实变函数(程其襄版)第一至四章课后习题答案.doc 108页

'第一章集合早在中学里我们就已经接触过集合的概念，以及集合的并、交、补的运算，因此这章的前两节具有复习性质，不过，无限多个集合的并和交，是以前没有接触过的，它是本书中常常要用到，是学习实变函数论时的一项基本功。康托尔在19世纪创立了集合论，对无限集合也以大小，多少来分，例如他断言：实数全体比全体有理数多，这是数学向无限王国挺近的重要里程碑，也是实变函数论的出发点。实变函数论建立在实数理论和集合论的基础上，对于实数的性质，我们假定读者已经学过，所以本书只是介绍集合论方面的基本知识。§1集合的表示集合是数学中所谓原始概念之一，不能用别的概念加以定义，就目前来说，我们只要求掌握一下朴素的说法：在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称作一个集合，其中每一个个体事物叫做该集合的元素。顺便说明一下，一个集合的各个元素必须是彼此互异的，哪些事物是给定集合的元素必须是明确的，下面举出几个集合的例子。例14，7，8，3四个自然数构成的集合。例2全体自然数例30和1之间的实数全体例4上的所有实函数全体例5A,B,C三个字母构成的集合例6平面上的向量全体全体高个子并不构成一个集合，因为一个人究竟算不算高个子并没有明确的界限，有时难以判断他是否属于这个集合。1.集合的表示 一个具体集合A可以通过例举其元素来定义，可记也可以通过该集合中的各个元素必须且只需满足的条件p来定义，并记为A={x：x满足条件p}如例1可以表示为｛4，7，8，3｝例3可以表示为设A是一个集合，x是A的元素，我们称x属于A，记作，x不是A的元素，记作。为方便表达起见，表示不含任何元素的空集，例如{：>1}=习惯上，N表示自然数集，（本书中的自然数集不包含0），Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.设是定义在E上的函数，记={：∈E}，称之为f的值域。若D是R中的集合，则={:∈E,},称之为D的原像，在不至混淆时，{：∈E，满足条件p}可简写成{:满足条件}.2.集合的包含关系若集合A和B满足关系：对任意∈A,可以得到x∈B，则成A是B的子集，记为AB或BA，若AB但A并不与B相同，则称A是B的真子集.例7.若在R上定义，且在[a,b]上有上界M，即任意对∈[a,b]有M.用集合语言表示为：[a,b]{：M}.用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，请在看下例.例8.若在R上连续，任意取定∈R,对任意>0,存在>0.使得对任意有<,即.3.集合相等若集合A和B满足关系：AB且BA,则称A和B相等，记为A=B. 例9设在R上定义，且在R上有上界M，则R={：M}={：M+1}例10若在[a,b]上连续，则由连续函数的性质，，其中，. §2集合的运算从给定的一些集合出发，我们可以通过所谓集合的运算做出一些新的集合，其中最常见的运算有并、交、减法三种，实变函数中大量使用无限并和无限交的运算。1、集合的并集设A,B是任意两个集合，设C由一切或属于A或属于B的元素所组成，则我们称C为A,B的并集或和集，简称为并或和，记为它可以表示为图1.1是的示意图。并集的概念可以推广到任意多个集合的情形，设有一簇集合,其中是在固定指标集中变化的指标；则由一切的所有元素组成的集合称为这族集合的并集或和集，记为，它可以表示为：注意，按照集合的定义，重复出现在两个被并集合中的元素在做并运算时只能算一次。习惯上，当为有限集时，写成,而写成。例1设和是定义在E上的函数，则对任意 例2.例3若记例4若是一族开区间，而，则存在使得（有限覆盖定理）例5若是定义在E上的函数，则2、集合的交集设A,B是任意两个集合，由一切既属于A又属于B的元素组成的集合C称为A和B的交集或积集，简称为交或积，记作,它可以表示为如图1.2所示交集的概念也可以推广到任意多喝集合的情形设是任意集族，其中是在固定指标集中变化的指标；则由一切的所有元素组成的集合称为这族集合的交集或积，记为，它可以表示为：若，说明所有的没有公共的元素。习惯上，当为有限集时，写成,而 写成例6、若是定义在E上的函数，则例7、若则存在唯一的使（区间套定理）。例8若是定义在E上的一列函数，则对任意，（1）（2）证明我们只证明（1），（2）的证明类似的，请读者自证。若则对任意n即，由n的任意性，；反之，若，对任意n，，因此c是的一个上界，于是即定理1（交换律）证明我们只证明先设则有且有于是 这证明了在证反过来的包含关系，设，则有,此即，因此于是。综合起来，便是等式成立。这表面，集合运算的分配律，在无限并的情况下依然成立3、集合的差集和余集若A和B是集合，称为A和B是差集，AB也可以记为A-B，如图1.3是A-B的示意图：当我们讨论集合都是某个大集合S的子集时，我们称为A的余集，并记为在欧式空间中，写成当全集确定时，显然因此研究差集运算可以通过研究余集运算来实现。例9例10若定义在集合E上，S=E,则在集合论中处理差集或余集运算式时常用到以下公式定理2（德摩根公式）若是一族集合，则 证明（1）的证明，设则，因此对任意即对任意，从而反之，设，则对任意即对任意则从而综合可得例11设是定义在E上的函数列，若则有界的充分必要条件是存在M>0,使得对任意n，注意到与存在相对应的是并集的运算，与任意相对应的是交集的运算，从而用德摩根公式，有其中为正实数集。数学分析中国的很多定义，命题涉及任意和存在这两个逻辑量词，它们的否定说法是把任意改为存在，而把存在改为任意，在集合论中，德摩根公式很好的反映了数学分析中这种论述的合理性。请读者注意：我们怎样把描述函数列性质的语言，转换为集合语言。例12设是定义在E上的函数列，若x是使收敛与0的点，则对任意的，存在,使得对任意即用德摩根公式 三重的交并运算，在以后各章会多次出现4、集合列的上极限和下极限设是任意一列集合，由属于上述集合列中无限多个集合的那种元素的全体所组成的集合称为这一集合列的上极限或上限极，记作或它表示为读者不难证明，对集合列那种有限个下标外，属于集合列中每个集合的元素全体所组成的集合称这个集合列的下限集或下极限，记为或者显然例13设是如下一列点集我们来的上下极限。因为闭区间中的点属于，n=1，2，3，4，，，而对于开区间（1，2）中的每一个点x，必存在自然数N使得当n>N时候： 即当时，换句话说，对于开区间（0，2）中的x具有充分大的奇数指标的集含有x即中无限多个集合含有x，而充分大的偶数指标集都不含有x即中的集合不会是有限个，又区间以外的点都不属于任意，因此例14设,则对任意除有限个外，，即除有限个n外因此，由的任意性，再由极限的唯一性，上下极限还有用交集与并集来表示。定理3⑴；⑵证明我们利用来证明⑴式.记，.设，则对任意取定的，总有，使，即对任何，总有，故.反之，设，则对任意的，总有，即总存在，有，所以，因此，即. ⑵式可同样证明.用定理3，例12中的⑴式和⑵式可分别简写为，.如果，则称收敛，记为.若极限允许取，则单调数列总有极限，在集合论中也有类似的结论.5.单调系列如果集列满足，，则称为增加（减少）系列.增加与减少的集列统称为单调集列.容易证明：单调集列是收敛的.如果增加，则，如果减少，则.请读者自证.例15设是定义在上的有限函数，若，则是增加数列，且；若，则是减少集列，易知.6.集合的直积 若是集合，则称为的直积，记为或.类似地，. 对等与基数本节主要研究集合中元素的“个数”的多少，以及怎样从有限推广到无限集。集合可分为两类有限集合和无限集合，空集与只含有有限多个元素的集合称为有限集，其余的称为无限集。如通常所认为的那样，空集所含元素的个数为0，而非空有限集的典型特性应该是具有一个标志其元素个数的正整数，而确定非空有限集A中元素个数的方法是把A中元素一个一个的“数”.这等于将A中各元素按任一方式给它们编号:其中时,和是不同的元素,这样就A和正整数的某一截断一对一地对应起来,最后对应的一个正整数n显然就是A的元素”个数”.有此不难推知,两个非空有限集合元素个数相同的充要条件,是它们能够和正整数数列的同一截断一一对应,而这又等价与这两个集合彼此一一对应.我们打个比方.在一个大教室里,如果一个每个人都有一个座位,而且每个座位上都有且只有一个人,那么我们根本不用一个一个地去”数”,便立刻知道教室中人数和座位数是相同的.上述的讨论虽然只适用与非空有限集,但是一一对应的思想却不限于非空有限集.它将帮助我们把元素个数的概念推广到无限集.以上只是一个朴素的说明.现在我们从严格意义上给出映射和一一对应的概念.定义1设A,B为两个非空集合,如果有某一法则,使每个有唯一确定的和它对应,则称为A到B内的映射,记为.当映射使和对应时,称为在映射下的像,,记作,也可表示为对于任一固定的y,称适合关系的的全体的元素在在之下的原像.集合A称为映射的定义域,记作 ,设C是A的子集,C中所有元素的像的全体,记作:,称它是集C在之下的像,称为映射的值域,记作:.记忆方法：映射函数函数有反函数定义2设A和B是非空集合,若存在从集合A到B上的一一映射,即满足:(1)单射:对任意,若,使得;(2)满射:对任意,存在,使得.