《金融数学》(第二版)习题参考答案(修订版).pdf 34页

'孟生旺《金融数学》（第二版）参考答案(2011.1.10修订)第1章利息的度量31.1600×2i=150⇒i=0.125，2000(1+i)=28481.2T/121/1218/121004vvvT=+⇒314271=141.61615i⎛⎞⎛⎞ii1.3A：(2)X=⋅iX，B：XX⎜⎜⎜⎜11+−+⎟⎟⎟⎟2⎜⎜⎝⎠⎝⎠22⎟⎟ii1615Xi[(1+−)(1+=)]⋅⇒Xi=0.0945822n27.72δ0.521.4e=⇒=2δ0.025，当i=δ时，(12)+δ=7.04⇒=n80-1/4×21.5100×(1－4×6%)=114.71mm−⎡⎤⎡⎤mmid()mm()11+=+id⎢⎥⎢⎥=−1=−1id⋅1.6⎢⎥⎢⎥⇒m==8⎣⎦⎣⎦mm()mm()id−t12t⎡t⎤t2/121.7A:at()=(1.01),B:at()=exp⎢∫dt⎥=e⎣06⎦212tt/12(1.01)=⇒et=144ln(1.01)1.43=n⎡⎤121.8A:at()=exp(abtt+)d=exp⎡an+bn⎤⎢⎥∫⎣2⎦⎣⎦012B:at()=exp⎡⎤gn+hn⎣⎦211222(ag−)an+=+bngnhn⇒=n22hb−5δ−8⎡⎤11.9at()100(1=−⋅)exp⎢⎥∫dt=⇒=260δ0.12941⎣⎦2+t12t21.10δ=,δ=，δδ=⇒+−=⇒=tt210t0.41AB2AB1+t1+t2−−121.11at()(1)=+t,at()(1)=+t−−−−1111300×+aaa(3)600×=×+(6)200(2)X×⇒a(5)X=315.8233−−10⎡⎤t.20251.12at(3)=−exp⎢⎥∫d=e.⎣⎦01000.1−10.051.13at()=1+0.1t⇒δ=,at()(10.5)=−t⇒δ=AtABtB10.1+t10.05−t1 δ=δ⇒t=5tAtB21.14设a(t)=at+bt+c，则a(0)=c=1，a(0.5)=0.25a+0.5b+c=1+2.5%，a(1)=a+b2+c=1+7%，故a=0.04,b=0.03，a(t)=0.04t+0.03t+1δ0.5=a"(0.5)/a(0.5)=（0.08*0.5+0.03）/(1+2.5%)=0.06829⎛⎞31.15A(3)=⋅100exp⎜⎜⎜∫tt2/100d⎟⎟⎟+=X109.42+X⎝⎠0⎛⎞6A(6)=+(109.42Xt)exp⋅⎜⎜∫2/100dt⎟⎟⎟=1.8776(109.42+X)⎝⎠3AA(6)−=(3)(109.42+X)(0.87761)=⇒=XX784.61⎛⎞31.16t=4时的累积值为：1000exp⎜⎜⎜∫0.02dtt⎟⎟⎟⋅=e0.0451144.54⎝⎠0x16设名义利率为x，则1000(1+=)1144.54⇒x=0.033884⎡⎤2⎡−1/2⎤⎢⎥⎛⎞(2)⎢⎛⎞(2)⎥()2(4)⎜⎟ii⎜⎟1.17i=0.075，δ+=++−dln1⎢⎥411⎢+⎥=0.1466⎜⎟22⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎝⎠⎥⎣⎦⎣⎦510⎛⎞⎛1⎞21.18exp⎜⎟⎜∫∫kttd⋅=expkttd⎟2.7183⇒k=0.41425⎝⎠⎝05⎠t⎡⎤2+tn1.19at()exp==⎢⎥δdt，δ=−=an()a(0)⇒n=16∫t22⎣⎦02⎡⎤1.201000exp⋅=δdt1068.94⎢⎥∫t⎣⎦01.21A=+10[110(0.11)]++30[15(0.11)]=67.510−−nn102B=+10(1.0915)30(1.0915)10−−nn102⇒=67.510(1.0915)+30(1.0915)⇒n=1.262nn⎡⎤⎡2⎤21.22an()=δaa(2)⋅⋅expdt=a(2)expdt=(2)⋅(1n−)⎢⎥∫∫t⎢⎥⎣⎦22⎣t−1⎦22an(1+−)()ann−−(1n)d==2an(1+)n(2)0.5n−12dd=−−=−=21(1⎡⎤⎣⎦)2(1)nn第2章等额年金2.11363元2.227943元2.3月实际利率为0.5％，年金的领取次数为123，截至2005年12月31日，领取次数为2 70。因此200a=183411230.5%123200a×+(10.5%)=338731230.5%70200a×+(10.5%)=260051230.5%92.4基金在第30年初的价值为10000××s(1+=6%)658773.91206%如果限期领取20年，每次可以领取658773.91÷=a57435206%如果无限期地领下去，每次可以领取658773.91÷=a658773.916%×=39526∞6%2.531941.68元，21738.97元，46319.35元2.69年2.729月末2.80.1162322.92000×+++()1.061.061.051=8729.232.1045281.052.110.22.1218年2.13设月实际利率为j，则有124%41(1+=+⇒=jj)(1)0.003322⇒a""=+=(1j)302∞0.02014j32.14设月实际利率为i，则季度实际利率为ji=+−(1)11111000××+=(1ii)3020×=3020×⇒=0.33263ij(1+−i)1故年实际利率为4.06%。−42.15假设最后一次付款的时间为n，则：10000=+1000an(10.05)⇒=23.18n−40.05假设在23年末的非正规付款额为X，则有−−42310000=+1000aX(10.05)+(1+0.05)⇒X=176.23190.05故最后一次付款的时间是23年末，付款额为1176.23元。kk2.16100av==4495.50386000⇒v=0.7493⇒k=2960n2n1−v1−v2.17ax==,ay==n2nii21(1)−−ix2x+yi2x+y⇒=yi⇒=⇒d==22ix12+ix++xy2.181538aavv=⇒−+1072107220153810466=0⇒i=0.08688102032.19设j为等价利率，则有j=−(1.01)1=0.030301，累积值=+100(ss)=299916jj83 2.20以每半年作为一个时期，则每个时期的实际利率为i/2，两年为一个时期的实际利率n41−j1i41−为j=−()1/+i21，故5.89==lim=((1+)−1)⇒i=0.08n→∞jj2102.21100=⋅Pa+⋅⋅⋅2Pva⇒P=3.77743100.04200.0410重新投资后，100=⋅+3.77743aX⋅vX⇒=108.88100.0450.045102.2212⋅⋅is+⋅⋅12is=⇒64()10.75+=ii2⇒=0.09569200.75ii100.75nt12.23ann==∫∫exp{−0drt}dln(1+)1+r0t2aa(5)(5)a(5)2.24at()exp==⎡⎤δdr(10.5)+t,s=++...+=12.828⎣⎦∫0r5aa(1)(2)a(5)8882.25atd=−=−=−=11()1vttd()8a1⎛⎞81−v100∫∫t8⎜⎟00δδδ⎝⎠δ5vv81=−−1()8100δδ⋅⇒=−−0⎡1()8100δδ⎤4⎣⎦5101−v1−−−[]1()8100δδ4a==10δδ2.261/302.271[ln(/)]/−iδδnδnnδδe−−1312.2841ee=⇒=23，s=⇒12=⇒12=⇒=12δ1/6nδδ第3章变额年金⎡⎤s−2929/2j3.172.88=⋅jIs()=⋅j⎢⎥⇒s=65.4429/2j29j2⎢⎥⎣⎦j/230()1/+−jj21/()+2sj=⇒=0.129/2jj/23.2900aI+100(a)=1088.691010n(1+−ianv)1(1+ia)a23nnn++12nnnn3.3vvv+++++++=23...nvnvnv...+=nv=iiid3357932462v3.4Xvvvv=++++=++++=2468...2(12vvvv34...)