3D打印中的结构优化问题 25页

'中国科学技术大学UniversityofScienceandTechnologyofChina本科毕业论文ADissertationSubmittedfortheBachelor’sDegree3D打印中的结构优化问题StructureOptimizationin3Dprinters姓名王杨抟风B.S.CandidateTuanfengY.Wang导师刘利刚SupervisorLiuLigang2014年6月June,2014 中国科学技术大学本科毕业论文2 中国科学技术大学本科毕业论文本科期间完成的论文1.WeimingWang,TuanfengY.Wang,ZhouwangYang,LigangLiu,XinTong,WeihuaTong,JiansongDeng,FalaiChen,XiupingLiu.Cost-effectivePrintingof3DObjectswithSkin-FrameStructures.ACMTransactionsonGraphics(Proc.SIGGRAPHAsia),32(5),2013.2.ChunxuXu,TuanfengY.Wang,Yong-jinLiu,XiangYing,LigangLiu,YingHe.FastWavefrontPropagationforDiscreteGeodesics.SIG-GRAPHAsia2014,submitted3.TuanfengY.Wang,YuanLiu,XuefengLiu,DongmingYan,LigangLiu,ZhowwangYang.StructuralOptimizationBasedonEigen-ModeAnaly-sisfor3DPrinting,SIGGRAHPAsia2014,submitted3 中国科学技术大学本科毕业论文目录摘要5Abstract6第一章绪言81.1研究的意义与相关工作81.2本文的主要内容与组织形式10第二章经济节约型3D打印112.1经济节约型3D打印介绍122.2相关工作142.3问题与模型16第三章算法与实验183.1算法183.2实验结果19第四章总结与展望21参考文献致谢4 中国科学技术大学本科毕业论文摘要3D打印技术的进步改变了传统的加工方式，使得精细的表面处理与复杂的内部结构设计成为可能。本文介绍了与3D打印、快速成型技术相关的结构优化问题与建模求解方法。对于用户给定需要制造的物体的三维网格数据，结构优化方法试图在不改变物体外表面构造的前提下优化内部结构设计，从而使最终制造出的物体复合外观上的要求并满足用户给定的物理性质，比如强度、稳定性等。本文首先讨论一类较为普适的问题，即优化给定的几何体内部设计，节省制造成本，保障在已知载荷下的结构强度。通常，用户在提供需制造的模型时会有该模型在一类内、外载荷下的强度要求。基于这一要求，我们采用蒙皮-桁架结构设计打印实体。在保证特定载荷强度的条件（局部加固）下优化模型体积与加工复杂度从而节约打印耗材与机械成本，实现“经济节约”型3D打印的目标。在另一大类制造问题中，用户无法于设计初期确定被制造物体在实际使用中可能的载荷分布。对此，我们在用户给出的体积约束下优化内部结构设计，使得被制造模型在任何受力分布下都有非常好的应力表现。求解过程中，我们改进了蒙皮-桁架的设计结构，采用了自适应壳-桁架的复合结构，并提出了全新的分析模型和优化方法。从而实现了“全局加固”型3D打印的目标。值得一提的是，通过外围搜索方法，我们也实现了“局部/全局加固”设计与“经济节约”型设计的相互转化。关键字：3D打印，快速制造，结构优化，稀疏优化，鞍点优化，几何处理5 中国科学技术大学本科毕业论文AbstractTheimprovementof3Dprintingtechnicalchangesthetraditionalfabricationmeth-odwhichisabletoprocessfinesurfacedetailsandcomplexdesignofinteriorstructure.Inthispaper,weintroducethestructuraloptimizationproblemandmodelingmethodsrelatedto3Dprinting(FastFabrication).Fortheto-