固体物理学 (朱建国 著) 高等教育出版社 课后答案 34页

'课后答案网：www.hackshp.cn课后答案网您最真诚的朋友www.hackshp.cn网团队竭诚为学生服务，免费提供各门课后答案，不用积分，甚至不用注册，旨在为广大学生提供自主学习的平台！课后答案网：www.hackshp.cn视频教程网：www.efanjy.comPPT课件网：www.ppthouse.com课后答案网www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn《固体物理学》部分习题参考解答第一章1.1有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：2对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf=a23对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb=a2Rf2a6那么，==Rb3a31.2晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？答：根据题意，由于OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，那么1.3二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：课后答案网正方六方矩形带心矩形平行四边形a=ba=ba≠ba=ba≠ba^b=90°a^b=120www.hackshp.cn°a^b=90°a^b=90°a^b≠90°1.4在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：i=-（h+k）并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)答：证明设晶面族（hkil）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n°。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面ABC在a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此oani=hd1oani=kd………(1)2oani=id31若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn由于a3=–（a1+a2）ooani=−(a+a)in313把（1）式的关系代入，即得id=−(hd+kd)i=−(hk+)根据上面的证明，可以转换晶面族为（001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010）→(0110)，(213)→(2133)1.5如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立π3π2π2π方：（2）体心立方：（3）面心立方：（4）六方密堆积：（5）金刚石：68663π。16答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。于是有：111Z=N+N+N+Nifec248边长为a的立方晶胞中堆积比率为34rF=Z*π3课后答案网3a假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么：34/3πrπθ==(2)r36www.hackshp.cn4（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为r，那么：332(4/3∗πr)3πθ==3(4/3)r8（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，则其边长为22r，那么：34(4/3∗πr)2πθ==3(22)r62若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（4）对于六方密堆积一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此432(×πr)32πθ==326ac2（5）对于金刚石结构34r4333πZ=8a3=8r那么F=Z*π=××8π()=.33a38161.6有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm为单位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位失量.问：（1）这种晶格属于哪种布拉维格子？（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？答：（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c′）式中c′=3c。-10显然，a、b、c′构成一个边长为3*10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。