大学物理学 上册 (李承祖 杨丽佳 著) 科学出版社 课后答案 第三部分 电磁学 课后答案 51页

'课后答案网，用心为你服务！大学答案---中学答案---考研答案---考试答案最全最多的课后习题参考答案，尽在课后答案网（www.khdaw.com）！Khdaw团队一直秉承用心为大家服务的宗旨，以关注学生的学习生活为出发点，旨在为广大学生朋友的自主学习提供一个分享和交流的平台。爱校园（www.aixiaoyuan.com）课后答案网（www.khdaw.com）淘答案（www.taodaan.com） 第三部分电磁学第1章真空中的静电场一．基本要求1．理解电荷守恒定律和电荷的相对论不变性；2．理解Coulomb定律、电场强度、场强叠加原理，会计算简单形状带电体周围场强；3．理解电力线、电通量、静电场的高斯定理，掌握用高斯定理求场强的方法；4．理解静电场环量定理、电势、等势面、电势叠加原理，会计算简单情形下的电势；5．了解场强和电势梯度的关系。二．内容提要和学习指导（一）库仑定律（实验定律，电磁场理论的基石）：真空中两个静止点电荷之间作用力的大小和方向可表示为：qq1212221922Fr［8.8510CNm/()，9.010(NmC/)］2132104r40210说明：1．关于电荷：①电荷是物质的一种基本属性，有正负之分。②电荷量子化：自然界的19电荷量是电子电量的整数倍，e.160217646210C；③电荷量遵守守恒定律；④电荷具有相对论不变性；⑤点电荷：只有电量而忽略其大小和形状的理想模型。2．关于库仑力的方向：①F—q对q的作用力；②r—由q指向q的位矢；③q和211221121q有正负。23．库仑力遵守线性叠加原理（新的实验定律）：多个Q对q的共同的作用力等于各个Qii单独存在时对q的作用力的矢量和。即FFiqQ。i（二）描述电场的两个基本物理量：电场强度、电势。111．电场强度。①定义：EFq/；②单位：NC或Vm；③E与F和q无关；④场强叠加原理：空间任一点的场强是空间所有电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量．．．．．．．．．．和．。即EiEi。⑤与E对应的描述场的几何方法：电力线。WAoWWAbaaoabab2．电势和电势差：①定义：UEdl，UEdl；aaabaqqqq1②单位：11JCV；③U、U与A和q无关；U与零点o有关；U与零点o无关；aabaab④电势叠加原理：空间任一点的电势是空间所有电荷单独存在时在该点产生的电势的代数．．．．．．．．．．和．。即UUii；⑤与Ua对应的描述场的几何方法：等势面。b3．场强和电势的相互关系：①积分关系：UEdl；②微分关系：EU；aba③电力线与等势面的关系：电力线与等势面正交且指向电势降落的方向。（三）静电场的两个性质1．高斯定理：SEdS()iqi/0（离散）；SVEds()dV/0（连续）。2．环量定理：Edl0L（四）计算场强的方法。dq1．点电荷场强+场强叠加原理：ErQ3，EEii；4r02．应用高斯定理；3．电势梯度法：EU（五）计算电势的方法。88 dq1．点电荷电势+电势叠加原理：U，UUii；4r0o2．场强积分法：UEdl。aa（六）几种典型带电体的静电场：1．无限长均匀带电直线的场强：Eer2r0Qz2．均匀带电圆环轴线上一点的场强：Ee222/3z4(Rz)03．无限大均匀带电平面外的场强：E方向垂直于带电平面20（七）电场力、电场力的功、电势能。1．点电荷所受的电场力：FqE；（有正负）q2．电偶极子所受的力矩：MpE；e3．电场力对点电荷的功：AqU()U(WW)。（有正负）qababba三．习题解答和分析1.1．Coulomb定律适用的条件是什么？为什么说Coulomb并没有反映电荷与电荷作用力的本质？【答】Coulomb定律只适用于真空中静止的点电荷。但是，当时认为静电作用力是“超距作用”，没有引进场作用的概念，所以，Coulomb定律没有揭示静电力的物理实质。1.2．什么是电力叠加原理？为什么说电力叠加原理不能看成是Coulomb定律的逻辑推论？【答】电力叠加原理：若电荷Q同时受几个电荷qi的作用，它受到的力就等于各个qi单独存在时对Q作用力的矢量和。因为Coulomb定律中不包含电力叠加的信息，所以，电力叠加原理不是Coulomb定律的逻辑推论，而是一条新的实验规律。1.3．两个带等量异号电荷的点电荷，电量都是1C.，质量都是1kg，求它们在真空中相距100m时的Coulomb力与万有引力，并计算二者之比。qq129511【解】Coulomb为F910910()NC224r（100)0mm12111115万有引力为FG6.67106.6710()NG22r(100)9FC19qq121020→1.3510－11FG46mm.6710G012-41.4．有两个带电质点，其中质点m1的质量为m1=0.01kg，质点m2的质量为m2=1kg，带正电量为q2=10C，要使m1静止地悬空在m2正上方一米处，求m1的带电量q1。【解】要使得m悬空，则：①q0；112q1q2401rmg10.019.87②FF→mg→qC1.0910。CG2119440rq2910101.5．在长度为L、带电量为Q(Q>0)的均匀带电细棒的延长线上，距离细棒中心为aLP的P点处，放置一个带电量为q(q>0)的点电荷，求点电荷受到的静电力。+oxdxx【解】如图所示，电荷元dqdxadx题1.5图它在P点的场强为dEi；24()ax0L/2dxL整个带电直线在P点的场强为EdEiiL/24()4(ax22aL2/4)0089 qQ点电荷q在P点所受到的静电力为FqEi224(aL/4)01.6．有一均匀带电的半球面，半径为R，电荷面密度为σ，求球d心处的电场强度。【解】如图所示：把带电半球面分割成无数个极窄的均匀带电细圆环（宽Rd），任取其中之一，其上电荷量为dqds2RsinRd，此带电细圆环在球心处产生的场强rR为oodqRcos2RRsindoodEiix234(ro23o)/24R00sincosdi20积分得带电半球面在球心处总场强为题1.6图/2EdEisincosdi240001.7．带电细圆环半径的为R，电荷线密度cos（为常数），求圆环中心处的电场强度。00【解】如图，电荷元dqRdcosRdy0cosd0dq在圆心处的场强为：dE。