B样条曲线的光顺设计 38页

'本科生毕业论文（设计）文献综述和开题报告题目B样条曲线的光顺设计姓名与学号王士玮3090104354指导教师吴庆标年级与专业2009数学与应用数学所在学院理学院1 浙江大学本科生毕业论文（设计）诚信承诺书1.本人郑重地承诺所呈交的毕业论文（设计），是在指导教师的指导下严格按照学校和学院有关规定完成的。2.本人在毕业论文（设计）中引用他人的观点和参考资料均加以注释和说明。3.本人承诺在毕业论文（设计）选题和研究内容过程中没有抄袭他人研究成果和伪造相关数据等行为。4.在毕业论文（设计）中对侵犯任何方面知识产权的行为，由本人承担相应的法律责任。毕业论文（设计）作者签名：年月日2 一、毕业论文二、文献综述三、开题报告四、外文翻译3 毕业论文中文摘要在工业生产几何设计中，人们大量应用B样条等数学工具来设计曲线。在许多工业设计领域，比如造船业、汽车制造业等，设计师要求曲线要十分光顺，因为曲线的光顺性会直接影响生成曲面的质量。在本文中，我们先对光顺的判别准则进行讨论，结合实际生产经验以得出更符合实际生产需要的光顺判别准则。基于所得的判别准则，使用L0/L1范数优化等理论给出目标函数，建立数学模型。然后我们进行大量实验，证明该模型的有效性。关键词：B样条曲线光顺L1范数L0范数压缩感知船体放样4 毕业论文AbstractB-splineareamodelingtoolwidelyusedinindustrialgeometricdesign.Inmanyindustrialdesignactivities,curvesneedtobefairenough.Thefairnessofcurveshasadirectinfluenceonthequalityoftheunderlyingsurface.Inthispaper,wefirstdiscussaboutthecriterionoffairness,andthenwepresentareasonablecriterionoffairnessbyconsideringtheexperienceofactualproduction.Accordingtothenewcriterionoffairness,wepresentamathematicalmodelbyusingthetheoriesaboutL0/L1-normoptimization.Wecarryoutlargenumberofexperimentswhichshowthatoursolutionisefficient.Keywords:B-spline,fairness,L1-norm,L0-norm,hulllofting5 毕业论文目录1引言................................................................11.1研究的目的和意义.................................................11.2研究的问题和框架.................................................12背景介绍与相关工作....................................................22.1两种通用光顺判别准则............................................22.1.1光顺判别准则C1（N.Sapidis等）............................22.1.2光顺判别准则C2（苏步青等）................................22.2整体能量优化法.................................................32.3局部修改方法...................................................33光顺的判别准则（董光昌）..............................................33.1实例分析与光顺判别准则C3.......................................33.1.1典型的非光顺曲线实例.......................................33.1.2光顺判别准则C3............................................53.2函数样条的光顺算法简介.........................................53.2.1回弹法.....................................................53.2.2直尺卡样法.................................................63.2.3曲尺卡样法.................................................73.2.4一般曲线的光顺设计算法.....................................83.3实验结果示例...................................................93.4算法的局限性...................................................94基于L1范数优化的光顺算法............................................