)且对于某个i,01)f与f不同1i1iiiN的部分至少是正测度集E[(0,SR)(0,SR)],容易看出A的势与{0,1}的势都是连续ii1统的势.进而有1(f,f)infsup|fx()fx()|FExEFmF0infsup|fx()fx()|FEx(ES(0,Rii1)(0,SR))FmF0infsup||1.iiFEx(ES(0,Rii1)(0,SR))FmF0我们用反证法证明所需的结论.设LE()是可分的，则其必有可数的稠密子集{,ggg,,,,}g,因此至少有一个g属于两个不同的Sf(,1/3)和Sf(,1/3).而由123ij三角不等式,我们有1(f,f)(fg,)(g,f)jj11.33这是一个矛盾.因此LE()不可能是可分的.补充题．证明Lab[,]是不可分空间.证：记K[,]at()xatb,其中1,axt,():x[,]at0,txb.显然KLab[,],且只要tt,[,]ab,tt,则有1212,K,且因为(不妨设tt)(,]tt的测度为正,故[,]at12[,]at12125 ||[,]at1[,]at2||Lab[,]esssup|[,]at1()x[,]at2()|xsup|()|1x.(,]tt12x(,]tt12因此,由(,)ab是不可数集,而K的基数与(,)ab的基数相同,故也是不可数集,且K中任何两个不同元的距离均为1.如果Lab[,]是可分的,因此有一个可数的稠密子集合A{()|fxk1,2,},且k1Sf(,)K.kk13但这是荒谬的,因为上式左端只有可数多个开球,右端有不可数多个元,所以至少有K中1的两个不同的,属于同一个开球Sf(,),由此得到矛盾:[,]at12[,]atk031||[,]at12[,]at||Lab[,]||[,]at1ffk0||Lab[,]||k0[,]at2||Lab[,]112.333此矛盾表明Lab[,]不可能是可分的.k4．设C([,])ab是闭区间[,]ab上具有k阶连续导数的函数全体,定义:k()i()ik(,)fgmax|f()xg()|,,xfgC([,])abxab[,]i0试证:k（1）C([,])ab是完备的距离空间;（2）若定义||ff||(,0),k则(C([,]),||||)ab是Banach空间.k0证：(1)这里只证明该距离是完备的.设{()}fx是C([,])ab(k0时,C([,])ab就理nn1解为Cab[,])中该距离意义下的Cauchy列.因此当mn,时，有k()ii()(fm,fn)max|fm()xfn()|x0.xab[,]i0()i0由此容易知道对于每一个ik0,1,,,{fx()}是C([,])ab中的Cauchy列.根据nn16 0()i0iC([,])ab的完备性,知{fx()}收敛到C([,])ab中的某个元,记其为fx(),则nn1i0fx()C([,])ab,且()iif()xfx()，n,i0,1,,n,n0其中“”表示是一致收敛.如果我们记fx()f()x利用数学分析中函数序列一致收,敛的分析性质,可以得到12fx()f(),xf()xf(),x,(*)()kkf()xf().x1例如,因为f()xfx(),故nxx1f()tdtftdt(),naa即x1f()xf()aftdt(),nna00又f()xf()x及fa()f()a,故nnx001f()xf()aftdt().a求导即可得到011f()xfx(),即fx()fx().归纳地可得(*).0k因此fx()f()xC([,])ab且k()ii(,)fnnfmax|f()xfx()|xab[,]i0k()ii()max|fn()xf()|x0.xab[,]i0k即C([,])ab是完备的距离空间.（2）证略.7．证明有限维线性赋范空间是完备的.证：记该有限维(实)线性赋范空间为E,是n维的，范数记为||||x,需要证明(,||||)E是完备7 的.记E中的一组基为:vv,,,v.12n因此对于任意的xE,存在唯一一组实数xx,,,x,使得xxvxvxv,12n1122nn反之亦然.(i)我们断言存在一个与x无关的常数K0,使得|x|Kx||||,in1,2,,.(*)inn首先定义一个映射f:为:对于任意的(,,xx,x),12nfxx(,,,x):||||||xxvxvxv||.12n1122nn则对于任意的xy,E(yyvyvyv)有1122nn||xy||fx(yx,y,,xy)1122nn|xy|||vv|||xy|||||111nnn2222(xy)(xy)||vv||||||.11nn1nnn由此容易知道f是R上的连续函数.记B是R中的单位球面,即1n2B1{(,xx12,,xnk)|x1}.则对于任意的(,x11,xn)B,有fx(,1,xn)0.k1(事实上,若有fx(,,x)0则1nfx(,,x)||xvvx||0,1n11nn因此xxvv0,但vv,,,v线性无关,故必有xxx0,此与11nn12n12nn(,x,x)B相矛盾.)注意到B是R中的有界闭集(紧子集),连续函数f必可在其11n1上达到正的最小值1/K0.现在我们可以证明式(*).事实上,对于任意的xE,存在唯一的一组实数xx,,,x,使得xxvxvxv,不失一般性,可设x0因此,12n1122nnxx,,,x不全为零,注意到12n8 xxxyB11,,,n,1nnn222xkxkxkk1k1k1故xxx11nvvvfy()12nnnn222xkxkxkk1k1k1xxx1f11,,,n,nnnK222xkxkxkk1k1k1或n12||||xx11vx2v2xnvnxk.Kk1由此容易得出(*)式.()k(ii)设{}x是E中的基本列,这里k1()k()k()k()kxxvxvxv,1122nn即()kl()||xx||0,当kl,.利用(*)式便可以得到对于每一个in1,2,,,成立()k()l()k()l|xx|Kx||x||0,当kl,.ii()k1即{}x是中的基本列,因此收敛.设ik1()k(0)xx,(k,in1,2,,).ii(0)()k(0)(0)(0)记xxvxvxv,显然xE.根据E中收敛的等价性(即按范数收1122nn敛意味着每个分量收敛或即按坐标收敛),容易得到()k(0)||xx||0,当k.因此(,||||)E是完备的.9．设X为线性赋范空间,X是X的线性闭子空间.在X中定义等价关系为09 xyxyX.对任意的xX,以[]x记x的等价类,令0XX/{[]|xxX}.0称XX/为商空间,在XX/上定义线性运算如下:00(i)[][][xyxy],xy,X,(ii)[][xx],C,xX.并定义||[]||xinf||xy||.0yX0试证:XX/按||[]||x也是一个线性赋范空间.00证：(一)XX/按照所定义的线性运算是线性空间(证明略).0(二)||[]||x是XX/中的范数.按照定义,对于每一个[]xXX/显然000||[]||xinf||xy||是一个确定的数,因此||||:XX/R是映射.000yX0(i)(非负性)对于xX,显然||[]||xinf||xy||0.0yX0(正定性)当[]=[0]=xX时,有0||[]||||[0]||xyinf||||0.00yX0反之,如果我们假设||[]||xinf||xy||0,需要证明[]=[0]=xX,也只需证明00000yX0xX.事实上,根据下确界的定义,对每一个自然数k1,2,,存在yX,使得00k0111||xy||||[]||xinf||xy||,0k000kyX0kk由此得到一个序列{}yX且k0yx||||0.k0因为X是闭子空间因此xX故xX,即[]=[0]=xX.0000000(ii)(正齐性)对于C,xX,如果0,则x00xX,故[x]X[0]0[]x[]x.如果0,则当y取遍X中的所00010 y有元时,也取遍X中的所有元,反之亦然,因此0y||[x]||inf||xy||inf||||x||0yX00yXyy||inf||xx||||inf||||yXy0X0||inf||xz||||||[]||x,zX0(iii)(三角不等式)设xy,X.设uv,X,当uv,取遍X中的所有元时,uv也取遍00X中的所有元,反之亦然,进而,uv,的取法是相互独立的,因此0||[xy]||inf||xyu||0uX0inf||xyuv||uvX,0inf||xu||||yv||uvX,0inf||xu||inf||yv||uX00vX||[]||xy||||.00也可用下面的证明方法:对于任意的0,由下确界的定义,存在uv,X使得0||xu||||[]||x,||yv||||[]||y,00因此可以得到||[xy]||inf||xyu||||xyuv||0uX0||xu||||yv||||[]||xy||[]||2.00因为0的任意性,可得||[xy]||||[]||xy||[]||.000k10．设X为线性赋范空间,xn收敛,即Sxkn按X中的范数收敛,则n1n1xxnn.nn11证：记11 kSxkn.n1对于有限项之和,利用三角不等式,成立kk||Sk||xnxnxn.(*)n1n1n1k又因为Sxkn在范数意义下收敛,其极限自然可以记为xn,即n1n1Sxkn,n1再一次利用三角不等式,可以得到当k时||Sk||xnSkxn0,nn11即||Sxkn||,因此在(*)式中令k,可得n1xxnn.nn1111．设X{0}为线性赋范空间,试证X是Banach空间当且仅当{xX|||||1}x是完备的.证：记T{xX|||||1}x.(必要性)设X是Banach空间,{}xT是T中的Cauchy列,即||x||1且nn||xx||0(当mn,).mn||||因为X是Banach空间,故{}x收敛,即存在xX,使得xx,由三角不等式容n0n0易得到:||||||||||xyxy||,因此||x||||x||||xx||0,nn00知||xx||||||,故||x||1因此xT,即T完备.n000(充分性)设T是完备的,并设{}xX是X中的Cauchy列,即||xx||0当nmn12 mn,.由||x||||x||||xx||0,mnmn1知{||x||}是中的Cauchy数列,因此收敛,即存在某个数A使得n||xA||.n如果A0,显然{}x收敛于X中的零元,故不妨设A0.由此知当n充分大时,总有n||x||0,不失一般性,可设对所有的n,都有||x||0.考虑新的点列nnxny:,n||x||n显然yT.进而nxxmn||yy||mn||xx||||||mnxxxxmmmn||x||||x||||x||||x||mnnn111||x||xx，mmn||x||||x||||x||mnn由此易知{}yT是T中的Cauchy列.