4R0此电场的两个分量为：R2cosd0dExdEcos，dEx4R0oxsincosd0dEdEsin。y4RdE0dEy积分求圆心处的总场强：由对称性可知EydEy02cos2d题1.7图000E→Eix044RR4R000【评注】由上面三题总结可得，用矢量积分法求场强的一般步骤是：①设场点,建坐标,取微元dq:将连续带电体分割成许多电荷元dq，注意分割不是任意的，最好分割成场强分布已知的典型带电体，如点电荷、圆环、直线等；②求dE:由已知的点电荷或典型带电体场强公式写出dq的场强dE的大小，在图上标出其方向；③写分量:用正交分解法将dE分解为各坐标轴方向的分量；④算积分：即对dE的每个分量积分。注意利用对称性化简，统一积分变量和正确确定积分限。⑤验结果:即对总电场强度E的大小和方向结果进行讨论。通常先检l查量纲是否正确；然后令特例，看所得结果是否与已知结论吻合。P1.8．两根无限长的均匀带电直线相互平行，相距为a，线电荷密度分ox别为+λ和—λ。(1)求此系统的电场强度分布；(2)求两带电直线间单位长度x的相互吸引力。【解】(1)如图所示，P点的场强为aEiiia22x(xa)2xxa()000题1.8图上式对xa、0xa和x0都成立。90 (2)带正电直线在带负电直线处的场强为Ei，2a02l长度为的带负电直线所受的电场力为lFlEi，2a02F单位长度所受的电场力为i。la201.9．试根据静电场的Gauss定理说明电荷是激发静电场的Q2R2唯一的源。Q11【答】静电场的高斯定理为：EdS()rdV，SS里R01因为右边只有S所包围的电荷而没有其它的量，说明电荷是静电O场的源，并且是唯一的源。1.10．在半径分别为R1和R2的两个同心球面上，分别均匀地分布着电量Q1和Q2。（1）求I、II、III三个区域的场强分布；（2）若Q1＝－Q2，情况如何？【解】(1)以球心为心，r为半径作高斯面S，根据对称性，S题1.10图上各点的电场强度E大小相等，方向与该处面元sd方向平行，2故E对高斯面S的通量为：EdsEdsEdsE4r。此结论对I、II、III三个区域都成立。SSS由高斯定理得：2在第Ⅰ区域，40rE→E0；112Q1Q1Q1在第II区域，4rE→E→Er；2222024r4r00021QQ12QQ12在第III区域，4(rEQQ)→E→Er。312323024r4r000Q1（2）若QQ，则：E0，Er，E0。12122034r01.11．电荷在半径为R的无限长直圆柱体内均匀分布，电荷体密度为ρ。求离轴线为r处的电场强度，并画出E—r曲线。【解】由电荷分布的对称性分析出场强分布的对称性：场强方向垂直于轴线呈四周辐射状，离轴线距离相等处场强的大小相等。以圆柱轴线为轴，半径为rr长度为l作闭合圆柱面型高斯面S。在S上，E的大小处处相等，方向都垂直于该高斯面，因此EdSEdSE2rl；SS由高斯定理EdsdV可知：0SS里2在rR处，E2rlrl→Er→Er0题1.11图22002在rR处，E20rlRlEr()R2R2→E→Er02r2r00Er曲线如图所示【评注】应用高斯定理求解场强E的步骤是：Rr①设场点,由电荷分布对称性分析场强（大小和方向）分布的对称性；Er曲线②过场点作合适高斯面S；选取高斯面的原则是使得Eds场S点的E面积，这就要求：S上的E处处相等且E//ds；或S上的一部分E处处相等且E//ds，另一部分Eds；或S上的一部分E处处相等且E//ds，另一部分Eds，，另一部分E0；91 ③计算S上的电通量：Eds场点的E面积S④计算S内的电量代数和；QdVS里QQ⑤由高斯定理解方程:场点的E面积=→场点的E。面积00RP1.12．有一无限大均匀带电平面，电荷面密度为σ。在无限大平面上挖一半oax径为R的园孔，求过圆孔中心并垂直于无限大平面的轴线上一点P（距圆孔中心为a）的场强。【解】本题可用补偿法求解。设：带+σ的无限大均匀带电平面在P点激发的场强为E1，带的半径为R的均匀带电圆板在P点激发的场强为E2，则题1.12图本题所求的场强为EEE。显然12aaEi，Ei(1)→Ei1222Ra222R22a0001.13．真空中有两块相距为d的平行金属板，面积均为S，分别带有电量+q和－q。判断下列说法是否正确？（忽略边缘效应）22（1）根据库仑定律，两板之间的相互作用力为Fq4/d。02（2）因为F＝qE，而两板间场强E/，其中q/S，所以Fq/S。002（3）由于一个板上的电荷在另一个板处产生的场强E2/，所以FqEq2/S。00【答】（1）不正确；（2）不正确；（3）正确。1.14．根据静电场的环路定理说明静电场的电力线不可能是单向闭合曲线，静电场是纵场（以后将说明，这样的场其旋度等于零）。【答】静电场的环路定理：静电场强E沿任意闭合回路L的环量等于零。即LEdl0。此定理说明静电场的电力线不可能是单向闭合曲线。应为如果存在这样的闭合曲线，选择此闭合曲线作为积分回路L，必有LEdl0，这是与静电场的环路定理相矛盾的。1.15．电偶极矩为p的电偶极子处在场强为E的匀强电场中,求电偶极子从与场强方向垂直的位置转e到与场强方向成θ角的位置的过程中，电场力所做的功。【解】电偶极子受的力矩为MPEe→MPeEsinpeE电偶极子由转到角时电场力做的功为2题1.15图AMdpEsindpEcospEeee/2/21.16．试回答下列问题：(1)．电势高的地方电场强度是否大？电场强度大的地方电势是否高？(2)．电场强度为零的地方电势是否为零？电势为零的地方电场强度是否为零？(3)．电场强度大小相等的地方电势是否相等？等势面上的电场强度的大小是否相等？(4)．电势为零的物体是否一定不带电？带正电的物体其电势是否一定是正的？【答】(1)．电势高的地方电场强度不一定大。电场强度大的地方电势不一定高。(2)．电场强度为零的地方电势不一定为零。电势为零的地方电场强度不一定为零。(3)．电场强度大小相等的地方电势不一定相等。等势面上的电场强度的大小不一定相等。(4)．电势为零的物体是不一定不带电。带正电的物体其电势不一定是正的。92 1.17．已知均匀带电细圆环的带电量为q，半径y为R，求圆环轴线上的电势分布。【解】如图所示，P点的电势是圆环上所有点dq电荷在该点的电势的叠加。在圆环上任取一电荷元rdq，此电荷元在距圆心x处的P点激发的电势为OPdqxduRx40rzdq1P点的总电势udq44rrq题1.17图00qq222/14r4(Rx)001.18．