大学物理习题参考答案 (常文利 宋青 著) 科学出版社 课后答案 13页

'每次只批改1个班作业，另一个班作业只写“阅”。请同学们保存好作业本，期末要登记成绩（包括只写“阅”的作业）。习题解答习题一drdrdvdv1-1｜∆r｜与∆r有无不同?和有无不同?和有无不同?其不同在哪里?dtdtdttd试举例说明．��解：（1）∆r是位移的模，∆r是位矢的模的增量，即∆r=r−r，∆r=r−r；2121drdrds（2）是速度的模，即=v=.dtdtdtdr只是速度在径向上的分量.dtdrdrdrˆr∵有r=rrˆr（式中rˆr叫做单位矢），则=rˆr+rdtdtdtdr式中就是速度径向上的分量，dtdrdr课后答案网∴与不同如题1-1图所示.dtdt题1-1图�dvwww.hackshp.cn�dvdv(3)表示加速度的模，即a=，是加速度a在切向上的分量.dtdtdt��∵有v=vτ(τ表轨道节线方向单位矢），所以��dvdv�dτ=τ+vdtdtdtdv式中就是加速度的切向分量.dtdr�ˆdτ�ˆ(∵与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)dtdt 1-2设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求222drdr出r＝x+y，然后根据v=，及a＝而求得结果；又有人先计算速度和加速度2dtdt的分量，再合成求得结果，即 222222⎛dx⎞⎛dy⎞⎛dx⎞⎛dy⎞v=⎜⎟+⎜⎟及a=⎜⎟+⎜⎟你认为两种方法哪一种⎜2⎟⎜2⎟⎝dt⎠⎝dt⎠⎝dt⎠⎝dt⎠正确？为什么？两者差别何在？���解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有r=ix+jy，��drdx�dy�∴v==i+jdtdtdt�d2r�d2x�d2y�a==i+j222dtdtdt故它们的模即为2222⎛dx⎞⎛dy⎞v=vx+vy=⎜⎟+⎜⎟⎝dt⎠⎝dt⎠222222⎛dx⎞⎛dy⎞a=a+a=⎜⎟+⎜⎟xy⎜dt2⎟⎜dt2⎟⎝⎠⎝⎠而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作2drdrv=a=2dtdtdrd课后答案网2rdr其二，可能是将与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明不是速度的模，2dtdtdt2dr而只是速度在径向上的分量，同样，也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中2www.hackshp.cndt⎡22⎤dr⎛dθ⎞�的一部分⎢a径=2−r⎜⎟⎥。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r在径向（即⎢⎣dt⎝dt⎠⎥⎦��量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。1-3一质点在xOy平面上运动，运动方程为12x=3t+5,y=t+3t-4.2式中t以s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1s时刻和t＝2s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0s时刻到t＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4s时质点的速度；(5)计算t＝0s到t＝4s内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)． ��1�2解：（1）r=3(t+)5i+(t+3t−)4jm2（未打矢量箭头）(2)将t=1,t=2代入上式即有���r=8i−5.0jm1���r=11i+4jm2�����∆r=r−r=3i+5.4jm21������(3)∵r0=5i−4j,r4=17i+16j������∆rr4−r012i+20j��−1∴v====3i+5jm⋅s∆t4−04��dr��−1v==3i+(t+)3jm⋅s(4)dt���v=3i+7j−1则课后答案网4m⋅s������(5)∵v0=3i+3j,v4=3i+7j����∆vv4−v04�−2a====1jm⋅s∆twww.hackshp.cn44（较多同学出错）��dv�−2(6)a==1jm⋅sdt这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。1-4在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以−1v(m·s)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．0 图1-4解：设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成θ角，由图可知222l=h+s将上式对时间t求导，得dlds2l=2sdtdt题1-4图根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的，dlds∴v绳=−=v0,v船=−dtdtdsldllv0即v船=−=−=v0=dtsdtscosθ课后答案网222/1lv(h+s)v00或v船==ss将v再对t求导，即得船的加速度船www.hackshp.cndldss−ldv−vs+lv船dtdt0船a==v=v2020dtss2l2(−s+)v022shv0==23ss2−21-5质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为a＝2+6x，a的单位为m⋅s，x的单位−1为m.质点在x＝0处，速度为10m⋅s,试求质点在任何坐标处的速度值． dvdvdxdv解：∵a===vdtdxdtdx2分离变量：υdυ=adx=2(+6xd)x两边积分得123v=2x+2x+c2由题知，x=0时，v=10,∴c=5003−1∴v=2x+x+25m⋅s−21-6已知一质点作直线运动，其加速度为a＝4+3tm⋅s，开始运动时，x＝5m，v=0，求该质点在t＝10s时的速度和位置．（直线运动不用矢量式；分不清“定积分”和“不定积分”；由初始条件确定“不定积分”的常数。）