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'第4章习题答案（毕岗编写）第4章4-1相距为2m的金属导轨处在B=0.6T的匀强磁场中，方向如题4-1图所示，金属棒分别以v2和v1的速度沿导轨滑动，求回路中的感应电动势。解：ε=v×B∙dl=2v2-v1Bx。4-2一个电荷q以恒定速度v(v≪c)沿半径R为的圆形平面S的轴线向此平面移动，当两者相距为d时，求通过S的位移电流。解：由电场高斯定理，得SD∙dS=ρ∙dVD∙S=qD=qS,I=S∂D∂t∙dS。4-3假设电场强度按Et=EmcosωtVm变化，计算当f=1MHz时，下列各种媒质中的传导电流密度和位移电流密度幅值之比。1铜：σ=5.8×107Sm，εr=1；2蒸馏水：σ=2×10-4Sm，εr=80；3聚苯乙烯：σ=10-16Sm，εr=2.53。解:1Je=σEt=σEmcosωt，Jd=∂D∂t=ε∂Et∂t=-ε0εrωEmsinωt，ω=2πf=2×106πJeJd=-σε0εrω=-1.044×106；2同理，得JeJd=-σε0εrω=-3.6；3同理，得JeJd=-σε0εrω=-1.8×10-14。4-4设自由空间无源区的电场强度为E=xE0sinωt-kz，E0，ω为常数，利用麦克斯韦方 第4章习题答案（毕岗编写）程组中的两个旋度方程，求出式中k的表达式。解：-∂B∂t=∇×E=zkE0cosωt-kz-ykE0cosωt-kzB=-zkωE0sinωt-kz+ykωE0sinωt-kz。∂D∂t=∇×H=∇×Bu=xk2ωuE0cosωt-kzD=xk2ω2uE0sinωt-kzE=xk2ω2εuE0sinωt-kzk=±ωεu。4-5已知空气媒质的无源区中，电场强度E=x50e-αycosωt-βy，ω，α，β其中为常数，求相应的位移电流密度和磁场强度表达式。解：Jd=∂D∂t=ε∂E∂t=z50αe-αycosωt-βy-50βe-αysinωt-βyB=z50αωe-αysinωt-βy+50βωe-αycosωt-βy。4-6证明麦克斯韦方程组包含了电荷守恒定律。解：由麦克斯韦方程，得∇×H=J+∂D∂t，对上式两边求散度∇∙∇×H=∇∙J+∇∙∂D∂t，因为∇∙∇×H=0， 第4章习题答案（毕岗编写）所以∇∙J+∇∙∂D∂t=0。又因为∇∙D=ρ，所以∇∙J+∇∙ρ=0，即电荷守恒定律成立。4-7长度L=1m，内径R1=5mm，外径R2=6mm的同轴电容器中有εr=6.7的电介质，外加电压为u=2202sin314tV，确定位移电流Id，并与传导电流Ic相比较(忽略边缘效应)。解：E=uL，Ic=σE∙dS=σuL∙πR22-R12，Id=∂D∂t∙ds=ε∂E∂t∙πR22-R12=εrε0L∙∂u∂t∙πR22-R12，IdIc=εrε0σu∙∂u∂t=tan314t1015π。4-8已知天线所发射的球面电磁波的电场及磁场分别为E=θA0sinθrsinωt-kr，H=φ1η0A0sinθrsinωt-kr，求天线的发射功率。解：S=E×H=rA0²sin²θη0r²sin²ωt-kr，P=SS∙dS=4πA0²sin²θη0sin²ωt-kr。4-9在自由空间中，已知电场强度E的表达式为E=xExme-jβz+yEyme-jβz，试求玻印廷矢量S、平均功率流密度矢量Sav、单位体积内的瞬时电磁能量以及其一个周期内的平均值。解：-∂B∂t=∇×E=jxEymβe-jβz-jyExmβe-jβz 第4章习题答案（毕岗编写）B=yExmβe-jβz-xEymβe-jβzω，H=Bu0=yExmβe-jβz-xEymβe-jβzu0ω，S=E×H=zExm2+Eym2e-j2βzu0ω，Sav=Re12E×H=zExm2-Eym2β2u0ω，A4-10已知在空气中的电场强度为E=y0.2cos8πxsin3π×109t-βzVm，试求相应的磁场强度H和常数β。解：-∂B∂t=∇×E=x0.2βcos8πxcos3π×109t-βz-z1.6πsin8πxsin3π×109t-βzB=x0.2β3π×109cos8πxsin3π×109t-βz-z1.63×109sin8πxcos3π×109t-βz，H=Bu=x0.2β3π×109ucos8πxsin3π×109t-βz-z1.63×109usin8πxcos3π×109t-βz，∂D∂t=∇×H=y0.2β23π×109u-12.8π3×109ucos8πxcos3π×109t-βzD=y0.2β2-12.8π2ucos8πxsin3π×109t-βz，E=Dε=y0.2β2-12.8π2uεcos8πxsin3π×109t-βz，0.2=0.2β2-12.8π2uεβ=±uε+64π2。