宏观经济学作业以及答案1843.pdf 86页

'宏观经济学宏观经济学教师教师：：张张延延北京大学经济学院课程北京大学经济学院课程20020055年年66月月77日日《中宏》讲义，张延著。版权所有1 ••通选课答疑通选课答疑••66月月99日下午：日下午：44：：3030——66：：3030••在理教在理教211211室。室。••第第99章不考计算题。章不考计算题。《中宏》讲义，张延著。版权所有2 ••通选课考试通选课考试••时间：时间：66月月1010日下午日下午22：：3030——44：：3030••地点：理教地点：理教107107室室••题目类型（见模拟试卷和题目类型（见模拟试卷和参考答案参考答案））••成绩的评定看相对，不看绝对。成绩的评定看相对，不看绝对。《中宏》讲义，张延著。版权所有3 ••必修课答疑必修课答疑••66月月1515日晚上：日晚上：66：：0000——88：：0000••66月月1818日晚上：日晚上：77：：0000——99：：0000••在法学楼在法学楼54540202室（西方经济学教研室）室（西方经济学教研室）《中宏》讲义，张延著。版权所有4 ••必修课考试必修课考试••时间：时间：66月月2020日上午日上午88：：0000——1010：：0000••地点：三教地点：三教501501、、503503、、505505、、507507••题目类型（见模拟试卷和题目类型（见模拟试卷和参考答案参考答案））••成绩的评定看相对，不看绝对。成绩的评定看相对，不看绝对。《中宏》讲义，张延著。版权所有5 ••第第77次习题课次习题课••时间：本周五下午时间：本周五下午22：：3030开始。开始。••地点：理教地点：理教117117室室《中宏》讲义，张延著。版权所有6 ••二、对产量二、对产量yy的影响：的影响：ss─→─→kk─→─→yy••我们常常不仅关心一个模型的定性含义，还我们常常不仅关心一个模型的定性含义，还关心其定量预测。例如，如果储蓄率的一个不大关心其定量预测。例如，如果储蓄率的一个不大的增加对增长的影响在几个世纪之后仍然较大，的增加对增长的影响在几个世纪之后仍然较大，那么如果得出结论说，该影响是暂时的，就没有那么如果得出结论说，该影响是暂时的，就没有太大意义。太大意义。••对于大多数模型来说对于大多数模型来说((包括本模型包括本模型))，要得到，要得到严格的定量结果，就得对函数形式和各参数值予严格的定量结果，就得对函数形式和各参数值予以设定；通常也得用数字例子进行分析。以设定；通常也得用数字例子进行分析。《中宏》讲义，张延著。版权所有7 ••11、储蓄率对产量长期影响的定性分析、储蓄率对产量长期影响的定性分析••***∂∂yy／／∂∂s=fs=f＇＇(k(k)()(∂∂kk／／∂∂s)s)(1.16)(1.16)••其中其中yy*为处于平衡增长路径上的每单位为处于平衡增长路径上的每单位有效劳动的平均产量水平。有效劳动的平均产量水平。••∵∵kk*是由是由kk˙=0=0定义的定义的••∴∴kk*满足：满足：*)=(n+g+)=(n+g+*••sf(ksf(kδδ)k)k(1.17)(1.17)《中宏》讲义，张延著。版权所有8 ••∵∵kk*是是(s(s、、nn、、gg、、δδ))的隐函数，方程的隐函数，方程(1.17)(1.17)对于对于(s(s、、nn、、gg、、δδ))都成立。都成立。••∴∴方程方程(1.17)(1.17)两端两端对对ss的导数相等：的导数相等：••f(kf(k*)+s[f)+s[f＇＇(k(k*)()(∂∂kk*／／∂∂s)]s)]••=(n+g+=(n+g+δδ)()(∂∂kk*／／∂∂s)s)••∂∂kk*f(kf(k*))••——————==——————————————————————————————————————————(1.19)(1.19)••∂∂s(n+g+s(n+g+δδ))——sfsf＇＇(k(k*))《中宏》讲义，张延著。版权所有9 ••在前边方程在前边方程(1.15)(1.15)中，我们就看到中，我们就看到ss的上升的上升提高提高kk*。。这也是方程这也是方程(1.19)(1.19)的一个推论，注意的一个推论，注意(n(n+g++g+δδ))是持平投资线的斜率，而是持平投资线的斜率，而sfsf‘‘(k(k*))是实际是实际投资线在投资线在kk*处的斜率。处的斜率。••开始的时候，曲线开始的时候，曲线sf(k)sf(k)先比直线先比直线(n+g+(n+g+δδ)k)k陡峭，然后随着陡峭，然后随着kk的上升，曲线的上升，曲线sf(k)sf(k)逐渐变得逐渐变得比直线比直线(n+g+(n+g+δδ)k)k平坦平坦─→─→这两条线最终肯定这两条线最终肯定会相交会相交─→─→必定存在一个交点。必定存在一个交点。《中宏》讲义，张延著。版权所有10 ••在在k=kk=k*处，由于持平投资线处，由于持平投资线(n+g+(n+g+δδ)k)k比实际投资比实际投资线线sf(k)sf(k)陡峭陡峭((见图见图1.2)1.2)，可知，可知(1(1．．