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  • 2022-04-22 11:36:00 发布

《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)2.doc

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'习题二1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.【解】故所求分布律为X345P0.10.30.62.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出的次品个数,求:(1)X的分布律;(2)X的分布函数并作图;(3).【解】42 故X的分布律为X012P(2)当x<0时,F(x)=P(X≤x)=0当0≤x<1时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)=当1≤x<2时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时,F(x)=P(X≤x)=1故X的分布函数42 (3)3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.故X的分布律为42 X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数4.(1)设随机变量X的分布律为P{X=k}=,其中k=0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a.(2)设随机变量X的分布律为P{X=k}=a/N,k=1,2,…,N,试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知故42 (2)由分布律的性质知即.5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求:(1)两人投中次数相等的概率;(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X~b(3,0.6),Y~b(3,0.7)(1)+(2)42 =0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)?【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则X~b(200,0.02),设机场需配备N条跑道,则有即利用泊松近似查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?【解】设X表示出事故的次数,则X~b(1000,0.0001)8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}.42 【解】设在每次试验中成功的概率为p,则故所以.9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,(1)进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率;(2)进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率.【解】(1)设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X~6(5,0.3)(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数,则Y~b(7,0.3)10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计).(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率;(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】(1)(2)11.设P{X=k}=,k=0,1,2P{Y=m}=,m=0,1,2,3,442 分别为随机变量X,Y的概率分布,如果已知P{X≥1}=,试求P{Y≥1}.【解】因为,故.而故得即从而12.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数,则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,得13.进行某种试验,成功的概率为,失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数,试写出X的分布律,并计算X取偶数的概率.【解】42 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1)在1月1日,保险公司总收入为2500×12=30000元.设1年中死亡人数为X,则X~b(2500,0.002),则所求概率为由于n很大,p很小,λ=np=5,故用泊松近似,有(2)P(保险公司获利不少于10000)即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上42 P(保险公司获利不少于20000)即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-|x|,-∞a时,F(x)=1即分布函数18.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测,求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】X~U[2,5],即42 故所求概率为19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布.某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试写出Y的分布律,并求P{Y≥1}.【解】依题意知,即其密度函数为该顾客未等到服务而离开的概率为,即其分布律为42 20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X服从N(40,102);第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N(50,42).(1)若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些?(2)又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些?【解】(1)若走第一条路,X~N(40,102),则若走第二条路,X~N(50,42),则++故走第二条路乘上火车的把握大些.(2)若X~N(40,102),则若X~N(50,42),则42 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X~N(3,22),(1)求P{20;(2)f(x)=试确定常数a,b,并求其分布函数F(x).【解】(1)由知42 故即密度函数为当x≤0时当x>0时故其分布函数(2)由得b=1即X的密度函数为42 当x≤0时F(x)=0当00时,故(2)当y≤1时当y>1时42 故(3)当y≤0时当y>0时故31.设随机变量X~U(0,1),试求:42 (1)Y=eX的分布函数及密度函数;(2)Z=-2lnX的分布函数及密度函数.【解】(1)故当时当10时,即分布函数故Z的密度函数为32.设随机变量X的密度函数为f(x)=试求Y=sinX的密度函数.【解】当y≤0时,42 当00)=1,故0<1-e-2X<1,即P(06,则P(X1时,即故51.设随机变量X的密度函数为fX(x)=,求Y=1-的密度函数fY(y).【解】42 故52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为λt的泊松分布.(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布;(2)求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q.(1993研考)【解】(1)当t<0时,当t≥0时,事件{T>t}与{N(t)=0}等价,有即即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。(2)53.设随机变量X的绝对值不大于1,P{X=-1}=1/8,P{X=1}=1/4.在事件{-1P{|Y-μ2|<1},试比较σ1与σ2的大小.(2006研考)解:依题意,,则,.因为,即42 ,所以有,即.42'