4-11如题4-11图所示，已知x<0为I区域，ur1=2，H1=3x+y-7zA/m；x>0为II区域，ur2=3。假设分界面上下不存在面电流，求II区域的磁场强度H2。解：H2t=H1t=6y-7z，B2n=B1n=ur1H1n=6x， 第4章习题答案（毕岗编写）H2n=B2nur2=2x，H2=H2t+H2n=2x+6y-7z。4-12将下列矢量的瞬时值形式表示成复数形式，复数形式表示成瞬时值形式：1E=x5cosωt-kz+y6sinωt-kz；2H=zHzmcosπx6cosωt-kz；3E=xj3Exmsinkyysinkzze-jkxx；4H=xHxmsinπxacosπybe-jkzz-yjHymsinπxacosπybe-jkzz。解：1E=x5e-jkzz+ye-jkzz；2H=zHzmcosπx6e-jkzz；3E=x3Exmsinkyysinkzzcosωt-kxx+π2；4H=xHxmsinπxacosπybcosωt-kzz-yHymsinπxacosπybcosωt-kzz+π2。4-13已知自由空间中的电磁波的电场强度为E=x12πcos6π×108t+2πzVm，1该电磁波是否属于均匀平面波，传播方向如何；2求波的频率、波长、相称速度、相速度；3求磁场强度矢量H的瞬时值表达式。解：1非均匀平面，传播方向x；2ω=6π×108，f=ω2π=3×108，λ=2πk=1，vp=λf=1；3-∂B∂t=∇×E=-y24πsin6π×108t+2πz 第4章习题答案（毕岗编写）B=-y4108cos6π×108t+2πz，H=Bu0=-y4108u0cos6π×108t+2πz。4-14已知理想介质ε=εrε0，u=uru0，σ=0中平面电磁波的电场表达式为E=x100ej2π×106t-2π×10-2zuVm，1设ur=1，求εr；2磁感应强度B的瞬时值表达式。解：1∇×E=-y2πej2π×106t-2π×10-2z，B=-∇×E∙dt=-yj106ej2π×106t-2π×10-2z，∇×H=∇×Bu=x2π×10-2ju106ej2π×106t-2π×10-2z4-15假设真空中有一均匀平面电磁波的电场强度瞬时值表达式为E=x3cosωt-kz+y4cosωt-βz-π3，其中，ω=6π×108rad/s，β=2πrad/m，求对应的磁场强度矢量和功率流密度矢量的时间平均值。解：H=1η0k×E=-x360πe-j6π×108t-2πz-π3+y480πe-j6π×108t-kz。H*=-x360πej6π×108t-2πz-π3+y480πej6π×108t-kz，Sav=Re12E×H*=z1440π。4-16在自由空间中，已知均匀平面电磁波强度为E=x10+yj20e-jπzmV/m，1求此波的频率、波长、波速和相位移常数；2电场的分量和分量的初相位。解：1k=π，λ=2πk=2，f=cλ=1.5×108，vp=c=3×108。2E=x10e-jπz+y20e-jπzejπ2， 第4章习题答案（毕岗编写）φx=0，φx=π2。4-17理想介质εr=4，ur=1中有一均匀平面电磁波沿+z方向传播，其频率f=10GHz，当t=0时，在z=0处电场强度振幅E0=2mV/m。求当t=1us时，在z=62m处的电场强度矢量、磁场强度矢量和坡印廷矢量。解：ω=2πf=2π×1010，k=ωuε=400π3，E=x2×10-3cos2π×1010t-400π3z，当t=1us时，在z=62m处E=-x10-3，H=1ηk×E=-y160π×10-3，S=E×H=z160π×10-6。4-18在自由空间中电磁波电场强度为E=x300sinωt-βzmV/m，则该电磁波通过半径为10mm的圆平面的总平均功率为多少？解：E=xj300e-jβz，H=-1jωμ∇×E=-y300βjωμe-jβz，H*=-yj300βωμejβz，Sav=Re12E×H*=z9×104β2ωμ，Pav=SSav∙dS=9πβ2ωμ。4-19在真空中，均匀平面电磁波的磁场强度矢量为H=xA+y+zcosωt-π4x+3zμA/m，求：1波的传播方向、波长和频率；2常数A；3电场强度矢量；4坡印廷矢量的时间平均值。