19)19)的分母为正：的分母为正：••(n+g+(n+g+*δδ))＞＞sfsf＇＇(k(k))**••因而因而∂∂kk／／∂∂ss＞＞00→→ss与与kk同方向变动。同方向变动。《中宏》讲义，张延著。版权所有11 ••把把(1.19)(1.19)代入代入(1.16)(1.16)，得到，得到：：••***∂∂yy／／∂∂s=fs=f＇＇(k(k)()(∂∂kk／／∂∂s)s)••f(kf(k*))••=f=f*＇＇(k(k))————————————————————————————————————••(n+g+(n+g+*))δδ))——sfsf＇＇(k(k••因而因而**∂∂yy／／∂∂ss＞＞00─→─→ss与与yy同同方向变动。方向变动。《中宏》讲义，张延著。版权所有12 ••结论：结论：••ss的一次性上升的一次性上升─→─→导致导致yy*上升上升。。••问题：问题：••yy*的变化是突变？还是渐变？的变化是突变？还是渐变？《中宏》讲义，张延著。版权所有13 ssP24P24图图1.51.5储蓄率增加的影响图储蓄率增加的影响图(c)(c)ss新ss旧0ttttttyy*01新yy*旧0tt《中宏》讲义，张延著。版权所有14 ssP24P24图图1.51.5储蓄率增加的影响图储蓄率增加的影响图(c)(c)ss新ss旧0tttttt01yy*新yy*旧0tt《中宏》讲义，张延著。版权所有15 ••22、储蓄率对产量长期影响的定量分析、储蓄率对产量长期影响的定量分析••我们常常不仅关心一个模型的定性含义，我们常常不仅关心一个模型的定性含义，还关心其定量预测。还关心其定量预测。••两边同乘以两边同乘以ss*／／yy，，得到：得到：••***∂∂yyssfssf＇＇(k(k)f(k)f(k))••——————··——————==——————··——————————————————————————————————••***∂∂sysyyy(n+g+(n+g+δδ))——sfsf＇＇(k(k))《中宏》讲义，张延著。版权所有16 ••∂∂yy*ssfssf＇＇(k(k*)f(k)f(k*))••——————··——————==——————··——————————————————————————————————————••∂∂sysy*yy*(n+g+(n+g+δδ))——sfsf＇＇(k(k*))••sfsf＇＇(k(k*))••==——————————————————————————————————————————————••(n+g+(n+g+δδ))——sfsf＇＇(k(k*))••ff＇＇(k(k*))••==——————————————————————————————————————————————••(n+g+(n+g+δδ))／／ss——ff＇＇(k(k*))《中宏》讲义，张延著。版权所有17 ••∵∵sf(ksf(k*)=(n+g+)=(n+g+δδ)k)k*••∴∴把把(n+g+(n+g+δδ))／／s=f(ks=f(k*))／／kk*••代入上式，得到：代入上式，得到：••••∂∂yy*sfsf＇＇(k(k*))••——————··——————==——————————————————————————————————————————••∂∂sysy*f(kf(k*))／／kk*——ff＇＇(k(k*))••••ff＇＇(k(k*)k)k*／／f(kf(k*))••==————————————————————————————————————————————••11——ff＇＇(k(k*)k)k*／／f(kf(k*))《中宏》讲义，张延著。版权所有18 ••∵∵ff***＇＇(k(k)k)k／／f(kf(k))••*为为k=kk=k处的单位产出的资本弹性。处的单位产出的资本弹性。••ff*＇＇(k(k))————————————资本的边际产量资本的边际产量••ff**＇＇(k(k)k)k————————————资本获得的收入资本获得的收入••ff***＇＇(k(k)k)k／／f(kf(k))••——————资本在单位产出中所占的份额资本在单位产出中所占的份额(%)(%)••令令aa(k(k*)=f)=f***＇＇(k(k)k)k／／f(kf(k))K••*ssaa(k(k*))∴∴∂∂yyK••——————··——————==——————————————————————————••**∂∂sysy11——aa(k(k))K《中宏》讲义，张延著。版权所有19 ••∂∂yy*ssΔΔyy*／／yy*••——————··——————==limlim————————————————————Δs→0••∂∂sysy*ΔΔss／／ss••••ΔΔyy*ss••==limlim————————··————————Δs→0••ΔΔsysy*••••单位产出变动的百分比单位产出变动的百分比••==————————————————————————————————————————••储蓄率变动的百分比储蓄率变动的百分比《中宏》讲义，张延著。