已知半径为R的球面均匀带电，总带电量为Q，求到球心距离为r的一点的电势。q【解】由高斯定理求出场强分布：在rR处，E0；在rR处，Er。204r0由电势定义UErd求电势分布：rRqq在rR处，U0drdr；rR4r24R00qq在rR处，Udr。r4r24r001.19．半径分布分别为R1和R2(R1UC>UA>0。——A+【证明】设无穷远处电势为零，用电力线来辅助—++解题。设B带正电荷QB，A和C上必因感应而带上正电++—BC荷和负电荷。由高斯定理、静电平衡条件和电荷守恒+—++—++可知：对于C导体，在靠近B的内侧出现—QC，在背离—+—B的外侧出现+QC；对于A导体，在内表面出现+—QB，在外表面出现+QB。“汇”于—QC的电力线“源”题2.7图自QB，所以UB>UC；“源”自+QC的电力线“汇”于A的内表面，所以UC>UA；“源”自A的外表面的电力线“汇”于无限远（零点），所以UA>0。综合以上关系，有UB>UC>UA>0。2.8．什么叫介质极化？介质极化和静电感应二者的微观过程有何不同？【答】介质极化：外电场E作用→①分子正负电中心分离；②分子电偶极矩转向。→受束缚的极0化电荷→退极化场E→介质内总场EEE：平衡时EE0。00静电感应：外电场E作用→自由电子移动→自由的感应电荷→感应电荷的场E→导体内总场0EEE：平衡时，内部E0，外表面E//ds。02.9．为什么说电位移矢量D是个辅助量，而电场强度E是介质中真正的宏观场量？【答】①由场强的定义和电势的定义可知，E反映了电场的力的性质和做功的性质，所以它是描述介质中电场性质的真正的宏观场量。②由D的高斯定理可知，任意闭合面上的D通量与面内的极化电荷无关，极化电荷不是D线的“源”或“汇”。特别是在各向同性均匀线性电介质中，各点的D都与极化电荷无关。但是，介质内电场的力和功的性质显然与极化电荷也有关。所以D矢量不能完备描述介质中电场的性质，它只是一个辅助物理量。100 2.10．如图所示，平行板电容器两板接在电压为oU的电源上，两极板相距为d。把极板均分为A和KB两部分。（1）K闭合时在A部分两极板间放入介dU12电常数为的均匀介质，在B部分两极板间放入介1AABB电常数为的均匀介质，求D和E的分布；2y题2.10图（2）若充电后断开电源，再放入介质，结果如何？【解】(1)K闭合时，两板间电势差为U，则A、UUUB两部分的场强为：EEj；两部分的电位移分别为：Dj，Dj。ABA1B2ddd(2)先充电，则QS(/)dU。断开K后放入介质，极板上所带电量Q不变，但将在A、B两部分0重新分布。设加入介质后，A、B两部分所带电荷面密度分别为和，AB→①2/Ud。AB0DDABAB由D的高斯定理可得：D，D；又因为dd，→②。AABB12122U2U0102由①②联立解得：，。AB()d()d12122U2U0102则A、B两部分的电位移分别为：Dj，Dj。AB()d()d12122U0A、B两部分的场强为：EEj。AB()d122.11．半径为R的金属球带电量为Q，球外有一同心介质球壳，其Q内外半径分别为a和b，介电常数为，求：（1）场强E和电位移DRo的分布；（2）介质极化强度P和表面上极化电荷面密度。ab【解题分析】本题中电荷分布和电介质分布都有球对称性，则D、E分布都具有球对称性，可用有电介质时的高斯定理求解。题2.11图【解】(1)根据对称性分析，作如图示半径为r的同心球面为高斯2面，此面上的D通量为DdsD4r。由高斯定理（DdsS内的自由电荷）可得：SS2在rR处，Dr40→D0→E0；101 2QQQ在Rra处，Dr4Q→D→Dr→Er；220204r4r4r02QQQ在arb处，Dr4Q→D→Dr→Er；220204r4r4r2QQQ在br处，Dr4Q→D→Dr→Er。220204r4r4r0()Q0(2)电介质中的极化强度为p()Er；0204r()00QQ()介质壳内表面极化电荷面密度为np()rr；aaa220044aa()00QQ()介质壳外表面极化电荷面密度为nprr。bbb220044bb2.12．平行板电容器两板相距为d，极板面积为S，分别求下列两种情况下平行板电容器的电dr1dr1r2容。（1）板间以两层厚度各为d/2而相对介电常r2SS数分别为εr1和εr2的电介质充满；（2）板间以两层(1)(2)题2.12图面积各为S/2而相对介电常数分别为εr1和εr2的电介质充满。【解】(1)此题可假设在两介质交界面存在一薄金属板，板两侧带等量异号电荷(金属板厚度可忽略)，此假设不会改变空间电荷、电场分布，但此时电容器可视为两电容串联。两串联电容分别为：SSCC122rr12SC，C→总电容C。10r1d/220r2d/2CC0d12rr12(2)此电容器可视为两电容的并联。两并联电容分别为：S/2S/2rrS12C，C→总电容CCC。10r1d20r2d1202d2.13．平行板电容器两板相距为d，极板面积为S，保持电S势差U不变。分别求下列两种情况下平行板电容器间的场强分布d和平行板电容器的电容。(1)两板间充以厚度为t（t临界温度Tc时，r1；3．在磁介质的交界面：nBB()0；nHH()。2121（三）磁介质中的磁场定理1．B的高斯定理：Bds0；S2．H的环路定理：LHdlL套I传导=Sj传导ds121 三．习题解答和分析5.1．什么样的磁介质称为顺磁质？什么样的磁介质称为抗磁质？这两种介质的磁化机制有何不同？【答】由下列对比可知两种磁介质的区别。顺磁质：分子固有磁矩p0→在外磁场B中，p转向B（取向磁化）m分子0m分子0→产生的B与B同向→介质内的BB，1；00r抗磁质：分子固有磁矩p0→在外磁场B中，电子轨道进动产生p//B（感应磁化）m分子0m分子0→产生的B与B反向→介质内的BB，1。00r5.2．在均匀磁场B中，一个电子绕着一固定的正电荷作圆周运动，其轨道磁矩为p，p与B之mm间的夹角为，求：p转向B的过程中，作用在电子上的磁力矩所做的功。m【解】p在外磁场B中所受的磁力矩为MpB，磁力矩的元功为dApBsin(d)，mmm0积分可得：ApBdpsinB（-1cos）。mm5.3．按玻尔氢原子模型假设，氢原子内的电子绕原子核作圆周运动。当氢原子处于基态时，电子的轨－106－1道半径为r＝0.53×10m，速度为v＝2.2×10ms。求电子的轨道运动在圆心处激发的磁感应强度。