-303（2）晶胞的体积=c(ab)′i×=3k(3i3j)i×=27*10(m)1-303原胞的体积=c(ab)i×=(3i+3j+3)(3kii+3)j=13.5*10(m)23a3a1.7六方晶胞的基失为：a=ai+j，b=−ai+j，c=ck2222求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：课后答案网32正格子的体积Ω=a·（b*c）=ac22(πbc×)2π2π2(πca×)2π2π那么，倒格子的基矢为b==i+j，b==−i+j，1www.hackshp.cn2Ω3aaΩ3aa2(πab×)2πb==k3Ωc其第一布里渊区如图所示：1.8若基失a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为1d=hklh2k2l2()+()+()abc答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距分3若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnaaa123别为，，。该平面（ABC）法线方向的单位矢量是hkldhdkdln=x+y+zaaa123这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距。由|n|=1得到dh2dk2dl2()+()+()=1aaa1231h2k2l2−2故d=[()+()+()]aaa1231.9用波长为0.15405nm的X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ如下序号12345θ/（°）19.61128.13635.15641.15647.769已知钽为体心立方结构，试求：（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数；（2）上述各晶面族的面间距；（3）利用上两项结果计算晶格常数.答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：2222I∞F|=f[1cos+πnhkl(++)]+fsinπnhkl(++)hkl考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式课后答案网2dsinθ=λ(n=1)hklλ1.5405−10得d===2.29510×()m110o2sinθ2sin19.611www.hackshp.cn1同法得λ−10d==1.633410×()m2002sinθ2λ−10d==1.337710×()m2112sinθ3λ−10d==1.160910×()m2202sinθ3λ−10d==1.040310×()m3102sinθ44若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn应用立方晶系面间距公式ad=hkl222h+k+l222可得晶格常数a=dh+k+lhkl把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a的数值*10-10m为3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897取其平均值则得−10a=3.272510×()m1.10平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.答：参看下图，晶体点阵初基矢量为a=ai113a=ai+aj2220ij≠用正交关系式bai=2πδ={,ijij2πij=求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设b=bibj+b=bibj+11x1y22x2y由ba1i1=2πba1i2=0ba课后答案网2i1=0ba2i2=2π得到下面四个方程式aibibji(+)=2π（1）1x1ywww.hackshp.cn13(ai+aj)(ibibj+)=0（2）1x1y22aibibji(+)=0（3）2x2y13(ai+aj)(ibibj+)=2π（4）2x2y222π由（1）式可得：b=1xa2π由（2）式可得：b=−1y3a5若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn由（3）式可得：b=02x4π由（4）式可得：b=2y3a于是得出倒易点阵基矢2π2π4πb=i−jb=j12a3a3a课后答案网www.hackshp.cn6若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn第三章习题答案－273.1试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m＝8.35×10kg，恢复－1力常数β＝15N·mi(ωt−qna)解：一维单原子链的解为Xn=Ae据周期边界条件X=X，此处N=5,代入上式即得1N+1−i5(a)qe=1所以5aq＝2πℓ（ℓ为整数）ππ55由于格波波矢取值范围：−>1，求证2βω=sinqa1M2βm2ω2=1(+cosqa)m2M[证]由书中（3.22）式知，双一维原子链声学支2β()4mM22/1ω=m+M1{−1[−sinqa]}12Mm(m+M)4mMn∵M>>m，∴<<1由近似式(1−x)≈1−nx，(当x<<1）mM2β(m+M)14mM22/1得ω=1{−1[−sinqa]}12mM课后答案网2(m+M)2β22β2=sinqa≈sinqa，m+MM2β∴ω=sinqa1www.hackshp.cnM2对ω，由于M>>m，M+m≈M22β(m+M)4mM()2/1ω=1{+1[−sinqa]}22mM(M+m)βM+m24Mm4Mm22/1≈1{+[()−+cosqa]}22mM+m(M+m)(M+m)βM−m24m22/1≈1{+[()+cosqa]}mM+mM10若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnβ14m2≈1{+1+cosqa}m2M2βm2≈1{+cosqa}mM2βm22βm2∴ω=1+cosqa≈1(+cosqa)2mMm2Mπ3.7在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界q=±处，声学支格波中所有2a轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图象。