版权所有20 ••在大多数国家，在大多数国家，aa(k(k*)=1)=1／／33。。K••可知在长期，产出的储蓄率弹性为：可知在长期，产出的储蓄率弹性为：**••((∂∂yy／／∂∂s)(ss)(s／／yy)=(1)=(1／／3)3)／／(1(1--11／／3)=13)=1／／22••储蓄率增加储蓄率增加10%10%，与储蓄率不变时相比，将，与储蓄率不变时相比，将使每工人平均产量在长期内提高大约使每工人平均产量在长期内提高大约5%5%。即使储。即使储蓄率增加蓄率增加50%50%，也仅使，也仅使yy*增加大约增加大约22%22%。这样，。这样，储蓄率的显著变化对于平衡增长路径上的产量水储蓄率的显著变化对于平衡增长路径上的产量水平只有较小影响。平只有较小影响。《中宏》讲义，张延著。版权所有21 ••单位产出的资本弹性单位产出的资本弹性————aa(k(k*))较小的较小的K含义：含义：••(1)(1)aa(k(k*))较小的几何意义较小的几何意义K(k(k*)=f)=f***••aa＇＇(k(k)k)k／／f(kf(k))K••其中的其中的ff*))较小较小─→─→表明实际投表明实际投＇＇(k(k资曲线资曲线sf(k)sf(k)弯曲得相当厉害（变得更加平弯曲得相当厉害（变得更加平坦）坦）─→─→ff****＇＇(k(k)k)k─→─→ff＇＇(k(k)k)k较小。较小。《中宏》讲义，张延著。版权所有22 f(k)f(k)0实际投资曲线实际投资曲线sf(k)sf(k)弯曲得相当厉害弯曲得相当厉害kk（变得更加平坦）（变得更加平坦）《中宏》讲义，张延著。版权所有23 ••(2)(2)aa(k(k*))较小的经济含义较小的经济含义K••资本的边际产量资本的边际产量ff＇＇(k(k*))较小较小••─→─→资本的收入较小资本的收入较小ff＇＇(k(k*)k)k*••─→─→资本占单位产出的份额资本占单位产出的份额ff＇＇(k(k*)k)k*／／f(kf(k*))较小。较小。••aa(k(k*)=f)=f＇＇(k(k*)k)k*／／f(kf(k*))K••单位产出变动的百分比单位产出变动的百分比••==——————————————————————————————————————••资本变动的百分比资本变动的百分比《中宏》讲义，张延著。版权所有24 ••较小较小的的aa(k(k*))值意味着值意味着kk*的变化的变化对对yy*的的K影响较小。影响较小。••例如，例如，(n+g+(n+g+δδ))一般为每年一般为每年66％％((比比如，若人口增长率为如，若人口增长率为11～～22％，每工人平均产％，每工人平均产量增长量增长11～～22％，折旧率为％，折旧率为33～～44％％))。若资本。若资本的收入份额大致为的收入份额大致为11／／33。。••若若n+g+n+g+*δδ=6=6％％，，aa(k(k)=1)=1／／33K••则则*λλ=[1=[1--aa(k(k)](n+g+)](n+g+δδ)=4)=4％％。。K《中宏》讲义，张延著。版权所有25 ••因此，因此，yy每年每年向向yy*移动剩余距离的移动剩余距离的44％，要走％，要走完到其平衡增长路径值的距离的一半约需完到其平衡增长路径值的距离的一半约需1818年时年时间。间。••因此在我们的例子中，如果储蓄率增加因此在我们的例子中，如果储蓄率增加1010％，那么在％，那么在11年后产量高于其以前路径年后产量高于其以前路径0.04(50.04(5％％)=)=0.20.2％；％；1818年后高出年后高出0.5(50.5(5％％)=2.5%)=2.5%，且此比例渐，且此比例渐趋近趋近55％。％。这样，不仅储蓄率变化较大时的总体影这样，不仅储蓄率变化较大时的总体影响较小，而且其作用的出现也不很快。响较小，而且其作用的出现也不很快。《中宏》讲义，张延著。版权所有26 ••33、人均产量、人均产量yy~=Y=Y／／LL随随ss的变化的变化••每工人平均产量每工人平均产量YY／／LL的变动是的变动是我们特别感兴趣的东西。我们特别感兴趣的东西。••yy~=Y=Y／／L=Af(k)L=Af(k)。。••ss─→─→kk─→─→YY／／LL《中宏》讲义，张延著。版权所有27 ••~***∂∂yy／／∂∂s=Afs=Af＇＇(k(k)()(∂∂kk／／∂∂s)s)••因而因而~*~*∂∂yy／／∂∂ss＞＞00─→─→ss与与yy同方向同方向变动。变动。••结论：结论：••ss的一次性上升的一次性上升─→─→导致导致yy~*上升上升。。••问题：问题：••yy~*的变化是突变？还是渐变？的变化是突变？还是渐变？《中宏》讲义，张延著。版权所有28 ••yy~=Af(k)=Af(k)••yy~˙~／／yy••=A=A˙˙／／A+fA+f(k)(k)／／f(k)f(k)••=g+f=g+f˙(k)(k)／／f(k)f(k)••=g+f=g+f˙＇＇(k)k(k)k／／f(k)f(k)《中宏》讲义，张延著。版权所有29 ••(1)(1)在在tt之前的之前的kk*上存在：上存在：0旧˙==dkdk••kk／／dtdt=0=0~~˙••─→─→yy˙˙／／yy=A=A／／A=gA=g~˙~••─→─→yy／／yy为一条固定水平为一条固定水平gg的、不随的、不随tt变动的平行于横轴的直线。变动的平行于横轴的直线。《中宏》讲义，张延著。版权所有30 ••(2)(2)在在tt之后的之后的kk*上存在：上存在：1新˙==dkdk••kk／／dtdt=0=0~˙~˙••─→─→yy／／yy=A=A／／A=gA=g••~˙~─→─→yy／／yy为一条固定水平为一条固定水平gg的、不随的、不随tt变动的平行于横轴的直线。变动的平行于横轴的直线。••经济含义：经济含义：••如果如果kk达到均衡达到均衡的的kk值，就只有值，就只有AA的的增长对增长对YY／／LL的增长有贡献，则的增长有贡献，则YY／／LL的增的增长率就是长率就是AA的增长率的增长率gg。。《中宏》讲义，张延著。版权所有31 yy~˙~／／yyP24P24图图1.51.5储蓄率增加的影响图储蓄率增加的影响图(c)(c)gg0tttttt01kk*新kk*旧0tt《中宏》讲义，张延著。版权所有32 ••(3)(3)在在tt和和tt之间，由于之间，由于kk˙~˙~01＞＞00，，所以所以yy／／yy＞＞gg，若，若kk递增，则递增，则YY／／LL同时由于同时由于AA和和kk的增长而的增长而增长。这时其增长率超过增长。这时其增长率超过gg。。这些结果总结这些结果总结于于p24p24图图1.51.5图图(c)(c)。。tt表示储蓄率增加的时间。表示储蓄率增加的时间。0••按假定，按假定，ss在在tt时跳升并从此保持不变。每工人时跳升并从此保持不变。每工人0平均产量的增长率开始时为平均产量的增长率开始时为gg，在，在tt时向上跳升，有时向上跳升，有0一个快速上升的突变。随后逐渐回到其初始水平。一个快速上升的突变。随后逐渐回到其初始水平。《中宏》讲义，张延著。版权所有33 ••∵∵yy~˙˙／／yy~=g+f=g+f＇＇(k)k(k)k˙˙／／f(k)f(k)••在在tt和和tt之间，由于之间，由于kk˙˙＞＞0001••∴∴yy~˙˙／／yy~＞＞gg••所以所以按假定按假定，，ss在在tt时跳升并从此保持不时跳升并从此保持不0变。每工人平均产量的增长率开始时变。每工人平均产量的增长率开始时为为gg，，在在tt0时向上跳升，有一个快速上升的突变。时向上跳升，有一个快速上升的突变。《中宏》讲义，张延著。版权所有34 yy~˙~／／yyP24P24图图1.51.5储蓄率增加的影响图储蓄率增加的影响图(c)(c)gg0tttttt01kk*新kk*旧0tt《中宏》讲义，张延著。版权所有35 ••∵∵kk˙=s=sf(kf(k*))--(n+g+(n+g+*δδ)k)k=0=0旧旧旧••˙**∴∴kk=s=sf(kf(k))--(n+g+(n+g+δδ)k)k＞＞00新旧旧••─→─→kk与与tt同方向变化。同方向变化。《中宏》讲义，张延著。版权所有36 f(k)f(k)ssf(kf(k*))新ssf(kf(k*))新旧ssf(kf(k*))旧((n+g+n+g+*δδ)k)k旧kk*kk*0旧kk新••P23P23图图1.41.4储蓄率提高对产出的影响储蓄率提高对产出的影响《中宏》讲义，张延著。版权所有37 (4)y(4)y~~˙˙~~／／yy对时间对时间tt的一阶导。的一阶导。《中宏》讲义，张延著。版权所有38 ••d(yd(y~˙／／yy~))／／dtdt••f(k)d[ff(k)d[f˙˙＇＇(k)k(k)k]]／／dtdt--ff＇＇(k)k(k)kdf(kdf(k))／／dtdt••==——————————————————————————————————————————————————————————————————————————f(k)f(k)2••f(k)[ff(k)[f˙˙˙˙˙″″(k)k(k)kkk+f+f＇＇(k)(k)dkdk/dt/dt]]--ff＇＇(k)k(k)kff＇＇(k)k(k)k••==————————————————————————————————————————————————————————————————————————————••f(k)f(k)2•••f(k)[ff(k)[f˙2˙˙2″″(k)(k)((kk))+f+f＇＇(k)(k)dkdk／／dtdt]]––[f[f＇＇(k)k(k)k]]••==————————————————————————————————————————————————————————————————————————————f(k)f(k)2《中宏》讲义，张延著。版权所有39 ••∵∵在在tt˙0至至tt1之间之间，，dkdk／／dtdt＜＜00，，••并且并且ff″″(k)(k)＜＜00~˙~••∴∴d(yd(y／／yy))／／dtdt＜＜00~˙~••─→─→随着随着tt↑↑，，yy／／yy单调单调↓↓，，••yy~˙／／yy~为一条单调下降的直线。为一条单调下降的直线。••这些结果总结于这些结果总结于p24p24图图1.51.5图图(c)(c)。。tt表示储蓄表示储蓄0率增加的时间。按假定率增加的时间。按假定，，ss在在tt时跳升并从此保持时跳升并从此保持0不变。不变。kk从从kk*的原值逐渐上升至新值。每工人平均的原值逐渐上升至新值。每工人平均产量的增长率开始时为产量的增长率开始时为gg，在，在tt时向上跳升，随后时向上跳升，随后0逐渐回到其初始水平。逐渐回到其初始水平。《中宏》讲义，张延著。版权所有40 yy~˙~／／yyP24P24图图1.51.5储蓄率增加的影响图储蓄率增加的影响图(c)(c)gg0tttttt01kk*新kk*旧0tt《中宏》讲义，张延著。版权所有41 ••结结论：论：••储蓄率的一个永久性增加产生了每储蓄率的一个永久性增加产生了每工人平均产量增长率的暂时性增加。因工人平均产量增长率的暂时性增加。因为为kk在一定时期内上升，但最终将增加到在一定时期内上升，但最终将增加到一定水平，在这一水平上增加的储蓄被一定水平，在这一水平上增加的储蓄被全部用于维持全部用于维持kk的较高水平。的较高水平。《中宏》讲义，张延著。版权所有42 ••44、、lnlnYY／／LL的变化的变化••((人均产量的对数具有统计学上的意义人均产量的对数具有统计学上的意义))••P24P24图图11．．55图图(d)(d)之所以给出了每工人平之所以给出了每工人平均产量的对数值而非每工人平均产量水平，均产量的对数值而非每工人平均产量水平，是因为当一个变量以一不变速率增长时，该是因为当一个变量以一不变速率增长时，该变量的对数作为时间的函数在图形上反映为变量的对数作为时间的函数在图形上反映为一条直线。一条直线。《中宏》讲义，张延著。版权所有43 ••定式：一变量的增长率定式：一变量的增长率==该变量该变量的对数，的对数，对时间对时间tt的一阶导数。的一阶导数。••ddlnln((XX))／／dtdt••==((11˙／／XX)()(dXdX／／dtdt))==XX／／XX，，即：即：••ddlnlnyy~／／dtdt••==ddlnln((YY~˙~／／LL))／／dtdt==yy／／yy••ddlnln2yy~2／／dtdt••==ddlnln2((YY2~˙~／／LL))／／dtdt==dd((yy／／yy))／／dtdt《中宏》讲义，张延著。版权所有44 ••yy~˙~／／yy••==g+fg+f˙＇＇(k)k(k)k／／f(k)f(k)••yy~˙~~／／yy是是lnlnyy对对tt的一阶导数。的一阶导数。••∵∵一阶导数一阶导数yy~˙~／／yy始终始终＞＞00••∴∴lnln(Y(Y／／L)L)始终始终随随tt的上升而单调上升，的上升而单调上升，只不过上升速率的变化分成三个阶段：只不过上升速率的变化分成三个阶段：《中宏》讲义，张延著。版权所有45 ••(1)(1)在在tt之前之前，，yy~˙~／／yy=g=g0••─→─→lnln(Y(Y／／L)L)是一条斜率为固定水是一条斜率为固定水平平gg的单调上升的直线。的单调上升的直线。《中宏》讲义，张延著。版权所有46 ••(2)(2)在在tt之后，之后，yy~˙~／／yy=g=g1••─→─→lnln(Y(Y／／L)L)是一条斜率为固定水平是一条斜率为固定水平gg的的单调上升的直线。单调上升的直线。••tt之后的之后的lnln(Y(Y／／L)L)与与tt之前的之前的lnln(Y(Y10／／L)L)是否是同一条直线，是否是同一条直线，取决于取决于tto和和tt1之间之间lnln(Y(Y／／L)L)上升的形式：线性、递增的速率上升的形式：线性、递增的速率还是递减的速率。还是递减的速率。《中宏》讲义，张延著。版权所有47 ••(3)(3)在在tt至至tt之间，之间，yy~˙~／／yy单调下降单调下降01••~˙~─→─→d(yd(y／／yy))／／dtdt＜＜00••22─→─→dlndln(Y(Y／／L)L)／／dtdt＜＜00••─→─→lnln(Y(Y／／L)L)是一条以递减的斜率上升是一条以递减的斜率上升的曲线的曲线((lnln(Y(Y／／L)L)凹向原点凹向原点))。。《中宏》讲义，张延著。版权所有48 yy~˙~／／yyP24P24图图1.51.5储蓄率增加的影响图储蓄率增加的影响图(d)(d)gg0ttttttlnlnyy~010tt《中宏》讲义，张延著。版权所有49 ••结结论：论：••储蓄率的变化有水平效应，但没有增长储蓄率的变化有水平效应，但没有增长效应：效应：它改变经济的平衡增长路径，因而改它改变经济的平衡增长路径，因而改变任一时点上每工人的平均产量水平，但并变任一时点上每工人的平均产量水平，但并不影响处于平衡增长路径时每工人平均产量不影响处于平衡增长路径时每工人平均产量的增长率。的确，在索洛模型中只有技术进的增长率。的确，在索洛模型中只有技术进步率的变化有增长效应；所有其他变化都只步率的变化有增长效应；所有其他变化都只有水平效应。有水平效应。《中宏》讲义，张延著。