qev【解】电子轨道运动形成的等效圆电流为：I；Tr27196Iev4101.6102.21000圆电流在圆心处的磁场为：B12.53()T。21022rr44(0.5310)5.4．为什么说磁感应强度B是描述磁场性质的真正的宏观场量？为什么说磁场强度H是辅助量？【答】①由磁感应强度的定义可知，B反映了磁场的力的性质，所以它是描述介质中磁场性质的真正的宏观场量。②由H的环路定理可知，任意闭合回路L上H的环流与磁化电流无关。特别是在各向同性均匀线性磁介质中，各点的H都与磁化电流无关。但是，介质内磁场的力的性质显然与磁化电流有关。所以H不能完备描述介质中磁场的性质，是辅助物理量。5.5．螺绕环中心周长为10cm，环上均匀密绕线圈为200匝，线圈导线中通过的电流强度为0.1A。螺绕环的管内充满了相对磁导r率r＝4200的磁介质。求：（1）管内的B和H的大小；（2）管内由传导电流激发的B和由磁化电流激发的B的大小。0I【解】由于①传导电流分布关于螺绕环轴线对称；②均匀介质同样对称，所以磁化电流分布关于螺绕环轴线对称。由此两条即可题5.5图的出：螺绕环管内磁场关于螺绕环轴线对称；即：在与螺绕环轴线同轴的圆周上，各点的H大小相等，方向沿切向，且与电流的绕向成右手螺旋关系。另外，由于环的直径远远大于管的直径，所以可以用轴线上的磁场代表管内的磁场。（1）取螺绕环轴线为安培积分回路L，L的绕向为逆时针绕向。由上分析可得L上H的环流为：122 HdlHdlHdlH2r。LLLNI2000.1由H的环路定理可得：HrN2I→H200(/)Am，2r0.17→BHH41042002001.06()T；0rNI04(2)由B的环路定理可得：B2rNI→B2.51310()T0002r0NI7BBB→BBB(1)41020041991.055()T。00r2r【评注】应用H的环路定理解题时，其分析方法和解题步骤与应用B的环路定理完全相同。5.6．已知螺绕环的平均周长为0.4m，环上均匀密绕线圈为400匝，线圈导线中通过的电流强度为220A。测得管内的＝B1.0Wb/m。试计算管内的磁场强度H、磁化强度M和介质的相对磁导率μr。【解】对磁场的对称性分析与5.5题相同。容易求出：NI400204HlNI→H2.010(/)Aml0.4BBB5HM，M//B→HM→MHA7.7610(/)m。000B1BHH→39.790rr74H4102.0100－2－25.7．螺绕环的内外半径分别为R1=1.0×10m和R2=2.0×10m，环的横截面是正方形。环上均匀密绕－5线圈为N=200匝，线圈导线中通过的电流强度为0.10A。测得管横截面上的磁通量为6×10Wb。求管内材料的相对磁导率μr。NI【解】对磁场的对称性分析与5.5题相同。容易求出：HdlH2rNI→HL2r0rNIR2NINIR00rr2→B→()RRdr()RRlnm21212rR122rR1522610m→2164。r72NIR()Rln(R/R)4102000.11.010ln2022215.8．铁磁质有何特殊的磁性质？如何从其微观结构解释这些性质？简述铁磁质的种类及其应用。【答】铁磁质的磁化特性：①非线性；②磁化强；③有磁滞；④有剩磁；⑤存在临界温度。铁磁性的微观解释：磁畴理论。铁磁质的分类及其应用：①软磁材料：矫顽力小，磁滞回线瘦；用于制造变压器、电机、电磁铁的铁芯；②硬磁材料：矫顽力大，磁滞回线胖；用于制造永久磁铁；③矩磁材料：矫顽力很大，磁滞回线近似于矩形；用于信息存储元件。123 5.9．在空气（μr=1）和软铁（μr=7000）的交界面附近测量磁场，发现软铁中的磁感应线与界面法线的夹角为85º，则空气中的磁感应线与界面法线的夹角是多少度？若空气中的磁感应线与界面法线的夹角为30º，则软铁中的磁感应线与界面法线的夹角又是多少度？tg空空【解】由磁场边界条件可得：tg软软11空tan85→85时，tan(tan)tan0.094565.6软空软7000软011软→30时，tan(tan)tan(7000tan30)89.9868959空软空空35.10．有一根铁磁棒，其矫顽力为4×10A/m。把这根铁磁棒插入一通电螺线管中使其去磁。螺线管的长度为12cm，线圈的匝数为60匝，则线圈导线中应通以多大的电流强度？【解】当铁棒插入螺线管内时，虽然螺线管不一定是无限长密绕的。但是，由于铁棒的强烈磁化作N用，其内部的磁场总可以当作无限长直密绕螺线管内的均匀场：HI。l3Hl4100.12c若使铁磁棒去磁，必须HH→I8()AcN6025.11．一铁环中心线的周长为30cm，横截面积为1.0cm，在环上紧密地绕有线圈300匝。当导线中通－6过的电流强度为32mA时，穿过环横截面的磁通量为2.0×10Wb，求：①环内的磁感应强度B；②磁场强度H；③磁化强度M；④铁环的绝对磁导率μ；⑤铁环的相对磁导率μr。6m2.0102【解】①B2.010()T；4S1.01032NI3003210B2.010②HA32(/)m；③MHA3215883.5(/)m；27l3010410024B210426.2510④6.2510(NA/)；⑤497。r7H324100124 第6、7章变化的电磁场一．基本要求1．理解法拉第电磁感应定律，掌握感应电动势的计算，了解涡电流的产生和利用；2．理解动生电动势和感生电动势的本质区别和联系；理解感生电场的概念；掌握用动生电动势的特殊公式计算动生电动势；掌握简单情况下感生电场和感生电动势的计算；3．理解自感和互感的概念，了解简单情况下自感系数和互感系数的计算；4．理解磁场能量的概念，掌握磁场能量的计算。5．理解位移电流的概念；6．理解Maxwell方程组的积分和微分形式及其物理意义；7．了解变化电磁场的能流、能量和动量，电磁场的物质性。二．内容提要和学习指导（一）电磁感应的基本定律1．法拉第电磁感应定律：回路中感应电动势的大小正比于穿过回路的磁通量对时间的变化率。即dd/t。2．楞次定律：感应电流产生的磁通总是反抗原磁通的变化。广义表述为：感应电流所产生的结果总是反抗引起感应电流的原因。（应用此定律时，若回路不闭合，可作辅助线，假想其闭合）3．法拉第定律和楞次定律的综合表达式：dd/t（其中负号是楞次定律的数学表述，是相对于正方向而言的）。解题步骤：①设定回路L的正绕向；②计算回路L上的磁通量：Bds（其中mSS是以L为边界的右手系曲面，磁感线与正绕向成右手螺旋关系时0，否则m0）；③求导得感应电动势：dd/t；④判断的实际方向：若0，则其m实际方向与正方向相同；若0，则其实际方向与正方向相反。