A2βcosqaπ[证]由（3－18）第一式得=，当q=±时cosqa=0且对声学2B2β−mω2a2/1⎛2β⎞支ω=⎜⎟，代入上式即得：⎝M⎠A0==0，故A＝0，轻原子静止Bm2β−2βMB2βcosqaπ再由（3－18）第二式得=，当q=±时cosqa=02A2β−Mω2a2/1⎛2β⎞且对光学支，ω=⎜⎟，代入上式即得⎝M⎠B0==0故B＝0，重原子静止Am2β−2β课后答案网M3.8设固体的熔点T对应原子的振幅等于原子间距a的10％的振动，推证，对于简单晶格，m2/12⎛50kBTm⎞接近熔点时原子的振动频率www.hackshp.cnω=⎜⎟，其中M是原子质量。a⎝M⎠[解]当质量为M的原子以频率ω及等于原子间距a的10％的振幅振动时，其振动能为：212212⎛a⎞E=MωA=Mω⎜⎟在熔点Tm时，原子的能量可按照能量均分定理处理，22⎝10⎠212⎛a⎞即一个一维原子的平均能量为kBTm，于是有Mω⎜⎟=kBTm，由此得2⎝10⎠2/12⎛50kBTm⎞ω=⎜⎟a⎝M⎠11若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn21⎛ΘD⎞3.9按德拜近似，试证明高温时晶格热容Cv=3NkB1[−⎜⎟]20⎝T⎠x43ΘDTexdx证明：由书（3.73）式可知C=9NkTT(/Θ)vBD∫0x2(e−1)在高温时，T>>Θ，则在整个积分范围内x为小量，因此可将上式中被积函数化简为Dx44422exxxx2⎛x⎞=≈≈=x⎜1−⎟x2ex2/−e−x2/32x2⎜12⎟(e−1)(⎛⎜)x⎞⎟1+⎝⎠x+⎜24⎟12⎝⎠353⎡1⎛ΘD⎞1⎛ΘD⎞⎤将上式代入C的表达式，得C=9NkTT(/Θ)⎢⎜⎟−⎜⎟⎥vvBD⎢⎣3⎝T⎠60⎝T⎠⎥⎦3231⎛ΘD⎞⎡1⎛ΘD⎞⎤=9NkTT(/Θ)⎜⎟⎢1−⎜⎟⎥BD3⎝T⎠⎣⎢20⎝T⎠⎥⎦2⎡1⎛Θ⎞⎤D=3Nk⎢1−⎜⎟⎥B⎢⎣20⎝T⎠⎥⎦ℏω3.10设晶格中每个振子的零点振动能为，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能223Vω解：由（3－69）式知，状态密度ρ()ω=gω()V=232πv2ωD课后答案网ωD13Vω则E=ερ()ωdω=ℏωdω0∫00∫02322πvωD3ℏV1ωD33ℏV4=ωdω=ω4π2v3∫016π2v3www.hackshp.cn03ℏV4=ω23D16πv3/1⎛2V⎞∵ωD=⎜6π⎟v⎝N⎠3ℏV2N39∴E=⋅6πvω=ℏNω023DD16πvV83.11在德拜近似的基础上，讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下其比2热正比于T证明：此题可推广到任意维m，由于()m1m−1()dN=gqdq=Cdq=Cqdq=gωdω12若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn−11m−1⎛dω⎞∴g()ω=Cq⎜⎜⎟⎟⎝dq⎠m−1m−1而德拜模型中ω=vq，故g()ω∝q∝ω2⎛ℏω⎞eℏωkBTg()ωdω∴C∝k⎜⎟v∫B⎜⎟ℏωkT2kT(eB−1)⎝B⎠ℏω令=x，则上式变为kTxm+1xm+1m−1exmxpexC∝TTdx∝Tdxv∫(x2)∫0(x2)e−1e−1ℏωD在低温时x=→∞DkT∞exxm+1则积分dx为一个于T无关的常数∫0(x2)e−1m3故Cv∝T对三维m＝3Cv∝T2对本题研究的二维m＝2Cv∝T对一维m＝1Cv∝T2eb3.12设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为U()r=−+，b为待定常数，平a课后答案网rr−10衡间距r=3×10m，求线膨胀系数。03gkB解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数α=⋅24frwww.hackshp.cn0231⎛dU⎞1⎛dU⎞其中：f=⋅⎜⎟，g=−⎜⎟⎜2⎟⎜3⎟2⎝dr⎠r0!3⎝dr⎠r022⎛dU⎞e9be8由平衡条件⎜⎟=2−10=0∴b=r0⎝dr⎠r0r0r0922222e90b4e1⎛6e990b⎞52e∵f=−+=，g=−⎜−⎟=3113⎜412⎟42r2rr6rr3r000⎝00⎠0−8−10由于r=3×10m，e=.4806×10CGSE013若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn−16kB=.1381×10erg/K13r0kB−5∴α=≈.146×10/K216e3.13已知三维晶体在q=0附近一支光学波的色散关系为()(222)ωq=ω−Aq+Bq+Cq，试求格波的频谱密度ρ()ω0xyz222解：∵ω−ω=Aq+Bq+Cq0xyz2q22qqxyz则++=1ω−ωω−ωω−ω000ABC4这是q空间的一个椭球面，其体积为πabc，而32/12/12/1ω−ωω−ωω−ω000a=，b=，c=ABC3⎛L⎞Vq空间内的状态密度ρ()q=⎜⎟=，故椭球内的总状态数N为3⎝2π⎠2(π)2/1V4π⎛1⎞2/3N=3⋅⎜⎟ω0−ω(2π)3⎝ABC⎠2/12/1dNV⎛1⎞2/1Vω0−ω故ρ()ω课后答案网==2⎜⎟ω0−ω=2dω4π⎝ABC⎠4πABCwww.hackshp.cn14若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn第四章4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同？