《概率论与数理统计教程》习题解答.pdf 102页

'第一章事件与概率1.1写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。解(1)记9个合格品分别为正,正，L，正，记不合格为次，则129W={(正1，正2)，(正1，正3)，L，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正2，正4)，L，(正2，正9)，(正2，次)，(正，正)，L，(正，正)，(正，次)，L，(正，正)，(正，次)，(正，次)}343938989A={(正1，次)，(正2，次)，L，(正9，次)}(2)记2个白球分别为w，w，3个黑球分别为b，b，b，4个红球分别12123为r，r，r，r。则W={w，w，b，b，b，r，r，r，r}1234121231234(ⅰ)A={w，w}(ⅱ)B={r，r，r，r}1212341.2在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。(1)叙述ABC的意义。(2)在什么条件下ABC=C成立？(3)什么时候关系式CÌB是正确的？(4)什么时候A=B成立？解(1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。(2)ABC=C等价于CÌAB，表示全系运动员都有是三年级的男生。(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。1.3一个工人生产了n个零件，以事件A表示他生产的第i个零件是合格品i（1£i£n）。用A表示下列事件：i(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。nnnnn解(1)IAi;(2)IAi=UAi;(3)U[Ai(IAj)];i=1i=1i=1i=1j=1j¹i1PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn n(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为UAiAj；i,j=1i¹j1.4证明下列各式：(1)AÈB=BÈA;(2)AÇB=BÇA(3)(AÈB)ÈC=AÈ(BÈC);(4)(AÇB)ÇC=AÇ(BÇC)(5)(AÈB)ÇC=(AÇC)È(BÇC)nn(6)A=AIiUii=1i=1证明（1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。1.5在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。2解样本点总数为A=8´7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、813中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以211事件A“所得分数为既约分数”包含A+2A´A=2´3´6个样本点。于是3352´3´69P(A)==。8´7141.6有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。æ5ö解样本点总数为ç÷=10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必ç÷è3ø须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一3个三角形”包含3个样本点，于是P(A)=。101.7一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!483!2!2!2!个样本点。所以P(A)==13!13!1.8在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9´10-1=89个不同位置，当2PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 它处于和红“车”同行或同列的9+8=17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为17P(A)=891.9一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所7以样本点总数为9。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于7“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含A个样本点，于是97A9P(A)=。791.10某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？449æ9ö解用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)==ç÷，所以10000è10ø449æ9öP(A)=1-P(A)=1-=1-ç÷10000è10ø1.11任取一个正数，求下列事件的概率：(1)该数的平方的末位数字是1；(2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是1；1解(1)答案为。5(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答42案为=105(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样2本空间包含10个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a=7，因此A所包含的样本点只有71这一点，于是。1.12一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。解(1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故3PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 对头而言有5×3×1种接法，同样对尾也有5×3×1种接法，所以样本点总数为2(5×3×1)。用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5×3×1种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4×2。所以A包含的样本点数为(5×3×1)(4×2)，于是(5×3×1)(4×2)8P(A)==2(5×3×1)15(2)2n根草的情形和(1)类似得1.13把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k个球æN+n-k-2öç÷ç÷的概率为èn-kø，0£k£næN+n-1öç÷ç÷ènøæNöæn-1öçç÷÷çç÷÷(2)恰好有m个盒的概率为èmøèN-m-1ø，N-n£m£N-1æN+n-1öç÷ç÷ènøæm+j-1öæN-m+n-j-1öç÷ç÷ç÷ç÷(3)指定的m个盒中正好有j个球的概率为èm-1øèn-jø，æN+n-1öç÷ç÷ènø1£m£N,0£j£N.