104.1向量c与向量e.................................................104.2数学模型的构建................................................104.2.1光顺判别准则C3与优化目标.................................114.2.2曲线的拐点数与c的L0范数.................................114.2.3曲线的拐点数与e的L0范数.................................144.2.4曲线的拐点数与e的L2范数.................................144.2.5基于L1范数的优化目标.....................................164.3实证结果分析..................................................164.3.1c的L2范数与c的L1范数..................................164.3.2e的L2范数与e的L1范数..................................204.4数学模型的优化................................................215实验结果.............................................................216 毕业论文6结束语...............................................................24参考文献...............................................................24附录（matlab相关代码）................................................267 毕业论文1引言在工业生产几何设计中，“光顺”是设计师们十分关心的概念。如在造船行业中，船体若不够光顺，那么船在航行时会受到更大的阻力，也更容易被海水腐蚀，极大降低船体寿命。随着技术发展，B样条、NURBS曲线/曲面等在生产设计中发挥了巨大作用；人们也越来越关心如何对着这些数字曲线进行光顺。1.1研究的目的和意义在工业生产中，为了追求生成曲面或曲线具有更良好的物理特性或其他特性，往往要求曲面或曲线具有光顺性。例如，在造船业中，若船的水线、站线等足够光顺，能够减少船行驶遇到的阻力，且能够延长船体使用年限。在实际的工业生产中，光顺设计——即将已有曲线变得更光顺是十分重要的步骤。而往往只有经验丰富的设计师或者工人才能将曲线光顺好。设计师和工人们对已有的光顺准则并不满意，认为只有靠经验才能解决光顺的问题。我们希望结合实际生产的经验，总结出更合理的光顺判别准则，建立数学模型，最终能应用到实际生产中去。由于设计师和工人们对已有的光顺准则并不认可，所以目前的光顺方法并不信任。因此，光顺设计往往是依靠人力来完成。如果要光顺一个较大的模型，比如船体上的全部水线、站线、横剖线，一般需要三个星期左右的时间。所以，我们希望利用计算机进行辅助设计，找到一种合理的算法对曲线进行光顺，减少设计师与工人的工作量。B样条曲线被大量应用于工业生产设计，我们将针对B样条曲线的光顺进行讨论，并找到有效的办法对B样条曲线进行光顺。论文开题的目的和意义，即研究出更符合实际生产需求的光顺判别准则与基于该准则的曲线光顺设计算法，以解决实际生产中的问题，并将光顺的概念数学规范化。1.2研究的问题与框架在造船业中，放样工人们会得到一系列的插值点，他们的工作是求得光顺的曲线来通过这些插值点。传统的放样中，一般是先在地板上画出这些插值点（也叫型值点）的位置，然后用细木条依次通过这些插值点。放样工人们通过肉眼来判断这些细木条是否光顺，如果不够光顺，在通过调整插值点的位置来达到光顺的效果。我们研究的问题是：给定了一个点列Pxyi(,)ii，in1,...，我们需求的新的点列1 毕业论文Pxyi(,)ii，其与Pi的距离不超过预先给定的容差值，使得我们用B样条或者NURBS等曲线对其进行插值，所得到的曲线是光顺曲线。因此我们称之为光顺设计。我们在第2章，会介绍该问题的背景以及相关的工作。给出了两种通用的判别准则，以及基于这两种判别准则的相关算法。在第3章，我们会介绍董光昌先生对光顺的研究成果。我们的研究主要受到了董先生的启发，我们的算法是基于他给出的光顺判别准则。在第4章，我们将依照董光昌先生给出的光顺判别准则，使用L0范数与L1范数对其建模，从而得到我们的光顺算法。在第5章，则是实验结果与分析。2背景介绍与相关工作2.1两种通用光顺判别准则曲线“光顺”的概念主要来源于实际的生产，并没有一个明确的数学定义。现在普遍使用曲线光顺的判别准则有两种，分别由G.Farin等[1]，与苏步青等人提出。2.1.1光顺的判别准则C1（G.Farin等）G．Farin等人认为，曲线的光顺应该满足以下条件：（1）曲线fG2，即曲线至少有2阶或2阶以上的几何连续性；2（2）minkds，在满足一定的容差约束条件下。2.1.2光顺的判别准则C2（苏步青等）苏步青等人认为，曲线的光顺应该满足以下条件：（1）曲线fG2，即曲线至少有2阶或2阶以上的几何连续性；（2）曲线f的拐点少；（3）曲线f的曲率变化均匀。两种不同的判别准则都被广泛使用。基于不同的光顺判别准则，可以将现有的光顺算法分为两类：整体能量优化法与局部调整法。