则称A和B对等,记为,规定.例1我们可给出有限集合的一个不依赖与于元素个数概念的定义:集合A称为有限合,如果或者A和正整数的某截断对等。注：有限集合的一个不依赖与于元素个数概念的定义，例如A的总个数与正整数的某个截断相对应。例2{正奇数全体}{正偶数全体}.事实上,只要令即可.例3{正整数全体}{正偶数全体}.这只需令,x是正整数.例4区间和全体实数对等,只需对每个,令。例5设A与B是两个同心圆周上的点集（图1.4），显然.事实上，对A上每一点x与同心圆的连线与B相交且只交于一点。值得注意的是，若将此展开为线段时，则这两线段的长度并不相同。这告诉我们，一个较大的线段并不比另一个线段较短线段含“个多的点”。例4还表明，无限长的“线段”也不比有限长的线段有“更多的点”。BAo例3和例4说明，一个无限集可以和它的一个真子集对等（可以证明，这一性质正是无限集的特征，常用来作为无限集的定义）。 这一性质对有限集来说显然不能成立。由此可以看出无限集与有限集之间的深刻差异。对等关系显然有一下性质：定理1对任意集合A,B,C,均有：（1）（反射性）;(2)(对称性);(3)(传递性).定义3若A和B对等，则称他们有相同的基数，记为.定义4设A,B是两个集合，如果A不与B对等，但存在B的真子集,有,则称A比B有较小的基数（或称B比A有较大的基数）并记为.自然，我们要提出问题：任给两个集合A,B，在中是否必有一个成立且只有一个成立呢?回答是肯定的，但是在第一个问题的论证较为复杂，不能再此讨论。一下是对第二个问题的回答。定理2【伯恩施坦（Bernstein）定理】设A,B是两个非空集合。如果A对等与B的一个子集，B又对等与A的一个子集，那么A对等于B.注利用基数的说法是：设.证明有假设，存在A到B得子集上的一一映射及B到A得子集上的一一映射。因为,记.显然是到上的一一映射，即并且.作映射和的复合映射如下：当时，。那么实现了A到上的一一对应。因为是A的子集，是的子集，所以 并且.（图1.5）图1.5伯恩斯坦定理证明示意图照这样进行下去，我们找到一列子集：。于是在同一映射之下，有这样我们可以把A分解为一系列互不相交的子集的并：其中,类似地，其中，易知,有因为映射是一一映射，容易看出： ，显然，我们可以把A及的上述分解写成它们的对应项在映射之下是对等的，从而有,而,所以,注意：这一定理给我们提供了一个判定两个集合对等的有力工具。作为定理的应用，我们可证明如下结论。设且,则,.事实上，有假设知再有伯恩施坦定理知,从而,故.证明：设且,则。（目的：只需证,B与C的子集对等，C与B的子集对等。）证明：(1)且,是A的子集B(记为)对等，又,则A的子集与C的子集对等，即得到(2)且，.终上所述，得到，从而. §4可数集合在本节中我们将详细地讨论无限集合中最简单同时也是最常见的一类集合，即其元素能够排成一列的集合.非空有限集合既然是那些和正整数列某一截断对等的集合，那么，在无限集合中首先受到关注的当然是那些和全体正整数所成集合对等的集合了（正整数列本身就是这种集合）.定义1凡和全体正整数所成集合对等的集合都称为可数集合或可列集合.由于可按大小顺序排成一无穷序列：因此，一个集合是可数集合的充要条件为：可以排成一个无穷序列：可数集合是无穷集合，那么它在一般无限集合中处于什么地位呢？定理1任何无限集合都至少包含一个可数子集.证明设是一个无限集，因，总可以从中取一元素记为，由于是无限集，故，于是又可以从中取一元素，记为，显然且，设已从中取出个这样的元素，由于是无限集，故，于是又可以从中取一元素，记为，显然且和都不相同，这样由归纳法，我们就找到的一个无限子集，它显然是一个可数集.该定理说明可数集的一个特征：它在所有无限集中有最小的基数.下面的定理告诉我们可数集有怎样的子集.定理2 可数集合的任何无限子集比为可数集合，从而可数集合的任何子集或者是有限集或者是可数集.证明设为可数集而是的一个无限子集，则由于是的子集，有，有由于是无限集合，而是可数集，依定理1有，因此按伯恩斯坦定理就有，即也是可数集.下面我们来研究有可数集出发通过加法运算可产生什么样的集合.定理3设可数集，为有限或可数集，则为可数集（利用可排性）证明⑴先设.由于可数集总可排成无穷序列，不妨设，（当有限时）或（当可数时）.由于当有限时（排在前，排在后），；又当可数时（交错排列），.可见总可以排成无穷序列，从而是可数集.⑵一般情形下.此时，令，则，但当作为的子集仍为有限或可数集（定理2），这样就归结到⑴的情形了.推论设是有限集或可数集，则也是有限集或可数集，但如果至少有一个是可数集，则必为可数集.定理4设都是可数集，则也是可数集. 证明⑴先设.因都是可数集，故可令，，，，…………按照箭头顺序可将排成：.因此，是可数集.注意，上面的证明当部分（不是全部）是有限集时仍可适用.⑵一般情形下.令，（），则（当时），且.易知都是有理数集或可数集（定理2），如果只有有限个不为空集，则由定理3的推论，为可数集（因至少 为可数集），如果有无限多个（必为可数个）不为空集，则由⑴中的注意，也是可数集，故在任何情形下，也是可数集.今后我们用（或）表示可数集的基数，则当均为可数集合时，定理3的推论可简记为（定理3）而本定理的结论就可简记为（定理4）定理5有理数全体成一可数集合.证明设（），则是可数集，于是由定理4知全体正有理数成一可数集，因正负有理数通过，成为一一对应，故全体负有理数成一可数集，但有理数全体所成之集合，故由定理3的推论知为可数集.应该注意，有理数在实数中是处处稠密的，即在数轴上任何小区间中都有有理数存在（并且有无穷多个）.尽管如此，全体有理数还只不过是一个和那样稀疏分布着的正整数全体成为一一对应的可数集.这个表面看来令人难以置信的事实，正是康托尔创立集合论，向“无限”进军的一个重要成果，它是人类理性思维的有一个胜利.用有理数集的可数性和稠密性可推断出一些重要的结论.例1设集合中元素都是直线上的开区间，满足条件：若开区间，，则.证明是可数集或有限集.证明作映射：.设，由于在直线上稠密，任取，定义.由于任意，，有 ，因此是到内的单射，于是～，所以，即是可数集或有限集.定理6设是可数集，，则是可数集.证明用归纳法证明.显然时，结论成立.假设已证：若是可数集，，则是可数集.因知可数，故设.记则，，因此是可数集.又，由定理4，是可数集.例2平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集.例3元素是由个正整数组成的，其全体成一可数集.例4整系数多项式的全体是一可数集.证明对任意的，设是次整系数多项式的全体组成的集合，则～，其中和都是可数集，因此由定理6，是可数集.从而整系数多项式的全体组成的集合也是可数集.每个多项式只有有限个根，所以得下面的定理.定理7代数数的全体成一可数集. （所谓代数数，乃是整系数多项式的根.） §5不可数集合到目前为止，在无限集合中我们只讨论了可数集，是不是无限集合都是可数集合呢？如果真是这样的话，那么所有无限集合将只能具有同一的基数，而基数概念的引进也将没有什么意义了。下面我们将看到事实并非如此。不是可数集合的无限集合我们称为不可数集合。定理1全体实数所成的集合是一个不可数集合。证明:由§3例4知，我们只要证明不是可数集就好了。首先中每一个实数都可以唯一地表示为十进位无穷小数：的形式，其中各是0，1，，9中的一个数字，不全为9，且不以0为循环节，我们称实数的这种表示为一个正规表示。反之，每一个上述形式的无穷小数都是中某一实数的正规表示。现用反证法：假设中的全体实数可排列成一个序列将每个表示成正规的无穷小数：现在设法在中找一个与所有这些实数都不同的实数。为此利用对角线上的数字作一个无穷小数如下则此无穷小数的各位数字既不全是9，也不以0为循环节，因此必是 中某一实数a的正规表示，但从这个无穷小数的作法可知，它与每一个的正规表示都不同（因为至少第n位小数不同），因此,从而与假设矛盾。因此是不可数集合。推论1若用c表示全体实数所成绩和R的基数，用a表示全体正整数所成的集合的基数，则。以后称为连续基数（有时记为）。定理2任意区间,,，,，均具有连续基数（这里）。分析：①∵，∴的基数为②则的基数为③则的基数也为定理3设是一列互不相交的集合，它们的基数都是，则的基数也是证明：设则(m≠n),但，故,从而于是由定理2即得。定理4设若有一列集合{},而 .证明由于，不妨设首先把中任何与x与A中点对应，就知道（对等与A的一个子集。反之，对A中的任何按十进位无限的小树表示有........................由上述一列数，作一小数ψ（x）：ψ（x）=…显然ψ（x）而且当x≠y时ψ（x）≠ψ（y）.由映射ψ，A也对等的一个子集，所以由伯恩斯坦定理得A～,定理得证.设n为一个正整数，称由n个实数，按确定的次序排成的数组全体称为n维欧几里得空间，记为，每个组称为维欧几里得空间的点。又称为点的第i个坐标.定理5n维欧几里得空间的级数为 证明：若中点对应于中点时，就知道对等于的子集.如果再将中点x对应中点时推论2设有个(表示连续基数)集的并集，若每个集的基数都是,则其并集的基数也是。事实上，对于每一个被并的集，使之与平面上平行于轴的直线上全体点所成集合作成一一对应，也就得到所述的并集与平面上全体点所成集合作成了一一对应。推论3设若有一列集合证明：由于，因此,其中任取用正规的二进位小数表示，即定义，显然是单射，于是由伯恩斯坦定理，定理4、定理5和推论3分别可简写成由定理4，实数列的全体组成的集合基数仍为，自然产生了新的问题，有没有基数大于的集合呢？有没有最大的基数呢？下面的定理圆满的回答了这个问题。定理6设是任意的一个集合，它的所有子集作成新的集合，则。证明：我们先证明不能与对等。假设不然，即，则对应于每个，都应有的子集与之对应。现在我们将中所有那样的，满足，作成一集合,则，所以，从而应有中元素与之对应。若，则与之定义矛盾。因是由那些的 作成的，可见。但是如果，那么由的定义，又应该属于，因为包括了所有的。这就产生了矛盾，因而不对等于。至于对等于的一个子集，则是显然的事实，因为那些只含一个元素的子集自然是作成对等于的一个子集。w定理6告诉我们没有一个最大的基数，从而无线集合的不同基数也有无线多个。由于可数集合中元素比连续基数集中元素少得多，我们通常尽可能地用可数集合交并运算代替不可数集合的交并运算。这一点，在第三章测度论中有十分重要的应用。例1是定义在点集E上的函数=例2设是定义在点集E上的函数列，则本章§2例12中的（1）（2）式和分别可写成和由此，我们再次看到函数列的极限过程，怎样用集合运算来描述，这在以后的各章中都有重要应用。 第二章点集第一章介绍了集合的概念及运算.那里的集合只提到其中的元素，以及元素的个数（有限、可数无限、不可数无限等），没有涉及集合各个元素之间的关系.但是，数学中需要处理的集合，其元素之间本来就存在某种关系，也就是说，集合内部有一种结构.打个比方，第一章研究的集合，相当于赤裸的原始人.这一章研究的点集，相当于穿有各种衣服的文明人.例如，对于全体实数组成的集合，我们不仅考虑一个个的实数，而且要度量彼此之间的距离，以及研究实数间的运算，等等.距离就是一种结构.大家知道，有了两点间的距离，就可以构成空间，定义邻域，于是就可以研究集合上函数的极限、连续、可导等.因此，能够度量元素间距离的集合，是数学研究的重要对象.这一章中，我们要考察这样的空间—度量空间（也成为距离空间）.由于我们研究的函数往往定义在一维的实数直线上，以及在维的欧氏空间中，而其中的元素称为“点”，并且两点之间有距离，所以习惯上把集合中元素间有某种关系、集合内由某种结构的集合，叫做空间或者点集.当然，度量空间不仅限于数集和欧氏空间，区间上连续函数的全体也可构成度量空间.把朴素的欧氏空间推广到更一般的空间，扩大数学视野，形成一般的抽象空间的概念，是本章的任务.§1度量空间，维欧式空间让我们回忆数学分析中的极限概念，在定义数列的极限时，要用绝对值来表示和的接近程度.如果我们将实数直线上任何两点和之间的距离用加以表示，那么所谓中数列收敛于，就意味着和之间的距离随而趋近于，即这使我们想到，在一般的点集中如果也有“距离” ，那么在点集中也可借这一距离定义极限，这对研究集合的性质将是极其重要的工具.那么，究竟什么是距离呢？设是一个集合，若对于中任意两个元素，都有唯一确定的实数与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：的充要条件为；对任意都成立，则称是之间的距离，称为度量空间或距离空间.中的元素称为点，条件称为三点不等式.距离有对称性，即.实际上，在三点不等式中取，并由条件知由和的次序是任意的，故同样可证，这就得到.如果是度量空间，是的一个非空子集，则也是一个度量空间，称为的子空间.下面我们只讨论欧式空间，对于其他度量空间的例子将在第七章给出.对于中任意两点规定距离容易验证满足距离的条件.首先，条件是显然满足的.现在验证条件.由柯西（Cauchy）不等式 得到令，则代入上面不等式即为三点不等式.称为维欧氏空间，其中称为欧几里得距离.此外，在中还可以用下面方法定义其他距离：容易验证，也满足条件和.由此可知，在一个集合中引入距离的方法可以不限于一种.下面我们将考察中的极限、开集、闭集、紧集等一系列概念，它们的基础都是邻域，而邻域则依靠距离即可给出.其实本章的结论在一般度量空间中也都是成立的.在一点我们在第七章还要涉及.我们从定义邻域的概念开始.定义1中所有和定点之距离小于定数的点的全体，，即集合称为点之邻域,称为邻域的中心,称为邻域的半径.在不需要特别指出是怎样的一个半径时，也干脆说是的一个邻域，记作.显然，在中的，就是以为中心为半径的开区间，开圆和开球.容易证明邻域具有下面的基本性质：(1)； (2)对于和，存在；(3)对于，存在；(4)对于，存在和，使.定义2设为中一点列，，若果当时有，则称点列收敛于.记为或.用邻域的术语来说就是：对于的任一邻域，存在某个自然数，使当时，.定义3两个非空的点集的距离定义为定义4一个非空点集的直径为定义5设为中一点集，如果，则称为有界点集（空集也成为有界点集）.显然，为有界点集的充要条件是存在常数，使对于所有的，都有即存在常数，对于所有有，这里，称为维空间的原点.定义6点集称为一个开区间（维），如将其中不等式一律换成（或），则称之为一个闭区间（或左开右闭区间）.当上述各种区间无区别的必要时，统称为区间，记作.称为的第个“边长”，称为的“体积”，记为.§2聚点，内点，界点 数学分析中，经常要遇到开区间和闭区间这样的点集.在实变函数论中，我们要将它扩展为更一般的开集和闭集，并由此生成许多重要的集合类.现在我们从原始概念说起.设是维空间中的一个点集，是中的一个定点，我们来研究与的关系.现在有三种互斥的情形：第一，在的附近根本没有的点；第二，附近全是的点第三，附近既有的点，又有不属于的点.针对这些情况我们给出下述定义.定义一如果存在的某一邻域，使，则称为的内点；如果是的内点（这里余集是对全空间来做的，即，以后仿此），则称为的外点；如果既非的内点又非的外点，也就是：的任一邻域内既有属于的点，也有不属于的点，则称为的界点或边界点.上述三个概念中当然以内点最为重要，因为其他两个概念都是由此派生出来的.定义二设是中一点集，为中一定点，如果的任一邻域内都含有无穷多个属于的点，则称为的一个聚点.由聚点的定义可知有限集没有聚点.显然之内点必为之聚点，但之聚点却不一定是的内点，因为还可能是的界点.其次，之内点一定属于，但的聚点则可以属于也可以不属于.定理1下面的三个陈述是等价的：（1）是的聚点； （2）在的任一邻域内，至少含有一个属于而异于的点；（3）存在中互异的点所成点列，使.证明由（1）推出（2）及由（3）推出（1）是显然的，现在由(2)推出（3）.由假定在中至少有一点属于而异于，令，则在中至少有一点属于而异于，令，则在中又至少有一点属于而异于，这样无限继续下去，便得到点列，它显然满足要求.再介绍一个派生的概念.定义三设是中一点集，为中一定点，如果属于但不是的聚点，则称为的孤立点.由定理一可知：是的孤立点的充分必要条件是：存在的某邻域，使.由此又知：的界点不是聚点便是孤立点.既然这样，所有中的点，对来说又可分为聚点，孤立点，外点三种.故可列表如下：中的点（对来说）｛注意，对于一个具体的点集来说，上述任何分类中的三种点不一定都出现.界点或聚点可以属于，也可以不属于.根据上面引入的概念，对于一个给定的点集，我们可以考虑上述各种点的集合，其中重要的是下面四种.定义4设是中的一个点集，有（1）的全体内点所成的集合，称为的开核，记为，即； （2）的全体聚点所成的集合，称为的导集，记为，即；（3）的全体界点所成的集合，称为的边界，记为，即；（4）（5）称为的闭包，记为，由（2），.由（5）还可得到及闭包与内核的对偶关系：定理2设，则定理3证明因为，，故从定理2，，从而另一方面，假设，则必有.否则，那么将有且.因而有的某一邻域，在内除外不含的任何点，同时有的某一邻域，在内除外不含的任何点，则由邻域基本性质（3）知，存在，在中除点外不含的任何点，这与的假设矛盾.下面的定理告诉我们什么时候.定理4[博尔扎诺—魏尔斯特拉斯（Bolzano—Weierstrass）定理] 设是一个有界的无限集合，则至少有一个聚点.证明方法与数学分析中在与时的证明相同，在此略去，请读者自行给出.定理5设，则至少有一界点（即）.证明留作习题. §3开集，闭集，完备集本节着重讨论两类特殊点集。定义1设，如果的没一点都是中的内点，则称为开集.（空集也是开集并且此定义具有相对性）例如整个空间是开集,空集也是开集.又如在中任意开区间是开集，不是开集.在中是开集（但把它放在中来看时，即看做就不再是开集了）.定义2设，如果的每一个聚点都属于，则称为闭集。例如整个空间是闭集，空集是闭集。又如在中闭区间是闭集，但不是闭集。在中是闭集.再如任意的有限集合都是闭集（没有聚点）。开集、闭集利用开核、闭包等术语来说，就是：为开集的充要条件是，亦即；为闭集的充要条件是(或).（若为不含有孤立点的集合则有故是完备集）开集常用字母G表示，闭集常用字母F表示定理1对任何，是开集，和都是闭集（称为开核，称为闭包的理由也在于此）.证明：（1）证明为开集，即证中的每一点均为内点，即,..设，则,.,则,.，则为的内点，，从而 为开集（2）证明为闭集，即证，则需证设，则在，.则又由等价定义为闭集最后证明是闭集，即须证因为，由本章§2定理3，从而是闭集.定理2（开集与闭集的对偶性）设是开集，则是闭集；设是闭集，则是开集。证明：（1）要证为闭集，若为的一个聚点设是开集，而是的任一聚点，那么，的任一邻域都有不属于的点。这样，就不可能是的内点，从而不属于（因是开集），也就是（2）要证是开集，即要证中的每一点均为中的内点（反证）设是闭集，对任一，假如不是的内点，则的任一邻域内至少有一个属于的点，而且这点又必异于，这样就是的聚点（§2定理1），从而必属于（因是闭集），与假设矛盾.故为的内点另证，（1）设是开集，则，由闭包、开核对偶关系，得 ，可见是闭集（2）是闭集为开集正由于开集和闭集的这种对偶关系，在许多情况下，我们将闭集看做是由开集派生出来的一个概念。也就是说，如果定义了开集，闭集也就随之确定。定理3任意多个开集之并仍是开集，有限多个开集之交仍是开集.（开集的任意并，有限交仍为开集）证明第一部分显然，现证明第二部分。不妨就设两个开集来证明.设，为开集，任取.因故存在，由§1邻域性质（2），存在，从而，可见的内点.注意：任意多个开集的交不一定是开集，例如，（1,2,3···），每个是开集，但不是开集,定理4任意多个闭集之交仍为闭集，有限多个闭集之并仍为闭集.(闭集的任意交，有限并仍为闭集)证明（利用德摩根公式）设（或1,2，···，m），是闭集，则有定理2知各是开集，从而由定理3（或）也是开集，但由德摩根公式有故再利用定理2便知是闭集.注意：任意多个闭集的和不一定是闭集，例如 （3,4···）则是闭集，而不是闭集例设是中两个互不相交的闭集.证明，存在两个互不相交的开集，,使.证明（1）对任何，有。事实上，若有使则由于所以由下确界定义，存在点列,使因此，这与矛盾.同理任取，有（2）构造.对每个，以为半径，做的邻域,令,则是开集且.同理，对每个，以为半径做的邻域,则是开集且（3）下证若则存在，由及的作法知必有，使和，即,同理，从而有注意到,故有 ,由于所以因此,得到矛盾，这就证明了注：两个闭集不相交并不能推出它们之间的距离在数学分析中大家已经学习了以下的海涅—博雷尔（Heine—Borel）有限覆盖定理：设是中的闭区间，是一族开区间，它覆盖了，则在中一定存在有限个开区间，它们同样覆盖了我们下面要把上述定理推广成更一般的形式。定理5（海涅—博雷尔有限覆盖定理）设是一个有界闭集，是一族开集，它覆盖了（即）则中一定存在有限多个开集···，它们同样覆盖了（即）证明因是有界闭集，所以在中存在闭区间包含.记为由中的全体开集与开集一起组正的新开集族，则覆盖了因此也覆盖了.对于中的任一点，存在中开集使得,因而存在开区间并且，所以开区间族覆盖了.由数学分析中的有限覆盖定理，在这族开去开中存在有限个开区间，设为···，仍然覆盖了，则由,···m，得.如果开集不在这m个开集中则···覆盖了，定理得证；否则从这m个开集中去掉，因为与不相交，所以剩下的m-1个开集仍然覆盖了.定义3设是度量空间中一集合，是中任一族覆盖了 的开集，如果必可从中选出有限个开集仍然覆盖,则称为中的紧集.由定理5知中的有界闭集必为紧集，反之我们有如下定理.定理6设是中的紧集，则是中的有界闭集证明设点,对于中的任意一点,由于，由邻域性质，存在，使得显然开集族覆盖了,由于是紧集，因此存在有限个邻域(···m)使得(*)由此立即可知是有界集.又令则，并且(···m),由(*)式得,因此不是的聚点,所以,这说明,即是闭集.定理5及定理6说明，在中紧集与有界闭集是一致的。但在一般度量空间中完全与定理6类似可以证明，紧集一定是有界闭集，但反之不然（见十一章§3）定义4设如果就称是自密集，换句话说，当集合中每点都是这个集的聚点时，这个集就是自密集。另一个说法是没有孤立点的集就是自密集。例如，空集是自密集，中有理数全体所组成的集是自密集.定义5设，如果则称为完备集或完全集完备集就是自密闭集，也就是没有孤立点的闭集。例如，空集是完备集，中任一闭区间及直线都是完备集。 表面上看俩，既然一个完备集合一方面是闭集，而另一方面每一点又都是聚点，似乎它就会铺满空间的一小块，但这是一种错觉。在下一节中，我们将以著名的康托尔三分集作为例子来说明这一点. §4直线上的开集、闭集及完备集的构造本节中我们将讨论直线上（即中）开集与闭集的构造。在直线上，开区间是开集。虽然开集一般来说不一定是开区间，但同一看出非空开集是一系列开区间的和集。我们现在来研究直线上的开集结构。为此先引入构成区间的概念。定义1设G是直线上的开集。如果开区间，而且端点不属于，那么称为的构成区间。例如，开集的构成区间是以及。（开集不一定是开区间，开区间一定是开集）定理1（开集构造定理）直线上任一个非空开集可以表示成有限个或可数个互不相交的构成区间的和集。证明设G是直线上的一个非空开集，分以下几步来论证。（1）开集G的任何两个不同的构成区间必不相交。不然的话，设是G的两个不同的构成区间，但相交。这时必有一个区间的端点在另一个区间内，例如，但，这和矛盾。因此不同的构成区间不相交，因此不同的构成区间不相交。再由第一章§4例1，开集G的构成区间全体最多只有可数个。（2）开集中任何一点必含在一个构成区间中。事实上，任意取，记为适合条件的开区间全体所构成的区间集。因为G是开集，不会空。记，作开区间（其实，）。显然，。现在证明是G的构成区间。先证，任意取，不妨设 。由于是下确界，所以必有，使，因此同样，如果，也可以证明类似的结果。因此，由此顺便得到。再证，如果不成立，那么，因为G是开集，必有区间，使得这样，，因此，而，这就和是中的区间左端点的下确界相矛盾，所以，同样有。这就是说是G的构成区间。（3）作G的所有构成区间的和。由（2），它应是G；由（1），G必定是有限个或可数个互不相交的构成区间的和集。用记G的构成区间，那么因此非空开集必然可以表示成可数个或有限个互不相交的开区间的和集。既然闭集的余集是开集，你们从开集的构造可以引入余区间的概念。定义2设A是直线上的闭集，称A的余集的构成区间为A的余区间或邻接区间。我们又可以得到闭集的构造如下。定理2直线上的闭集F或者是全直线，或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间（即F的余区间）所得到的集。由孤立点的定义很容易知道，直线上点集A的孤立点必是包含在A的余集中的某两个开区间的公共端点。因此，闭集的孤立点一定是它的两个余区间的公共端点。完备集是没有孤立点的闭集，所以，完备集就是没有相邻接的余区间的闭集。 §5康托尔三分集（康托尔三分集）将闭区间三等分，去掉中间的开区间。剩下两个闭区间。又把这两个闭区间各三等分，去掉中间的两个开区间，即。一般的，当进行到第n次时，一共去掉个开区间，剩下个长度是的互相隔离的闭区间，而在第次时，再将这个闭区间各三等分，并去掉中间的一个开区间，如此继续下去，就从去掉了可数个互不相交（而且没有公共端点）的开区间，因此由§4定理2，剩下的必是一个闭集（它至少包含各邻接区间的端点及其聚点），称它为康托尔三分集，记为P。闭集P的性质：（1）P是完备集（2）P没有内点（3）是可数个互不相交的开区间，其长度之和为1（4）P的基数为c综上所述，我们将康托尔三分集的特点归纳为一句话：它是一个测度为零且基数为c的疏朗完备集。注记：当n>1时，中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间（n维）的和，但总可表示成可数个互不相交的半开半闭（例如左开右闭）区间之和，不过这种表示法没有唯一性（在中一个开集只能用一种方式表示成构成区间之和）。 第一章习题解答1.证明：(1)(2)证明：(1)(2)2．证明：(1)(2)证明：(1)(2)3.设是一列集合，作证明是一列互不相交的集。而且证明：若，不妨设.显然.由得设，若，则.若，令是最小自然数使，即 而这样，所以4.设，，，求出集列的上限集和下限集.解：设，则，使，因此时，，即，所以属于下标比大的一切偶指标集，从而属于无限多，得，又显然，所以.若有，则，使，有.因此若时，，即.令得，此不可能，所以.5.证明.证明：设，则，使一切，，所以，所以.设，则有，使，即对任意，有，所以.11.做出和的一个一一对应，并写出这个一一对应的解析表达式.解：对任意，.就是和的一一对应.12．证明：将球面去掉一点以后，余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对等的.证明：只要证明球面去掉点以后与平面对等即可. 由此可由投影来做到：对任意.易验证是一一对应，因此与是对等的.13.证明：所有系数为有理数的多项式组成以可数集.证明：设是次有理系数多项式的全体，，则.由个独立的记号所决定，即次多项式的个有理系数，其中首项系数可取除以外的一切有理数，其他系数可取一切有理数，因此每个记号独立的跑遍一个可数集，因此由第一节定理六，，又由第四节定理四，。14.设是平面上以有理点（即坐标都是有理数）为中心，有理数为半径的圆的全体.则是可数集.