=49.8922(1−v)4 103.5年金A的现值为：X==+55aa55(va)2010101020年金B的现值为：X=+30av60av+90a101010101020故55(1+=++⇒vv)306090viX=0.07177⇒=55a=574.74200.0717723456789103.69年期年金的现值为PV=++++++++v2345432vvvvvvvv9234567891010年期年金的现值为PV=+++++++++v23455432vvvvvvvvv102345PV−=++++=PVvvvvva1095因此，PV=+=+=PVa222226.691095n()Ia+vDan()annn−−vn(1n)−a−11nnnn3.7=+v⋅=+(1a−nvn+vvva−−)nn−1nn−−11iii1nn1n=−+(1ava−v)=−(1va)(+1)=aa⋅nn−−11n−1nnii10⎛⎞1.11−⎜⎟⎝⎠1.053.81000×=11846.660.050.10−10−a100.083.9300aD+=50(aa)300+=506250325−A100.08100.08100.080.083.1056789105624561vvvvvv++++++=+⋅2233...（）vv（1+2+3+...）（vv=+⋅vv）22（1-）v254vv+v==v222（1-）vv(1−+)(1v)223313.1111.03++++vvv1.031.03...==112.5911.03−v3.124812448848PV=++++v()()15v110v+=++++……v(1vv)512v(+++v3v…)481114+++=vv…==410−v.254844812448设Xv=+123++⇒vv………X=+v23v+v+⇒X(1−=+++=vv)1v448442PV=⋅+⋅v45v=×+×40.7550.75×=48410−v.251/43.13每季度复利一次的利率为(18%)+−10.0194=18162所有存款在第八年末的终值为2000(1⎡⎤⎣⎦++++++=ii)(1)...(1i)35824sI()s=183.01，XX/0.08183.01=⇒=14.6440.019480.08(12)3.14每月支付2000等价于年末支付24,000s，因此年金的现金流等价于分别在时刻k=1i(12)k−1(12)1，2，3，...，20支付24,000s×（）1.03，当ii==0.06(0.061678)时，1i5 现值为⎡⎤11.031.0319i1(12)⎛⎞⎛⎞1924,000sw⎢⎥++...+=24,000⎜⎟⎜⎟()1++...+w1i220(12)⎢⎥⎣⎦11++ii()11++ii()⎝⎠⎝⎠i1.031i19w==，=1.027967，1++wwa...==14.774108，(12)200.0307551+i1.030755i故现值为343320。3.15166073.16一共有11次付款，最后一次付款发生在时刻11，现值为：2311400vvv+++450500"+=900va350+50()Ia=5197.50115%115%12终值为：5197.5015(1.05)=9333.983.17一共有11次付款，最后一次付款发生在时刻10，现值为：21010001070+++vv1140"+=1700va930+70()Ia=9998.16118%118%11其终值为：9998.163(1.08)=23312.113.18最后一次付款发生在第11年末，现值为：211500vv++480"+=300vD20(a)+280a=3246.03116%116%20在第20年末的终值为：3246.032(1.06)=10410.463.19这组付款在时刻零的现值为：23785040++++++vvv3020"40vv50234前5次付款的现值为：5040++++=vvvvD30201010(a)=134.4859%后4次付款类似于期初付递增年金，其在第4年末的价值为：23420vvvvI+++=30405010()a−=10109.9076459%−4后4次付款在时刻零的现值为：109.90764(1.09)=77.86134这组付款的总现值：134.4877.86134+=212.343.20此项投资在第10年末的终值为：80000=−(XsD5000)+500(s)106%106%80000=−(XX5000)(13.97164)500(83.52247)+⇒=7736.883.21共有11次给付，第一次给付为3000元，最后一次给付为2000元。在第4年末的价值为100(Da)+2000a，在时刻零的价值为：106%116%4Xv=+()100(Da)2000a=15979.37106%116%3.22在第15年末的投资金额应为200200(155)+−=2200，这组投资在第20年末的终16值为：(1+=iI)200()a19997.38115%3.2390sI+=10()s9012.244661063.3937991735.96×+×=104%104%6 3.24在第8年的终值为：60sD+=5(s)6010.61485551.51876×+×=894.4847887%87%2在第10年的终值为：894.48478(1.07)=1024.103.25一共领取90－65＋1＝26次，现值为：2251500015000(1.03)15000(1.03)15000(1.03)+++"+=295109.015223261.051.051.051.05−39将其贴现到25岁生日时的现值为：1.05×=295109.015244014.9110t⎡⎤3.26∫∫(4t+−+3)exp⎢⎥0.030.04sdsdt00⎣⎦=89.973.27在时刻5的现值为：10t⎡⎤22∫∫(1.2t+−2)expt⎢⎥(0.0006s+0.001)sdsdt=382.8855⎣⎦时刻零的现值为：5⎡⎤382.88exp⎢⎥−+∫0.004td0.01t=346.44⎣⎦03.28=7.68521ZX=+ZI(0.03)()sZ760.05YZ=+(0.02)()Is14Z=16.10114Z130.035Y=2.0951X3.29前5年的现值：20a=77.7959%从第6年开始，以后各年付款的现值为：235⎡⎤111+++kkk⎛⎞⎛⎞5⎛⎞11+k⎛.09⎞20v⎢⎥+++⎜⎟⎜⎟"=20v⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎣⎦1.09⎝⎠⎝⎠1.091.09⎝⎠1.09⎝0.09−k⎠总的现值为335，故有k=3.76%3.301010⎡⎤125000=+∫∫()9ktkexp⎢⎥dsdt=190k⇒=k131.58⎣⎦9+s0t3.3120(Da)+=160a2024.2716010.38×+×=2146.2075%155%7 第4章收益率1500040000100004.1−+++=500000⇒i=0.1483231(+++iii1)(1)1065434.210000(1.05)−−−1.06(1.05)kk1.06(1.05)k(1.05)−k(1.05)=10000⇒k=1221.997500090000670004.3时间加权法：1()+=ii()()=1.54260⇒=.54265000075000150009000025000+−币值加权法：利息I=−−+=6700050000150002500027000，故27000i==0.52265000015000(11/3)25000(12/3)+−−−两种方法计算的收益率之差为0.54620.5226−=0.02364.4基金X的利息I=−−+=4310050000240003600051005100故其币值加权收益率为i==0.0855000024000(11/3)36000(15/6)+−−−105000F基金Y时间加权收益率满足：1+=iF⋅=1.085⇒=9300010000010500015000−4.5币值加权收益率为0%，说明I=0，故120903−−=⇒=XX01090110120时间加权收益率为i=−()()()11=−0%100110120120100654.6时间加权收益率iD=−()()()10=⇒=36100120+−D10050651003650−−+故币值加权收益率为i==−0.183410036(11/4)50(13/4)+−−−B1220004.7由时间加权收益率有1.10=⋅1000B+D121220001000−−D12由币值加权收益率有0.09=11000+⋅D122121064.32故B=1064.32，D=870.81，(1+=ii)⇒=0.1327121210004.87.5%4.9以时间加权法计算前六个月的实际收益率为⎛⎞⎛⎞⎛4080157.50⎞j=⋅⋅⎜⎟⎜⎟⎜⎟−10.05=。⎝⎠⎝⎠⎝5060160⎠2与其等价的年实际收益率为i=−(1.05)10.1025=。