同济大学第六版高等数学课后答案全集.pdf 131页

'同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1−11.设A=(−∞,−5)∪(5,+∞),B=[−10,3),写出A∪B,A∩B,AB及A(AB)的表达式.解A∪B=(−∞,3)∪(5,+∞),A∩B=[−10,−5),AB=(−∞,−10)∪(5,+∞),A(AB)=[−10,−5).2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:(A∩B)C=AC∪BC.证明因为x∈(A∩B)C⇔x∉A∩B⇔x∉A或x∉B⇔x∈AC或x∈BC⇔x∈AC∪BC,所以(A∩B)C=AC∪BC.3.设映射f:X→Y,A⊂X,B⊂X.证明(1)f(A∪B)=f(A)∪f(B);(2)f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).证明因为y∈f(A∪B)⇔∃x∈A∪B,使f(x)=y⇔(因为x∈A或x∈B)y∈f(A)或y∈f(B)⇔y∈f(A)∪f(B),所以f(A∪B)=f(A)∪f(B).(2)因为y∈f(A∩B)⇒∃x∈A∩B,使f(x)=y⇔(因为x∈A且x∈B)y∈f(A)且y∈f(B)⇒y∈f(A)∩f(B),所以f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).4.设映射f:X→Y,若存在一个映射g:Y→X,使g�f=IX,f�g=IY,其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个x∈X,有IXx=x;对于每一个y∈Y,有I−1Yy=y.证明:f是双射,且g是f的逆映射:g=f.证明因为对于任意的y∈Y,有x=g(y)∈X,且f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1≠x2,必有f(x1)≠f(x2),否则若f(x1)=f(x2)⇒g[f(x1)]=g[f(x2)]⇒x1=x2.因此f既是单射,又是满射,即f是双射. 对于映射g:Y→X,因为对每个y∈Y,有g(y)=x∈X,且满足f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,按逆映射的定义,g是f的逆映射.5.设映射f:X→Y,A⊂X.证明:(1)f−1(f(A))⊃A;(2)当f是单射时,有f−1(f(A))=A.证明(1)因为x∈A⇒f(x)=y∈f(A)⇒f−1(y)=x∈f−1(f(A)),所以f−1(f(A))⊃A.(2)由(1)知f−1(f(A))⊃A.另一方面,对于任意的x∈f−1(f(A))⇒存在y∈f(A),使f−1(y)=x⇒f(x)=y.因为y∈f(A)且f是单射,所以x∈A.这就证明了f−1(f(A))⊂A.因此f−1(f(A))=A.6.求下列函数的自然定义域:(1)y=3x+2;22解由3x+2≥0得x>−.函数的定义域为[−,+∞).331(2)y=;1−x2解由1−x2≠0得x≠±1.函数的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞).12(3)y=−1−x;x解由x≠0且1−x2≥0得函数的定义域D=[−1,0)∪(0,1].1(4)y=;4−x2解由4−x2>0得|x|<2.函数的定义域为(−2,2).(5)y=sinx;解由x≥0得函数的定义D=[0,+∞).(6)y=tan(x+1);ππ解由x+1≠(k=0,±1,±2,⋅⋅⋅)得函数的定义域为x≠kπ+−1(k=0,±1,±2,⋅⋅22⋅).(7)y=arcsin(x−3);解由|x−3|≤1得函数的定义域D=[2,4].1(8)y=3−x+arctan;x 解由3−x≥0且x≠0得函数的定义域D=(−∞,0)∪(0,3).(9)y=ln(x+1);解由x+1>0得函数的定义域D=(−1,+∞).1(10)y=ex.解由x≠0得函数的定义域D=(−∞,0)∪(0,+∞).7.下列各题中,函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lgx2,g(x)=2lgx;(2)f(x)=x,g(x)=x2;(3)f(x)=3x4−x3,g(x)=x3x−1.(4)f(x)=1,g(x)=sec2x−tan2x.解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x<0时,g(x)=−x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.⎧π|sinx||x|<⎪3πππ8.设ϕ(x)=⎨,求ϕ(),ϕ(),ϕ(−),ϕ(−2),并作出函数y=ϕ(x)π644⎪0|x|≥⎩3的图形.ππ1ππ2ππ2解ϕ()=|sin|=,ϕ()=|sin|=,ϕ(−)=|sin(−)|=,ϕ(−2)=0.6624424429.试证下列函数在指定区间内的单调性:x(1)y=,(−∞,1);1−x(2)y=x+lnx,(0,+∞).证明(1)对于任意的x1,x2∈(−∞,1),有1−x1>0,1−x2>0.因为当x1−x2.因为f(x)在(0,l)内单调增加且为奇函数,所以f(−x2)f(x1),这就证明了对于∀x1,x2∈(−l,0),有f(x1)0);解由0≤x+a≤1得−a≤x≤1−a,所以函数f(x+a)的定义域为[−a,1−a].(4)f(x+a)+f(x−a)(a>0).11解由0≤x+a≤1且0≤x−a≤1得:当0时,无解.因此2211当0时函数无意义.22⎧1|x|<1⎪x18.设f(x)=⎨0|x|=1,g(x)=e,求f[g(x)]和g[f(x)],并作出这两个函数的图⎪⎩−1|x|>1形.⎧1|ex|<1⎧1x<0⎪x⎪解f[g(x)]=⎨0|e|=1,即f[g(x)]=⎨0x=0.⎪−1|ex|>1⎪⎩−1x>0⎩⎧e1|x|<1⎧e|x|<1g[f(x)]=ef(x)=⎪e0|x|=1,即g[f(x)]=⎪1|x|=1.⎨⎨⎪e−1|x|>1⎪e−1|x|>1⎩⎩19.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°(图1−37).当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域. 图1−37h1�解AB=DC=�,又从h[BC+(BC+2cot40⋅h)]=S0得sin402S0�BC=−cot40⋅h,所以hS�02−cos40L=+�h.hsin40自变量h的取值范围应由不等式组S0�h>0,−cot40⋅h>0h�确定,定义域为0N时,xn与其nn→∞极限之差的绝对值小于正数ε,当ε=0.001时,求出数N.解limxn=0.n→∞nπ|cos|2111|xn−0|=≤.∀ε>0,要使|xn−0|<ε,只要<ε,也就是n>.取nnnε1N=[],ε则∀n>N,有|xn−0|<ε.1当ε=0.001时,N=[]=1000.ε3.根据数列极限的定义证明: 1(1)lim=0;n→∞n211211分析要使|−0|=<ε,只须n>,即n>.n2n2εε111证明因为∀ε>0,∃N=[],当n>N时,有|−0|<ε,所以lim=0.εn2n→∞n23n+13(2)lim=;n→∞2n+123n+131111分析要使|−|=<<ε,只须<ε,即n>.2n+122(2n+1)4n4n4ε13n+133n+13证明因为∀ε>0,∃N=[],当n>N时,有|−|<ε,所以lim=.4ε2n+12n→∞2n+12n2+a2(3)lim=1;n→∞nn2+a2n2+a2−na2a2a2分析要使|−1|==<<ε,只须n>.nnn(n2+a2+n)nεa2n2+a2证明因为∀ε>0,∃N=[],当∀n>N时,有|−1|<ε,所以εnn2+a2lim=1.n→∞n(4)lim0�.�999�⋅�⋅�⋅9=1.n→∞n个111分析要使|0.99⋅⋅⋅9−1|=<ε,只须<ε,即n>1+lg.10n−110n−1ε1证明因为∀ε>0,∃N=[1+lg],当∀n>N时,有|0.99⋅⋅⋅9−1|<ε,所以εlim0�.�999�⋅�⋅�⋅9=1.n→∞n个4.limun=a,证明lim|un|=|a|.并举例说明:如果数列{|xn|}有极限,但数列n→∞n→∞{xn}未必有极限.证明因为limun=a,所以∀ε>0,∃N∈N,当n>N时,有|un−a|<ε,从而n→∞||un|−|a||≤|un−a|<ε. 这就证明了lim|un|=|a|.n→∞数列{|xn,但lim(−1)nn|}有极限,但数列{xn}未必有极限.例如lim|(−1)|=1不n→∞n→∞存在.5.设数列{xn}有界,又limyn=0,证明:limxnyn=0.n→∞n→∞证明因为数列{xn}有界,所以存在M,使∀n∈Z,有|xn|≤M.ε又limyn=0,所以∀ε>0,∃N∈N,当n>N时,有|yn|<.从而当n>N时,有n→∞Mε|xnyn−0|=|xnyn|≤M|yn|0,∃K1,当2k−1>2K1−1时,有|x2k−1−a|<ε;∃K2,当2k>2K2时,有|x2k−a|<ε.取N=max{2K1−1,2K2},只要n>N,就有|xn−a|<ε.因此xn→a(n→∞).习题1−31.根据函数极限的定义证明:(1)lim(3x−1)=8;x→3分析因为|(3x−1)−8|=|3x−9|=3|x−3|,1所以要使|(3x−1)−8|<ε,只须|x−3|<ε.31证明因为∀ε>0,∃δ=ε,当0<|x−3|<δ时,有3|(3x−1)−8|<ε,所以lim(3x−1)=8.x→3(2)lim(5x+2)=12;x→2 分析因为|(5x+2)−12|=|5x−10|=5|x−2|,1所以要使|(5x+2)−12|<ε,只须|x−2|<ε.51证明因为∀ε>0,∃δ=ε,当0<|x−2|<δ时,有5|(5x+2)−12|<ε,所以lim(5x+2)=12.x→2x2−4(3)lim=−4;x→−2x+2分析因为x2−4x2+4x+4−(−4)==|x+2|=|x−(−2)|,x+2x+2x2−4所以要使−(−4)<ε,只须|x−(−2)|<ε.x+2证明因为∀ε>0,∃δ=ε,当0<|x−(−2)|<δ时,有x2−4−(−4)<ε,x+2x2−4所以lim=−4.x→−2x+21−4x3(4)lim=2.x→−12x+12分析因为1−4x31−2=|1−2x−2|=2|x−(−)|,2x+121−4x311所以要使−2<ε,只须|x−(−)|<ε.2x+12211证明因为∀ε>0,∃δ=ε,当0<|x−(−)|<δ时,有221−4x3−2<ε,2x+11−4x3所以lim=2.x→−12x+122.根据函数极限的定义证明: 1+x31(1)lim=;x→∞2x32分析因为1+x311+x3−x31−==,2x322x32|x|31+x3111所以要使−<ε,只须<ε,即|x|>.2x322|x|332ε1证明因为∀ε>0,∃X=,当|x|>X时,有32ε1+x31−<ε,2x321+x31所以lim=.x→∞2x32sinx(2)lim=0.x→+∞x分析因为sinx|sinx|1−0=≤.xxxsinx11所以要使−0<ε,只须<ε,即x>.ε2xx1证明因为∀ε>0,∃X=,当x>X时,有ε2sinx−0<ε,xsinx所以lim=0.x→+∞x3.当x→2时,y=x2→4.问δ等于多少,使当|x−2|<δ时,|y−4|<0.001？解由于当x→2时,|x−2|→0,故可设|x−2|<1,即1X时,|y−1|<0.01?x2+3 x2−144解要使−1=<0.01,只要|x|>−3=397,故X=397.x2+3x2+30.015.证明函数f(x)=|x|当x→0时极限为零.证明因为|f(x)−0|=||x|−0|=|x|=|x−0|,所以要使|f(x)−0|<ε,只须|x|<ε.因为对∀ε>0,∃δ=ε,使当0<|x−0|<δ,时有|f(x)−0|=||x|−0|<ε,所以lim|x|=0.x→0x|x|6.求f(x)=,ϕ(x)=当x→0时的左﹑右极限,并说明它们在x→0时的极xx限是否存在.证明因为xlimf(x)=lim=lim1=1,x→0−x→0−xx→0−xlimf(x)=lim=lim1=1,x→0+x→0+xx→0+limf(x)=limf(x),x→0−x→0+所以极限limf(x)存在.x→0因为|x|−xlimϕ(x)=lim=lim=−1,x→0−x→0−xx→0−x|x|xlimϕ(x)=lim=lim=1,x→0+x→0+xx→0+xlimϕ(x)≠limϕ(x),x→0−x→0+所以极限limϕ(x)不存在.x→07.证明:若x→+∞及x→−∞时,函数f(x)的极限都存在且都等于A,则limf(x)=A.x→∞证明因为limf(x)=A,limf(x)=A,所以∀ε>0,x→−∞x→+∞∃X1>0,使当x<−X1时,有|f(x)−A|<ε;∃X2>0,使当x>X2时,有|f(x)−A|<ε. 取X=max{X1,X2},则当|x|>X时,有|f(x)−A|<ε,即limf(x)=A.x→∞8.根据极限的定义证明:函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设f(x)→A(x→x0),则∀ε>0,∃δ>0,使当0<|x−x0|<δ时,有|f(x)−A|<ε.因此当x0−δ0,∃δ1>0,使当x0−δ10,使当x00及M>0,使当|x|>X时,|f(x)|0,当|x|>X时,有|f(x)−A|<ε=1.所以|f(x)|=|f(x)−A+A|≤|f(x)−A|+|A|<1+|A|.这就是说存在X>0及M>0,使当|x|>X时,|f(x)|0,∃δ=ε,当0<|x−3|<δ时,有x+3x2−9|y|==|x−3|<δ=ε,x+3x2−9所以当x→3时y=为无穷小.x+3 1(2)当x≠0时|y|=|x||sin|≤|x−0|.因为∀ε>0,∃δ=ε,当0<|x−0|<δ时,有x1|y|=|x||sin|≤|x−0|<δ=ε,x1所以当x→0时y=xsin为无穷小.x1+2x3.根据定义证明:函数y=为当x→0时的无穷大.问x应满足什么条件,x能使|y|>104？1+2x111证明分析|y|==2+≥−2,要使|y|>M,只须−2>M,即xx|x||x|1|x|<.M+211+2x证明因为∀M>0,∃δ=,使当0<|x−0|<δ时,有>M,M+2x1+2x所以当x→0时,函数y=是无穷大.x4,则114.取M=10δ=.当0<|x−0|<时,|y|>10104+2104+24.求下列极限并说明理由:2x+1(1)lim;x→∞x1−x2(2)lim.x→01−x2x+1112x+1解(1)因为=2+,而当x→∞时是无穷小,所以lim=2.xxxx→∞x1−x21−x2(2)因为=1+x(x≠1),而当x→0时x为无穷小,所以lim=1.1−xx→01−x5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:f(x)→Af(x)→∞f(x)→+∞f(x)→−∞∀ε>0,∃δ>0,使x→x0当0<|x−x0|<δ时,有恒|f(x)−A|<ε.x→x+0x→x−0∀ε>0,∃X>0,使当|x|>X时,x→∞有恒|f(x)|>M. x→+∞x→−∞解f(x)→Af(x)→∞f(x)→+∞f(x)→−∞∀ε>0,∃δ>0,使∀M>0,∃δ>0,使∀M>0,∃δ>0,使∀M>0,∃δ>0,使x→x0当0<|x−x0|<δ时,当0<|x−x0|<δ时,当0<|x−x0|<δ时,当0<|x−x0|<δ时,有恒|f(x)−A|<ε.有恒|f(x)|>M.有恒f(x)>M.有恒f(x)<−M.∀ε>0,∃δ>0,使∀M>0,∃δ>0,使∀M>0,∃δ>0,使∀M>0,∃δ>0,使+当0M.有恒f(x)>M.有恒f(x)<−M.∀ε>0,∃δ>0,使∀M>0,∃δ>0,使∀M>0,∃δ>0,使∀M>0,∃δ>0,使−当0M.有恒f(x)>M.有恒f(x)<−M.∀ε>0,∃X>0,使∀ε>0,∃X>0,使∀ε>0,∃X>0,使∀ε>0,∃X>0,使x→∞当|x|>X时,有恒当|x|>X时,有恒当|x|>X时,有恒当|x|>X时,有恒|f(x)−A|<ε.|f(x)|>M.f(x)>M.f(x)<−M.∀ε>0,∃X>0,使∀ε>0,∃X>0,使∀ε>0,∃X>0,使∀ε>0,∃X>0,使x→+∞当x>X时,有恒当x>X时,有恒当x>X时,有恒当x>X时,有恒|f(x)−A|<ε.|f(x)|>M.f(x)>M.f(x)<−M.∀ε>0,∃X>0,使∀ε>0,∃X>0,使∀ε>0,∃X>0,使∀ε>0,∃X>0,使x→−∞当x<−X时,有恒当x<−X时,有恒当x<−X时,有恒当x<−X时,有恒|f(x)−A|<ε.|f(x)|>M.f(x)>M.f(x)<−M.6.函数y=xcosx在(−∞,+∞)内是否有界？这个函数是否为当x→+∞时的无穷大？为什么？解函数y=xcosx在(−∞,+∞)内无界.这是因为∀M>0,在(−∞,+∞)内总能找到这样的x,使得|y(x)|>M.例如y(2kπ)=2kπcos2kπ=2kπ(k=0,1,2,⋅⋅⋅),当k充分大时,就有|y(2kπ)|>M.当x→+∞时,函数y=xcosx不是无穷大.这是因为∀M>0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的x,都有|y(x)|>M.例如πππy(2kπ+)=(2kπ+)cos(2kπ+)=0(k=0,1,2,⋅⋅⋅),222π对任何大的N,当k充分大时,总有x=2kπ+>N,但|y(x)|=00,在(0,1]中总可以找到点xk,使y(xk)>M.例如当1xk=(k=0,1,2,⋅⋅⋅)π2kπ+2时,有πy(xk)=2kπ+,2当k充分大时,y(xk)>M.+11当x→0时,函数y=sin不是无穷大.这是因为xx∀M>0,对所有的δ>0,总可以找到这样的点xk,使0m.x→0(sinx)mx→0xm⎪⎩∞n1解只需考察函数在x=−1和x=1处的连续性.在x=−1处,因为f(−1)=−1,并且limf(x)=lim1=1≠f(−1),x→−1−x→−1−limf(x)=limx=−1=f(−1),x→−1+x→−1+所以函数在x=−1处间断,但右连续.在x=1处,因为f(1)=1,并且limf(x)=limx=1=f(1),limf(x)=lim1=1=f(1),x→1−x→1−x→1+x→1+所以函数在x=1处连续.综合上述讨论,函数在(−∞,−1)和(−1,+∞)内连续,在x=−1处间断,但右连续.2.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:x2−1(1)y=,x=1,x=2;x2−3x+2 x2−1(x+1)(x−1)解y==.因为函数在x=2和x=1处无定义,所以x=2和x2−3x+2(x−2)(x−1)x=1是函数的间断点.x2−1因为limy=lim=∞,所以x=2是函数的第二类间断点;x→2x→2x2−3x+2(x+1)因为limy=lim=−2,所以x=1是函数的第一类间断点,并且是可去间断x→1x→1(x−2)点.在x=1处,令y=−2,则函数在x=1处成为连续的.xπ(2)y=,x=k,x=kπ+(k=0,±1,±2,⋅⋅⋅);tanx2π解函数在点x=kπ(k∈Z)和x=kπ+(k∈Z)处无定义,因而这些点都是函数的2间断点.x因lim=∞(k≠0),故x=kπ(k≠0)是第二类间断点;x→kπtanxxxπ因为lim=1,lim=0(k∈Z),所以x=0和x=kπ+(k∈Z)是第一x→0tanxx→kπ+πtanx22类间断点且是可去间断点.