证明：任意中的圆，由三个独立记号决定：.其中是圆心的坐标，是圆半径.各自跑遍有理数，而跑遍大于的有理数，因而都是可数集.所以.15.证明：增函数的不连续点最多只是可数多个.证明：设是上的增函数，记不连续点全体为.由数学分析可知：（1）任意，及都存在.（2）的充分必要条件为.（3）任意，若，则因此每一，对应于直线上的开区间且由（3）可知中的点对应的这样的开区间是互不相交的.因此可知增函数的不连续点最多只是可数多个. 第二章点集第一章介绍了集合的概念及运算.那里的集合只提到其中的元素，以及元素的个数（有限、可数无限、不可数无限等），没有涉及集合各个元素之间的关系.但是，数学中需要处理的集合，其元素之间本来就存在某种关系，也就是说，集合内部有一种结构.打个比方，第一章研究的集合，相当于赤裸的原始人.这一章研究的点集，相当于穿有各种衣服的文明人.例如，对于全体实数组成的集合，我们不仅考虑一个个的实数，而且要度量彼此之间的距离，以及研究实数间的运算，等等.距离就是一种结构.大家知道，有了两点间的距离，就可以构成空间，定义邻域，于是就可以研究集合上函数的极限、连续、可导等.因此，能够度量元素间距离的集合，是数学研究的重要对象.这一章中，我们要考察这样的空间—度量空间（也成为距离空间）.由于我们研究的函数往往定义在一维的实数直线上，以及在维的欧氏空间中，而其中的元素称为“点”，并且两点之间有距离，所以习惯上把集合中元素间有某种关系、集合内由某种结构的集合，叫做空间或者点集.当然，度量空间不仅限于数集和欧氏空间，区间上连续函数的全体也可构成度量空间.把朴素的欧氏空间推广到更一般的空间，扩大数学视野，形成一般的抽象空间的概念，是本章的任务. §1度量空间，维欧式空间让我们回忆数学分析中的极限概念，在定义数列的极限时，要用绝对值来表示和的接近程度.如果我们将实数直线上任何两点和之间的距离用加以表示，那么所谓中数列收敛于，就意味着和之间的距离随而趋近于，即这使我们想到，在一般的点集中如果也有“距离”，那么在点集中也可借这一距离定义极限，这对研究集合的性质将是极其重要的工具.那么，究竟什么是距离呢？设是一个集合，若对于中任意两个元素，都有唯一确定的实数与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：的充要条件为；对任意都成立，则称是之间的距离，称为度量空间或距离空间.中的元素称为点，条件称为三点不等式.距离有对称性，即.实际上，在三点不等式中取，并由条件知由和的次序是任意的，故同样可证，这就得到.如果是度量空间，是的一个非空子集，则也是一个度量空间，称为的子空间.下面我们只讨论欧式空间，对于其他度量空间的例子将在第七章给出.对于中任意两点 规定距离容易验证满足距离的条件.首先，条件是显然满足的.现在验证条件.由柯西（Cauchy）不等式得到令，则代入上面不等式即为三点不等式.称为维欧氏空间，其中称为欧几里得距离.此外，在中还可以用下面方法定义其他距离：容易验证，也满足条件和.由此可知，在一个集合中引入距离的方法可以不限于一种.下面我们将考察 中的极限、开集、闭集、紧集等一系列概念，它们的基础都是邻域，而邻域则依靠距离即可给出.其实本章的结论在一般度量空间中也都是成立的.在一点我们在第七章还要涉及.我们从定义邻域的概念开始.定义1中所有和定点之距离小于定数的点的全体，，即集合称为点之邻域,称为邻域的中心,称为邻域的半径.在不需要特别指出是怎样的一个半径时，也干脆说是的一个邻域，记作.显然，在中的，就是以为中心为半径的开区间，开圆和开球.容易证明邻域具有下面的基本性质：(1)；(2)对于和，存在；(3)对于，存在；(4)对于，存在和，使.定义2设为中一点列，，若果当时有，则称点列收敛于.记为或.用邻域的术语来说就是：对于的任一邻域，存在某个自然数，使当时，.定义3两个非空的点集的距离定义为定义4一个非空点集的直径为定义5设为中一点集，如果，则称为有界点集（空集也成为有界点集）.显然，为有界点集的充要条件是存在常数，使对于所有的，都有即存在常数，对于所有有，这里，称为维空间的原点. 定义6点集称为一个开区间（维），如将其中不等式一律换成（或），则称之为一个闭区间（或左开右闭区间）.当上述各种区间无区别的必要时，统称为区间，记作.称为的第个“边长”，称为的“体积”，记为.§2聚点，内点，界点 数学分析中，经常要遇到开区间和闭区间这样的点集.在实变函数论中，我们要将它扩展为更一般的开集和闭集，并由此生成许多重要的集合类.现在我们从原始概念说起.设是维空间中的一个点集，是中的一个定点，我们来研究与的关系.现在有三种互斥的情形：第一，在的附近根本没有的点；第二，附近全是的点第三，附近既有的点，又有不属于的点.针对这些情况我们给出下述定义.定义一如果存在的某一邻域，使，则称为的内点；如果是的内点（这里余集是对全空间来做的，即，以后仿此），则称为的外点；如果既非的内点又非的外点，也就是：的任一邻域内既有属于的点，也有不属于的点，则称为的界点或边界点.上述三个概念中当然以内点最为重要，因为其他两个概念都是由此派生出来的.定义二设是中一点集，为中一定点，如果的任一邻域内都含有无穷多个属于的点，则称为的一个聚点.由聚点的定义可知有限集没有聚点.显然之内点必为之聚点，但之聚点却不一定是的内点，因为还可能是的界点.其次，之内点一定属于，但的聚点则可以属于也可以不属于.定理1下面的三个陈述是等价的：（1）是的聚点；（2）在的任一邻域内，至少含有一个属于而异于的点； （3）存在中互异的点所成点列，使.证明由（1）推出（2）及由（3）推出（1）是显然的，现在由(2)推出（3）.由假定在中至少有一点属于而异于，令，则在中至少有一点属于而异于，令，则在中又至少有一点属于而异于，这样无限继续下去，便得到点列，它显然满足要求.再介绍一个派生的概念.定义三设是中一点集，为中一定点，如果属于但不是的聚点，则称为的孤立点.由定理一可知：是的孤立点的充分必要条件是：存在的某邻域，使.由此又知：的界点不是聚点便是孤立点.既然这样，所有中的点，对来说又可分为聚点，孤立点，外点三种.故可列表如下：中的点（对来说）｛注意，对于一个具体的点集来说，上述任何分类中的三种点不一定都出现.界点或聚点可以属于，也可以不属于.根据上面引入的概念，对于一个给定的点集，我们可以考虑上述各种点的集合，其中重要的是下面四种.定义4设是中的一个点集，有（1）的全体内点所成的集合，称为的开核，记为，即；（2）的全体聚点所成的集合，称为的导集，记为，即 ；（3）的全体界点所成的集合，称为的边界，记为，即；（4）（5）称为的闭包，记为，由（2），.由（5）还可得到及闭包与内核的对偶关系：定理2设，则定理3证明因为，，故从定理2，，从而另一方面，假设，则必有.否则，那么将有且.因而有的某一邻域，在内除外不含的任何点，同时有的某一邻域，在内除外不含的任何点，则由邻域基本性质（3）知，存在，在中除点外不含的任何点，这与的假设矛盾.下面的定理告诉我们什么时候.定理4[博尔扎诺—魏尔斯特拉斯（Bolzano—Weierstrass）定理]设是一个有界的无限集合，则至少有一个聚点.证明方法与数学分析中在与时的证明相同，在此略去，请读者自行给出. 定理5设，则至少有一界点（即第三章测度论从日常生活经验看，我们已经使用了以下约定俗成的长度公理长度公理：设有实数直线上的一些点集所构成的集合族，若对于每个，都对应一个实数，使得⑴（非负性）；⑵（有限可加性）如果两两不相交，那么；⑶（正则性）.能够量出“长度”的点集是很少的，中“有理数集合”是可数个点之并，就没有长度可言，同样，“无理数集合”的长度是多少也无法确定.显然，我们应该修改长度公理，扩大集合族的范围，使更多的集合具有新意义的长度，我们称之为“测度”.非负性和正则性的要求非常自然，因而不能改，可以改的只有有限可加性，先设想把它改为“无限可加性”可以成立，那么中全体有理数和全体无理数所成集合的长度分别都是，于是区间的长度也是了，只是矛盾的。数学家勒贝格用可数可加性考察如下的“测度”：勒贝格测度公理：对于实数直线上的一部分集合族，使得每个，都对应一个实数,满足⑴（非负性）；⑵（可列可加性）如果两两不相交，那么；⑶（正则性）. 中有理数集是可数个点的集合，每点的测度是.所以它的勒贝格测度是；而中无理数集是不可数的，所以其勒贝格测度就不会是了（应该是）.取包含的那些开集的测度的下确界，称之为外测度.用内填闭集的测度的上确界值为的内测度.如果，就称可测. §1外测度开集是有限或可数个互不相交左开右闭区间之并，但左开右闭区间与它去掉边界后的开区间具有相同的“体积”.定义设为中任一点集，对于每一列覆盖的开区间，作出它的体积和（可以等于，不同的区间列一般有不同的），所有这一切的组成一个下方有界的数集，它的下确界（完全由确定）称为的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为，即注：不能像数学分析那样用覆盖的有限个区间体积和的下确界定义的外测度.定理⑴（非负性），当为空集时，；⑵（单调性）设，则；⑶（次可数可加性）.证明：⑴非负性很显然，需要注意的是当为空集时，反之不成立.