2 毕业论文2.2整体能量优化法整体能量优化法是基于判别准则C1的能量优化方法，主要有应变能法、最小二乘法和小波法。应变能法即在满足一定的容差约束条件下，使应变能——曲率平方的积分极小，即判别准则C1的直接建模。最小二乘法则是在满足一定的容差约束条件下，插值点（或控制点）处的曲率平方之和求极小，即对判别准则C1的离散建模。小波法则是将曲线用小波进行分解，然后去除细节部分的小波。2.2局部修改方法局部修改方法主要基于光顺的判别准则C2。Kjellander[2]的工作给出了均匀参数三次B样条的光顺方法。该方法的基本思想是曲线的几何外形在大多数型值点处是光顺或比较光顺的，只是在少数型值点处非光顺，逐次找出这些非光顺的点即“坏点”，修改这些“坏点”，使曲线达到光顺的要求。之后许多有许多人在发展了Kjellander的这套方法。G.Farin在Kjellander方法的基础上，给出了一种节点去除法。它是将一部分坏点取出后，重新计算B样条的控制顶点以实现曲线光顺。N.Sapidis与G.Farin[6]结合以上两种技巧，用曲率线图的方式找到引起非光顺的“坏点”，每次对最“坏”的点进行处理，或者修改其位置，或者删除该点，或者在附近增加辅助控制点，使其局部的拐点减少且曲率变得均匀。整体能量优化法由于往往不考虑将曲率变均匀，或者去除拐点，它并不被工人们所接受；而局部修改方法的缺点在于每次仅处理一点，运行效率慢，且没有考虑整体，因此，这些光顺方法始终没有解决工人们的实际需求。3光顺的判别准则（董光昌）3.1实例分析与光顺的判别准则C33.1.1典型的非光顺曲线实例董光昌先生曾经在船厂从事数学放样的工作，他将所有非光顺的曲线总结为三类，并得到具有丰富光顺经验的工人们的认可。3 毕业论文第一类非光顺曲线：曲线拐点较多。即使对没有光顺经验的的人来说，看到曲线凹凸不平，也会认为该曲线并不光顺。根据拐点的定义，曲线通过拐点将改变曲线的凹凸性，因此造成凹凸不平的原因是曲线的拐点较多。如sinx，它属于C，即无穷阶光滑，但是应该不是光顺曲线。图1sinx2第二类非光顺曲线：曲率线的拐点较多。对于曲线f0.5xsinx，易得该曲线2没有拐点，其仍然令人直观上觉得不够“光顺”，它像一条蛇一样缠绕着0.5x。这是因为其曲率线的拐点较多。曲率为当参数为弧长参数时的二阶导数，对于一般参数，曲率fk（1）322(1f)当f绝对值较小时，可以用一般二阶导数近似曲率值。22图2红色线表示f0.5xsinx,蓝色线为0.5x第三类非光顺曲线：曲率的变化幅度大。如图中的圆弧曲线，在x=0左边，其为半径为1的圆，在x=0右边，为半径为5的圆。由于其曲率变化幅度较大，让感觉左边部分较“鼓”，右边部分较“瘪”，不够光顺。4 毕业论文图3鼓瘪段实例3.1.2光顺的判别准则C3根据实例所示的非光顺曲线，为避免这些非光顺情形，董光昌先生给出了新的光顺判别准则。判别准则C1与判别准则C2都将曲线限定了至少2阶的几何连续性，这样在工业设计中常用的圆弧曲线就无法满足其要求。我们可以仅仅要求曲线有1+δ阶的几何连续性，δ>0。光顺的判别准则C3：在满足一定的约束条件小，1（1）曲线fG，0；（2）曲线f的拐点少；（3）曲线f的曲率线的拐点少；（4）曲率f的曲率线变化幅度小。其中，我们称曲线f的拐点为第一振动数，曲线f的曲率线的拐点为第二振动数。第一振动数比第二振动数与曲率线的变化幅度要重要得多，因为第一振动数说明了曲线本身发生了质变。因此，减少曲线本身的拐点数应该是我们的第一目标。在下文中，我们用向量c来表示插值点（或控制顶点）处的曲率构成的向量，用向量e来表示曲率线的曲率构成的向量。如果c或者e不存在，那么用有限差分等方法对其近似替代。3.2函数样条的光顺方法简介基于以上的判别准则，董光昌先生等人以函数样条为主要对象，得出一种十分有效的光顺算法。这个算法又由回弹法、直尺卡样法与曲尺卡样法构成[9-12]。我们的主要工作受到了董先生这套方法的启发，因此，我们在此简单地介绍回弹法、直尺卡5 毕业论文样法和曲尺卡样法。3.2.1回弹法由公式（1）可知，当曲线的一阶导数绝对值较小时，其曲率可以近似为其二阶导数。令Pxyi(,)ii，in1,...表示插值点，向量PPii1（in2,...1）分别与向量PP01构成拐角i，maxi称作这一系列点的最大拐角。当最大拐角不超过120度时，三次函数样条的曲率与其二阶导数十分接近，可以互相替代。而三次函数样条的二阶导数可以用追赶法得到，从而得到插值点处的二阶导数ciccii1（in1...），与ei（in2...）。xxii1回弹法的过程如下：（1）初始化i1，转（2）；（2）如果eeii10，转（3）；否则转（5）；（3）求得最小的i，使eeii1=0成立，其中ei为yii代入后的重新计算所得的值，转（4）；（4）min(,0.5)i，为预设的最大偏移量。更新yyii，转（5）；（5）如果i2，一般认为k<=5。首先，利用回弹法修改插值点使ei+10,...,eik2=0。这样，相当于将中间的插值点PPi12,...,ik删除，于是可以用过程二的方法将拐点给去除。3.2.3曲尺卡样法我们将直尺卡样法中的c都用e来替代，就是曲尺卡样法。即曲尺卡样法就是对曲率线的直尺卡样法，而曲尺卡样法一般只执行过程一和过程二。其过程一如下：（1）初始化i2，转（2）；（2）如果eei-1i00且eiie1，转（3）；否则转（5）；（3）求得最小的i，使ei0成立，其中ei为yii代入后的重新计算所得的值，转（4）；（4）min(,)i，为预设的最大偏移量。更新yyii，转（5）；（5）如果i