为什么？答：晶体中空位和间隙原子的浓度是相同的。在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向.4.3如果已知空位形成能为Eu=0.67eV，试问当温度为300K时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少？答：设肖特基缺陷数为n，格点数为N。那么由公式Eun−=ekTBN可得−190.671.610××n−−23=e1.3810××300=5.682*10-12N154.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*10s-1，如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为0.1eV，求该原子在1s内跳跃的次数。答：由公式Ea−v=vekTBo可得0.1eV−1.3810×−23×3001513v=ve=2*10*0.02=4*10o4.5在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正、负离子空位的对数，W是产生一对缺陷所需要的能量，N是原有的正、负离子对的数目。课后答案网（1）试证明：n/N=Bexp（-W/2kBT）；（2）试求有肖特基缺陷后体积的变化△V/V，其中V为原有的体积。答：（1）设n对肖特基缺陷是从晶体内部移去n个正离子和n个负离子而形成的。从N个正离子中形成n个正离子空位的可能方式数为www.hackshp.cnN!W=1(N−nn)!!同时，从N个负离子中形成n个负离子空位的可能方式数也是N!W=2(N−nn)!!于是，在整个晶体中形成n对正、负离子空位的可能方式数N!2W=WW=[]12(N−nn)!!由此而引起晶体熵的增量为15若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnN!∆=SkInW=2kInBB(N−nn)!!设形成一对正、负离子空位需要能量w，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变N!∆=∆FUTS−∆=nw−2kTIn（1）B(N−nn)!!∂∆F热平衡时，()=0，并应用斯特令公式InN!=NInN−n，从（1）式得T∂n∂∆F∂N−n()=w−2kT[NInN−(N−nInN)(−n)−nInn]=w−2kTInN[(−n)−Inn]=w−2kTIn=0TBBB∂n∂nn−wn2kT=eBN−n因为实际上N»n，于是得n/N=Bexp（-W/2kBT）（2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积3增加。当产生n对正、负离子空位时，所增加的体积应该是∆V=2na3式中a为离子最近邻距离。因为V=2Na为晶体原有的体积，有上式可得3∆V2nan==3V2NaN4.6已知扩散系数与温度之间的关系为：D=De−EA/kTB课后答案网o下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果：T/K87810071176125313222-1-20-18-18-17-16D/m·s1.6*104.0*101.1*104.0*101.0*10试确定常数Do和扩散激活能EA.答：由公式D=De−EA/kTBwww.hackshp.cn，可得o-20当T=878，D=1.6*10时，D01=4.7铜和硅的空位形成能Eu分别是0.3eV和2.8eV。试求T=1000K时，铜和硅的空位浓度。答：由公式Eun−=ekTBN0.3n−−5可得：对于铜=e8.610××1000=0.03N2.8n−8.610×−5×1000−15对于硅=e=7.24710×N16若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn4.8碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色，通过测试F带的光吸收就可得F心的形成能EB。当温度从570℃上升到620℃时，吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由F心的数目增加引起的，试计算F心形成能EB。答：4.9考虑一体心立方晶格：（1）试画出（110）面上原子的分布图；（2）设有一沿[111]方向滑移、位错线和[110]平行的刃位错。试画出在（110）面上原子的投影图。答：如图所示：4.10求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。答：滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面，滑移向也总是原子密度较大的晶向（即沿该方向的周期最小）。（1）体心立方：滑移面为（110）面，滑移向为[111]，最小滑移矢量b即[111]晶向上一个格点间距的长度。设晶格常数为a，则3||b=a2（2）面心立方：滑移面为（111），滑移向为[101]。