解：1传播方向4x+3z,λ=2πk=2πωμ0ε0=6π×108ω， 第4章习题答案（毕岗编写）f=ω2π；2由∇∙H=0，得4πsinωt-π4x+3z+3πsinωt-π4x+3z=0A=34；3E=ηk×H=-x360πe-j4x+3zπ-y190πe-j4x+3zπ+z480πe-j4x+3zπ，4H*=x34e-j4x+3zπ+ye-j4x+3zπ+ze-j4x+3zπ，Sav=Re12E×H*=-x295π+y180π-z4052π。4-20已知铝的σ=3.72×107S/m，μr=1，求当频率f=1.5MHz，铝的穿透深度δ，并求出传播常数γ和波速v。解：ω=2πf=3π×106，δ=1α=1β=2ωμσ=14.72π×106，γ=α+jβ=4.72π×106+j4.72π×106，v=λf=2πβf=0.6356。4-21通常认为电磁波经过3~5个趋肤深度后，已衰减为零，若要用厚度为5个趋肤深度的铜皮μr=1，εr=1，σ=5.8×107S/m去包裹放有电子设备的仪器室，才能达到屏蔽要求，问当要求屏蔽的频率是10kHz~100MHz时，铜皮的厚度至少是多少？解：δ=1πfμσ=0.002076m，L=5δ=0.01038m。4-22设某一导电媒质μr=1，εr=2.1，σ=1.26×10-2S/m，求当频率为540MHz的广播信号通过这一导电媒质时的衰减常数和相称常数。解：α=β=ωμσ2=1.65π。 第4章习题答案（毕岗编写）4-23判断下列各平面电磁波的极化方式，并指出其旋向：1E=xE0sinωt-kz+y2E0sinωt-kz；2E=5x+jye-jkz；3E=x3+ye-jπ3ejkz；4E=xE0sinωt-kz+π4+yE0cosωt-kz；5E=-x-y23-z3e-j0.04π3x-2y+3z。解：1Ex=E0sinωt-kz=E0cosωt-kz-π2，Ey=2E0sinωt-kz=2E0cosωt-kz-π2，φx=φy=-π2，传播方向为z，四象限直线极化；2E=x5e-jkz+y5e-jkzejπ2，φx-φy=-π2，传播方向为z，左旋圆极化；3φx-φy=π3，传播方向为-z，左旋椭圆极化；4Ex=E0sinωt-kz+π4=E0cosωt-kz-π4，Ey=E0cosωt-kz，φx-φy=-π4，传播方向为z，左旋椭圆极化；5φx=φy=φz=-2π50，四象限直线极化。4-24求证：椭圆极化波E=xE1+yjE2e-jkz可以分解为两个不等幅的旋向相反的圆极化波。证明：由极化波的的公式，得E=Ex+Ey，Ex=xE1e-jωt，Ey=yE2e-jωt-π2，假设E可分解为两个不等幅的旋向相反的园极化波 第4章习题答案（毕岗编写）E=Ec1+Ec2，Ec1=xEc1e-jωt+yEc1e-jωt-π2，Ec2=xEc2e-jωt+yEc2e-jωt+π2，由上面，得xEc1e-jωt+xEc2e-jωt=Ex=xE1e-jωt，yEc1e-jωt-π2+yEc2e-jωt+π2=Ey=yE2e-jωt-π2，因此，有Ec1+Ec2=E1Ec1-Ec2=E2，解这个方程组，得Ec1=E1+E22，Ec2=E1-E22，由上面可得椭圆极化波可以分解成为两个如下的不等幅旋向相反的圆极化波：Ec1=xE1+E22e-jωt+yE1-E22e-jωt-π2，Ec2=xE1-E22e-jωt+yE1-E22e-jωt+π2，故命题得到证明。4-25已知平面电磁波的电场强度为E=x2+j3+y4+z3e-j-1.8y+2.4zV/m，试判断该电磁波是否为横电波，并确定其传播方向和极化状态。解：传播方向为-1.8y+2.4z，电场方向为x2+j3+y4+z3，-1.8y+2.4z∙x2+j3+y4+z3=0，因此电磁波为横电波。Ex=x13e-j-1.8y+2.4zejarcsin31313，φx-φy=arcsin31313，右旋椭圆极化。4-26线极化均匀平面电磁波在空气中的波长是λ0=60m，当它沿+z方向进入海水中垂直向下传播是，已知水面下1m处E=xcosωtV/m，求海水中任一点E，H的瞬时值表达式及相速度和波长。已知海水：σ=4S/m，εr=80，μr=1。 第4章习题答案（毕岗编写）解：f=cλ0=5×106，v=1μϵ=325×107，λ=cf=35，ω=2πf=107π，k=2πλ=2155π，φ=kz=2155π，η=uε=65π，E=xcos107πt-2155πz+2155π，H=1ηk×E=y65πcos107πt-2155πz+2155π。