版权所有50 ••三三、对、对cc的影响的影响ss──→→kk──→→cc••11、、cc函数函数••若将家庭引入模型，其福利将取决于消若将家庭引入模型，其福利将取决于消费，而非产量：投资只是未来生产中的一种费，而非产量：投资只是未来生产中的一种投入品。因此，在许多情况下，我们很可能投入品。因此，在许多情况下，我们很可能更关心消费的变动而非产量的变动。更关心消费的变动而非产量的变动。《中宏》讲义，张延著。版权所有51 ••当当Y=YdY=Yd的条件下，的条件下，••YY==CC++SS••YY／／ALAL==CC／／ALAL++SS／／ALAL••yy==cc++(s(sY)Y)／／ALAL••yy==cc++sysy《中宏》讲义，张延著。版权所有52 ••cc==(1(1––s)ys)y==(1(1––s)f(k)s)f(k)••==f(k)f(k)––sf(k)sf(k)••几何意义：对于任何一个几何意义：对于任何一个kk，，f(k)f(k)与与sf(k)sf(k)之间的垂直距离即为之间的垂直距离即为cc。。《中宏》讲义，张延著。版权所有53 f(k)f(k)f(k)f(k)sf(k)sf(k)0kkkkcc的几何图形的几何图形《中宏》讲义，张延著。版权所有54 ••每单位有效劳动的平均消费等于每单每单位有效劳动的平均消费等于每单位有效劳动的平均产量乘以该产量中用于位有效劳动的平均产量乘以该产量中用于消费的比例消费的比例(1(1--s)s)。。因此，由于因此，由于ss在在tt时发生时发生0非连续性变化，而非连续性变化，而kk却不是这样，所以每单却不是这样，所以每单位有效劳动的平均消费开始时猛烈下降位有效劳动的平均消费开始时猛烈下降《中宏》讲义，张延著。版权所有55 ••ss↑↑ss──→──→11--ss＞＞11--ss旧新旧新••──→──→cc＜＜cc新旧••在在tt之前，之前，cc为一条较高水平的直线。在为一条较高水平的直线。在tt00之后，之后，cc为一条陡降的曲线。为一条陡降的曲线。••cc==f(kf(k*))––ssf(kf(k*))旧新旧••然后，随着然后，随着kk的上升，在的上升，在ss的更高值不变的更高值不变的情况下，消费将逐渐上升。如的情况下，消费将逐渐上升。如P24P24图图1.51.5中最中最后一图后一图(e)(e)所示。所示。《中宏》讲义，张延著。版权所有56 c*c*0tttttt01ss新ss旧0ttP24P24图图《中宏》讲义，张延著。版权所有1.51.5储蓄率增加的影响图储蓄率增加的影响图(e)(e)57 ••22、可以使、可以使cc达到最大化的黄金律达到最大化的黄金律的资本存量水平的资本存量水平kk*。。••∵∵当当kk˙==dkdk／／dtdt==00时，时，••存在一个存在一个kk*，，满足：满足：••sf(ksf(k*))==(n(n++gg++*δδ)k)k《中宏》讲义，张延著。版权所有58 ••∴∴令令cc*表示处于平衡增长路径上的每单表示处于平衡增长路径上的每单位有效劳动的平均消费。位有效劳动的平均消费。c*c*等于每单位等于每单位有效劳动的平均产量有效劳动的平均产量f(k*)f(k*)减去每单位有效减去每单位有效劳动的平均投资劳动的平均投资sf(k*)sf(k*)。。在平衡增长路径在平衡增长路径上，实际投资等于持平投资上，实际投资等于持平投资((nn++gg++δδ)k)k**《中宏》讲义，张延著。版权所有59 ••这样，这样，cc*==f(kf(k*))--sf(ksf(k*))••==f(kf(k*))--(n(n++gg++*δδ)k)k••实现实现cc*最大化的一阶条件是：最大化的一阶条件是：••dcdc***／／dkdk==ff′′(k(k))--(n(n++gg++δδ))==00《中宏》讲义，张延著。版权所有60 ••即：即：ff*′′(k(k))==(n(n++gg++δδ))••ff*))————资本的边际产量，资本的边际产量，f(kf(k*))′′(k(k在在kk*点切线的斜率点切线的斜率。。••(n+g+(n+g+δδ))————直线直线(n(n++gg++δδ)k*)k*的斜率。的斜率。《中宏》讲义，张延著。版权所有61 ••在在k=kk=k*上，如果满足：上，如果满足：••ff′′(k*)=(n+g+(k*)=(n+g+δδ))••则这个使则这个使cc*达到最大化的达到最大化的kk*水水平，称为平，称为黄金律黄金律((goldengolden––rulerule))的资本的资本存量水平存量水平kk。。GR《中宏》讲义，张延著。版权所有62 ••在在kk==k*k*时，时，••cc*==f(kf(k*))--sf(ksf(k*))达到最大化。达到最大化。《中宏》讲义，张延著。版权所有63 f(k)f(k)(n+g+(n+g+δδ)k)kf(k)f(k)sf(k)sf(k)0kkGRkk••使使cc达到最大化的黄金律的资本存量水平达到最大化的黄金律的资本存量水平kk*《中宏》讲义，张延著。版权所有64 kkGRGRkk**••••dcdc***／／dkdk==ff′′(k(k))--(n(n++gg++δδ))==00《中宏》讲义，张延著。