8 全年的时间加权收益率率为⎛⎞175⎛X⎞iX′=⋅()1.05⎜⎟⋅−⎜⎟10.00466=−1⇒X=236.25。⎝⎠157.50⎝250⎠4.10基金在现金流发生前的价值如下表所示：现金流发生前的基金现金流发生后的基金时间现金流价值价值1.1200003.31220001000230006.30238001000248009.302400010002500012.312410010002510022000238002400024100故1+=ii×××=1.0619⇒=0.0619200002300024800250004.11在第一年末，投资者得到利息40，第二年末得到利息为240,×…第五年末得到540×。投资者将这些利息以年利率3%再投资，则到第五年末，这些利息的积累值为40(IS)=624.5550.03故5年末投资者共得到5624.55元。设购买价格为P，要得到4%的收益率,有5PP(1.04)=⇒5624.55=4622.974.12投资者在第一年末的利息为500i，第二年末的利息为2(500)i，…第20年末的利息为20(500)i。这些利息在20年末的积累值为(500)(iIS)，本金共20/2i20(500)10,000=元。已知年实际收益率为8%，故：500si=+10000(500)(IS)⇒=⇒si34.71=0.120.0820/2i20/2i4.13投资者A每年获得利息为100元，十年末积累值为1500，则1500100=⇒si=8.73%10i投资者B第2年末获得利息150(0.12)，第3年末获得利息2(150)(0.12)，…第20年末获得利息19(150)(0.12)，利息再投资后的积累值为150(0.12)(IS)=6111.37190.0873104.1412⋅⋅is+⋅⋅12is=⇒+64()10.75i=⇒=2i0.09569200.75ii100.754.153项投资在2001年初的余额为1000(1.09)(1.10)1000(1.07)1000++=3269在2001年末的余额为：1000(1.09)(1.10)(1.11)1000(1.07)(1.08)1000(1.05)++=3536.49故2001年中所获利息为3536.493269−=267.494.160.06061，0.09091。9 第5章债务偿还5.1设贷款额为L，则X=La/nint−+1第t次付款的利息部分为Xv(1−)nn−2n−4故X(1−v)=604.00，Xv(1−)=593.75，Xv(1−)=582.45⇒X=704.06（元）5.2设每年的等额分期付款金额为R，由已知281414R(1−v)=135，R(1−v)=108⇒v=0.25，R=1447⇒R(1−v)=144（1−0.5）=7230−+t15.3第t年的分期付款中的利息金额为Rv(1−)30−+tt1R30−+12Rv(1−=)⇒=v⇒t=22.6933故在第23年分期付款中利息金额最接近于付款金额的三分之一。5.4设贷款总额为L，则LRa=⋅。10i1098290.35=++RvRvRv⎪⎫⎬⇒i=0.05，R=150.03，L=1158.4。32408.55=++RvRvRv⎪⎭支付的利息金额总数为10R-L=341.76555.5设等额年度付款金额为R：Ra=908.81，vRa=1000⇒v=0.6619895i10i5故第5年末的未偿还本金为Rai=1000(1+)=1510.6。10iL2000005.6（1）借款人第2年末向偿债基金的储蓄额应为D===4438.42（元）ssnj|4|0.08（2）第2年末的余额为Ds⋅=4438.42×=s9231.91（元）kj|2|0.08（3）第2年末的贷款净额为LDs0−⋅=kj|200009231.9110768.09−=（元）L200005.7（1）借款人第2年末向偿债基金的储蓄额应为D=0==4504.56（元）ssn|j4|0.07（2）第2年末的余额为Ds⋅=4504.56×=s9324.44（元）kj|2|0.07（3）第2年末的贷款净额为LDs0−⋅=kj|200009324.4410675.5−=（元）L2000005.8对于偿债基金，各年末的储蓄额为D===4504.56（元），各年应支付的利ssn|j4|0.0710 息为20000*8%=1600。故每期总的支付金额为6104.56元。如果两笔贷款对借款人而言是等价的，则各期支付的金额应该相等，故RL===6104.56/aa20000/⇒i=8.4911%0ki|4|i5.9第4次付款后的未偿还金额为26Lvv=++240250⋅⋅⋅⋅+=290vaI230+()a460.0560.05故第5次付款的利息部分为ILi=⋅=⎡⎤230a+()Ia0.05=66.894⎣⎦60.0560.052295.10125,000=Ra⎡⎤11.02+vv+(1.02)+⋅⋅⋅⋅+(1.02)v⇒R=52612i⎣⎦205.11各期还款的积累值为1000si=+10000(1)⇒i=0.0616200.05nt−+15.12第t次分期付款的本金部分为vnntn−t++11nn+1故所有分期付款的本金部分的现值之和为Pv=⋅==∑∑vvnvtt==11nn+1an−−vanvAP−nn又分期付款的现值满足A=1*a，故()Ia===nnidd5.13令月实际利率j=i/12。12n1−v55000==500.38a500.3812njj12nn12−13077.94=+55000(1js)−500.38=+500.38(1j)12n−1j⇒ij==12,0.09165.14第一笔贷款，每期偿还额R=20000/a=1301.0287。300.0530111−+由分期偿还表,第11年内偿还的本金金额为PR==v490.3440。11"""20−+11同理，第二笔贷款R==10000/a943.9293，PR==v243.9293。200.071故2010年一年内偿还的两笔贷款的本金之和为734.2733元。5.15将还款额分成3部分，一部分是0.5年的第一笔付款X；第二部分是自1.5年开始，支付4次，每次支付2X；第三部分是自5.5年开始，支付5次，每次支付2X，故有−−−0.50.54.550,000=+XX(1.05)2⋅a(1.05)+2X⋅a(1.05)⇒X=327845%53%35.16由已知1000=+XXaa333v=11.5045X，得X=86.92280.010.012由过去法，第2期后未偿还本金金额为LS=−1000(1.01)86.9228=845.3852。202.01故第3次支付的本金金额为PX=−0.01L=78.4689。32由将来法，第4期后未偿还本金金额为LX4==3a20.01513.8168。故第5次支付的利息金额为IL==0.015.1382。5411 360169+−2925.17第69期还款额中本金金额为PR==vRv。69292Rv292故由已知==v10.94473−，R−1解得Xv=−12(1)0.1196=。nk−+1另一种解法：由于等额分期偿还中各期还款中的本金金额为PR=v，故第69期k−1和70期偿还的本金金额比为PPv/==1+=−X/12(194.473%)/(194.418%)−。6970同样解得X=0.1196。5.18由已知，前10次付款等于应付利息，故十年末的未偿还贷款余额仍为1000元。第11至20次付款等于应付利息的两倍，即本金偿还值等于应付利息值，有IL=0.081110LLPLI===--0.92L1110111011102LL==0.92(0.92)L121110…1010LL==(0.92)(0.92)(1000)434.3885=2010后10期每期付款等于X，故LX20==434.3885⋅a100.08⇒=X64.74。5.19分别用将来法计算两种偿还方式在第5次付款之后的未偿还本金，有1000aa=+800Kv()Ia100.05100.0590.05解得K=48.7914。故调整后最后一次的支付额为800+9K=1239.1。5.20不妨假设两笔贷款均为1。对于贷款L，Ra==1/0.0888。L300.08对于贷款N，R=+1/30I。N由已知，第t期对应的利息I为0.08（30-t+1）/30。故要使贷款L的支付额超过贷款N，有Rt=+1/300.08(30−+≤=1)/30R0.0888NL解得t≥10.2。故在第11年末，贷款L的支付额首次超过贷款N。5.21由已知，每期偿还金额为Ra=8000/=1139。