fabricate3Dmeshdataprovidedbyuser,structuraloptimizationmethodstrytooptimizetheinteriorstructurewhilekeepthesurfaceunchangedwhichwillmakethefabricatedobjectsatisfiestheextrinsicfeaturesandphysicalpropertiesgivenbyuser,suchasstrength,stability,etc.3Dprintershavebecomepopularinrecentyearsandenablefabricationofcustomobjectsforhomeusers.However,thecostofthematerialusedinprintingremainshigh.Inthispaper,wefirstpresentanautomaticsolutiontodesignaskin-framestructureforthepurposeofreducingthematerialcostinprintingagiven3Dobject.Theframestruc-tureisdesignedbyanoptimizationschemewhichsignificantlyreducesmaterialvolumeandisguaranteedtobephysicallystable,geometricallyapproximate,andprintable.Fur-thermore,thenumberofstrutsisminimizedbysolvinganlsparsityoptimization.We0formulateitasamulti-objectiveprogrammingproblemandaniterativeextensionofthepreemptivealgorithmisdevelopedtofindacompromisesolution.Wedemonstratetheapplicabilityandpracticabilityofoursolutionbyprintingvariousobjectsusingbothpowder-typeandextrusion-type3Dprinters.Ourmethodisshowntobemorecost-effectivethanpreviousworks.Inthispaper,weaddresstheproblemofdesigningaglobalstiffnessstructureforanobjectwithacertainamountofthegivenmaterialfor3Dprinting.Weproposeanovelsolutionforthestructuraloptimizationproblemthatcomputesanoptimalstructureforallkindsofforcedistribution.Specifically,weusetheeigen-modeanalysisthatmaximizestheminimalpositiveeigenvalueofthestiffnessmatrixbyvaryingthedesignvariablesoftheframestructure.Furthermore,wepresentaRayleigh-quotientbasedalgorithmforac-celeratingthestructuraloptimization.Ourapproachprovidesasolutionforformulatingtheadaptivehollowingandtheinteriorsupportivestructureinaunifiedformandopti-mizingthemsimultaneously.Thevalidity,therationalityandtheapplicabilityofourso-lutionareverifiedbythefiniteelementmethodanalysisandbythemechanicaltestofprintedobjects.Ourapproachobtainstheglobalstiffnessstructuresandisshowntobemorepracticalthanthestate-of-the-artapproaches.6 