最小滑移矢量b等于[101]方向上相邻格点间的距离，即2||b=a2（3）六角密堆：滑移面是基面（0001），滑移向是[2110]。[2110]晶向上原子间距为a，因此，||b=a课后答案网4.11在FCC晶格中存在一个位错，其位错线的方向用晶向指数表示为[112]，该位错滑移的方1向和大小用伯格斯矢量表示为b=[110]。试确定该滑移面的晶面指数，并问该位错是刃位错www.hackshp.cn2还是螺位错。第六章6.1一维周期场中电子的波函数ψ()x应满足布洛赫定理，若晶格常数为a，电子的波函k数为π（1）ψ()x=sinxka17若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn3π（2）ψ()x=icosxka∞（3）ψk()x=∑fx−(ℓa（)f是某个确定的函数）i=−∞试求电子在这些状态的波矢ika解：布洛赫函数为ψ(x+a=)eψx()kkπππ（1）sin(x+a)=sin(x+π)=−sinxaaaπikaπ∵sin(x+a)=esinxaaikaπ∴e=−1，ka=±π，k=±a3π⎛3π⎞3π（2）icos(x+a=)icos⎜x+3π⎟=−icosxa⎝a⎠aikaπ同理，∴e=−1，ka=±π，k=±a∞∞（3）∑f(x−ℓa+a=)∑f[x−(ℓ−)1a]ℓ=−∞ℓ=−∞∞∞=∑f(x−ℓ"a=)∑fx−ℓ(a此处ℓ)"=ℓ−1ℓ"=−∞ℓ=−∞ika2πe=1，ka=0或2π，k=0或课后答案网a2ℏ⎛71⎞6.2已知一维晶格中电子的能带可写成E()k=⎜−coska+cos2ka⎟，式中a2ma⎝88⎠是晶格常数，m是电子的质量，求（1）能带的宽度，（2）电子的平均速度，（3）在带顶和带底的电子的有效质量www.hackshp.cndE()k解：能带宽度为∆E=E−E，由极值条件=0，得maxmindk11sinka−sin2ka=sinka−sinkacoska=042π上式的唯一解是sinka=0的解，此式在第一布里渊区内的解为k=0或a当k＝0时，E()k取极小值E，且有E=E()0=0minmin2π⎛π⎞2ℏ当k=时，E()k取极大值Emax，且有Emax=E⎜⎟=2a⎝a⎠ma18若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn22ℏ由以上的可得能带宽度为∆E=E−E=maxmin2ma1dE()kℏ⎛1⎞（2）电子的平均速度为v==⎜sinka−sin2ka⎟ℏdkma⎝4⎠（3）带顶和带底电子的有效质量分别为⎡⎤⎢2⎥−1∗ℏ⎛1⎞2mπ=⎢2⎥=m⎜coska−cos2ka⎟=−mk=±⎢∂E⎥⎝2⎠3aπ⎢2⎥πk=±⎣∂k⎦k=±aa⎡⎤2−1⎢ℏ⎥⎛1⎞∗m=⎢⎥=m⎜coska−cos2ka⎟=2mk=0⎢∂2E⎥⎝2⎠0⎢⎣∂2⎥⎦kk=06.3一维周期势场为⎧1222⎪mW[b−(x−na])当na−b≤x≤na+bV()x=⎨2，⎪⎩0当(n−)1a+b≤x≤na−b其中a=4b，W为常数，求此晶体第一及第二禁带宽度解：据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为Eg=2Vn，其中Vn是周期势场课后答案网V()x傅立叶级数的系数，该系数为：2π1a/2−inxV=V()xeadxn∫a−a/2求得，第一禁带宽度为2πwww.hackshp.cn1a2/−ixE=2V=2V()xeadxg11∫a−a2/22π1bmW22−inx=2∫[b−xea]dx4b−b21bmW2π[22⎛]⎞=2∫b−xcos⎜x⎟dx4b−b2⎝2b⎠228mWb=3π第二禁带宽度为19若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn4π1a2/−ixE=2V=2V()xeadxg12∫a−a2/2π1bmW22−ix=2∫[b−xeadx]4b−b21bmW2π[22⎛]⎞=2∫b−xcos⎜x⎟dx4b−b2⎝b⎠22mWb=2π∗6.4用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s态电子能带，画出E()k，m()k与波矢的关系，证明只有在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无关。解：根据紧束缚近似，()ikaEk=E0−J0−J1∑eRs对一维，最近邻Rs=±aika−ika则E()k=E−J−J(e+e)001=E−J−Jcoska001E()k为余弦函数（图省）22∗ℏℏ有效质量m==课后答案网22∂E(2Jacoska)12∂k∗()mk的图也省在原点附近，www.hackshp.cnka很小，coska≈1∗2(2)∴m≈ℏ2Ja1π在布里渊区边界，k=±，ka=±π，coska≈−1a2∗2(2−)ℏ∴m≈ℏ−2J1a=22J1a6.5某晶体电子的等能面是椭球面2222ℏ⎛kkk⎞⎜123⎟E=⎜++⎟，坐标轴1，2，3互相垂直。2mmm⎝123⎠求能态密度。