九年级数学上册 《二次函数》《相似》《锐角三角函数》提高练习题整合(无答案) 华东师大版.doc 45页

'二次函数补充题1.指出下列二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，y=2x⑵y=2x+1⑶⑷⑹⑺⑻2.指出下列二次函数图像的特征,⑴⑵⑶⑷⑸3.画出下列函数的图像⑴　⑵⑶4.求下列函数的解析式⑴二次函数的图像经过点(1,4)(2,7);⑵抛物线的顶点为(2,3),且经过(3,1);⑶抛物线经过(2,0)(1,5);⑷二次函数,当x=4时取得最小值,且它的图像与的交点的横坐标为6;⑸抛物线过(2,4),且顶点在y=2x+1上.5.⑴求抛物线的顶点坐标及对称轴；⑵的图像如图所示，其中M是顶点，请判断、a、b、c的符号⑶二次函数（a≠0）的图像如图所示M是顶点，ON=2，MN=1，OB·OC=3求①a,b,c②x取何值时y＞0③45 6.k为何值,抛物线在x轴的下方.7.已知抛物线⑴证明:不论m取何值,抛物线都与x轴有两个交点;⑵m取何值,交点分别在y轴的两侧;⑶m取何值,交点分别在y轴的右侧.8.已知抛物线过点,对称轴为x=2,且与x轴的两交点间的距离为,求解析式.9.若抛物线的图象都在直线的上方,求m的取值范围.10.已知二次函数的图象经过点A及B,且与x轴相切,求解析式.11.抛物线经过点,与x轴的两交点的距离为3,且,顶点在第四象限,求解析式.12.抛物线与x轴的两交点都在点(2,0)(4,0)之间,是否有这样的k使之成立,若有请求出k的值,若没有,试述理由.13.ab为正数,与都与x轴有交点,求的最小值.14.抛物线的开口向下,且与x轴交于AB两点,与y轴交于点C,若△ABC为等腰三角形,求a的值.15.抛物线与x轴交于AB两点,A在y轴的右侧,B在y轴的左侧,OA的长为a,OB的长度为b,⑴求m的取值范围;⑵若a:b=3:1,求m的值及解析式;⑶设⑵中的抛物线与y轴的交点为C,顶点为M,问抛物线上是否存在一点p,使△ABP的面积等于△BCM的面积的8倍,若存在,求出p点,若不存在请说明理由.16.已知bc为整数,方程两根都大于且小于0,求bc的值.17.作函数的图象45 18.作函数的图象19.已知抛物线⑴抛物线过原点,求k的值;⑵在⑴中,抛物线与x轴从左到右交于AB两点,问在对称轴的右侧的图象上是否存在点M,使锐角三角形AMB的面积等于3,若存在,请求出点M,若不存在,请说明理由.⑶在⑴⑵条件下,点P是抛物线上的点,且∠PAM=90°,求.20.抛物线交x轴正半轴于AB两点(A在B的左侧),交y轴,正半轴于C点,过ABC三点作⊙O且与y轴相切,⑴求ac满足的关系式;⑵设∠ACB=,求tan;⑶设抛物线的顶点为P,判断直线PA与⊙O的关系并证明.自编题例1.已知如图,AB是⊙O的直径,P是AB上的一点,弦CD经过点P,且∠DPB=45°,求证:PC+PD=2R例2.点M在X轴上,⊙M交X轴于AB两点,交Y轴于CD两点,C为弧AE的中点,AE=8,点A的坐标为(-2,0),(1)求直线BC的解析式;(2)连结MF、BC,求证:MF//BC例3.如图，弦AB=8，CD=4，求阴影部分的面积。例4.已知：如图，圆O的内接四边形ABCD，∠AOB=120°，∠DAB=52.5°，∠ABC=97.5°，AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,求四边形ABCD的面积45 例5.如何用无刻度的直尺过一点（非圆上）做直径的垂线例6.已知：如图，正五边形ADNEF中，AB⊥NE于B,AC⊥EF于C,半径OB=,求AB+AC的值例7.请阅读下列材料：在DABC中，若AB=AC，D为BC中点，连结AD则AD⊥BC,那么有AB-AD=BD=BDDC当点D是底边BC上任意点时过点A作AM^BC于M，∵AB=AC∴BM=CM∴AB－AD=（AM+BM）－（AM+DM）=BM－DM=（BM+DM）（BM－DM）=（CM+DM）（BM－DM）=CD∙BD结论成立；（1）当点D在底边BC的延长线上时请你直接写出你的结论；（2）经过不在⊙A上的一点D的直线与圆交与点BC,有怎样的变化？写出你的结论并证明；（3）如图，⊙O的切线AB、AC分别切⊙O于点B、C，直线AE交⊙O于E、F，交线段BC于点D，请你结合(1)(2)的结论，证明思维的定势与求异问题1甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲走8米后两人第一次相遇，然后甲继续向前到B立即返回，乙继续向前走到A立即返回，两人在距离B地6米处第二次相遇，求A、B两地的距离。45 分析：一般的思路是把问题归结为行程问题，重点放在理清路程、速度、时间三个量及三个量之间的关系上，此题中既没有速度具体数值，也没有时间的具体数值，路程的两个具体值也无法与问题的所求扯上关系，确实有点扑朔迷离，直接利用路程、速度、时间三者之间的数量关系是不容易解决的，只能另辟溪经。反观题目的整个过程，只是两个相遇的过程，而每一个过程中甲、乙所用的时间相等，每个人的行程则取决于自己的速度，也就是说，两人路程之比等于他们的速度之比，两个过程皆如此，这就为问题的解决找到了出口。解：设第一次相遇距B地x米，由题意可得解之得（不合题意，舍去）x+8=18答A、B两地的距离为18米。至此问题得以解决。尽管问题的解决并不是中规中矩的行程问题的方法，但仍没有脱离行程问题的一般思路。利用方程的思想，但若换个角度去思考，则会另有一番风味。从整个过程来看，甲、乙的速度都没有变化，第一次相遇甲乙合走一个全程甲单独走了8米，那么第二次相遇甲乙合走三个全程甲应单独走了三个8米即24米，甲事实上走了一个全程多6米，因此A、B两地的距离是18米。问题2某人在公路上匀速行走，环路公共汽车每隔4分钟就有一辆与之迎面相遇；每隔6分钟就有一辆从后越过此人；汽车站每隔几分钟双向各发一辆车？解：设汽车的速度为x，人行走的速度为y，每隔t分钟发一辆车，由题意得，两式相加可得：∴（分）此题中一般化的结论设汽车的速度为x，人行走的速度为y，每隔t分钟发一辆车，相遇时间为a分钟，追及时间为b分钟，由题意得，有两式相加可得：∴与前一个问题类似，这个问题仍是行程问题，此问题的解决也仍采用的是方程的思想，但有一个设而不求的问题，理解、接受是比较困难的。45 换个角度，这个问题中的两个过程分别是相遇和追及的过程，这与顺水航行与逆水航行的过程的数量关系是比较一致的，若用下面的思路：设两车的发车间隔的距离为1，相遇的时间是a,则车和人的速度的和为，追及的时间为b,则车和人的速度的差为，由此可以得出车的速度为，进而可以得出汽车的发车时间为=。问题3x为整数，求------+的最小值。这个问题的一般方法是分类讨论，但这个问题的数值较多，无法直接去解决，先把问题特殊化，从开始分类讨论得出一般结论，再对分类讨论得出一般结论，再对分类讨论得出一般结论，用不完全归纳的方法得出一般结论进而得出问题的解90。换一个角度，的几何意义是点x到点1的距离，当点x与点1重合时，的值最小为1；的几何意义是点x到点1、x到点2的距离的和，利用数轴可以看出，当点x与点1或点2重合或在点1与点2之间时，这个距离的和等于1，点x位于其他位置时这个距离大于1；的几何意义是点x到点1、x到点2、x到点3的距离的和，利用数轴可以看出，当点x与点1重合时，这个距离的和等于2，点x位于其他位置时这个距离大于2；不完全归纳得出结论：有奇数个零点时，x取中间的点值最小；有偶数个零点时，x取中间的两个点的值或取它们之间的任何值，值最小。由此可以得出此题在x取10时值最小，值为90。二次函数提高与综合45 1若m、n（mAC，AD=15，BD=5，DC=3，求AB的长64.已知：在锐角三角形ABC中，AD、CE是高，DABC和DBDE的面积分别为18和12，DE=求顶点B到边AC的距离45 22．分析探究：<相似三角形综合检测2，解答题第22题>变化过程中的不变因素如不论k取何都经过点(0,-3),不论k取何都相互平行,不论k取何都经过点(5,0),不论k取何都经过点(0,3),不论k取何都经过点(1,1),不论k取何都经过点(0,3)和(2,3)可变形为45 对于任意m都成立,则则且y=9,即过点.例：函数和函数（m为常数）在同一个平面直角坐标系中的图像可以是（）（A）（B）（C）（D）圆中的相似证明1.圆中的射影定理例1.已知如图AB是⊙O的直径，C为圆上一点，CD⊥AB于D，AD=9cm,BD=4cm,（1）求CD的长；（2）仿照此题能否作出已知的两条线段ab的比例中项c(只须保留作图痕迹)例2．DABC内接于半径为R的⊙O，BC是⊙O的直径，AD是DABC的高，OE∥AC，OE交AB于E，45 求证：（1）AE=BE（2）AE∙AC=AD∙R例3.已知如图,⊙O中,AB为直径,AC为弦,CD⊥AB于D,AF=AC,FB交⊙O于E,求证:∠ACE=∠AFD例4.已知如图,⊙O中,AB为直径,AC为弦,CD⊥AB于D,F为DC延长线上一点,AF交⊙O于E,求证:AC=AE·AF例5PA切⊙O于A，弦AB⊥OP交AB于E，OP=12，OE=3求切线PA的长例6.已知如图AB是⊙O的直径，C为圆上一点，CD⊥AB于D，连结ACBC,(1)试用两种方法证明:AC·BC=AB·CD(AB=2R)(2)向上平移AB,此时AB为弦,是否还有AC·BC=2R·CD,若有请证明,若没有请说明理由.45 2.圆中的等弧例1.已知如图,⊙O中,OC为半径，AB、CD为弦，且OC⊥AB于N，AB、CD交于点E，求证：BC=CE·CD例2.已知如图,⊙O中,OC为半径，AB、CD为弦，且OC⊥AB于N，AB、CD交于点E，求证：AC·BC=CE·CD例3.已知如图,ABCD是⊙O的两条互相垂直的直径,弦AE与直径CD交于点F,⊙O的半径为R,求证:AE·AF=2R例4如图7，在⊙O中，，，，则EC的长为．45 例5.点M在X轴上,⊙M交X轴于AB两点,交Y轴于CD两点,C为弧AE的中点,AE=8,点A的坐标为(-2,0),(1)求直线BC的解析式;(2)连结MFBC,求证:MF//BC例6.已知如图,⊙O中,AB为直径,DE为弦,且AB//DE,直线L⊥AB于A,ED的延长线交L于C,连结BE,求证:BE=CD·AB例7.已知如图,ABCD是⊙O的两条互相垂直的直径,E为OB的中点,CE的延长线交⊙O于G,AG交OD于F,求证:OD=3OF例8.已知如图,已知如图⊙O经过⊙O圆心,⊙O、⊙O都经过点A、B，⊙O的弦OE交AB于D,交⊙O于C,求证:OC=OE·OD例9．AB是⊙O的弦，P是AB所对优弧上的一点，直径CD⊥AB，PB交CD于E，AP交CD的延长线于F，求证：DEPF∽DEOA45 例10．⊙O与⊙G相交于A、B，且⊙G的圆心在⊙O上，AC是⊙G的弦，CB的延长线交⊙O于D，求证：DG⊥AC例11.如图,⊙O中,直径AB与弦CD垂直,F是半径OC的中点,BF交⊙O于E,DE交AC于G,求证:G是AC的中点.3.其他例1．已知：如图，⊙O中弦AB=13，P为AB上一点，AP=4，OP=8求⊙O的半径例2．AB是⊙O的直径，过B作切线BC，使BC=AB，连结OC交⊙O于E，连结AE并延长交BC于D，求证：CE=BD45 三角函数复习一、三角函数的定义（α为直角三角形中的一个锐角）sinα=cosα=tanα=二、三角函数之间的关系1同角（α为锐角）2互余角（α为锐角）sin(90°-α)=cosαcos(90°-α)=sinα三、直角三角形的边角关系：△ABC中,∠C=90°，三边为abc,则1角与角的关系（互余）∠A+∠B=90°2边与边的关系（勾股定理）3边与角的关系，,45 四、特殊角的三角函数值（30°45°60°）五、三角函数的变化规律六、解直角三角形1两直角边(ab)2斜边直角边（ac或bc）3斜边一锐角（cA或cB）4直角边一锐角(aA或aB或bA或bB)七、解题思路和方法1锐角三角函数值求法：常用方法是用定义；思路：a)观察能否计算相应直角三角形边长b)适当设未知数，将相应的直角三角形边长用未知数表示出（也可以用互余两角的三角函数或同交的三角函数关系去求）技巧：a)求一个锐角的三角函数也可以改求与其相等的角的三角函数b)适当作垂线将所求的角置于直角三角形中2题目条件（或结论中）有三角函数值时，设法转化为线段的比3可解三角形：一般三角形满足的条件是SSSSASASAAASSSA其中角是特殊角30°45°60°120°135°150°或是角的三角函数值时，三角形可解方法：适当作垂线，转化成直角三角形，将30°45°60°或已知三角函数的角置于直角三角形中4可解三角形的应用a)寻找可解三角形，并将它的边角视为已知条件，b)准确画出实际问题的示意图5特殊题目已知两角及夹边，求这边上的高八、重要概念仰角与俯角坡度坡比坡角方向角和方位角一、填空题1若α为锐角，tanα=，则sinα=cosα=.2若α为锐角，cosα=，则α=sinα=tanα=.3化简=4若sinα+cosα=，则sinαcosα=；若α为锐角，，则α=5若α为锐角，tanαtan14°=1，则α=若α为锐角，tanα—cotα=1，则tanα+cotα=6如图水库大坝的横断面是梯形ABCD,BE⊥DC45 于E,BE=4,斜坡BC的坡度i=1:,AB=10,AD=5,则∠BCD=DC=斜坡AD的坡度是7Rt△ABC中，a=,b=,则c=tanA=8△ABC中,∠A=30°，∠B=60°，a+b=2+,则c=9△ABC中,∠C=90°,a=3,且1+sinA=4cosB,则b=10△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AB-AC=2-,则BC=二、选择题（每题有且只有一个正确答案）1△ABC中,∠C=90°,AB=4BC,则sinB的值为（）ABCD2△ABC中,，则∠C等于（）A60°B45°C30°D15°3若α为锐角，tan(90°-α)tan51°=1，则α等于（）A51°B49°C39°D无法确定4若α为锐角，，则α的取值范围是（）A60°≤α＜90°B45°≤α≤60°C30°≤α≤45°D0°＜α≤30°5下面结论中，正确的是（）Asin50°＞sin41°Bsin23°＞sin27°Csin80°＞tan50°Dtan25°＞tan50°6若α为锐角，,则α的取值范围是（）A0°<α<30°B30°<α<45°C45°<α<60°D60°<α＜90°7两灯塔A和B与岸上观察站C的距离相等，若A在C的北偏东40°，B在C的南偏东60°，则A在B的（）A北偏东10°B南偏西20°C南偏东20°D北偏西10°8三角形中有两个角为30°和45°，若45°所对的边长为8，则30°所对的边长是（）A4BCD无法求出9△ABC中,AD是高，若AD=2,BD=2,CD=,则∠BAC等于()A105°B15°C15°或105°D60°10三角形三边之比为5：7：8，则三角形最大角与最小角的度数之和是（）A90°B120°C135°D150°三、解答题45 1计算⑴⑵⑶⑷若α为锐角，，求的值2△ABC中，D是AB上一点，DC⊥AC，tan∠BCD=，，求sinA3△ABC中,ED分别是ABBC边上的点，DE⊥BC,∠B=30°,BE=,求cos∠ADC.4△ABC中,∠ACB=90°,根据下列条件解三角形⑴∠A=60°，CD⊥AB于D,CD=⑵CD⊥AB于D,a=2,BD=⑶∠A=60°,a+b=60°5△ABC中，a=3,b=2,A为锐角，cosB=,求AB的长及∠A的度数6锐角△ABC中，∠B=60°,AC=,求AB和BC的长7从B点望铁塔顶端A的仰角的正弦值是，前进30米到达D点，再测A的仰角为60°，求铁塔的高8一船沿正东方向航行，在B处测得灯塔A在它的北偏东75°，船向东航行10海里到达C处，在测A在它的东北方向，若船速不变继续向正东航行，求船与灯塔最近时应从C点向正东航行多少海里？9梯形ABCD中，AB//CD,AB=2,CD=6,高长为4，若2tanD=tanC,求AD的长10△ABC中,∠C=90°，ED分别是ACAB边上的点，DE⊥AB,若CE=，CosA=,tan∠BED=,求DE的长11四边形ABCD中，∠A=120°,∠ABC=90°,BD=7,cos∠DBC=,求AB的长45 12四边形ABCD中，AB=1,AD=,BC=+1∠A=75°,∠ABC=120°,求DC的长13若α为锐角，试比较与的大小14△ABC中,∠C=90°，ED分别是BCAB边上的点，若∠ADC=45°,DE⊥AB,tan∠DAE=,BE=3,求DE的长15△ABC中,a=5,b=4,,求AB的长16△ABC中,D是BC上一点，若AD⊥BC,∠BAC=45°,AD:BD=2:1,AD=,求sinC17△ABC中,D是AC上一点，若∠C=45°,若∠ADb=60°,当AD和CD满足什么条件时，能使△ABD∽△ACB18锐角△ABC的三边为abc,方程的两根的平方和为1，方程有实根，求⑴sinA⑵△ABC的面积解直角三角形1如图,在RtDABC中,∠C=90°AC=6,∠A的平分线AD=4,求DABD的面积.2已知如图,RtDABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,D是AB上的一点,AD=3DB,过D作DE⊥BC于点E,求sin∠ACD的值.45 3已知如图,测速站P和公路L在同一水平面上,P到公路L的距离PO为300米,事先在公路上找到满足∠OAP=30°、∠OBP=45°的A、B两点安装测速设备.一辆汽车在公路L上沿AB方向匀速行驶,测得它从点A到点B所用的时间为9秒(1)计算此车从点A到点B的速度为每秒多少米?(结果精确到个位,取1.732)(2)若此路段限定速度不超过80千米/时,判断此车是否超速,并说明理由.4如图,在RtDABC中,∠C=90°,tanB=,AB=2,若点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合),设CD=x,DABD的面积为y(1)请你写出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)当DABD是等腰三角形时,求出DABD的面积.5如图在矩形ABCD中,DE⊥AC,垂足为E,设∠ADE=且cos=,CE=3求BC的长6如图在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,EC=1,sinB=求四边形ABCD的周长45 7如图,在RtDABC中,∠ACB=90°CD⊥AB于D,若AC=4,BD=6求BC的长8如图,在RtDABC中,∠C=90°,AC=BCAD为角平分线,DE⊥AB于E,AB=6cm求DDBE的周长9如图,在RtDABC中,∠C=90°,D在BC上,BD=4,AD=BC,cos∠ADC=求DC的长10如图,在DABC中,∠C=90°,AC=BCD为AC上一点,且cot∠ABD=5BC=6,求AD:DC的值45 11.已知:如图E是矩形ABCD的边AB上的一点,AE:BE=3:5若将三角形EBC沿EC翻折,点B恰好落在边AD上,CE=15,求边AB、BC.12.已知:如图DABC中,∠A=30°∠C=90°,D为AB边的延长线上一点,且∠CDA=45°,AB=4求线段BD、CD的长13.已知:如图,D为AB边上一点,,CD^AC,cos∠DCB=,且AC+CD=18求tanA,边AB的长14.矩形ABCD中,AB=4,BC=8,将DBCD沿BD翻折,求,将DBCD翻折后的三角形BDC与DABD重叠部分的面积.45 15.直线y=0.5x－2交x、y轴于A、B两点,过点P(3,0)的直线交y轴的正半轴于C,求(1)tan∠OAB(2)若DCOP与DAOB相似,求直线PC的解析式图116．已知△ABC，分别以AB、BC、CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF.（1）如图1，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；图2（2）如图2，当△ABC中只有∠ACB=60°时，请你证明与的和等于与的和.45'