注意：若导体回路不闭合，此时有感应电动势而无感应电流，若回路闭合，则有感应电流产生，感应电流的强度和导体本身电阻有关，而电动势只和磁通量的时间变化率有关，因此，变化的磁通量本质上产生的是感应电动势而非感应电流。（二）动生电动势和感生电动势1．动生电动势和感生电动势的对比动生电动势感生电动势宏观起因磁场与导体的相对运动磁场随时间变化微观本质洛仑兹力沿导线方向的分力做功感生电场力做功1．dd/tdd/tm1．m计算方法2．()vBdl，2．S(/)Btds，L的方向沿导线指向vB的方向与B/t成左螺旋关系2．自感和互感（两种典型的感生电动势）自感：由于自身电流变化而在自身回路中激起感生电动势。①自感磁链125 dILmiiLI；②自感电动势LL，其正方向与电流的正方向同向；③自感系dtL数L，描述了回路的电磁惯性，取决于回路的大小、形状、匝数以及周围磁IdIdt/介质的性质；对于非铁磁质，L与I无关；对于铁磁质，L与I有关；无铁芯长直螺线管22的LNS/lnV；00互感：一个线圈中的电流变化而在另一个线圈中激起感生电动势。①互感磁链dI121i21iM211I，12i12iM122I；②互感电动势22M1，dtdI2212M，其正方向与两线圈的相对绕向有关；③互感系数M，11221dtIdIdt/11121M，MMM，取决于两回路的大小、形状、匝数、相对位置以122112IdI/dt22及周围磁介质的性质；对于非铁磁质，M与I无关；对于铁磁质，M与I有关；3．涡电流：在大块导体中形成的涡旋状感应电流。危害：因焦耳热而损耗能量，烧坏仪器；利用：电磁阻尼、涡流加热；减小涡流的方法：切断或减小涡流回路，选用高电阻率材料。（三）磁场的能量121．自感线圈储存的磁场能WLI；m22111B2．磁场的能量密度wBH；对于各向同性均匀磁介质：wBH；22213．体积为V的空间内的磁场中储存的总能量：WdwBHdV；VV2（四）变化的电磁场1．麦克斯韦的两个基本假设B（1）感生电场E：①Edlds；②Eds0。感LS感tS感DD（2）位移电流：①位移电流密度j；②位移电流强度Ids；③位移ddtSt电流的本质是变化的电场；它可以存在于实物或真空中；它不产生焦耳热；它在产生磁场方面与传导电流等效；其单位是“安培”。2．麦克斯韦方程组126 B（1）积分形式：SVDdsdV；LSEdlds；tDSBds0；LSHdl()jds。tBD（2）微分形式：D；E；B0；Hj。tt3．电磁场的物质性11（1）能量：能量密度wE(DBH)；区域V中的总能量WE()DBHdV。22V（2）能流：能流密度矢量SEH；（3）动量：动量密度g()EB；02（4）质量：质量密度wc/。三．习题解答与分析6.1．在有磁场变化的空间，若没有导体，在此空间中是否存在感生电场？是否存在感生电动势？【答】不管是否有导体存在，只要有变化的磁场，必定激发感生电场。但是，若没有导体，就不存在感生电场力做功的问题，所以就不存在感生电动势。6.2．动生电动势和感生电动势本质上有何异同？【答】从宏观上看，这两种电动势都是由于穿过回路的磁通量发生变化而产生的。但是，动生电动势是由于导体和磁场的相对运动而产生的，感生电动势是由于磁场的变化产生的。从微观上看，这两种电动势都是由作用在自由电子上的非静电力做功提供的。但是，对于动生电动势，非静电力是洛伦兹力的一个分力；对于感生电动势，非静电力是感生电场力。当然，按照相对论的电磁场变换关系，这两种电动势本质上是相同的。6.3．洛仑兹力在动生电动势的产生过程中起什么作用？怎样解释洛仑兹力对运动带电粒子不做功，但洛仑兹力作为非静电力做功引起动生电动势的事实？【答】作用在运动电子上的洛仑兹力与电子的速度方向垂直，该力沿导线方向的分力做正功，提供动生电动势；该力垂直于导线方向的分力做负功（维持导线运动的外力做正功）；两者之和等于零，即洛仑兹力对运动电子不做功。由此可见，整个过程的总效果是外力做正功提供了动生电动势，洛仑兹力只起到了中介作用。6.4．变化磁场激发的电场和静电场在性质上有什么不同？为什么说Edl(/)BtdsLS是普遍变化电磁场的一个基本方程？【答】静电场的场强E在任意闭合回路L上的环流等于零：Edl0；jingLjing稳恒电场的场强E在任意闭合回路L上的环流也等于零：Edl0；wenLwen变化磁场激发的感生电场的场强E在L上的环流不一定等于零：Edl(/)Btds；ganLSgan空间各点的总场强为EEEE，必有：Edl(/)Btds。显然，此公式jingwenganLS是普遍变化电磁场的一个基本方程，对各种电场都成立。－36.5．将一个半径为a=0.10m，电阻为R=1.0×10Ω的圆形导体回路置于均匀磁场中，磁感应强度B与127 n2－4回路所围平面的法线之间的夹角为3。若磁场随时间变化的规律为B=(3t+8t+5)×10T，求t＝2s时回路中的感应电动势和感应电流。2dmda(cBos)2dBdB4【解】acos，(6t8)10；idtdtdtdt24512→1020103.1410()V→I3.1410(A)。its22iits22Rts式中负号是相对于正方向而言的。6.6．载有电流I＝100A的长直导线旁有一长为L＝16cm的导线段AB，两BI导线在同一平面内，导线段A端距离长直导线的距离为a＝2cm，导线段与长dlxov直导线间的夹角为θ=30º。当导线段AB以速度v＝5.0m/s（速度方向垂直于载流导线）运动时，导线段中的感应电动势多大？A和B哪端电势高？A【解】如图所示，在坐标x处取导线元dl，此处的磁感应强度大小为：aI0B；方向为：2x题6图6.IvIvdl00dl上的感应电动势为：dv()Bdldlcos；i2sllin2tanaIvLdlIvLa/sinIvLsina00sin0积分可得：lnln；ABa2tanla2tan/sin2tanasin720IvLasin4101054代入数据得：lnln52.7910()V。AB2tana21/30表示B端电势高。AB×××A×××D6.7．如图所示，一导线段AB放在两根金属导轨上，两导轨××××××相距50cm。均匀磁场的磁感应强度大小为1.0T，方向为垂直纸50cm××××××面向里。假定回路ABCD的总电阻恒为0.4Ω。导线段AB以×××B××C×8m/s的速度向左移动。