令y|x=0=1,则函数在x=0处成为连续的;ππ令x=kπ+时,y=0,则函数在x=kπ+处成为连续的.2221(3)y=cos,x=0;x2121解因为函数y=cos在x=0处无定义,所以x=0是函数y=cos的间断点.xx21又因为limcos不存在,所以x=0是函数的第二类间断点.x→0x⎧x−1x≤1(4)y=⎨,x=1.⎩3−xx>1解因为limf(x)=lim(x−1)=0,limf(x)=lim(3−x)=2,所以x=1是函数的x→1−x→1−x→1+x→1+第一类不可去间断点.1−x2n3.讨论函数f(x)=limx的连续性,若有间断点,判别其类型.n→∞1+x2n ⎧−x|x|>11−x2n⎪解f(x)=limx=⎨0|x|=1.n→∞1+x2n⎪⎩x|x|<1在分段点x=−1处,因为limf(x)=lim(−x)=1,limf(x)=limx=−1,所以x→−1−x→−1−x→−1+x→−1+x=−1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x=1处,因为limf(x)=limx=1,limf(x)=lim(−x)=−1,所以x=1x→1−x→1−x→1+x→1+为函数的第一类不可去间断点.4.证明:若函数f(x)在点x0连续且f(x0)≠0,则存在x0的某一邻域U(x0),当x∈U(x0)时,f(x)≠0.证明不妨设f(x0)>0.因为f(x)在x0连续,所以limf(x)=f(x0)>0,由极限的局x→x0��部保号性定理,存在x0的某一去心邻域U(x0),使当x∈U(x0)时f(x)>0,从而当x∈U(x0)时,f(x)>0.这就是说,则存在x0的某一邻域U(x0),当x∈U(x0)时,f(x)≠0.5.试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子:11(1)x=0,±1,±2,±,⋅⋅⋅,±n,±,⋅⋅⋅是f(x)的所有间断点,且它们都是无穷间2n断点;π11解函数f(x)=csc(πx)+csc在点x=0,±1,±2,±,⋅⋅⋅,±n,±,⋅⋅⋅处是间断的x2n,且这些点是函数的无穷间断点.(2)f(x)在R上处处不连续,但|f(x)|在R上处处连续;⎧−1x∈Q解函数f(x)=⎨在R上处处不连续,但|f(x)|=1在R上处处连续.⎩1x∉Q(3)f(x)在R上处处有定义,但仅在一点连续.⎧xx∈Q解函数f(x)=⎨在R上处处有定义,它只在x=0处连续.⎩−xx∉Q习题1−9x3+3x2−x−31.求函数f(x)=的连续区间,并求极限limf(x),limf(x)及x2+x−6x→0x→−3limf(x).x→2 x3+3x2−x−3(x+3)(x−1)(x+1)解f(x)==,函数在(−∞,+∞)内除点x=2和x=−3x2+x−6(x+3)(x−2)外是连续的,所以函数f(x)的连续区间为(−∞,−3)、(−3,2)、(2,+∞).1在函数的连续点x=0处,limf(x)=f(0)=.x→02在函数的间断点x=2和x=−3处,(x+3)(x−1)(x+1)(x−1)(x+1)8limf(x)=lim=∞,limf(x)=lim=−.x→2x→2(x+3)(x−2)x→−3x→−3x−252.设函数f(x)与g(x)在点x0连续,证明函数ϕ(x)=max{f(x),g(x)},ψ(x)=min{f(x),g(x)}在点x0也连续.证明已知limf(x)=f(x0),limg(x)=g(x0).x→x0x→x0可以验证1ϕ(x)=[f(x)+g(x)+|f(x)−g(x)|],21ψ(x)=[f(x)+g(x)−|f(x)−g(x)|].21因此ϕ(x0)=[f(x0)+g(x0)+|f(x0)−g(x0)|],21ψ(x0)=[f(x0)+g(x0)−|f(x0)−g(x0)|].2因为1limϕ(x)=lim[f(x)+g(x)+|f(x)−g(x)|]x→x0x→x021=[limf(x)+limg(x)+|limf(x)−limg(x)|]2x→x0x→x0x→x0x→x01=[f(x0)+g(x0)+|f(x0)−g(x0)|]=ϕ(x0),2所以ϕ(x)在点x0也连续.同理可证明ψ(x)在点x0也连续.3.求下列极限:(1)limx2−2x+5;x→0 (2)lim(sin2x)3;πx→4(3)limln(2cos2x);πx→6x+1−1(4)lim;x→0x5x−4−x(5)lim;x→1x−1sinx−sina(6)lim;x→ax−a(7)lim(x2+x−x2−x).x→+∞解(1)因为函数f(x)=x2−2x+5是初等函数,f(x)在点x=0有定义,所以limx2−2x+5=f(0)=02−2⋅0+5=5.x→03π(2)因为函数f(x)=(sin2x)是初等函数,f(x)在点x=有定义,所以43ππ3lim(sin2x)=f()=(sin2⋅)=1.x→π444π(3)因为函数f(x)=ln(2cos2x)是初等函数,f(x)在点x=有定义,所以6ππlimln(2cos2x)=f()=ln(2cos2⋅)=0.x→π666x+1−1(x+1−1)(x+1+1)x(4)lim=lim=limx→0xx→0x(x+1+1)x→0x(x+1+1)111=lim==.x→0x+1+10+1+125x−4−x(5x−4−x)(5x−4+x)(5)lim=limx→1x−1x→1(x−1)(5x−4+x)4x−444=lim=lim==2.x→1(x−1)(5x−4+x)x→15x−4+x5⋅1−4+1 x+ax−a2cossinsinx−sina22(6)lim=limx→ax−ax→ax−ax−asinx+a2a+a=limcos⋅lim=cos⋅1=cosa.x→a2x→ax−a2222(x2+x−x2−x)(x2+x+x2−x)(7)lim(x+x−x−x)=limx→+∞x→+∞(x2+x+x2−x)2x2=lim=lim=1.x→+∞(x2+x+x2−x)x→+∞11(1++1−)xx4.求下列极限:1(1)limex;x→∞sinx(2)limln;x→0xx1(3)lim(1+)2;x→∞x2cot2x(4)lim(1+3tanx);x→0x−13+x(5)lim()2;x→∞6+x1+tanx−1+sinx(6)lim.x→0x1+sin2x−x11lim解(1)limex=ex→∞x=e0=1.x→∞sinxsinx(2)limln=ln(lim)=ln1=0.x→0xx→0xx11(3)lim(1+1)2=lim[(1+1)x]2=e2=e.x→∞xx→∞x 1(4)lim(1+3tan2x)cot2x=lim[(1+3tan2x)3tan2x]3=e3.x→0x→03+xx−1−36+x⋅−3x−1(5)()2=(1+)−36+x2.因为6+x6+x6+x−3−3x−13lim(1+)−3=e,lim⋅=−,x→∞6+xx→∞6+x22x−133+x−所以lim()2=e2.x→∞6+x(1+tanx−1+sinx)(1+sin2x+1)1+tanx−1+sinx(6)lim=limx→0x1+sin2x−xx→0x(1+sin2x−1)(1+tanx+1+sinx)2x2tanx⋅2sin(tanx−sinx)(1+sinx+1)2=lim=limx→0xsin2x(1+tanx+1+sinx)x→0xsin2xx22x⋅()21=lim=.x→0x32⎧exx<05.设函数f(x)=⎨,应当如何选择数a,使得f(x)成为在(−∞,+∞)⎩a+xx≥0内的连续函数？解要使函数f(x)在(−∞,+∞)内连续,只须f(x)在x=0处连续,即只须limf(x)=limf(x)=f(0)=a.x→−0x→+0因为limf(x)=limex=1,limf(x)=lim(a+x)=a,所以只须取a=1.x→−0x→−0x→+0x→+0习题1−101.证明方程x5−3x=1至少有一个根介于1和2之间.证明设f(x)=x5−3x−1,则f(x)是闭区间[1,2]上的连续函数.因为f(1)=−3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1,2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5−3x=1的介于1和2之间的根.因此方程x5−3x=1至少有一个根介于1和2之间.2.证明方程x=asinx+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=asinx+b−x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数.f(0)=b,f(a+b)=asin(a+b)+b−(a+b)=a[sin(a+b)−1]≤0.若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=asinx+b的一个不超过a+b的根;若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=asinx+b的一个不超过a+b的根.总之,方程x=asinx+b至少有一个正根,并且它不超过a+b.3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有|f(x)−f(y)|≤L|x−y|,其中L为正常数,且f(a)⋅f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0.证明设x0为(a,b)内任意一点.因为0≤lim|f(x)−f(x0)|≤limL|x−x0|=0,x→x0x→x0所以lim|f(x)−f(x0)|=0,x→x0即limf(x)=f(x0).x→x0因此f(x)在(a,b)内连续.同理可证f(x)在点a处左连续,在点b处右连续,所以f(x)在[a,b]上连续.因为f(x)在[a,b]上连续,且f(a)⋅f(b)<0,由零点定理,至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0.4.若f(x)在[a,b]上连续,a0,存在X>0,只要|x|>X,就有x→∞|f(x)−A|<ε,即A−ε0,使|f(x)|≤M,x∈[−X,X].取N=max{M,|A−ε|,|A+ε|},则|f(x)|≤N,x∈(−∞,+∞),即f(x)在(−∞,+∞)内有界.6.在什么条件下,(a,b)内的连续函数f(x)为一致连续？总习题一1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件.数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件.(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的________条件.limf(x)x→x0x→x0存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件.(3)f(x)在x0的某一去心邻域内无界是limf(x)=∞的________条件.x→x0limf(x)=∞是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件.x→x0(4)f(x)当x→x+−0时的右极限f(x0)及左极限f(x0)都存在且相等是limf(x)存在x→x0的________条件.解(1)必要,充分.(2)必要,充分.(3)必要,充分.(4)充分必要.2.选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设f(x)=2x+3x−2,则当x→0时,有().(A)f(x)与x是等价无穷小;(B)f(x)与x同阶但非等价无穷小;(C)f(x)是比x高阶的无穷小;(D)f(x)是比x低阶的无穷小.f(x)2x+3x−22x−13x−1解因为lim=lim=lim+limx→0xx→0xx→0xx→0xtu(令2x−1=t,3x−1=u).=ln2lim+ln3lim=ln2+ln3t→0ln(1+t)u→0ln(1+u)所以f(x)与x同阶但非等价无穷小,故应选B.3.设f(x)的定义域是[0,1],求下列函数的定义域:(1)f(ex);(2)f(lnx); (3)f(arctanx);(4)f(cosx).解(1)由0≤ex≤1得x≤0,即函数f(ex)的定义域为(−∞,0].(2)由0≤lnx≤1得1≤x≤e,即函数f(lnx)的定义域为[1,e].(3)由0≤arctanx≤1得0≤x≤tan1,即函数f(arctanx)的定义域为[0,tan1].ππ(4)由0≤cosx≤1得2nπ−≤x≤2nπ+(n=0,±1,±2,⋅⋅⋅),22ππ即函数f(cosx)的定义域为[2nπ−,nπ+],(n=0,±1,±2,⋅⋅⋅).224.设⎧0x≤0⎧0x≤0f(x)=⎨,g(x)=⎨2,⎩xx>0⎩−xx>0求f[f(x)],g[g(x)],f[g(x)],g[f(x)].⎧0x≤0解因为f(x)≥0,所以f[f(x)]=f(x)=⎨;⎩xx>0因为g(x)≤0,所以g[g(x)]=0;因为g(x)≤0,所以f[g(x)]=0;2⎧0x≤0因为f(x)≥0,所以g[f(x)]=−f(x)=⎨2.⎩−xx>05.利用y=sinx的图形作出下列函数的图形:(1)y=|sinx|;(2)y=sin|x|;x(3)y=2sin.26.把半径为R的一圆形铁片,自中心处剪去中心角为α的一扇形后围成一无底圆锥.试将这圆锥的体积表为α的函数.解设围成的圆锥的底半径为r,高为h,依题意有R(2π−α)R(2π−α)=2πr,r=,2πR2(2π−α)24παα2h=R2−r2=R2−=R−.4π22π圆锥的体积为1R2(2π−α)24πα−α2V=π⋅⋅R34π22π R3=(2π−α)2⋅4πα−a2(0<α<2π).24π2x2−x−67.根据函数极限的定义证明lim=5.x→3x−3x2−x−6证明对于任意给定的ε>0,要使|−5|<ε,只需|x−3|<ε,取δ=ε,当x−3x2−x−6x2−x−60<|x−3|<δ时,就有|x−3|<ε,即|−5|<ε,所以lim=5.x−3x→3x−38.求下列极限:x2−x+1(1)lim;x→1(x−1)2(2)limx(x2+1−x);x→+∞(3)lim(2x+3)x+1;x→∞2x+1tanx−sinx(4)lim;x→0x3ax+bx+cx1(5)lim()x(a>0,b>0,c>0);x→03(6)lim(sinx)tanx.πx→2(x−1)2x2−x+1解(1)因为lim=0,所以lim=∞.x→1x2−x+1x→1(x−1)2x(x2+1−x)(x2+1+x)(2)limx(x2+1−x)=limx→+∞x→+∞(x2+1+x)x11=lim=lim=.x→+∞x2+1+xx→+∞121++1x22x+3222x+1+1(3)lim()x+1=lim(1+)x+1=lim(1+)22x→∞2x+1x→∞2x+1x→∞2x+12x+1122=lim(1+)2(1+)2x→∞2x+12x+12x+1122=lim(1+)2⋅lim(1+)2=e.x→∞2x+1x→∞2x+1 1sinx(−1)tanx−sinxcosxsinx(1−cosx)(4)lim=lim=limx→0x3x→0x3x→0x3cosx2xx2sinx⋅2sin2x⋅()221=lim=lim=x→0x3cosxx→0x32(提示:用等价无穷小换).3ax+bx+cx−3x+x+x1x+x+x−3⋅(5)lim(abc)x=lim(1+abc)ax+bx+cx−33x,因为x→03x→03axbxcx3++−3ax+bx+cx−3lim(1+)=e,x→03ax+bx+cx−31ax−1bx−1cx−1lim=lim(++)x→03x3x→0xxx1111=[lnalim+lnblim+lnclim]3t→0ln(1+t)u→0ln(1+u)v→0ln(1+v)13=(lna+lnb+lnc)=lnabc,3xxx1a+b+cxln3abc3所以lim()=e=abc.x→03提示:求极限过程中作了变换ax−1=t,bx−1=u,cx−1=v.1⋅(sinx−1)tanx(6)lim(sinx)tanx=lim[1+(sinx−1)]sinx−1,因为ππx→x→221lim[1+(sinx−1)]sinx−1=e,πx→2sinx(sinx−1)lim(sinx−1)tanx=limx→πx→πcosx22sinx(sin2x−1)sinxcosx=lim=−lim=0,x→πcosx(sinx+1)x→πsinx+122所以lim(sinx)tanx=e0=1.πx→2⎧1⎪xsinx>09.设f(x)=⎨x,要使f(x)在(−∞,+∞)内连续,应怎样选择数a?⎪⎩a+x2x≤0 解要使函数连续,必须使函数在x=0处连续.因为21f(0)=a,limf(x)=lim(a+x)=a,limf(x)=limxsin=0,x→0−x→0−x→0+x→0+x所以当a=0时,f(x)在x=0处连续.因此选取a=0时,f(x)在(−∞,+∞)内连续.1f(x)=⎧⎪ex−1x>010.设⎨,求f(x)的间断点,并说明间断点所属类形.⎪⎩ln(1+x)−11么值？解因为limf(x)=limx2=1,limf(x)=lim(ax+b)=a+b,f(1)=a+b,x→1−x→1−x→1+x→1+所以要使函数在x=1处连续,必须a+b=1.又因为当a+b=1时x2−1f−′(1)=lim=2,x→1−x−1ax+b−1a(x−1)+a+b−1a(x−1)f+′(1)=lim=lim=lim=a,x→1+x−1x→1+x−1x→1+x−1所以要使函数在x=1处可导,必须a=2,此时b=−1.⎧x2x≥016.已知f(x)=⎨求f+′(0)及f−′(0),又f′(0)是否存在？⎩−xx<0解因为f(x)−f(0)−x−0f−′(0)=lim=lim=−1,x→0−xx→0−xf(x)−f(0)x2−0f+′(0)=lim=lim=0,x→0+xx→0+x而f−′(0)≠f+′(0),所以f′(0)不存在.⎧sinxx<017.已知f(x)=⎨,求f′(x).⎩xx≥0解当x<0时,f(x)=sinx,f′(x)=cosx;当x>0时,f(x)=x,f′(x)=1;f(x)−f(0)sinx−0因为f−′(0)=lim=lim=1,x→0−xx→0−x f(x)−f(0)x−0f+′(0)=lim=lim=1,所以f′(0)=1,从而x→0+xx→0+x⎧cosxx<0f′(x)=⎨.⎩1x≥018.证明:双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2.a2a2解由xy=a2得y=,k=y′=−.xx2设(x0,y0)为曲线上任一点,则过该点的切线方程为a2y−y0=−2(x−x0).x0yx2令y=0,并注意x2,解得000y0=ax=2+x0=2x0,为切线在x轴上的距.aa2令x=0,并注意x2,解得0y0=ay=+y0=2y0,为切线在y轴上的距.x0此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为12S=|2x0||2y0|=2|x0y0|=2a.2习题2−21.推导余切函数及余割函数的导数公式:(cotx)′=−csc2x;(cscx)′=−cscxcotx.cosx−sinx⋅sinx−cosx⋅cosx解(cotx)′=()′=sinxsin2xsin2x+cos2x12=−=−=−cscx.sin2xsin2x1cosx(cscx)′=()′=−=−cscx⋅cotx.sinxsin2x2.