解略。1.14某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。3解所求概率为P(A)=5n-11.15在DABC中任取一点P，证明DABP与DABC的面积之比大于的概n1率为。2n1解截取CD¢=CD，当且仅当点P落入DCA¢B¢之内时DABP与DABC的面nn-1积之比大于，因此所求概率为n122CD¢DA¢B¢C有面积CD¢n21P(A)====。222DABC的面积CDCDn4PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 1.16两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当0£x-y£2,0£y-x£1。因此所求概率为2121224-´23-´2222P(A)=»0.1212241.17在线段AB上任取三点x,x,x，求：123(1)x位于x与x之间的概率。213(2)Ax,Ax,Ax能构成一个三角形的概率。1231111-3´´解(1)P(A)=(2)321P(B)==3121.18在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为a,b,c（均小于d），求三角形与平行线相交的概率。解分别用A,A,A表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线123相合，两条边与平行线相交，显然P(A)=P(A)=0.所求概率为P(A)。分别用123A,A,A,A,A,A表示边a,b,c，二边ab,ac,bc与平行线相交，则abcabacbcP(A3)=P(AabÈAacÈAbc).显然P(Aa)P(Aab)+P(Aac)，P(Ab)=P(Aab)+P(Abc)，P(A)=P(A)+P(A)。所以cacbc121P(A)=[P(A)+P(A)+P(A)]=(a+b+c)=(a+b+c)3abc22pdpd（用例1.12的结果）1.19己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。1.20甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。5PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn b个678解w表示白，w表示黑白，w表示黑黑白，…w表示黑L黑白，123b+1a则样本空间W={w，w，…，w}，并且P({w})=，12b+11a+bbabb-1aP({w})=×，P({w})=××，…，23a+ba+b-1a+ba+b-1a+b-2bb-1b-(i-2)aP({w})=××L××ia+ba+b-1a+b-(i-2)a+b-(i-1)b!aP({w})=b+1(a+b)(a+b-1)La甲取胜的概率为P({w})+P({w})+P({w})+…135乙取胜的概率为P({w})+P({w})+P({w})+…2461.21设事件A,B及AÈB的概率分别为p、q及r，求P(AB)，P(AB)，P(AB)，P(AB)解由P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(AB)得P(AB)=P(A)+P(B)-P(AÈB)=p+q-rP(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=r-q，P(AB)=r-pP(AB)=P(AÈB)=1-P(AÈB)=1-r1.22设A、A为两个随机事件，证明：12(1)P(AA)=1-P(A)-P(A)+P(AA);121212(2)1-P(A)-P(A)£P(AA)£P(AÈA)£P(A)+P(A).12121212证明(1)P(AA)=P(AÈA)=1-P(AÈA)=1-P(A)-P(A)+P(AA)1212121212(2)由(1)和P(AA)³0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别12得第二、三个不等式。1.23对于任意的随机事件A、B、C，证明：P(AB)+P(AC)-P(BC)£P(A)证明P(A)³P[A(BÈC)]=P(AB)+P(AC)-P(ABC)6PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn ³P(AB)+P(AC)-P(BC)1.24在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。(1)P(ABC)=P(A-(ABÈAC))=P(A)-P(ABÈAC)=30%(2)P(ABC)=P(AB-ABC)=7%(3)P(BAC)=P(B)-[P(AB)+P(BC)-P(ABC)]=23%P(CAB)=P(C)-[P(AC)+P(BC)-P(ABC)]=20%P(ABCÈ+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73%(4)P(ABC+ACB+BCA)=P(ABC)+P(ACB)+P(BCA)=14%(5)P(A+B+C)=90%(6)P(ABC)=1-P(A+B+C)=1-90%=10%1.26某班有n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？N解用Ai表示“第i张考签没有被抽到”，i=1,2,L,N。要求P(UAi)。i=1nnnP(A)=æN-1ö÷，P(AA)=æN-2ö÷，……，P(ALA)=æN-Nö÷=0içijç1NçèNøèNøèNøNnnæNöæN-1ö1-1æNöæN-1öåP(Ai)=çç÷÷×ç÷=(-1)çç÷÷ç÷i=1è1øèNøè1øèNønnæNöæN-2ö2-1æNöæN-2ö-åP(AiAj)=-çç÷÷ç÷=(-1)çç÷÷ç÷，……1£i£Nè2øèNøè2øèNøNNNini-1æ-ö所以P(UAi)=å(-1)ç÷i=1i=1èNø7PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 1.27从n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？解n阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为aaLa，当1i12i2nin且仅当1,2,L,n的排列(iiLi)中存在k使i=k时这一项包含主对角线元素。12nk用A表示事件“排列中i=k”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。kk则(n-1)!