求：（1）AB中感应电动势的大小和方××××××向；（2）使AB保持匀速运动所需之外力F的大小；（3）试将题6.7图外力F所做功的功率与电路中焦耳热功率进行比较。B【解】(1)()()vBdlvBBvBAl4.0(V)，方向：从A指向B。ABAAB(2)为使AB保持匀速运动，必须FFIBlBl5.0(N)；安R(3)外力做功的功率为：PFvFvW40()；F2AB电路中的焦耳热功率为：PIR()4R0W；→PP。RFRR6.8．如图所示，长为0.50m的一根铜棒在水平面内绕竖直轴匀角速转动，转轴竖直穿过棒长的1/5长－4度处，转动角速度为ω=4π弧度/秒。空间存在竖直向上的匀强磁场，其磁感应强度为B=0.50×10T。求铜棒两端的电势差Uab。哪端电势高？128 bl44l8552o【解】()vBdllBdlBldlBl；cbc0025Baball111c552()vBdllBdlBldlBl；cac0050o3题6.8图2→Blabaccbcacb10332425→UBl40.5100.54.7110()Vabab1010负号说明b点电势比a点高。6.9．飞机以v＝200m/s的速度水平飞行，机翼两端相距30m，两端之间可当作连续导体，已知飞机所－4在处的地磁场的磁感应强度在竖直方向上的分量为0.20×10T，求机翼两端的电势差。4【解】Uv(B)LvBL2000.2010300.12()V。水平垂直水平6.10．边长分别为a和b的矩形导体回路与无限长直导线共面，矩形的一边与直导线平行。直导线中通以电流IItcos，矩形回路以速度v垂直向右离开导b0av线。求任意时刻矩形回路中的感应电动势。Ix【解题分析】本题中矩形回路运动切割磁力线产生动生电动势，同时直导线中电流随时间变化使磁感应强度变化产生感生电动势。对于这类两种电动势共存的问题，比较简便的方法就是直接应用电磁感应定律。即先计算出穿过回路的磁通量题6.10图dBdsm，再用电磁感应定律求解感应电动势。mSidt【解】选顺时针为正绕向，穿过回路的磁通量为：xbI0Ixb0adraln。mx2r2xdIdxbdxIabm000→(latn)(cosln)dtdt22xdtxIaxbd11x00sinttlncos()2xxbxdtIaxbbv00lnsinttcos。（0时顺时针，0时逆时针）。ii2(xxxb)上式中的第一项是感生电动势，第二项是动生电动势。【评注】求解感应电动势的方法和步骤。dm方法一：用。此方法既适用于求感生电动势，又适用于求动生电动势。特别是对感生idt电动势的问题，或者两种电动势共存的问题，一般用此方法。其步骤是：①取闭合回路。若回路不闭合，可假设一个闭合回路。②选定回路正绕向。一般选择与磁感线方向成右手螺旋关系的绕向为正绕向。③计算与回路交链的磁通量。与正绕向成右手螺旋关系的磁通量为正，成左手螺旋关系的为负。m129 ④计算感应电动势：dm。若0，则其实际方向与正方向同向；若0，则其实际方向与正方向反向。iiidt方法二：用()vBdl。此式仅用于求动生电动势。iL①沿导线选定正方向。②在导线上任取一导线元dl。dl沿导线切向并且指向正方向。③写出dl处的v和B（大小和方向）。④计算dl上的dv()Bdl。注意矢量乘法法则和d的正负。ii⑤计算积分：(vBdl)。若0，则其实际方向与正方向同向；若0，则其实际iiiL方向与正方向反向。××××6.11．如图所示，均匀磁场限定在半径为R的圆柱形空B××××××间内，其磁感应强度的方向沿圆柱轴线向里，其量值以c0.01T/s的恒定速率减小。当把电子分别放在图中的a、b、××××××××r1Rc、d四点时，电子瞬时加速度的大小和方向如何？dr2××××××××b（R=10cm，r1＝5cm，r2＝15cm）r1××××××××【解】本题的关键是要求出图中四点的感生电场的场a强。因为变化的磁场是柱对称分布的，不妨将它与柱对称××××××分布的电流场激发的磁场作如下对比，并直接写出结果。××××题6.11图20RjrrR()电流所激2r2Bdljds柱对称B发的磁场LS00jrrR()2BjBj变量00代换EBt/EB/tii2RB2rrR()变化的磁场激B柱对称2rtLSEdlidsEi发的感生电场t1BrrR()2t由上述对比可得各点感生电场的场强和电子加速度：1BeB72a点：Er，方向向左；ar4.410(ms)，方向向右。ia1ia12t2mte130 b点：E0。a0。ibib1BeB72c点：Er，方向向右；ar4.410(ms)，方向向左。ic1ic12t2mte221BReBR72d点：E，方向向上；am5.910(s)，方向向下。idid2tr2mtr2e2【评注】①在圆柱形区域以外的各点，虽然Bt/0，但是E0，说明各点的感应电场不是i当时当地的磁场变化引起的，而是其它点的磁场变化引起的。即：某个小区域的磁场变化，在其周围空间各点激发感生电场；所有区域的磁场变化在某一点处激发的感生电场场强的矢量叠加就是该点的总场强。②对比法体现了不同的物理学范畴其规律也存在某种对称性。在物理学的发展历史中，常常应用这种方法，发现新的物理学定律。比如，库仑定律就是在万有引力定律的启发下得以发现的。6.12．如图所示，在半径为R的无限长直载流螺线××××管内，均匀磁场的磁感应强度的量值随时间匀速率地增××××××大（dB/dt>0）。有一根直导线ac如图放置，其中ab＝Bbc＝R。求导线ac上的感应电动势。××××××××R【解】方法一：用法拉第电磁感应定律。o××××××××作虚线将oa，oc联接构成闭合回路oac，选顺时针为正2××××××××E绕向。穿过此回路的磁通量为：i1××××××2213RR(33)adl1bdl2c()RRBB××××m222612E题6.12图i2d(33)RdBm→，idt12dt22(33)RdB(33)RdB→→(0)。caac12dt12dt方法二：用感生电场。由6.11题的结果可知，无限长直载流螺线管内外感生电场的分布为：1BRB2在rR处，Er；在rR处，Er。ii22t2rtcb1BRc2BEdl()rdl()rdlacaai22tr11b2t22222bc1dBRdB1dBbcRrdcoslcosdl[crdoslcosdl]ab22dt111rdt222dtab111r22222213dBRR/3R13dBR2(33)RdB[]dlrd[]RR。