100.07调整后，由8%的年收益率，在借款日满足−4Ra′⋅+=1.08Ra800040.0840.08解得调整后的每期偿还金额为R′=1736.9。故通过调整，借款人增加的付款为4*1736.9-6*1139=112。5.22由已知，各期还款的现值满足12 232020100000=++XvX(100)vX++(200)v+⋅⋅⋅++(X1900)vX++(1900)va1020=+Xa1900va+100()vIa301019解之得X=5504.7（元）。5.23设贷款本金为L。由已知，当期的利息为0.08L。故每年末向偿债基金的储蓄额依次为2000-0.08L，3000-0.08L，4000-0.08L，5000-0.08L。又偿债基金的年实际利率为7%，故贷款本金为32L=−(20000.08)1.07LLLL+−(30000.08)1.07+−(40000.08)1.07+(50000.08)−解之得L=11190.11。25.24（1）偿债基金的季度实际利率为1.5%，故其实际半年利率为1.015−=13.0225%L100000==871.40（元）借款人第2年末向偿债基金的储蓄额为D=ssn|j10|0.030225（2）第2年末的余额为Ds⋅=871.40×s=3646.84（元）kj|4|0.030225（3）第2年末的贷款净额为LDs0−⋅=kj|100003646.84−=6353.16（元）第6章债券和股票6.1957.88,973.27,57.926.2价格为974.82元，账面值为930.26元（理论方法），929.82（半理论方法），1015（实践方法6.37.227%6.46.986%10906.5Pa=××+×××++××1000.11000.09av...1000.01av=169.21010102366.6股票未来的收益流为JJJ(1.10),(1.10),(1.10),...故第六年的收益将为J(1.10)，它的50%将用来分红，故有67⎡⎤⎛⎞⎛⎞1.101.105JPJ=+0.50⎢⎥⎜⎟⎜⎟+...=5⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎝⎠1.211.21(1.10)0.56.7每个季度的实际利率为J=+(10.05)−=12.47%，股票的理论价格为3P==638.32.47%2%−6.8用BVBVBV,,分别代表第3,4,5年的账面值，已知Fr=1000(0.08)=80，故3451082.27==+BV54BV(1i)80−=⎡⎤⎣⎦(BV3)(1+i)−+801(i)−802=+1099.84(1iii)−80(1+)80−⇒=6.5%(3n−)80⋅+av1000=1099.84⇒n=12ni−313 −12Pa=⋅80+1000(1.065)=1122.38120.0656.9由题意可知⎛⎞40(1)-X=Ci⎜⎟-a20i⎝⎠C⎛⎞45(2)-YC=⎜⎟ia20i⎝⎠C⎛⎞50(3)2X=Ci⎜⎟-a20i⎝⎠C50−Ci130由(3)/(1)得：−=2⇒=Ci40−Ci3X由（1）+93)得：XC=−(902i)a⇒=a2020ii902−Ci所以YC=(45−=i)aX/220i6.10每股的利润为107.50−=2.50，保证金为100.50×=5，保证金所得利息为2.50.250.4+−50.050×=0.25，分红为40.10.4×=，所以收益率为=0.47005X96.11债券X在第五年末的账面值为BV=+=1000v100a1124.927850.0890.08债券X在第六年应得利息为0.081124.927889.9950×=，实际息票收入为100，所以账面调整值为10089.995010.0050−=。Y9债券Y在第五年末的账面值为BVF=⋅+v0.06F⋅a=0.8751F50.0890.08债券Y在第六年应得利息为0.080.08751×F，而实际息票收入为0.06F，所以账面调整值为0.08(0.8751)0.06⋅−FF。由于X和Y的账面调整值相等可知，故10.0050=⋅0.08(0.8751)0.06FF−⇒F=1000.002114所以Pv=+1000.002160a=835.11600.08140.086.12把2012年1月1号作为参考期，有t=10，则21015(1++kk)15(1)200.90(1.08)⋅=+++15sk...⇒=0.01100.0821.081.08nnn191−v9106.131100vva=⇒=⇒==190n110i33nPva=+110040=1293.03n0.03nn6.14PaM=+40⋅v，QaM=+30⋅v，设第三种债券的价格为X，nnnX=+80aMv⋅，因此nPQ−PQ−=10a，X−=Qa50，a=nnn1014 ⎛⎞PQ−X=+QP50⎜⎟=−54Q⎝⎠10−10⎪⎧Pr=+()1000a11001.04()100.046.15⎨⇒r=0.035137−10⎪Pr−=81.49()1000a+11001.05()⎩100.05−10Xa=×10000.035137+×1100()1.035137=1070.80100.0351376.16息票为Fr⋅=300,债券在出售时，应计息票的期限是2个月，相当于1/3个息票期。债券在出售时的价格可以表示为投资余额（账面值）加上应计息票收入。理论方法与半理论方法的差异在于应计息票收入之差。理论方法计算的应计息票收入为3001/3[1.02−1]；半理论方法计算的应计息票收入为30013()，两者相差0.66。0.026.17202213920Pvvv=+10500.0850⎡⎤+++()()1.031.03v"+()1.03v⎣⎦292050⎡⎤1.03⎛⎞1.03⎛⎞1.03=++1050v⎢⎥1++⎜⎟"+⎜⎟0.081.08⎢⎥⎣⎦1.08⎝⎠1.08⎝⎠1.08=837.777720⎧⎪Pa=+401000v⎧P=1071.06200.0350.0356.18⎨10⇒⎨⎪Pa=+40X⋅v⎩X=1041.58⎩100.0350.035第7章远期、期货和互换7.1多头的回收和盈亏如下表所示：1年后即期价格回收盈亏4545-215050-165555-116060-66565-170704757591年后价格是66元的时候回收为66元，初始投资在1年后的现金累积值为：60×（1+10%）=66（元），所以盈亏=66−66=0（元）。7.2该股票空头的回收即为多头回收的相对值，盈亏为回收加上初始所得在未来的价值66元，空头的回收和盈亏如下表所示：1年后即期价格空头的回收空头的盈亏45-452115 50-501655-551160-60665-65170-70-475-75-91年后价格是66元的时候，回收为-66元，初始所得在1年后的现金累积值为：60×（1+10%）=66（元），所以盈亏=−66+66=0（元）。4−0.015t7.3105−×∑1.7e=98.45（元）t=17.4（1）日股利：0.02/365×105=0.00575（元）0.02（2）若我们在年初持有一单位股票，年末将持有：e=1.020201−0.02（3）若要在年末持有一单位股股票，年初应持有：e=0.980199−0.02则应投资：105*e=102.921（元）。rT0.037.5（1）F==Se70×e=72.132（元）0,0.50()rT−−δδ0.06（2）70×=ee70×=72，则δ=0.0318。年度连续股利收益率是3.18%。0.06*0.57.6无套利情况：105*e=108.20（元）（1）远期价格115>108.20,所以在今天先签出一份远期合约，约定在6个月后以115元的价格卖出你手中持有的X公司股票。同时在今天借入105元购买X公司的股票，承诺在6个月后还款。于是到6个月后，以115元卖出手中股票，同时还款：0.06*0.5（105*e=）108.20元，最终无风险获利6.80元。（2）远期价格107<108.20,所以先签订一份远期合约,约定在6个月后以107元购买X公司股票，然后在今天将手中持有的股票卖出，获得105元，将这105元投资于5%0.06*0.5的零息票债券，6个月后可以获得105*e=108.20元，6个月后又利用远期合约买入股票。最终获得无风险利润108.20-107=1.20（元）。