20若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn解：由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为222kkk123++=12mE2mE2mE123222ℏℏℏ222xyz将上式与椭球公式++=1222abc比较可知，在波矢空间内电子的等能面是一椭球面，与椭球的体积4πabc比较可得到，能量为E的等能面围成的椭球体积3422/3τ=π2mmmE31233ℏ由上式可得4π/12dτ=2mmmEdE3123ℏ能量区间E→(E+dE内电子的状态数目)VVcc2/1dz=2dτ=2mmmEdE323123(2π)πℏV是晶体体积，电子的能态密度c()dzVc2/1NE==2mmmE23123dE课后答案网πℏ6.6已知能带为：E()k=−α(cosak+cosak)−βcosakxyz其中α>0，β>0，a为晶格常数，试求（1）能带宽度www.hackshp.cnπ（2）电子在波矢)1,1,1(状态下的速度2a（3）能带底附近电子的能态密度∂E解：（1）=aαsinak=0，∴ka=nπxx∂kx∂E=aαsinak=0，∴ka=nπyy∂ky∂E=aαsinak=0，∴ka=nπzz∂kz21若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn可看出，n为偶数时E为极小值，n为奇数时为极大值∴E＝−α[−1＋(−1)−β]⋅(−1＝)2α+β顶E＝−α[1+1−]β⋅1＝−2α−β底故，能带宽度∆E=E−E＝4α+2β顶底（2）v=vi+vj+vk其中xyz1∂E1vx==αasinakxℏ∂kxℏ1∂E1vy==αasinakyℏ∂kyℏ1∂E1vz==aβsinakzℏ∂kzℏπ在k=)1,1,1(时2a1v=v=αaxyℏ1v=aβzℏ1∴v=[aα(i+j+)aβk]ℏ（3）能带底n为偶数，可取为零，故ka，ka，ka均很小xyz2x据cosx课后答案网≈1−(x<<)12⎡⎛122⎞⎛122⎞⎤⎛122⎞有E()k=−α⎢⎜1−kxa⎟+⎜1−kya⎟⎥−β⎜1−kza⎟⎣⎝2⎠⎝2⎠⎦⎝2⎠222222www.hackshp.cnαakxαakyβakz=−2α−β+++2222k22kkxyz∴E+2α+β=++222222αaαaβa用和6.5题相同的方法，其中2222E→E+2α+β，m→，m→，m→2122232ℏαaαaβa2/12⎡1⎤则：ρ()E=2⎢2(E+2α+β⎥)π⎣αβ⎦22若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn6.7用紧束缚模型求最近邻近似的s态电子能带公式，写出二维正三角形网络的能带，计算电子的速度及有效质量张量。解：∵Ek()=E−J−J∑eikRis001Rsyx对二维正三角晶格（如图），6个最近邻的坐标为⎛a3⎞⎛a3⎞⎛a3⎞⎛a3⎞(a0,，)(−a0,，)⎜,a⎟，⎜,−a⎟，⎜−,a⎟，⎜−,−a⎟⎜⎝22⎟⎠⎜⎝22⎟⎠⎜⎝22⎟⎠⎜⎝22⎟⎠代入上式并化简得：⎛ka3⎞E()k=E−J−J⎜coska+2cosxcoska⎟001⎜x22y⎟⎝⎠电子速度：v=vi+vj，其中xy1∂E2Ja⎛ka3⎞v==1⎜sinka+sinxcoska⎟xℏ∂kℏ⎜x22y⎟x⎝⎠1∂E课后答案网23J1a⎛⎜kxa3⎞⎟v==cossinkayℏ∂kℏ⎜22y⎟y⎝⎠2∗−11∂E由于(m)=ij2ℏ∂k∂kwww.hackshp.cnxy2⎛⎞∴(m∗−1)=aJ1⎜2coska+coskxacos3ka⎟xxℏ2⎜x22y⎟⎝⎠2⎛⎞(m∗−1)=3aJ1⎜coskxacos3ka⎟yyℏ2⎜22y⎟⎝⎠−2⎛⎞(m∗−1)=3aJ1⎜sinkxasin3ka⎟xyℏ2⎜22y⎟⎝⎠6.8用紧束缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下s态电子能带（1）证明在k＝0附近，能带的等能面是球形的，导出有效质量。23若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（2）画出[100]与[111]方向的E()k曲线。（3）画出k−k平面内能量的等值线。xy解：（1）∵Ek()=E−J−J∑eikRis001Rs面心立方最近邻有十二个原子，其Rs位置在ijkaa±±022aa±0±22aa0±±22将这些Rs代入上式并简化可得：⎛kxakyakyakzakzakxa⎞E()k=E0−J0−4J1⎜coscos+coscos+coscos⎟在k＝⎝222222⎠2x0附近，k，k，k，均很小，利用cosx≈1−，（x<<1,则得xyz2⎧⎡1ka2⎤⎡1ka2⎤⎡1ka2⎤⎡1ka2⎤⎫⎛x⎞⎛y⎞⎛y⎞⎛z⎞⎪⎢1−⎜⎟⎥⎢1−⎜⎟⎥+⎢1−⎜⎟⎥⎢1−⎜⎟⎥⎪⎪⎪⎢⎣2⎝2⎠⎥⎦⎢⎣2⎝2⎠⎥⎦⎢⎣2⎝2⎠⎥⎦⎢⎣2⎝2⎠⎥⎦⎪⎪E()k=E0−J0−4J1⎨⎬⎡2⎤⎡2⎤⎪1⎛kza⎞1⎛kxa⎞⎪⎪+⎢1−⎜⎟⎥⎢1−⎜⎟⎥⎪⎪⎩⎢⎣2⎝2⎠⎥⎦⎢⎣2⎝2⎠⎥⎦⎪⎭2⎛a⎞222故E()k=课后答案网E0−J0−4J1⎜⎟(kx+ky+kz)⎝2⎠222∗−1∗−11∂E8J1⎛a⎞ℏ由于(m)=mii(=)22=2⎜⎟=ℏ∂kiℏ⎝2⎠2J1a∗www.hackshp.cn其余m=0ij（2）在[100]方向，k=k=0，则yzka()xEk=E−J−4J−8Jcos00112即可按此函数作图（图省）在[111]方向，k=k=k=kxyz()2ka2ka∴Ek=E−J−3×4Jcos=E−J−12Jcos00100122可据上函数作图（图省）（4）在k−k平面内，k=0xyz24若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn⎛kxa1kya1⎞∴E()k=E−J−4J⎜coscoska+cos+coska⎟001⎜yx⎟⎝2222⎠等值线即E()k=C（C为常数）6.9对体心立方晶格，用紧束缚法近似计算最近邻近似下s态电子能带，证明在带底和带顶附近等能面近似为球形，写出电子的有效质量。