dv解：∵a==4+3tdt分离变量，得dv=4(+3td)t32积分，得v=4t+t+c12由题知，t=0,课后答案网v0=0,∴c1=032故v=4t+t2dx32又因为www.hackshp.cnv==4t+tdt232分离变量，dx=4(t+td)t2213积分得x=2t+t+c22由题知t=0,x0=5,∴c2=5 213故x=2t+t+52所以t=10s时32−1v=4×10+×10=190m⋅s102213x=2×10+×10+5=705m10231-7一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为θ=2+3t，θ式中以弧度计，t以秒计，求：(1)t＝2s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?dθ2dω解：ω==9t,β==18tdtdt−2(1)t=2s时，aτ=Rβ=1×18×2=36m⋅s222−2a=Rω=1×9(×2)=1296m⋅sn(2)当加速度方向与半径成ο课后答案网45角时，有aτtan45°==1an2即www.hackshp.cnRω=Rβ22亦即9(t)=18t32则解得t=932于是角位移为θ=2+3t=2+3×=.267rad9 �aτ�θa�an121-8质点沿半径为R的圆周按s＝vt−bt的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧02长,v，b都是常量，求：(1)t时刻质点的加速度；(2)t为何值时，加速度在数值上等于b．0dsv==v−bt解：（1）0dtdva==−bτdt22v(v−bt)0a==nRR课后答案网4(v−bt)2220则a=aτ+an=b+2R加速度与半径的夹角为a−Rbτwww.hackshp.cnϕ=arctan=2a(v−bt)n0(2)由题意应有4(v−bt)20a=b=b+2R即 4(v−bt)2204b=b+,⇒(v−bt)=020Rv0∴当t=时，a=bb1-9半径为R的轮子，以匀速v沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点B的运动方程为0x＝R(ωt−sinωt)，y＝R1(−cosωt)，式中ω=v/R是轮子滚动的角速度，当B与0水平线接触的瞬间开始计时．此时B所在的位置为原点，轮子前进方向为x轴正方向；(2)求B点速度和加速度的分量表示式．解：依题意作出下图，由图可知题1-9图(1)θθx=vt−2Rsincos022=vt−Rsinθ0=R(ωt−Rsinωt)θθ课后答案网y=2Rsinsin22=R1(−cosθ)=R1(−cosωt)(2)⎧dxv==Rω1(−cosωt)x⎪⎪dtwww.hackshp.cn⎨⎪dyv==Rsinωt)⎪⎩ydt⎧2dvxa=Rωsinωt=⎪x⎪dt⎨dv⎪2ya=Rωcosωt=⎪⎩ydt−11-10以初速度v＝20m⋅s抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角，0求：(1)球轨道最高点的曲率半径R；(2)落地处的曲率半径R．12 (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．题1-10图(1)在最高点，ov=v=vcos601x0−2a=g=10m⋅sn12v1又∵a=n1ρ122v1(20×cos60°)ρ==1∴a10n1=10m(2)在落地点，−1v=v=20m⋅s,20o而a=g×cos60课后答案网n222v2(20)∴ρ===80m2a10×cos60°n2−21-11飞轮半径为0.4m，自静止启动，其角加速度为 www.hackshp.cnβ=0.2rad·s，求t＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度． −1解：当t=2s时，ω=βt=2.0×2=4.0rad⋅s−1则v=Rω=4.0×4.0=.016m⋅s22−2a=Rω=4.0×)4.0(=.0064m⋅sn−2a=Rβ=4.0×2.0=.008m⋅sτ2222−2a=a+a=.0(064)+.0(08)=.0102m⋅snτ 1-12如题1-12图，物体A以相对B的速度v＝2gy沿斜面滑动，y为纵坐标，开始时A在斜面顶端高为h处，B物体以u匀速向右运动，求A物滑到地面时的速度．解：当滑至斜面底时，y=h，则v′=2gh,A物运动过程中又受到B的牵连运动影响，A因此，A对地的速度为���"v=u+vA地A��=(u+2ghcosα)i+(2ghsinα)j题1-12图-1-11-13一船以速率v＝30km·h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v＝40km·h12沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?���解：(1)大船看小艇，则有v=v−v，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)2121题1-13图22−1由图可知v=v+v=50km⋅h课后答案网2112v31方向北偏西θ=arctan=arctan=36.87°v42���(2)小船看大船，则有v=v−v，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得12www.hackshp.cn12−1v=50km⋅h12o方向南偏东36.871-14当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2m的甲板上，篷高4m但当-1轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3m，如雨滴的速度大小为8m·s，求轮船的速率．解：依题意作出矢量图如题1-14所示． 题1-14图���∵v=v−v雨船雨船���∴v=v+v雨雨船船由图中比例关系可知−1v=v=8m⋅s船雨课后答案网www.hackshp.cn ��1�21-3解：（1）r=3(t+)5i+(t+3t−)4jm2(2)将t=1,t=2代入上式即有���r=8i−5.0jm1���r=11i+4jm2�����∆r=r−r=3i+5.4jm21������(3)∵r0=5i−4j,r4=17i+16j������∆rr4−r012i+20j��−1∴v====3i+5jm⋅s∆t4−04��dr��−1v==3i+(t+)3jm⋅s(4)dt���v=3i+7j−1则4m⋅s������(5)∵v0=3i+3j,v4=3i+7j����∆vv4−v04�−2a====1jm⋅s∆t44��dv�−2(6)课后答案网a==1jm⋅sdt这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。dv1-6解：∵a==4+3twww.hackshp.cndt分离变量，得dv=4(+3td)t32积分，得v=4t+t+c12由题知，t=0,v0=0,∴c1=032故v=4t+t2 dx32又因为v==4t+tdt232分离变量，dx=4(t+td)t2213积分得x=2t+t+c22由题知t=0,x0=5,∴c2=5213故x=2t+t+52所以t=10s时32−1v=4×10+×10=190m⋅s102213x=2×10+×10+5=705m102dθ2dω1-7解：ω==9t,β==18tdtdt−2(1)t=2s课后答案网时，aτ=Rβ=1×18×2=36m⋅s222−2a=Rω=1×9(×2)=1296m⋅snwww.hackshp.cn(2)当加速度方向与半径成ο45角时，有atan45°=τ=1222即Rω=Rβ亦即9(t)=18tan3232则解得t=于是角位移为θ=2+3t=2+3×=.267rad99'