2324xx7.7+=+⇒x=22.49221.051.0551.051.055222324xxx7.8（1）++=++⇒x=22.9623231.051.0551.061.051.0551.062324xx（2）+=+⇒x=23.4823231.0551.061.0551.067.9加入一个石油远期的空头，约定在未来某个时间以固定的价格（远期价格）卖出石油：收到的净支付远期空头回收净值现货价格-22.958远期价格-现货价格远期价格-22.958通过加入远期空头将所得锁定在“远期价格-22.958”的固定值上。这3年的现金流如下：年度对远期的支付互换支付净值122-现货价格1现货价格1-22.95822-22.958223-现货价格2现货价格2-22.95823-22.958324-现货价格3现货价格3-22.95824-22.95816 23净现金流的现值为：-0.958/1.05+0.042/1.055+1.042/1.06=07.10年度多支付的价格122.958-22=0.958222.958-23=-0.042322.958-24=-1.0422第二次支付后累积多支付的价格：0.958/1.05−0.042/1.055=0.87465（元）23第三次支付后累积多支付的价格：0.958/1.05−0.042/1.055-1.042/1.06=0第8章期权8.1远期合约和看涨期权的回收如下表：1年后股票即期价格（1）远期多头的回收（2）看涨期权多头的回收50-10055-50600065557010108.2远期合约和看跌期权的回收如下表：1年后股票即期价格（1）远期空头回收（2）看跌期权多头回收5010105555600065-5070-1008.3由60×（1+r）=63得到r=5%。8.43个看涨期权的回收和盈亏如下表：回收盈亏1年后的即期价格100-看涨105-看涨110-看涨100-看涨105-看涨110-看涨90000-9.08-6.01-3.7495000-9.08-6.01-3.74100000-9.08-6.01-3.74105500-4.08-6.01-3.7411010500.92-1.01-3.74115151055.923.991.2612020151010.928.996.2617 8.53个看跌期权的回收和盈亏如下表：回收盈亏1年后的即期价格100-看跌105-看跌110-看跌100-看跌105-看跌110-看跌901015208.9612.1314.4995510153.967.139.491000510-1.042.134.49105005-1.04-2.87-0.51110000-1.04-2.87-5.51115000-1.04-2.87-5.51120000-1.04-2.87-5.518.6此仓位的回收和盈亏如下表所示：满期回收总回收成本及其利息盈亏1年后的股票价格看跌期权回收9510105-112.56-7.561005105-112.56-7.561050105-112.56-7.561100110-112.56-2.561150115-112.562.441200120-112.567.44：成本及其利息为（100+7.20）*1.05=112.56。8.7此仓位的回收和盈亏如下表所示：满期回收股票空头的回总回收收入及其利息盈亏1年后股票价格看跌期权回收收95-10-95-105117.8112.81100-5-100-105117.8112.811050-105-105117.8112.811100-110-110117.817.811150-115-115117.812.811200-120-120117.81-2.19收入及其利息为（105+7.20）*1.05=117.81。8.8两笔交易的回收和盈亏情况如下表：看跌期权成本及其利看涨期权债券的回成本及其股票价格总回收盈亏总回收盈亏回收息的回收收利息851095-105.98-10.9809595-105.98-10.9890595-105.98-10.9809595-105.98-10.9895095-105.98-10.9809595-105.98-10.981000100-105.98-5.98595100-105.98-5.981050105-105.98-0.981095105-105.98-0.981100110-105.984.021595110-105.984.0218 8.9两笔交易的回收和盈亏情况如下表：股票空净收入看跌期借入资净收入股票价看涨期头的回总回收及其利盈亏权的回金的回总回收及其利盈亏格权回收收息收收息850-85-8594.039.0310-95-8594.039.03900-90-9094.034.035-95-9094.034.03950-95-9594.03-0.970-95-9594.03-0.971005-100-9594.03-0.970-95-9594.03-0.9710510-105-9594.03-0.970-95-9594.03-0.9711015-110-9594.03-0.970-95-9594.03-0.978.10两笔交易的回收和盈亏情况如下表：净收入看跌期借入资净收入股票价看涨期空头回总回收及其利盈亏权的回金的回总回收及其利盈亏格权回收收息收收息900-90-9097.447.4415-105-9097.447.44950-95-9597.442.4410-105-9597.442.441000-100-10097.44-2.565-105-10097.44-2.561050-105-10597.44-7.560-105-10597.44-7.561105-110-10597.44-7.560-105-10597.44-7.5611510-115-10597.44-7.560-105-10597.44-7.568.11这两笔交易的回收和盈亏如下表。（1）（2）股票看涨期权看跌期权贷出资金净成本及价格多头回收成本+利息盈亏总回收盈亏回收回收的回收其利息8585-105-200-109585-105-209090-105-150-59590-105-159595-105-10009595-105-10100100-105-55095100-105-5105105-105010095105-1050110110-105515095110-10558.12这两笔交易的回收和盈亏如下表。（1）（2）股票价格空头回收入及看涨期权看跌期权借入资金净收入及盈亏总回收盈亏收其利息回收回收的回收其利息95-9510510010-105-9510510100-100105505-105-1001055105-105105000-105-1051050110-110105-5-50-105-110105-5120-120105-15-150-105-120105-15125-125105-20-200-105-125105-2019 8.13105−（9.31−1.69）⋅1.05=97。8.14通过下表可以看到两种交易的盈亏相同：买进95卖出100净成本买进95卖出100净成本股票价-看涨的-看涨的总回收及其利盈亏-看跌的-看跌的总回收及其利盈亏格回收回收息回收回收息85000-2.46-2.510-15-52.54-2.590000-2.46-2.55-10-52.54-2.595000-2.46-2.50-5-52.54-2.5100505-2.462.540002.542.5410510-55-2.462.540002.542.5411015-105-2.462.540002.542.548.15通过下表可以看到两种交易的盈亏相同：买进105卖出95净成本买进105卖出95净成本股票价-看涨的-看涨的总回收及其利盈亏-看跌的-看跌的总回收及其利盈亏格回收回收息回收回收息850003.413.4120-1010-6.583.42900003.413.4115-510-6.583.42950003.413.4110010-6.583.4297.50-2.5-2.53.410.917.507.5-6.580.921000-5-53.41-1.59505-6.58-1.581050-10-103.41-6.59000-6.58-6.581105-15-103.41-6.59000-6.58-6.588.16净期权费是7.20-0.93=6.27（元）。在保持95-看跌期权的期权费0.93元不变的情况下，要达到零成本衣领，看涨期权的期权费也应该为0.93元。由于115-看涨期权的期权费是3.60元，根据看涨期权执行价格越高期权费越低的规律，0.93元的看涨期权的执行价格应该大于115元。8.17要实现一个零成本衣领有两种途径：（1）保持95-看跌期权，改变看涨期权的执行价格，向大于115元的方向变动；（2）保持115-看涨期权，改变看跌期权的执行价格，寻找期权费为3.60元的看跌期权，其执行价格在100-105元之间。