中国科学技术大学本科毕业论文Keywords:3Dprinting,Fastfabrication,Structuraloptimization,Sparseoptimiza-tion,Saddle-pointoptimization,Geometryprocessing7 中国科学技术大学本科毕业论文第一章绪论§1研究的意义与相关工作近年来，3D打印技术取得了相当大的发展与普及。这一快速简便地技术使得制造普通用户定制的物品成为可能。一般而言，用户首先在计算机上设计需要制造的模型的三维网格数据。三维网格数据是对几何体表面的数学表达。然后通过相关软件把三维网格数据制作成可供3D打印机识别并操作的代码，这一过程叫“切片”。3D打印机获得相关数据后开始一层一层的制造实体，最终获得与设计模型相同的结果。目前3D打印机的制造技术可以总结为熔融堆积、激光烧结、光固化等，可以使用的材料有塑料、树脂、尼龙、陶瓷、金属等等。然而，3D打印技术的成本仍然相当昂贵。一方面，打印原材料需要特殊的预处理和加工技术，所以原材料的价格一直居高不下。另一方面，打印机造价虽在近几年有大幅下降，但成本仍然较高。繁重的制造任务产生的机械损耗无法胡列。再者就是时间成本，目前3D打印机的制造速度相当有限，一个10cm高的小模型需要4-5个小时才能完成。因此，节约3D打印技术的生产成本对于3D打印技术的进步变得非常重要。图1-1：（左）用户在计算机上生成的三维模型数据；（右）MakerBot打印机实际打印出来的模型8 中国科学技术大学本科毕业论文可以想见，如果打印完全实心的模型肯定是最浪费材料和时间的选择。然而，如果只制造很薄的一层表皮不光在3D打印过程中有较大难度且制造出来的模型极易破碎、损坏，无法满足日常使用需求。因此，保证结构强度是追求经济节约型3D打印的基本要求。同样，在给定的成本计划下，如何设计出结构最强的模型也值得我们讨论研究。与本研究相关的工作可以归结为两类，即：3D打印问题中的结构设计与优化与传统制造相关的结构优化问题。近年来，国际领先的研究团队先后关注到了3D打印、快速制造领域，将在图形学领域广泛应用的技术使用到3D模型设计与优化的问题中。普渡大学的计算机图形学研究团队于2012年提出了改善3D打印物体强度的外形设计解决方案[1]。他们提出了一种检测易脆弱区域的几何方法，并启发式的加强可能存在的脆弱区域。通过这一优化过程，许多由于结构脆弱不可被制造或者已损坏的3D打印模型设计被改进并取得了良好效果。随后，苏黎世理工的计算机图形学研究团队与2013年提出了优化模型内部设计，改变重力分布从而使得不稳定的物体稳定站立的建模方法[2]。在改变内部设计的同时，该工作还使用了拉普拉斯网格编辑技术[3]使得原本很难实现平衡稳定的模型设计在实施细小局部更改后获得较好的重力分布，从而实现整体平衡。另一方面，纽约大学克朗所的计算机图形学研究团队也于2013年提出了检测3D打印模型易损区域的计算方法[4]。该工作提出的方法通过计算模型四面体剖分后运动方程的特征分布，估计出可能出现应力较大的区域。本方法被用在实际制造前的检测阶段，便于用户发现可能出现的制造和使用问题，从而及时做出修改。图1-2：输入的3D模型与特征分析、受力分析的结果[4]在传统的制造背景下，结构优化问题也被深入的讨论了。[5]给出了与有限元相关方法的一个综述。有限元相关的方法虽然历经了几十年的发展，但局限性较大。对于如今的大数据处理存在空间和时间的双重大开销，基本无法用于本文提出的问题。另一方面等几何分析发展而来的结构优化方法也在近几年得到了学术界的重视。[6]作为最前沿的研究成果，详细的介绍了等几何算法作9 中国科学技术大学本科毕业论文用在隐式几何表达上的方法和模型。由于此类方法作用对象只能局限在隐式几何表达上，与现在通常使用的三维几何表达兼容性不佳。故此类方法在本文中不做赘述。此外，本文作者参与了[7]与[8]两篇文章相关的工作，本文亦基于这两篇文章整理而成。中国科大计算几何与计算机图形学实验室于2013年发表的工作中[7]，详细讨论了一类较为普适的问题，即优化给定的几何体内部设计，节省制造成本，保障在已知载荷下的结构强度。