版权所有65 ••33、、ss变动对变动对cc*的影响的影响••消费最终是否会超过消费最终是否会超过ss上升前的原来水平上升前的原来水平并非一目了然的。并非一目了然的。••在平衡增长路径上，在平衡增长路径上，cc*是是kk*的函数的函数。。••cc*=f(k=f(k*))--(n+g+(n+g+*δδ)k)k(1.14)(1.14)••而而kk*是是ss的函数，的函数，kk*的位置取决于的位置取决于ss和该和该模型中的其他参数模型中的其他参数nn、、gg和和δδ。。••k*=k*(sk*=k*(s、、nn、、gg、、δδ))《中宏》讲义，张延著。版权所有66 ••因此因此c*c*是是ss的隐函数的隐函数。我们运用隐函数。我们运用隐函数求导法，可写出：求导法，可写出：••****∂∂ccdf(kdf(k))∂∂kk∂∂kk••————==——————··——————－－(n(n++gg++δδ))————••*∂∂ssdkdk∂∂ss∂∂ss••==*｛｛ff′′[[kk(s(s、、nn、、gg、、δδ)])]--(n(n++gg++δδ))｝｝••*××[[∂∂kk(s(s、、nn、、gg、、δδ))／／∂∂ss]]《中宏》讲义，张延著。版权所有67 ••*∂∂cc／／∂∂ss••==[[ff**＇＇(k(k))--(n(n++gg++δδ)]()](∂∂kk／／∂∂s)(1.15)s)(1.15)••我们知道我们知道ss的增加提高的增加提高kk*，，••即：即：∂∂k*k*／／∂∂ss＞＞00对这一结论的证明对这一结论的证明见前面。见前面。《中宏》讲义，张延著。版权所有68 ••因此因此，，ss的增加是否在长期提高消的增加是否在长期提高消费，取决于资本的边际产品费，取决于资本的边际产品ff＇＇(k*)(k*)是大是大于还是小于于还是小于nn++gg++δδ。。••∴∴∂∂c*c*／／∂∂ss和和∂∂c*c*／／∂∂k*k*的符号取决于的符号取决于••[[ff＇＇(k*)(k*)--(n(n++gg++δδ))]]的符号的符号《中宏》讲义，张延著。版权所有69 ••(1)(1)当当ff＇＇(k*)(k*)--(n(n++gg++δδ))＜＜00时，时，••*∂∂c*c*／／∂∂ss＜＜00，，ss的上升导致的上升导致cc下降。下降。••P27P27图图1.6(a)1.6(a)所示所示。。••*∂∂c*c*／／∂∂k*k*＜＜00，，k*k*的上升导致的上升导致cc下降。下降。《中宏》讲义，张延著。版权所有70 f(k)f(k)(n+g+(n+g+δδ)k)kf(k)f(k)ssf(k)f(k)新ssf(k)f(k)旧0k*k*k*k*新旧kk••P27P27图图1.6(a)1.6(a)ss和和k*k*的上升导致的上升导致cc*下降下降《中宏》讲义，张延著。版权所有71 ••经济含义：经济含义：••直观地看，如果直观地看，如果kk上升，要使上升，要使kk的这种上的这种上升得以维持，升得以维持，((每单位有效劳动的平均每单位有效劳动的平均))投资投资必须上升必须上升n+g+n+g+δδ乘以乘以kk的变化量。如果的变化量。如果ff＇＇(k(k*))小于小于n+g+n+g+δδ，，那么从增加的资本上获得那么从增加的资本上获得的增加的产量不足以将资本存量维持在其较的增加的产量不足以将资本存量维持在其较高水平上。此时，消费必须下降以维持较高高水平上。此时，消费必须下降以维持较高的资本存量。的资本存量。《中宏》讲义，张延著。版权所有72 ••(2)(2)当当ff*＇＇(k(k))--(n(n++gg++δδ))＞＞00时，时，••*∂∂c*c*／／∂∂ss＞＞00，，ss的上升导致的上升导致cc上升。上升。••*∂∂c*c*／／∂∂k*k*＞＞00，，k*k*的上升导致的上升导致cc上升。上升。《中宏》讲义，张延著。版权所有73 f(k)f(k)f(k)f(k)(n+g+(n+g+δδ)k)kssf(k)f(k)新ssf(k)f(k)旧0k*k*k*k*新旧kk••P27P27图图1.6(b)1.6(b)ss和和k*k*的上升导致的上升导致cc*上升上升《中宏》讲义，张延著。版权所有74 ••另一方面，如果另一方面，如果ff＇＇(k(k*))大于大于n+g+n+g+δδ，，增加的产量增加的产量大于将大于将kk维持在较高水平上所需的产量增加，因而消维持在较高水平上所需的产量增加，因而消费上升。费上升。如如P27P27图图1.6(b)1.6(b)所示。该图不仅给出了所示。该图不仅给出了(n+g+(n+g+δδ)k)k和和sf(ksf(k))，，还给出了还给出了f(k)f(k)。。在平衡增长路径在平衡增长路径上、上、cc为为f(k)f(k)和和(n+g+(n+g+δδ)k)k之间的距离。在上图中，之间的距离。在上图中，ff＇＇(k(k*))小于小于n+g+n+g+δδ，，因此，即使当经济已达到新的平衡因此，即使当经济已达到新的平衡增长路径时，储蓄率的增加也降低消费。