(n-2)!P(A)=1£i£nP(AA)=(1£i0)，而每一个蛋能孵化成小k!r(lp)-lp鸡的概率为p，证明：一个母鸡恰有r个下一代（即小鸡）的概率为e。r!解用A表示“母鸡生k个蛋”，B表示“母鸡恰有r个下一代”，则k¥¥k-lækölerk-rP(B)=åP(Ak)P(B|Ak)=å×çç÷÷×p(1-p)k=rk=rk!èrør¥k-rr(lp)-l[l(1-p)](lp)-ll(1-p)=eå=e×er!k=r(k-r)!r!r(lp)-lp=er!1.33某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。解用A表示“任选一名射手为k级”，k=1,2,3,4，B表示“任选一名射手k能进入决赛”，则4P(B)=P(A)P(B|A)4871åkk=´0.9+´0.7+´0.5+´0.2=0.645k=1202020201.34在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任9PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？解用A表示“任取一只产品是甲台机器生产”1A表示“任取一只产品是乙台机器生产”2A表示“任取一只产品是丙台机器生产”3B表示“任取一只产品恰是不合格品”。则由贝叶斯公式：P(A1)P(B|A1)25P(A2)P(B|A2)28P(A1|B)=3=P(A2|B)=3=6969åP(Ak)P(B|Ak)åP(Ak)P(B|Ak)k=1k=1P(A3)P(B|A3)16P(A|B)==3369åP(Ak)P(B|Ak)k=11.35某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？9321解则P(A)=，P(A)=，P(A)=，P(A)=1234151515151231P(B|A)=，P(B|A)=，P(B|A)=，P(B|A)=12347777由贝时叶斯公式得P(A1)P(B|A1)9P(A|B)==1422åP(Ak)P(B|Ak)k=11.36有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、110.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是、、431，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？12解用A表示“朋友乘火车来”，A表示“朋友乘轮船来”，A表示“朋友乘123汽车来”，A表示“朋友乘飞机来”，B表示“朋友迟到了”。4则P(A1)P(B|A1)1P(A|B)==142åP(Ak)P(B|Ak)k=11.37证明：若三个事件A、B、C独立，则AÈB、AB及A-B都与C独立。证明（1）P((AÈB)C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(AÈB)P(C)（2）PABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C)10PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn （3）P((A-B)C)=P((A-AB)C)=P(AC-ABC)=P(A-B)P(C)1.38试举例说明由P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)=P(A)P(B)一定成立。118解设W={w,w,w,w,w}，P({w})=，P({w})=，1234515646415P({w})=P({w})=P({w})=，A={w,w}，A={w,w}，A={w,w}234121314641151则P(A)=P(B)=P(C)=+=，646441P(ABC)=P({w})==P(A)P(B)P(C)1641但是P(AB)=P({w})=¹P(A)P(B)1641.39设A,A,L,A为n个相互独立的事件，且P(A)=p(1£k£n)，求下12nkk列事件的概率：(1)n个事件全不发生；(2)n个事件中至少发生一件；(3)n个事件中恰好发生一件。nnn解(1)P(IAk)=ÕP(Ak)=Õ(1-pk)k=1k=1k=1nnn(2)P(UAk)=1-P(IAk)=1-Õ(1-pk)k=1k=1k=1nnnnnn(3)P[U(AkIAj)]=å(AkIAj)=å[pkC(1-pj)].k=1j=1k=1j=1k=1j=1j¹kj¹kj¹k1.40已知事件A,B相互独立且互不相容，求min(P(A),P(B))（注：min(x,y)表示x,y中小的一个数）。解一方面P(A),P(B)³0，另一方面P(A)P(B)=P(AB)=0，即P(A),P(B)中至少有一个等于0，所以min(P(A),P(B))=0.1.41一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率(1)两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型；(2)三个人为O型，两个人为A型；(3)没有一人为AB。11PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn æ5ö解(1)从5个人任选2人为O型，共有ç÷种可能，在其余3人中任选一人ç÷è2ø为A型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为B型，共有2种可能，另一æ5ö2人为AB型，顺此所求概率为：çç÷÷´3´2´0.46´0.40´0.11´0.13»0.0168è2øæ5ö22(2)çç÷÷´0.46´0.40»0.1557è3ø5(3)(1-0.03)»0.85871.42设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。解用A表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”，k=1,2,L，B表k示“击中飞机”。则P(A)=0.6，k=1,2,L。k2(1)P(AÈA)=1-P(AA)=1-0.4=0.841212nnlg0.01(2)P(A1ÈLAn)=1-P(IAk)=1-0.4>0.99,n>»5.026k=1lg0.4取n=6。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。1.43做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p，求在成功n次之前已失败了m次的概率。解用A表示“在成功n次之前已失败了m次”，B表示“在前n+m-1次试验中失败了m次”，C表示“第n+m次试验成功”æn+m-1ön-1m则P(A)=P(BC)=P(B)P(C)=çç÷÷p(1-p)×pèmøæn+m-1önm=çç÷÷p(1-p)èmø1.45某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴（1£r£n）的概率。解用A表示“甲盒中尚余i根火柴”，用B表示“乙盒中尚余j根火柴”，ijC,D分别表示“第2n-r次在甲盒取”，“第2n-r次在乙盒取”，ABC表示取0r12PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 了2n-r次火柴，且第2n-r次是从甲盒中取的，即在前2n-r-1在甲盒中取了n-1n-ræ2n-r-1öæ1öæ1ö1n-1，其余在乙盒中取。所以P(A0BrC)=çç÷÷ç÷×ç÷×èn-1øè2øè2ø2由对称性知P(ABC)=P(ABD)，所求概率为：r00r2n-r-1æ2n-r-1öæ1öP(A0BrCÈArB0D)=2P(A0BrC)=çç÷÷ç÷èn-1øè2ø第二章离散型随机变量2.1下列给出的是不是某个随机变量的分布列？æ135öæ123ö(1)ç÷(2)ç÷ç÷ç÷è0.50.30.2øè0.70.10.1øæ012LnLöæ12LnLö(3)ç11111211n÷(4)ç11212÷çæçö÷æçö÷Læçö÷L÷çæçö÷Læçö÷L÷ç÷ç÷è22è3ø2è3ø2è3øøè2è2øè2øø解（1）是（2）0.7+0.1+0.1¹1，所以它不是随机变量的分布列。2n（3）1+1æç1ö÷+1æç1ö÷+L+1æç1ö÷+L=3,所以它不是随机变量的分布列。22è3ø2è3ø2è3ø4n¥næ1ön为自然数，且æ1ö，所以它是随机变量的分布列。（4）ç÷>0,åç÷=1è2øn=1è2øk2.2设随机变量x的分布列为：P(x=k)=,k=1,2,3,4,5，求15(1)P(x=1或x=2);15(2P(0)k=0,1,2,L。由于le=e,得l=2,l=012k!242-22-2（不合要求）。所以P(x=4)=e=e。4!32.11设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。解设x为该种商品当月销售数，x为该种商品每月进货数，则P(x£x)³0.999。查普哇松分布的数值表，得x³16。2.12如果在时间t（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。解设x为时间t内通过交叉路口的汽车数，则k(lt)-ltP(x=k)=e(l>0),k=0,1,2,Lk!-lt=1时，P(x=0)=e=0.2，所以l=ln5；t=2时，lt=2ln5，因而P(x>1)=1-P(x=0)-P(x=1)=(24-ln25)/25»0.83。2.13一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。1解在指定的一页上出现某一个错误的概率p=，因而，至少出现三个500错误的概率为500æ500ö1k499500-k2æ500ö1k499500-kæöæöæöæöåçç÷÷ç÷ç÷=1-åçç÷÷ç÷ç÷k=3èkøè500øè500øk=0èkøè500øè500ø1利用普哇松定理求近似值，取l=np=500´=1，于是上式右端等于50021-151-åe=1-»0.080301k=0k!2e2．14某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解设每箱至少装100+x个产品，其中有k个次品，则要求x,使15PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn xæ100+xök100+x-k0.9£åçç÷÷0.030.97，k=0èkø利用普哇松分布定理求近似值，取l=(100+x)´0.03»3，于是上式相当于xk3-30.9£åe，查普哇松分布数值表，得x=5。k=0k!2.15设二维随机变量(x,h)的联合分布列为：nmn-mlp(1-p)-lm=0,1,L,nn=0,1,2,LP(x=n,h=m)=e(l>0,00，16PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 又P(x=0)=P(h=0)=1-p>0，定义ì1若x+h为偶数，问p取什么值z=íî0若x+h为奇数时x与z独立？22解P(z=1)=P(x=0)P(h=0)+P(x=1)P(h=1)=(1-p)+pP(z=0)=P(x=0)P(h=1)+P(x=0)P(h=1)=2p(1-p)而P(x=1,z=1)21=P(x=1,h=1)=p，由P(x=1,z=1)=P(x=1)P(z=1)得p=212.22设随机变量x与h独立，且P(x=±1)=P(h=±1)=，定义z=xh，2证明z,x,h两两独立，但不相互独立。1证明P(z=1)=P(x=1)P(h=1)+P(x=-1)P(h=-1)=21P(z=-1)=P(x=1)P(h=-1)+P(x=-1)P(h=1)=21因为P(x=1,z=1)=P(x=1,h=1)==P(x=1)Pz=1)41P(x=1,z=-1)=P(x=1,h=-1)=P(x=1)Pz=-1)41P(x=-1,z=1)=P(x=-1,h=-1)=P(x=-1)P(z=1)41P(x=-1,z=-1)=P(x=-1,h=1)=P(x=-1)P(z=-1)4所以z,x相互独立。同理h与z相互独立。但是P(x=1,h=1,z=1)¹P(x=1)P(h=1)P(z=1)，因而z,x,h不相互独立。2.23设随机变量x与h独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明x+h不服1从均匀分（即不可能有P(x+h=k)=,k=2,3,L,12。）11证明设P(x=k)=p,P(h=k)=q,k=1,2,L,6。kk1若P(x+h=k)=,k=2,3,L,12，则111P(x+h=2)=pq=(1)11111P(x+h=7)=pq+pq+L+pq=(2)1625611117PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 1P(x+h=12)=pq=(3)6611将（2）式减去（1）式，得：(p-p)q<0，于是pa)解：（1）P(x=a)=F(a+0)-F(a)；（2）P(x£a)=F(a+0)；（3）P(x³a)=1-F(a)；（4）P(x>a)=1-F(a+0)。24PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 13.2函数F(x)=是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果21+x（1）-¥0,有（1）F(-a)=1-F(a)=-òp(x)dx；20（2）P（xa)=2[1-F(a)]。-a¥证：（1）F(-a)=òp(x)dx=1-òp(x)dx-¥-a-¥a=1+òap(-x)dx=1-ò-¥p(x)dx0=1-F(a)=1-ò-¥p(x)dxa1a-òp(x)dx=-òp(x)dx；02025PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn aa（2）P(xa)=1-P(x0,b>0是两个常数，且a+b=1。