因为T作为距离空间是完备的,故{}y收敛,即存nn||||在yT,使得yy.最后我们断言:0n0||||xAy.n0事实上,xAyn0||xAy||||x||nn0||xx||||||nnAy0||xy||nn||x||nAy0||x||yyynn00||x||nA||x||yyy10.nn00||x||n13 综上可得X是Banach空间.15．试证定理4中(f)式定义的(,)xy的确满足内积分的定义.证明:即要证明:对于赋范线性空间(,||||)X,如果范数满足平行四边形法则:2222||xy||||xy||2(||||x||||)y(*)则由122(,):xy[||xy||||xy||](KR时)(f’)R4或122(,):xy[||xy||||xy||C422ixiy||||ixiy||||](KC时)(f)所定义的确实是内积.(i)对于xX,122(,)xx[||xx||||xx||C4222ixix||||ixix||||]||||x0,因为|1ii||1|,并且根据范数的性质2(,)xx00(,)xx||||xx0.CC同理可证(,)xx0且(,)xx0x0.RR(ii)首先考虑KR时的情形,对于xyz,,X,可将(,)xz(,)yz表示为如下形式:RR(,)xz(,)yzRR12222[||xz||||xz||||yz||||yz||]412222||xz||||yz||||xz||||yz||4221xyxyxyxyzz42222221xyxyxyxyzz,42222再由平行四边形法则14 22xyxyxyxyzz222222xyxy2z;2222xyxyxyxyzz222222xyxy2z.22因此221xyxy(,)xzRR(,)yzzz222xy2,z.2R进而,令y0可以得到x(,)xz2,z,R2R这里利用了(0,)z0.因为x是任意的,故可将x换为Rxy,即可得到xy(xyz,)2,z.R2R对照上述二式,即有(,)xz(,)yz=(xyz,).(**)RRR至于KC时的情形,注意到从形式上看(,)=(,)xyxyixiy(,),CRR利用上述已经证明了的等式(**)不难得到(,)xz(,)yz=(xyz,).CCC(iii)首先考虑KR时的情形,对于xz,X和任意实数st,R,由已经证明的(**)式有(,)sxz(,)txz=((stxz),),RRR可知函数ft():(,)txz满足如下的函数方程:R15 fs()ft()fst().(***)又ft():(,)txz关于t是连续的,因此必有Rft()f(1)ttxz(,).R(事实上,由(***)式对于任意的正整数n和m,利用数学归纳法有fns()fss(s)fs()fs()fs()nfs();111进而取s,有ff()(1),因此nnnnn1f()nf()f(1).mmm又(***)中取st0可得f(0)0,取st可得f(s)fs().因此对于所有的有理数,均成立fs()sf(1).利用fs()的连续性,可知对所有的实数也成立.)因此得到(,)txzft()f(1)ttxz(,).RR至于KC时的情形,注意到由(f)12222(,)ixy[||ixy||||ixy||iixiy||||iixiy||||]C412222[||ixy||||ixy||ix||y||ix||y||]41222222[i||ixy||i||ixy||ix||y||ix||y||]4i2222[ixiy||||ixiy||||||xy||||xy||]4ixy(,).C由此也容易得到,对于tC(,)txztxz(,).CC(iv)当KR时,容易知道122(,)xy[||xy||||xy||](,)yx;RR4而当KC时,直接计算也可得到16 12222(,)xy[||xy||||xy||ixiy||||ixiy||||]C412222[||yx||||yx||iyix||||iyix||||]4(,)yx.C216．设D是C中单位开圆盘,即D{zC|||1}z.dA是D上的面积测度,LD()定a义为22LD(){|ff在D中解析且|fz()|dz}.a2(见课本第六页例4)在LD()中定义内积为afg,fzgzdA()().Dnn12试证(1)n()zz(n1,2,)构成LDa()的正交基.2a2kk(2)若fLDa()的Taylor展开式是fz()azk,则;k0k01k2k(3)若gLDa()的展开式是gz()bzk,则k0abkkfg,.k01k2证：先给出一个预备性结果:对于fLD()，因为fz()是解析函数,因此可以展开为幂ak级数:fz()azk.由此可以断言：k0fz(),n()zan1.（*）nk事实上，因为fz()是解析函数,幂级数azk在D中内闭一致收敛,即对于D的任意闭子k0k集F,azk在F上一致收敛.对于01,以下取闭子集F为k0D:{zDz|||1}.容易知道D是D中的闭子集.17 knn1对于每一个n1,2,,注意到级数azkz在D中仍旧一致收敛,以下的积分k0号和求和号可以交换顺序:fz(),()zfz()()zdAnnDlimfz()()zdAn0Dknn1limazkzdA0Dk0nkn1limakzzdA0Dk0nkn1limakr(coskisink)0Dk0(cos(n1)isin(n1))dAn21kn1limakdr(coskisink)000k0(cos(n1)isin(n1))rdrn12kn1limakrrdr(coskisink)000k0(cos(n1)isin(n1))dn121nlim2ardrn1002nn(1)lim2an102na.n1n因此（*）式得证.nn1(1)首先证明()zz是正交集.nn1n1事实上,对于复数zr(cosisin),根据所给的定义18 mnmn11(),z()zzzdAmnDmnm1n1nm2(cosisin)(cosisin)rdADmnnm2r(cos(m1)isin(m1))D(cos(n1)isin(n1))dAmn21nm2dr(cos(m1)isin(m1))00(cos(n1)isin(n1))rdrmn12nm2rrdr(cos(m1)im(1)sin)00(cos(n1)isin(n1))dmm121,mn,2m0,mn.2因此()z是正交集.因为LD()是完备的空间,故只需再证()z是完备的即nn1ann12可得知其也是正交基.设有fLD()且fz()()z.因为fz()是解析函数,因ann1此可以展开为幂级数:kfz()azk.k0根据（*）式，可以得到，对于每一个n1,2,,0fz(),()za.nn1n由此即得a0,(n1,2,).所以fz()0.即n12n()zn1是完备的,因此是LDa()中的正交基.(2)既然n()zn1是基,由Parseval等式可以得到22fz(),n()z||f||.n1利用（*）式，上式的左端可以表示为:19 2fz(),n()zn1222aann1an1.n1nn1nn0n1由此可得所预期的结论.kk(3)对于fz()azk和gz()bzk,有k0k0fz()akk1()z和gz()bkk1()z，利用内积的连续性和（*）式，k0k1k0k1fg,akk1(),()zgzk0k1akk1(),()zgzk0k1akkgz(),1()zk0k1abkkk0kk11abkk.k0k118．设H是内积空间,{}e是H中的正交集,求证:n(,)(,)||||||||xennyexy,(xy,H).n1证：对于任意的正整数k,由Cauchy不等式和Bessel不等式可以得到kkk22(,)(,)xenyen(,)xen(,)yenn1n1n122(,)xenn(,)ye||||||||xy,nn11由k的任意性,知正项级数(,)(,)xennye收敛,因此级数(,)(,)xennye绝对收敛,并n1n1且20 (,)(,)xenyen(,)(,)||||||||xenyenxy.nn1122219．试证sinnt构成L([0,])的正交基,但不是L([,])的正交基.22证：(1)首先证明()tsinnt是L([0,])中的正交集.事实上,nn1n122(),t()tsinmtsinntdtmn02cos(mnt)cos(mntdt)201()1,mn,0,mn.22因此n()tn1是L([0,])中的正交集.同理,也容易证明n()tn1还是L([,])中的正交集.2(2)因为L([0,])是完备的空间,故只需再证()t是完备的即可得知其也是正交基.nn12设有fL([0,])且ft()()t.将ft()做奇延拓成为ft():nn1ft(),t[0,],ft():f(),tt[,0).2则ft()L([,]).注意到对于n1,2,,利用ft()()t,nn1f,nft()sinntdt0ft()sinntdtft()sinntdt00f()sintntdtft()sinntdt00f()sintntdtft()sinntdt021 0fs()sin(nsds)ft()sinntdt02ft()sinntdt0.0设()tcosnt,对于n0,1,2,,利用ft()是奇函数,可得nnn00f,ft()cosntdt0.n因此ft()nn()tnn10()t.进而也容易得到1costsintcosntsinntft(),,,,,,.2又已经知道与nn()tn1()tn0sin)tn1cosntn0仅相差一个常数因子的三角函数系1costsintcosntsinnt,,,,,,22是L([,])中的正交基,因此ft()0,a.e.t[,],即有ft()0,a.e.t[0,].2因此n()tn1是L([0,])中的正交基.22(3)注意到sinnt在L([,])中不是完备的,例如对于恒等于常数1的函数2ft()1L([,])是非零元,但对于n1,2,,f,n1sinntdt0.22 22因此,sinnt虽然是L([,])的正交集,但不是正交基.124．试给出C([,])ab中列紧集的判别条件.1证：设子集AC([,])ab且x是[,]ab中一个数.记0A{()|()fxfxA}及B{()|()fx0fxA}.1则A是C([,])ab中的列紧集的充分必要条件是(i)A在Cab([,])中有界;(ii)B是R中的有界集;(iii)A是Cab([,])中等度连续的集合.1[充分性]设AC([,])ab满足条件(i),(ii)和(iii).11根据C([,])ab中范数的定义:对于fC([,])ab,f1:max|()|max|fxfx()|,C([,])abxab[,]xab[,]容易看出,1C([,])abCab([,])Cab([,])ffff且ffkkk因此只需证明A和A分别是Cab([,])中的列紧集即可,根据Arzela-Ascoli定理,这也只需证明A和A分别在Cab([,])中有界且等度连续即可.