林福民《数理方法简明教程》课后习题第七章答案.pdf 7页

'第七章一维有限区间中的波动方程习题七7-2长为l的两端固定弦由于受风力作用，在初始时刻弦的形状为抛l,h物线，初速度为零，抛物线的顶点为2处，求风力消除后弦的自由振动。解：先写定解问题，齐次方程，第一类齐次边条件，初始速度为零2l初始位移为抛物线：ux(,0)axbxc带入三个点(0,0),(,0),(,),lh244hh2ux(,0)xx2可得：ll2uau00xlt,0ttxxu(0,)t0,ult(,)04hux(,0)xl(x),ux(,0)02t即：l①分离变量法令uxt(,)()()xTt代入①中的方程及边条件得()x()x00xl(0)0,()l0②2和Tt()aTt()0t0③解本征值问题②2nnln1,2nXxsinnl将n代入③解Tn(t)1 2naTt()Tt()0nnlnnTtn()CncosatDnsinatn1,2得ll迭加特解得通解：nnnuxt(,)XxTtnn()()CnncosatDsinatsinxn1n1lll带入初始条件求通解ux(,0)0D0t，推出nnh4ux(,0)Cnsinx2xl(x)n1ll8hnlCxl(x)sinxdxnll302l8hlnnnsinxxcosx2lnlll0l238hlnnnlnx2sinxxcosx2cosx3lnlllnl08hn118hn16hn1111nnn330n2kk1,232hn2k1k0,1,233(2k1)32h2k12k1uxt(,)33cosatsinxk0(2k1)ll7-5长为的均匀细杆，一端固定，另一端受纵向力作用而伸长，试求解外力撤消后杆的自由振动问题（杆的横面积为S，杆的杨氏模量为Y，材料密度为，忽略阻尼）.（光信息1001唐丽红输入）2 推导：解：由题依据边界条件知：]7-7（光信1002李秋虹输入）解：定解问题可归结为2uau0aY/…………①(∵杆的自由振动)ttxxu0,kuYSu…………②（∵xl处振动时不受力xxlx0xxo第二类边界条件）FxFoou,u…………………③④(初始u的确定由下列表tottot0SYkFx0示,在xl端有FSYuuc,为确定c,根据x0处的受力0xSYF∴0kuF0kcF0c)x0,t000k求解解析:第三类边界条件之前没有讲过,但根据前面所学知识,可采3 用分离变量法试着求解,因一般齐次边界条件+齐次泛定方程可采用分离变量法求解:设uXTt代入①式xXxXx0则可分成…………………④kXYSX0,X0x0X0xl及2TtaTt0先求解④，在讨论0及＞0后发现,只有当＞0时,Xx才有可能存在非零解(过程见课本P82—P83,类似过程)当＞0时,由于边界条件存在第三类边界条件，因此Xx的形式要比以前所讲的复杂。即同时存在cos、sin项，这时Xx的通解可以写成XxAcosx此解展开就可包含cos、sin。利用边界条件x0,xl时的表达式可得kAcosYSAsin0……………………⑤sinl0（∵A不能为0）………………⑥由⑤式可得l（为简单起，∵和l可差n）ksinl再利用⑤式可得YScosl设knnk则可写成ktgklnnYS∴Xxcosklxn1,2,3......nn∴ux,tAncosknatBnsinknatcosknlxn1根据初始条件u0,可知B0tt0n4 ∴ux,tAncosknatcosknlxn1lF0F0Xcosknlxdx0kSY∴Anl2cosklxdxn07-8长为的均匀纵杆，一端自由，另一端受纵向力作用，假设杆开始时刻（t=0）处于静止状态，试求解杆的受迫振动问题（杆的横面积为S，杆的杨氏模量为Y，材料密度为，忽略阻尼）.（光信息1001唐丽红输入）解：由的构造分为以下三种：1>令2>令3>令本题属于第三种，故应令,但这样代入方程会出现，所以我们令,原方程及边（）界为通解为：（这一行不清晰）化简为：边界条件：,,.初始条件：5 =cos依据边界条件得：,把展为傅里叶级数：通解的傅里叶级数形式为：=把上两式代入方程得（（）比较两边得：（）（此处一行不清晰）根据拉普拉斯变换，则（与书上93页相同，区别在一个为（n+1/2）），一个为n（）将代入再代入,得6 （）=7'