证明12F(x)=aF(x)+bF(x)12也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因为F(x)与F(x)都是分布函数，当x0ïî1x>1这时ì0x£0ï1+xF(x)=í01显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。3.6设随机变数x的分布函数为26PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn -xì1-(1+x)ex³0F(x)=íî0x<0求相应的密度函数，并求P(x£1)。d-x-x解：[1-(1+x)e]=xe，所以相应的密度函数为dx-xìxex³0p(x)=íî0x<02P(x£1)=F(1)=1-。e3.7设随机变数x的分布函数为ì0x<0ï2F(x)=íAx0£x<1ïî1x³1求常数A及密度函数。解：因为F(1-0)=F(1)，所以A=1，密度函数为ì2x0£x<1p(x)=íî0其它3.8随机变数x的分布函数为F(x)=A+Barctgx，求常数A与B及相应的密度函数。p解：因为limF(x)=A+B(-)=0x®-¥2plimF(x)=A+B=1x®+¥2所以11A=,B=2p因而111F(x)=+arctgx,p(x)=F¢(x)=。22pp(1+x)3.9已知随机变数x的分布函数为ìx01.3),P(0.221P(x<0.5)=F(0.5)=8P(x>1.3)=1-P(x£1.3)=1-F(1.3)=0.245P(0.2R3.13某城市每天用电量不超过一百万度，以x表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为2ì12x(1-x)00.8)=ò12x(1-x)dx=0.02720.812P(x>0.9)=ò12x(1-x)dx=0.00370.9因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。3.14设随机变数x服从（0，5）上的均匀分布，求方程24x+4xx+x+2=0有实根的概率。解：当且仅当2(4x)-16(x+2)³0（1）2成立时，方程4x+4xx+x+2=0有实根。不等式（1）的解为：x³2或x£-1。因此，该方程有实根的概率513p=P(x³2)+P(x£-1)=P(x³2)=òdx=。25523.17某种电池的寿命x服从正态N(a,s)分布，其中a=300（小时），s=35（小时）(1)求电池寿命在250小时以上的概率；（2）求x，使寿命在a-x与a+x之间的概率不小于0.9。x-300解：（1）P(x>250)=P(>-1.43)35x-300=P(<1.43)=F(1.43)»0.9236；35xx-300x（2）P(a-x0时，有22xx1-11-11e2.>1-F(x)>e2(-)32px2pxx22yy1x-1¥-证：1-F(x)=1-òe2dy=òe2dy2p-¥2px22xy1-11¥1-=e2.-e2dyxòxy22p2p22xy1111¥3-=e2(-)+e2dyxx3òxy42p2p所以22xx1-11-11e2.>1-F(x)>e2(-)。32px2pxx3.21证明：二元函数ì1x+y>0F(x,y)=íî0x+y£0对每个变元单调非降，左连续，且F(-¥,y)=F(x,-¥)=0，F(-¥,+¥)=0，但是F(x,y)并不是一个分布函数。证：（1）设Dx>0，若x+y>0，由于x+Dx+y>0，所以F(x,y)=F(x+Dx,y)=1，若x+y£0，则F(x,y)=0。当x+Dx+y£0时，F(x+Dx,y)=0；当x+Dx+y>0时，F(x+Dx,y)=1。所以F(x,y)£F(x+Dx,y)。可见，F(x,y)对x非降。同理，F(x,y)对y非降。（2）x+y£0时30PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn limF(x-Dx,y)=limF(x,y-Dy)=0=F(x,y)，Dx¯0Dy¯0x+y>0时，limF(x-Dx,y)=limF(x,y-Dy)=1=F(x,y)，Dx¯0Dy¯0所以F(x,y)对x、y左连续。（3）F(-¥,y)=F(x,-¥)=0，F(+¥,+¥)=0。（4）P(0£x<2,0£h<2)=F(2,2)-F(2,0)-F(0,2)+F(0,0)=-1，所以F(x,y)不是一个分布函数。3.23设二维随机变数(x,h)的密度ì1ppïsin(x+y)0£x£,0£y£p(x,y)=í222ïî0其它求（x,h）的分布函数。pp解：当0£x£，0£y£时，22F(x,y)=P(xF(x,y)=í222ï1ppï(1+siny-cosy)x>,0£y£222ïppï1x>,y>î223.24设二维随机变数(x,h)的联合密度为31PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn -3x-4yìkex>0,y>0p(x,y)=íî0其它（1）求常数k；（2）求相应的分布函数；（3）求P(00,y>0时，xyxy-3t-48-3t-48F(x,y)=òò0y12edtds=12(ò0edt)(ò0eds)-3x-4y=(1-e)(1-e)，所以-3x-4yì(1-e)(1-e)x>0,y>0F(x,y)=íî0其它（3）P(0120,h>120)=1-P[(x£120)È(h£120)]=1-P(x£120)-P(h£120)+P(x£120,h£120)=1-F(120+0,¥)-F(¥,120+0)+F(120+0,120+0)-1.2-1.2-1.2-2.4=1-(1-e)-(1-e)+(1-2e+e)-2.4=e»0.093.31设p(x),p(x)都是一维分布的密度函数，为使12p(x,y)=p(x)p(y)+h(x,y)12成为一个二维分布的密度函数，问其中的h(x,y)必需且只需满足什么条件？解：若p(x,y)为二维分布的密度函数，则¥¥p(x,y)³0,òòp(x,y)dxdy=1-¥-¥¥¥所以条件(1)h(x,y)£p(x)p(y);(2)h(x,y)dxdy=0得到满足。12òò-¥-¥反之，若条件（1），（2）满足，则¥¥p(x,y)³0,òòp(x,y)dxdy=1-¥-¥p(x,y)为二维分布的密度函数。因此，为使p(x,y)成为二维分布的密度函数，h(x,y)必需且只需满足条件（1）和（2）。3.32设二维随机变数(x,h)具有下列密度函数，求边际分布。-y+1ì2eïx>1,y>1（1）p(x,y)=íx3ïî0其它122ì1-(x+y)ïe2x>0,y£0或x£0,y>0（2）p(x,y)=ípïî0其它ì1xk1-1(y-x)k2-1e-y01)p(x)=0,(x£1)xò133xxx-y+1¥2e-y+1p(x)=dx=e,(y>1)p(x)=0,(y£1)xò13xx（2）x>0时，2122x01-(x+y)1-p(x)=e2dy=e2xò-¥p2px£0时，2122x¥1-(x+y)1-p(x)=e2dy=e2xò0p2p22xy1-1-所以，p(x)=e2。同理，p(y)=e2。xx2p2pk1-1x¥k-1-y1k-1-x（3）p(x)=(y-x)2edy=x2e,(x>0)xòG(k)G(k)xG(k)121p(x)=0,(x£0)x-yeyk-1k-11k+k-1p(y)=x1(y-x)2dx=y12,(y>0)hG(k)G(k)ò0G(k+k)1212p(y)=0,(y£0)h3.34证明：若随机变数x只取一个值a，则x与任意的随机变数h独立。证：x的分布函数为ì0x£aFx(x)=íî1x>a设h的分布函数、(x,h)的联合分布函数分别为F(y),F(x,y)。h当x£a时，F(x,y)=P(xa时，xhF(x,y)=P(xc故P(x=c)=1。3.36设二维随机变量(x,h)的密度函数为ì122ïx+y£1p(x,y)=ípïî0其它问x与h是否独立？是否不相关？221-xdy21-x解：p(x)==,(|x|£1);p(x)=0,(|x|>1)。xò-1-x2xpp221-y同理，p(y)=,(|y|£1);p(y)=0,(|y|>1)。hhp由于p(x,y)¹p(x)p(y)，所以x与h不相互独立。xh又因p(x,y),p(x),p(y)关于x或关于y都是偶函数，因而Ex=Eh=E(xh)=0，xh故cov(x,h)=0，x与h不相关。3.41设某类电子管的寿命（以小时计）具有如下分布密度：ì100ïx>100p(x)=íx2ïî0x£100一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？三个这类管子全部要替换的概率又是多少？（假设这三个管子的寿命分布是相互独立的）解：设这类电子管的寿命为x，则¥1002P(x>150)=òdx=150x23所以三个这类管子没有一个要替换的概率为(2)3=8；三个这类管子全部要替换的概327率是(1-2)3=1。3273.44对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a,b]内，求球体积的密度函数。36PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 1313解：设球的直径为x，则其体积为h=px。y=px的反函数66x=36yp,dx=2336py2dy。由x的密度函数p(x)=1(b-a)，a£x£b，得h的x密度函数为ì2p3p3ïa£y£b,ph(y)=í(b-a)×336py266ïî0其它。3.45设随机变数x服从N(0,1)分布，求x的分布密度。解：在x³0时，2tx1-P(x0,ph(y)=í2psyî2sþïî0y£0.3.47随机变数x在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0（例如正态分布等），其分布函数-1为F(x)，又h服从[0,1]上的均匀分布。证明z=F(h)的分布函数与x的分布函数相同。xx解：因为x在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0，所以F(x)是严格上升函数。由于[0,1]x上的均匀分布，所以z的分布函数-1F(x)=P(x0。解（1）p(x)=1/(b-a),a0)2a求x+h的密度函数。1-x/a解：p(x)=p(x)=×e，xh2a¥p(x)=p(x-y)×p(y)dy，x+hòxh-¥当x³0时，¥1ì|x-y|+|y|üpx+h(x)=ò-¥2expí-ýdy4aîaþx-y-yx-y+yy-x+y10-x-¥-=[eady+eady+eady]4a2ò-¥ò0òx1x-x=(1+)ea4aa当x<0时，38PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn x-y-yy-x-yy-x+y1x-0-¥-1xxp(x)=[eady+eady+eady]=(1-)eax+h2ò-¥òxò04a4aa所以1-|x|p(x)=(a+|x|)eax+h24a3.50设随机变量x与h独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为1p(x)=2p(1+x)1证明：V=(x+h)也服从同一分布。2证：¥111p(y)=dxx+hò-¥222p1+x1+(y-x)1¥2x+y2(x-y)-y=22ò-¥[2-2]dxpy(y+4)x+1(x-y)+1122¥=[ln(x+1)+yarctgx-ln((x-y)+1)+yarctg(x-y)]|22-¥py(y+4)2=2p(y+4)所以21p(z)=2=122(x+h)p[(2z)+4]p(1+z)21即V=(x+h)也服从相同的柯西分布。23.51设随机变量x与h独立，分别具有密度函数-lxìlex>0px(x)=íî0x£0-mxìmex>0ph(x)=íî0x£0（其中l>0,m>0），求x+h的分布密度。解：x>0时，39PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn x-m(x-y)-lyp(x)=meledyx+hò0x-mx-(l-m)y=mleòedy0ìml-mx-lxï[ee],l¹m=í(l-m)2-lxïîlxe,l=mx£0时，p(x)=0x+h3.53设随机变量x与h独立，都服从(0,1)上的均匀分布，求|x-h|的分布。解：-h服从(-1,0)上的均匀分布，据3.48(2)知，ìx+1-10得p(x)=me,x<0，所以h-h¥p(x)=p(y)p(x-y)dyx-hò-¥x-h在x£0时，¥mx-lym(x-y)lmep(x)=lemedy=x-hò0(l+m)在x>0时，¥-lx-lmm(x-y)lmep(x)=lemedy=x-hòx(l+m)所以40PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn mxìlmex£0ï(l+m)px-h(x)=í-lxlmeïx>0î(l+m)3.56设随机变量x与h独立，且分别具有密度函数为ì1ï|x|<1p(x)=íp1-x2xïî0|x|³12ì-xïxe2x>0ph(y)=íïî0x£0证明xh服从N(0,1)分布。x2-1-2-32x2证：由p(x)=xe,x>0得p(x)=xe,x>0。故h1h¥p(y)=p(y)=|x|p(yx)p(x)dxxh1òxhx-¥h2令1=u+y，则222x12y1-y22¥--u1-p(y)=eu2edu=e2xhò2p02p所以xh服从N(0,1)分布。x3.58设随机变量x与h独立，都服从(0,a)上的均匀分布，求的密度函数。h¥1¥解：p(x)=p(xz)p(z)|z|dz=zp(xz)dzxò-¥xhò0xha当01时1a1xp(x)=zdz=x2ò02ha2xx所以的密度函数为h41PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn ì0x£0ïï1px(x)=í201î2xx3.59设随机变量x与h独立，都服从参数为l的指数分布，求的密度函数。h解：在x³0时，¥p(x)=p(xy)p(y)|y|dyxòxh-¥h¥12-lxy-ly=leeydy=ò0(x+1)2在x<0时，p(x)=0。xh3.60设二维随机变量(x,h)的联合分布密度为ì1+xyï|x|<1,|y|<1p(x,y)=í4ïî0其它22证明：x与h不独立，但x与h独立。证：由于p(x,y)¹p(x)p(y)，所以x与h不独立。由于xhì1x>12ïx11+tyP(x12ïy11+txP(h1ïx01ï22ïP(x1,01,b>0,求常数A,Ex及Dx。¥ba-x/ba+1a-y解：1=òA×x×edx=A×òbyedy00a+1=AbT(a+1)，故1A=。a+1b×T(a+1)¥a+1-x/ba+2Ex=òA×x×edx=A×b×T(a+2)=(a+1)b,0¥a+2-x/ba+3Ex=òA×x×edx=A×b×T(a+3)02=(a+1)(a+2)b222Dx=Ex-(Ex)=(a+1)b113.66设随机变量x服从(-)上的均匀分布，求h=sinpx的数学期望与方差。2,21解：Eh=2sinpxdx=0,ò-121Dh=Eh2=2sin2pxdx=1/2。ò-123.67地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。解：设旅客候车时间为x（秒），则x服从[0,300]上的均匀分布，则3001Ex=ò×x×dx=150（秒），03003001222Ex=ò×x×dx=30000(秒），030022Dx=30000-150=7500(秒）。44PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 3.71设x,x,Kx为正的且独立同分布的随机变量（分布为连续型或离散型），证明：对12n任意的k(1£k£n)，有æx+L+xök1kEç÷=。çx+L+x÷nè1nønnnéù证：xj/åxi同分布(j=1,L,n)，又xj/åxi£1，所以Eêxj/åxiú都存在且相等i=1i=1ëi=1ûnnnéùéù(j=1,L,n)。由于1=Eêåxi/åxiú=n×Eêx1/åxiú，所以ëi=1i=1ûëi=1ûæx+L+xön1kéùkEçç÷÷=k×Eêx1/åxiú=。èx1+L+xnøëi=1ûn3.72设x是非负连续型随机变量，证明：对x>0，有ExP(xe)£。rerx证：P(x>e)=p(x)dx£×p(x)dxòx>exòx>eerx1¥rrr£x×p(x)=Ex/e。erò-¥x3.75已知随机变量x与h的相关系数为r，求x=ax+b与h=ch+d的相关系数，其11中a,b,c,d均为常数，a,c皆不为零。E[(x-Ex)×(h-Eh)]1111解：r=x1h12E(x-Ex)×E(h-Eh)12111ac×cov(x,h)=a×Dx×c×Dh45PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn acìrac>0=×r=íacî-rac<013.81设随机变量xx,L,x中任意两个的相关系数都是r，试证：r³-。1,2nn-1n2证：0£E[å=(x-Ex)]i1iin=åi=1Dxi+2råDx1×Dxj1£i0阶矩，则pppEx+hp£2(Ex+Eh)p1/pp1/pp1/p证：（1）p³1时，[Ex+h]£[Ex]+[Eh]即所谓的明可夫斯基不等式，证明略。p在p³1时，x是x的下凸函数，故pppx+y|x|+|y|£22即pp-1pp|x+y|£2(|x|+|y|故pp-1ppEx+h£2(Ex+Ehppppppp（2）在p>0时，|x+y|£(|x|+|y|)£|2x|+|2y|=2(|x|+|y|)，故pppEx+hp£2(Ex+Eh)46PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 3.88设二维随机变量(x,h)的联合分布密度为ì(n-1)(n-2)ïx>0,y>0p(x,y)=ní(1+x+y)ïî0其它其中n>2。求x=1条件下h的条件分布密度。¥(n-1)(n-2)n-2解：p(x)=dy=,x>0。故xò0(1+x+y)n(1+x)n-1n-1nì2(n-1)(2+y)y>0ph|x(y|1)=íî0其它223.89设随机变量x服从N(m,t)分布，随机变量h在x=x时的条件分布为N(x,s)，求h的分布及x关于h的条件分布。221ì(x-m)(y-x)ü解：p(x,y)=px(x)×ph|x(y|x)=expí-2-2ý2pstî2t2sþ22222¥1ì(y-m)ü¥ìs+téms+ytùüph(y)=ò¥-p(x,y)dx=×expí-22ý×ò-¥expí-22×êx-22úýdx2ptsî2(s+t)þî2tsës+tûþ21ì(y-m)ü=×expí-22ý，2p(t2+s2)î2(s+t)þ22故h~N(m,s+t).p(x|y)x|h2ì(s2+t2)és2m+t2yùü22ïï=p(x,y)ph(y)=t+s(2pts)×expí-22×êx-22úý，ïî2tsës+tûïþ2222sm+tys+t故在h=y时，x的条件分布为N(,)。22s+tst3.90设x,xL,x,L为具有数学期望的独立随机变量序列，随机变量h只取正整数值，12n且与{x,n³1}独立，证明：nh¥Eåxk=åExk×P(h£k)k=1k=147PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn hhéù证：Eåxk=EêE(åxkh)úk=1ëk=1û¥sæö=åEçåxk÷×P(h=s)s=1èk=1ø¥sæö=ååçExk÷×P(h=s)s=1èk=1ø¥¥æö=åExk×çåP(h=s)÷k=1ès=kø¥=åExk×P(h³k)k=13.91求下列连续型分布的特征函数：（1）(-a,a)上的均匀分布(a>0)，（2）柯西分布，其密度函数为a1p(x)=×,(a>0)22p(x-b)+a（3）T-分布，其密度函数为aìba-1-bxï×x×ex>0p(x)=íT(a)(a>0,b>0)ïî0x£0aitx1sinat解：（1）j(t)=ò-e××dx=a2aatituaitxa1aitb¥e2aitb¥costu（2）j(t)=e××dx=×e×du=×eduò-ap(x-b)2+a2pò-¥u2+a2pò0u2+a2由拉普拉斯积分¥cosbxp-abibt-atòdx=e,(a,b>0),得j(t)=e0a2+x22a（3）¥¥ititxaa-1a-1a(it-b)xa-1aa-aj(t)=òe×b/t(a)×x×edx=b/t(a)×òe×xdx=b/t(a)×t(a)/(b-it)=(1-)00bit-a=(1-)b223.93若j(t)是特征函数，证明下列函数也是特征函数：（1）j(-t);(2)j(t);(3)[j(t)]（n48PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 为正整数）证：（1）若j(t)是随机变量x的特征函数，则j(-t)是随机变量h=-x的特征函数；2（2）若x与h独立同分布，其特征函数为j(t)。