例：康托尔三分集，,但不为空集.⑵设，则任一列覆盖的开区间一定也是覆盖的，因而对所有能覆盖的开区间列取下确界即得.⑶任给，由外侧度定义，对每个都应有一列开区间使 ，且(1)由下确界的定义可知，上式成立），从而且（1）式两边求和：可见由于的任意性，即得.例1设为中的全体有理数，则.证明：事实上，为可数集，设。对任给，令为所有可以覆盖的开集族的一列子集，则，且，所以.例2对于区间有. 证明：（1）设为闭区间.对于任给，存在开区间，使得且由外测度的单调性，有，从而，由的任意性，有.下证对任给，存在一列开区间使且由有限覆盖定理，在中存在有限多个区间，不妨设为使得因为，于此为区间，有初等几何易知故由的任意性，即得于是.（2）设为任意区间，作闭区间及使且（可取为的闭包），则由的任意性，即得. §2可测集在§1中，我们在假定满足勒贝格测度公里的集合函数存在的前提下找到了的一个上界，即的外测度.外侧度的一个优点是任何集合都有外侧度，但是外侧度只具有次可数可加性，不具有可数可加性.事实上，在中的确存在互不相交的一列集合（例如用本章§4中介绍的不可测集来构造），使得.这意味着，如果把外侧度当作测度看，使得任何集合都有测度，那是办不到的.这就启发我们能否对外侧度的定义域加以限制，即设法在中找出某一类集合，在上能够满足测度公里呢？这就是本节要研究的问题.这一限制条件便是下面要介绍的定义1.为了理解定义1的合理性，我们先对作一粗略的考察.首先，对某些集合运算应该封闭，例如对中的集合作可数并（当然对有限并也成立，只要添加可数个空集）、作交及作差的运算后仍在中，而且对中一列互补相交的集合，有（1）.其次，由测度公里3，自然应该要求包含中的所有有限开区间.又由于是一列有限开区间的可列并，所以也应该包括.如何从中挑出集合类呢？这只要附加一个判断中集合属于的条件即可.我们试从（1）式的可加性条件来加以思考.设.如果，由于中任何开区间都属于，由的运算封闭性，则都应该属于.但由，，所以由（1）式，应该有 （2）.反之，如果存在某个开区间，使（2）式不成立，则自然不应该属于.由上可见，对于中点集是否属于，我们可以用（2）式是否对中任何开区间成立来判断.事实上，我们还可以进一步得到如下结论.引理设，则（2）式对中任何开区间都成立的充要条件是对中任何点集都有（3）.证明充分性显然成立.下证必要性.设为中任意集合，则由外侧度的定义，对于任何，有一列开区间，使得，且.但由于，，故，.从而.由于的任意性，即得. 另一方面，显然有，故.证毕.由上述引理，我们现在可以给出中集合属于的定义.这个定义是由卡拉泰奥多里给出的.定义设为中的点集，如果对任意点集都有，则称是可测的.这是的外侧度即称为的测度，记为.可测集全体记为.以下便根据定义1来推导测度的性质，包括验证它确实满足我们的要求.定理1集合可测的充要条件是对于任意，总有.证明必要性.取，则，所以.充分性.对于任意，令，则且，因此.定理2可测的充要条件是可测.证明事实上，对于任意的，有由可测集合的定义知可测.定理3设都可测，则也可测，并且当 时，对于任意集合总有.特例，取，则有.（4）证明首先证明的可测性，根据可测集的定义即要证明对任何有.事实上，因为可测，故对任何有，（5）.又因为可测，故（5）式右边第二项可以写成代入（5）式得（6）.由德摩根公式，（6）式右边第三项可以写为，又因为可测，且，故由定理1，（6）式右边第一、二项可以合并为.所以最后得（4）式：.其次，当时，因可测，且，故由定理1有.推论1设都可测，则也可测，并且当时，对于任意集合总有. 定理4设都可测，则也可测.证明因有，故由定理2与定理3即得结论成立.推论2设都可测，则也可测.定理5设都可测，则也可测.证明因为，故由定理2及定理4即得.定理6设是一列互不相交可测集，则也是可测集，且（7）证明首先证明的可测性.因由推论1，对任何可测，故对任意总有（外侧度的性质（2）单调性）（推论1）.令得.（8）由外测度的性质（3），故有.另一方面，由于 ，又有.因此这就证明了的可测性.在（8）式中，令，这时由于，便得.另一方面，由外测度的性质（3）有.故，即（7）式成立.推论3设是一列可测集合，则也是可测集合.证明因可表示为被加项互不相交的和：，故应用定理3,5,6即得.由定理3,4，5,6及推论1,2,3便知，可测集对于作可数和及作交，作差的运算是封闭的，由定理6的公式（7）更告诉我们测度是具有可数可加性的测度.定理7设是一列可测集合，则也是可测集合.证明因有，应用定理2与推论3即得. 定理8设是一列递增的可测集合：.令则.证明因有，其中各被加项都可测且互不相交，故应用定理6公式（7），即得（令）.定理9设是一列递降的可测集合：.令则当时，.证明由于可测，由定理7可知可测.又因为递降，从而递增.故由定理8有.（这是因为）因及.所以由定理3的特例得：，从而有.由于（这是因为，所以移项得到）.故.注意，定理9中的条件是重要的，下面是一反例. 设.显然，，所以.而，故. §3可测集类定义：设是上的一个集合类，如果，且对于可数并及做差运算(由德摩根公式，对可数交及余集运算)是封闭的，则称为上的一个代数.例：中可测集合体所成的集合类是一个代数.是上的一族代数，交集则仍是上的一个代数.定义：设是中某些集合组成的集族，称上所有包含的代数的交集为生成的代数.例：中所有点集组成的集合类是一个代数.定义：由中所有开集生成的代数记为，并称中的集合为博雷尔集.注：开集、闭集都是博雷尔集.所有开集组成集合记作定义：设集合可表示为一列开集的交集，即，则称为型集.设集合可表示为一列闭集的并集，即，则称为型集.注：型集不一定是开集，型集不一定是闭集.和是博雷尔集.定理：凡外测度为零之集皆可测，称为零测度集.零测度集的任何子集仍为零测度集.有限个或可数个零测度集的和集仍为零测度集.证明：对任意点集，下证：因为： 由外侧度的可数可加性所以：又因为：,所以：所以：所以：所以：从而可测。定理：区间（不论开、闭或半开半闭区间）都是可测集合，且.定理：凡开集、闭集都是可测集.定理：凡博雷尔集都是可测集.定理：设是任一可测集，则一定存在型集，使，且.证明：先证对，存在开集,使，且若：,对，有一列开集，使得，且,则，则为开集，且.，即因为，从而因为,所以所以所以 若：，则为无界集则它可以表示为可数个互不相交的有界可测集即：（为有界可测集），存在一列开集，使得令，则为开集，且依次取由证明中的存在开集，使.令，则为型集，，且故定理：设是任一可测集，则一定存在型集，使，且.证明：因为可测，所以可测，由定理，使得且令记为所以：为型集因为：,所以又 所以结论成立.定理：若是一个可测集，则：是开集，（外正规性）：是紧集，（内正规性）证明：若,则对于任意，，所以式成立若，由定理，对，开集,使得，且因为,有所以.设为有界集，则存在有界闭区间,使得则对，开集,使得令为有界闭集，所以为紧集，因为又因为所以又若为无界集，对，令则为一列单增的可测集,由第二节定理8可知由可知对每个，存在紧集，使得，且， §4不可测集定理对任何集，具有，且当为可测时，也为可测的.定理说明，集经过平移后，它的外测度不变，而可测集经过平移后仍为可测集（当然它的外测度也不变）.这个性质称为勒贝格测度的平移不变性。用类似的方法还可以证明勒贝格测度的反射不变性，就是说，如果记是的如下映射，下面我们利用测度的平移不变性作一个不可测集.在直线上构造一个集，要求对于，可取这样的一列数，使得经平移后得到的集有下面的性质：包含一个区间（例如）；是一列互不相交的集，而且是有界集（例如）.在上不可能存在满足所有一下条件的测度：任何子集都可测；的测度是，即测度具有正则性；具有可数可加性；测度对运动不变，即和全等，则和有相同的测度.然而如果退一步，只要有限可加，那么在和存在着巴拿赫测度，使得任何子集都可测.在和上，存在着正则的（即的测度是）、有限可加的、对运动不变的测度，使得任何子集均可测.但这样的测度没有多大用处. 第三章习题解答1.证明：若有界，则.证明：有界，则都有一列开区间可以覆盖.且有由下确界的定义，有.2.证明：可数点集的外侧度为零.证明：设为可数点集，令对每一个存在一个开区间（取其边长为的开区间，包含），使得，且.，而..3.设是直线上一有界集合，，则对于任意小于的正数，恒有的子集，使.证明：设，则.令.是上的连续函数：当时， .于是当时，，即是右连续的.用类似的方法可证明时，所以是上的连续函数.因此对任意正数，，存在使.即.令.则.4.设…,是一些互不相交的可测集合，，,求证…….证明：…可测，且互不相交.有令有,.5.若，则可测.证明：对点集，下证.由外侧度的可数可加性有：.又. 可测.5.证明康托尔三分集的测度为零.证明：设，,…，为第次去掉的开区间.令.则.令，则.则，.则..7.设且.若是可测集，证明.证明：是可测集，由卡拉泰奥多里条件..另一方面，又有，由，所以，于是代入前式得.8.证明：若可测，则对于任意，恒有开集及闭集，使，而，. 证明：当时，对任意，存在一列开区间，使，且.令，则为开集，，且，因此，从而.当时，总可表为可数个互不相交的有界可测集的和；，对每个应用上面结果，可找到开集，使且，令，为开集，，且.因此.