8.18（1）执行价格为105元的A公司股票跨式组合由买进一个执行价格为105元的看涨期权和一个执行价格为105元的看跌期权构成。回收和盈亏如下：买进105-看买进105-看总成本及其利股票价格总回收盈亏涨的回收跌的回收息20 9001515-15.12-0.129501010-15.12-5.12100055-15.12-10.12105000-15.12-15.12110505-15.12-10.1211510010-15.12-5.1212015015-15.12-0.12（2）签出执行价格为95元的跨式组合为同时卖出一个执行价格为95元的看涨期权和看跌期权。回收和盈亏如下：股票价格卖出95-看涨的回收卖出95-看跌的回收总回收总收入及其利息盈亏800-15-1511.95-3.05850-10-1011.951.95900-5-511.956.959500011.9511.95100-50-511.956.95105-100-1011.951.95110-150-1511.95-3.058.19（1）买进一个执行价格为95元的A股看涨期权和卖出一个执行价格为95元的A股看跌期权构成一个远期价格为95元的远期合约的多头，卖出一个执行价格为100元的A股看涨期权和买进一个执行价格为100元的A股看跌期权构成一个远期价格为100元的远期合约的空头。两个远期合约的组合满期时的回收恒为5元，不论满期时股票价格如何，因此不存在价格风险。（2）初始交易成本即4个期权费的差额：（-10.45）+8.11+0.93+（-3.35）=-4.76（元）（3）1年后该仓位的回收恒为5元，初始投资的终值为-4.76×1.05=-4.998（元），故该仓位的盈亏为0.002元。8.20（1）买进一个执行价格为95元的看涨期权，卖出两个执行价格为105元的看涨期权买进1个95-卖出2个105-净成本及其利股票价格总回收盈亏看涨的回收看涨的回收息750004.154.15800004.154.15850004.154.15900004.154.15950004.154.151005054.159.15105100104.1514.1511015-1054.159.1511520-2004.154.1521 12025-30-54.15-0.8512530-40-104.15-5.8513035-50-154.15-10.85（2）买进两个执行价格为95元的看涨期权，卖出三个执行价格为105元的看涨期权买进2个95-卖出3个105-净成本及其利股票价格总回收盈亏看涨的回收看涨的回收息750000.740.74800000.740.74850000.740.74900000.740.74950000.740.74100100100.7410.74105200200.7420.7411030-15150.7415.7411540-30100.7410.7412050-4550.745.7412560-6000.740.7413070-75-50.74-4.2713580-90-100.74-9.27(3)由-10.45×n+7.2×m=0可得n/m=7.2/10.45=0.689。8.21（1）95-100-105看涨期权：回收股票价净成本及买进95-看涨期卖出100-看涨买进105-看涨盈亏格其利息权期权期权总回收850000-1.50-1.50900000-1.50-1.50950000-1.50-1.501005005-1.503.5010510-1000-1.50-1.5011015-2050-1.50-1.5011520-30100-1.50-1.50（2）95-100-105看跌期权：回收股票价净成本及买进95-看跌期卖出100-看跌买进105-看跌盈亏格其利息权期权期权总回收8510-30200-1.50-1.50905-20150-1.50-1.50950-10100-1.50-1.501000055-1.503.501050000-1.50-1.501100000-1.50-1.5022 1150000-1.50-1.50（3）95-100-105混合期权：回收股票价净成本及其买进95-看卖出100-看买进105-看盈亏格利息跌期权涨期权涨期权股票多头总回收8510008595-96.50-1.50905009095-96.50-1.50950009595-96.50-1.50100000100100-96.503.511050-10010595-96.50-1.501100-20511095-96.50-1.501150-301011595-96.50-1.508.24已知S=50，K=50，T=1/4，r=10%，σ=30%2ln(S/K)+(r+σ/2)T故d==0.2416671σTd=d−σT=0.09166721根据Black-Scholes公式，欧式看涨期权价格为：−rTC=SN(d)−KeN(d)=3.61044512−rT根据平价公式，欧式看跌期权价格为P=C+Ke−S=2.375941(1/6)δ8.25由S(e−1)=1.5，得到δ=17.7353%−δT则S′=Se=47.83152用S′替代上题中的S，计算得到欧式看跌期权价格为P=3.3784468.26已知S=50，K=50，T=1/4，r=10%，σ=30%，ΔT=1/12σΔT1计算得到u=e=1.090463，d==0.917042urΔTe−dp==0.526616，1−p=0.473384u−d二叉树为：64.83403059.4555054.5231654.523160.91415050502.615851.9472745.8520845.852084.555154.1479242.048267.5368138.5611.44所以欧式看跌期权价格为2.61585。23 8.27已知S=495，K=500，δ=4%，r=10%，σ=25%，ΔT=1/24σΔT1计算得到u=e=1.052356，d==0.950249u(r−δ)ΔTe−dp==0.51176，1−p=0.48824u−d二叉树为：607.0929107.093576.889678.138548.1888548.188851.868648.1888520.916520.91632.593824.599549549549519.760612.55760470.3733470.37336.410440446.9719446.971900424.73470403.60380所以欧式看涨期权价格为19.7606。第9章利率风险9.1假设债券的面值为1，因为息票率等于收益率，故P=1。马考勒久期为⎛⎞()mm−−mt⎡⎛()⎞⎛⎞⎛⎞()mmmt⎤()−nm1⎜⎜yy⎟⎟⎢⎥⎜yy⎟⎟⎜MacD=+=∑∑tRt⎜⎜⎜⎜⎜⎜11⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎢⎥t⎜⎜⎜++⎟⎟⎟⎟⎟⎟n⎜⎜⎜1+Pm⎝⎠⎢⎥⎝m⎠⎝⎠⎝⎠mm⎣⎦()my⎧⎫⎪⎪⎪⎪12nm−1−1未来息票的支付时间为⎨⎬,,?,n，令vy=+(1)，则m⎪⎪⎪⎪⎩⎭mmm()m⎡1231231nm−1nm−nmnm⎤nMacD=+y⎢⎥vmmmv+v+?++vmvm+nv⎢⎥⎣⎦22322mmmmm()m()mm()n=+yIan()vn⎛⎞an""()mn−v=+yn()mn⎜⎜n⎟⎟v⎜⎜y()m⎟⎟⎟⎝⎠()mnn=−+an""vnvn()m=a""n9.224 MacD=15MacD15ModD===14.851+im/1.019.3MacD=5MacD5ModD===4.5511+i.19.4假设债券的面值为100，则债券的价格为92.64，马考勒久期为8.0226，修正久期为7.5685.9.5假设该债券的面值为100，，则其价格为111.1513。