通常，用户在提供需制造的模型时会有该模型在一类内、外载荷下的强度要求。基于这一要求，我们采用蒙皮-桁架结构设计打印实体。在保证特定载荷强度的条件（局部加固）下优化模型体积与加工复杂度从而节约打印耗材与机械成本，实现“经济节约”型3D打印的目标。[8]扩展了这一课题，将局部的解决方案扩展至整体。对于用户无法于设计初期确定被制造物体在实际使用中可能的载荷分布，我们在用户给出的体积约束下优化内部结构设计，使得被制造模型在任何受力分布下都有非常好的应力表现。求解过程中，我们改进了蒙皮-桁架的设计结构，采用了自适应壳-桁架的复合结构，并提出了全新的分析模型和优化方法。从而实现了“全局加固”型3D打印的目标。值得一提的是，通过外围搜索方法，我们也实现了“局部/全局加固”设计与“经济节约”型设计的相互转化。§2本文的主要内容与组织形式全文共分为四章。本章作为绪论，介绍了3D打印相关技术的发展情况和工作原理，并讨论解释了其中存在的问题和可能的解决方案。即通过经济节约型的局部优化和全局优化实现降低制造成本的目标。此外，本章第一节后半段也细致的介绍了与本文相关的工作。对相关领域、课题及研究成果进行了介绍。接下来第二章的内容基于作者2012年6月至2013年6月的部分工作，将主要介绍“经济节约”型3D打印的建模原理、优化方法以及技术细节。包括几何优化、位置优化、拓扑优化、几何预处理等方面。同时还将介绍在不同制造原理下算法细节的改进方案。10 中国科学技术大学本科毕业论文第三章将会基于作者2014年初至今的部分工作，细致实现全局结构优化的原理、模型以及优化方法。其中包括重心坐标Voronoi体剖分的应用、鞍点问题的优化以及MarchingCube方法在生成三维模型中的技术细节。第四章是对本文以及作者这两年来与3D打印中结构优化问题相关工作的总结和展望。11 中国科学技术大学本科毕业论文第二章经济节约型3D打印图2-1：用户输入一个“马踏飞燕”模型(a)，我们的方法生成一个表面近似于给定模型的蒙皮-桁架结构(b)，并通过它来极小化打印的材料消耗。这个桁架结构的优化设计框架同时要满足多个约束。在(b)中，我们去掉了前面一部分蒙皮为了展示内部的桁架结构。(c)图是一张实际打印并去掉部分蒙皮的照片，可以看到内部结构。(d)图是一张实际打印的模型的照片，模型由我们的算法自动生成。(c)和(d)中分别放了一个小的红色图钉来对比我们所打印模型的实际尺寸。实际打印(d)所消耗的材料仅仅占实体打印的15%。12 中国科学技术大学本科毕业论文§1经济节约型3D打印介绍加法式制造（3D打印）可以通过一层层堆积下原材料来从数字模型制造实际物体[9][10]。在过去的几年里，有关3D打印相关计算技术的研究得到了广泛的关注，并且应用到帮助用户生成需要制造的模型[1][2][11][12]。然而，由于原材料价格昂贵，减少打印过程中的使用材料是一个极为重要的问题但没有得到很好的解决。一个被用于商业打印机的简单直接方法[10]采取了均匀挖空3D打印模型的方法，即提取外表面然后向模型内部生成一定厚度的表壳。这样一来，用户需要基于经验选择一个加厚的尺度。大的加厚尺度会导致材料的大量消耗而小的加厚尺度会导致结构的稳定性存在问题。因此，通过挖空3D模型内部来实现同时满足节省材料的目标和保证物理稳定性在3D打印方面是极为不平凡的。图2-2：常见的桁架结构被应用与建筑中在本文中，我们展示了一种全自动的方法来极小化3D制造一个物体的原料消耗。核心的想法是通过在物体内部生成一个轻质的桁架结构（如图2-2）来“挖空”需要被制造的3D模型。这样子的桁架结构是有节点的网格和细长的圆柱体杆组成，内部存在较大的空洞（如图2-1-b）。桁架结构在3D打印过程中有两方面的好处。第一，通过使用桁架结构，物体的质量可以被极大的减小且同时保证强度和刚度性质[13]。第二，桁架结构提供了足够的灵活性和可变性，使得满足3D打印问题中的各种约束条件成为可能。我们提出了一套优化框架来极小化桁架结构的体积，同时满足各种约束条件比如刚度、稳定性、表面几何特征相似性、自平衡性和可打印性。为了去除冗余的杆，即那些基本在桁架结构中不发挥作用的杆，桁架结构也被希望用尽可能少的边产生简单的拓扑连接关系。拓扑连接设计最基本的思路是找到一个更优的桁架杆的集合，然而这在结构优化问题中被证明是NP难的。