又当可测时，也可测，所以对任意有开集，，且.因，令，则是闭集，且.9.设，存在两列可测集，使得且，则可测.证明：对任意，，所以.又，所以对任意i，. 令，由，得.所以是可测的.所以是可测的.12.设是中可测集，若，证明，对任意可测集,.证明：令则可测，.则由于都可测，则都可测..且则， 第四章可测函数在本书的引言中，我们提到过，一种新的积分是曲边梯形的面积“横”着数，即把函数的值域分割成小段近似在中，.然后求和，在取极限.我们要研究的数必须使得集合都是可测集.我们称这类函数为可测函数.如果是上的连续函数，那么由上一章知都是可测集.所以连续函数当然是可测函数.§1可测函数及其性质声明：上的实函数可以取，也称为非真正的实数，对应的函数称为广义实函数.通常的实数则称为有限实数，函数值都是有限实数的函数称为有限函数.有界函数仍在通常意义下来理解.注：有界函数必是有限函数，但反之不真.有界函数：均有.规定：是全体有限实数的上确界，是全体有限实数的下确界；（为任何有限实数）.从而对于上（下）方无界的递增（减）数列，总有.对于任何有限实数，， ，，对于任何有限实数，，，，.反之，，，，，，都认为是无意义的.一个定义在上的实函数确定了的一组子集（简记作），定义1设是定义在可测集的实函数.如果对于任何有限实数，都是可测集，则称为定义在上的可测函数.定理1设是定义在可测集上的实函数，下列任一条件都是在上可测的充要条件：⑴对任何有限实数，都可测；⑵对任何有限实数，都可测；⑶对任何有限实数，都可测；⑷对任何有限实数，，都可测（但充分条件要假定是有限函数）.证明与对于是互余的，同样与对于也是互余的，故在前三个条件中，只需要证明⑴的充要性.事实上，易知， 在上可测，对于，可测，则可测，由可测集的性质知，可测.由⑴可知，可测，则可测.可测.⑷(若不是有限函数，）即为有限函数时，推论设在上可测，则总可测，不论是有限实数或.证明只需注意，.例1区间上的连续函数和单调函数都是可测函数.我们还可以看到定义在可测集的任何连续函数都是可测函数.不过需先明确在一般点集（不限于区间或域）上的连续函数是怎样定义的.定义2定义在上的实函数称为在连续，如果有限，而且对于的任一领域，存在的某领域，使得，即只要且时，便有.如果在中每一点都连续，则称在 上连续.（一个函数在其定义域中的每一个孤立点都是连续的.）定理2可测集上的连续函数是可测函数.（反之不然，反例，狄利克莱函数）证明：设，则由连续性假设，存在的某领域，使.因此，令，则.反之，显然有，因此从而.但是开集（因为它是一族开集之并），而为可测集，故其交仍为可测集.定理3⑴设是可测集上的可测函数，而为E的可测子集，则看作定义在上的函数时，它是上的可测函数；⑵设定义在有限个可测集的并集上，且在每个上都可测，则在上也可测.证明⑴对于任何有限数，.由假设等式右边是可测集.⑵是可测集而且对于有限数，有.由假设等式右边也是可测集.定义3设的定义域可分为有限个互不相交的可测集，,使在每个上都等于某常数，则称为简单函数. 例如，在区间上的狄利克莱函数便是简单函数.定义在可测集上的常值函数显然是可测的，由定理3便知任何简单函数都是可测的.因此狄利克雷函数是可测的非连续函数.引理设与为上的可测函数，则与都是可测集.证明因，故只需证明可测.设，亦即，则必存在有理数，使，亦即，反之亦然.因此，设有理数全体为则，但由定理1，等式右边显然是可测集.定理4设，在上可测，则下列函数（假定它们在上有意义）皆在上可测；⑴；⑵；⑶；⑷证明：我们先对⑴和⑷中当（有限常数）时的特殊情形进行证明.关于只需注意.由定义1知，可测.关于，则当时，显然是可测的；当时只需注意⑴，右边括弧中的是可测函数（它是上述⑴，⑷特殊情形的结合），故由引理知右边是可测集.⑵ ⑶⑷定理5设是上一列（或有限个）可测函数，则与都在上可测.证明由于，而得证.定理6设是上一列可测函数，则，也在上可测，特别当存在时，它也在上可测.证明由于，，重复利用定理5即得证.设是定义在上的实函数，令则和都是上非负函数，分别称为的正部和负部.由定义，我们有，.注：1.. 2.若是上两个非负实函数，易知它们分别是，某个实函数的正部及负部的充要条件是.3.若是上可测函数，则也是上的可测函数.4.简单函数都是可测函数，因此由定理6可知一列简单函数的极限函数也是上的可测函数.反之有如下结论.定理7（可测函数与简单函数的关系）（1）若在上非负可测，则存在可测简单函数列，使得对任意,，且；（2）若在上可测，则存在可测简单函数列，使得对任意，，若还在上有界，则上述收敛是一致的.证明（1）若在上非负可测.对任意自然数，将划分为等份，令；作函数列则是简单函数，且.设，若，则当时，；若，则，于是对任意的，.（2）若是一般的可测函数，则，其中和 分别是的正部和负部.有（1），存在可测简单函数列和，使得对任意，，.令，则是可测简单函数列，且对任意，.若在有界，设，则由（1）的证明可知，任意对，，，因此，，从而在上一致收敛于.定义4设是一个与几何的点有关的命题，如果存在的子集，满足，使得在上恒成立，也就是说，是零测度集，则我们称在上几乎处处成立，或说a.e.于.例2a.e.于；上的狄利克雷函数a.e.于.注意：根据零测度性质，由a.e.于且a.e.于，显然可得a.e.于，a.e.于.例3设a.e.于，且a.e.于，则a.e.于. §2叶果洛夫定理在数学分析中知道，一致收敛是函数列很重要的性质，它能保证极限过程和一些运算的可交换性.但一般而论，一个收敛的函数列在其收敛域上是不一定一致收敛的.例如在上不一致收敛.但是只要从的右端点去掉任意小的一段成为，则在其上就一致收敛了.其实这一现象在某种意义下是带有普遍性的.这就是下面要讲得叶果洛夫定理.定理（叶果洛夫定理）设，是上一列a.e.收敛于一个a.e.有限的函数的可测函数，则对任意，存在子集，使在上一致收敛，且.证明由条件，，且a.e.收敛于.则有.因此得，其中这是因为.用替代，不妨设，都是有限函数，且在上几乎处处成立.由第一章§5（**）式，在上不收敛于的点集.由假定，因此对任意固定的，由于， 而，因此由第三章§2定理9，.于是对任意和任意正整数存在，使.令.下证满足定理要求得结论.由于,因此.为证在上一致收敛于，任取，存在，使，令.由于,因此，对任意，且对任意,成立，这就说明了在上一致收敛于.这个定理告诉我们，凡是满足定理假设的a.e.收敛的可测函数列，即使不一致收敛，也是“基本上”（指去掉一个测度可任意小的某点集外）一致收敛的.因此在许多场合它提供了处理极限问题的有力工具.要注意当时，定理不成立.而逆定理当和时都成立. §3可测函数的构造在§1我们看到可测集上的连续函数一定是可测函数.反之，一般的可测函数可以说是“基本上连续”的函数.这就是下列定理.定理1（鲁津）设是上a.e.有限的可测函数，则对任意，存在闭子集,使在上是连续函数，且.简言之，在上a.e.有限的可测函数是“基本上连续”的函数.证明：从特殊到一般分三种情况来讨论.简单函数情形设，各可测互不相交，且当，对于，由于是可测集，从而可知存在闭子集，且.令,则为闭集且.下证所以限制在上是连续函数.有界可测情形若有界，则由第一节定理，存在可测简单函数列，使得在上一致收敛于.对任意，由，存在闭集,，使得在上连续.令，则为闭集且. 由于在上连续，且一致收敛于，因此在上连续.一般的可测函数情形由于，不妨设是上有限函数.设，则在上有界可测，由，存在闭集，使得在上连续.因为，所以在上连续注：.先考虑简单函数，然后再往一般的可测函数过渡，在许多场合下是行之有效的方法..连续函数一定是可测函数，可测函数基本上都是连续函数..鲁津定理的逆定理成立.定理：设是上有限的可测函数，则对任意，存在闭集及整个上的连续函数（及依赖于），使得在上，且.此外还可要求及.证明：由定理，存在闭集，使在上连续且.下面将闭集上的连续函数延拓成整个上的连续函数.由于是闭集，故是开集，从而是至多可数个互不相交的开区间的并集（这些区间中可能包括一到两个无限长的区间），由于各的端点属于，可将按下面方式在各中保持线性而且连续的延拓为： 则为所求函数，事实上由的做法知，当时有，并且有并且有及.下证是上的连续函数.显然中的点都是连续点.下证中的点也是的连续点.任取，对任何，因为在上连续，必有，使得当时，有.如果，则是的某个构成区间的右端点.由于在中是线性函数，所以在点左连续.如果，设，那么当时，有，.因此而当时，那么有的构成区间，使得.由于都属于，由式，有.因为的值介于与之间，因此对，式也成立，这就证明了在点左连续.类似可证在点右连续，因此在点连续. §4依测度收敛定义：设是上的一列有限的可测函数，若有上有限的可测函数满足下列关系：对任意有，则称函数列依测度收敛于，或度量收敛于，记为：用说法：对任意及，存在正数，使时，注：依测度收敛推不出几乎处处收敛几乎处处收敛的函数列也可以不是依测度收敛的例：依测度收敛而处处不收敛的函数列.取，将等分，定义两个函数：然后将四等分、八等分，等等.一般地，对每个，作个函数：把先按后按的顺序逐个排成一列：在这个序列中是第个函数.可以证明这个序列是依测度收敛于零的. 因为对任何，或是空集（当），或是（当），所以（当时，左端为0）.