概率论与数理统计》第三版__课后习题答案.pdf 40页

'习题一：1.1写出下列随机试验的样本空间：(1)某篮球运动员投篮时,连续5次都命中,观察其投篮次数;解：连续5次都命中，至少要投5次以上，故5,6,7,；1(2)掷一颗匀称的骰子两次,观察前后两次出现的点数之和;解：2,3,4,11,12；2(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以0,1,2,；3(4)从编号为1，2，3，4，5的5件产品中任意取出两件,观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：i,j1ij5;4(5)检查两件产品是否合格;解：用0表示合格,1表示不合格，则0,0,0,1,1,0,1,1；5(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1,最高气温不高于T2);解：用x表示最低气温,y表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：x,yTxyT；612(7)在单位圆内任取两点,观察这两点的距离;解：x0x2；7(8)在长为l的线段上任取一点,该点将线段分成两段,观察两线段的长度.解：x,yx0,y0,xyl；81.2(1)A与B都发生,但C不发生;ABC；(2)A发生,且B与C至少有一个发生;A(BC)；(3)A,B,C中至少有一个发生;ABC；-1- (4)A,B,C中恰有一个发生;ABCABCABC；(5)A,B,C中至少有两个发生;ABACBC；(6)A,B,C中至多有一个发生;ABACBC；(7)A;B;C中至多有两个发生;ABC(8)A,B,C中恰有两个发生.ABCABCABC；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3设样本空间x0x2,事件A=x0.5x1,Bx0.8x1.6具体写出下列各事件：(1)AB;(2)AB;(3)AB;(4)AB（1）ABx0.8x1；(2)AB=x0.5x0.8；(3)AB=x0x0.50.8x2;(4)AB=x0x0.51.6x21.6按从小到大次序排列P(A),P(AB),P(AB),P(A)P(B),并说明理由.解：由于ABA,A(AB),故P(AB)P(A)P(AB)，而由加法公式，有：P(AB)P(A)P(B)1.7解：(1)昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：P(WE)P(W)P(E)P(WE)0.175-2- (2)由于事件W可以分解为互斥事件WE,WE，昆虫出现残翅,但没有退化性眼睛对应事件概率为：P(WE)P(W)P(WE)0.1(3)昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛的概率为：P(WE)1P(WE)0.825.1.8解：(1)由于ABA,ABB，故P(AB)P(A),P(AB)P(B),显然当AB时P(AB)取到最大值。最大值是0.6.(2)由于P(AB)P(A)P(B)P(AB)。显然当P(AB)1时P(AB)取到最小值，最小值是0.4.1.9解：因为P(AB)=0，故P(ABC)=0.A,B,C至少有一个发生的概率为：P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)0.71.10解（1）通过作图，可以知道，P(AB)P(AB)P(B)0.3（2）P(AB)1P(AB)1(P(A)P(AB))0.6(3)由于P(AB)P(AB)1P(AB)1(P(A)P(B)P(AB))1P(A)P(B)P(AB)P(B)1P(A)0.71.11解：用A表示事件“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有i44464种，每种放法等可能。-3- 3对事件A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种，故P(A1)8(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。对事件A：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此331319个球，选法有4种)，故P(A)。P(A)13216816161.12解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为1“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为。1811同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5的概率各是,。129(1)1.133解：从10个数中任取三个数，共有C120种取法，亦即基本事件总数为120。10(1)若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有21C6种，故所求概率为。420(2)若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法21有C10种，故所求概率为。5121.14解：分别用A,A,A表示事件：123(1)取到两只黄球;(2)取到两只白球;(3)取到一只白球,一只黄球.则22C2814C611684P(A),P(A),P(A)1P(A)P(A)。1222312C6633C66113312121.15-4- P((AB)B)P((AB)(BB))解：P((AB)B)P(B)P(B)P(AB)P(A)P(AB)由于P(BB)0，故P((AB)B)0.5P(B)P(B)1.16(1)P(AB);（2）P(AB);解：（1）P(AB)P(A)P(B)P(AB)1P(B)P(AB)10.40.50.8;（2）P(AB)P(A)P(B)P(AB)1P(B)P(AB)10.40.50.6;注意：因为P(AB)0.5，所以P(AB)1P(AB)0.5。1.17解：用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i1,2,3），则Ai表示事件“第i次取到的是15331421次品”（i1,2,3）。PA(),(PAA)PAPAA()()11212120441938(1)事件“在第一、第二次取到正品的条件下,第三次取到次品”的概率为：5PAAA()。31218(2)事件“第三次才取到次品”的概率为：1514535PAAA()PAPAAPAAA()()()1231213122019182281（3）事件“第三次取到次品”的概率为：4此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用A表示事件“第i次取到的是正品”（i1,2），i-5- 则事件“在第一次取到正品的条件下,第二次取到次品”的概率为：P(AA)1；而事件211“第二次才取到次品”的概率为：P(AA)P(A)P(AA)。