4t−∑tRvtdPt=1==−398.3762di1+iPi′()398.3762⇒ModD=−==3.58Pi()111.151320t20−×2209.6PR===∑tv1000v1000×()10.12/2+=97.22t=120t−∑tRvt20−×220dP201000×v−×201000×+()10.12/2t=1⇒====−1834.38di1/++im1/im10+.12/2Pi′()1834.38⇒ModD=−==18.87Pi()97.222−4t2411.06−−9.7PR==+=∑tva54/2i100v5×+1001.06×=96.5349t=0.50.062tdP−∑tRvt−−2.5()Ia100v2ti=0.54/2⇒===−169.2880dii1.061+mPi′()169.2880⇒ModD=−==1.75Pi()96.534930−60t3011.04−−609.8PR==+=∑tva460/2i100v4×+1001.04×=100t=0.50.0430tdP−∑tRvt−−2()Ia100v30ti=0.560/2⇒===−1131.1745dii1.041+m25 Pi′()1131.1745⇒ModD=−==11.31Pi()100PP−127.64122.95−−+9.9EffD===7.49Pi0()2Δ125.31(2)(0.0025)MacD8.5179.10ModD===7.88611+i.08%Δ=−Δ⋅P()iModD=−−(0.0015)(8.517)1.18%=⇒新的债券价格近似为：75.981.018×=76.88PP−109.573100.214−−+9.11EffD===8.92Pi0()2Δ104.876(2)(0.005)()PPP−++−20109.573100.2142104.876+−×EffC===13.3522()Δ×iP0()0.005104.876229.12%Δ=−Δ⋅P()iModD+⋅Δ⋅0.5()iModC=−(0.01)(8.92)0.5(0.01)(13.35)+=−8.86%新的债券价格近似为：104.8760.9114×=95.58721dP12dP9.13P==16.67⇒=−=223idiidii2Pi′()1i1⇒ModD=−===16.67Pi()1ii3Pi′′()2i2⇒ModC====555.552Pi()1ii229.14%Δ=−Δ⋅P()iModD+⋅Δ⋅0.5()iModC=−(0.005)(8.67)0.5(0.005)(43.51)+=−4.28%150009.15负债的现值为PV==6947.90L101.08债券的现值为PV=+=3473.953473.956947.90A负债的马考勒久期为10，债券的马考勒久期为（5+15）/2=10，满足完全免疫的三个条件。200009.16负债的现值为PV==12418.427L51.10负债的马考勒久期为MacD=5L2t∑tRvt25−5(20000)(1.10)t>0负债的马考勒凸度为MacC===25LP12418.427不妨假设两种零息债券的面值均为1000，则10004年期零息债券的价格为P==683.01344()1+i4年期零息债券的马考勒久期为MacD=4426 100010年期零息债券的价格为P==385.5431010()1+i10年期零息债券的马考勒久期为MacD=1010假设有x%的债券投资4年期的零息债券，(1−x%)的债券投资10年期的零息债券，由MacD=MacD，有：AL(%)(4)(1xx+−%)(10)=4.545⇒=x%83.3%投资4年期零息债券的金额：12418.42783.3%10348.689×=投资10年期零息债券的金额：12418.42717.7%×=2069.7389.17各种债券的购买数量分别如下：购买5年期债券的数量8购买4年期债券的数量30购买2年期债券的数量60购买1年期零息债券10购买各种债券以后净负债的现金流如下：年度12345负债的现金流1794674414431448245年期债券的现金流24242424824净负债的现金流17706720120312004年期债券的现金流12012012031200净负债的现金流165066000002年期债券的现金流6006600000净负债的现金流105000001年期债券的现金流10500000净负债的现金流00000第10章利率的期限结构10.1一年期债券的现金流以8.000%的收益率进行贴现−t111PC=+∑Fyt(1)==102.77781.08两年期债券的现金流以9%的收益率进行贴现：−t5105PC=+∑Fyt(1)=+2=92.96361.091.09三年期债券的现金流以15%的收益率进行贴现：−t2020120PC=+∑Fyt(1)=+23+=112.43431.151.151.1510.2现金流分别按对应的即期利率折现：1010110P=++=105.75231.051.061.0827 10.3由收益率计算的价格=由即期利率计算的价格CFCF111tt∑∑tt=⇒=102.7788⇒s1=8.000%(1++ys)(1)1+st1510592.9636=+⇒s=9.0262%221(++ss1)121515115112.4343=++⇒s=10.2023%2331(+++sss1)(1)12310.4远期利率如下表所示。到期日年息票率年实际收益率即期利率远期利率111.00%8.00%8.0000%8.0000%25.00%9.00%9.0262%10.0622%315.00%10.00%10.2023%12.5927%10.5不妨假设各债券的面值均为100元，计算5年期债券的价格：CCtt∑∑tt=(1++yr)(1)t1010101011010101010110⇒++++=++++234523451.071.071.071.071.071+++++rrrrr(1)(1)(1)(1)123451111⇒+++=3.74362341(++++rrrr1)(1)(1)1234每年支付40元的5年期期初付年金按对应的即期利率折现：⎡⎤111140a=++401⎢⎥++=+40(13.7436)189.7458=5234⎣⎦1(++++rrrr1)(1)(1)123410.6由远期利率计算的债券的现值为：C1010110t∑=++=107.25(1+++fff)(1)...(1)1.07(1.07)(1.05)(1.07)(1.05)(1.1)01t−110.7不妨假设债券的面值均为100元。平价收益率曲线下债券的价格等与其票面价值：C104tPf=⇒∑100=⇒0=4.000%(1+++fff)(1)...(1)(1+f)01t−106106⇒=100+⇒=f8.1633%1(1++ff)(1)(1+f)00188108⇒=100++⇒=f12.6916%2(1++ff)(1)(1++ff)(1)(1+f)(1+f)00101210.81+=+⇒==rfr1f6.000%10102(1+=++⇒=rf)(1)(1f)r5.4988%20123(1+=+++⇒=rf)(1)(1f)(1f)r6.9784%3012328 CC1110.9=⇒ry1==20%11++yr1CCCC1212+=+⇒=r20%2221.21.21.2(1+r)2CCCCCC123312++=++⇒=r20%232331.21.21.21.21.2(1+r)310.101+=+⇒=rff120%10021.2=+(1.2)(1ff)⇒=20%111.23f=−120%=221.2Ct10.11P=∑(1+++f)(1ff)...(1)01t−1110106=⇒=f3.7736%01+f0510595=+⇒f=12.1976%11(+++fff1)(1)00199109102=++⇒f=9.3693%21++++++ffffff(1)(1)(1)(1)(1)001012用远期利率计算年息票率为15%，票面价值为100元的3年期债券的价格：1515115P=++=117.64681++++++ffffff(1)(1)(1)(1)(1)001012Ct10.12采用远期利率计算债券的价格有P=∑(1+++f)(1ff)...(1)01t−1零息票债券仅在到期日发生现金流100元，将3年、4年期债券数据分别带入：10010082==,75⇒f=9.3333%3(1+++fff)(1)(1)(1++++ffff)(1)(1)(1)012012310.1311+=+⇒==rfrf5%10102(1+=++⇒=rf)(1)(1f)r5.9953%2012假设其票面价值为100元，有C88108tPr==100∑t=+23+⇒=38.1996%(1++rr)1.051.059953(1)t3C6106t10.14通过收益率计算的债券价格为P==∑t+2=93.0579(1+y)1.1(1.1)C6106t通过即期利率计算的债券价格为P==∑t+2=94.8256(1+r)1.07(1.09)t债券价格被低估了94.83−93.05=1.77元。故可以按94.8256元的价格购买一个2年期债券，同时按即期利率发放一个1年期的面值为6元的零息票债券和一个2年期的面值为10629 元的零息票债券。