解：s态电子能带可表示为Ek()=E−J−J∑eikRis001Rsaaa对体心立方，最近邻原子为8个，其Rs为：±，±，±222aaaai(kx+ky+kzi)(kx+ky−kzi)(kx−ky+kzi)(−kx+ky+kz)E()k=E−J−J[e2+e2+e2+e2001aaaai(−kx−ky+kz)i(−kx+ky−kz)i(kx+ky−kzi)(−kx−ky−kz)+e2+e2+e2+e2化简后即得：⎛kxa11⎞故E()k=E0−J0−8J1⎜coscoskyacoskza⎟⎝222⎠kiakia由于−1≤cosx≤1，可看出=π时，cos=−122Ek()为极大值，即Emax=8J1kiakia而=0，。即ki=0时，cos=122Ek()为极小值，即课后答案网Emin=−8J1故带宽∆=EE−E＝16Jmaxmin12x在带底附近，由于k→0，用cosx≈−1，则www.hackshp.cni2222⎡1⎛kax⎞⎤⎡1⎛kay⎞⎤⎡1⎛kaz⎞⎤Ek()=E0−J0−8J1⎢1−⎜⎟⎥⎢1−⎜⎟⎥⎢1−⎜⎟⎥⎢⎣2⎝2⎠⎥⎦⎢2⎝2⎠⎥⎢⎣2⎝2⎠⎥⎦⎣⎦2⎡a222⎤=E−J−8J1−(k+k+k)001⎢xyz⎥⎣8⎦这显然是一个球形22m∗−1=m∗−1=1∂E=2J1a有效质量()ii()222，ℏ∂kℏi25若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn2∗ℏ所以m=22Ja1kai在带顶附近，可写为=π−∆i，∆i很小2kia⎡12⎤则cos=cos(π−∆i)=−cos∆i≈−⎢1−(∆i)⎥2⎣2⎦()⎧1[(2)(2)(2]⎫)∴Ek=E0−J0+8J1⎨1−∆x+∆y+∆z⎬⎩2⎭这显然也是个球形⎡2⎤⎛⎜2⎛kxa⎞⎞⎟2⎢∂⎜π−⎟⎥2∗−1∗−11∂E1⎢⎜1⎝2⎠⎟⎥2J1a而(m)=m(=)=8J−=−，iiℏ2∂k2ℏ2⎢1⎜2∂k2⎟⎥ℏ2x⎜x⎟⎢⎜⎟⎥⎢⎣⎝⎠⎥⎦2∗ℏm=−22Ja16.10金属铋的导带底部有效质量倒数张量为⎡a00⎤xx(∗−1)⎢⎥m=0aa⎢yyyz⎥⎢0aa⎥⎣yzzz⎦求有效质量张量的各分量，并确定此能带底部附近等能面的性质课后答案网∗−1∗解：(m)的逆矩阵即为m矩阵，用矩阵计算方法，可求得∗1∗azz∗ayym=，m=，m=，xxyy2zz2axxwww.hackshp.cn(ayyazz−ayz)(ayyazz−ayz)a∗∗yzm=m=，其余为0yzzy(2)aa−ayyzzyz为确定等能面，在作为k矢量原点的能带底部附近泰勒展开（有用的仅二阶项），2∂E1∂E∗−1并假定能带底E＝0，在能带底一阶导数为0，即=0，且＝(m)=a2ijij∂kℏ∂k∂kiij12222故有Ek()=ℏ(ak+ak+ak+2akk)xxxxyyyyzzzyzyz2显然等能面Ek()=c是一个椭球面26若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn固体物理第七章答案7.3（1）先决定导带底及价带顶的极值位置222dEK()2ℏk2ℏ(k−k)c1=+=0dk3mm33πk=k=c144α2dEk()6ℏkv=−=0k=0vdkm导带极小值的能量2222222ℏkcℏ2ℏk1ℏ⎛π⎞Ek()=+(k−k)==⎜⎟ccc13mm4m4m⎝α⎠价带极大值的能量2222ℏkcℏ⎛π⎞E==⎜⎟v6m6m⎝α⎠禁带宽度Eg为222222ℏ⎛π⎞ℏ⎛π⎞ℏ⎛π⎞E=Ek()−Ek()=⎜⎟−⎜⎟=⎜⎟gccvv4m课后答案网⎝α⎠6m⎝α⎠12m⎝α⎠（2）导带底电子有效质量−12*⎡1dEkc()⎤⎡22⎤3m=⎢⎥=−+=mc2dk2⎢3mm⎥8⎣ℏ⎦⎣⎦价带顶电子有效质量www.hackshp.cn−12*⎡1dEkc()⎤mm=⎢⎥=−c22⎣ℏdk⎦63π（3）∆=pℏk−ℏk=cv4α22ℏkE=*2mh7.4重空穴能量比轻空穴小27若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn7.51=en(µ+pµ)=n(µ+µ)enienρ11−19−3n===2.5110×mi−19pe(µ+µ)0.471.610×××(0.360.17)+en7.6（1）利用类氢模型，InSb中施主杂质的电离能为4eme−4E==6.2810×eVd222εℏ（2）施主杂质的玻尔半径22εℏℏm−8a==()ε=6.3610×cmd22memem课后答案网ee3−223（3）锑化铟为fcc结构，晶体的总体积V=Na=2.7210×Ncm4π3−10一个施主杂质所波及的体积为a=10.7710×cmdwww.hackshp.cn3因此，杂质之间不发生重迭的临界杂质数为：V−7=2.52610×N43πad3每个原胞中含有4个原子，所以使杂质间不发生重迭的最小杂质浓度为：−72.52610×N−6=6.3210×at.