12222dt0/6r22dt612dt2131 6.13．如图所示，将一个电阻为5.0Ω的单匝闭合铜线圈同轴地套在一个长直螺线管的外面。长直螺线管的半径为5cm，单位长度的匝数为10，螺线管导线中的电流强度随时间以dI/dt＝0.5A/s匀速率增大。（1）单匝铜线圈中的感应电流为多大？（2）磁通量毕竟完全限制在螺线管内部，试问单匝铜线圈中的自由电荷如何形成电流？2【解】(1)BnI→nIr→0m0dm2dI8rn4.9310()V，i0dtdti9→iA9.8610()（负号是相对于正方向而言的）。R题6.13图(2)磁通量虽然完全限制在螺线管内部，但局限在螺线管内部的磁场变化在管内管外都产生感生电场，单匝铜线圈中的自由电子受到管外感生电场给它的感生电场力而开始运动形成感生电流。－36.14．绕有线圈的空心纸筒长度为60cm，直径为5.0cm，测得其自感为6.0×10H。求线圈的匝数。222nIRNNRLl00【解】L→N1208。2IlR06.15．两个无限长同轴空心导体圆柱的半径分别dr为a和b。电流从内圆柱流入从外圆柱流回，从而构bar成一个回路。试计算长度为l的同轴圆柱的自感。【解】设导体圆柱中的电流强度为I，取如图示I0面积元ldr，该面元处的磁感应强度为B，2rl题6.15图方向为。与回路交链的磁通量为b00IIlIbdr0lbm0lbBdsldrln→Lln。mSa222rraaI2a【评注】理论推导自感系数的步骤。①假设电流。即令导体回路带电流I。②求解磁场。即求出电流I在导体回路自身激发的磁感应强度B（I）。L③计算磁链。即计算电流I产生的穿过导体回路自身的磁通链LLiBids（I）。SiL④得出自感。即由自感定义式求出：L。I6.16．有的电阻是用电阻丝绕成的，为了减少自感，常用如图双绕法，试说明为什么这样绕自感就很小。【答】如果用此双绕法，当电阻丝中通有电流时，就相当于两个电流反向的螺线管套在一起，两螺线管在内部产生的磁场方向相反，从而在螺线管内部：题6.16图B0→0→N0→LI/0。mmmm6.17．如图所示，一边长为a的正方形线圈与一无限长的长直导线共面，求当两者相距为b时的互感132 系数。【解】设通过无限长导线的电流强度为I，则它在正方形线圈中产生的磁通量为abIIaIabdraabb000adrlnmbb222rrbaaabm0→Mln。题6.17图I2b6.18．一个半径为r的小圆平面线圈由n＝50匝表面绝缘的细导线2绕成，圆面积为S＝4.0cm，放在另一个半径为R＝20cm（R>>r）的.大圆平面线圈的中心，两者共轴，已知大线圈由N＝100匝表面绝缘的导线绕成。（1）求这两线圈之间的互感M；（2）当大线圈中的电流每r秒减少50A时，试求小线圈中的感应电动势ε。【解】(1)设大线圈中的电流强度为I，它在在圆心处产生的磁感IRNI0强度的大小为：B，方向：。2R题6.18图因为R>>r，所以在小线圈的平面内，磁场近似均匀，小线圈的磁链为nNSnNS0m0nBSI→M；mRr2RI2R740nNS410501004.0106可以证明：MMM6.2810()H。rRRr22R0.2dI64(2)M210(50)3.1410()V，0表示其实际方向为顺时针。dt【评注】理论推导互感系数的步骤。①假设电流。即令导体回路1带电流I1。②求解磁场。即求出电流I1在导体回路2中激发的磁感应强度B21（I1）。③计算磁链。即计算电流I1产生的穿过导体回路2的磁通链21iB21ids（I1）。S2i21④得出互感。即由互感定义式求出：M。21I1用相同的方法可以推出M，可以证明：MM。1221126.19．两线圈顺串联后总自感为1.00H。在它们的形状和位置都L1ML2L1ML2不变的情况下，反串联后总自感为0.40H。试求它们之间的互感。II【解】设两个线圈的自感系数分别为L和L，它们之间的12顺串联反串联互感系数为M，则：题6.19图当两个线圈顺串联时，其等效自感系数为LLL2M，12133 当两个线圈反串联时，其等效自感系数为LLLM2；121两式相减得M()LL0.15(H)。46.20．举例说明磁场是具有能量的，磁场能量是储存在磁场中的。【答】磁场具有能量的例子：①RL回路中感生电动势做功；②电磁波传播能量；③…2B12磁场能量储存在磁场中的证据：①用WdV与WLI所得结果相同；②在电磁mmV220波中，磁场完全脱离电流而存在，但是磁场仍然具有能量；③…RL－66.21．有一个自感线圈，其自感系数为L=6.0×10H。另有一个电阻，其阻3值为R=1.0×10Ω。将L和R串联后接到电动势为10V的电池上。求：（1）电路中K的电流达到最大值的80%所需要的时间；（2）当电流稳定时，储存在自感线圈1中的磁场能量。K2【解】(1)在RL暂态电路中，当K1闭合时，电流随时间增大的规律为：题6.21图RRRtittiie(1L)→(1eL)→eL(1)→R/R/R6RiLi6.0109tln(1)→tln(1)ln(10.8)9.6610()s；3L/RR/R1.010(2)当t→时，稳定电流i，此时maxR11221162010WLiL()6.010()3.010()J。mmax322R21.01066.22．实验室中一般可获得的强磁场约为2.0T，强电场约为1×10V/m。求相应的磁场能量密度和电场能量密度。哪种场更有利于储存能量？22112B.063【解】磁场能量密度为：wJ1.5910(/m)；m722410011212623电场能量密度：wE8.8510(10)4.425(/Jm)；e022两者相比，磁场更有利于储存能量。6－56.23．地球的半径为R＝6.4×10m，在地球表面地磁场的磁感应强度为5.0×10T。求：（1）地球表面地磁场的磁能密度；（2）从地球表面到上空16km之间的球壳中所储存的磁能（假设在此范围内，包括地磁极附近，磁感应强度都等于上述给定值）。25211B(5.010)23【解】(1)wJ9.9510(/m)m7224100(2)从地球表面到表面上空16km之间的球壳体积为：4433223422VR[(h)RR][3h3Rhh]3Rh4Rh；333此球壳中贮藏的磁场能量为：134 22252623B22BRh2(510)(6.410)161015WR4h8.19210(J)。m72410007.1．位移电流是如何定义的？Maxwell为何要引入位移电流？