事实上,A在Cab([,])中有界性和等度连续已由所给条件得到保证(即(i)和(iii)).还需证明A在Cab([,])中的有界性和等度连续性.记A在Cab([,])中的一个界为MA,B作为R中的有界集,一个界纪为MB.对于任意的x[,]ab,利用中值定理,有|()||()fxfxfx()||()|fx00|f()(xx)||()|fx00MAB(ba)M.此即表明max|()|fxMABba(M),所以A在Cab([,])中有界,且界为xab[,]M()baM.进而对于xy,[,]abAB23 |()fxfy()||f()(xy)|MA|xy|.由此易知A具有等度连续性.1[必要性]设A是C([,])ab中的列紧集,即对于A的任何点列{()}fx,{()}fx在nn1nn11C([,])ab中的范数(距离)f1:max|()|max|fxfx()|C([,])abxab[,]xab[,]意义下都有收敛的子列{fx()}.因此,{()}fx和{fx()}分别在Cab([,])中有nkk1nn1nn1收敛的子列的{fx()}和{fx()}.这表明,根据Arzela-Ascoli定理,A和A均nkk1nkk1是Cab([,])中的列紧集,因此A和A均在Cab([,])中有界且等度连续,因此得到(i)和(iii).由A的有界性,可以知道集合B{()|()fxfxA}0对于任意的x[,]ab都是R中的有界集,因此得到(ii).026．设(,)X是紧距离空间，映射fX:X满足((),())fxfx(,xx).(xx)121212则(1)f是否有唯一的不动点?(2)f是否为压缩映射?解答:(1)f存在唯一的不动点,证明如下:(存在性)定义映射hX:R为hx()(,())xfx.由所给条件知此映射是连续的,而X是紧空间表明此映射能在X中取得上下确界.因此存在yX,使得hy()(,())inf()yfyhx.xX断言hy()inf()0hx，则y是f的不动点：yfy().若不然,hy()0,则在所给的xX条件中取xfy()有24 hfy(())((),(()))fyffy(,())yfyhy(),此与y达到hx()的下确界相矛盾.(唯一性)若还有zX使得zfz()但zy.仍由所给的条件,有0(,)zy((),())fzfy(,)zy.这是个矛盾.故必有zy.(2)f可以不是压缩映射.反例如下:[反例1]记X[0,1],其中距离定义为两点之间的Euclid距离:xy,X,(,):|xyxy|.因为X是R的闭子集,因此是完备的,显然也是紧的.定义映射TX:X为:对于xX,xTx():.1x显然T是自映射,且有唯一的不动点0.对于任意的xy,X,设xy,则xy,中至少有一个不为零,由此容易得到xy||xy(TxTy,)x1y1(1x)(1y)||xy(,)xy.所以T满足所需的条件,但T不是压缩映射,因为(TxTy,)1supsup1.xy,[0,1](,)xyxy,[0,1](1x)(1y)xyxy因此不存在常数[0,1),使得对于所有的xy,X,(,TxTy)(,)xy.1[反例2]记Xn{0}1,2,,其中距离定义为两点之间的Euclid距离:nxy,X,(,):|xyxy|.因为X是R的闭子集,因此是完备的,显然也是紧的.定义映射TX:X为:对于xX,11,,xTx():nn10,x0,25 显然T是自映射,且有唯一的不动点0.对于任意的xy,X,设xy,如果xy,X{0},则有正整数mn,,mn,使得11xy,,nm且11|mn|(TxTy,)n1m1(n1)(m1)||mn11(,)xy;nmnm如果xy,中有一个为零,例如x0,也有111(TxTy,)0(,)xy.mm11m11所以T满足所需的条件,但T不是压缩映射,因为例如对于xy,,当mn,nm时,成立11(TxTy,)nm11mn1,(,)xy11(n1)(m1)nm即不存在[0,1),使得(,TxTy)(,)xy..补充题.设二元函数gxy(,)Cab([,][,])ab,A是Cab([,])中的一个有界集,记bAFx():gxyfydyfx(,)()()A.a(i)证明A是Cab([,])中的列紧集;(ii)问当A还是Cab([,])中的闭集时,A是不是紧集?证：(i)因为gxy(,)Cab([,][,])ab,不难得知ACab([,]).根据Arzela-Ascoli定理,只需再证明A在Cab([,])中有界且等度连续即可.(a)A在Cab([,])中有界,即A作为由连续函数组成的集合是一致有界的.事实上,如果记A的一个界为M,|(,)|gxy在[,][,]abab上的最大值为K,则对于任意取定的26 Fx()A,有某个fx()A,使得bFx()gxyfydy(,)(),由此得知ab|()|Fxgxyfydy(,)()ab|(,)()|gxyfydyabmax|(,)|max|()|gxyfydyaxbaybaaybb||f||KdyCab[,]a||f||Kba()Cab[,]KMba().因此A是Cab([,])中有界集,且A的一个界为KMba().(b)A在Cab([,])中等度连续.对于Fx()A,有某个fx()A,使得bFx()gxyfydy(,)().因为gxy(,)Cab([,][,])ab,因此在[,][,]abab上一致a连续,故对于任意的0,存在0,当xx,[,]ab且||xx时,有|(,)gxygxy(,)|(y[,]ab),由此可以得到bb|()FxFx()|gxyfydy(,)()gxyfydy(,)()aab[(,)gxygxyfydy(,)]()ab|(,)gxygxy(,)||()|fydyabmax|()||(,)fygxygxydy(,)|ayba27 b||f|||(,)gxygxydy(,)|Cab[,]aMba().由此易知A具有等度连续性.(ii)当A还是Cab([,])中的闭集时,A未必是紧集!反例可以构造如下:考虑C([0,1])中的集合kA{xk|1,2,},显然A是C([0,1])中的有界集,一个界可以取为1.可以断言A是C([0,1])中的闭集,因为kl对于任意的xx,A,不妨设lk,则klklxxmax|xx|C[0,1]x[0,1]klkklkklkklkk1,llll对于任意固定的k,当l趋于无穷大时,右端项趋向于1,由此容易知道,作为C([0,1])中的子点列,集合A不是Cauchy列,因此不可能在C([0,1])中有收敛的子列,故集合A没有聚点,因此是C([0,1])中的闭集.定义Kxy(,)1,显然Kxy(,)C([0,1][0,1]).对于上述的集合A,不难计算1k1AFx()xdxk|1,2,|k1,2,0k1显然，A是C([0,1])中列紧集，唯一的聚点是零函数，但零函数不在A中，因此不是闭集.补充题.设A是Cab([,])中的一个有界集,记xBFx():ftdtfx()()A.a证明B是Cab([,])中的列紧集.证：根据Arzela-Ascoli定理,需证明B在Cab([,])中有界且等度连续即可.28 (i)B在Cab([,])中有界,即B作为由函数组成的集合是一致有界的.事实上,如果记A的界为M,则对于任意取定的Fx()B,有某个ft()A,使得xFx()ftdt(),由此得知axx|()|Fxftdt()|()|ftdtaaxxmax|()|ftdt||f||dtCab[,]atbaa||f||(ba)Mba().Cab[,]因此B是Cab([,])中有界集,且B的界为Mba().x(ii)B在Cab([,])中等度连续.对于Fx()B,有某个ft()A,使得Fx()ftdt().a对于xx,[,]abxx|()FxFx()|ftdt()ftdt()aaxxftdt()|()|ftdtxxxxmax|()|ftdt||f||dtCab[,]atbxxMxx||.由此易知B具有等度连续性.补充题．证明课本20页定理8:对于距离空间(,)X中的任何集合G,G与G均是闭集.证：(i)根据闭集的定义,仅需证明GG.事实上,设yG,则对于任意的0((,){})SyyG.29 设x((,){})SyyG,根据极限点的定义,对于min{(,),xy(,)}0xy,有((,){})SxxG.又Sx(,)Sy(,),因此有((,){})SyyG((,){})SxxG.注意到0的任意性,即可得到yG.因此G是闭集.(ii)需证明的是GG.因为GGG,又()ABAB,(*)故由(i)中已经证明了的结果,有GGGGGGG,因此G是闭集.如下证明(*):设yAB,则yA,且yB.由前者知存在某个0,使得0((,){})SyyA;0由后者知存在某个0,使得1((,){})SyyB.1取min{,},则0,且0010((,){})Syy(AB),0所以y()AB,即(*)得证.30 补充题．判断集合21Ay(,yy,,y,)l|y|,m1,2,12mmm2是否为l中的列紧集?2答：A是l中的列紧集,证明如下.1121因为(1,,,,)l，即级数收敛，因此，对于任意的0，存在某个m，202mm1m使得12.mm1m0考虑集合：Am00(,yy12,,ym,0,)y(,yy12,,ym,)A容易知道A是A的网，且如果视其为Rm0空间中的子集，A是有界集(一个界是m0m0m01222)，因此列紧，在l中仍然是列紧的.进而知道l是完备的，因此根据前面补充题m1m的结论（A是列紧集的充分必要条件是对于任意的0,A有列紧的-网），可以得到A2是l中的列紧集.补充题．设(,)X是完备的距离空间,AX.证明:A是列紧集的充分必要条件是对于任意的0,A有列紧的-网.证明：[必要性]设A是列紧集,因此A是完全有界集,即对于任意的0,A存在有限-网B,B{,,xx,}x.12n又有限集一定是列紧集,因此B是A的列紧的-网.[充分性]设条件成立,即对于任意的0,A有列紧的/2-网B.因为B列紧,因此全有界,即存在有限的/2-网C.不难证明C是A的有限-网.由此可以得知,A是全有界集,又(,)X是完备的距离空间,因此A是列紧集.31 第二章练习题3.设X是有限维线性赋范空间，试证：X上任意两个范数都是等价的.n证明一:不妨设X是n维的,{}e是其基底,||||和||||是其上的任意两个范数.