大物》第二版 毛峰 ch12课后习题及答案.pdf 12页

'第12章机械振动习题及答案1、什么是简谐振动？哪个或哪几个是表示质点作简谐振动时加速度和位移关系的？（1）；（2）；(3)；(4).答：系统在线性回复力的作用下，作周期性往复运动，即为简谐振动。对于简谐振动，有,故（3）表示简谐振动。2、对于给定的弹簧振子，当其振幅减为原来的1/2时，下列哪些物理量发生了变化？变化为原来的多少倍？（1）劲度系数；（2）频率；（3）总机械能；（4）最大速度；（5）最大加速度。解：当时，（1）劲度系数k不变。（2）频率不变。（3）总机械能（4）最大速度(5)最大加速度3、劲度系数为k和k的两根弹簧，与质量为m的小球按题图所示的两种方式连接，试证明它们的振12动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有FFF，设串联弹簧的等效倔强系数为12Fkx串K等效位移为x，则有串Fkx1111 Fkx222又有xxx12FFF12xkkk串12所以串联弹簧的等效倔强系数为kk12k串kk12即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为kkk/(kk)的弹簧振子系统，故小球作谐1212振动．其振动周期为2mm(k1k2)T22kkk串12(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有FFF，即xxx，设并联弹簧的倔强系1212数为k，则有kxkxkx并并1122故kkk并12同上理，其振动周期为mT2kk124.完全相同的弹簧振子，时刻的状态如图所示，其相位分别为多少？vkkmm(a)(b)vkkmm(c)(d)2 解：对于弹簧振子，时，,（a）,故，故（b），故，故（c），故，故（d）,故，故5、如图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R。先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有2dxmgsinTm①12dtTRTRI②122dxRTk(xx)③220dt式中xmgsin/k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有02Idx(mR)kxR2Rdt3 22kR令2mRI则有2dx2x02dt故知该系统是作简谐振动，其振动周期为222mRImI/RT2(2)2kRK326、质量为1010kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x0.1cos(8)(SI)的规律作谐振动，3求：(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量，在哪些位置上动能与势能相等?解：(1)设谐振动的标准方程为xAcos(t)，则知：021A0.1m,8,Ts,2/30411又vA0.8ms2.51msm22aA63.2msm(2)Fma0.63Nmm122Emv3.1610Jm2当EE时，有E2E，kpp12112即kx(kA)22222∴xAm2207、一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t0时质点的状态分别是：(1)xA；0(2)过平衡位置向正向运动；A(3)过x处向负向运动；24 A(4)过x处向正向运动．2试求出相应的初位相，并写出振动方程．x0Acos0解：因为vAsin00将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有2xAcos(t)1T323xAcos(t)22T22xAcos(t)33T3525xAcos(t)44T48.物体沿x轴作简谐振动，在时刻，其坐标为,速度,加速度,试求：（1）弹簧振子的角频率和周期；（2）初相位和振幅。解：设，则时(1)(2)222v020.0092Ax0.0858.5cm02223.50v00.0092tan0.00461x23.5(0.085)005 095.19、两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在处，且向左运动时，另一个质点2在处，且向右运动。求这两个质点的相位差。解：由旋转矢量图可知，当质点1在处，且向左运动时，相位为；而质点2在处，且向右运动，相位为（如图）。所以他们的相位差为。310、一质量为1010kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t0时位移为24cm．求：(1)t0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；(2)由起始位置运动到x12cm处所需的最短时间；(3)在x12cm处物体的总能量．2解：由题已知A2410m,T4.0s21∴0.5radsT又，t0时，xA,000故振动方程为2x2410cos(0.5t)m(1)将t0.5s代入得2x2410cos(0.5t)m0.17m0.52Fmamx3231010()0.174.210N2方向指向坐标原点，即沿x轴负向．(2)由题知，t0时，0，06 Att时x0,且v0,故t232∴t/s323(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为12122EkAmA2213221010()(0.24)2247.110J11、图为两个谐振动的xt曲线，试分别写出其谐振动方程．3解：由题图(a)，∵t0时，x0,v0,,又,A10cm,T2s000221即radsT3故x0.1cos(t)ma2A5由题图(b)∵t0时，x,v0,00023t1时，x10,v10,12255又11325∴655故x0.1cos(t)mb6312、一物块在水平面上作简谐振动，振幅为10cm，当物块离开平衡位置6cm时，速度为24cm/s。问：（1）此简谐振动的周期是多少？（2）物块速度为12cm/s时的位移是多少？解：设，已知，故,7 (1)当（2）当时13、一长方形木块浮于静水中，其浸入部分高为a，今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入部分高度为b，然后放手任其运动。试证明若不计阻力，木块的运动为简谐振动，并求出振动周期和振幅。解：xxObaS设木块质量为m，底面积为S，水的密度为，木块受到重力和浮力.平衡时，,以水面上某点为原点，向上为x轴建立坐标系，则当木块在图示位置时，合力为8 由牛顿第二定律故可见，木块作简谐振动，振幅为，，314、有一单摆，摆长l1.0m，摆球质量m1010kg，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水41平向右的冲量Ft1.010kgms，取打击时刻为计时起点(t0)，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程．解：由动量定理，有Ftmv04Ft1.010-1∴v0.01ms3m10101按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知t0时，x0,v0.01ms＞000∴3/20g9.81又3.13radsl1.02v02v00.013∴Ax()3.210m03.13故其角振幅A33.210radl小球的振动方程为333.210cos(3.13t)rad215、有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动的位相差为，69 已知第一振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差．解：由题意可做出旋转矢量图如下．由图知222AAA2AAcos3021122(0.173)(0.2)20.1730.23/20.01∴A0.1m2设角AAO为，则1222AAA2AAcos1212222222A1A2A(0.173)(0.1)(0.02)cos即2AA20.1730.1120即，这说明，A与A间夹角为，即二振动的位相差为.1222216、已知两简谐振动的振动方程分别为和,试求其合成运动的振幅及初相。解：由，知：合成震动振幅为初相为10 17、试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：x5cos(3t)cmx5cos(3t)cm1133(1)(2)74x5cos(3t)cmx5cos(3t)cm22337解：(1)∵2,2133∴合振幅AAA10cm124(2)∵,33∴合振幅A018、一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为x0.4cos(2t)m165x0.3cos(2t)m26试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。5解：∵()66∴AAA0.1m合1250.4sin0.3sinA1sin1A2sin2663tanAcosAcos5321220.4cos0.3cos66∴6其振动方程为x0.1cos(2t)m6(作图法略)19、如图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知x方向的振动方程为x6cos2tcm，求y方向的振动方程．11 3解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为或；又，轨道是按顺时针方向旋转，故知22两分振动位相差为.所以y方向的振动方程为2y12cos(2t)cm212'