求下列函数的导数:472(1)y=+−+12;x5x4x(2)y=5x3−2x+3ex;(3)y=2tanx+secx−1; (4)y=sinx⋅cosx;(5)y=x2lnx;(6)y=3excosx;lnx(7)y=;xex(8)y=+ln3;x2(9)y=x2lnxcosx;1+sint(10)s=;1+cost解(1)y′=(4+7−2+12)′=(4x−5+7x−4−2x−1+12)′x5x4x=−20x−6−28x−5+2x−2=−20−28+2.x6x5x2(2)y′=(5x3−2x+3ex)′=15x2−2xln2+3ex.(3)y′=(2tanx+secx−1)′=2sec2x+secx⋅tanx=secx(2secx+tanx).(4)y′=(sinx⋅cosx)′=(sinx)′⋅cosx+sinx⋅(cosx)′=cosx⋅cosx+sinx⋅(−sinx)=cos2x.(5)y′=(x2lnx)′=2x⋅lnx+x2⋅1=x(2lnx+1).x(6)y′=(3excosx)′=3ex⋅cosx+3ex⋅(−sinx)=3ex(cosx−sinx).1⋅x−lnxlnxx1−lnx(7)y′=()′==.xx2x2exex⋅x2−ex⋅2xex(x−2)(8)y′=(+ln3)′==.x2x4x3(9)y′=(x2lnxcosx)′=2x⋅lnxcosx+x2⋅1⋅cosx+x2lnx⋅(−sinx)x2xlnxcosx+xcosx−x2lnxsinx.1+sintcost(1+cost)−(1+sint)(−sint)1+sint+cost(10)s′=()′==.1+cost(1+cost)2(1+cost)23.求下列函数在给定点处的导数:(1)y=sinx−cosx,求y′π和y′π.x=x=64 1dρ(2)ρ=θsinθ+cosθ,求π.2dθθ=43x2(3)f(x)=+,求f′(0)和f′(2).5−x5解(1)y′=cosx+sinx,ππ313+1y′π=cos+sin=+=,x=662226ππ22y′π=cos+sin=+=2.x=44224dρ11(2)=sinθ+θcosθ−sinθ=sinθ+θcosθ,dθ22dρ1πππ12π22ππ=sin+cos=⋅+⋅=(1+).dθθ=2444224242432317(3)f′(x)=+x,f′(0)=,f′(2)=.(5−x)252515124.以初速v0竖直上抛的物体,其上升高度s与时间t的关系是s=v0t−gt.2求:(1)该物体的速度v(t);(2)该物体达到最高点的时刻.解(1)v(t)=s′(t)=v0−gt.v0(2)令v(t)=0,即v0−gt=0,得t=,这就是物体达到最高点的时刻.g5.求曲线y=2sinx+x2上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程.解因为y′=2cosx+2x,y′|x=0=2,又当x=0时,y=0,所以所求的切线方程为y=2x,所求的法线方程为1y=−x,即x+2y=0.26.求下列函数的导数:(1)y=(2x+5)4 (2)y=cos(4−3x);−3x2(3)y=e;(4)y=ln(1+x2);(5)y=sin2x;(6)y=a2−x2;(7)y=tan(x2);(8)y=arctan(ex);(9)y=(arcsinx)2;(10)y=lncosx.解(1)y′=4(2x+5)4−1⋅(2x+5)′=4(2x+5)3⋅2=8(2x+5)3.(2)y′=−sin(4−3x)⋅(4−3x)′=−sin(4−3x)⋅(−3)=3sin(4−3x).−3x22−3x2−3x2(3)y′=e⋅(−3x)′=e⋅(−6x)=−6xe.1212x(4)y′=⋅(1+x)′=⋅2x=.1+x21+x21+x2(5)y′=2sinx⋅(sinx)′=2sinx⋅cosx=sin2x.111−1(6)y′=[(a2−x2)2]′=(a2−x2)2⋅(a2−x2)′21122−2x=(a−x)⋅(−2x)=−.2a2−x2(7)y′=sec2(x2)⋅(x2)′=2xsec2(x2).1ex(8)y′=⋅(ex)′=.1+(ex)21+e2x2arcsinx(9)y′=2arcsinx⋅(arcsinx)′=.1−x211(10)y′=⋅(cosx)′=(−sinx)=−tanx.cosxcosx7.求下列函数的导数:(1)y=arcsin(1−2x); 1(2)y=;1−x2x−(3)y=e2cos3x;1(4)y=arccos;x1−lnx(5)y=;1+lnxsin2x(6)y=;x(7)y=arcsinx;(8)y=ln(x+a2+x2);(9)y=ln(secx+tanx);(10)y=ln(cscx−cotx).1−21解(1)y′=⋅(1−2x)′==−.1−(1−2x)21−(1−2x)2x−x211−1−−1(2)y′=[(1−x2)2]′=−(1−x2)2⋅(1−x2)′21−3x=−(1−x2)2⋅(−2x)=.2(1−x2)1−x2xxxx−−−x−(3)y′=(e2)′cos3x+e2(cos3x)′=e2(−)′cos3x+e2(−sin3x)(3x)′2xxx1−2−21−2=−ecos3x−3esin3x=−e(cos3x+6sin3x).221111|x|(4)y′=−()′=−(−)=.12x12x2x2x2−11−()1−()xx11−(1+lnx)−(1−lnx)xx2(5)y′==−.(1+lnx)2x(1+lnx)2 cos2x⋅2⋅x−sin2x⋅12xcos2x−sin2x(6)y′==.x2x21111(7)y′=⋅(x)′=⋅=.1−(x)21−(x)22x2x−x2(8)y′=1⋅(x+a2+x2)′=1⋅[1+1(a2+x2)′]x+a2+x2x+a2+x22a2+x2111=⋅[1+(2x)]=.x+a2+x22a2+x2a2+x21secxtanx+sec2x(9)y′=⋅(secx+tanx)′==secx.secx+tanxsecx+tanx1−cscxcotx+csc2x(10)y′=⋅(cscx−cotx)′==cscx.cscx−cotxcscx−cotx8.求下列函数的导数:x2(1)y=(arcsin);2x(2)y=lntan;2(3)y=1+ln2x;(4)y=earctanx;(5)y=sinnxcosnx;x+1(6)y=arctan;x−1arcsinx(7)y=;arccosx(8)y=ln[ln(lnx)]; 1+x−1−x(9)y;1+x+1−x1−x(10)y=arcsin.1+xxx′解(1)y′=2(arcsin)⋅(arcsin)22x1x=2(arcsin)⋅⋅()′2x221−()2x11=2(arcsin)⋅⋅.2x221−()2x2arcsin=24−x21x12xx(2)y′=⋅(tan)′=⋅sec⋅()′x2x22tantan2212x1=⋅sec⋅=cscx.x22tan2(3)y′=1+ln2x=1⋅(1+ln2x)′21+ln2x111=⋅2lnx⋅(lnx)′=⋅2lnx⋅21+ln2x21+ln2xxlnx=.x1+ln2x(4)y′=earctanx⋅(arctanx)′=earctanx⋅1⋅(x)′1+(x)211earctanx=earctanx⋅⋅=.1+(x)22x2x(1+x)(5)y′=nsinn−1x⋅(sinx)′⋅cosnx+sinnx⋅(−sinnx)⋅(nx)′=nsinn−1x⋅cosx⋅cosnx+sinnx⋅(−sinnx)⋅n=nsinn−1x⋅(cosx⋅cosnx−sinx⋅sinnx)=nsinn−1xcos(n+1)x. 1x+11(x−1)−(x+1)1(6)y′=⋅()′=⋅=−.x+12x−1x+12(x−1)21+x21+()1+()x−1x−111arccosx+arcsinx1−x21−x2(7)y′=(arccosx)21arccosx+arcsinx=⋅2(arccosx)21−xπ=.21−x2(arccosx)2111(8)y′=⋅[ln(lnx)]′=⋅⋅(lnx)′ln(lnx)ln(lnx)lnx1111=⋅⋅=.ln(lnx)lnxxxlnx⋅ln(lnx)1111(+)(1+x+1−x)−(1+x−1−x)(−)21+x21−x21+x21−x(9)y′=(1+x+1−x)21=.1−x2+1−x211−x1−(1+x)−(1−x)(10)y′=⋅()′=⋅1−x1+x1−x(1+x)21−1−1+x1+x1=−.(1+x)2x(1−x)9.设函数f(x)和g(x)可导,且f2(x)+g2(x)≠0,试求函数y=f2(x)+g2(x)的导数.122解y′=⋅[f(x)+g(x)]′2f2(x)+g2(x)1=⋅[2f(x)f′(x)+2g(x)g′(x)]2f2(x)+g2(x) f(x)f′(x)+g(x)g′(x)=.f2(x)+g2(x)dy10.设f(x)可导,求下列函数y的导数:dx(1)y=f(x2);(2)y=f(sin2x)+f(cos2x).解(1)y′=f′(x2)⋅(x2)′=f′(x2)⋅2x=2x⋅f′(x2).(2)y′=f′(sin2x)⋅(sin2x)′+f′(cos2x)⋅(cos2x)′=f′(sin2x)⋅2sinx⋅cosx+f′(cos2x)⋅2cosx⋅(−sinx)=sin2x[f′(sin2x)−f′(cos2x)].11.求下列函数的导数:(1)y=ch(shx);(2)y=shx⋅echx;(3)y=th(lnx);(4)y=sh3x+ch2x;(5)y=th(1−x2);(6)y=arch(x2+1);(7)y=arch(e2x);(8)y=arctan(thx);1(9)y=lnchx+;2ch2x2x−1(10)y=ch()x+1解(1)y′=sh(shx)⋅(shx)′=sh(shx)⋅chx.(2)y′=chx⋅echx+shx⋅echx⋅shx=echx(chx+sh2x).11(3)y′=⋅(lnx)′=.ch2(lnx)x⋅ch2(lnx)(4)y′=3sh2x⋅chx+2chx⋅shx=shx⋅chx⋅(3shx+2).12−2x(5)y′=⋅(1−x)=.ch2(1−x2)ch2(1−x2)122x(6)y′=⋅(x+1)′=.1+(x2+1)x4+2x2+2 12e2x(7)y′=⋅(e2x)′=.(e2x)2−1e4x−111111(8)y′=⋅(thx)′=⋅=⋅1+(thx)21+th2xch2xsh2xch2x1+ch2x11==.ch2x+sh2x1+2sh2x112(9)y′=⋅(chx)′−⋅(chx)′chx2ch4xshx1=−⋅2chx⋅shxchx2ch4xshxshxshx⋅ch2x−shx=−=chxch3xch3xshx⋅(ch2x−1)sh3x===th3x.ch3xch3xx−1x−1′x−1x−1x−1(10)y′=2ch()⋅[ch()]=2ch()⋅sh()⋅()′x+1x+1x+1x+1x+1x−1(x+1)−(x−1)2x−1=sh(2⋅)⋅=sh(2⋅).x+1(x+1)2(x+1)2x+112.求下列函数的导数:(1)y=e−x(x2−2x+3);(2)y=sin2x⋅sin(x2);x2(3)y=(arctan);2lnx(4)y=;xnet−e−t(5)y=;et+e−t1(6)y=lncos;x21−sin(7)y=ex;(8)y=x+x;x2(9)y=xarcsin+4−x;2 2t(10)y=arcsin.1+t2解(1)y′=−e−x(x2−2x+3)+e−x(2x−2)=e−x(−x2+4x−5).(2)y′=2sinx⋅cosx⋅sin(x2)+sin2x⋅cos(x2)⋅2x=sin2x⋅sin(x2)+2x⋅sin2x⋅cos(x2).x114x(3)y′=2arctan⋅⋅=arctan.2x22x2+421+41⋅xn−lnx⋅nxn−1x1−nlnx(4)y′==.x2nxn+1(et+e−t)(et+e−t)−(et−e−t)(et−e−t)4e2t(5)y′==.(et+e−t)2(e2t+1)21111111(6)y′=sec⋅(cos)′=sec⋅(−sin)⋅(−)=tan.xxxxx2x2x−sin211−sin21111(7)y′=ex⋅(−sin2)′=ex⋅(−2sin)⋅cos⋅(−)xxxx22112−sin=⋅sin⋅ex.x2x111(8)y′=⋅(x+x)′=⋅(1+)2x+x2x+x2x2x+1=.4x⋅x+xx111x(9)y′=arcsin+x⋅⋅+⋅(−2x)=arcsin.2x2224−x221−42⋅(1+t2)−2t⋅(2t)12t1(10)y′=⋅()′=⋅1+2(1+t2)22t2t2t21−()1−()1+t21+t2 1+t22(1−t2)2(1−t2)=⋅=.(1−t2)2(1+t2)2|1−t2|(1+t2)习题2−31.求函数的二阶导数:(1)y=2x2+lnx;(2)y=e2x−1;(3)y=xcosx;(4)y=e−tsint;(5)y=a2−x2;(6)y=ln(1−x2)(7)y=tanx;1(8)y=;x3+1(9)y=(1+x2)arctanx;ex(10)y=;xx2(11)y=xe;(12)y=ln(x+1+x2).11解(1)y′=4x+,y′′=4−.xx2(2)y′=e2x−1⋅2=2e2x−1,y′′=2e2x−1⋅2=4e2x−1.(3)y=xcosx;y′=cosx−xsinx,y′′=−sinx−sinx−xcosx=−2sinx−xcosx.(4)y′=−e−tsint+e−tcost=e−t(cost−sint)y′′=−e−t(cost−sint)+e−t(−sint−cost)=−2e−tcost.122x(5)y′=⋅(a−x)′=−,2a2−x2a2−x2 22−xa−x−x⋅a2−x2a2y′′=−=−.a2−x2(a2−x2)a2−x2122x(6)y′=⋅(1−x)′=−,1−x21−x22(1−x2)−2x⋅(−2x)2(1+x2)y′′=−=−.(1−x2)2(1−x2)2(7)y′=sec2x,y′′=2secx⋅(secx)′=2secx⋅secx⋅tanx=2sec2x⋅tanx.−(x3+1)′3x2(8)y′==−,(x3+1)2(x3+1)26x⋅(x3+1)2−3x2⋅2(x3+1)⋅3x6x(2x3−1)y′′=−=.(x3+1)4(x3+1)321(9)y′=2xarctanx+(1+x)⋅=2xarctanx+1,1+x22xy′′=2arctanx+.1+x2xx1ex(x−1)e⋅x−e⋅(10)y′==,x2x2[ex(x−1)+ex]⋅x2−ex(x−1)⋅2xex(x2−2x+2)y′′==.x4x3x2x2x22(11)y′=e+x⋅e⋅(2x)=e(1+2x),x22x2x22y′′=e⋅2x⋅(1+2x)+e⋅4x=2xe(3+2x).1212x1(12)y′=⋅(x+1+x)′=⋅(1+)=,x+1+x2x+1+x221+x21+x21212xxy′′=−⋅(1+x⋅)′=−⋅=−.1+x21+x2212)(1+x)21+x+x2.设f(x)=(x+10)6,f′′′(2)=?解f′(x)=6(x+10)5,f′′(x)=30(x+10)4,f′′′(x)=120(x+10)3, f′′′(2)=120(2+10)3=207360.d2y3.若f′′(x)存在,求下列函数y的二阶导数:dx2(1)y=f(x2);(2)y=ln[f(x)].解(1)y′=f′(x2)⋅(x2)′=2xf′(x2),y′′=2f′(x2)+2x⋅2xf′′(x2)=2f′(x2)+4x2f′′(x2).1(2)y′=f′(x),f(x)f′′(x)f(x)−f′(x)f′(x)f′′(x)f(x)−[f′(x)]2y′′==.[f(x)]2[f(x)]2dx14.试从=导出:dyy′d2xy′′(1)=−;dy2(y′)3d3x3(y′′)2−y′y′′′(2)=.dy3(y′)5d2xddxd1d1dx−y′′1y′′解(1)=()=()=()⋅=⋅=−.dy2dydydyy′dxy′dy(y′)2y′(y′)3d3xdy′′dy′′dx(2)=(−)=(−)⋅dy3dy(y′)3dx(y′)3dyy′′′(y′)3−y′′⋅3(y′)2y′′13(y′′)2−y′y′′′=−⋅=.(y′)6y′(y′)55.已知物体的运动规律为s=Asinωt(A、ω是常数),求物体运动的加速度,并验证:d2s+ω2s=0.dt2ds解=Aωcosωt,dt d2s=−Aω2sinωt.dt2d2s就是物体运动的加速度.dt2d2s+ω2s=−Aω2sinωt+ω2Asinωt=0.dt2λx+C−λx6.验证函数y=C1e2e(λ,C1,C2是常数)满足关系式:y′′−λ2y=0.λx−C−λx解y′=C1λe2λe,y′′=C2λx2−λx1λe+C2λe.22λx+C2−λx2λx−λxy′′−λy=(C1λe2λe)−λ(C1e+C2e)=(C2λx2−λx2λx2−λx1λe+C2λe)−(C1λe+C2λe)=0.7.验证函数y=exsinx满足关系式:y′′−2y′+2y=0.解y′=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx),y′′=ex(sinx+cosx)+ex(cosx−sinx)=2excosx.y′′−2y′+2y=2excosx−2ex(sinx+cosx)+2exsinx=2excosx−2exsinx−2excosx+2exsinx=0.8.求下列函数的n阶导数的一般表达式:(1)y=xn+an−1n−21x+a2x+⋅⋅⋅+an−1x+an(a1,a2,⋅⋅⋅,an都是常数);(2)y=sin2x;(3)y=xlnx;(4)y=xex.解(1)y′=nxn−1+(n−1)an−2n−31x+(n−2)a2x+⋅⋅⋅+an−1,y′′=n(n−1)xn−2+(n−1)(n−2)a1xn−3+(n−2)(n−3)a2xn−4+⋅⋅⋅+an−2,⋅⋅⋅,y(n)=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅2⋅1x0=n!.(2)y′=2sinxcosx=sin2x,πy′′=2cos2x=2sin(2x+),22π2πy′′′=2cos(2x+)=2sin(2x+2⋅),22 y(4)=23cos(2x+2⋅π)=23sin(2x+3⋅π),22⋅⋅⋅,y(n)=2n−1sin[2x+(n−1)⋅π].2(3)y′=lnx+1,1−1y′′==x,xy′′′=(−1)x−2,y(4)=(−1)(−2)x−3,⋅⋅⋅,y(n)=(−1)(−2)(−3)⋅⋅⋅(−n+2)x−n+1=(−1)n−2(n−2)!=(−1)n(n−2)!.xn−1xn−1(4)y′=ex+xex,y′′=ex+ex+xex=2ex+xex,y′′′=2ex+ex+xex=3ex+xex,⋅⋅⋅,y(n)=nex+xex=ex(n+x).9.求下列函数所指定的阶的导数:(1)y=excosx,求y(4);(2)y=xshx,求y(100);(3)y=x2sin2x,求y(50).解(1)令u=ex,v=cosx,有u′=u′′=u′′′=u(4)=ex;v′=−sinx,v′′=−cosx,v′′′=sinx,v(4)=cosx,所以y(4)=u(4)⋅v+4u′′′⋅v′+6u′′⋅v′′+4u′⋅v′′′+u⋅v(4)=ex[cosx+4(−sinx)+6(−cosx)+4sinx+cosx]=−4excosx.(2)令u=x,v=shx,则有u′=1,u′′=0;v′=chx,v′′=shx,⋅⋅⋅,v(99)=chx,v(100)=shx,所以 y(100)=u(100)⋅v+C1u(99)⋅v′+C2u(98)⋅v′′+⋅⋅⋅C98u′′⋅v(98)+C99u′⋅v(99)+u⋅v(100)100100100100=100chx+xshx.