10.15（1）由已知1年期债券有ry==12%故11011010110+=+⇒r=15.1614%2221.151.151.12(1+r)2r（2）投资者按即期利率2=15.1614%投资1000元在两年末得到21000(1×+=r)1326.21422年期债券的收益率大于1年期债券，故考虑买入2年期债券，卖出1年期债券获利。C112t1年期债券的价格为P==∑t=100元。(1+y)1.12C10110t2年期债券的价格为P==∑t+2=91.8715元。(1+y)1.151.15假设可买入x个2年期债券，卖出y个1年期债券，则由总投资金额1000元，有1000=−91.8715x100y由两年末期望收益322.5元，有1326.214=+(10110)x−112y⇒xy=12.0565,=1.076210.16设买入或卖出x个2年期债券，y个1年期债券，其中x、y为正表示卖出，为负表示买入。2年期债券的价格为91.8715元，1年期债券的价格为100元：1000=+91.8715x100y由套利收益为35元，有235=+−(91.8715x100)(1.2)(10110)yx+−112y解之得xy==16.6628,−5.3084第11章随机利率11.1AV10的完整分布如下i(,,iii")概率AV(AV)21，231010100.05，（0.05）0.20(1.05)(1.05)9=1.62891.62892=2.6532980.05，（0.08）0.40(1.05)(1.08)9=2.09902.09902=4.4056110.05，（0.12）0.40(1.05)(1.12)9=2.91172.91172=8.478187(1)十年末累积价值的期望为：1000EAV×[10]=1000E(1×[+ii1)(1+2)"(1+i10)]=2330.05(2)十年末累积价值的二阶矩为：22221000×E⎡⎤⎣⎦()AV10=1000×E⎡⎣((1+ii1)(1+2)"(1+i10))⎤⎦=5684179.06累积价值的方差为：222varAV[]10=−=−=EAV⎡⎤⎣⎦10()EAV[]105684179.062330.05255027.6630 所以累积价值的标准差为：sd(AV)==255027.665051011.2(1)未来的诸利率之间是独立同分布的，其期望值为：ii==×+×+E()t0.30.050.40.100.30.15×=0.101010时刻的期望累积价值为：1000EAV×=[]1000(1×+i)=2593.74102222(2)诸i的方差为s，有：sEi=−=()(E()i)0.0015ttt10时刻累积价值的方差为：10⎧⎫⎡⎤22×102221000×=varAV[]101000×⎨⎬()1+is+−()1+i=83865.54⎢⎥⎣⎦⎩⎭所以10时刻累积价值的标准差为：sd(AV)==83865.54289.601011.3未来的诸利率之间是独立同分布的，其期望值为：ii==E0()tμ=.16时刻3的期望累积价值为：331000EAV×=[3]1000(1×+i)=1000×=()1.161560.9011.4公式（3）和（4）。11.5时刻1的存款的累积价值的期望为：5000EAV×[31]=5000E(1×[+iii)(1+2)(1+3)]=6350.4时刻2的存款的累积价值的期望为：3000EAV×[22]=3000E(1×[+ii)(1+32)]=3000×1+Ε([i])(1+Ε[i3])=3528时刻3的存款的累积价值的期望为：2000EAV×[]=2000E(1×[+i)]=224013所以3年末该账户累积价值的期望为：6350.43528224012118.4++=11.6未来的诸利率之间是独立的，有：E⎡⎤⎣⎦sin=++++E(1⎡⎤⎣⎦[]23)(1i)""(1inn)[(1++++i34)(1i)(1ii)]"+[(1++n)][]1=1+Ε()[]iiiiiii23()1+Ε[]""()1+Ε[]nn+1+Ε()[]34()1+Ε[]()1+Ε[]+1+Ε()[]n+1未来的诸利率之间还是同分布的，其期望值为ii=E()，有：tE⎡⎤⎣⎦siiiiiiin=1+Ε()[23]()1+Ε[]""(1+Ε[nn])+1+Ε([34])(1+Ε[])(1+Ε[])+1+Ε()[n]+1nn−−12=()11+ii+()++"+()1+is+=1ni11.7(1)未来的诸利率之间是独立同分布的，其期望值为：ii==E0().07t222时刻的期望累积价值为：EAV[]=+=(1i)()1.07=1.144922(2)诸i的方差为s=0.0004t222×2⎡⎤2时刻2累积价值的方差为：varAV[]=++−+()1is()1i=0.0009162⎢⎥⎣⎦31 211.8(1)下表提供了ln(1+i)和[ln(1+i)]的期望tt2概率(1+it)ln(1+it)[ln(1+it)]0.81.070.0676590.0045780.21.100.0953100.009084期望1.0760.0731890.005479ln(1+i)的期望为：μ=0.073189t22ln(1+i)的方差为：σ=−0.005479()0.073189=0.000122t2(2)因此，ElnAV⎡⎤⎡⎤()==50,varlnAVμ()50σ⎣⎦⎣⎦5050Pr1000AV()50>=40000PrlnAV⎡⎤⎣⎦(50)>ln40()⎡⎤lnAV()50−−50μln40()(500.073189)=Pr⎢⎥>⎣⎦σ500.00012250=Pr[][]ZZ>0.376=1−Pr<0.376Pr[Z<=0.376]0.65，Pr1000AV()50>=400000.35211.9lnAV()是具有均值nμ、方差nσ的正态随机变量，故：n⎛⎞lnAV(n)−nμ0.95==15000PrlnAV⎡⎤⎣⎦(10)>ln2.5()⎡⎤lnAV()10−−10μln2.5()()100.08=>Pr⎢⎥=1Pr−[]Z<0.822⎣⎦σ100.00210Pr[Z<=0.822]0.794，Pr6000AV()10>=1500020.6%11.12在固定利率模型下，现在投资单位1，经过n年其累积价值为AVn，有：nAV=+(1i)n12因为(1+i)服从参数为μ和σ的对数正态分布，1lnAV()n2⇒+=ln(1i)服从均值为μ，方差为σ的正态分布。有：1nPr6000AV()nn>=15000PrlnAV⎡⎤⎣⎦()>ln2.5()⎡⎤lnAV/()nnn−−μln2.5/()μμ⎡ln2.5/()n−⎤=>Pr⎢⎥=1Pr−⎢Z<⎥⎣⎦σσ⎣σ⎦⎡⎤ln2.5/()n−μ⇒>Pr6000AV()1015000=1Pr−⎢⎥ZZ<=1Pr−[]<0.260⎣⎦σPr[Z<=0.260]0.603，故Pr6000AV(10>=15000)39.7%11.13利率树：18.000％0712.000％0.70.38.000％8.000％0.30.75.333％0.33.556％未来现金流和各节点的价值：33 CF=1090.7V=0i=12.000%1CF=90.7V=97.32i=8.000%10.3CF=0CF=109V=99.190.7V=00.7i1=5.333%CF=9V=1000.3CF=109V=0时刻0时刻1时刻20.7(0109)(0.3)(0109)+++时刻1的上节点：V==97.321.120.7(0109)(0.3)(0109)+++时刻1的下节点：V==103.481.05333但是这一价值超过了债券的可赎回价值100，所以V=1000.7(997.32)(0.3)(9100)+++时刻0的价值V==99.191.08因此，该可赎回债券的价值为99.19。11.14由题意：γ===0.3,pi0.75,5.000%1时刻1的即期利率由时刻0的即期利率发展而来，在时刻0利率水平的基础上上调30％的可能为0.75；在时刻0利率水平的基础上下降30％的概率为0.25。时刻2的即期利率由时刻1的即期利率发展而来，在时刻1利率水平的基础上上调30％的可能为0.75；在时刻1利率水平的基础上下降30％的概率为0.25。有利率树：8.450％0.756.500％0.750.255.000％5.000％0.250.753.846％0.252.959％E[i2]=+()0.750.750.0845()()(0.750.250.05)()()+(0.250.750.05)()()+=()0.250.250.02959()()6.813%34'