《随机过程》第4章离散部分习题及参考答案.doc 12页

'湖南大学本科课程《随机过程》第4章习题及参考答案主讲教师：何松华教授30．设X(n)为均值为0、方差为s2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：，证：根据离散白噪声性质，(对于求和区间内的每个m1,在m2的区间内存在唯一的m2=m1,使得)(求和变量置换)31．均值为0、方差为s2的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h1(n)=anu(n)以及h2(n)=bnu(n)的级联系统(|a|<1,|b|<1)，输出为W(n)，求sW2。解：该级联系统的单位脉冲响应为参照题30的结果可以得到 32．设离散系统的单位脉冲响应为，输入为自相关函数为的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。解：根据离散时间随机过程通过离散时间线性系统理论，有注：对比因果连续系统的输出过程与输入过程相关函数的关系不妨设，则只有当m1³m时，求和区间内存在脉冲点，因此令：，则令：，则 考虑到相关函数的偶函数特性，得到：下面求功率谱密度函数，采用频域法。可以通过相关函数的傅立叶变换进行验证。典型双边序列的离散时间傅立叶变换对：33．序列X(n)和Y(n)满足差分方程其中a为整常数，试用X(n)的相关函数表示Y(n)的相关函数。解：当X(n)为平稳随机过程时，则Y(n)也为平稳的，且有34．实值一阶自回归过程X(n)满足差分方程 其中a1为常数，V(n)为方差为s2的白噪声，输入从n=0开始，。(1)证明：若V(n)均值非零，则X(n)非平稳；(2)证明：若V(n)均值为零、|a1|<1，则当n足够大时，；(3)若V(n)均值为零，|a1|<1，求X(n)的自相关函数的平稳解。证：(1)采用Wold分解方法显然，若V(n)均值非零，则X(n)的均值函数不是一个常数，是非平稳的。(2)若V(n)均值为零，则X(n)的均值为常数0，则根据相互独立随机变量的和的方差等于方差之和的性质，得到显然，若输入从n=0开始，则即使在V(n)均值为零的情况下，方差也不为常数，X(n)是非平稳的，当|a1|<1且n足够大时，渐近平稳，。(3)不妨假设时刻差m³0，则根据Wold分解得到 根据求和区间内的脉冲点的存在条件：，得到：当n足够大时，输出过程是渐近平稳的，自相关函数的平稳解为：35．考察如下的二阶自回归过程X(n)(1)若已知随机过程的相关函数值、、，试写出用于计算系数a1,a2以及零均值白色噪声的方差的Yule-Walker方程；(2)反过来，若已知a1=-1,a2=0.5,，求、、的值；(3)求相关函数的通解。解：(1)按题意为求平稳解。根据回归方程(离散时间因果系统的差分方程)可知：对于任意的n，只与V(n)以及V(n-m)(m>0)有关，即系统的输出只与当前时刻以及过去时刻的输入有关，则有：(、与V(n)无关)换成另外一种写法，根据得到即：(1)差分方程两边分别乘X(n-1)、取数学期望，并利用V(n)与X(n-1)的不相关性以及相关函数的偶函数特性得到：(2)同理，差分方程两边分别乘X(n-1)、取数学期望(3) (1)(2)(3)式联立，即得到二阶AR模型的Yule-Walker方程(三个方程可以求解三个未知数,a1,a2)(2)Yule-Walker方程可以写成如下的等效形式代入a1,a2,的具体数值，得到(3)当m>2时，差分方程两边分别乘X(n-m)、取数学期望,可得：上述差分方程的特征方程：，两个根为(共轭复根，模为，相角为)，根据差分方程理论，则相关函数的通解为：代入、，求得：，，于是显然RX(0)=1.2、RX(1)=0.8、RX(2)=0.2也满足上式；考虑到相关函数的实、偶函数特性以及m<0的情况，得：36．察如下的二阶自回归过程X(n) 零均值白色噪声的方差为，；求：(1)X(n)的功率谱密度；(2)根据Wold分解求X(n)的自相关函数；(3)求Yule-Walker方程解：(1)方程两边取离散时间傅立叶变换并利用其移位特性，得到则系统的传递函数为：根据离散时间随机过程通过离散时间线性系统理论，有(2)同理，自回归方程两边取Z变换，得到其中，z1,z2为系统特征方程的根，，根据题意，，系统稳定。作部分分式分解以及级数展开，得到 两边取逆Z变换并根据z变换的移位性质，得到不妨设m³0，则根据单位脉冲函数的求和性质得到考虑到相关函数的偶函数特性，得到：(1)参照题35的方法得到：37．考察如下的二阶MA模型，输入X(n)的功率谱密度为，求Y(n)的自相关函数和功率谱密度。解： 先考察m³0的情况，则、，于是考虑到相关函数的偶函数特性，得到根据差分方程得到系统的传递函数为根据随机过程通过线性系统特性，得到38、考察如下的ARMA模型其中V(n)为零均值、单位方差离散白色噪声，求X(n)的自相关函数。解：方法1。显然该系统的Z变换形式的传递函数为根据离散时间随机过程通过线性系统理论，输出随机过程Y(n)的相关函数的Z变换(Z变换形式的功率谱)为作部分分式分解 根据恒等关系得到、取逆Z变换得到(第2项对应右边序列，第3项对应左边序列)当m>0时，，考虑到相关函数的偶函数特性，得到：方法2：当m>1时，则X(n-m)与V(n),V(n-1)无关，差分方程两边同乘X(n-m)并取数学期望，得到该差分方程的解为：其中A1由初始条件确定，考虑到根据逆Z变换关系及留数定理(单位圆内只有1个极点z=0.9) ，考虑到(单位圆内有2个极点z=0.9,z=0)综合得到方法3：系统的传递函数为取逆Z变换得到系统的单位脉冲响应为根据离散时间随机过程通过线性系统理论先考虑m³0的情况，脉冲点的出现条件：对于m>0，有 考虑到以及相关函数的偶函数特性，得到方法4：根据推广的Yule-Walker方程求解根据V(n)的白色噪声特性、系统的因果特性以及输入输出的联合平稳特性，得到：差分方程两边分别同乘X(n)或X(n-1)，取数学期望并利用上述相关特性，得到一阶情况下的推广的Y-W方程为：以上两式联立求得：、。对于m>1，差分方程两边同乘X(n-m)并取数学期望得到根据递推关系：，考虑到，以及相关函数的偶函数特性，得到：。'