%4N⎛d1⎞7.7运动方程m⎜+⎟V=−eEV(+×B)⎝dtτ⎠28若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnB平行于Z轴，载流子是电子时，⎛d1⎞m⎜+⎟V=−eE(+BV)dtτxexe⎝⎠⎛d1⎞m⎜+⎟V=−eE(+BV)dtτyeye⎝⎠稳态时，时间导数为0，2eτeτV=−E−ωτV−BVxxeceyeyemmeτV=−E+ωτVyyecexemeτV=−Ezzem其中，ω=eBm/，称为回旋频率，c解得⎧1⎡eτeτ⎤ee⎪V=⎢−E+(ωτ)Ey⎥xe2xce⎪1(+ωτ)⎣mm⎦ceee⎨⎪1⎡eτeτ⎤eeV=−⎢(ωτ)E+Ey⎥⎪ye1(+ωτ)2mcexm⎩ce⎣ee⎦nµnµωτ()eeeecej=−−(enV)=E−Exexe2x2y1(+ωτ)1(+ωτ)cece=(σ11)eE课后答案网x−(σ12)eEyj=−−(enV)=(σ)E−(σ)Eyeye11ey12ex其中www.hackshp.cnnµnµωτ()eeeece(σ)=，(σ)=v11e212e21(+ωτ)1(+ωτ)cece同理，当载流子是空穴时：⎧j=(σ)E−(σ)Exh11hx12hy⎨j=(σ)E+(σ)E⎩yh11hy12hx总电流⎧⎪jx=((σ11)e+(σ11)h)Ex−((σ12)e+(σ12)h)Ey⎨⎪⎩jy=((σ11)e+(σ11)h)Ey−(σ(12)e+(σ12)h)Ex(σ)+(σ)11e11h令jy=0求得：E=E代入jx表达式，并由霍耳系数定义式得：xy(σ)+(σ)12e12h29若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnEy1(σ12)e+(σ12)hR==−H22jBxB[(σ11)e+(σ11)h]+([σ12)e+(σ12)h]2略去(ωτ)得c22pµ−nµheR=H2en(µ+pµ)eh7.8由7.42可得E−gσ=σe02KTBEg=64932KB−2321.3810×××6493E==1.12eVg−191.60210×7.9在温度不太高时可忽略本征激发，载流子将主要是由施主能级激发到导带的电子，这时，导带中电子数目显然和空的施主能级数目相等。n=ND[1−fE()]⎛−EC−EF⎞课后答案网NDNexp⎜⎟=c⎝kT⎠⎛−E−E⎞BDF12exp+⎜⎟⎝kTB⎠331⎛2mkTeB⎞21⎛2mkThB⎞2其中NC=3⎜2⎟www.hackshp.cn，ND=3⎜2⎟4π⎝ℏ⎠4π⎝ℏ⎠称为有效能级密度，当施主电离很弱时，E−E≫1，可略去右边分母中的1。FD⎛E−E⎞N⎛E−E⎞CFDDFNexp⎜−⎟=exp⎜−⎟C⎝kTB⎠2⎝kTB⎠11NDE=(E+E)+kTn1()FCVB222NC1若要使E=(E+E)FCV230若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn则N=2NDC7.10通过p-n结的电流与偏压的关系为I−I⎡eeVkT/B−1⎤0⎣⎦当T=300K，V=0.15V时，1eV/kBT=5.8，因此，反向电流实质上便是I0，故正向电流为5.8I=e×5µA=1.66mA第九章9.1Sn在零磁场时Tc为3.7K，在绝对零度时的临界磁场Hc（0）为24*103A/m。求当T为2K时的临界磁场Hc。如果2K时半径为0.1cm的Sn线通过电流，问：在超导线表明的磁场强度H等于Hc（2K）时的临界电流为多少安培？2T答：由公式HT()=H(1−)cco2Tc232可得H(2)K=2410××(1−)=16.988*103（A/m）c2课后答案网3.79.2已知Hg和Pb的德拜温度分别为70K和96K，临界温度Tc分别为4.16K和7.22K，低温22电子比热γ[(=πk)gE()/3]分别为1.79和2.98[mJmolK/(i)]，求Hg和Pb的有效吸引BF能VPb/VHg之值。www.hackshp.cn9.3试推证穿透深度λ的表示式。L答：将London方程cj=−A（1）24πλL两边求导得∂jc∂A=−（2）2∂t4πλ∂tL再由Maxwell方程1∂B∇×E=−ct∂31若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn∇×A=B1∂A得到∇×E=−∇×c∂t代入（2）得到2∂jc=−E（3）2∂t4πλLdv由于j=nqv，n为载流子密度，且m=qE。则dt2∂j∂vq=nq=E∂t∂tm与（3）式比较，得22cnq=24πλmL22mc所以λ=L24πnq9.4如何区分第一类超导体和第二类超导体？答：超导体按磁化特性可分为两类。第一类超导体只有一个临界磁场Hc，其。很明显在超导态，磁化行为满足M/H=-1，具有迈斯纳效应。除钒、铌、钽外，其他超导元素都是第一类超导体。第二类超导体有两个临界磁场，即下临界磁场Hc1和上临界磁场Hc2，当外磁场H0小于Hc1时，同第一类超导体一样，磁通被完全排出体外，此时，第二类超导体处于迈斯纳状态，体内没有磁通线通过。当外场增加至Hc1和Hc2之间时，第二类超导体处于混合态，也称涡旋态，这时体内有部分磁通穿过，体内既有超导态部分，又有正常态部分，磁通只是部分被排出。课后答案网9.5用直径为1mm的铅丝围成一个直径为10cm的环。该铅环处于超导态。已经有100A的电流在铅环内流动。一年内没有观测到电流有任何变化。设电流测试的精度可达1uA。试估算铅在超导态时的电阻率为多少？9.6设均匀磁场Ho沿y轴，超导薄板与www.hackshp.cnz轴垂直。薄板的上下两个平面为z=±d。求证超导体内部的磁通密度为zcosh()λBz()=µHoodcosh()λ答：考虑以厚度为δ的无限平面超导平板，外加的均匀磁场沿Z轴方向。在超导体外，磁场强度为B=Bak；在体内B=B（x）k；在表面处B连续，B（±δ/2）=Ba。在一维的情况下，穿透22方程λ∇B=B变成222Bx()λ=Bx()22x32若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnxx−它的通解为：Bx()=aeλ+beλ，应用边界条件B（±δ/2）=Ba，可解得xx/λ−x/λcosh()e+e−1λa=b=Bx()=B()=Bx()=Baδ/2λ−δ/2λaδe+ecosh()2λ课后答案网www.hackshp.cn33若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn'