工程数学概率统计简明教程(同济大学应用数学系)》课后答案 42页

'课后答案网您最真诚的朋友www.hackshp.cn网团队竭诚为学生服务，免费提供各门课后答案，不用积分，甚至不用注册，旨在为广大学生提供自主学习的平台！课后答案网：www.hackshp.cn视频教程网：www.efanjy.comPPT课件网：www.ppthouse.com GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！习题一解答1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：(1)抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A={两次出现的面相同}；(2)记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A={一分钟内呼叫次数不超过3次}；(3)从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A={寿命在2000到2500小时之间}。解(1)W={(+,+),(+,-),(-,+),(-,-)}，A={(+,+),(-,-)}.(2)记X为一分钟内接到的呼叫次数，则W={X=k|k=,1,0,2LL}，A={X=k|k=2,1,0}3,.(3)记X为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则W={XÎ(,0+¥)}，A={XÎ(2000,2500)}.2.袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设A={取得球的号码是偶数}，B={取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)AUB；(2)AB；(3)AC；(4)AC；(5)AC；(6)BUC；(7)A-C.解(1)AUB=W是必然事件；(2)AB=f是不可能事件；(3)AC={取得球的号码是2，4}；(4)AC={取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5)AC={取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6)BUC=BIC={取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}；(7)A-C=AC={取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}ì1üì13ü3.在区间0[]2,上任取一数，记课后答案网A=íx2对应的分布函数F(x)的表达式。xxxx解当x£0时，F(x)=òf(x)dx=ò5.0edx=5.0e-¥-¥x0xx当02时，F(x)=ò5.0edx+ò.025dx+ò0dx=5.0+05.=1-¥02综合有x5.0e,x£;0F(x)=5.0+.025x,0£x£;21,x³.2216.设随机变量X在(6,1)上服从均匀分布，求方程t+Xt+1=0有实根的概率。解X的密度函数为1f(x)=,10;3(x+100)0www.hackshp.cn，其他.求：(1)X的分布函数；(2)至少有200天有效期的概率。,0x<;0x解(1)F(x)=òf(x)dx=x20000-¥òdx,0(x+100)3x³.0,0x<;0=100001-,()2x+100x³.0æ10000ö1(2)P(X>200)=1-P(X£200)=1-F(200)=1-ç1-÷=。ç()2÷è200+100ø918.设随机变量X的分布函数为0,x£0F(x)=()-x1-1+xe,x>0求X的密度函数，并计算P(X£1)和P(X>2)。解由分布函数F(x)与密度函数f(x)的关系，可得在f(x)的一切连续点处有f(x)=F¢(x)，因此-xx>0xe,f(x)=,0其他-1-1所求概率P(X£1)=F(1)=1-(1+1)e=1-2e；()()()(()-2)-2PX>2=1-PX£2=1-F2=1-1-1+2e=3e。19.设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx,-¥01-e5,为f(x)=，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。50www.hackshp.cn其他（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。1解（1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X服从l=的指数分布，5且顾客等待时间超过10min就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为x+¥1-5-2P(X³10)=òedx=e；105-2（2）设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从n=,5p=e的二项分布，所求概率为P(Y£1)=P(Y=0)+P(Y=1)æ5ö-20-25æ5ö-2-24=ç÷(e)(1-e)+ç÷e(1-e)ç÷ç÷è0øè1ø-2-24=(1+4e)(1-e)21.设X服从N(1,0)，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P(X<2.2)；（2）P(X>176)；（3）P(X<-.078)；（4）P(X<.155)；（5）P(X>5.2)。解查正态分布表可得（1）P(X<2.2)=F(2.2)=.09861；（2）P(X>.176)=1-P(X£.176)=1-F(.176)=1-.09608=.00392；（3）P(X<-.078)=F(-.078)=1-F(.078)=1-.07823=.02177；（4）P(X<.155)=P(-.1555.2)=1-P(X£5.2)=1-[2F(25.)-1]若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！=2-2F(5.2)=2(1-.09938)=.00124。22.设X服从N(-,116)，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P(X<.244)；（2）P(X>-5.1)；（3）P(X<-8.2)；（4）P(X<4)；（5）P(-51)。2æb-möæa-mö解当X~N(m,s)时，P(a£X£b)=Fç÷-Fç÷，借助于该性质，再查标准正态分布函èsøèsø数表可求得æ.244+1ö（1）P(X<.244)=Fç÷=F(.086)=.08051；è4øæ-5.1+1ö（2）P(X>-5.1)=1-Fç÷=1-F(-.0125)è4ø=1-(1-F(.0125))=F(.0125)=.05498；æ-8.2+1ö（3）P(X<-8.2)=Fç÷=F(-.045)=1-F(.045)=1-.06736=.03264；è4øæ4+1öæ-4+1ö（4）P(X<4)=Fç÷-Fç÷=F(.125)-F(-.075)è4øè4ø=F(.125)-1+F(.075)=.08944-1+.07734=.06678；æ2+1öæ-5+1ö（5）P(-51)=1-P(X-1£1)=1-P(0£X£2)=1-êFç÷-Fç÷ú课后答案网ëè4øè4øû=1-F(.075)+F(.025)=1-.07724+.05987=.08253。23.某厂生产的滚珠直径服从正态分布N(.205,.001)，合格品的规格规定为2±2.0，求该厂滚珠的合格率。www.hackshp.cn解所求得概率为æ2.2-.205öæ8.1-.205öP(2-2.0£X£2+2.0)=Fç÷-Fç÷è1.0øè1.0ø=F(5.1)-F(-5.2)=F(5.1)-1+F(5.2)=0.9332-1+0.9938=0.92724.某人上班所需的时间X~N(30,100)（单位：min）已知上班时间为8：30，他每天7：50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。解（1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为æ40-30öP(X>40)=1-Fç÷=1-F()1=1-.08413=.01587；è10ø（2）记Y为5天中某人迟到的次数，则Y服从n=,5p=.01587的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为æ5ö05æ5ö4P(Y£1)=ç÷(.01587)´(.08413)+ç÷.01587´(.08413)=.08192。ç÷ç÷è1øè1ø习题五解答æ1ö1.二维随机变量(X,Y)只能取下列数组中的值：(0,0)(,-),1,1ç-,1÷,(0,2)，且取这些组值的概率依è3ø1115次为,,,，求这二维随机变量的分布律。631212解由题意可得(X,Y)的联合分布律为 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.课后答案网：www.hackshp.cn1若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！XY01311-10123100065200122.一口袋中有四个球，它们依次标有数字1,2,2,3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求(X,Y)的分布律及P(X=Y)。解X可能的取值为1,2,3，Y可能的取值为1,2,3，相应的，其概率为1´211´11P(X=,1Y=1)=,0P(X=,1Y=2)==,P(X=,1Y=3)==,4´364´3122´112´112´11P(X=,2Y=1)==,P(X=,2Y=2)==,P(X=,2Y=3)==,4´364´364´3611´21P(X=,3Y=1)=,P(X=,3Y=2)==,P(X=,3Y=3)=.0124´36或写成XY12311106121112课后答案网66611301261P(X=Y)=P(X=,1Y=1)+P(X=,2Y=2)+P(X=,3Y=3)=。www.hackshp.cn63.箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下：X=0，若第一次取出正品；Y=0，若第二次取出正品；1，若第一次取出次品；1，若第二次取出次品。分别就下面两种情况求出二维随机变量(X,Y)的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。解（1）在放回抽样时，X可能取的值为0,1，Y可能取的值也为0,1，且8´8168´24P(X=,0Y=0)==,P(X=,0Y=1)==,10´102510´10252´842´21P(X=,1Y=0)==,P(X=,1Y=1)==,10´102510´1025或写成XY01164025254112525（2）在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为8´7288´28P(X=,0Y=0)==,P(X=,0Y=1)==,10´94510´9452´882´11P(X=,1Y=0)==,P(X=,1Y=1)==,10´94510´945或写成 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！XY012880454581145454.对于第1题中的二维随机变量(X,Y)的分布，写出关于X及关于Y的边缘分布律。解把第1题中的联合分布律按行相加得X的边缘分布律为X-102515概率12612按列相加得Y的边缘分布律为1Y013711概率121235.对于第3题中的二维随机变量(X,Y)的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下，写出关于X及关于Y的边缘分布律。解在有放回情况下X的边缘分布律为X0141概率55Y的边缘分布律为课后答案网Y0141概率55在无放回情况下X的边缘分布律为www.hackshp.cnX0141概率55Y的边缘分布律为Y0141概率556.求在D上服从均匀分布的随机变量(X,Y)的密度函数及分布函数，其中D为x轴、y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域。解区域D见图5.2。111易算得D的面积为S=´1´=，所以(X,Y)的密度函数224()4,(x,y)ÎDyfx,y=,0其他()1X,Y的分布函数()yx()Fx,y=òòfx,ydxdy-¥-¥1当x<-或y<0时，F(x,y)=0；21当-£x<,00£y<2x+1时,21yx2-1-01xF(x,y)=ò0dyòy-14dx=4xy+2y-y；2图5.221x2x+12当-£x<0,y³2x+1时，F(x,y)=òdxò4dy=4x+4x+1；102-2 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.y课后答案网：www.hackshp.cn02当x³00,£y<1时，F(x,y)=òdyò4dx=2y-y；若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！0y-1202x+1当x³,0y³1时，F(x,y)=òdxò4dy=110-2综合有10,x<-或y<02214xy-y+2y,-£x<0且0£y<2x+1221F(x,y)=4x+4x+,1-£x<0且y³2x+1222y-y,x³0且0£y<11,x³0且y³17.对于第6题中的二维随机变量(X,Y)的分布，写出关于X及关于Y的边缘密度函数。解X的边缘密度函数为()+¥()fXx=òfx,ydy-¥2x+11()1ò4dy,-05e,yf(y)=Y,0其他因为X与Y独立，易得(X,Y)的联合密度函数-5y0025e,f(x,y)=f(x)f(y)=XY,0其他概率P(X³Y)=òòf(x,y)dxdy，G0.2x其中区域G={(x,y)|x³y}见图5.3，经计算有图5.3().02x-5y2.0(-5x)-1PX³Y=òdxò25edy=ò51-edx=e。00012.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为ke-(3x+4y课后答案网),x>,0y>0f(x,y)=,0其他求：（1）系数k；（2）P(0£X£10,£Y£2)；（3）证明X与Y相互独立。解（1）+¥+¥fx,ydxdy=1，即ò+¥dyò+¥ke-(3x+4y)dx=1k必须满足www.hackshp.cnòò-¥-¥()00，经计算得k=12；（2）P(0£X£,10£Y£2)=ò2dyò112e-(3x+4y)dx=(1-e-3)(1-e-8)；00（3）关于X的边缘密度函数+¥12e-(3x+4y)dy,x>0+¥òfX(x)=òf(x,y)dy=0-¥,0其他-3xx>03e,=,0其他同理可求得Y的边缘密度函数为-4yx>04e,f(y)=Y,0其他易见f(x,y)=f(x)f(y),-¥,1布律。解由于X服从参数l=1的泊松分布，因此k-1()1-1ePX=k=e=,k=,1,0,2L,k!k!-1-1ee-1而P(Y=0)=P(X£1)=P(X=0)+P(X=1)=+=2e；0!1!-1P(Y=1)=P(X>1)=1-P(X£1)=1-2e。 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.课后答案网：www.hackshp.cn即Y的分布律为若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！Y01概率-1-12e1-2e2x,0;0f(y)=F¢(y)=2p2y2p2yYY课后答案网其他,,01y-e2,y>0;=www.hackshp.cn2py其他.,0X6.设随机变量X服从参数为1的指数分布，求随机变量的函数Y=e的密度函数f(y)。Y-xe,x>0;解f(x)=X,0其他.x1y=e的反函数h()y=lny,h¢(y)=，因此所求的Y的密度函数为y-lny1e,lny>;0fY(y)=fX(h(y))h¢(y)=y其他,0,1,y>1;2=y其他.,027.设X服从N(1,0)，证明sX+a服从N(a,s),其中a,s为两个常数且s>0。21-x证明由于X~N(1,0),所以f()x=e2,-¥0时，X2py-a1y=sx+a为单增函数，其反函数h()y=,h¢()y=,因此Y的密度函数为ss122æy-aö(y-a)1-ç÷11-2f()y=f(h(y))()h¢y=e2èsø×=e2s,-¥0；若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！8.设随机变量X在区间[-2,1]上服从均匀分布，随机变量Y=0,若X=0；-1,若X<0.试求随机变量函数Y的分布律。1,-10)=òdx=。033因此所求分布律为Y-10112概率0339.设二维随机变量(X,Y)的分布律XY１２３111１4481２００课后答案网811３０88求以下随机变量的分布律：（１）www.hackshp.cnX+Y；（２）X-Y；（３）2X；（４）XY。解111111概率０００448888(X,Y)(1,1)(2,1)(3,1)(1,2)(2,2)(3,2)(1,3)(2,3)(3,3)X+Y２３４３４５４５６X-Y０-１-210-1210XY123246369从而得到（1）X+Y２３４５1311概率4848（２）X-Y-２-101211111概率84448（３）从联合分布律可求得Ｘ的边缘分布律为Ｘ１２３511概率884由此得2X的分布律为Ｘ２４６ GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.课后答案网：www.hackshp.cn511若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！概率884（４）XY12361311概率4848æ1öæ1ö１０.设随机变量Ｘ、Ｙ相互独立，X~Bç,1÷,Y~Bç,1÷,è4øè4ø（１）记随机变量Z=X+Y，求Z的分布律；（２）记随机变量U=2X，求U的分布律。从而证实：即使Ｘ、Ｙ服从同样的分布，X+Y与2X的分布并不一定相同，直观地解释这一结论。æ1öæ1öæ1ö解（１）由于X~Bç,1÷,Y~Bç,1÷，且Ｘ与Ｙ独立，由分布可加性知X+Y~Bç,2÷，即è4øè4øè4øk2-kæ2öæ1öæ3öP(Z=k)=P(X+Y=k)=çç÷÷ç÷ç÷,k=,02,1,经计算有èkøè4øè4øZ０１２961概率161616（２）由于X０１13课后答案网概率44因此U=2X０２www.hackshp.cn13概率44易见X+Y与2X的分布并不相同。直观的解释是的X+Y与2X的取值并不相同，这是因为X与Y并不一定同时取同一值，因而导致它们的分布也不同。１１.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为XY１２３1１００921２０99221３999（１）求U=max(X,Y)的分布律；（２）求V=min(X,Y)的分布律。解（１）随机变量U可能取到的值为１，２，３中的一个，且 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.课后答案网：www.hackshp.cn1P(U=1)=P(max(X,Y)=1)=若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！P(X=,1Y=1)=;9P(U=2)=P(max(X,Y)=2)=P(X=,1Y=2)+P(X=,2Y=1)+P(X=,2Y=2)211=0++=;993P(U=3)=P(max(X,Y)=3)综合有=P(X=,1Y=3)+P(X=,2Y=3)+P(X=,3Y=1)+P(X=,3Y=2)+P(X=3,Y=3)2215=0+0+++=;9999U１２３115概率939（２）随机变量V可能取到的值为１，２，３中的一个，且P(V=1)=P(min(X,Y)=1)同理可求得=P(X=,1Y=1)+P(X=,1Y=2)+P(X=,1Y=3)+P(X=,2Y=1)+P(X=3,Y=1)1225=+0+0++=;999911P(V=2)=,P(V=3)=,综合有39V１２３511概率课后答案网939１２.设二维随机变量(X,Y)服从在Ｄ上的均匀分布，其中Ｄ为直线x=,0y=0，x=,2y=2所围成的区域，求X-Y的分布函数及密度函数。解(X,Y)的联合密度函数为www.hackshp.cnyDz2-202x图6.2ì1ï,00)的泊松分布，且已知E[(X-2)(X-3)]=2，求l的值。解 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.[()()课后答案网：www.hackshp.cn](2)(2)()EX-2X-3=EX-5X+6=EX-5EX+6=2若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！(()(())2)()DX+EX-5EX+6=22l+l-5l+4=0l=223.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求X的数学2期望E(X)。解X~B(10,4.0)所以E(X)=10´4.0=,4D(X)=10´4.0´6.0=4.2222故E(X)=D(X)+(E(X))=4.2+4=184.4.国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布。若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？解设随机变量Y表示平均收益（单位：万元），进货量为a吨3X-(a-X)x00x£0-2X求E(X)、E(2X)、E(X+e)、D(X)。解+¥-xEX()=òxedx=10E(2X)=2E(X)=2-2X-2X+¥-2x-x+¥-3x14EX(+e)=EX()+Ee()=+1òeedx=+1òedx=+1=0033+¥22-xEX()=òxedx=2022DX()=EX()-(EX())=19.设随机变量(X,Y)的联合分布律为课后答案网XY0100.30.210.40.1求E(X)、E(Y)、E(X-2Y)、E(3XY)、D(X)、D(Y)、cov(X,Y)、r。www.hackshp.cnX,Y解关于X与Y的边缘分布律分别为：X01Y01Pr0.50.5Pr0.70.3E(X)=0´5.0+1´5.0=5.0222E(X)=0´5.0+1´5.0=5.02D()X=5.0-(5.0)=.025E()Y=0´7.0+1´3.0=3.0222E(Y)=0´7.0+1´3.0=3.02D()Y=3.0-(3.0)=.021E(X-2Y)=E()X-2E()Y=5.0-2´3.0=-1.0E(3XY)=3E(XY)=3(0´0´3.0+0´1´2.0+1´0´4.0+1´1´1.0)=3´1.0=3.0cov(X,Y)=E(XY)-E()X×E()Y=1.0-5.0´3.0=-.005cov(X,Y)-.00521r===-X,YD()XD()Y.025.0212110.设随机变量X,Y相互独立，它们的密度函数分别为2e-2xx>04e-4yy>0f(x)=f(y)=XY0x£00y£0求D(X+Y)。11解X~E(2)，所以D()X==，224 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.课后答案网：www.hackshp.cn11Y~E(4)，所以D()Y=若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！=，2416X,Y相互独立，所以5D(X+Y)=D(X)+D()Y=。1611.设(X,Y)服从在A上的均匀分布，其中A为x轴、y轴及直线x+y+1=0所围成的区域，求（1）E(X)；（2）E(-3X+2Y)；（3）E(XY)的值。解先画出A区域的图y-1x0xAf(x,y)=2y(x,y)ÎA-1-y0其他-1+¥f()x=òf(x,y)dy=X-¥0ò-x-12dy=2(1+x)-1£x£00其他+¥0f()y=f(x,y)dx=2dx=2(1+y)-1£y£0Yò-¥ò-1-y0其他01E()X=òx×2(1+x)dx=课后答案网--1301E()Y=òy×2(1+y)dy=--13www.hackshp.cn()()()æ1öæ1ö1E-3X+2Y=-3EX+2EY=-3´ç-÷+2´ç-÷=è3øè3ø300021E(XY)=òòxy2dydx=ò-x(1+x)dx=-1-1-x-11212.设随机变量(X,Y)的联合密度函数为2f(x,y)=12y0£y£x£10其他22求E(X),E(Y),E(XY),E(X+Y),D(X),D(Y)。解先画出区域0£y£x£1的图+¥f()x=òf(x,y)dy=yX-¥x112y2dy=4x3ò00£x£10G其他+¥f()y=òf(x,y)dx=Y-¥01x122ò12ydy=12y(1-y)y0£y£1 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.课后答案网：www.hackshp.cn0其他若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！143EX()=òx×4xdx=05132EY()=òy×12y(1-ydy)=051X12EXY()=òòxy×12ydydx=002111622222322EX(+Y)=EX()+EY()=òx×4xdx+òy×12y(1-ydy)=00152224æö42DX()=EX()-(EX())=-ç÷=6èø5752226æö31DY()=EY()-(EY())=-ç÷=15èø57513.设随机变量X,Y相互独立，且E(X)=E(Y)=,1D(X)=,2D(Y)=3，求D(XY)。解()(22)(())2DXY=EXY-EXY(2)(2)(()())2=EXEY-EX×EY[()(())2][()(())2][()]2[()]2=DX+EXDY+EY-EXEY=(2+1)(3+1)-1×1=1114.设D(X)=25,D(Y)=36,r=4.0，求（1）D(X+Y)；（2）D(X-Y)。X,Y解：（1）D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2rD(X)D(Y)课后答案网X,Y=25+36+2´4.0´25×36=85（2）D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2rD(X)D(Y)www.hackshp.cnX,Y=25+36-2´4.0´25×36=3715.设随机变量X,Y相互独立，X~N1()1,，Y~N(-2)1,，求E2(X+Y),D2(X+Y)。解EX()1=,()1;()DX=EY=-2,()1DY=E(2X+Y)=2()EX+EY()=´+-21(2)=02D(2X+Y)=2DX()+DY()=´+=4115+¥+¥16.验证：当(X,Y)为二维连续型随机变量时，按公式EX=òòxf(x,y)dydx及按公式-¥-¥+¥EX=òxf(x)dx算得的EX值相等。这里，f(x,y)、f(x)依次表示(X,Y),X的分布密度。-¥+¥+¥+¥+¥+¥证明EX=òò-¥-¥xf(,)xydydx=ò-¥xò-¥fxydydx(,)=ò-¥xfx()dx17.设X的方差为2.5，利用契比晓夫不等式估计P{X-EX³7}5.的值。DX()2.51解PX{-EX³7.5}£==227.57.522.518.设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计P(X+Y³6)的值。解E(X+Y)=E(X)+E(Y)=-2+2=0D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2rD(X)D(Y)X,Y=1+4+2´(-5.0)1×4=3所以 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.()()课后答案网：www.hackshp.cnPX+Y³6=PX+Y-0³6若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！=P(X+Y-E(X+Y)³6)D(X+Y)1£=261221.在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。在1年内每人的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元。试用中心极限定理求保险公司亏本的概率。解设死亡人数为X,X~B(3000,.0001)，保险公司亏本当且仅当2000X>10´3000，即X>15。于是，由棣莫弗—拉普拉斯定理，公司亏本的概率为æX-np15-npöP(X>15)=Pç>÷çènp(1-p)np(1-p)÷øæx-315-3ö=pç>÷è3´.0999.173ø»1-F(6.93)=0习题九解答1.设X,X,L,X是来自服从参数为l的泊松分布P(l)的样本，试写出样本的联合分布律。126lx1lx2lx6-l-l-l解f(x1,x2,L,x6)=e×e×L×ex!x!x!1课后答案网26nåxili=1-6l=ex,x,L,x=,1,0,2L6126www.hackshp.cnÕxi!i=12.设X,X,L,X是来自(,0q)上的均匀分布的样本，q>0未知126（1）写出样本的联合密度函数；（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？X1+X2+L+X6()()T=,T=X-q,T=X-EX,T=maxX,X,L,X12636141266（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。解-6（1）f(x,x,L,x)=q0c)=.095。 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.课后答案网：www.hackshp.cn解由t分布关于纵轴对称，所以P(T>c)=.095即为P(T>-c)=.005。若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！由附表5.6可查得-c=.181，所以c=-.181。25.设X,X,L,X是来自正态总体N(,0s)的样本，试证：12n1n22（1）2åXi~c()n；si=121ænö2（2）2çåXi÷~c()1。nsèi=1ø证明：2X2næXö1n22ii2（1）独立同分布于N(1,0)，由c分布的定义，åç÷~c()n，即2åXi~c()n。si=1èsøsi=12nænönåXiçåXi÷（2）易见，åX~N(,0ns2)，即i=1~N(1,0)，由c2分布的定义，çi=1÷~c2()1，即ii=1ns2çns2÷ç÷èø21ænö2()2çåXi÷~c1。nsèi=1ø6.设X,X,L,X是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个X(i=2,1,L5,)都服从N(1,0)。125i222（1）试给出常数c，使得c(X+X)服从c分布，并指出它的自由度；12X1+X2（2）试给出常数d，使得d服从t分布，并指出它的自由度。222X+X+X345解222（1）易见，X+X即为二个独立的服从N(1,0)的随机变量平方和，服从c(2)分布，即c=1；自由12课后答案网度为2。X1+X2（2）由于X+X~N(2,0)，则~N(1,0)。12www.hackshp.cn22222X1+X2222又X+X+X~c(3)，与X+X+X相互独立，则3453452(X+X)212~t()3222(X+X+X)33456X1+X2即~t()32X2+X2+X23456即d=，自由度为3。227.设(X,X,L,X)是取自总体X的一个样本，在下列三种情况下，分别求E(X),D(X),E(S)：（1）12nX~B(1,p)；（2）X~E(l)；（3）X~R(2,0q)，其中q>0。解（1）X~B(1,p)2EX()=p,EX()=pDX,()=p(1-p)æ1nö1nEX()=EçåXi÷=åEX(i)=pèni=1øni=1æ1nö1np(1-p)DX()=DçåXi÷=2åDX(i)=èni=1øni=1n GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.课后答案网：www.hackshp.cnnnn2æ12ö若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！1æ22ö1æ22öES()=Eçå(Xi-Xn)÷=EçåXi-nX÷=çåEX(i)-nEX()÷èni=1ønèi=1ønèi=1øn1é22ù=êå(DX(i)+(EX(i)))-nDX(()+(EX()))únëi=1û1éæp(1-p)2öù=ênpn-ç+p÷únêëènøúûæ1ö=ç1-÷p(1-p)ènø（2）X~E(l)11E()X=,D()X=,2ll1E()X=l1D()X=2nl(2)1én22ùæ1ö1ES=êå(D(Xi)+(E(Xi)))-n(D()X+(E()X))ú=ç1-÷2nëi=1ûènøl（3）X~R(2,0q)，其中q>0E(X)=q2qD()X=3课后答案网E()X=q2qD()X=3n1n1q22éwww.hackshp.cn22ùæöE(S)=êå(D(Xi)+(E(Xi)))-n(D()X+(E()X))ú=ç-1÷nëi=1ûènø38.某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本，求：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率；（2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。解（1）引入新变量：X=1，第i个样本居民年收入超过1万i0，第i个样本居民年收入没超过1万其中i=1,2,L,n,n=1600易见：p=P(X=1)=1.0i又因n=1600<0。解（1）E(X)=p，故p的矩估计量有pˆ=X。x1-x另，X的分布律为P(X=x)=p(1-p),x=1,0，故似然函数为nåX课后答案网niL()p=pi=1(1-p)n-åXii=1对数似然函数为：ænöænölnL()p=www.hackshp.cnçåXi÷lnp+çn-åXi÷ln(1-p)èi=1øèi=1ønn()åXin-åXidlnLpi=1i=1令=-=0dpp1-p1n解得p的最大似然估计量pˆ=åXi=X。ni=1可以看出p的矩估计量与最大似然估计量是相同的。（2）E()X=1，令1=X，故l的矩估计量lˆ=1。llX另，X的密度函数为-lxx>0()lefx=X0x£0故似然函数为nn-låXiXi>,0i=,1,2L,nL(l)=lei=1其他0对数似然函数为nlnL()l=nlnl-låXii=1dlnL()lnn=-åXi=0dlli=1ˆn1解得l的最大似然估计量l==。nXåXii=1 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.课后答案网：www.hackshp.cn可以看出l的矩估计量与最大似然估计量是相同的。若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！2.设X,X,L,X是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为l的泊松分布，其中l未知，12nl>0，求l的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值X01234频数17201021求l的矩估计值与最大似然估计值。解E(X)=l，故l的矩估计量lˆ=X。由样本观测值可算得0´17+1´20+2´10+3´2+4´1X==150另，X的分布律为x()-llPX=x=e,x=1,0,2,Lx!故似然函数为nlåXi()-nli=1Ll=e,Xi=,2,1,0L,i=,1,2L,nX1!LXn!对数似然函数为ænönlnL()l=-nl+çåXi÷lnl-åln(Xi!)èi=1øi=1n()åXidlnLli=1=-n+=0dll课后答案网nåXi解得l的最大似然估计量lˆ=i=1=X，n故l的最大似然估计值www.hackshp.cnlˆ=1。3.设X,X,L,X是取自总体X的一个样本，其中X服从区间(,0q)的均匀分布，其中q>0未12n知，求q的矩估计。qq解E()X=，令=X，故q的矩估计量qˆ=2X。224.设X,X,L,X是取自总体X的一个样本，X的密度函数为12n2x00未知，求q的矩估计。解E()X=òqx×2xdx=2q，令2q=X，故q的矩估计量为qˆ=3X。02q3325.设X,X,L,X是取自总体X的一个样本，X的密度函数为12n(q+1)xq00未知，求q的矩估计和最大似然估计。1qq+1q+1ˆ1-2X解E()X=òx×(q+1)xdx=，令=X，故q的矩估计量为q=，另，似然函数0q+2q+2X-1nnq()(q+1)ÕXi00未知，现在观测到六个时间间隔数据（单位：s）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。1解根据习题1的结果，l的矩估计和最大似然估计量都为，故平均时间间隔的矩估计和最课后答案网X1大似然估计都为，即为X。lˆ1由样本观测值可算得www.hackshp.cnX=(8.1+2.3+4+8+5.4+25.)=4。6x1-8.设总体X的密度函数为f(x;s)=es,(-¥0未知，设X,X,L,X是取12n2s自这个总体的一个样本，试求s的最大似然估计。nåXi1-i=1解似然函数L()s=es，()n2s对数似然函数为1nlnL()s=-nln(2s)-åXisi=1nåXidlnL()sni=1=-+=0d2sss1n得s的最大似然估计量为sˆ=åXi。ni=19.在第3题中q的矩估计是否是q的无偏估计？æ1nö2n2nq解E(qˆ)=E(2X)=2E()X=2EçåXi÷=åE(Xi)=å=qèni=1øni=1ni=12故q的矩估计量2X是q的无偏估计。10.试证第8题中s的最大似然估计是s的无偏估计。æ1nö1n证明：E()sˆ=EçåXi÷=åE(Xi)èni=1øni=1 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.课后答案网：www.hackshp.cnxx1n+¥1若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！-1n+¥1-=åòx×esdx=å2òx×esdx=s-¥0ni=12sni=12s1n故s的最大似然估计sˆ=åXi是s的无偏估计。ni=1211.设X,X,X为总体X~N(m,s)的样本，证明123111mˆ1=X1+X2+X3632212mˆ2=X1+X2+X3555都是总体均值m的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。æ111ö证明E(mˆ1)=EçX1+X2+X3÷è632ø111=E(X1)+E(X2)+E(X3)632æ111ö=ç++÷E()X=E(X)=mè632øæ212öE(mˆ2)=EçX1+X2+X3÷è555ø212=E(X1)+E(X2)+E(X3)555æ212ö=ç++÷E()X=E(X)=mè555ø所以mˆ,mˆ都是总体均值m的无偏估计。12课后答案网æX1X2X3ö又D(mˆ1)=Dç++÷è632ø111=D(www.hackshp.cnX1)+D(X2)+D(X3)3694æ111ö772=ç++÷D()X=D()X=sè3694ø1818æ212öD(mˆ2)=DçX1+X2+X3÷è555ø414=D(X1)+D(X2)+D(X3)2525259()92=DX=s2525可见D(mˆ)0未知，令=åXini=122sˆ是s的相合估计。2æ1n2ö1n22证明易见E(sˆ)=EçåXi÷=åE(Xi)=sèni=1øni=11n22又åXi~c()n，2si=1æ1nö2由第九章公式（9），DçåXi÷=2n，2èsi=1ø1ns42s42æ2ö故D(sˆ)=DçåXi÷×=。22èsi=1ønn由切比雪夫不等式，当n®¥，对任给e>0， GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.(2)课后答案网：www.hackshp.cn4P(sˆ2-s2>e)£Ds若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！ˆ=2s®022ene22即sˆ是s的相合估计。习题十一解答21.某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布N(m,2.0)，从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求m的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。22éssù解由于s=2.0已知，所以选用m的1-a置信区间êX-u1-a,X+u1-aú。ë2n2nû当1-a=9.0，查表得u1-a=u0.95=.164，当1-a=.099，查表得u1-a=u.0995=.2576。x=14.95,n=6,22é2.0.02ù代入数据得m的双侧0.9置信区间观测值为ê14.95-.164×,14.95+.164×ú，即为[14.82,15.08]。ë66ûé2.0.02ùm的双侧0.99置信区间观测值为ê14.95-.2576×,14.95+.2576×ú，即为[14.74,15.16]。ë66û22.假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布N(m,s)，s未知。为了合理的确定对该商品的进货量，需对m和s作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，270，59，试求m的双侧0.95置信区间和方差s的双侧0.9置信区间。解由于m和s都未知，故课后答案网m的1-a双侧置信区间为é**ùSSêX-t1-a2(n-1),X+t1-a2(n-1)ú，ënnû2s的1-a双侧置信区间为www.hackshp.cné22ùnSnSê,ú，êc2(n-1)c2(n-1)ú1-aaë22û代入数据得2*()2()2()x=65.14,s=108.41,s=11.25,t6=.245,n=,7c6c6=.1635，.0975.0950.05é11.2511.25ùm的0.95双侧置信区间观测值为ê65.14-.245´,65.14+.245´ú，即为[54.74,75.54]。ë77û2é7´108.417´108.41ùs的0.9双侧置信区间观测值为,，即为[60,3.464.14]。êúë12.5921.635û*23.随机地取某种子弹9发作试验，测得子弹速度的s=11，设子弹速度服从正态分布N(m,s)，2求这种子弹速度的标准差s和方差s的双侧0.95置信区间。é2*2*ù解由于m未知，故s2的双侧置信区间为ê(n-1)S,(n-1)Sú，代入数据得êc2(n-1)c2(n-1)ú1-aaë22û2*2()2()n=,9S=121,c8=17.535,c8=.218，.0975.00252é8´1218´121ùs的0.95双侧置信区间观测值为,，即为[55.204,444.037]。故s的0.95双侧置信êúë17.5352.18û区间观测值为[55.204,444.037]，即为[.743,21.07]。24.已知某炼铁厂的铁水含碳量（1%）正常情况下服从正态分布N(m,s)，且标准差s=.0108。现测量五炉铁水，其含碳量分别是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37（1%），试求未知参数m的单侧置信水平为0.95的置信下限和置信上限。 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.课后答案网：www.hackshp.cns解由于s=.0108已知，故若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！m的1-a单侧置信下限为X-u1-a×，m的1-a单侧置信上限为nsX+u1-a×，代入数据得x=.4364(%),u0.95=.1645,n=5，故m的0.95单侧置信下限观测值为n.0108.0108.4364-.1645×=.4285，m的0.95单侧置信上限观测值为.4364+.1645×=.4443。552*5.某单位职工每天的医疗费服从正态分布N(m,s)，现抽查了25天，得x=170元，s=30元，求职工每天医疗费均值m的双侧0.95置信区间。é**ù2SS解由于s未知，故m的1-a双侧置信区间为êX-t1-a2,X+t1-a2ú，代入数据得ënnû*()x=170,s=30,n=25,t24=.20639，故m的0.95双侧置信区间观测值为.0975é3030ùê170-.20639,170+2.0639ú，即为[157,4.1826.]。ë2424û6.某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取10只管头测得其平均质量x=501g，已知其总体标准差s=5g；从乙生产线抽取20只罐头测得其平均质量y=498g，已知其总体标准差s=4g，求甲12乙两条猪肉罐头生产线生产罐头质量的均值差m-m的双侧0.99置信区间。12解由于s=5g,s=4g已知，故m-m的1-a的双侧置信区间为1212és2s2s2s2ùê1212úX-Y-ua+,X-Y+ua+1-1-ê2mn2mnúëû22代入数据得x=501,y=498,m=10,n=20,s=25,s=16,u=.2576，故m-m的0.99双侧置信课后答案网12.099512é25162516ù区间观测值为ê501-498-.2576+,501-498+.2576+ú，即为[-.168,.768]。êë10201020úû7.为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命www.hackshp.cnX和Y，随机的抽取甲、乙两种显像管各10只，得4数据x,L,x和y,L,y（单位：10h），且由此算得x=.233,y=.075，1101101010()2()2åxi-x=275.,åyi-y=192.，假定两种显像管的使用寿命均服从正态分布，且由生产过程知道i=1i=1它们的方差相等。试求两个总体均值之差m-m的双侧0.95置信区间。12222解由于s=s=s未知，故m-m的1-a双侧置信区间为1212é1111ùêX-Y-t1-a2(m+n-2)Sw+,X-Y+t1-a2(m+n-2)Sw+úêëmnmnúû21ém2n2ù其中Sw=êå(Xi-X)-å(Yi-Y)ú，m+n-2ëi=1i=1û代入数据得x=.233,y=.075,m=10=n,s=.1611,t(18)=.21009，故m-m的0.95双侧置信区间w.097512观测值为é1111ùê.233-.075-.21009´.1611+.2,33-.075+.21009´.1611+ú,êë10101010úû即为[.0066,.3094]。8.在3091个男生，3581个女生组成的总体中，随机不放回地抽取100人，观察其中男生的成数，要求计算样本中男生成数的SE。解由于样本大小n=100相对于总体容量N=6672来说很小，因此可使用有放回抽样的公式。样本成数x=100´3091»46，估计sˆ=46´54»50，标准差SE的估计为SEˆ=50=5。66721009.抽取1000人的随机样本估计一个大的人口总体中拥有私人汽车的人的百分数，样本中有543人拥有私人汽车，（1）求样本中拥有私人汽车的人的百分数的SE；（2）求总体中拥有私人汽车的人 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.课后答案网：www.hackshp.cn的百分数的95%的置信区间。若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！543解x=´100=543.(%),sˆ=543.´457.»498.，1000ˆ498故SE=».1575,u1-a×SEˆ=u.0975´.1575=.3087，10002所以总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间观测值为(51.213,57.387)。课后答案网www.hackshp.cn'