启发式的13 中国科学技术大学本科毕业论文解决方法，如遗传算法[15]，已经被用于结构优化问题中的应力子问题和包克玲约束中。然而，这种机器平凡的解法受限于计算规模和时间开销，只能作用在小规模问题上，不实用与3D打印的实际需求。与以前的方法不同的是，我们把简化杆的个数、去掉冗余的桁架结构转变成了一个关于杆的半径的零模稀疏优化的问题，并通过重分布的一模优化来近似求解。由于我们不可能同时得到桁架体积最小化和桁架复杂度最小化的全局最优解。因此，我们把问题建模成一个满足各个约束的多目标优化流程。并通过一个迭代方法来找到最合理的解。算法开始与极小化桁架结构的体积，然后在保证体积不增长的条件下优化结构的冗余度。以上两步优化相互迭代直到体积数不在减小为止。由我们的算法产生的框架结构保证了物理上的稳定性，几何近似性，并满足可打印条件（参见图2-1（d）），这是符合“经济节约”型3D打印的设计流程。我们应用我们的算法在各种不同模型上并在粉末式激光烧结打印机和熔融沉积式打印机上成功打印。结果表明，我们的算法降低了材料消耗约70%（我们的结果实际节约从66.3%到92.1%不等），并且获得了比以前工作更好的材料节省率。我们的工作可以总结出一下几点贡献。第一，我们提出了全新的方法用于自动化的生成蒙皮-桁架结构，并用它来极小化3D打印中的材料损耗同时保证了结构的稳定性、几何近似性、自平衡能力和可打印性。第二，我们采用了零模稀疏优化来去除整个桁架结构中不发挥作用的冗余杆，取得了非常好的效果。第三，我们把经济节约型3D打印问题转化为极小化桁架体积和桁架结构冗余度的问题并通过多目标优化流产和迭代求解方法来得到合理的解决方案。§2相关工作2.13D制造相关的几何处理随着3D打印机因其自身技术的快速进步和价格的下降而越来越被普通用户接受和喜爱，制造技术和应用得到了越来越多的关注。近年来，有关3D制造的几个话题在计算机图形学领域被深入研究，其中包括结构分析[1][4]，几何形状分割[11]，建筑模型设计[15][16]和平衡模型设计[2]。基于有限元应力分析的方法[1]可以通过14 中国科学技术大学本科毕业论文挖空、局部加厚和添加外部支撑来加强打印模型。与我们目标不同的事，这一方法并不总是减少模型的体积和打印的耗材。图2-ad-1：优化用户输入模型的重心获得更好的稳定性[2]2.2复合结构合成挖空一个物体是减少其打印耗材的最直接的方式，并且已经被应用到了商业打印解决方案中[10]。这种挖空的方法简单的把模型去掉内部材料或者在内部添加一些预先设计好的轻质结构来增强其强度表现。内置的复合轻质结构的尺寸和密度以及模型表皮的加厚程度都是有用户启发式选择的。这与最有的省材料方案相去甚远。使用轻质结构增强物体的强度和刚度在快速制造领域已被研究过[17][18]，这些工作往往使用模拟退火算法或者遗传算法来搜索可能的设计方案。复合结构设计也可以通过内部结构映射或合成到3D模型空腔中实现[19][20]。然而，这样合成的结构可能并不能够适应较大的应力也不能保证获得结构上的物理平衡。当然，这些方法就更不能用来同时得到满足节省打印耗材保持物理稳定性和形状近似等目标。2.3杆结构设计与优化15 中国科学技术大学本科毕业论文在结构工程领域，杆结构由于其特有的灵活性被广泛应用在结构优化上。[21][22]详细的综述了结构优化的各个方面。结构形状优化、几何优化和拓扑优化常常被视为结构优化研究的三个不同阶段。通过对偶理论和非光滑分析，固定节点位置的结构优化问题可以被重建为最大最小（鞍点）问题。这样一来，多层次的方法可以通过把拓扑优化问题最为子问题来解决最大最小问题[23]。由于不同类型的目标函数和条件约束，这一类方法不能应用与我们的3D打印优化问题。对于有复杂约束的结构优化问题，近似建模方法和启发式的方法（比如基于随机搜索算法和数值约束技术）已经深入研究[22][24][25]。[26]提出了一种用于设计宏观建筑，比如桥梁、塔、屋顶和脚手架的杆结构优化算法。基于一种破坏模型（比如包克玲理论），这一方法把杆结构作为一些绕着节点自由转动的梁。这些梁只承受轴向的载荷而不能传递剪切载荷。由于没有数学表达来约束梁的形变程度，这样的模型不能保证3D打印中非常重要的几何近似性。相反的，我们提出的方法基于固体材料的弹性性质，可以充分考虑形变对于杆的压拉作用和剪切作用。§3问题与模型3.1问题描述给定一个输入网格M，我们的目标是生成一个蒙皮-桁架结构H来表达M使得3D打印H的材料使用的尽可能少。