由于当趋于时，.由此：，即但是函数列在上的任何一点都不收敛.事实上，对任何点，无论多么大，总存在，使，因而，换言之，对任何，在中必有两个子列，一个恒为1，另一个衡为零，所以序列（1）在上任何点都是发散的.反过来，一个a.e.收敛的函数列也可以不是依侧度收敛的.例2取，做函数列：1,2,….显然当.但是当,.这说明不依测度收敛于1.尽管两种收敛区别很大，一种收敛不能包含另一种收敛，但是下列定理反映出它们还是有密切联系。定理1（里斯F.Riesz）设在上依测度收敛于，则存在子列在上a.e.收敛于.证明对任何正整数,取，.由于，所以存在正整数，使,=1,2，…，其中.不妨设….取 .由于，所以.显然在上，（其实也是一致收敛的）.作，则在上，.现在只要证明即可.由于下列关系以及.再由上限集定义，则对任何自然数有.因此.从而得到.定理2（勒贝格Lebesgue）设（1）；（2）是上a.e.有限的可测函数列；（3）在上a.e.收敛于a.e.有限的函数，则. 证明由叶果洛夫的证明，对任意.对任意，存在,,则，于是，即在上依测度收敛于.上面定理说明a.e.收敛的函数列是在何时成为依测度收敛的.要注意，这个条件是不能去掉的（见例2）.再结合例1，在条件下，依测度收敛弱于a.e.收敛.定理3设，，则在上几乎处处成立.证明由于，故对任何自然数,,从而.令，即得.但是，故，即a.e.于. 例3设，是上a.e.有限的可测函数.证明：存在定义在上的一列连续函数，使得a.e.于.证明由于涉及可测函数与连续函数之间关系，我们首先会想到应用鲁津定理.因为在上可测，由鲁津定理，对任何正整数，存在的可测子集，使得，同时存在定义在上的连续函数，使得当时有.所以对任何的，有，由此可得.因此，即，由里斯定理存在的子列，使得，a.e.于. 第四章习题解答1.证明：在上为可测函数的充要条件是对任一有理数，集可测，如果集可测，问是否可测？证明：若对任有理数，可测，则对任意实数，记是大于的一切有理数，则有，由可测得是可测的，所以是上的可测函数.若对任有理数，可测，则不一定是可测得.例如，，是中不可测集.对任意，则对任意有理数，是可测的.而是不可测的.因此不是可测的.2.设为上可测函数列，证明它的收敛点集和发散点集都是可测的.证明：由§1定理6，和都是上可测函数.显然是收敛到的点所组成的集，是不收敛的点所组成的集.因此在上收敛的点所组成的集为.因而是可测集.而发散点集为也是可测集.3.设是[0,1]中的不可测集，令问在[0,1]上是否可测？||是否可测？解：不可测.若，则不可测.若，则不可测.所以总不可测. 当时，是连续函数，所以在上是可测的.4.设是的a.e.有限的可测函数列，而a.e.收敛于有限函数，则对任意的存在常数c与可测集，,使在上对一切有.这里证明：由题意，都是零测集，令，则.在上都有限，且收敛于.令，则任意，.因此，.所以.因此存在使.令.在上，对任意，，而.5.设，若是a.e.有限的可测函数，证明对任意的，存在和M>0，使得，且对任意证明：由题意，根据鲁津定理，对，在闭集上连续，在上有界.对.6.设是上的连续函数，上的可测函数，则是可测函数.证明：记由于在上连续，故对任意实数， 是直线上的开集.设，其中是其构成区间（可能是有限个，可能为，可能为）.因此，因为在上可测，因此都可测，故可测.4.设函数列在有界集上“基本上”一致收敛于，证明a.e.收敛于.证明：因为上“基本上”一致收敛于，所以对任意，存在可测集，使上一致收敛于.设是中不收敛的点的全体，则对任意（因为上收敛），所以令，得.所以在上收敛于（不必有有界条件）.8.试证鲁津定理的逆定理成立.鲁津定理的逆定理应为：是上的函数，对任意，存在闭子集使在上是连续函数，且，则是上有限可测函数.证明：对任意，存在闭子集，使在上连续.且.令，则对于任意，有.令，得.对任意实数，，由上连续，可知可测，而，所以也可测，从而是可测的.因此 是可测的.因为在上有限，故在上有限，所以有限.9.设函数列在上依测度收敛于，且a.e.于E，n=1,2，….试证在E上几乎处处成立.证明：因为,则存在不收敛到的点集..则在上，收敛到，所以在上成立.即在上几乎处处成立.10.设在上几乎处处成立，n=1,2，…，则几乎处处有证明：因为，则存在，使在上收敛到设是不收敛到的点集，，则在上，收敛到，且收敛到.（单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）.即除去一个零集外，收敛于，就是.11.设在上，而a.e.成立，n=1,2，…，则有证明：设.对任意，. 所以，.因为，所以即11.设，证明：在上的充要条件是，对于的任何子函数列，存在的子函数列，使得a.e.于E.证明：必要性：由里斯定理即可得.充分性（反证法）：若在上不依测度收敛于.则存在，使得数列不收敛于零，故存在正数，以及子函数列，使得.但在子函数列在上，因，则由勒贝格定理，在上，这与（1）式矛盾.13．设，a.e.有限的可测函数列和（n=1,2，…）分别依测度收敛于，证明：（1）（2）（3）（提示：可用题证明）证明：由于有限，所以.又和，，所以. 同理.对任意，存在同时成立.令，由于，存在时，同时成立.此时..又.所以.而..又，所以.即对任意，存在时，，所以.所以， 即.先证若，则：事实上，.所以，即.再证若，对任意：事实上，因，所以..由，因而再由，所以.即.同样由，得. 第五章积分论§1黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介黎曼将柯西只对连续函数定义的积分概念扩张成现在我们所知的黎曼积分（即积分），从而扩大了积分的应用范围.但是即使在有界函数范围内，积分还是存在着很大的缺陷，主要表现在以下两个方面.（1）积分与极限可交换的条件太严.我们知道一列可积函数的极限函数（即使有界）不一定可积.因此在积分与极限交换问题上，积分的局限性就特别突出，大家知道：为了使，对一列收敛的可积函数能成立，通常需要对加上一致收敛条件.可是这一充分条件不但非常苛刻而且检验起来也非常不便，因而大大降低了积分的效果.第四章积分运算不完全是微分运算的逆运算.我们知道任一可积函数的变动上限积分的所有连续点都有，换言之，就是积分后再微分可以还原（的不连续点构成零集，可忽略不计）.但是另一方面有例子说明，一个可微函数的导函数即使有界也不一定可积[沃尔泰拉（）的例],因此也就无法成立牛顿--莱布尼茨公式，所以在积分范围内，积分运算只是部分地成为微分运算之逆.鉴于积分的上述缺陷，人们长期以来就致力于对此进行改进.1902年法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功地引入了一种新积分，后人称之为勒贝格积分，简称积分.由于它在很大程度上摆脱了上述积分的困境，而且大大地扩充了可积函数的范围，所以今天已成为分析数学中不可缺少的工具. 那么，建立勒贝格积分的基本思想和步骤是怎样的呢？大家知道，建立函数在上的黎曼积分的基本思路是：分割成小区间，作积分和，取极限.对有界可测函数而言，勒贝格积分的基本思路也是如此。正如本书第一篇引言中所说，不同的是：“竖”着分割区间改为“横”着分割值域.于是与黎曼积分和相应的是勒贝格积分和然后，当两种分割都越来越细的时候，两种积分和分别趋于黎曼积分和勒贝格积分.在许多实变函数教科书，都曾这样处理过.但是，正如大家在前几章看到的，可测函数不必有界，甚至可以取无穷大值，积分区域也可以有无穷大的测度，如果从有界情形开始处理，一步步推广，过程将很繁琐.这时，通过重新审视黎曼积分和曲边梯形面积的关系，另一个建立勒贝格积分的思路浮现出来了.首先，注意到曲边梯形的面积，当时，它为或正；当时，它为或负.因此，一般函数所围曲边梯形的面积有正有负，最终的积分值是它们的代数和.这样一来，一旦可测函数不是有界函数（没有上界和下界，甚至可以取无穷大值），最后的积分值就可能会出现的不定情形.为了避免这种情形的出现，在定义勒贝格积分时，第一步仅限于非负函数，是一个合理的选择.其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积（即黎曼积分），实际上是一列“阶梯函数”所围成的小矩形面积之和的极限.阶梯函数是分割区间为小区间之后所形成的.对于勒贝格积分，将以“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”.这就是说，我们将积分区域（或一般的多维空间中的可测集）分为有限个两两不相交的可测子集，在上取值，构成一个函数： .于是，这种非负简单函数的积分是我们首先要处理的对象.这让我们又一次回忆起第一篇引言中提到的“横着数”的思想.在§2定义非负简单函数的勒贝格积分之后，§3将进一步介绍非负可测函数的积分，§4最后讨论一般的可测函数的勒贝格积分.在这几节中，考察是核心问题是极限运算和勒贝格积分运算之间的交换关系.§5研究勒贝格积分和黎曼积分的关系.指出黎曼可积的充要条件是其不连续点构成勒贝格零测集.本书研究的积分是在维欧式空间上，这就涉及重积分和累次积分的关系问题，而§6的富比尼定理给出了肯定的答案.'