《电磁场与电磁波》课后习题解答(第五章).doc 17页

'习题及参考答案5.1一个点电荷Q与无穷大导体平面相距为d，如果把它移动到无穷远处，需要作多少功？解：用镜像法计算。导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替，镜像电荷的大小为-Q，位于和原电荷对称的位置。当电荷Q离导体板的距离为x时，电荷Q受到的静电力为静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的外力在移动过程中，外力f所作的功为当用外力将电荷Q移动到无穷远处时，同时也要将镜像电荷移动到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为。也可以用静电能计算。在移动以前，系统的静电能等于两个点电荷之间的相互作用能：移动点电荷Q到无穷远处以后，系统的静电能为零。因此，在这个过程中，外力作功等于系统静电能的增量，即外力作功为17 。y-qqd··5．2一个点电荷放在直角导体内部（如图5-1），求出所有镜像电荷的位置和大小。a解：需要加三个镜像电荷代替x导体面上的感应电荷。在（-a，d）qq··处，镜像电荷为-q，在（错误！链接无效。）处，镜像电荷为q，在（a，-d）处，镜像电荷为-q。图5-15．3证明：一个点电荷q和一个带有电荷Q、半径为R的导体球之间的作用力为其中D是q到球心的距离（D＞R）。证明：使用镜像法分析。由于导体球不接地，本身又带电Q，必须在导体球内加上两个镜像电荷来等效导体球对球外的影响。在距离球心b=R2/D处，镜像电荷为q＇=-Rq/D；在球心处，镜像电荷为。点电荷q受导体球的作用力就等于球内两个镜像电荷对q的作用力，即5．4两个点电荷+Q和-Q位于一个半径为a的接地导体球17 的直径的延长线上，分别距离球心D和-D。（1）证明：镜像电荷构成一电偶极子，位于球心，偶极矩为2a3Q/D2。（2）令Q和D分别趋于无穷，同时保持Q/D2不变，计算球外的电场。解：（1）使用导体球面的镜像法叠加原理分析。在球内应该加上两个镜像电荷：一个是Q在球面上的镜像电荷，q1=-aQ/D，距离球心b=a2/D；第二个是-Q在球面上的镜像电荷，q2=aQ/D，距离球心b1=-a2/D。当距离较大时，镜像电荷间的距离很小，等效为一个电偶极子，电偶极矩为（2）球外任意点的电场等于四个点电荷产生的电场的叠加。设+Q和-Q位于坐标z轴上，当Q和D分别趋于无穷，同时保持Q/D2不变时，由+Q和-Q在空间产生的电场相当于均匀平板电容器的电场，是一个均匀场。均匀场的大小为，方向在-ez。由镜像电荷产生的电场可以由电偶极子的公式计算：17 5．5接地无限大导体平板上有一个半径为a的半球形突起，在点（0，0，d）处有一个点电荷q（如图5-5），求导体上方的电位。qz·解：计算导体上方的电位时，要保持d导体平板部分和半球部分的电位都为aq2b··零。先找平面导体的镜像电荷q1=-q，-bq3·位于（0，0，-d）处。再找球面镜像q1-d·电荷q2=-aq/d，位于（0，0，b）处，b=a2/d。当叠加这两个镜像电荷和原电荷共同产生的电位时，在导体平面上和图5-5球面上都不为零，应当在球内再加上一个镜像电荷q3=aq/d，位于（0，0，-b）处。这时，三个镜像电荷和原电荷共同产生的电位在导体平面和球面上都为零。而且三个镜像电荷在要计算的区域以外。导体上方的电位为四个点电荷的叠加，即其中5．6求截面为矩形的无限长区域（01的各项，得由此解出。最终得到圆柱内、外的电位分别是电场强度分别为5．14在均匀电场中，设置一个半径为a的介质球，若电场的方向沿z轴，求介质球内、外的电位、电场（介质球的介电常数为ε，球外为空气）。解：设球内、外电位解的形式分别为选取球心处为电位的参考点，则球内电位的系数中，.在r→∞处，电位，则球外电位系数中，仅仅不为零，17 ，其余为零。因此，球内、外解的形式可分别简化为再用介质球面（r=a）的边界条件=及，得比较上式的系数，可以知道，除了n=1以外，系数、均为零，且由此，解出系数最后得到电位、电场：17 17'