我们同时希望H的形状与M比较接近，存在较小的几何误差。值得一提的是，H的设计也要根据与打印材料相关的物理参数比如压拉强度，剪切强度，杨氏模量，剪切模量以及粗细比。3.2蒙皮-桁架结构蒙皮-桁架结构H由一个薄皮S和一个桁架结构T组成，如图3。S是一个在M和M的内部表层之间的薄层，记它的厚度为。T存在与M和之间。T由一组桁架节点V={v_i,i=1,2,…,|V|}组成，其中v_i是上的点。T还包括了一组桁架边E={e_j,j=1,2,…,|E|},这里边是链接节点的。每一个节点表示一个几何上的位置而每一条边在实际中用一个圆柱体表达。为了使整个结构能够被制造，边的半径不能小于可打印的最小范围，。16 中国科学技术大学本科毕业论文图3：蒙皮-桁架结构图。他由一层薄皮（橘黄色）和桁架结构组成。桁架的节点是红色的小球，桁架的边是蓝色的圆柱。我们将在第四节看淡，蒙皮的节点V_skin和蒙皮上的桁架边E_skin由于为了保持模型的物理性质将不被优化。然而内部的点边将作为结构的设计变量参与优化。17 中国科学技术大学本科毕业论文第三章算法与实验§1算法在多目标优化算法中，杆的半径和内部点的位置是连续的变量而在拓扑优化中内部点的链接关系是离散的优化变量。从优化算法理论上说，解离散变量的优化问题是NP难的事情。为了找到合理的解，我们使用了一种目标转换方法。这个算法开始时按目标的优先程度来排序，然后一次迭代的优化一个目标同时固定优先级更高的目标优化出来的结果。4.1流程图4展示了我们算法的一个流程。对于给定的输入网格，我们生成一个初始结构，它的半径通过尺寸优化得到。然后，我们的算法迭代的进行形状优化和几何优化知道桁架的结构的体积不再减小。其中拓扑优化通过近似的稀疏优化算法用来消除冗余的结构边。几何优化可以改善内部点的位置和半径来获得更好的总体结构。最终，一个优化多的桁架结构在满足各种物理条件后得到了最小的体积。流程图如下：18 中国科学技术大学本科毕业论文图4：流程图。给一个输入的模型(a)，(b)是其生成的初始结构。我们的算法自动的生成了经过拓扑优化的结构(c)和几何优化的结果(d)。(c)和(d)中杆的颜色表示了他们的半径。可以看出(c)中的杆结果拓扑优化后明显比(b)中的杆稀疏。§2实验结果在我们的实验中，我们使用了如下的物理参数为了方便我们做初始化，输入的模型需要除去较难处理的细节部分，例如下图19 中国科学技术大学本科毕业论文图6：左边的佛首有较多的几何细节。为了有效的生成合理的初始化，我们用光滑算法抹去了部分细节（如中间），在右图中我们展示了获得的结果。这里蒙皮被渲染成半透明颜色。为了说明我们实验的有效性，我们用不同的“悬挂球“运行了我们的程序。如上图，(a)是我们生成的结构，可以看出不同的模型结构可以导致完全不同的优化结果。(b)是3D打印的模型，(c)是完整的蒙皮-桁架模型的打印结果。20 中国科学技术大学本科毕业论文我们在这里展示了更多的实验结果，对应的实验数据如下：21 中国科学技术大学本科毕业论文第四章结论与展望在本文中，我们展示了一种自动且有效的方法来生成蒙皮-桁架结构用于最小化总体体积的3D模型。同时我们还要求这样的结构尽可能稀疏以节约打印时间和成本。我们的算法生成的桁架结构与输入的模型在几何上近似且有物理稳定性和可打印性。大量的实验结果表明我们的算方法是非常实用的，能为实际生产节约大量的材料。我们的工作存在一些局限性也给未来的研究工作打开了新的方向。首先，尽管算法运行的时间开销远远小于打印制造的时间，用户仍然可能期望设计的过程可以做到实时交互。我们的算法有很多基于前沿的优化理论而建立的潜在的加速方法。其次，我们仅仅考虑了较小的物体。对于较小的物体，桁架结构可以被整体的设计和打印。对于大的物体，设计的尺寸可能超过了打印机的可打印范围，这样一来就需要对物体先进行切割，如[11]。对于组装多部分的桁架结构并仍然保持相关的物理性质对现在的研究程度来说仍然是一件较有挑战的事情。第三，随着低端3D打印机的日趋普及，我们的研究也将会在未来更多的面向各种打印原理的设备设计符合其制造原理的算法流程。多原理的综合打印技术也将会是未来研究的新潮流。