引入它对电磁场理论有什么意义？【答】位移电流的定义：位移电流密度jD/t；位移电流强度I(/)Dtds。ddSMaxwell引入位移电流的目的：使得安培环路定理对变化电磁场也成立。引入位移电流的意义：Maxwell在总结前人成果的基础上，作出了两大理论创新，一是引入了感生电场的概念，二是引入了位移电流的概念，从而创立了电磁场理论。7.2．试比较位移电流和传导电流的异同。【答】相同点：位移电流仅在激发磁场方面等效于传导电流。不同点：①两者本质不同。位移电流是电位移对时间的变化率，而传导电流是电荷的定向运动。②热效应不同。传导电流存在焦耳热效应，而位移电流在真空情况下不存在热效应，在介质中当极化强度矢量对时间变化率非零时（这时存在有极化电流），才有热效应。③存在空间不同。传导电流只能存在于导体中，而位移电流可以存在于导体、电介质和真空中。④若导体中的电流以圆频率谐变，位移电流与传jd0导电流大小之比为1。j7.3．一个电容为1.0μF的电容器，要在它的两极板之间建立一个1.0A的位移电流，加在两极板上的电压的变化率应为多少？【解】由于电容器两极板间的位移电流与其引线中的传导电流相等，因而有dqdUdUid1.06iic→10(Vs/)d6dtdtdtc1.0107.4．极板为圆形的平行板电容器，接上交变电源后，两板间电场强度的大小与时间的函数关系为：5－5Et720sin(10)(/)Vm。求（1）电容器内位移电流密度的大小；（2）当t＝0和t＝0.5×10s－2时，在电容器内距中心轴线的距离为r＝10m处的磁场强度的大小。DdE552【解】(1)j72010cos(10tAm)(/)d00tdt(2)由对称性分析可知，电容器内的磁场有柱对称性，即在内部作一个半径为r的同轴圆周L，在L上，各点H的大小相等，H的方向沿L的切向且与位移电流的方向成右手螺旋关系。所以，在L上H的环流为：HdlHdlHdlH2r；LLLdE2与L交链的全电流为：()(jjds0)jdsr；dd0SSdtdE20dE55由H的环路定理可得：H2rr→Hrr36010cos(10t)。00dt2dt5→Hrm1021.010(/)Am，Hrm1020。t0ts0.51057.5．如图所示，ε＝12V，R=6Ω,C＝1.0μF，试求：（1）接通电源瞬KRC135题7.5图 －6时和t＝6×10s时电容器内的位移电流强度；（2）位移电流持续多长时间（一般认为超过10倍于时间常数的时间后，电流强度近似为零）。【解】由RC电路的暂态过程推出：tttdqqc(1eRC)→ieRC→iieRC。ddtRR1(1)iAdt02.0()，iedts6.010620.736()A。65(2)tR1010C1061.0106.010()s77.6．已知铜导线的电导率为σ=5.9×10S/m，相对介电常数为εr=1。铜导线中交流电的圆频率为ω=2πν（ν是交流电的频率）。（1）证明：铜导线中位移电流密度与传导电流密度的大小之比为ε0ω/σ；（2）当11ν=50Hz时，计算铜导线中位移电流密度与传导电流密度的大小之比；（3）当ν=3.0×10Hz时，再计算铜导线中位移电流密度与传导电流密度的大小之比。0Dj0【解】（1）jE→DEEj→jr00dttitj0jd0j(r,)tjre()→jj→jj→；dtj12jd08.851010017（2）当ν=50Hz时，4.7110；7j5.910121111jd08.851023.0107（3）当ν=3.0×10Hz时，2.8310。7j5.91011上面的结果表明，在铜导线里，从50Hz的市电到3.0×10Hz的微波，与传导电流相比，位移电流都小到可以略去不计。7.7．为什么静电场和稳恒磁场的两个散度方程D和B0可直接推广到变化的电磁场的情况，而两个旋度方程E0和Hj却不能做这样的直接推广？【答】将静（稳恒）场和时变场的性质总结如下：静（稳恒）电场D，感生电场D0，DDD→任意电场D；wenganwengan稳恒磁场B0，感生磁场B0，BBB→任意磁场B0。wenganwenganB静（稳恒）电场E0，感生电场E，EEE→任意电场E0；wenganwengantD稳恒磁场Hj，感生磁场H，HHH→任意磁场Hj。wenganwengant从以上对比可知，两个散度方程可以推广，而两个旋度方程不能推广。136 7.8．假定通过实验确定有磁单极子存在，试问应对麦克斯韦方程组作出怎样的修改？【答】若存在磁单极子，既存在“磁荷”，则假设磁荷密度为，由磁荷运动形成的磁流密度为mj，Maxwell方程组修改为：D；B；memBDEj；Hj。mett7.9．由Maxwell方程组定性解释电磁场的性质，并说明此方程组形式上已蕴含着电磁波的存在？【答】Maxwell方程组为：D；B0；BDE；Hj。tt由Maxwell方程组可知：①电场既有纵场部分（由电荷激发），又有横场部分（由变化的磁场激发）；②磁场没有纵场部分，只有横场部分（由电流和变化的电场激发）；③变化的电场激发磁场，变化的磁场激发电场，相互激发，从而形成由近及远传播的电磁波；并且，在远离电荷的区域，电场和磁场都是横场。7.10．证明Maxwell方程组已蕴含有电荷守恒定律：jt/0。D【证明】jH()0→jD()0；ttD→j0。t7.11．为什么说电磁场本身就是物质的一种存在方式？【答】因为质量、能量和动量是物质的基本属性，而电磁场具有质量、能量和动量，所以电磁场是一种物质。即：电磁场就是物质存在的一种方式。E7.12．无限长直密绕空心螺线管的半径为a，单位长度aH上的匝数为n，螺线管导线中的电流强度随时间均匀增加。SdI0试证明：单位时间内从螺线管表面流入的能量等于螺线管内dt磁场能量的增加率。l【证明】取长度为l的一段螺线管为研究对象。考察I题7.12图螺线管内表面的场量。磁场强度H：大小为HnI，方向沿螺线管轴线向右；2andIandI00电场强度E：大小为E，方向沿同轴圆周切向，与电流方向相反；22adtdt2andI0能流密度矢量SEH：大小为SI，方向垂直于螺线管内表面，指向轴线。2dt由能流密度的定义可知，单位时间内由螺线管内表面流入的能量为2dW流an0dI22dIdId1dWmlIa2(lannlILILI)。0lldt22dtdtdtdtdt上式表明：对于长度为l的一段螺线管，单位时间内由螺线管内表面流入的能量等于该段螺线管内的磁场能量随时间的增加率。137'