(3)令u=x2,v=sin2x,则有u′=2x,u′′=2,u′′′=0;v(48)=248sin(2x+48⋅π)=248sin2x,2v(49)=249cos2x,v(50)=−250sin2x,所以y(50)=u(50)⋅v+C1u(49)⋅v′+C2u(48)⋅v′′+⋅⋅⋅C48u′′⋅v(48)+C49u′⋅v(49)+u⋅v(50)150505050=C48u′′⋅v(48)+C49u′⋅v(49)+u⋅v(50)5050=50⋅49⋅2⋅228sin2x+50⋅2x⋅249cos2x+x2⋅(−250sin2x)25021225=2(−xsin2x+50xcos2x+sin2x).2习题2−31.求函数的二阶导数:(1)y=2x2+lnx;(2)y=e2x−1;(3)y=xcosx;(4)y=e−tsint;(5)y=a2−x2;(6)y=ln(1−x2)(7)y=tanx;1(8)y=;x3+1(9)y=(1+x2)arctanx;ex(10)y=;xx2(11)y=xe; (12)y=ln(x+1+x2).11解(1)y′=4x+,y′′=4−.xx2(2)y′=e2x−1⋅2=2e2x−1,y′′=2e2x−1⋅2=4e2x−1.(3)y=xcosx;y′=cosx−xsinx,y′′=−sinx−sinx−xcosx=−2sinx−xcosx.(4)y′=−e−tsint+e−tcost=e−t(cost−sint)y′′=−e−t(cost−sint)+e−t(−sint−cost)=−2e−tcost.122x(5)y′=⋅(a−x)′=−,2a2−x2a2−x222−xa−x−x⋅a2−x2a2y′′=−=−.a2−x2(a2−x2)a2−x2122x(6)y′=⋅(1−x)′=−,1−x21−x22(1−x2)−2x⋅(−2x)2(1+x2)y′′=−=−.(1−x2)2(1−x2)2(7)y′=sec2x,y′′=2secx⋅(secx)′=2secx⋅secx⋅tanx=2sec2x⋅tanx.−(x3+1)′3x2(8)y′==−,(x3+1)2(x3+1)26x⋅(x3+1)2−3x2⋅2(x3+1)⋅3x6x(2x3−1)y′′=−=.(x3+1)4(x3+1)321(9)y′=2xarctanx+(1+x)⋅=2xarctanx+1,1+x22xy′′=2arctanx+.1+x2xx1ex(x−1)e⋅x−e⋅(10)y′==,x2x2[ex(x−1)+ex]⋅x2−ex(x−1)⋅2xex(x2−2x+2)y′′==.x4x3 x2x2x22(11)y′=e+x⋅e⋅(2x)=e(1+2x),x22x2x22y′′=e⋅2x⋅(1+2x)+e⋅4x=2xe(3+2x).1212x1(12)y′=⋅(x+1+x)′=⋅(1+)=,x+1+x2x+1+x221+x21+x21212xxy′′=−⋅(1+x⋅)′=−⋅=−.1+x21+x2212)(1+x)21+x+x2.设f(x)=(x+10)6,f′′′(2)=?解f′(x)=6(x+10)5,f′′(x)=30(x+10)4,f′′′(x)=120(x+10)3,f′′′(2)=120(2+10)3=207360.d2y3.若f′′(x)存在,求下列函数y的二阶导数:dx2(1)y=f(x2);(2)y=ln[f(x)].解(1)y′=f′(x2)⋅(x2)′=2xf′(x2),y′′=2f′(x2)+2x⋅2xf′′(x2)=2f′(x2)+4x2f′′(x2).1(2)y′=f′(x),f(x)f′′(x)f(x)−f′(x)f′(x)f′′(x)f(x)−[f′(x)]2y′′==.[f(x)]2[f(x)]2dx14.试从=导出:dyy′d2xy′′(1)=−;dy2(y′)3d3x3(y′′)2−y′y′′′(2)=.dy3(y′)5d2xddxd1d1dx−y′′1y′′解(1)=()=()=()⋅=⋅=−.dy2dydydyy′dxy′dy(y′)2y′(y′)3 d3xdy′′dy′′dx(2)=(−)=(−)⋅dy3dy(y′)3dx(y′)3dyy′′′(y′)3−y′′⋅3(y′)2y′′13(y′′)2−y′y′′′=−⋅=.(y′)6y′(y′)55.已知物体的运动规律为s=Asinωt(A、ω是常数),求物体运动的加速度,并验证:d2s+ω2s=0.dt2ds解=Aωcosωt,dtd2s=−Aω2sinωt.dt2d2s就是物体运动的加速度.dt2d2s+ω2s=−Aω2sinωt+ω2Asinωt=0.dt26.验证函数y=Cλx−λx1e+C2e(λ,C1,C2是常数)满足关系式:y′′−λ2y=0.解y′=Cλx−λx1λe−C2λe,2λx+C2−λxy′′=C1λe2λe.y′′−λ2y=(C2λx2−λx2λx−λx1λe+C2λe)−λ(C1e+C2e)=(C2λx2−λx2λx2−λx1λe+C2λe)−(C1λe+C2λe)=0.7.验证函数y=exsinx满足关系式:y′′−2y′+2y=0.解y′=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx),y′′=ex(sinx+cosx)+ex(cosx−sinx)=2excosx.y′′−2y′+2y=2excosx−2ex(sinx+cosx)+2exsinx=2excosx−2exsinx−2excosx+2exsinx=0.8.求下列函数的n阶导数的一般表达式:n+an−1n−2(1)y=x1x+a2x+⋅⋅⋅+an−1x+an(a1,a2,⋅⋅⋅,an都是常数);(2)y=sin2x; (3)y=xlnx;(4)y=xex.n−1+(n−1)an−2n−3解(1)y′=nx1x+(n−2)a2x+⋅⋅⋅+an−1,y′′=n(n−1)xn−2+(n−1)(n−2)an−3n−41x+(n−2)(n−3)a2x+⋅⋅⋅+an−2,⋅⋅⋅,y(n)=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅2⋅1x0=n!.(2)y′=2sinxcosx=sin2x,πy′′=2cos2x=2sin(2x+),22π2πy′′′=2cos(2x+)=2sin(2x+2⋅),22y(4)=23cos(2x+2⋅π)=23sin(2x+3⋅π),22⋅⋅⋅,y(n)=2n−1sin[2x+(n−1)⋅π].2(3)y′=lnx+1,1−1y′′==x,xy′′′=(−1)x−2,y(4)=(−1)(−2)x−3,⋅⋅⋅,y(n)=(−1)(−2)(−3)⋅⋅⋅(−n+2)x−n+1=(−1)n−2(n−2)!=(−1)n(n−2)!.xn−1xn−1(4)y′=ex+xex,y′′=ex+ex+xex=2ex+xex,y′′′=2ex+ex+xex=3ex+xex,⋅⋅⋅,y(n)=nex+xex=ex(n+x).9.求下列函数所指定的阶的导数:(1)y=excosx,求y(4);(2)y=xshx,求y(100);(3)y=x2sin2x,求y(50). 解(1)令u=ex,v=cosx,有u′=u′′=u′′′=u(4)=ex;v′=−sinx,v′′=−cosx,v′′′=sinx,v(4)=cosx,所以y(4)=u(4)⋅v+4u′′′⋅v′+6u′′⋅v′′+4u′⋅v′′′+u⋅v(4)=ex[cosx+4(−sinx)+6(−cosx)+4sinx+cosx]=−4excosx.(2)令u=x,v=shx,则有u′=1,u′′=0;v′=chx,v′′=shx,⋅⋅⋅,v(99)=chx,v(100)=shx,所以y(100)=u(100)⋅v+C1u(99)⋅v′+C2u(98)⋅v′′+⋅⋅⋅C98u′′⋅v(98)+C99u′⋅v(99)+u⋅v(100)100100100100=100chx+xshx.(3)令u=x2,v=sin2x,则有u′=2x,u′′=2,u′′′=0;v(48)=248sin(2x+48⋅π)=248sin2x,2v(49)=249cos2x,v(50)=−250sin2x,所以y(50)=u(50)⋅v+C1u(49)⋅v′+C2u(48)⋅v′′+⋅⋅⋅C48u′′⋅v(48)+C49u′⋅v(49)+u⋅v(50)150505050=C48u′′⋅v(48)+C49u′⋅v(49)+u⋅v(50)5050=50⋅49⋅2⋅228sin2x+50⋅2x⋅249cos2x+x2⋅(−250sin2x)25021225=2(−xsin2x+50xcos2x+sin2x).2习题2−4dy1.求由下列方程所确定的隐函数y的导数:dx(1)y2−2xy+9=0;(2)x3+y3−3axy=0;(3)xy=ex+y;(4)y=1−xey.解(1)方程两边求导数得 2yy′−2y−2xy′=0,于是(y−x)y′=y,yy′=.y−x(2)方程两边求导数得3x2+3y2y′−2ay−3axy′=0,于是(y2−ax)y′=ay−x2,ay−x2y′=.y2−ax(3)方程两边求导数得y+xy′=ex+y(1+y′),于是(x−ex+y)y′=ex+y−y,ex+y−yy′=.x−ex+y(4)方程两边求导数得y′=−ey−xeyy′,于是(1+xey)y′=−ey,eyy′=−.1+xey222222.求曲线x3+y3=a3在点(a,a)处的切线方程和法线方程.44解方程两边求导数得112−2−x3+y3y′=0,331−x3于是y′=−,1−y322在点(a,a)处y′=−1.44所求切线方程为222y−a=−(x−a),即x+y=a.442所求法线方程为22y−a=(x−a),即x−y=0.44 d2y3.求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数:dx2(1)x2−y2=1;(2)b2x2+a2y2=a2b2;(3)y=tan(x+y);(4)y=1+xey.解(1)方程两边求导数得2x−2yy′=0,xy′=,yxy−xxy−xy′yy2−x21y′′=()′====−.yy2y2y3y3(2)方程两边求导数得2b2x+2a2yy′=0,b2xy′=−⋅,a2yb2xy−x(−⋅)b2y−xy′b2a2yy′′=−⋅=−⋅a2y2a2y2b2a2y2+b2x2b4=−⋅=−.a2a2y3a2y3(3)方程两边求导数得y′=sec2(x+y)⋅(1+y′),sec2(x+y)1y′==1−sec2(x+y)cos2(x+y)−1sin2(x+y)+cos2(x+y)1==−1−,−sin2(x+y)y22(1+y2)221y′′=y′=(−1−)=−.y3y3y2y5(4)方程两边求导数得y′=ey+xeyy′, eyeyeyy′===,1−xey1−(y−1)2−yeyy′(2−y)−ey(−y′)ey(3−y)y′e2y(3−y)y′′===.(2−y)2(2−y)2(2−y)34.用对数求导法求下列函数的导数:xx(1)y=();1+xx−5(2)y=5;52x+2x+2(3−x)4(3)y=;(x+1)5(4)y=xsinx1−ex.解(1)两边取对数得lny=xln|x|−xln|1+x|，两边求导得111y′=lnx+x⋅−ln(1+x)−x⋅,yx1+xxxx1于是y′=()[ln+].1+x1+x1+x(2)两边取对数得112lny=ln|x−5|−ln(x+2),525两边求导得11112xy′=⋅−⋅,y5x−525x2+21x−5112x于是y′=5=[−⋅].55x2+2x−55x2+2(3)两边取对数得1lny=ln(x+2)+4ln(3−x)−5ln(x+1),2两边求导得1145y′=−−,y2(x+2)3−xx+1x+2(3−x)4145于是y′=[+−](x+1)52(x+2)x−3x+1 (4)两边取对数得111xlny=lnx+lnsinx+ln(1−e),224两边求导得111exy′=+cotx−,y2x24(1−ex)x11ex于是y′=xsinx1−e[+cotx−]2x24(1−ex)1x2ex=xsinx1−e[+2cotx+].4xex−1dy5.求下列参数方程所确定的函数的导数:dx⎧x=at2(1)⎨;⎩y=bt2⎧x=θ(1−sinθ)(2)⎨.⎩y=θcosθdyyt′3bt23b解(1)===t.dxxt′2at2adyyθ′cosθ−θsinθ(2)==.dxxθ′1−sinθ−θcosθ⎧x=etsint,πdy6.已知⎨求当t=时的值.⎩y=etcost.3dxdyyt′etcost−etsintcost−sint解===,dxxt′etsint+etcostsint+cost13−πdy221−3当t=时,===3−2.3dx131+3+227.写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程:⎧x=sintπ(1)⎨,在t=处;⎩y=cos2t4⎧3atx=⎪1+t2(2)⎨2,在t=2处.3at⎪y=⎩1+t2dyyt′−2sin2t解(1)==.dxxt′cost π−2sin(2⋅)πdy4−22当t=时,===−22,x0=,y0=0,4dxπ22cos42所求切线方程为2y=−22(x−),即22x+y−2=0;2所求法线方程为12y=−(x−),即2x−4y−1=0.−2226at(1+t2)−3at2⋅2t6at(2)yt′=(1+t2)2=(1+t2)2,3a(1+t2)−3at⋅2t3a−3at2xt′=(1+t2)2=(1+t2)2,dyyt′6at2t===.dxx′3a−3at21−t2tdy2⋅24612当t=2时,=2=−,x0=a,y0=a,dx1−2355所求切线方程为1246y−a=−(x−a),即4x+3y−12a=0;535所求法线方程为1236y−a=(x−a),即3x−4y+6a=0.545d2y8.求下列参数方程所确定的函数的二阶导数:dx2⎧t2⎪x=(1)⎨2;⎪⎩y=1−t.⎧x=acost(2)⎨;⎩y=bsint⎧x=3e−t(3)⎨;⎩y=2et⎧x=ft(t)(4)⎨,设f′′(t)存在且不为零.⎩y=tft(t)−f(t)1dyyt′−1d2y(y′x)′tt21解(1)==,===.dxxt′tdx2xt′tt3 dyyt′bcostb(2)===−cott,dxxt′−asintab2d2y(y′x)′tacsctb===−.dx2xt′−asinta2sin3tdyyt′2et22t(3)===−e,dxxt′−3e−t322td2y(y′x)′t−3⋅2e4===e3t.dx2xt′−3e−t9dyyt′f′(t)+tf′′(t)−f′(t)(4)===t,dxxt′f′′(t)d2y(y′)′1=xt=.dx2xt′f′′(t)d3y9.求下列参数方程所确定的函数的三阶导数:dx3⎧x=1−t2(1)⎨;⎩y=t−t3⎧x=ln(1+t2)(2)⎨.⎩y=t−arctantdy(t−t3)′1−3t2解(1)==,dx(1−t2)′−2t1−3t22()′dy−2t113==−(+),dx2−2t4t3t1133−(+)′dy4t3t32==−(1+t).dx3−2t8t511−dy(t−arctant)′1+t21(2)===t,dx[ln(1+t2)]′2t21+t21d2y(t)′221+t==,dx22t4t1+t2 1+t2d3y()′4−4tt1==.dx32t8t31+t210.落在平静水面上的石头,产生同心波纹,若最外一圈波半径的增大率总是6m/s,问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？解设波的半径为r,对应圆面积为S,则S=πr2,两边同时对t求导得St′=2πrr′.当t=2时,r=6⋅2=12,r′t=6,故S2t′|t=2=2⋅12⋅6π=144π(米/秒).11.注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中,其速率为4m2/min.当水深为5m时,其表面上升的速度为多少？112解水深为h时,水面半径为r=h,水面面积为S=hπ,241112π3水的体积为V=hS=h⋅hπ=h,33412dVπ2dhdh4dV=⋅3h⋅,=⋅.dt12dtdtπh2dtdV3dh4dV416已知h=5(m)，=4(m/min),因此=⋅=⋅4=(m/min).dtdtπh2dt25π25π12.溶液自深18cm直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中,开始时漏斗中盛满了溶液,已知当溶液在漏斗中深为12cm时,其表面下降的速率为1cm/min.问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解设在t时刻漏斗在的水深为y,圆柱形筒中水深为h.于是有1⋅62π⋅18−1πr2y=52h.33ryy由=,得r=,代入上式得6183121y22⋅6π⋅18−π()y=5h,333即1⋅62π⋅18−1y3=52h.333两边对t求导得−1y2y′=52h′.32t当y=12时,y′t=−1代入上式得12−⋅12⋅(−1)3216ht′=2=≈0.64(cm/min)..525 2−71.已知y=x3−x,计算在x=2处当∆x分别等于1,0.1,0.01时的∆y及dy.解∆y|3−(2+1)]−(23−2)=18,x=2,∆x=1=[(2+1)dy|2x=2,∆x=1=(3x−1)∆x|x=2,∆x=1=11;∆y|33x=2,∆x=0.1=[(2+0.1)−(2+0.1)]−(2−2)=1.161,dy|2x=2,∆x=0.1=(3x−1)∆x|x=2,∆x=0.1=1.1;∆y|33x=2,∆x=0.01=[(2+0.01)−(2+0.01)]−(2−2)=0.110601,dy|x=2,∆x=0.01=(3x2−1)∆x|x=2,∆x=0.01=0.11.2.设函数y=f(x)的图形如图所示,试在图(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出在点x0的dy、∆y及∆y−dy并说明其正负.解(a)∆y>0,dy>0,∆y−dy>0.(b)∆y>0,dy>0,∆y−dy<0.(c)∆y<0,dy<0,∆y−dy<0.(d)∆y<0,dy<0,∆y−dy>0. 3.求下列函数的微分:1(1)y=+2x;x(2)y=xsin2x;x(3)y=;x2+1(4)y=ln2(1−x);(5)y=x2e2x;(6)y=e−xcos(3−x);(7)y=arcsin1−x2;(8)y=tan2(1+2x2);1−x2(9)y=arctan;1+x2(10)s=Asin(ωt+ϕ)(A,ω,ϕ是常数).1111解(1)因为y′=−+,所以dy=(−+)dx.22xxxx(2)因为y′=sin2x+2xcos2x,所以dy=(sin2x+2xcos2x)dx.2xx+1−⋅x2+111(3)因为y′==,所以dy=dx.x2+1(x2+1)x2+1(x2+1)x2+12−12(4)dy=y′dx=[ln(1−x)]′dx=[2ln(1−x)⋅]dx=ln(1−x)dx.(1−x)x−1(5)dy=y′dx=(x2e2x)′dx=(2xe2x+2x2e2x)dx=2x(1+x)e2x.(6)dy=y′dx=[e−xcos(3−x)]dx=[−e−xcos(3−x)+e−xsin(3−x)]dx=e−x[sin(3−x)−cos(3−x)]dx.212x(7)dy=y′dx=(arcsin1−x)′dx=⋅(−)dx=−dx.1−(1−x2)1−x2|x|1−x2(8)dy=dtan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)dtan(1+2x2)=2tan(1+2x2)⋅sec2(1+2x2)d(1+2x2)=2tan(1+2x2)⋅sec2(1+2x2)⋅4xdx=8x⋅tan(1+2x2)⋅sec2(1+2x2)dx. 1−x211−x2(9)dy=darctan=d()1+x21−x21+x21+()21+x2−2x(1+x2)−2x(1−x2)14x=⋅dx=−dx.1−x2(1+x2)21+x41+()21+x2(10)dy=d[Asin(ωt+ϕ)]=Acos(ωt+ϕ)d(ωt+ϕ)=Aωcos(ωt+ϕ)dx.4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:(1)d()=2dx;(2)d()=3xdx;(3)d()=costdt;(4)d()=sinωxdx;1(5)d()=dx;x+1(6)d()=e−2xdx;1(7)d()=dx;x(8)d()=sec23xdx.解(1)d(2x+C)=2dx.32(2)d(x+C)=3xdx.2(3)d(sint+C)=costdt.1(4)d(−cosωx+C)=sinωxdx.ω1(5)d(ln(1+x)+C)=dx.x+1(6)d(−1e−2x+C)=e−2xdx.21(7)d(2x+C)=dx.x12(8)d(tan3x+C)=sec3xdx.3⌢5.如图所示的电缆AOB的长为s,跨度为2l,电缆的最低点O与杆顶连线AB 的距离为f,则电缆长可按下面公式计算:2f2s=2l(1+),3l2当f变化了∆f时,电缆长的变化约为多少？2f28解∆S≈dS=2l(1+)′df=f∆f.3l23l6.设扇形的圆心角α=60°,半径R=100cm(如图),如果R不变,α减少30′,问扇形面积大约改变了多少？又如果α不变,R增加1cm,问扇形面积大约改变了多少？12解(1)扇形面积S=αR,21212∆S≈dS=(αR)α′dα=R∆α.22ππ将α=60°=,R=100,∆α=−30′=−代入上式得336012π2).∆S≈⋅100⋅(−)≈−43.63(cm236012(2)∆S≈dS=(αR)′RdR=αR∆R.2 将α=60°π=,R=100,∆R=1代入上式得3π2∆S≈⋅100⋅1≈104.72(cm).37.计算下列三角函数值的近似值:(1)cos29°;(2)tan136°.解(1)已知f(x+∆x)≈f(x)+f′(x)∆x,当f(x)=cosx时,有cos(x+∆x)≈cosx−sinx⋅∆x,所以πππππ31πcos29°=cos(−)≈cos−sin⋅(−)=+⋅≈0.87467.61806618022180(2)已知f(x+∆x)≈f(x)+f′(x)∆x,当f(x)=tanx时,有tan(x+∆x)≈tanx+sec2x⋅∆x,所以3ππ3π23πππtan136°=tan(+)≈tan+sec⋅=−1+2⋅≈−0.96509.4180441801808.计算下列反三角函数值的近似值(1)arcsin0.5002;(2)arccos0.4995.解(1)已知f(x+∆x)≈f(x)+f′(x)∆x,当f(x)=arcsinx时,有1arcsin(x+∆x)≈arcsinx+⋅∆x,1−x2所以1arcsin0.5002=arcsin(0.5+0.0002)≈arcsin0.5+⋅0.00021−0.52π2=+⋅0.0002≈30°47′′.63(2)已知f(x+∆x)≈f(x)+f′(x)∆x,当f(x)=arccosx时,有1arccos(x+∆x)≈arccosx−⋅∆x,1−x2所以1arccos0.4995=arccos(0.5−0.0005)≈arccos0.5−⋅(−0.0005)1−0.52 π2=+⋅0.0005≈60°2′.339.当x较小时,证明下列近似公式:(1)tanx≈x(x是角的弧度值);(2)ln(1+x)≈x;1(3)≈1−x,1+x并计算tan45′和ln1.002的近似值.(1)已知当|∆x|较小时,f(x0+∆x)≈f(x0)+f′(x0)∆x,取f(x)=tanx,x0=0,∆x=x,则有tanx=tan(0+x)≈tan0+sec20⋅x=sec20⋅x=x.(2)已知当|∆x|较小时,f(x0+∆x)≈f(x0)+f′(x0)∆x,取f(x)=lnx,x0=1,∆x=x,则有ln(1+x)≈ln1+(lnx)′|x=1⋅x=x.1(3)已知当|∆x|较小时,f(x0+∆x)≈f(x0)+f′(x0)∆x,取f(x)=,x0=1,∆x=x,则有x11≈1+()′|x=1⋅x=1−x.1+xxtan45′≈45′≈0.01309;ln(1.002)=ln(1+0.002)≈0.002.10.计算下列各根式的的近似值:(1)3996;(2)665.n1解(1)设f(x)=x,则当|x|较小时,有f(1+x)≈f(1)+f′(1)x=1+x,n4143996=31000−4=10⋅31−≈10(1−⋅⋅)≈9.987.100031000n1(2)设f(x)=x,则当|x|较小时,有f(1+x)≈f(1)+f′(1)x=1+x,于是n111665=664+1=2⋅61+≈2(1+⋅)≈2.0052.6466411.计算球体体积时,要求精确度在2%以内,问这时测量直径D的相对误差不能超过多少？ 1312解球的体积为V=πD,dV=πD⋅∆D,因为计算球体体积时,要求精度在622%以内,所以其相对误差不超过2%,即要求12πD⋅∆DdV2∆D==3⋅≤2%,V13DπD6∆D2所以≤%,D32也就是测量直径的相对误差不能超过%.312.某厂生产如图所示的扇形板,半径R=200mm,要求中心角α为55°.产品检验时,一般用测量弦长l的办法来间接测量中心角α,如果测量弦长l时的误差δ1=0.1mm,问此而引起的中心角测量误差δx是多少？lαll解由=Rsin得α=2arcsin=2arcsin,222R400α当α=55°时,l=2Rsin=400sin27.5°≈184.7,211δ′α=|α′l|⋅δl=2⋅⋅⋅δl.l24001−()400当l=184.7,δl=0.1时,11δα=2⋅⋅⋅0.1≈0.00056(弧度).184.724001−()400总习题二1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)f(x)在点x0可导是f(x)在点x0连续的____________条件.f(x)在点x0连续是f(x)在点x0可导的____________条件.(2)f(x)在点x0的左导数f−′(x0)及右导数f+′(x0)都存在且相等是f(x)在点x0可导的_______条件.(3)f(x)在点x0可导是f(x)在点x0可微的____________条件.解(1)充分,必要.(2)充分必要. (3)充分必要.2.选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设f(x)在x=a的某个邻域内有定义,则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是().1f(a+2h)−f(a+h)(A)limh[f(a+)−f(a)]存在;(B)lim存在;h→+∞hh→0hf(a+h)−f(a−h)f(a)−f(a−h)(C)lim存在;(D)lim存在.h→02hh→0h解正确结论是D.f(a)−f(a−h)f(a−h)−f(a)f(a+∆x)−f(a)提示:lim=lim=lim(∆x=−h).h→0hh→0−h∆x→0∆x3.设有一根细棒,取棒的一端作为原点,棒上任一点的做标x为,于是分布在区间[0,x]上细棒的质量m是x的函数m=m(x),应怎样确定细棒在点x0处的线密度(对于均匀细棒来说,单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度)？解∆m=m(x0+∆x)−m(x0).在区间[x0,x0+∆x]上的平均线密度为∆mm(x0+∆x)−m(x0)ρ==.∆x∆x于是,在点x0处的线密度为∆mm(x0+∆x)−m(x0)=′ρ=lim=limm(x0).∆x→0∆x∆x→0∆x4.根据导数的定义,求1f(x)=的导数.x11−x+∆xx−∆x−11.解y′=lim=lim=lim=−∆x→0∆x∆x→0∆x(x+∆x)x∆x→0(x+∆x)xx25.求下列函数f(x)的f−′(0)及f+′(0),又f′(0)是否存在?⎧sinxx<0(1)f(x)=⎨;⎩ln(1+x)x≥0⎧x⎪1x≠0(2)f(x)=⎨1+ex.⎪⎩0x=0f(x)−f(0)sinx−0解(1)因为f−′(0)=lim=lim=1,x→0−x−0x→0−x 1f(x)−f(0)ln(1+x)−0f+′(0)=lim=lim=limln(1+x)x=lne=1,x→0+x−0x→0+xx→0+而且f−′(0)=f+′(0),所以f′(0)存在,且f′(0)=1.x−01f(x)−f(0)1+ex1(2)因为f−′(0)=xlim→0−x−0=xlim→0−x−0=xlim→0−1=1,1+exx−01f(x)−f(0)1+ex1f+′(0)=xlim→0+x−0=xlim→0+x−0=xlim→0+1=0,1+ex而f−′(0)≠f+′(0),所以f′(0)不存在.6.讨论函数⎧1⎪xsinx≠0f(x)=⎨x⎪⎩0x=0在x=0处的连续性与可导性.1解因为f(0)=0,limf(x)=limxsin=0=f(0),所以f(x)在x=0处连续;x→0x→0x1xsin−0f(x)−f(0)x1因为极限lim=lim=limsin不存在,所以f(x)在x=0处不x→0xx→0xx→0x可导.7.求下列函数的导数:(1)y=arcsin(sinx);1+x(2)y=arctan;1−xx(3)y=lntan−cosx⋅lntanx;2(4)y=ln(ex+1+e2x);(5)y=xx(x>0). 11cosx解(1)y′=⋅(sinx)′=⋅cosx=.1−sin2x1−sin2x|cosx|11+x1(1−x)+(1+x)1(2)y′=⋅()′=⋅=.1+x21−x1+x2(1−x)21+x21+()1+()1−x1−x1x1(3)y′=⋅(tan)′+sinx⋅lntanx−cosx⋅⋅(tanx)′x2tanxtan212x112⋅sec⋅+sinx⋅lntanx−cosx⋅⋅secx=sinx⋅lntanx.x22tanxtan2112e2xex(4)y′=⋅(ex+1+e2x)′=⋅(ex+)=.ex+1+e2xex+1+e2x21+e2x1+e2x1111111xx(5)lny=lnx,y′=−lnx+⋅,y′=xx(−lnx+)=(1−lnx).xyx2xxx2x2x28.求下列函数的二阶导数:(1)y=cos2x⋅lnx;x(2)y=.1−x22121解(1)y′=−2cosxsinx⋅lnx+cosx⋅=−sin2x⋅lnx+cosx⋅,xx1121y′′=−2cos2x⋅lnx−sin2x⋅−2cosxsinx⋅−cosx⋅xxx22sin2xcos2x=−2cos2x⋅lnx−−.xx22−x1−x−x⋅1−x2−3(2)y′==(1−x2)21−x2532−23xy′′=−(1−x)⋅(−2x)=.2(1−x2)5 9.求下列函数的n阶导数:(1)y=m1+x;1−x(2)y=.1+x1解(1)y=m1+x=(1+x)m,1111−111−2111−3y′=(1+x)m,y′′=(−1)(1+x)m,y′′′=(−1)(−2)(1+x)m,⋅⋅⋅,mmmmmm1(n)1111m−ny=(−1)(−2)⋅⋅⋅(−n+1)(1+x).mmmm1−x−1(2)y==−1+2(1+x),1+xy′=2(−1)(1+x)−2,y′′=2(−1)(−2)(1+x)−3,y′′′=2(−1)(−2)(−3)(1+x)−4,⋅⋅⋅,2(−1)nn!y(n)=2(−1)(−2)(−3)⋅⋅⋅(−n)(1+x)−(n+1)=.(1+x)n+110.设函数y=y(x)由方程ey+xy=e所确定,求y′′(0).解方程两边求导得eyy′+y+xy′=0,——(1)y于是y′=−;x+eyyy′(x+ey)−y(1+eyy′)y′′=(−)′=−.——(2)x+ey(x+ey)211当x=0时,由原方程得y(0)=1,由(1)式得y′(0)=−,由(2)式得y′′(0)=.ee2dyd2y11.求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数及二阶导数:dxdx2⎧x=acos3θ(1)⎨;⎩y=asin3θ ⎧x=ln1+t2(2)⎨.⎩y=arctantdy(asin3θ)′3asin2θcosθ解(1)===−tanθ,dx(acos3θ)′3acos2θ(−sinθ)d2y(−tanθ)′−sec2θ1===sec4θ⋅cscθ.dx2(acos3θ)′−3acos2θsinθ3a1dy(arctant)′1+t21(2)===,dx[ln1+t2]′tt1+t211d2y()′−21+t2tt===−.dx2[ln1+t2]′tt31+t2⎧x=2et12.求曲线⎨在t=0相的点处的切线方程及法线方程.⎩y=e−tdy(e−t)′−e−t1解===−.dx(2et)′2et2e2tdy1当t=0时,=−,x=2,y=1.dx21所求切线的方程为y−1=−(x−2),即x+2y−4=0;2所求法线的方程为y−1=2(x−2).13.甲船以6km/h的速率向东行驶,乙船以8km/h的速率向南行驶,在中午十二点正,乙船位于甲船之北16km处.问下午一点正两船相离的速率为多少?解设从中午十二点开始,经过t小时,两船之间的距离为S,则有S2=(16−8t)2+(6t)2,dS2S=−16(16−8t)+72t,dt dS−16(16−8t)+72t=.dt2S当t=1时,S=10,dS−128+72==−2.8(km/h),dtt=120即下午一点正两船相离的速度为−2.8km/h.14.利用函数的微分代替函数的增量求31.02的近似值.311解设f(x)=x,则有f(1+∆x)−f(1)≈f′(1)∆x=∆x,或f(1+∆x)≈1+∆x于是333311.02=1+0.02=1+⋅0.02=1.007.3l215.已知单摆的振动周期T=2π,其中g=980cm/s,l为摆长(单位为cm).g设原摆长为20cm,为使周期T增大0.05s,摆长约需加长多少？π解因为∆T≈dT=⋅∆L,gL0.05gL所以∆L≈=2.23(cm),πL=20即摆长约需加长2.23cm. 习题3−1π5π1.验证罗尔定理对函数y=lnsinx在区间[,]上的正确性.66π5ππ5ππ5π解因为y=lnsinx在区间[,]上连续,在(,)内可导,且y()=y(),666666π5π所以由罗尔定理知,至少存在一点ξ∈(,),使得y′(ξ)=cotξ=0.66ππ5π由y′(x)=cotx=0得∈(,).266ππ5π因此确有ξ=∈(,),使y′(ξ)=cotξ=0.2662.验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3−5x2+x−2在区间[0,1]上的正确性.解因为y=4x3−5x2+x−2在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,由拉格朗日中值y(1)−y(0)定理知,至少存在一点ξ∈(0,1),使y′(ξ)==0.1−025±13由y′(x)=12x−10x+1=0得x=∈(0,1).125±13y(1)−y(0)因此确有ξ=∈(0,1),使y′(ξ)=.121−0 π3.对函数f(x)=sinx及F(x)=x+cosx在区间[0,]上验证柯西中值定理的正确2性.ππ解因为f(x)=sinx及F(x)=x+cosx在区间[0,]上连续,在(0,)可导,且22ππF′(x)=1−sinx在(0,)内不为0,所以由柯西中值定理知至少存在一点ξ∈(0,),使22得πf()−f(0)2f′(ξ)=.πF′(ξ)F()−F(0)2πf()−f(0)f′(x)2cosx2令=,即=.F′(x)π1−sinxπ−2F()−F(0)2888化简得sinx=−1.易证0<−1<1,所以sinx=−1在(π−2)2+4(π−2)2+4(π−2)2+4ππ(0,)内有解,即确实存在ξ∈(0,),使得22πf()−f(0)2f′(ξ)=.πF′(ξ)F()−F(0)24.试证明对函数y=px2+qx+r应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.证明因为函数y=px2+qx+r在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,由拉格朗日中值定理,至少存在一点ξ∈(a,b),使得y(b)−y(a)=y′(ξ)(b−a),即(pb2+qb+r)−(pa2+qa+r)=(2pξ+q)(b−a).化间上式得p(b−a)(b+a)=2pξ(b−a),a+b故ξ=.25.不用求出函数f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)的导数，说明方程f′(x)=0有几个实根,并指出它们所在的区间. 解由于f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(1)=f(2)=0,所以由罗尔定理可知,存在ξ1∈(1,2),使f′(ξ1)=0.同理存在ξ2∈(2,3),使f′(ξ2)=0;存在ξ3∈(3,4),使f′(ξ3)=0.显然ξ1、ξ2、ξ3都是方程f′(x)=0的根.注意到方程f′(x)=0是三次方程,它至多能有三个实根,现已发现它的三个实根,故它们也就是方程f′(x)=0的全部根.π6.证明恒等式:arcsinx+arccosx=(−1≤x≤1).2证明设f(x)=arcsinx+arccosx.因为11f′(x)=−≡0,1−x21−x2所以f(x)≡C,其中C是一常数.ππ因此f(x)=f(0)=arcsinx+arccosx=,即arcsinx+arccosx=.22n+an−17.若方程a0x1x+⋅⋅⋅+an−1x=0有一个正根x0,证明方程an−1n−20nx+a1(n−1)x+⋅⋅⋅+an−1=0必有一个小于x0的正根.证明设F(x)=ann−10x+a1x+⋅⋅⋅+an−1x,由于F(x)在[0,x0]上连续,在(0,x0)内可导,且F(0)=F(x0)=0,根据罗尔定理,至少存在一点ξ∈(0,x0),使F′(ξ)=0,即方程an−1n−20nx+a1(n−1)x+⋅⋅⋅+an−1=0必有一个小于x0的正根.8.若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数,且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中ab>0,n>1,证明:nbn−1(a−b)b>0,证明:a−baa−b1时,ex>e⋅x.证明(1)设f(x)=arctanx,则f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(a,b),使1f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a),即arctanb−arctana=(b−a),1+ξ21所以|arctanb−arctana|=|b−a|≤|b−a|,即|arctana−arctanb|≤|a−b|.1+ξ2(2)设f(x)=ex,则f(x)在区间[1,x]上连续,在区间(1,x)内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(1,x),使f(x)−f(1)=f′(ξ)(x−1),即ex−e=eξ(x−1).因为ξ>1,所以ex−e=eξ(x−1)>e(x−1),即ex>e⋅x.12.证明方程x5+x−1=0只有一个正根.证明设f(x)=x5+x−1,则f(x)是[0,+∞)内的连续函数.因为f(0)=−1,f(1)=1,f(0)f(1)<0,所以函数在(0,1)内至少有一个零点,即x5+x−1=0至少有一个正根.假如方程至少有两个正根,则由罗尔定理,f′(x)存在零点,但f′(x)=5x4+1≠0,矛盾.这说明方程只能有一个正根.13.设f(x)、g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明在(a,b)内有一点ξ,使 f(a)f(b)f(a)f′(ξ)=(b−a).g(a)g(b)g(a)g′(ξ)f(a)f(x)解设ϕ(x)=,则ϕ(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,由拉格朗日中g(a)g(x)值定理,存在ξ∈(a,b),使ϕ(b)−ϕ(a)=ϕ′(ξ)(b−a),f(a)f(b)f(a)f(a)⎡[f(a)]′f(ξ)f(a)f′(ξ)⎤即−=(b−a)+.g(a)g(b)g(a)g(a)⎢⎣[g(a)]′g(ξ)g(a)g′(ξ)⎥⎦f(a)f(b)f(a)f′(ξ)因此=(b−a).g(a)g(b)g(a)g′(ξ)14.证明:若函数.f(x)在(−∞,+∞)内满足关系式f′(x)=f(x),且f(0)=1则f(x)=ex.f(x)证明令ϕ(x)=,则在(−∞,+∞)内有exf′(x)ex−f(x)e2f(x)ex−f(x)e2ϕ′(x)==≡0,e2xe2x所以在(−∞,+∞)内ϕ(x)为常数.因此ϕ(x)=ϕ(0)=1,从而f(x)=ex.15.设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f(0)=f′(0)=⋅⋅⋅=f(n−1)(0)=0,试用柯西中值定理证明:f(x)f(n)(θx)=(0<θ<1).xnn!证明根据柯西中值定理f(x)f(x)−f(0)f′(ξ1)==(ξ1介于0与x之间),xnx−0nξn−11f′(ξ1)f′(ξ1)−f′(0)f′′(ξ2)==(ξ2介于0与ξ1之间),nξn−1nξn−1−n⋅0n−1n(n−1)ξn−2112f′′(ξ2)f′′(ξ2)−f′′(0)f′′′(ξ3)==(ξ3介于0与ξ2之n(n−1)ξn−2n(n−1)ξn−2−n(n−1)⋅0n−2n(n−1)(n−2)ξn−3223间), 依次下去可得f(n−1)(ξ)f(n−1)(ξ)−f(n−1)(0)f(n)(ξ)n−1=n−1=n(ξn介于0与ξn−1之n(n−1)⋅⋅⋅2⋅ξn−1n(n−1)⋅⋅⋅2⋅ξn−1−n(n−1)⋅⋅⋅2⋅0n!间),f(x)f(n)(ξ)所以=n.xnn!f(x)f(n)(θx)由于ξn可以表示为ξn=θx(0<θ<1),所以=(0<θ<1).xnn!习题3−21.用洛必达法则求下列极限:ln(1+x)(1)lim;x→0xex−e−x(2)lim;x→0sinxsinx−sina(3)lim;x→ax−asin3x(4)lim;x→πtan5xlnsinx(5)lim;(π−2x)2x→π2xm−am(6)lim;x→axn−anlntan7x(7)lim;x→+0lntan2xtanx(8)lim;x→πtan3x21ln(1+)(9)limx;x→+∞arccotxln(1+x2)(10)lim;x→0secx−cosx(11)limxcot2x;x→0 1(12)limx2ex2;x→021(13)lim(−);x→1x2−1x−1ax(14)lim(1+);x→∞x(15)limxsinx;x→+0(16)1tanx.lim()x→+0x1ln(1+x)1+x1解(1)lim=lim=lim=1.x→0xx→01x→01+xex−e−xex+e−x(2)lim=lim=2.x→0sinxx→0cosxsinx−sinacosx(3)lim=lim=cosa.x→ax−ax→a1sin3x3cos3x3(4)lim=lim=−.x→πtan5xx→π5sec25x5lnsinxcotx1−csc2x1(5)lim=lim=−lim=−.x→π(π−2x)2x→π2(π−2x)⋅(−2)4x→π−28222xm−ammxm−1mxm−1mm−n(6)lim=lim==a.x→axn−anx→anxn−1nan−1n12⋅sec7x⋅7(7)lntan7xtan7xlim=limx→+0lntan2xx→+01⋅sec22x⋅2tan2x7tan2x7sec22x⋅2=lim=lim=1.2x→+0tan7x2x→+0sec27x⋅7tanxsec2x1cos23x(8)lim=lim=limx→πtan3xx→πsec23x⋅33x→πcos2x22212cos3x(−sin3x)⋅3cos3x=lim=−lim3x→π2cosx(−sinx)x→πcosx22 −3sin3x=−lim=3.x→π−sinx211⋅(−)11x2ln(1+)1+2(9)xx1+xlim=lim=limx→+∞arccotxx→+∞1x→+∞x+x2−1+x22x2=lim=lim=1.x→+∞1+2xx→+∞2ln(1+x2)cosxln(1+x2)x2(10)lim=lim=limx→0secx−cosxx→01−cos2xx→01−cos2x2xx=lim=lim=1.x→0−2cosx(−sinx)x→0sinx(注:cosx⋅ln(1+x2)~x2)x11(11)limxcot2x=lim=lim=.x→0x→0tan2xx→0sec22x⋅2211ex2etet(12)limx2ex2=lim=lim=lim=+∞x→0x→01t→+∞tt→+∞1x21(注:当x→0时,t=→+∞.x2⎛21⎞1−x−11(13)lim⎜−⎟=lim=lim=−.x→1⎝x2−1x−1⎠x→1x2−1x→12x2aaxxln(1+x)(14)因为lim(1+)=lime,x→∞xx→∞1a⋅(−)aax2ln(1+)1+axx而limx(ln(1+)=lim=limx→∞xx→∞1x→∞1−xx2axa=lim=lim=a,x→∞x+ax→∞1aaxxln(1+x)a所以lim(1+)=lime=e.x→∞xx→∞. (15)因为limxsinx=limesinxlnx,x→+0x→+01lnxx而limsinxlnx=lim=limx→+0x→+0cscxx→+0−cscx⋅cotxsin2x=−lim=0,x→+0xcosx所以limxsinx=limesinxlnx=e0=1.x→+0x→+0(16)因为lim(1)tanx=e−tanxlnx,x→+0x1lnxx而limtanxlnx=lim=limx→+0x→+0cotxx→+0−csc2xsin2x=−lim=0,x→+0x所以lim(1)tanx=lime−tanxlnx=e0=1.x→+0xx→+0x+sinx2.验证极限lim存在,但不能用洛必达法则得出.x→∞xx+sinxsinxx+sinx解lim=lim(1+)=1,极限lim是存在的.x→∞xx→∞xx→∞x(x+sinx)′1+cosx但lim=lim=lim(1+cosx)不存在,不能用洛必达法则.x→∞(x)′x→∞1x→∞21xsin3.验证极限limx存在,但不能用洛必达法则得出.x→0sinx2121xsinxsinxx1x解lim=lim⋅xsin=1⋅0=0,极限lim是存在的.x→0sinxx→0sinxxx→0sinx(x2sin1)′2xsin1−cos1但limx=limxx不存在,不能用洛必达法则.x→0(sinx)′x→0cosx⎧1(1+x)x1⎪⎪[]xx>04.讨论函数f(x)=⎨e在点x=0处的连续性.⎪−1⎪⎩e2x≤0 111−−−解f(0)=e2,limf(x)=lime2=e2=f(0),x→−0x→−01(1+x)x11[1ln(1+x)−1]因为limf(x)=lim[]x=limexx,x→+0x→−0ex→−011ln(1+x)−x而lim[ln(1+x)−1]=limx→+0xxx→+0x21−1=lim1+x=lim−1=−1,x→+02xx→+02(1+x)21(1+x)x11[1ln(1+x)−1]所以limf(x)=lim[]x=limexxx→+0x→−0ex→−01−=e2=f(0).因此f(x)在点x=0处连续.习题3−31.按(x−4)的幂展开多项式x4−5x3+x2−3x+4.解设f(x)=x4−5x3+x2−3x+4.因为f(4)=−56,f′(4)=(4x3−15x2+2x−3)|x=4=21,f′′(4)=(12x2−30x+2)|x=4=74,f′′′(4)=(24x−30)|x=4=66,f(4)(4)=24,所以f′′(4)f′′′(4)f(4)(4)f(x)=f(4)+f′(4)(x−4)+(x−4)2+(x−4)3+(x−4)42!3!4! =−56+21(x−4)+37(x−4)2+11(x−4)3+(x−4)4.2.应用麦克劳林公式,按x幂展开函数f(x)=(x2−3x+1)3.解因为f′(x)=3(x2−3x+1)2(2x−3),f′′(x)=6(x2−3x+1)(2x−3)2+6(x2−3x+1)2=30(x2−3x+1)(x2−3x+2),f′′′(x)=30(2x−3)(x2−3x+2)+30(x2−3x+1)(2x−3)=30(2x−3)(2x2−6x+3),f(4)(x)=60(2x2−6x+3)+30(2x−3)(4x−6)=360(x2−3x+2),f(5)(x)=360(2x−3),f(6)(x)=720;f(0)=1,f′(0)=−9,f′′(0)=60,f′′′(0)=−270,f(4)(0)=720,f(5)(0)=−1080,f(6)(0)=720,所以f′′(0)f′′′(0)f(4)(0)f(5)(0)f(6)(0)f(x)=f(0)+f′(0)x+x2+x3+x4+x5+x62!3!4!5!6!=1−9x+30x3−45x3+30x4−9x5+x6.3.求函数f(x)=x按(x−4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式.解因为131−11−1f(4)=4=2,f′(4)=x2x=4=,f′′(4)=−x2x=4=−,2443257f′′′(4)=3x−2=3(4)15−2x=4,f(x)=−x,88⋅3216f′′(4)2f′′′(4)3f(4)(ξ)4所以x=f(4)+f′(4)(x−4)+(x−4)+(x−4)+(x−4)2!3!4!=2+1(x−4)−1(x−4)2+1(x−4)3−1⋅15(x−4)4(0<θ<1).4645124!16[4+θ(x−4)]74.求函数f(x)=lnx按(x−2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式.解因为f′(x)=x−1,f′′(x)=(−1)x−2,f′′′(x)=(−1)(−2)x−3,⋅⋅⋅,(n)−n(−1)n−1(n−1)!f(x)=(−1)(−2)⋅⋅⋅(−n+1)x=;xn (k)(−1)k−1(k−1)!f(2)=(k=1,2,⋅⋅⋅,n+1),2k所以f′′(2)2f′′′(2)3f(n)(2)nnlnx=f(2)+f′(2)(x−2)+(x−2)+(x−2)+⋅⋅⋅+(x−2)+o[(x−2)]2!3!n!11213(−1)n−1nn=ln2+(x−2)−(x−2)+(x−2)−⋅⋅⋅+(x−2)+o[(x−2)].22⋅223⋅23n⋅2n15.求函数f(x)=按(x+1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式.x解因为f(x)=x−1,f′(x)=(−1)x−2,f′′(x)=(−1)(−2)x−3,⋅⋅⋅,(n)−(n+1)(−1)nn!f(x)=(−1)(−2)⋅⋅⋅(−n)x=;xn+1(−1)kk!f(k)(−1)==−k!(k=1,2,⋅⋅⋅,n),(−1)k+11f′′(−1)2f′′′(−1)3所以=f(−1)+f′(−1)(x+1)+(x+1)+(x+1)+⋅⋅⋅x2!3!f(n)(−1)f(n+1)(ξ)+(x+1)n+(x+1)n+1n!(n+1)!(−1)n+1=−[1+(x+1)+(x+1)2+(x+1)3+⋅⋅⋅+(x+1)n]+(x+1)n+1[−1+θ(x+1)]n+2(0<θ<1).6.求函数f(x)=tanx的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式.解因为f′(x)=sec2x,f′′(x)=2secx⋅secx⋅tanx=2sec2x⋅tanx,f′′′(x)=4secx⋅secx⋅tan2x+2sec4x=4sec2x⋅tan2x+2sec4x,(4)23448sinx(sin2x+2)f(x)=8secx⋅tanx+8secx⋅tanx+8secx⋅tanx=;cos5xf(0)=0,f′(0)=1,f′′(0)=0,f′′′(0)=2,sin(θx)[sin2(θx)+2]134所以tanx=x+x+x(0<θ<1).33cos5(θx) 7.求函数f(x)=xex的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式.解因为f′(x)=ex+xex,f′′(x)=ex+ex+xex=2ex+xex,f′′′(x)=2ex+ex+xex=3ex+xex,⋅⋅⋅,f(n)(x)=nex+xex;f(k)(0)=k(k=1,2,⋅⋅⋅,n),f′′(0)f′′′(0)f(n)(0)所以xex=f(0)+f′(0)x+x2+x3+⋅⋅⋅⋅+xn+o(xn)2!3!n!=x+x2+1x3+⋅⋅⋅1xn+o(xn).2!(n−1)!1x2x38.验证当0≤x≤时,按公式ex≈1+x++计算ex的近似值时,所产生的误226差小于0.01,并求e的近似值,使误差小于0.01.x2x3解因为公式ex≈1+x++右端为ex的三阶麦克劳林公式,其余项为26eξR(x)=x4,34!1x2x3所以当0≤x≤时，按公式ex≈1+x++计算ex的误差2261eξ321|R(x)|=|x4|≤()4≈0.0045<0.01.34!4!21e=e2≈1+1+1⋅(1)2+1⋅(1)3≈1.645.222629.应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值,并估计误差:(1)330;(2)sin18°.解(1)设f(x)=3x,则f(x)在x0=27点展开成三阶泰勒公式为25f(x)=3x=327+1⋅27−3(x−27)+1⋅(−2⋅27−3)(x−27)232!9 811+1⋅(10⋅27−3)(x−27)3+1⋅(−80ξ−3)(x−27)4(ξ介于27与x之间).3!274!81258于是330≈327+1⋅27−3⋅3+1⋅(−2⋅27−3)⋅32+1⋅(10⋅27−3)⋅3332!93!27115≈3(1+−+)≈3.10724,3336310其误差为1111|R(30)|=|1⋅(−80ξ−3)⋅34|<1⋅80⋅27−3⋅34=80=1.88×10−5.34!814!814!⋅311(2)已知13sinξ4sinx=x−x+x(ξ介于0与x之间),3!4!ππ1π3所以sin18°=sin≈−()≈0.3090,10103!10其误差为πsin|R(π)|=|sinξ(π)4|<6(π)4=2.03×10−4.3104!104!1010.利用泰勒公式求下列极限:(1)lim(33324423);x+x−x−xx→+∞x2−cosx−e2(2)lim;x→0x2[x+ln(1−x)]1221+x−1+x(3)lim2.xx22→0(cosx−e)sinx3231+−41−34332443xx1+3t−1−2t解(1)lim(x+3x−x−2x)=lim=lim.x→+∞x→+∞1t→+0tx341因为1+3t=1+t+o(t),1−2t=1−t+o(t),所以2 1[1+t+o(t)]−[1−t+o(t)]33244323o(t)3lim(x+3x−x−2x)=lim=lim[+]=.x→+∞t→+0tt→+02t2x212144121144−[1−x+x+o(x)]−[1−x+⋅x+o(x)](2)cosx−e22!4!22!4lim=limx→0x2[x+ln(1−x)]x→01x3[1+ln(1−x)x]o(x4)1−x+12x30=lim==0.x→011+e−11+ln(1−x)x1+1x2−1+x21+1x2−[1+1x2−3x4+o(x4)](3)lim2=lim22!4!2x→0(cosx−ex)sinx2x→0[(1−1x2+1x4+o(x4))−(1+x2+1x4+o(x4))]x22!4!2!o(x4)3443+3x+o(x)4!4!x44!1=lim=lim==−.x→03411624x→0311o(x4)312−x−x+x⋅o(x)−−x2+−224224x22习题3−41.判定函数f(x)=arctanx−x单调性.11解因为f′(x)=−1=−≤0,且仅当x=0时等号成立,所以f(x)在(−∞,1+x21+x2+∞)内单调减少.2.判定函数f(x)=x+cosx(0≤x≤2π)的单调性.解因为f′(x)=1−sinx≥0,所以f(x)=x+cosx在[0,2π]上单调增加.3.确定下列函数的单调区间:(1)y=2x3−6x2−18x−7;8(2)y=2x+(x>0);x10(3)y=;4x3−9x2+6x(4)y=ln(x+1+x2);(5)y=(x−1)(x+1)3; (6)y=3(2x−a)(a−x)2(a>0);(7)y=xne−x(n>0,x≥0);(8)y=x+|sin2x|.2−12x−18=6(x−3)(x+1)=0,令y′=0得驻点x解(1)y′=6x1=−1,x2=3.列表得x(−∞,−1)−1(−1,3)3(3,+∞)y′+0−0+y↗↘↗可见函数在(−∞,−1]和[3,+∞)内单调增加,在[−1,3]内单调减少.82(x−2)(x+2)(2)y′=2−==0,令y′=0得驻点x1=2,x2=−2(舍去).x2x2因为当x>2时,y>0;当00,所以函数在(−∞,+∞)内单调增x+1+x221+x21+x2加.(5)y′=(x+1)3+3(x−1)(x+1)2=4(x−1)(x+1)2.因为当x<1时,y′<0;当x>1时,22211y′>0,所以函数在(−∞,]内单调减少,在[,+∞)内单调增加.22 2a−(x−)32aa(6)y′=,驻点为x1=,不可导点为x2=,x3=a.33(2x−a)2(a−x)32列表得a2a(−∞,2)aa2a2a(3,a)x(,)a(a,+∞)2233y′+不存在+0−不存在+y↗↗↘↗aa2a2a可见函数在(−∞,),(,],(a,+∞)内单调增加,在[,a)内单调减少.2233(7)y′=e−xxn−1(n−x),驻点为x=n.因为当00;当x>n时,y′<0,所以函数在[0,n]上单调增加,在[n,+∞)内单调减少.⎧πx+sin2xkπ≤x≤kπ+⎪2(8)y=⎨(k=0,±1,±2,⋅⋅⋅),π⎪x−sin2xkπ+0时,1+x>1+x;2(2)当x>0时,1+xln(x+1+x2)>1+x2;π(3)当02x;2π13(4)当0x+x;23(5)当x>4时,2x>x2;1证明(1)设f(x)=1+x−1+x,则f(x)在[0,+∞)内是连续的.因为2111+x−1f′(x)=−=>0,221+x21+x所以f(x)在(0,+∞)内是单调增加的,从而当x>0时f(x)>f(0)=0,即11+x−1+x>0,21也就是1+x>1+x.2(2)设f(x)=1+xln(x+1+x2)−1+x2,则f(x)在[0,+∞)内是连续的.因为21xx2f′(x)=ln(x+1+x)+x⋅⋅(1+)−=ln(x+1+x)>0,x+1+x21+x21+x2所以f(x)在(0,+∞)内是单调增加的,从而当x>0时f(x)>f(0)=0,即1+xln(x+1+x2)−1+x2>0,也就是1+xln(x+1+x2)>1+x2.π(3)设f(x)=sinx+tanx−2x,则f(x)在[0,)内连续,2(cosx−1)[(cos2x−1)−cosx]f′(x)=cosx+sec2x−2=.cos2xπ2因为在(0,)内cosx−1<0,cosx−1<0,−cosx<0,所以f′(x)>0,从而f(x)在2 ππ(0,)内单调增加,因此当0f(0)=0,即22sinx+tanx−2x>0,也就是sinx+tanx>2x.13π(4)设f(x)=tanx−x−x,则f(x)在[0,)内连续,32f′(x)=sec2x−1−x2=tan2x−x2=(tanx−x)(tanx+x).ππ因为当0x,tanx+x>0,所以f′(x)在(0,)内单调增加,因此当22π0f(0)=0,即213tanx−x−x>0,312也就是tanx>x+x.3(5)设f(x)=xln2−2lnx,则f(x)在[4,+∞)内连续,因为2ln42lne2f′(x)=ln2−=−>−=0,x2x24所以当x>4时,f′(x)>0,即f(x)内单调增加.因此当x>4时,f(x)>f(4)=0,即xln2−2lnx>0,也就是2x>x2.5.讨论方程lnx=ax(其中a>0)有几个实根？11−ax1解设f(x)=lnx−ax.则f(x)在(0,+∞)内连续,f′(x)=−a=,驻点为x=.xxa111因为当00,所以f(x)在(0,)内单调增加;当x>时,f′(x)<0,aaa1所以f(x)在(,+∞)内单调减少.又因为当x→0及x→+∞时,f(x)→−∞,所以如果a11111f()=ln−1>0,即a<,则方程有且仅有两个实根;如果f()=ln−1<0,即aaeaa1111a>,则方程没有实根.如果f()=ln−1=0,即a=,则方程仅有一个实根.eaae6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子:f(x)=x+sinx.解单调函数的导函数不一定为单调函数.例如f(x)=x+sinx在(−∞,+∞)内是单调增加的,但其导数不是单调函数.事实上 ,f′(x)=1+cosx≥0,这就明f(x)在(−∞,+∞)内是单调增加的.f′′(x)=−sinx在(−∞,+∞)内不保持确定的符号,故f′(x)在(−∞,+∞)内不是单调的.7.判定下列曲线的凹凸性:(1)y=4x−x2;(2)y=shx;1(3)y=1+(x>0);x(4)y=xarctanx;解(1)y′=4−2x,y′′=−2,因为y′′<0,所以曲线在(−∞,+∞)内是凸的.(2)y′=chx,y′′=shx.令y′′=0,得x=0.因为当x<0时,y′′=shx<0;当x>0时,y′′=shx>0,所以曲线在(−∞,0]内是凸的,在[0,+∞)内是凹的.12(3)y′=−,y′′=.x2x3因为当x>0时,y′′>0,所以曲线在(0,+∞)内是凹的.x2(4)y′=arctanx+,y′′=.1+x2(1+x2)2因为在(−∞,+∞)内,y′′>0,所以曲线y=xarctgx在(−∞,+∞)内是凹的.8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:(1).y=x3−5x2+3x+5;(2)y=xe−x;(3)y=(x+1)4+ex;(4)y=ln(x2+1);(5)y=earctanx;(6)y=x4(12lnx−7),25解(1)y′=3x−10x+3,y′′=6x−10.令y′′=0,得x=.3 555因为当x<时,y′′<0;当x>时,y′′>0,所以曲线在(−∞,]内是凸的,在3335520[,+∞)内是凹的,拐点为(,).3327(2)y′=e−x−xe−x,y′′=−e−x−e−x+xe−x=e−x(x−2).令y′′=0,得x=2.因为当x<2时,y′′<0;当x>2时,y′′>0,所以曲线在(−∞,2]内是凸的,在[2,+∞)内是凹的,拐点为(2,2e−2).(3)y′=4(x+1)3+ex,y′′=12(x+1)2+ex.因为在(−∞,+∞)内,y′′>0,所以曲线y=(x+1)4+ex的在(−∞,+∞)内是凹的,无拐点.2(x2+1)−2x⋅2x−2(x−1)(x+1)2x(4)y′=,y′′==.令y′′=0,得x1=−1,x2=1.x2+1(x2+1)2(x2+1)2列表得x(−∞,−1)−1(−1,1)1(1,+∞)y′′−0+0−ln2ln2y∩∪∩拐点拐点可见曲线在(−∞,−1]和[1,+∞)内是凸的,在[−1,1]内是凹的,拐点为(−1,ln2)和(1,ln2).1earctanx1(5)y′=earctanx⋅,y′′=(1−2x).令y′′=0得,x=.1+x21+x2211arctgx1因为当x<时,y′′>0;当x>时,y′′<0,所以曲线y=e在(−∞,]内是凹的,222111arctan在[,+∞)内是凸的,拐点是(,e2).22(6)y′=4x3(12lnx−7)+12x3,y′′=144x2⋅lnx.令y′′=0,得x=1.因为当01时,y′′>0,所以曲线在(0,1]内是凸的,在[1,+∞)内是凹的,拐点为(1,−7).9.利用函数图形的凹凸性,证明下列不等式: (1)1nnx+yn(x+y)>()(x>0,y>0,x≠y,n>1);22xyx+ye+e(2)>e2(x≠y);2x+y(3)xlnx+ylny>(x+y)ln(x>0,y>0,x≠y).2证明(1)设f(t)=tn,则f′(t)=ntn−1,f′′(t)=n(n−1)tn−2.因为当t>0时,f′′(t)>0,所以曲线f(t)=tn在区间(0,+∞)内是凹的.由定义,对任意的x>0,y>0,x≠y有1x+y[f(x)+f(y)]>f(),22即1nnx+yn(x+y)>().22(2)设f(t)=et,则f′(t)=et,f′′(t)=et.因为f′′(t)>0,所以曲线f(t)=et在(−∞,+∞)内是凹的.由定义,对任意的x,y∈(−∞,+∞),x≠y有1x+y[f(x)+f(y)]>f(),22xyx+ye+e即>e2(x≠y).21(3)设f(t)=tlnt,则f′(t)=lnt+1,f′′(t)=.t因为当t>0时,f′′(t)>0,所以函数f(t)=tlnt的图形在(0,+∞)内是凹的.由定义,对任意的x>0,y>0,x≠y有1x+y[f(x)+f(y)]>f(),22x+y即xlnx+ylny>(x+y)ln.2x−110.试证明曲线y=有三个拐点位于同一直线上.2x+1−x2+2x+12x3−6x2−6x+22(x+1)[x−(2−3)][x−(2+3)]证明y′=,y′′==.(x2+1)2(x2+1)3(x2+1)3令y′′=0,得x1=−1,x2=2−3,x3=2+3.例表得 (−∞.(−1,2−3)(2+3,+∞)x−12−3(2−3,2+3)2+3−1)y′−0+0−0+1−31+3y∩−1∪4(2−3)∩4(2+3)∪1−31+3可见拐点为(−1,−1),(2−3,),(2+3,).因为4(2−3)4(2+3)1−31+3−(−1)−(−1)4(2−3)14(2+3)1=,=,2−3−(−1)42+3−(−1)4所以这三个拐点在一条直线上.11.问a、b为何值时,点(1,3)为曲线y=ax3+bx2的拐点？解y′=3ax2+2bx,y′′=6ax+2b.要使(1,3)成为曲线y=ax3+bx2的拐点,必须y(1)=339且y′′(1)=0,即a+b=3且6a+2b=0,解此方程组得a=−,b=.2212.试决定曲线y=ax3+bx2+cx+d中的a、b、c、d,使得x=−2处曲线有水平切线,(1,−10)为拐点,且点(−2,44)在曲线上.解y′=3ax2+2bx+c,y′′=6ax+2b.依条件有⎧y(−2)=44⎧−8a+4b−2c+d=44⎪y(1)=−10⎪a+b+c+d=−10⎨,即⎨.y′(−2)=012a−4b+c=0⎪⎪⎩y′′(1)=0⎩6a+2b=0解之得a=1,b=−3,c=−24,d=16.13.试决定y=k(x2−3)2中k的值,使曲线的拐点处的法线通过原点.3−12kx,y′′=12k(x−1)(x+1).令y′′=0,得x解y′=4kx1=−1,x2=1.因为在x1=−1的两侧y′′是异号的,又当x=−1时y=4k,所以点(−1,4k)是拐点.1因为y′(−1)=8k,所以过拐点(−1,4k)的法线方程为y−4k=−(x+1).要使法线8k12过原点,则(0,0)应满足法线方程,即−4k=−,k=±.8k8 同理,因为在x1=1的两侧y′′是异号的,又当x=1时y=4k,所以点(1,4k)也是拐点.1因为y′(1)=−8k,所以过拐点(−1,4k)的法线方程为y−4k=(x−1).要使法线8k12过原点,则(0,0)应满足法线方程,即−4k=−,k=±.8k82因此当k=±时,该曲线的拐点处的法线通过原点.814.设y=f(x)在x=x0的某邻域内具有三阶连续导数,如果f′′(x0)=0,而f′′′(x0)≠0,试问(x0,f(x0))是否为拐点？为什么？解不妨设f′′′(x0)>0.由f′′′(x)的连续性,存在x0的某一邻域(x0−δ,x0+δ),在此邻域内有f′′′(x)>0.由拉格朗日中值定理,有f′′(x)−f′′(x0)=f′′′(ξ)(x−x0)(ξ介于x0与x之间),即f′′(x)=f′′′(ξ)(x−x0).因为当x0−δ0,所以(x0,f(x0))是拐点.习题3−51.求函数的极值:(1)y=2x3−6x2−18x+7;(2)y=x−ln(1+x);(3)y=−x4+2x2;(4)y=x+1−x;1+3x(5)y=;24+5x23x+4x+4(6)y=;2x+x+1(7)y=excosx;1(8)y=xx; 1(9)y=3−2(x+1)3;(10)y=x+tanx.解(1)函数的定义为(−∞,+∞),y′=6x2−12x−18=6(x2−2x−3)=6(x−3)(x+1),驻点为x1=−1,x2=3.列表x(−∞,−1)−1(−1,3)3(3,+∞)y′+0−0+y↗17极大值↘−47极小值↗可见函数在x=−1处取得极大值17,在x=3处取得极小值−47.1x(2)函数的定义为(−1,+∞),y′=1−=,驻点为x=0.因为当−101+x1+x时,y′>0,所以函数在x=0处取得极小值,极小值为y(0)=0.(3)函数的定义为(−∞,+∞),y′=−4x3+4x=−4x(x2−1),y′′=−12x2+4,令y′=0,得x1=0,x2=−1,x3=1.因为y′′(0)=4>0,y′′(−1)=−8<0,y′′(1)=−8<0,所以y(0)=0是函数的极小值,y(−1)=1和y(1)=1是函数的极大值.(4)函数的定义域为(−∞,1],121−x−13−4xy′=1−==,21−x21−x21−x(21−x+1)3令y′=0,得驻点x=.4335因为当x<时,y′>0;当0;当x>时,y′<0,所以函数在x=处取得极大值,极大值为55512205y()=.510−x(x+2)(6)函数的定义为(−∞,+∞),y′=,驻点为x1=0,x2=−2.22(x+x+1)列表x(−∞,−2)−2(−2,0)0(0,+∞) y′−0+0−8y↘极小值↗4极大值↘38可见函数在x=−2处取得极小值,在x=0处取得极大值4.3(7)函数的定义域为(−∞,+∞).y′=ex(cosx−sinx),y′′=−exsinx.ππ令y′=0,得驻点x=+2kπ,x=+2(k+1)π,(k=0,±1,±2,⋅⋅⋅).44πππ+2kπ2因为y′′(+2kπ)<0,所以y(+2kπ)=e4⋅是函数的极大值.442πππ+2(k+1)π2因为y′′[+2(k+1)π]>0,所以y[+2(k+1)π]=−e4⋅是函数的极小值.4421(8)函数y=xx的定义域为(0,+∞),11y′=xx⋅(1−lnx).2x令y′=0,得驻点x=e.1因为当x0;当x>e时,y′<0,所以y(e)=ee为函数f(x)的极大值.21(9)函数的定义域为(−∞,+∞),y′=−,因为y′<0,所以函数在(−∞,+∞)是单调32/3(x+1)减少的,无极值.π(10)函数y=x+tgx的定义域为x≠+kπ(k=0,±1,±2,⋅⋅⋅).2因为y′=1+sec2x>0,所以函数f(x)无极值.2.试证明:如果函数y=ax3+bx2+cx+d满足条件b2−3ac<0,那么这函数没有极值.证明y′=3ax2+2bx+c.由b2−3ac<0,知a≠0.于是配方得到2222bc2b23ac−by′=3ax+2bx+c=3a(x+x+)=3a(x+)+,3a3a3a3a因3ac−b2>0,所以当a>0时,y′>0;当a<0时,y′<0.因此y=ax3+bx2+cx+d是单调函数,没有极值.1π3.试问a为何值时,函数f(x)=asinx+sin3x在x=处取得极值？它是极大值还是极小33 值？并求此极值.解f′(x)=acosx+cos3x,f′′(x)=−asinx−3sinx.ππ1要使函数f(x)在x=处取得极值,必有f′()=0,即a⋅−1=0,a=2.332π3π当a=2时,f′′()=−2⋅<0.因此,当a=2时,函数f(x)在x=处取得极值,而且取得极3233大值,极大值为f()=3.24.求下列函数的最大值、最小值:(1)y=2x3−3x2,−1≤x≤4;(2)y=x4−8x2+2,−1≤x≤3;(3)y=x+1−x,−5≤x≤1.解(1)y′=6x2−6x=6x(x−1),令y′=0,得x1=0,x2=1.计算函数值得y(−1)=−5,y(0)=0,y(1)=−1,y(4)=80,经比较得出函数的最小值为y(−1)=−5,最大值为y(4)=80.(2)y′=4x3−16x=4x(x2−4),令y′=0,得x1=0,x2=−2(舍去),x3=2.计算函数值得y(−1)=−5,y(0)=2,y(2)=−14,y(3)=11,经比较得出函数的最小值为y(2)=−14,最大值为y(3)=11.13(3)y′=1−,令y′=0,得x=.计算函数值得21−x435y(−5)=−5+6,y()=,y(1)=1,4435经比较得出函数的最小值为y(−5)=−5+6,最大值为y()=.445.问函数y=2x3−6x2−18x−7(1≤x≤4)在何处取得最大值？并求出它的最大值.解y′=6x2−12x−18=6(x−3)(x+1),函数f(x)在1≤x≤4内的驻点为x=3.比较函数值:f(1)=−29,f(3)=−61,f(4)=−47,函数f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=−29.2546.问函数y=x−(x<0)在何处取得最小值？x54解y′=2x+,在(−∞,0)的驻点为x=−3.因为2x108108y′′=2−,y′′(−3)=2+>0,327x所以函数在x=−3处取得极小值.又因为驻点只有一个,所以这个极小值也就是最小值,即函数在x=−3处取得最小值,最小值为y(−3)=27. x7.问函数y=(x≥0)在何处取得最大值？2x+121−x解y′=.函数在(0,+∞)内的驻点为x=1.22(x+1)因为当00;当x>1时y′<0,所以函数在x=1处取得极大值.又因为函数在(0,+∞)内只有一个驻点,所以此极大值也是函数的最大值,即函数在x=1处取得最大值,最大1值为f(1)=.28.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20cm长的墙壁,问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解设宽为x长为y,则2x+y=20,y=20−2x,于是面积为S=xy=x(20−2x)=20x−2x2.S′=20−4x=4(10−x),S′′=−4.令S′=0,得唯一驻点x=10.因为S′′(10)−4<0,所以x=10为极大值点,从而也是最大值点.当宽为5米,长为10米时这间小屋面积最大.9.要造一圆柱形油罐,体积为V,问底半径r和高h等于多少时,才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解由V=πr2h,得h=Vπ−1r−2.于是油罐表面积为222VS=2πr+2πrh=2πr+(00,所以S在驻点r=3处取得极小值,也就是最小值.这时相应的32πrV高为h==2r.底直径与高的比为2r:h=1:1.2πr010.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图),截面的面积为5m2,问底宽x为多少时才能使截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省？1x25π解设矩形高为h,截面的周长S,则xh+⋅()π=5,h=−x.22x8于是 xππ1040S=x+2h+=x+x+(00,所以x=为极小值点,同时也是最小值点.34+πx40因此底宽为x=时所用的材料最省.4+π11.设有重量为5kg的物体,置于水平面上,受力F的作用而开始移动(如图).设摩擦系数µ=0.25,问力F与水平线的交角α为多少时,才可使力F的大小为最小？解由Fcosα=(m−Fsinα)µ得µmπF=(0≤α≤),cosα+µsinα2µm(sinα−µcosα)F′=,2(cosα+µsinα)驻点为α=arctanµ.ππ因为F的最小值一定在(0,)内取得,而F在(0,)内只有一个驻点α=arctanµ,22所以α=arctanµ一定也是F的最小值点.从而当α=arctan0.25=14°时,力F最小.12.有一杠杆,支点在它的一端.在距支点0.1m处挂一重量为49kg的物体.加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图).如果杠杆的线密度为5kg/m,求最省力的杆长?解设杆长为x(m),加于杠杆一端的力为F,则有154.9xF=x⋅5x+49⋅0.1,即F=x+(x>0).22x54.9F′=−,22x驻点为x=1.4.由问题的实际意义知,F的最小值一定在(0,+∞)内取得,而F在(0,+∞)内只有一个驻点x=1.4,所以F一定在x=1.4m处取得最小值,即最省力的杆长为1.4m.13.从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图),问留下的扇形的中心角ϕ取多大时,做成的漏斗的容积最大？ 解漏斗的底周长l、底半径r、高h分别为Rϕ22R22l=R⋅ϕ,r=,h=R−r=4π−ϕ.2π2π漏斗的容积为3212Rϕ22V=hrπ=4π−ϕ(0<ϕ<2π).2324π322Rϕ(8π−3ϕ)26V′=⋅，驻点为ϕ=π.24π2π2−ϕ234由问题的实际意义,V一定在(0,2π)内取得最大值,而V在(0,2π)内只有一个驻点,所以该驻26点一定也是最大值点.因此当ϕ=π时,漏斗的容积最大.314.某吊车的车身高为1.5m,吊臂长15m,现在要把一个6m宽、2m高的屋架,水平地吊到6m高的柱子上去(如图),问能否吊得上去？解设吊臂对地面的倾角为ϕ时,屋架能够吊到的最大高度为h.在直角三角形∆EDG中15sinϕ=(h−1.5)+2+3tanϕ,1故h=15sinϕ−3tanϕ−,23h′=15cosϕ−.2cosϕ1令h′=0得唯一驻点ϕ=arccos≈54°.356sinϕ因为h′′=−15sinϕ−<0,所以ϕ=54°为极大值点,同时这也是最大值点.3cosϕ1当ϕ=54°时,h=15sinϕ−3tanϕ−≈7.5m.2所以把此屋最高能水平地吊至7.5m高,现只要求水平地吊到6m处,当然能吊上去.15.一房地产公司有50套公寓要出租.当月租金定为1000元时,公寓会全部租出去.当月租金每增加50元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费100元的维修费.试问房租定为多少可获最大收入？ 解房租定为x元,纯收入为R元.当x≤1000时,R=50x−50×100=50x−5000,且当x=1000时,得最大纯收入45000元.当x>1000时,1112R=[50−(x−1000)]⋅x−[50−(x−1000)]⋅100=−x+72x−7000,55501R′=−x+72.251令R′=0得(1000,+∞)内唯一驻点x=1800.因为R′′=−<0,所以1800为极大值点,同时25也是最大值点.最大值为R=57800.因此,房租定为1800元可获最大收入.习题3-6描绘下列函数的图形:1421.y=(x−6x+8x+7);5解(1)定义域为(−∞,+∞);(2)y′=1(4x3−12x+8)=4(x+2)(x−1)2,554212y′′=(3x−3)=(x+1)(x−1),55令y′=0,得x=−2,x=1;令y′′=0,得x=−1,x=1.(3)列表x(−∞,−2)−2(−2,−1)−1(−1,1)1(1,+∞)y′−0+++0+y′′+++0−0+ 176−−2y=f(x)↘∪5↗∪5↗∩↗∪拐点极小值拐点(4)作图:x2.y=;21+x解(1)定义域为(−∞,+∞);(2)奇函数,图形关于原点对称,故可选讨论x≥0时函数的图形.−(x−1)(x+1)2x(x−3)(x+3)(3)y′=,y′′=,2223(1+x)(1+x)当x≥0时,令y′=0,得x=1;令y′′=0,得x=0,x=3.(4)列表(3,x0(0,1)1(1,3)3+∞)y′++0−−−y′′0−−−0+1极大30y=f(x)↗∩2↘∩4↘∪拐点值拐点(5)有水平渐近线y=0;(6)作图: 3.−(x−1)2y=e;解(1)定义域为(−∞,+∞);(2)−(x−1)2−(x−1)222y′=−2(x−1)ey′′=4e[x−(1+)][x−(1−)],2222令y′=0,得x=1;令y′′=0,得x=1+,x=1−.22(3)列表222222x(−∞,1−)1−(1−,1)1(1,1+)1+(1+,+∞)222222y′+++0−−−y′′+0−−−0+111−−e2e2y=f(x)↗∪↗∩极大↘∩↘∪拐点拐点值(4)有水平渐近线y=0;(5)作图:4.21y=x+;x解(1)定义域为(−∞,0)∪(0,+∞);3312x−122(x+1)(2)y′=2x−=,y′′=2+=,2233xxxx 1令y′=0,得x=;令y′′=0,得x=−1.32(3)列表111x(−∞,−1)−1(−1,0)0(0,3)3(3,+∞)222y′−−−无−0+y′′+0−无+++33022y=f(x)↘∪↘∩无↘∪↗∪拐点极小值(4)有铅直渐近线x=0;(5)作图:cosx5.y=.cos2xnππ解(1)定义域为x≠+(n=0,±1,±2,⋅⋅⋅)24(2)是偶函数,周期为2p.可先作[0,p]上的图形,再根据对称性作出[−p,0)内的图形,最后根据周期性作出[−p,p]以外的图形; 224sinx(3−2sinx)cosx⋅(3+12sinx−4sinx)(3)y′=,y′′=,23cos2xcos2xπ在[0,p]上,令y′=0,得x=0,x=p;令y′′=0,得x=.2(4)列表ππππππ3π3π3πx0(0,)(,)(,)(,π)p444222444y′0+无+++无+0y′′++无−0+无−−10−1y=f(x)极小↗∪无↗∩拐↗∪无↗∩极大值点值π3π(5)有铅直渐近线x=及x=;44(6)作图: 习题3−71.求椭圆4x2+y2=4在点(0,2)处的曲率.解两边对x求导数得4x4y−4xy′8x+2yy′=0,y′=−,y′′=−.y2yy′|(0,2)=0,y′′|(0,2)=−2.所求曲率为|y′′||−2|K===2.+′23/223/2(1y)(1+0)2.求曲线y=lnsecx在点(x,y)处的曲率及曲率半径.12解y′=⋅secx⋅tanx=tanx,y′′=secx.secx所求曲率为′′2|y||secx|K===|cosx|,+′23/223/2(1y)(1+tanx)曲率半径为11ρ===|secx|.K|cosx|3.求抛物线y=x2−4x+3在其顶点处的曲率及曲率半径.解y′=2x−4,y′′=2.令y′=0,得顶点的横坐标为x=2.y′|x=2=0,y′′|x=2=2.所求曲率为|y′′||2|K===2,+′23/223/2(1y)(1+0)曲率半径为11ρ==.K24.求曲线x=acos3t,y=asin3t在t=t0处的曲率.3′(asint)(−tanx)′1解y′==−tant,y′′==.3′3′4(acosx)(acosx)3asint⋅cost所求曲率为 1|||y′′|3asint⋅cos4t12K===||=,+′23/22t3/2at3t3|asin2t|(1y)(1+tan)3sincos2K=.t=t03|asin2t0|5.对数曲线y=lnx上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.11解y′=,y′′=−.x2x1|−||y′′|x2xK===,+′23/2123/2(1y)3/2(1+x)(1+)2x3(1+x2)2ρ=,x1332222(1+x)⋅2x⋅x−(1+x)2221−x(2x−1)ρ′==.22xx2令ρ′=0,得x=.2222因为当0时,ρ>0,所以x=是ρ的极小值点,同时也最小值2222222点.当x=时,y=ln.因此在曲线上点(,ln)处曲率半径最小,最小曲率半径为222233ρ=.22xy6.证明曲线y=ach在点(x,y)处的曲率半径为.aax1x解y′=sh,y′′=ch.aaa在点(x,y)处的曲率半径为2x3/22x3/223/2(1+sh)(ch)2(1+y′)aa2xyρ====ach=.|y′′|1x1xaa|ch||ch|aaaa2x7.一飞机沿抛物线路径y=(y轴铅直向上,单位为m)作俯冲飞行,在坐标原点O处10000飞机的速度为v=200m/s飞行员体重G=70Kg.求飞机俯冲至最低点即原点O处时座椅对飞行员的反力. 2xx11解y′==,y′′=;y′|x=0=0,y′′|x=0=.10000500050005000+′23/223/2(1y)(1+0)ρ|x=0===5000.|y′′|1500022mV70×200向心力F===560(牛顿).ρ5000飞行员离心力及它本身的重量对座椅的压力为79×9.8+560=1246(牛顿).8.汽车连同载重共5t,在抛物线拱桥上行驶,速度为21.6km/h,桥的跨度为10m,拱的矢高为0.25m.求汽车越过桥顶时对桥的压力.解如图取直角坐标系,设抛物线拱桥方程为y=ax2,由于抛物线过点(5,0.25),代入方程得0.25a==0.01,25于是抛物线方程为y=0.01x2.y′=0.02x,y′′=0.02.+′23/223/2(1y)(1+0)ρ|x=0===50.|y′′|0.023321.6×10225×10()mV3600向心力为F===3600(牛顿).ρ50因为汽车重为5吨,所以汽车越过桥顶时对桥的压力为5×103×9.8−3600=45400(牛顿).*9.求曲线y=lnx在与x轴交点处的曲率圆方程.π*10.求曲线y=tanx在点(,1)处的曲率圆方程.4*11.求抛物线y2=2px的渐屈线方程.总习题三1.填空:x设常数k>0,函数f(x)=lnx−+k在(0,+∞)内零点的个数为________.e解应填写2.111提示:f′(x)=−,f′′(x)=−.xe2x在(0,+∞)内,令f′(x)=0,得唯一驻点x=e. x因为f′′(x)<0,所以曲线f(x)=lnx−+k在(0,+∞)内是凸的,且驻点x=e一定是最大值点,e最大值为f(e)=k>0.又因为limf(x)=−∞,limf(x)=−∞,所以曲线经过x轴两次,即零点的个数为2.x→+0x→+∞2.选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设在[0,1]上f′′(x)>0,则f′(0),f′(1),f(1)−f(0)或f(0)−f(1)几个数的大小顺序为().(A)f′(1)>f′(0)>f(1)−f(0);(B)f′(1)>f(1)−f(0)>f′(0);(C)f(1)−f(0)>f′(1)>f′(0);(D)f′(1)>f(0)−f(1)>f′(0).解选择B.提示:因为f′′(x)>0,所以f′(x)在[0,1]上单调增加,从而f′(1)>f′(x)>f′(0).又由拉格朗日中值定理,有f(1)−f(0)=f′(ξ),ξ∈[0,1],所以f′(1)>f(1)−f(0)>f′(0).3.列举一个函数f(x)满足:f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内除某一点外处处可导,但在(a,b)内不存在点ξ,使f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a).解取f(x)=|x|,x∈[−1,1].易知f(x)在[−1,1]上连续,且当x>0时f′(x)=1;当x>0时,f′(x)=−1;f′(0)不存在,即f(x)在[−1,1]上除x=0外处处可导.注意f(1)−f(−1)=0,所以要使f(1)−f(−1)=f′(ξ)(1−(−1))成立,即f′(ξ)=0,是不可能的.因此在(−1,1)内不存在点ξ,使f(1)−f(−1)=f′(ξ)(1−(−1)).4.设limf′(x)=k,求lim[f(x+a)−f(x)].x→∞x→∞解根据拉格朗日中值公式,f(x+a)−f(x)=f′(ξ)⋅a,ξ介于x+a与x之间.当x→∞时,ξ→∞,于是lim[f(x+a)−f(x)]=limf′(ξ)⋅a=alimf′(ξ)=ak.x→∞x→∞ξ→∞5.证明多项式f(x)=x3−3x+a在[0,1]上不可能有两个零点.证明f′(x)=3x2−3=3(x2−1),因为当x∈(0,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在[0,1]上单调减少.因此,f(x)在[0,1]上至多有一个零点.a1ann6.设a0++⋅⋅⋅+=0,证明多项式f(x)=a0+a1x+⋅⋅⋅+anx在(0,1)内至少有一个零点.2n+1a12ann+1证明设F(x)=a0x+x+⋯+x,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且2n+1F(0)=F(1)=0.由罗尔定理,在(0,1)内至少有一个点ξ,使F(ξ)=0.而F′(x)=f(x),所以f(x)在(0,1)内至少有一个零点.7.设f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f(a)=0,证明存在一点ξ∈(0,a),使f(ξ)+ξf′(ξ)=0.证明设F(x)=xf(x),则F(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且F(0)=F(a)=0.由罗尔定理,在(0,a)内至少有一个点ξ,使F(ξ)=0.而F(x)=f(x)+xf′(x),所以f(ξ)+ξf′(ξ)=0. 8.设0a时,|f(x)−f(a)|0,g(x)是单调增加的,当x>a时,g′(ξ)g(x)>g(a).因为f(x)、g(x)都是可导函数,所以f(x)、g(x)在[a,x]上连续,在(a,x)内可导,根据柯西f(x)−f(a)f′(ξ)中值定理,至少存在一点ξ∈(a,x),使=.g(x)−g(a)g′(ξ)|f(x)−f(a)|f′(ξ)因此,=<1,|f(x)−f(a)|0).x→∞解(1)(xx)′=(exlnx)′=exlnx(lnx+1)=xx(lnx+1).x−x′xx+1x−x(xx)1−x(lnx+1)x−x(lnx+1)lim=lim=lim=limx→11−x+lnxx→1(1−x+lnx)′x→11x→11−x−1+xx+11x1−x(lnx+1+)(lnx+1)−xx=lim=2.x→1−1 11−11x−ln(1+x)[x−ln(1+x)]′1+x(2)lim[−]=lim=lim=limx→0ln(1+x)xx→0xln(1+x)x→0[xln(1+x)]′x→0xln(1+x)+1+xx11=lim=lim=x→0(1+x)ln(1+x)+xx→0ln(1+x)+1+1222x(lnarctanx+ln)(3)lim(arctanx)x=limeπ,x→+∞πx→+∞因为211(lnarctanx+ln)′⋅2πarctanx1+x22limx(lnarctanx+ln)=lim=lim=−,x→+∞πx→+∞1x→+∞1π()′−x2x所以222x(lnarctanx+ln)−lim(arctanx)x=limeπ=eπ.x→+∞πx→+∞111111(4)令y=[(ax+ax+⋅⋅⋅+ax)/n]nx.则lny=nx[ln(ax+ax+⋅⋅⋅+ax)−lnn],因为12n12n111n[ln(ax+ax+⋅⋅⋅+anx)−lnn]12limlny=limx→∞x→∞1x11111n⋅⋅(axlna+axlna+⋅⋅⋅+axlna)⋅()′1111122nnxax+ax+⋅⋅⋅+anx12=limx→∞1()′x=lna1+lna2+⋅⋅⋅+lnan=ln(a1⋅a2⋅⋅⋅an).111即y=ln(axxxnxlimln1⋅a2⋅⋅⋅an),从而lim[(a1+a2+⋅⋅⋅+an)/n]=limy=a1⋅a2⋅⋅⋅an.x→∞x→∞x→∞11.证明下列不等式:πtanx2x2(1)当0;2tanx1x1arctanx(2):当x>0时,ln(1+x)>.1+x tanxπ证明(1)令f(x)=,x∈(0,).x22xsecx−tanxx−tanx因为f′(x)=>>0,22xxππ所以在(0,)内f(x)为单调增加的.因此当0.x1x2tanx1x1(2)要证(1+x)ln(1+x)>arctanx,即证(1+x)ln(1+x)−arctanx>0.1设f(x)=(1+x)ln(1+x)−arctanx,则f(x)在[0,+∞)上连续,f′(x)=ln(1+x)−.21+x1因为当x>0时,ln(1+x)>0,1−>0,所以f′(x)>0,f(x)在[0,+∞)上单调增加.21+x因此,当x>0时,f(x)>f(0),而f(0)=0,从而f(x)>0,即(1+x)ln(1+x)−arctanx>0.⎧x2xx>012.设f(x)=⎨,求f(x)的极值.⎩x+2x≤0解x=0是函数的间断点.当x<0时,f′(x)=1;当x>0时,f′(x)=2x2x(lnx+1).1令f′(x)=0,得函数的驻点x=.e列表:11(0,)1(,+∞)x(−∞,0)0eeef′(x)+不存在−0+2f(x)↗2极大值↘−↗ee极小值21−函数的极大值为f(0)=2,极小值为f()=ee.e13.求椭圆x2−xy+y2=3上纵坐标最大和最小的点.2x−y1解2x−y−xy′+2yy′=0,y′=.当x=y时,y′=0.x−2y2112122将x=y代入椭圆方程,得y−y+y=3,y=±2.242于是得驻点x=−1,x=1.因为椭圆上纵坐标最大和最小的点一定存在,且在驻点处取得,又当x=−1时,y=−2,当x=1时,y=2,所以纵坐标最大和最小的点分别为(1,2)和(−1,−2). n14.求数列{n}的最大项.1解令f(x)=xx=xx(x>0),则1lnf(x)=lnx,x1111⋅f′(x)=−lnx=(1−lnx),f(x)222xxx1−2f′(x)=xx(1−lnx).令f′(x)=0,得唯一驻点x=e.因为当00;当x>e时,f′(x)<0,所以唯一驻点x=e为最大值点.33因此所求最大项为max{2,3}=3.15.曲线弧y=sinx(00,所以x=是ρ的极小值点,同时也是ρ的最2222π3/2(1+cos)2小值点,最小值为ρ=1.πsin216.证明方程x3−5x−2=0只有一个正根.并求此正根的近似值,使精确到本世纪末10−3.解设f(x)=x3−5x−2,则f′(x)=3x2−5,f′′(x)=6x.3当x>0时,f′′(x)>0,所以在(0,+∞)内曲线是凹的,又f(0)=−2,lim(x−x−2)=+∞,所以在x→+∞(0,+∞)内方程x3−5x−2=0只能有一个根. (求根的近似值略)f(x0+h)+f(x0−h)−2f(x0)17.设f′′(x0)存在,证明lim2=f′′(x0).h→0hf(x0+h)+f(x0−h)−2f(x0)f′(x0+h)−f′(x0−h)证明lim=limh→0h2h→02h1f′(x0+h)−f′(x0−h)=lim2h→0h1[f′(x0+h)−f′(x0)]+[f(x0)−f′(x0−h)]=lim2h→0h1f′(x0+h)−f′(x0)f(x0)−f′(x0−h)1=lim[+]=[f′′(x0)+f′′(x0)]=f′′(x0).2h→0hh218.设f(n)(x(n)n0)存在,且f(x0)=f′(x0)=⋅⋅⋅=f(x0)=0,证明f(x)=o[(x−x0)](x→x0).证明因为f(x)f′(x)lim=limx→x0(x−x)nx→x0n(x−x)n−100′′(n−1)f(x)f(x)=lim=⋅⋅⋅=limx→x0n(n−1)(x−x)n−2x→x0n!(x−x)00(n−1)(n−1)1f(x)−f(x0)1(n)=lim=f(x0)=0,n!x→x0x−x0n!所以f(x)=o[(x−xn0)](x→x0).19.设f(x)在(a,b)内二阶可导,且f′′(x)≥0.证明对于(a,b)内任意两点x1,x2及0≤t≤1,有f[(1−t)x1+tx2]≤(1−t)f(x1)+tf(x2).证明设(1−t)x1+tx2=x0.在x=x0点的一阶泰勒公式为f′′(ξ)2f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+(x−x0)(其中ξ介于x与x0之间).2!因为f′′(x)≥0,所以f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x−x0).因此f(x1)≥f(x0)+f′(x0)(x1−x0),f(x2)≥f(x0)+f′(x0)(x2−x0).于是有(1−t)f(x1)+tf(x2)≥(1−t)[f(x0)+f′(x0)(x1−x0)]+t[f(x0)+f′(x0)(x2−x0)]=(1−t)f(x0)+tf(x0)+f′(x0)[(1−t)x1+tx2]−f′(x0)[(1−t)x0+tx0]=f(x0)+f′(x0)x0−f′(x0)x0=f(x0),即f(x0)≤(1−t)f(x1)+tf(x2), 所以f[(1−t)x1+tx2]≤(1−t)f(x1)+tf(x2)(0≤t≤1).20.试确定常数a和b,使f(x)=x−(a+bcosx)sinx为当x→0时关于x的5阶无穷小.解f(x)是有任意阶导数的,它的5阶麦克劳公式为′′′′′(4)(5)f(0)2f(0)3f(0)4f(0)55f(x)=f(0)+f′(0)x+x+x+x+x+o(x)2!3!4!5!a+4b3−a−16b55=(1−a−b)x+x+x+o(x).3!5!要使f(x)=x−(a+bcosx)sinx为当x→0时关于x的5阶无穷小,就是要使极限5f(x)1−a−ba+4b−a−16bo(x)lim=lim[+++]x→0x5x→0x43!x25!x5存在且不为0.为此令⎧1−a−b=0⎨,⎩a+4b=041解之得a=,b=−.3341因为当a=,b=−时,33f(x)−a−16b1lim==≠0,x→0x55!3041所以当a=,b=−时,f(x)=x−(a+bcosx)sinx为当x→0时关于x的5阶无穷小.33'