22 中国科学技术大学本科毕业论文参考文献[1]STAVA,O.,VANEK,J.,BENES,B.,CARR,N.,ANDMˇECH,R.2012.Stressrelief:improvingstructuralstrengthof3Dprintableobjects.ACMTrans.Graph.(Proc.SIGGRAPH)31,4,48:1–11.[2]PR´EVOST,R.,WHITING,E.,LEFEBVRE,S.,ANDSORKINE-HORNUNG,O.2013.Makeitstand:balancingshapesfor3Dfabrication.ACMTrans.Graph.(Proc.SIGGRAPH)32,4,81:1–81:10.[3]CAL`I,J.,CALIAN,D.,AMATI,C.,KLEINBERGER,R.,STEED,A.,KAUTZ,J.,ANDWEYRICH,T.2012.3D-printingofnon-assembly,articulatedmodels.ACMTrans.Graph.(Proc.SIGGRAPHAsia)31,6,130:1–8.[4]ZHOU,Q.,PANETTA,J.,ANDZORIN,D.2013.Worst-casestructuralanalysis.ACMTrans.Graph.(Proc.SIGGRAPH)32,4,137:1–137:12.[5]CHENG,G.1995.Someaspectsoftrusstopologyoptimization.StructuralOpti-mization10,3-4,173–179.[6]BENDSØE,M.P.,ANDSIGMUND,O.2003.Topologyoptimization:theory,methodsandapplications.SpringerVerlag.[7]WANG,W.,WANG,T.,YANG,Z.,LIU,L.,TONG,X.,TONG,W,DENGJ.,CHEN,F.,LIU,X.Cost-effectivePrintingof3DObjectswithSkin-FrameStruc-tures.ACMTransactionsonGraphics(Proc.SIGGRAPHAsia),32(5),2013.[8]GIBSON,L.J.,ANDASHBY,M.F.1999.CellularSolids:StructureandProper-ties,2nded.CambridgeUniversityPress.[9]3DSYSTEMS,2012.Desktop3Dprinter.http://www.3dsystems.com.[10]SHAPEWAYS,2012.Tutorial:Howtohollowobjectsfor3Dprinting.http://www.shapeways.com/tutorials/creating-hollow-objects.html.[11]LUO,L.,BARAN,I.,RUSINKIEWICZ,S.,ANDMATUSIK,W.2012.Chopper:partitioningmodelsinto3D-printableparts.ACMTrans.Graph.(Proc.SIGGRAPHAsia)31,6,129:1–9.[12]CHEN,D.,LEVIN,D.I.W.,DIDYK,P.,SITTHI-AMORN,P.,ANDMATUSIK,W.2013.Spec2Fab:areducer-tunermodelfortranslatingspecificationsto3Dprints.ACMTrans.Graph.(Proc.SIGGRAPH)32,4,135:1–135:10.[13]GIBSON,L.J.,ANDASHBY,M.F.1999.CellularSolids:StructureandProperties,2nded.CambridgeUniversityPress.[14]RAJEEV,S.,ANDKRISHNAMOORTHY,C.1997.Geneticalgorithms-basedmethodologiesfordesignoptimizationoftrusses.JournalofStructuralEn-gineering123,3,350–358.23 中国科学技术大学本科毕业论文[15]B¨ACHER,M.,BICKEL,B.,JAMES,D.L.,ANDPFISTER,H.2012.Fabricatingarticulatedcharactersfromskinnedmeshes.ACMTrans.Graph.