区别是显然的。1212121.18。解：用A(i0,1,2)表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i”。用B表示事件“从i2112C66CC24C1121222第二箱中取到的是次品”。则PA(),()PA,(PA),021222C91C91C91141414123PBA()PBA()PBA()012，112，212，根据全概率公式，有：3P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(A)P(BA)001122281.19解：设A(i1,2,3)表示事件“所用小麦种子为i等种子”，iB表示事件“种子所结的穗有50颗以上麦粒”。则PA()0.92,(PA)0.05,(PA)0.03,PBA()0.5，PBA()0.15，12312PBA()0.1，根据全概率公式，有：3P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(A)P(BA)0.47051122331.20解：用B表示色盲，A表示男性，则A表示女性，由已知条件，显然有：P(A)0.51,P(A)0.49,P(BA)0.05,P(BA)0.025,因此：-6- 根据贝叶斯公式，所求概率为：P(AB)P(AB)P(A)P(BA)102P(AB)P(B)P(AB)P(AB)P(A)P(BA)P(A)P(BA)1511.21解：用B表示对试验呈阳性反应，A表示癌症患者，则A表示非癌症患者，显然有：P(A)0.005,P(A)0.995,P(BA)0.95,P(BA)0.01,因此根据贝叶斯公式，所求概率为：P(AB)P(AB)P(A)P(BA)95P(AB)P(B)P(AB)P(AB)P(A)P(BA)P(A)P(BA)2941.22(1)求该批产品的合格率;(2)从该10箱中任取一箱,再从这箱中任取一件,若此件产品为合格品,问此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少?解：设，B1{产品为甲厂生产},B2{产品为乙厂生产},B3{产品为丙厂生产},A{产品为合格品}，则（1）根据全概率公式，P(A)P(B1)P(AB1)P(B2)P(AB2)P(B3)P(AB3)0.94，该批产品的合格率为0.94.P(B1)P(AB1)19（2）根据贝叶斯公式，P(B1A)P(B1)P(AB1)P(B2)P(AB2)P(B3)P(AB3)942724同理可以求得P(B2A),P(B3A)，因此，从该10箱中任取一箱,再从这箱中任取9447192724一件,若此件产品为合格品,此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：,,。9494471.23-7- 解：记A={目标被击中}，则P(A)1P(A)1(10.9)(10.8)(10.7)0.9941.24解：记A4={四次独立试验，事件A至少发生一次}，A4={四次独立试验，事件A一次也不4发生}。而P(A4)0.5904，因此P(A4)1P(A4)P(AAAA)P(A)0.4096。所以P(A)0.8,P(A1)10.80.212三次独立试验中,事件A发生一次的概率为：C3P(A)(1P(A))30.20.640.384。二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)（10）加法公式当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)（11）减法公当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)式当A=Ω时，P(B)=1-P(B)P(AB)定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事（12）条件概P(A)率P(AB)件B发生的条件概率，记为P(B/A)。P(A)P(B)P(A/B)ii（16）贝叶斯P(Bi/A)n，i=1，2，…n。公式P(Bj)P(A/Bj)j1此公式即为贝叶斯公式。-8- 第二章随机变量2.1X23456789101112P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/361kae2.2解：根据P(Xk)1，得ae1，即11。k0k01e故ae12.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7)用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数,Y~B(2,0.4)(1)两人投中的次数相同P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=002002111111220220C20.70.3C20.40.6C20.70.3C20.40.6C20.70.3C20.40.60.3124(2)甲比乙投中的次数多P{X>Y}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=111002220002220111C20.70.3C20.40.6C20.70.3C20.40.6C20.70.3C20.40.60.562812322.4解:（1）P{1≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=1515155121(2)P{0.5011e22(ln)yefy()22yY0y0（3）设FY(y)，fy()分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则Y2当y0时，Fy()PY{y}PX{y}P{}0Y2xy122当y>0时，Fy()PY{y}PX{y}P{yXy}edxYy2对Fy()求关于y的导数，得Y222y>0(yy)()(ln)y111e2(y)e2(y)e2fy()222yYy0010x2.23∵XU(0,)∴fx()X0其它（1）当2lny时2Fy()PY{y}P{2lnXy}P{lnXy}P{}0Y-15- 当y2ln时ye2122yyFy()PY{y}P{2lnXy}P{lnXy}PX{e}PX{e}dxY011yyy2ln()ee22对Fy()求关于y的导数，得到fy()2YY02lny（2）当y1或y-1时，Fy()PY{y}P{cosXy}P{}0Y1当11y时,Fy()PY{y}P{cosXy}PX{arccos}ydxYarccosy对Fy()求关于y的导数，得到Y1111y(arccos)y2fy()1yY0其它（3）当y1或y0时Fy()PY{y}P{sinXy}P{}0Y当01y时，Fy()PY{y}P{sinXy}P{0Xarcsin}yP{arcsinyX}Yarcsiny11dxdx0arcsiny对Fy()求关于y的导数，得到Y11201yarcsinyy(arcsin)fy()1y2Y0其它-16- 第三章随机向量33.1P{1