在中图中，增长路径时，储蓄率的增加也降低消费。在中图中，相反的情况出现，储蓄率的增加在长期内提高消费。相反的情况出现，储蓄率的增加在长期内提高消费。《中宏》讲义，张延著。版权所有75 ••(3)(3)当当ff*＇＇(k(k))--(n+g+(n+g+δδ)=0)=0时，时，••*达到达到∂∂c*c*／／∂∂s=0s=0，，ss的上升导致的上升导致cc最大值。最大值。••*∂∂c*c*／／∂∂k*=0k*=0，，k*k*的上升导致的上升导致cc达达到最大值。到最大值。《中宏》讲义，张延著。版权所有76 ••最后最后，在，在P27P27图图1.6(c)1.6(c)中，中，ff*＇＇(k(k))恰好等恰好等于于n+g+n+g+*δδ，，也就是说，在也就是说，在k=kk=k处处，，f(k)f(k)的的切线和切线和(n+g+(n+g+δδ)k)k平行。此时，平行。此时，ss的一个边际的一个边际变化在长期内对消费没有影响，且消费在所变化在长期内对消费没有影响，且消费在所有可能的平衡增长路径中达到其可能取的最有可能的平衡增长路径中达到其可能取的最大水平。这一大水平。这一kk*值就是所谓的黄金律资本存值就是所谓的黄金律资本存量水平量水平kk。。GR《中宏》讲义，张延著。版权所有77 f(k)f(k)(n+g+(n+g+δδ)k)kf(k)f(k)sf(k)sf(k)0kkGRkk••P27P27图图1.6(c)1.6(c)使使cc达到最大化的黄金律的资本存量水平达到最大化的黄金律的资本存量水平《中宏》讲义，张延著。版权所有78kk* ••44、、cc*随随tt的变化的变化••cc*==(1(1––s)ys)y*==(1(1––s)f(ks)f(k*))••dcdc*˙／／dtdt==(1(1--s)fs)f＇＇(k)k(k)k••(1)(1)、、在在tt之前的之前的kk*上存在：上存在：0旧••kk˙==dkdk／／dtdt==00••dc*dc*˙／／dtdt==(1(1--s)fs)f＇＇(k)k(k)k==00••─→─→cc*为一条固定水平的、为一条固定水平的、不随不随tt变动变动的直线。的直线。《中宏》讲义，张延著。版权所有79 ••(2)(2)、在、在tt之后的之后的kk*上存在：上存在：1新••kk˙==dkdk／／dtdt==00••dcdc*˙／／dtdt==(1(1--s)fs)f＇＇(k)k(k)k==00••─→─→cc*为一条固定水平的、不随为一条固定水平的、不随tt变动变动的直线。的直线。《中宏》讲义，张延著。版权所有80 ••(3)(3)在在tt和和tt之间，由于之间，由于kk˙＞＞0001*˙••所以所以dcdc／／dtdt==(1(1--s)fs)f＇＇(k)k(k)k＞＞00*单调单调••─→─→随着随着tt↑↑，，cc↑↑••─→─→cc*与与tt同方向变动。同方向变动。《中宏》讲义，张延著。版权所有81 ••dd2cc*2／／dtdt••==(1(1--s)ks)k˙ff˙˙″″(k)k(k)k++(1(1--s)fs)f＇＇((k)dkk)dk／／dtdt••==(1(1--s)(ks)(k˙))2ff˙″″(k)(k)++(1(1--s)fs)f＇＇((k)dkk)dk／／dtdt••˙∵∵ff″″(k)(k)＜＜00，，且且dkdk／／dtdt＜＜00••2*2∴∴ddcc／／dtdt＜＜00••*─→─→随着随着tt↑↑，，cc以递减的速率单调以递减的速率单调↑↑••─→─→cc*凹向原点。凹向原点。《中宏》讲义，张延著。版权所有82 c*c*0tttttt01ss新ss旧0ttP24P24图图《中宏》讲义，张延著。版权所有1.51.5储蓄率增加的影响图储蓄率增加的影响图(e)(e)83 ••消费最终是否会超过消费最终是否会超过ss上升前的上升前的原来水平并非一目了然的。原来水平并非一目了然的。取决于取决于[f[f*＇＇(k(k))--(n+g+(n+g+δδ)])]的符号，存在的符号，存在三种可能性三种可能性。。《中宏》讲义，张延著。版权所有84 ••在索洛模型中，储蓄是外生的，平在索洛模型中，储蓄是外生的，平衡增长路径中的资本存量等于黄金律水衡增长路径中的资本存量等于黄金律水平的理由，并不多于平衡增长路径中的平的理由，并不多于平衡增长路径中的资本存量等于任意其他可能值的理由。资本存量等于任意其他可能值的理由。《中宏》讲义，张延著。版权所有85 ••思考题（考试范围）：思考题（考试范围）：••RomerRomer,David(1996),,David(1996),••AdvancedMacroeconomicsAdvancedMacroeconomics••NewYork:McGrawNewYork:McGraw--Hill.Hill.••（（中译本：中译本：戴维戴维··罗默罗默著著••《《高级宏观经济学高级宏观经济学》》商务印书馆商务印书馆19991999年版）年版）••第第4747页：页：1.11.1、、1.21.2、、1.81.8《中宏》讲义，张延著。版权所有86'