因为ii112“有限维线性赋范空间是完备的”(参见第一章,习题7)，因此||||和||||都完备.在X中12引入一个新的范数||||如下：对于xxexeX，定义E11nn||||:max|xx|.Ek1kn则容易验证,(,||||)X是Banach空间.显然,对于任意的xxexeX,成立E11nn||||||xxexe||111nn1||xe||||xe||111nn1|x|||e|||x|||e||111nn1max|x|(||e||||e||)kn1111kn(||e||||e||)||||.x11nE1因此范数||||强于范数||||,根据范数等价性定理,即知范数||||等价于范数||||.同E1E1理可证范数||||等价于范数||||,由此易知范数||||等价于范数||||.E212证明二:设||||和||||是X上的任意两个范数,因为X是有限维线性赋范空间，因此12(,||||)X和(,||||)X都是Banach空间(参见第一章,习题7),在X中再引入一个新范数:12对于任意的xX,定义||||:||||xx||||x.12非常容易地可以证明这个新范数也是完备的,即(,||||)X也是Banach空间.而新范数||||强于||||,即1||||||||xx,(xX).1因此,根据范数等价性定理(58页引理1),新范数||||与||||等价,即存在正数|0K,1使得||||xKx||||(xX).132 又因为新范数||||强于||||,即||||||||xx,因此得到22||||||||xxKx||||,(xX).21此即表明:||||和||||等价.124.设X是有限维线性空间,试证X中的弱收敛等价于按范数收敛.n证明：设X是n维空间,{}e其一个基底,X中的范数记为||||.则在X中按范数收ii1X()k(0)n敛等价于按坐标收敛,即:若{x}Xx,X,在基底{}e意义下可以表示为k1ii1()k()k()k()k(0)(0)(0)(0)xxexexexxexexe).1122nn1122nn则可以断言:xx()k||||X(0)xx()k||||X(0)(in1,2,,).ii()k(0)n由此便可以证明本题的结论,即如果我们假设有{y}Xy,X并且在基底{}ek1ii1的意义下表示为()k()k()k()kyyeyeye1122nn,(0)(0)(0)(0)yyeyeye),1122nn则yy()k||||X(0)yy()kw(0).()kw(0)[充分性()]设yy.根据Hahn-Banach定理,对于每一个in1,2,,,存在泛函fX*,使得i1,ijfe()jiij0,ij.根据弱收敛的定义,对于每一个fX*()k(0)fy()fy(),尤其是对于上面所取的f,(in1,2,,)我们有i()kk()(0)(0)fy()yfy()y,iiii()k()k(0)(0)即,序列{}y每一个坐标{}y收敛到y的相应的坐标y:k1ik1i()k(0)yy,(in1,2,,)iki33 因此,根据X中按范数收敛等价于按坐标收敛,就有yy()k||||X(0).[必要性()](结论是一般性的,即对于一般的赋范线性空间均有此性质)设yy()k||||X(0),则对于任意的fX*,当k时,均有()kk(0)()(0)|(fy)fy()||(fyy)|()k(0)||f||||yy||0,XX*即()k(0)fy()fy().()kw(0)因此,根据弱收敛的定义,知道yy.5．设X是Banach空间，TS,LX()，由TS0能否推出(1)T与S至少有一个为零?或(2)ST0?2答：(1)由TS0不能推出T与S至少有一个为零.反例如下:定义TS,L(R)分别为:2对于任意的(,)xyR,Txy(,)(,0),xSxy(,)(0,).y则容易验证,TS,都是上的线性算子,但TS,都不是零算子,而TSxy(,)T(0,)(0,0),y即TS0.1000(注:在标准基底下,TS,分别对应矩阵和,而映射TS,的复合映射TS对0001100000应于矩阵的乘法运算=)0001002(1)由TS0不能推出ST0.反例如下:定义TS,L(R)分别为:对于任意的2(,)xyR,Txy(,)(0,),ySxy(,)(,0).y34 则容易验证,TS,都是上的线性算子,且TS,都不是零算子,而TSxy(,)Ty(,0)(0,0),即TS0,但STxy(,)S(0,)(,0)yy,即ST0.(注意,也可以习题6为例.0000(注:在标准基底下,TS,分别对应于矩阵和,TS对应于矩阵乘法0110100000=;而映射T和S的复合映射ST对应于矩阵的乘法运算00100000100000=)1000100026．定义L([0,1])上算子TT,分别为121Tft()tft(),Tft()tsfsds(),1202试证TT,是L([0,1])上的有界线性算子,但T与T不可交换,即1212[,]TTTTTT0.1212212证：容易证明算子TT,都有意义,且是线性的.对于任意的fL([0,1]),由T的定义12112Tf11()L20Tfs()ds1122sfs()dsfs()dsfL2,00因此T1是有界的且T11.由T的定义212Tf22()L20Tfs()ds1122tsfs()dsfs()dsfL2,00因此T2是有界的且T21.注意到1112TTft()Ttsfsds()ttsfsds()tsfsds(),12100035 112TTft()Ttft[()]tssfsds()tsfsds(),21200因此1122(TTTTft)()tsfsdstsfsds()(),122100显然如果我们取ft()1,则1122(TTTTft)()tsdstsds122100112tt0.231注:Tft()tft()是乘法算子,而Tft()tsfsds()是以Kst(,)st为核的积分算子.12027．设L([0,1])，定义L([0,1])上的算子M为Mff,试证M有界线性算子,并求M的范数.证：因为L([0,1]),其范数定义中的下确界可以达到,即存在零测集E[0,1],使0得:infsup|()|ttsup|()|.LE[0,1]t[0,1]Et[0,1]E0mE0222(i)算子M:LL([0,1])([0,1])有意义.这也只需证明对于fL([0,1]),2MffL([0,1])即可.事实上,容易得知Mff是可测函数,且12M()fMfs()dsL2012()()sfsds022()sfs()ds[0,1]E022fs()sup()sds[0,1]E0sE[0,1]0122Lfs()ds0f2,LL2由此得知MffL([0,1]).2(ii)M是线性的.事实上，对于fg,L([0,1])以及任意的数a和b，36 Maf(bg)[afbg]afbgaM()fbM().g所以M是线性算子.(iii)ML2对于任意的fL([0,1]),由M的定义12M()fMfs()dsL2012()()sfsds022()sfs()ds[0,1]E022fs()sup()sds[0,1]E0sE[0,1]0122Lfs()ds0f2,LL因此M是有界的且ML.反之,我们要证明ML.不失一般性,可假设L0.因为L范数中的下确界可以达到,不妨设有零测集E[0,1],使得0sup|()|t.LtE[0,1]对于任意的0L,由上确界的定义,存在正测度的子集EE[0,1],使得()t,tE.L(若不然,使得()tL的点tE所组成的集合E是零测集,在([0,1]EE0)上恒有()t,此与的定义相矛盾).定义LL1,,tEft()mE0,tE[0,1].2则ft()L([0,1])且37 2121||f||L20ftdt()Edt1.mE根据算子范数的性质,我们可以得到||M||||f||||L2M||||Mf()||L2||f||L2221()tdtEmE221E()tLdtmE21()tLEdtmE()t.L鉴于的任意性,我们最终得到ML.28．定义l上的算子S为Sxx(,,,,)(0,,,xxx,,)x.12nn12试证S有左逆,但无右逆.证：(i)S的左逆算子是左位移算子T:Txx(,,,,)x(,,xx,,)x.12nn232事实上,对于任意的x(,,xx,x,)l,12nTSx()TSxx(,,,x,)12nT(0,,xx,,x,)12n(,xx,,x,)12nxIx().即TSI,因此S有左逆算子为T.(ii)因为S不是满射,因此S无右逆算子.若不然,设S存在右逆算子是T,则STI.但是,对于例如2yl(1,0,0,,0,),记Ty()(,yy,,y,),则12n38 STy()Syy(,,,y,)12n(0,,yy,,y,)12n(1,0,,0,)y.由此产生的矛盾表明STI是不可能的.d19．试证微分算子T:C([0,1])C([0,1])有右逆,但无左逆.dtdt证：(i)T的右逆算子是积分算子P:即对于任意的xt()C([0,1])dt0tPx()x()d.0显然TPI,因为对于任意的xt()C([0,1])C([0,1])tTPx()Tx()d0dtxd()dt0xt().(ii)因为T不是单射,因此T无左逆算子.若不然,设T存在左逆算子是Q,则1QTI1.但是,对于例如xt()1C([0,1]),有C([0,1])dQT(1)Q(1)Q(0)0dt(线性算子将零元映射为零元).由此产生的矛盾表明QTI1是不可能的.C([0,1])10．设X是Banach空间,X是X的线性闭子空间.映射:/XXX定义为00:xx[](xX),试证:是开映射.证：已知商空间(XX/,||||)是赋范线性空间(见上一章第九题),其中范数定义为00||[]||xinf||xy||.0yX0根据同态定理,自然映射:/XXX是满射,因此根据Banach开映射定理,只要能证0明(XX/,||||)是Banach空间,则:xx[]是开映射.00如下证明商空间的范数||||是完备的.设{[]}x是含于XX/中在范数||||意义下0nn10039 的Cauchy列,即||[x][]||||[xxx]||0,当mn,.mn00mn(i){[]}x包含一个子列使得{}x所对应的子列成为X中的Cauchy列.