《概率论与数理统计》(韩旭里)课后习题答案.doc 116页

'概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A（2）AB（3）ABC（4）A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=(5)=(6)116 (7)BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪(8)AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（）.【解】P（）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=++-=7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；116 （3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）==（）5（亦可用独立性求解，下同）（2）设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P（A2）==()5(3)设A3={五个人的生日不都在星期日}P（A3）=1-P(A1)=1-()59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n30.如图阴影部分所示.22.从（0，1）中随机地取两个数，求：116 （1）两个数之和小于的概率；（2）两个数之积小于的概率.【解】设两数为x,y，则0乙反）由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）因此P(甲正>乙正)=46.证明“确定的原则”（Sure-thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|)≥P(B|)，则P（A）≥P(B).【证】由P（A|C）≥P(B|C),得即有同理由得故47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,…,n）,则116 其中i1,i2,…,in-1是1，2，…，n中的任n-1个.显然n节车厢全空的概率是零，于是故所求概率为116 48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.【证】在前n次试验中，A至少出现一次的概率为49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}B={这只硬币为正品}由题知则由贝叶斯公式知50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？116 【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2n-r次，设n次取自B1盒（已空），n-r次取自B2盒，第2n-r+1次拿起B1，发现已空。把取2n-r次火柴视作2n-r重贝努里试验，则所求概率为式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.（2）前2n-r-1次取火柴，有n-1次取自B1盒，n-r次取自B2盒，第2n-r次取自B1盒，故概率为51.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】设在一次试验中A出现的概率为p.则由以上两式相减得所求概率为若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得.52.设A，B是任意两个随机事件，求P{（+B）（A+B）（+）（A+）}的值.116 【解】因为（A∪B）∩（∪）=A∪B（∪B）∩（A∪）=AB∪所求故所求值为0.53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：ABC=F，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.【解】由故或,按题设P（A）<,故P（A）=.54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）.【解】①②故故③116 由A,B的独立性，及①、③式有故故或（舍去）即P（A）=.55.随机地向半圆00,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小.(2006研考)解：因为所以.116 习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】故所求分布律为X345P0.10.30.6116 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函数并作图；(3).【解】故X的分布律为X012P（2）当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=116 当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1故X的分布函数(3)3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.116 故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数4.（1）设随机变量X的分布律为P{X=k}=，其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.（2）设随机变量X的分布律为P{X=k}=a/N，k=1，2，…，N，试确定常数a.【解】（1）由分布律的性质知116 故(2)由分布律的性质知即.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：（1）两人投中次数相等的概率;（2）甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)(1)+(2)116 =0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有即利用泊松近似查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？116 【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】设在每次试验中成功的概率为p，则故所以.9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】（1）设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；116 （2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】（1）(2)11.设P{X=k}=,k=0,1,2P{Y=m}=,m=0,1,2,3,4分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=，试求P{Y≥1}.【解】因为，故.而故得即从而12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,得116 13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.【解】14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有116 (2)P(保险公司获利不少于10000)即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P（保险公司获利不少于20000）即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-|x|,-∞a时，F（x）=1即分布函数18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.116 【解】X~U[2,5]，即故所求概率为19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】依题意知，即其密度函数为该顾客未等到服务而离开的概率为,即其分布律为116 20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.（1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1）若走第一条路，X~N（40，102），则若走第二条路，X~N（50，42），则++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若X~N（40，102），则若X~N（50，42），则116 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X~N（3，22），（1）求P{20;(2)f(x)=试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.【解】（1）由知116 故即密度函数为当x≤0时当x>0时故其分布函数(2)由得b=1即X的密度函数为116 当x≤0时F（x）=0当00时，故(2)当y≤1时当y>1时116 故(3)当y≤0时当y>0时故31.设随机变量X~U（0,1），试求：116 （1）Y=eX的分布函数及密度函数；（2）Z=-2lnX的分布函数及密度函数.【解】（1）故当时当10时，即分布函数故Z的密度函数为32.设随机变量X的密度函数为f(x)=试求Y=sinX的密度函数.【解】当y≤0时，116 当00）=1，故0<1-e-2X<1，即P（06,则P（X1时，即故51.设随机变量X的密度函数为fX(x)=,求Y=1-的密度函数fY(y).【解】116 故52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布.（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993研考）【解】（1）当t<0时，当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有即即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。（2）53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=-1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{-1P{|Y-μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小.(2006研考)解：依题意，，则，.因为，即116 ，所以有，即.习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：XY0123100116 3002.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：XY0123000102P(0黑,2红,2白)=03.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=求二维随机变量（X，Y）在长方形域内的概率.116 【解】如图题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.116 【解】（1）由得A=12（2）由定义，有(3)5.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=（1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}.【解】（1）由性质有116 故（2）(3)(4)题5图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为fY（y）=116 求：（1）X与Y的联合分布密度；（2）P{Y≤X}.题6图【解】（1）因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为而所以116 (2)7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=求（X，Y）的联合分布密度.【解】8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求边缘概率密度.【解】116 题8图题9图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求边缘概率密度.【解】116 题10图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度.【解】（1）得.(2)116 11.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.题11图【解】116 所以12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.（1）求X与Y的联合概率分布；（2）X与Y是否相互独立？【解】（1）X与Y的联合分布律如下表116 YX345120300(2)因故X与Y不独立13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为XY2580.40.80.150.300.350.050.120.03（1）求关于X和关于Y的边缘分布；（2）X与Y是否相互独立？【解】（1）X和Y的边缘分布如下表116 XY258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2)因故X与Y不独立.14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为fY（y）=（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.【解】（1）因故116 题14图(2)方程有实根的条件是故X2≥Y，从而方程有实根的概率为：15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f（x）=116 求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z的分布函数(1)当z≤0时，（2）当00)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（01}=P{}=0,P{X=1,Y=-1}=P{U>-1,U≤1}.故得X与Y的联合概率分布为.(2)因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应为,.从而所以116 31.设随机变量X的概率密度为f(x)=，（-∞