4-27设电场为E=x20+yj75e-j5πz的均匀平面电磁波从空气垂直投射到理想导体表面z=0，求：1反射波的极化状态：2导体表面的面电流密度。解：1Er=Ei=x20e-j5πz+y75e-j5πz-π2，φx-φy=-π2，左旋椭圆极化；2H1=-1jωμ∇×E=x375jωμe-j5πz+y100πωμe-j5πz，JS=n×H2-H1=z×-H1=y375ωμe-j5πz-π2-x100πωμe-j5πz。4-28均匀平面波的入射波电磁场强度为Ei=xExm+yjEyme-jkz。由空气垂直入射到z=0处的理想介质ur=1，εr=9分界面上，试求：1空气中的合成波电场E；2理想介质中的透射波磁场Ht。解：1η1=u1ε1=120π，η2=u2ε2=40π，R=η2-η1η2+η1=-12，Er=REi=-x12Exme-jkz-y12Eyme-jkzejπ2，E1=Ei+Er=x12Exme-jkz+y12Eyme-jkzejπ2。2T=2η2η2+η1=12， 第4章习题答案（毕岗编写）E2=Et=TEr=x12Exme-jkz+y12Eyme-jkzejπ2，Ht=1η2k×E2=-x180πEyme-jkzejπ2+y180πExme-jkz。4-29设分界面处入射波、反射波和透射波的平均功率密度分别为Sav,i，Sav,r和Sav,t，定义垂直入射时的功率反射系数和功率透射系数波自无耗媒质向有耗媒质垂直入射分别为RP=Sav,rSav,i，TP=Sav,tSav,i，证明：RP+TP=1。解：Sav,i=Re12Ei×Hi*=Re12Ei×1η1k×Ei=Re12η1Ei×k×Ei，Sav,r=Re12Er×Hr*=ReR2Ei×-1η1k×Er*=ReR2Ei×-Rη1k×Ei*=Re-R22η1Ei×k×Ei*，Sav,t=Re12Et×Ht*=ReT2Ei×1η2k×Et*=ReT2Ei×Tη2k×Ei*=ReT22η2Ei×k×Ei*，由上面，得Sav,r=-R2Sav,i，Sav,t=η2η2T2Sav,i，RP=R2，TP=η2η2T2，RP+TP=η2-η12η2+η12+η1∙4η22η2η2+η12=1。4-30如习题4-30图所示，在真空中，均匀平面电磁波垂直穿过厚度为4μm的铜板σ=5.5×107S/m，在A处电场振幅为10V/m，频率f=200MHz，求：B，C，D各点的电场振幅大小。解：η1=μ1ε1=120π，η2=μ2ε2=120π，TAB=2η2η2+η1=1，EA=EB=10，ω=2πf=4π×108，δ=2ωμσ=16π×103，EC=EBe-16π×103=10e-16π×103， 第4章习题答案（毕岗编写）TCD=2η1η2+η1=1，ED=TCDEC=10e-16π×103。4-31已知区域Ⅰ与区域Ⅱ的分界面为无限大平面，在区域Ⅰ，ur1=1，εr1=9，σ1=0，电场振幅为Ei0=1.6mV/m，区域Ⅱ是真空。假设电磁波从区域Ⅰ垂直入射到区域Ⅱ上，确定在分界面上反射波和透射波的电场和磁场的振幅。解：η1=μ1ε1=40π，η2=μ2ε2=120π，R=η2-η1η2+η1=12，T=2η2η2+η1=32，Er0=REi0=0.8，Hr0=1η1Er0=150π，Er0"=TEi0=2.4，Hr0"=1η1Er0=150π。4-32垂直极化的平面电磁波从水下透射到大气分界面，入射角θi=30°，已知水的εr=81，μr=1，试求：1临界角θC；2反射系数R；3透射系数T。解：1θC=arctanε2ε1=arctan19；2sinθisinθt=ε1ε2θt=arctan118，η1=μ1ε1=40π3，η2=μ2ε2=120π，R=η2cosθi-η1cosθtη2cosθi+η1cosθt。3T=2η2cosθiη2cosθi+η1cosθt。4-33一个线极化平面波从自由空间透射到εr=81，μr=1的媒质分界面，试求：入射角θi为多少时，反射波只有垂直极化波？解：θB=arctanε2ε1=arctan3。4-34电场为E=y9e-j12x+3zV/m的均匀平面电磁波由自由空气射向z=0的理想导体平面上，试求：1入射角θi；2波长及频率f；3合成波电场E合。解：1θi=arctan3=π3； 第4章习题答案（毕岗编写）2k=12，λ=2πk=4π，f=cλ=34π×108；3E合=Er+Ei=y9e-j12x+3z-ej12x+3z'