事实上,因为nn1nn1{[]}x是Cauchy列,由此得知存在一个正整数的子列{}n,满足nn1kk1nnn,12k且k||[x][x]||||[xx]||2.nk11nk00nknk对于每一个k1,2,,根据下确界的定义,存在yX,使得(不失一般性,可设y0)k0112||(xy)(xy)||||[xx]||.nk11k10nkknknk22kk由此我们断言{}xy是X中的Cauchy列,因为对于任意的正整数pnkkk1||(xy)(xy)||nkpkpnkk||(xy)(xy)(xy)nkpkpnkp11kp11nkpkp(xy)(xy)||nkk1k1nk||(xy)(xy)||nkpkpnkp1kp1||(xy)(xy)||nkk1k1nk222kp12kpk2221122kp4.2k1k212(ii)既然{}xynkkk1是X中的Cauchy列,因此存在某个xX0,使得当k时||||xyx.nkk0进而,当k时||[xx]||inf||xxy||||xyx||0,nk00yXnk0nkk00即[xx]||||0[].nk040 (iii)Cauchy列{[]}x有一个子列{[x]}收敛,则其自身必是收敛的,即nn1nkk1[xx]||||0[],n0即得||||是完备的,所以(XX/,||||)是Banach空间.00018有界线性算子与闭算子有什么关系？解：设XY,是赋范线性空间,TDT:()XY是线性算子.(i)如果TLDTY((),)并且DT()是X的闭子空间,则TCDTY((),),即T是闭线性算子.证明:设{}xDT()且nn1xx||||X,n0Tx||||Yy.n0因为DT()是X的闭子空间,故xDT(),利用TLDTY((),),即T是连续的,有0Tx||||YTx().n0根据极限的唯一性,得到yTx(),因此T是闭算子.00(ii)(闭图像定理)如果XY,是Banach空间,T是闭算子,并且DT()X,则TLXY(,).d(iii)闭算子TCDTY((),)可以是无界算子,例如微分算子T:,其中dtX:Cab[,],1DT():Cab[,],YX:Cab[,].dd则T:CDTY((),),但T本身是无界算子.dtdt19．设X是线性赋范空间，{}x是X中线性无关的序列.试证,存在一列{}fX,nn1nn1使得||f||1且n1,nk,fx()nknk0,nk.41 证：记MSpan{,,xxx,x,},则M是X的闭子空间,且xM.根据n12n1n1nnnHahn-Banach延拓定理(参见47页推论2)知,存在fX使得nf|0,且||f||1/dist(,xM),fx()1.nMnnnnnn因此显然有1,nk,fx()nknk0,nk.或(参见47页推论2后面的注)存在fX使得nf|0,且||f||1,fx()dist(,xM).nMnnnnnnxn如果定义y=,则显然{}y仍然是线性无关的,且nnn1dist(,xM)nnx1nfy()ffx()1.nnndist(,xM)dist(,xM)nnnn因此也显然有1,nk,fy()nknk0,nk.1120.设t(,)ab,定义Cab[,]上的泛函为Ff()ft(),证明FCab[,]*.0011证明：显然Ff()ft()对于任意的fCab[,]都有意义,因此F是Cab[,]上的一个01泛函.又对于任意的fgCab,[,]和任意的数,,容易验证：F(fg)(fgt)()0ft()gt()00Ff()Fg(),1因此F是Cab[,]上的一个线性泛函.进而Ff()|ft()|0max|ft()|t[,]abmax|()|ftmax|ft()|||f||1.t[,]abt[,]abCab[,]11由此可以得知,线性影射F是Cab[,]上的一个有界线性泛函,即FCab[,]*,且||F||1.42 121.设序列{}a使得对于任意xl{},a收敛,试证nnnnn1(1){}(,aa,a)l;nn11(2)记fx()f({})nann,则fl()*,且n1||fa||sup||.nn11解：记ll中的范数为||||x|k|.进而可知k1(,l)是Banach空间.(i)考虑由(,,aa,a,)的前有限项所组成的l中的点列:12n(,0,a,0,),(,,0,aa,0,),,112(,,aa,,0,),.a(n1,2,,)12n1其中的每一个可以视为只有有限个分量不为零的无穷维向量,当然属于ll.对应于每一个这样的向量我们定义一个对应的l上的泛函如下:nTxn()akk,k1其中xl(,,),(n1,2,).1n(ii)不难证明Tl:R是线性泛函(证明略);n(iii)可断言T是有界的泛函,事实上我们有nnn|Txn()||kak|sup|ak||k|kk111knsup|ak||k|sup|ak|||||.x11knk1kn即Tl:R是有界线性泛函,且n||Ta||sup||,(n1,2,.)nk1kn(iv)对于每一个固定的n，(n1,2,),我们断言:43 ||Ta||sup||.nk1kn事实上,不妨设(,,aa,,0,)a0且12nsup|aa|||(对于某个1kn).kk001kn可取一个特殊的xl(,,,,0,),其中的每一个分量按照下面的形式定义:12nsgnakkk00,(kn1,2,,),k0kk0且对于kn，定义0.不难计算k||||xa|kk||sgn|1.0k1进而根据Tx()的定义,可以得到n||T||||T||||||xTx()nnnnkakk0ak0|ak0|sup|ak|.k11kn(v)考虑l上的有界线性泛函族:{}Tnn1.对于每一个,由所给的条件,级数nna的收n1n敛性蕴涵数列{()}Txnkak当n时是收敛的,故{()|Txnn1,2,}是有界k1n1集:nsup|Txn()|supkak.(点点有界)nn11k11因此根据一致有界原理(这里我们利用了事实：ll和R都是Banach空间),我们知道{}T是一致有界的,即nn1sup|n|supsup|aTk|sup||n||.n1n11knn1(2)由所给的定义:对于任意的xl(,1,,)n,级数ann均收敛,由此知道上n11面所定义的泛函fx()f({})nann有意义,因此fx()确实是l上的泛函.对于任n144 p意的yl(,1,,)n,fy()ann也收敛,根据收敛级数的性质,我们有n1fx()fy()annannnn11an(nn)f(xy).n1此即表明fx()具有线性性质.进而,我们有|()|fxkkak1|akk|||k1|kk|sup|a|k1n1sup|akk|||n1k1sup|axk|||||.l1n1此即表明f是有界的，且||fa||sup||.kn1sgnakk1k00反之,仿照(1),选取xl{,,,,0,},,12nk0kk0(kn1,2,,),且对于kn，定义0.不难计算k||||xa|kk||sgn|1.0k1进而,||f||||f||||||xpfx()lnkakk0ak0|ak0|sup|ak|.k11kn注意到n的任意性,我们立即得到||fa||sup||.k1k45 综上可得||f||sup|akn||||(,a1,a)||l.1k121.设序列{}a使得对于任意xl{},a收敛,试证nnnnn1(1){}al;n1(2)记fx()f({})nann,则fl()*,且n1||fa||sup||.nn11解：记ll中的范数为||||x|k|.进而可知k1(,l)是Banach空间.(1){}al[解法二]n不用一致有界原理的反证法:设题目的条件满足但结论不成立,即{}al,因此nsup|a|.nn1故对于每一个k1,2,,存在n,满足knnn,kk11且||ak.nk2现在定义一个特殊的xl(,1,,)n为:其第nk个分量nk定义为nnkksgnak/,其余的分量为零,即nn12nksgnaasgnsgnax(0,,0,nn12,0,,0,,0,0,nk,0,)1则容易知道xl因为正项级0222012k1数2收敛.但k1k||ak2nkannkk22,k1k1kkk11此与条件”对于任意xl{}n,ann收敛”相矛盾.n146 (注记.解法二实际上用到了共鸣定理,即一列泛函{}T----见解法一的定义----不是一致nn1有界的,则必有一个共鸣点x,上述的证明实际上是找出了具体的共鸣点x)00(2)由所给的定义:对于任意的xl(,,,),级数a均收敛,由此知道上1nnnn11面所定义的泛函fx()f({})nann有意义,因此fx()确实是l上的泛函.对于任n1p意的yl(,1,,)n,fy()ann也收敛,根据收敛级数的性质,我们有n1fx()fy()annannnn11an(nn)f(xy).n1此即表明fx()具有线性性质.进而,我们有|()|fxkkak1|akk|||k1|kk|sup|a|k1n1sup|akk|||n1k1sup|axk|||||.l1n1此即表明f是有界的，且||fa||sup||.kn1sgnakk1k00反之,仿照(1),选取xl{,,,,0,},,12nk0kk0(kn1,2,,),且对于kn，定义0.不难计算k||||xa|kk||sgn|1.0k147 进而,||f||||f||||||xpfx()lnkakk0ak0|ak0|sup|ak|.k11kn注意到n的任意性,我们立即得到||fa||sup||.k1k综上可得||f||sup|akn||||(,a1,a)||l.1k11p22.设1p且1，若序列{}an使得对于任意xl{}n,ann均收敛,pqn1试证q(1){}al;np(2)记fx()f({})nann,则fl()*,且n11/qq||fa|||n|.n1qyl{},这里.np解：(1)(i)考虑由(,,aa,a,)的前有限项所组成的l中的点列:12n(,0,a,0,),(,,0,aa,0,),,112(,,aa,,0,),.a(n1,2,,).12nq其中的每一个可以视为只有有限个分量不为零的无穷维向量,当然属于l(1q).对p其中的每一个无穷维向量,我们定义一个对应的l上的泛函如下:nTxn()akk,k1其中xl(,,),(n1,2,)1np(ii)不难证明Tl:R是线性泛函;n(iii)由Holder不等式,我们有48 11nnpqnpq|Txn()||kak||k||ak|k1k1k1,111pnnqqpqq|k||ak||ak|||||xlpk1k1k1p即Tl:R是有界线性泛函,且n1nqq||Tank||||,(n1,2,.)k1(iv)对于每一个固定的n，(n1,2,),我们断言:1nqq||Tank||||.k1p事实上,不妨设(,,aa,,0,)a.可取一个特殊的xl(,,,,0,),12n12n其中的每一个分量按照下面的形式定义:1qnpqpk|ak||ak|sgnak,(kn1,2,,).k1不难计算(这里用到了pqpq和1/qpq.)1nnnppqq||||xlp|k||ak||ak|1.k1k1k1进而根据Tx()的定义,我们不难得到n||Tn||||Tn||||||xlpTxn()1qnnpnqpkak|ak||ak||ak|k1k1k11nqq|ak|.k1pp(v)考虑l上的有界线性泛函族:{}T.对于每一个xl{},由所给的条件,级数nn1nnnna的收敛性蕴涵数列{()}Txnkak当n时是收敛的,故n1k1n1{()|Txn1,2,}是有界集:nnsup|Txn()|supkak.nn11k149 因此根据一致有界原理(试确定这里用到了哪些Banach空间),我们知道{}T是一致有界nn1的,即sup||T||.nn1因而可以得到11qqnqq|aank|lim||nnk11lim||TT||sup||||,nnnn1q此即表明:y{}al.np(2)由所给定义:对于任意xl{}n,ann均收敛,由此知道上面所定义的n1ppfx()f({})nann有意义,因此fx()是l上的泛函.对于任意的yl{}n,n1fy()ann也收敛,根据收敛级数的性质,我们有n1fx()fy()annannnn11an(nn)f(xy).n1此即表明fx()具有线性性质.由Holder不等式,我们有n|()|fxkaklimkaknkk1111nnpqpqlim|kk||a|nkk1111pqpq|kk||a|kk111qq|axk|||||.lpk1此即表明1qq||fa|||k|.k150 p反之,仿照(1),选取xl{,,,,0,},其中的每一个分量按照下面的形式定义:12n1qnpqpk|ak||ak|sgnak,(kn1,2,,).k1则1nnnppqq||||xlp|k||ak||ak|1.k1k1k1进而,||f||||f||||||xpfx()l1qnnpnqpkak|ak||ak||ak|k1k1k11nqq|ak|,k1注意到n的任意性,我们立即得到1qq||fa|||k|k123.设X是Banach空间,M是X的闭子空间,试证:xM,当且仅当对任意的0fX*,只要f|0M必有fx()00.证：(必要性)对于任意的fX*,如果f|0,则对于xM,当然有fx()0.M00(充分性)设题目中的条件成立,即对任意的fX*,只要f|0必有fx()0.我们M0用反证法证明所需证结论,即假设xM,因为M是X的闭子空间,由Hahn-Banach泛0函延拓定理(见课本47页推论2),存在fX*满足:f|0且fx()1.此与所给定M0的条件相矛盾,因此必有xM.036.设X是Banach空间,xX,若对任意fX*,有fx()0,试证x0.证：用反证法.如果x0,由Hahn-Banach泛函延拓定理(见课本47页推论1),存在fX*满足:||f||1且fx()||||0x.此与所给定的条件相矛盾,因此必有x0.补充题.设X是赋范线性空间,xX,证明x0的充分必要条件是对任意fX*,有fx()0.51 证：(必要性)设x0,则对于任意的fX*,因为f是线性泛函,故将零元映射为零,即fx()f(0)0.(充分性)用反证法,设条件满足,即对任意fX*,有fx()0,如果x0,由Hahn-Banach泛函延拓定理(见课本47页推论1),存在fX*满足:||f||1且fx()||||0x.此与所给定的条件相矛盾,因此必有x0.n229．设R是开集,Kst(,)L().定义2Tfs()Kstftdt(,)()，ft()L()2试证TLL(()).证明：可以证明2Tfs()Kstftdt(,)()L(),因此22TL:()L()是映射.222(1)TL:()L()是线性的，因为对于任意的ftgt(),()L()，对于任意的数,KRC()，利用积分的线性性质，我们有T(fgt)()Kst(,)[ft()gtdt()]Kstftdt(,)()Kstgtdt(,)()[Tf()Tg()]()t，即得T()fgTf()Tg().22所以TL:()L()是线性映射.222(2)TL:()L()是有界的，因为对于任意的ft()L()，根据Lebesgue积分的Holder不等式，我们有52 22Tf()L2()Kstftdtds(,)()2|(,)()|Kstftdtds222|(,)|Kstdt|()|ftdtds22|(,)|Kstdt|()|ftdtds22|(,)|Kstdtds|()|ftdt22|(,)|Kstdtds|()|ftdt22|(,)|KstdtdsfL2().两边开平方可以得到Tf()2Mf2，L()L()其中2M|(,)|Kstdtds2是有限数，因为由所给条件知Kst(,)L().22由此可以得知TL:()L()是有界算子，即2TLL(())，且2TM|(,)|Kstdtds231．在L([,])上定义泛函f为nint2fxn()xtedt()，xL([,])试证:f弱收敛到0.nint2证明：因为ecosntisinnt，所以只需证明：对于任意的xL([,])53 xt()sinntdt0,n.2注意到由[,]上所有阶梯函数所构成的集合K是L([,])的稠密子集，即2KL([,])，因此根据Banach-Steinhaus定理的推论，这也只需再证明：2(i){sin}nt是L([,])中的有界集；n1(ii)xt()sinntdt0,（n）xK.第一点的证明是显然的，因为22sinntL2[,]|sinnt|dt1.对于第二点，可证明如下：当xK时，xt()是阶梯函数，因此可以表示为kxt()CjE()t，jj1其中C是常数E是[,]中的可测集，且jjk[,]E；jj1E()t是可测集Ej上的集特征函数，即j1,tE,j():tEj0,tE.j由此可以得到kxt()sinntdtCjE()sintntdtjj1kCjE()sintntdt.jj1因此也只需再证明，对于jk1,2,,，成立Ej()sintntdt0，n.但这是显然的，因为54 ()sintntdt|()sintntdt|EEjj|()sintntdt|Ej|sinntdt|2sinntdt02cosnt0，当n.0n注.本题的结论，即是数学分析中Fourier级数部分的一个著名结果-----“Riemann引理”。32.设X是Banach空间,试问(1)X*中的弱收敛与弱*收敛是什么关系？(2)若X是自反空间，在这样的空间中，弱收敛与弱*收敛是什么关系？解答：(1)X*中的弱收敛蕴含弱*收敛.即若{}fX*,fX*且kk1wff,k则对于任意的FX**Ff()Ff().k尤其是对于每一个xX,我们有xX****,因此x**()fx**()f,k即等价地有fx()fx(),xX.k此即表明w*ff.k即,在X*空间中,弱收敛蕴含弱*收敛.(2)若X是自反空间，则弱收敛与弱*收敛是等价的,因为此时,XX**,上面的Ff()Ff(),FX**k等价于fx()fx(),xX.k55 即ww*ffff.kk33.设X是有限维线性空间,则X中的的弱收敛与范数收敛是什么关系？解答：当X是有限维线性赋范空间时,X中的的弱收敛与范数收敛是等价的.(详见第4题)39.设XY,是Banach空间，TLXY(,).对于任意的xX及fY*,fTx()是nn有界数列,试证{||T||}有界.n证明：对于任意取定的xX,将Tx视为Y*上的一列有界线性泛函,即nTxnn1Y**,由所给条件,知对于所有的fY*,**supTxnn()fsup|(fTx)|,nn11**即Tx对每一个fY*是有界的.根据一致有界性定理(即共鸣定理)知道n**sup||Txn||Y**sup||Txn||Y.nn11因此xX是任意的,上式恰好说明{}T是点点有界的,因此再一次利用共鸣定理知nn1sup||T||.nLXY(,)n1有界算子范数求法总结设(,X)和(,Y)是赋范线性空间,TX:Y是有界线性算子,即XYTLXY(,).为求出算子T的范数TT,LXY(,)(i)估计出最小的M0,使得对于所有的xX,都有TxMx,YX则可以得到TTM;LXY(,)(ii)找一个特定的xX,使得0x1,且TxM,0X0X则可以得到TTxTxM.00XY56 综合以上两点,即得TM.注（一）为找到特定的xX，当X是函数空间时，可选择xX是符号函数，例如00当XCab[,]时，10txsgnt0t001t0.再适当地连续性连接；当X是无穷维向量空间时，可选取ixx(0,0,0,sgn,0,)；0（二）如果在证明第(ii)点时不容易找到满足所述条件的特定的xX,可以考虑用一0列特定的xX加以逼近M.k例．记XCab[,].考虑区间[,]ab的一个分划：attttb.01nn1AA,,,A是任意取定的n1个常数，定义fX:R为：对于任意的xCab[,]01nnfx():Axtkk().k0*则，fCab[,]且nfAk.k01证明：容易证明fX:R是映射并且是线性的.对于任意的xXCab[,],nfx()Axtkk()k0nn|Ak||()|xtk|Ak|max|()|xttab[,]kk00n||AxkCab[,].k057 n因此知道f是有界的,且||fA|||k|.k0n反之,要证明||fA|||k|.事实上,我们可以取特殊的x0XCab[,]如下:k0sgnA,ttk,0,1,,,nkkxt()0线性连接,t[,]{,,abtt,}.t01n则容易知道xCab[,]，并且0||x0||Cab1[,]1.易算出nnnfx()00Axtk()kAksgnAk|Ak|.k0k0k0由此得到nffx00Cab[,]fx()|Ak|.k0综上可得nfAk.k0补充题1．22设y(,yy,,y,)l.定义Kl:l为,12k2对于任意的x(,,xx,x,)l12kKx():(xyxy,,,xy,).1122kk22求证KLll(,),并求算子范数K证.(i)K是由l到l的映射(证略,或可见下面的(iii));(ii)K是线性的(证略);22(iii)K是有界的:对于任意的x(,,xx,x,)l,利用l中范数的定义,可以得到12k2||()||Kxl2|yxkk|n122sup|yxkk|||k1k158 2=sup|yxkk|||k1k1||||||||yx2,ll因此得到K是有界的，并且||K||||||ylsup|yk|.k1(iv)只需再证||K||||||ylsup|yk|.事实上,对于任意一个固定的正整数i0可取k1i0x()i0(0,0,0,1,0,),则显然xl()i02,且||x()i0||1.利用算子范数的性质,可以得到2l||K||||K||||x()i0||2l||(Kx()i0)||2l()i0(0,0,0,y1,0,)i02l|y|.i0既然i是任意的,因此0||K||sup|yin|sup|y|||||yl.0ik011综上即得所欲求:||K||=||||ylsup|yk|.k1补充题2．1d记XCab[,]，YCab[,].定义D:XY为微分算子.dt(i)证明||D||1.d(ii)解释:D将有界集{sinnt}映射为无界集{ncosnt}.n1n1dtd1解：(i)容易证明D:Cab[,]Cab[,]是映射并且是线性的.对于任意的dt1xXCab[,],59 d||Dx||xt()Cab[,]dtCab[,]max|()|xtxt[,]abCab[,]max|()|max|()|xtxtx1.tab[,]tab[,]Cab[,]d因此知道D:XY是有界的,且||D||1.dt1反之,我们要证明||D||1.事实上,我们可以取特殊的xXCab[,]如下:1xt()t,1这里,是小于1的正数,并且不失一般性假设0ab.则显然xt()tCab1[,]且容易算出11d||xt()||max|t|maxtCab1[,]tab[,]tab[,]dt111111bmax|t|bbtab[,]因此111bb||D||||xt()||||D||Cab1[,]1||()||Dx||(dt)||Cab[,]dtCab[,]111111||t||max|t|b.Cab[,]tab[,]由此得到11b1||D||.111b1bb又因为可以是任意小的正数,因此||D||1.解法二:对于k1,2,设ktxxt()e.kk1则xCab[,].容易算出kktdkt||xtk()||Cab1[,]max|e|maxetab[,]tab[,]dt60 ktktkt||e||max|ke|(1k)||e||,Cab[,]Cab[,]tab[,]其中ktktbt||e||maxeeCab[,]tab[,]因此kt1k||e||Cab[,]||D||||xtk()||Cab1[,]||D||dkt||()||Dx||(e)||kCab[,]dtCab[,]ktkb||ke||ke.Cab[,]由此得到ktke||||kCab[,]||D||.kt(1k)||e||k1Cab[,]又因为k可以是任意大的正整数,因此||D||1.d(ii)解释:D:XY是有界算子,因此必将有界集映射为有界集.进而注意到dt1d{sinnt}并不是XCab[,]中的有界集,因此“D将有界集{sinnt}映射为n1n1dtdd无界集{ncosnt}”是指D视为由Cab[,]到YCab[,]的算子(此时D的n1dtdt1定义域选为DD()Cab[,]).在这种情况下,{sinnt}和{ncosnt}分别是n1n1Cab[,]中的有界集和无界集,而{sinnt}其实是Cab[,]中的无界集.n1注:也可解释为:d1,dtLCabCab(1[,],[,])d.dtLCabCab([,],[,])即d1:Cab[,]Cab[,]dt是有界线性算子;而d:[,]CabCab[,]dt61 d1是无界线性算子(此时RCab[,]).dt补充内容．(习题30)2在C([,])或L([,])上定义算子T为ntsin(2n2)12Tft():f()d,nt2sin2试计算T.n解：以C([,])为例(i)补充定义Kt(,)为ntsin(2n2)12,,ttKt(,):2sinn2n1,.t则Kt(,)是[,][,]上的连续函数,因此T以Kt(,)为核的积分算子,即nnnT:CC[,][,]是映射并且是线性的.n对于任意的fC[,],||Tf||f()K(,)tdnC[,]nC[,]tsin(2n2)12maxfd()t[,]t2sin2tsin(2n2)12maxfd()t[,]t2sin2tsin(2n2)12maxdfmax()t[,]t[,]2sin2Mf,nC[,]62 tsin(2n2)12其中Mdmax.nt[,]t2sin2因此知道T是有界线性算子,且有界的,且||TM||.nnn(ii)反之,我们要证明||TM||.nn(补充题)设(,||||)X是赋范线性空间,A是X的一个闭真子空间,证明A是疏朗集.X[证法一]：如若不然，设A是X一个真闭子空间，但A不是疏朗集.因此AA，即存在某个xA，0使得0Sx(,)A.0注意到A是线性子空间，因此对于k1,2,，也有kSx(,)Sxk(,)A.00故XSxk(,)A.0k1此与A是X的真子空间相矛盾。[证法二]：因为A是X一个真闭子空间，故存在某个xXA并且0dist(,)xA0.0由此可以断言:对于每一个yA,y都不可能是A的内点.00事实上,考虑y和x连线00{ztx(1ty)|0t1}t00上的点zt,容易看出除非t0,必有zAt.因为如果对于某个01t,使得zAt,则ztx(1ty)A,t00根据线性空间的封闭性,知63 (1ty)z0t,xA0t此与xXA相矛盾.0鉴于{ztx(1ty)|0t1}A,所以y不可能是A的内点.又yAt0000是任意的,故AA无内点,因此是疏朗集.定义3设(,(,))H是内积空间,xy,H,如果(,)xy0,则称xy,为相互直交的,记为xy.特别地,若x与y是相互直交的单位向量,即||||||||1xy,则称它们是正规直交向量,简称为正交向量.命题(Pythagoras定理)设(,(,))H是内积空间,xy,H,如果xy,则222||xy||||||x||||y.一般地,若有限个向量xx,,x两两相互直交,则12n2222||xxx||||x||||x||++||||x.12nn12定义4设(,(,))H是内积空间,MH是相互正交的点集(即对任意xy,M,||||||||1xy,且若xy,有(,)xy0),通常称M为H中的正规直交集,简称为正交集.若M中不存在与H中每个向量都直交的非零向量,则称M为H的完备正交集.引理1(Bessel不等式)设(,(,))H是内积空间,若M={e|}是H中的正交集,则对任意xH,有22|(,xe)|||||x.(h)定义5设Me{|}是内积空间(,(,))H中的正交集,若对任意的xH,有x(,xee),则称M为H的一个正交基,其中{(,)|xe}称为x关于基M的Fourier系数.64 注记(i)定义中所出现的和式表示只对至多可数个非零项求和，且级数按由内积导出的范数收敛;(ii)进而当内积空间还是Hilbert空间时，成立222x(,xee)||||x|(,xe)|.(j)定理6(正交基的判别法则)设(,(,))H是Hilbert空间,M={e|}是正规直交集，则下列各断言等价：(1)M是正交基，即对每一个xH,x(,xee);(2)M是完备的，即H中不存在与M垂直的非零向量；(3)Parseval等式成立，即对于任意的xH,则22||||x|(,xe)|.定理7(正交基的存在性)每个非零的Hilbert空间都有正交基.定义(可分性)距离空间称为是可分的，如果该距离空间存在可数的稠密子集.定理8(正交基的存在性)如果H是可分的Hilbert空间，则H有一个可数的正交基.定理1(Cauchy-Schwarz不等式)设(,(,))X是内积空间,则对于任意的xy,X,有|(,)|xy(,)(,)xxyy.定理2(内积导出的范数)设(,(,))X是内积空间,对于任意的xX,定义||||:xxx(,).则(,||||)X是线性赋范空间,||||称为由内积(,)诱导出的范数.内积诱导出的范数具有性质:2||xy||(,)(,)(,)(,)xxxyyxyy,(b)2||xy||(,)(,)(,)(,)xxxyyxyy,(c)65 2||xiy||(,)xxixy(,)iyx(,)(,)yy,(d)2||xiy||(,)xxixy(,)iyx(,)(,)yy.(e)定理3(极化恒等式)设(,(,))X是内积空间,则对于任意的xy,X,有122(,)xy||xy||||xy||(当K时);(f’)4或12222(,)xy||xy||||xy||ixiy||||ixiy||||4(当K时).(f)其中||||是由内积(,)导出的范数,即||||:x(,)xx.定理4(范数和内积的关系)设(,||||)X是线性赋范空间,则(,||||)X可以赋予内积的充分必要条件为范数||||满足平行四边形法则:2222||xy||||xy||2||||x2||||y.(g)当范数||||满足平行四边形法则时,可以定义122(,)xy||xy||||xy||(当K时);4或12222(,)xy||xy||||xy||ixiy||||ixiy||||4(当K时).进而,此时原范数||||还是由内积(,)导出的范数.定义2完备的内积空间称为Hilbert空间.即设(,(,))X是内积空间,如果(,||||)X是完备的线性赋范空间,则称内积空间(,(,))X为Hilbert空间,其中||||是由内积(,)导出的范数.定理5设(,(,))H是内积空间,则H按范数||||(,)的完备化空间是Hilbert空间.定义3设(,(,))H是内积空间,xy,H,如果(,)xy0,则称xy,为相互直交的,记为xy.特别地,若x与y是相互直交的单位向量,即||||||||1xy,则称它们是正规66 直交向量,简称为正交向量.命题(Pythagoras定理)设(,(,))H是内积空间,xy,H,如果xy,则222||xy||||||x||||y.一般地,若有限个向量xx,,x两两相互直交,则12n2222||xxx||||x||||x||++||||x.12nn12定义4设(,(,))H是内积空间,MH是相互正交的点集(即对任意xy,M,||||||||1xy,且若xy,有(,)xy0),通常称M为H中的正规直交集,简称为正交集.若M中不存在与H中每个向量都直交的非零向量,则称M为H的完备正交集.引理1(Bessel不等式)设(,(,))H是内积空间,若M={e|}是H中的正交集,则对任意xH,有22|(,xe)|||||x.(h)补充作业p证明l(1p)中的三角不等式(Minkowski不等式):||xy||||||x||||y,ppp其中p||||:xxp||,pkk1px(,,xx,,),xy(,yy,,y,)l.12kk12证：当p1时,不等式显然成立,以下不妨设1p,并记qpp/(1).