(Proc.SIGGRAPH)31,4,47:1–9.[16]CAL`I,J.,CALIAN,D.,AMATI,C.,KLEINBERGER,R.,STEED,A.,KAUTZ,J.,ANDWEYRICH,T.2012.3D-printingofnon-assembly,articulatedmodels.ACMTrans.Graph.(Proc.SIGGRAPHAsia)31,6,130:1–8.[17]WANG,H.,CHEN,Y.,ANDROSEN,D.W.2005.Ahybridgeometricmodelingmethodforlargescaleconformalcellularstructures.InProc.ASMEDesignEngineeringTechnicalConferences,ASME,NY,USA,421–427.[18]CHEN,Y.2007.3Dtexturemappingforrapidmanufacturing.Computer-AidedDesignandApplications4,6,761–771.[19]WANG,H.,ANDROSEN,D.W.2002.Parametricmodelingmethodfortrussstructures.InProc.ASMEDesignEngineeringTechnicalConferences,ASME,NY,USA,759–767.[20]ROSEN,D.W.,JOHNSTON,S.R.,ANDREED,M.2006.Designofgenerallatticestructuresforlightweightandcomplianceapplications.InProc.RapidManufacturingConference,1–14.[21]KIRSCH,U.1989.Optimaltopologiesofstructures.AppliedMechanicsReviews42,223–238.[22]BENDSØE,M.P.,ANDSIGMUND,O.2003.Topologyoptimization:theory,methodsandapplications.SpringerVerlag.[23]BENDSØE,M.P.,BEN-TAL,A.,ANDZOWE,J.1994.Optimizationmethodsfortrussgeometryandtopologydesign.StructuralOptimization7,3,141–159.[24]CHENG,G.1995.Someaspectsoftrusstopologyoptimization.StructuralOptimization10,3-4,173–179.[25]RAJEEV,S.,ANDKRISHNAMOORTHY,C.1997.Geneticalgorithms-basedmethodologiesfordesignoptimizationoftrusses.JournalofStructuralEn-gineering123,3,350–358.[26]SMITH,J.,HODGINS,J.,OPPENHEIM,I.,ANDWITKIN,A.2002.Creatingmodelsoftrussstructureswithoptimization.ACMTrans.Graph.(Proc.SIGGRAPH)21,3,295–301.24 中国科学技术大学本科毕业论文致谢首先，我要感谢我的父母的培养。他们为我奉献了如此之多以至于用任何几个例子来记述都显得那么肤浅。我会努力做一个有用的人，用心经历精彩的人生。我要感谢我的导师刘利刚老师，我能有幸从事自己热爱的事业并从中有所收获离不开刘老师对我的引领和教诲。感谢老师对我一直的鼓励、耐心、信任，感谢老师点点滴滴中对我的栽培。还要感谢杨周旺老师一直以来的帮助和指导。诲我如师，抚我如兄。以及系里的陈发来老师和邓建松老师，一路走来离不开他们的支持。感谢实验室师兄师姐们对我这个小师弟的关心和爱护。感谢我的女朋友，她对我无微不至的照顾让我能更投入的工作。25'