对于pqx(,)xl和y(,)yl,不失一般性,设11pq||||xpq|x|0,||||y|y|0.pkqkkk1167 在不等式11pqababpq中取||x||ykka,b,||||x||||ypq则可得,(k1,2,)pq|x||y|1|x|1|y|kkkk.pq||||||||xypx||||qy||||pqpq对k求有限和:NNpqN|x||y|1|x|1|y|kkkkpqk1||||||||xpyqpk1||||xpqk1||||yqNN11pq=pq|xykk|||px||||pqkk11qy||||11pqpq|xykk|||px||||pqkk11qy||||111.pq令N,可得|xy|||kk1,k1||||||||xypq整理可得(无穷和的Holder不等式)|xk||yk|||||xp||||yq.k1pq此即表明:对于x(,)xl,y(,)yl,111xy:(xyxy,,,xy,)l,1122kk并且||xy||||||x||||y.1pqp以下设x(,x,,),xy(,y,y,)l,记11kkppqqq1z(|xy|,,|xy|,),则容易看出zl.由上述的结果知道xzyzl,且11kk68 pq||xz||1|xk||xkyk|k1pqpqqp|x||xy|kkkkk11pq/||||||xxy||,pp同理pqpq/||yz||1|yk||xkyk|||||||ypxy||p.k1由此可以得到pp1||xy||p|xkyk||xkyk|k1pq/|xkyk||xkyk|k1pq//pq|xk||xkyk||yk||xkyk|kk11pq//pq||||||xxy||||||||yxy||pppp进而如果||xy||0所欲证明的不等式显然成立,故不妨设ppp||xy||p|xkyk|0,则由上式得k1ppq/||xy||||||xy||||,ppp其中ppq/1,由此得所欲求.泛函分析第一章部分补充内容1.证明LE()的“本性上确界”定义中的下确界可以达到,即对于fx()LE(),存在E中的零测集E,使得0||f||infsup|()|fxEE0xEEmE00sup|()|.fxxEE证明:由下确界的定义,对于1/k(k1,2,),存在零测集EE,使得k1sup|()|||fxf||.xEEkk69 取EE0k.则EE0且仍是零测集(可数多个零测集的并仍是零测集).进而对每个k1k1,2,有EE0k,因而1sup|()|fxsup|()|||fxf||xEE\0xEEkk令k,即可得到sup|()|||fxf||.xEE另一方面,因为EE是零测集,因而0||f||sup|()|fx.xEE结合上述两个方面的结果,可以得到所需结论.2.证明LE()中的按距离收敛等价于函数列的几乎处处一致收敛.证明:设有点列{}fLE().kk0先设f按LE()中的距离收敛于f.因为“本性上确界”定义中的下确界可以达到（见上k0一题目）,则对于k1,2,,存在[,]ab中的零测集E,使得k||ff||infsup|xt()xt()|kk00FExEFmF0sup|fx()fx()|.k0xEEk取EE0k.则E0[,]ab且仍是零测集(可数多个零测集的并仍是零测集).进而对每个k1k1,2,有EE0k,因而当k时sup|fx()fx()|sup|fx()fx()|kk00xEE\0xEEk||fx()fx()||0k0即fx()在EE中一致收敛于fx()，故fx()在E中几乎处处一致收敛于fx()，因为k00k0mE0.0再设fx()在E中几乎处处一致收敛于fx().因此存在零测集EE使得当k时k0070 sup|fx()fx()|0.k0xEE因此||ff||sup|fx()fx()|0.kk00tabE[,]即fx()按LE()中的距离收敛于fx().k011当1p时,记q为p的相拌数,即共轭数,即q满足1.pq当p1时,可以认为q;当p时,可以认为p1.进而因为pqpq故q1q.ppl和l中的范数记分别记为(x{}(,,,,))nn112np||||xx||||:pp||;||||xx||||:sup||.pkllnk1n1qp命题2.设y{}(,,,,)l,定义:对任何xl,nn112nTx()nn.n1p则T是l上的有界线性泛函,且||||||||Tgq证明：情形一：1p.p(i)利用Holder不等式容易证明Tl:R是有意义的.p(ii)Tl:R是线性泛函(证略);(iii)由Holder不等式,我们有11pqpq|()|Tx|kk||k||k|||||||||xpyq,k1k1k1p即Tl:R是有界线性泛函,且||||||||Ty,(*)q(iv)我们再证明:||||||||Tyq.不失一般性，可设||||yq0.71 p取一个特殊的xl(,,,,),其中的每一个分量按照下面的形式定义:012n1qpp:||||y||sgn,(k1,2,,).kqkk不难计算(这里用到了pqpq和1/qpq.)ppqq||xy0||p|k|||||q|k|1.kk11进而根据Tx()的定义,我们不难得到||T||||T||||x||Tx()001qppkk||||yq|k||k|kk11||||.yq情形二：p1(即q).1(i)容易证明Tl:R是有意义的.1(ii)Tl:R是线性泛函(证略);(iii)我们有|()|Tx|nn|sup|n||n|||||||||yx1,nn11n11即Tl:R是有界线性泛函,且||||||||Ty.(iv)我们断言:||||||||Ty.不失一般性,可设||||y0.()i()i()i1()i取x(0,,0,sgn,0,),则显然xl且||x||1，因此有i1()ii()||||||||||TTx||1Tx()nnisgni|i|.n1而i是任意的自然数,因此得到:||||sup|T|.ii1情形三：p(此时q1).(i)易证Tl:R是有意义的.(ii)Tl:R是线性泛函(证略);(iii)对于xl,我们有72 |()|Tx|nn|sup|n||n|||||||||xy1,nn11n1即Tl:R是有界线性泛函,且||||||||Ty.1(iv)我们断言:||||||||Ty.不失一般性,可设||||y0.11取x(sgn,sgn,,sgn,),则显然xl且||x||1，因此有012n00||T||||T||||x0||Tx()0nnnsgnn|n|||||y1.n1n1n1以下设G是可测集,不失一般性,可设G[,]ab.11当1p时,记q为p的相拌数,即共轭数,即q满足1.pq当p1,可以认为q;当p,可以认为p1.q进而因为pqpq故1q.ppLG()和LG()中的范数记分别记为1bpp||f||||pf||LGp():a|()|fxdx;||f||||f||LG():infsup|()|EGfx.xGEmE0qp命题1.设g()LG(),定义:对任何fLG(),定义bTf()gxfxdx()().ap则T是LG()上的有界线性泛函,且bqq||||||||Tg|()|gxdxqa证明：情形一：1p.p(i)利用Holder不等式容易证明TLG:()R是有意义的.p(ii)TLG:()R是线性泛函(证略);73 (iii)由Holder不等式,我们有b|()|Tf|()()|fxgxdxa11bbpqpq|()|fxdx|()|gxdx,aa1bqq|()|gxdx||f||.pap即TLG:()R是有界线性泛函,且1bqq||||T|()|gxdx,a1bqbqq(iv)我们再证明:||||Ta|()|gxdx.不失一般性，可设a|()|gxdx0.取一个特殊的fx()如下:01qbpqpfx()|()|gxdx|()|sgn()gxgx.0a显然fx()是可测的,且不难计算0bpp||f|||fx()|dx00pappqbbpqp|()|gxdx|()|sgn()gxgxdxaa1bbqq|()|gxdx|()|gxdx1.aa进而根据Tf()的定义,我们可以得到b||T||||T||||f||Tf()fxgxdx()()0p00a1qbbqpp|()|gxdx|()|sgn()gxgxgxdx()aa1qbbp1qp|()|gxdx|()|gxdxaa1bbpqq|()|gxdx|()|gxdxaa111bbpqqqaa|()|gxdx|()|gxdx.74 情形二：p1(即q).1(i)利用Holder不等式容易证明TLG:()R是有意义的.(ii)TLG:()R是线性泛函(证略);(iii)既然gx()是本性有界的，记其在G上的本性上确界为||||ginfsup|()|gx.我们EGxGEmE0有bb|()|Tf|()()|fxgxdx||||g|()|fxdx,aap即TLG:()R是有界线性泛函,且||||||||Tg,(iv)我们断言:对于任意取定的q1成立,||||||||Tg.qbq不失一般性,可设|()|gxdx0.取一个特殊的fx()如下(其中pqpq):0a1/pbqqp/fx()|()|gxdx|()|gxsgn()gx.0a显然fx()仍是有界可测的,注意到0ppqbbppqp||f|||()|gxdx|()|sgn()gxgxdx0paa1bbqq|()|gxdx|()|gxdx1.aappp因为LG()LG()，因此T也是LG()上的泛函(作用方式仍然相同),并且T在LG()上n的算子范数不会超过T在LG()上的算子范数.故根据Tf()的定义得到b||T||||T||||f||Tf()fxgxdx()()0p00a1qbbqpp|()|gxdx|()|sgn()gxgxgxdx()aa1bqq|()|gxdx.a注意到q1的任意性和下述事实(可见参考文献)：1/qbqlim|()|gxdx||||,gqa75 最后我们得到||||gT||||.这一部分还有另外一种证法如下：我们断言:||||||||Tg.不失一般性,可设||||g0.任取0使得||||g0.记E{x[,]||()||||abgxg}.则mE0.再定义1sgn(),gxxEfx0()mE0,x[,]abE显然fx()是可测的,且01||f|||sgn()|gxdx1.01EmE而b||T||||T||||f||Tf()fxgxdx()()0100a1|()|gxdxmEE1(||g||)dxmEE||g||令0可以得到||||||||Tg.情形三：p(此时q1).(i)易证TLG:()R是有意义的.(ii)TLG:()R是线性泛函(证略);(iii)对于fx()Lab[,],我们有bb|()|Tf|()()|fxgxdx||f|||()|gxdx,aa即TLG:()R是有界线性泛函,且||||||||Tg,176 b(iv)我们断言:||||||||Tg.不失一般性,可设|gxdx()|0.取一特殊的fx()如下:1n0afx()sgn()gx.0显然fx()仍是有界可测的,注意到0||f||||sgn()||gx1.0根据Tf()的定义得到b||T||||T||||f||Tf()gxfxdx()()0p00abbgx()sgn()gxdx|()|gxdx.aa最后我们得到||||||||gT.177'