则j(t)=j(t)×j(-t)是随机变量z=x-h的特征函数；nn（3）若x1,L,xn独立分布，其特征函数为j(t)。则[j(t)]是随机变量h=åi=1xi的特征函数。3.94证明下列函数是特征函数，并找出相应的分布函数：221æsintö1（1）cost；（2）cost；（3）；（4）ç÷；（5）。-it1+itètø2e-11it1-it证：（1）cost=×e+×e，所以cost是两点分布22x-11P1212的特征函数。2112it1-2it2（2）cost=+×e+×e，所以cost是三点分布244x-202P141214的特征函数。-x1（3）密度函数为p(x)=e,x³0;p(x)=0,x<0的指数分布的特征函数为，所以1-it1x是密度函数为p(x)=e,x£0;p(x)=0,x>0的分布的特征函数。1+itsint（4）[-1,1]上均匀分布的特征函数为，所以互相独立且同为[-1,1]上均匀分布的两个tsint2sint2随机变量和的特征函数为()，即()是密度函数为ttì(2+x)-2£x<0ï4ï(2-x)p(x)=í0£x£24ï0其它ïî的分布的特征函数。49PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn ¥11ikt1（5）-it=åke，所以-it是几何分布2e-1k=122e-11P(x=k)=,k=1,2,3,Lk2的特征函数。3.95试举一个满足（1）j(-t)=j(t)，（2）|j(t)|£j(0)=1，但是j(t)不是特征函数的例子。解：令ì1t=0j(t)=íî0t¹0则j(t)满足（1），（2），但j(t)在t=0点不连续，故j(t)不是特征函数。3.96证明函数ì|t|ï1-|t|£aj(t)=ía(a>0)ïî0|t|>a是特征函数，并求出它的分布函数。解：由于¥aætöòj(t)dt=òç1-÷dt=a<¥-¥-aça÷èø故欲证j(t)是特征函数，仅须验证1¥-itx1a-itxæçtö÷1aætö11-cosaxp(x)=e×j(t)dt=e×1-dt=ç1-÷costxdt=×ò-¥ò-aç÷ò022p2pèaøpèaøpax是密度函数由于p(x)³0，22¥a¥2axæaxö2¥sinyp(x)dx=sinç÷dx=dy=1，ò-¥xò02è2øpò0y2所以j(t)为特征函数，其分布函数为x11-cosatF(x)=×dt。ò-¥2pat3.97设j(t)是一个特征函数。h>0，证明：sinthj(t)=p(t)×hth也是特征函数。50PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 证：设x与h相互独立，x的特征函数为j(t)，h服从[-h,h]上的均匀分布，h的特征函sinthsinth数为，则是x+h的特征函数。ththn13.98设x1,x2,L,xn为n个独立同柯西分布的随机变量，证明åxi与x1有相同的分布。ni=1na1ibt-at1证：柯西分布p(x)=×22的特征函数j(t)=e.故×åxi的特征函数为p(x-b)+ani=1nnéætöùibt-at1êjç÷ú=e.所以×åxi与同分布。ëènøûni=1n3.99设x1,x2,L,xn为独立同T-分布的随机变量，求åxi的分布。i=1aba-1-bx解：T-分布p(x)=xe，x>0；p(x)=0，x£0的特征函数T(a)-anæitöj(t)=çç1-÷÷。故åxi的特征函数为èbøi=1-nanæitö[j(t)]=çç1-÷÷，èbønnabna-1-bx所以åxi也是T-分布，其密度函数为p(x)=×x×e，x>0；p(x)=0，i=1T(na)x£0。3.100设二维随机变量(x,h)具有联合密度函数为ì122ï[1+xy(x+y)]x<1,y<1p(x,y)=í4ïî0其它证明：x+h的特征函数等于x，h的特征函数的乘积，但是x与h并不相互独立。¥证：p(z)=p(x,z-x)dxx+hò-¥ì(2+x)4-20)，证明x+h的特征函数等于x、h的特征函数的乘积，但x与h不独立。-t-at证：由x的特征函数j(t)=e推得，h=ax与x+h的特征函数分别为j(t)=e与xh-(a+1)tj(t)=e，故j(t)=j(t)×j(t)。x+hx+hxh倘若x与h相互独立，令x的分布函数为F(x)，则[]2F(x)=P(x1。21+t（3）不是，因为ln(e+t)£1不成立1（4）不是，因为j(t)=¹j(-t)。1-it1-x11（5）是的，拉普拉斯分布p(x)=×e的特征函数为，所以也是特征21+t222(1+t)函数。第四章大数定律与中心极限定理4.1设D(x)为退化分布：52PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn ì1x>0D(x)=íî0x£0讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？11(1){D(x+n)};(2){D(x+)};(3){D(x-0},其中n=1,2,Lnn解：（1）（2）不是；（3）是。4.2设分布函数F(x)如下定义：nì0x£-nïx+nFn(x)=í-nn问F(x)=limF(x)是分布函数吗？nn®¥解：不是。4.3设分布函数列{F(x)}弱收敛于分布函数F(x)，且F(x)为连续函数，则n{F(x)}在(-¥,¥)上一致收敛于F(x)。n证：对任意的e>0，取M充分大，使有1-F(x)N时有|F(x)-F(x)|N时有F(x)£F(x)F(x)-ennii53PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn （4）由（1），（3），（4）可得F(x)-F(x)F(x)-F(x)-e³F(x)-F(x)-e>-2e，niii+1即有F(x)-F(x)<2e成立，结论得证。n4.5设随机变量序列{x}同时依概率收敛于随机变量x与h，证明这时必有nP(x=h)=1。éæeöù证：对任意的e>0有(x-h³e)Ìêçxn-h³÷ú，故ëè2øû()æeöæeö0£Px-h³e£Pçx-xn³÷+Pçxn-h³÷®0,n®0è2øè2ø即对任意的e>0有P(x-h³e)=0成立，于是有¥¥()éæ1öùæ1öPx¹h=PêUçx-h³÷ú£åPçx-h³÷=0ëk=1èkøûk=1èkø从而P(x=h)=1成立，结论得证。4.6设随机变量序列{x}，{h}分别依概率收敛于随机变量x与h，证明：nnPP（1）x+h¾¾®x+h；（2）x´h¾¾®x´h。nnnnéæeöæeöù证：（1）因为(x+h-xn-hn³e)Ìêçx-xn³÷Èçh-hn³÷ú故ëè2øè2øûæeöæeö0£P(x+h-xn-hn³e)£Pçx-xn³÷+Pçh-hn³÷®0,n®¥è2øè2øP即x+h¾¾®x+h成立。nn2P2（2）先证明这时必有x¾¾®x。对任给的e>0,d>0取M足够大næeöæM-1öç£1÷，使有Pçx>÷N时有èMøè2ø()æeöPxn-x³1£Pçxn-x³÷M)£P(xn-x+2x>M)=P{(xn-x+2x>M)Ç(xn-x<1)}+P{(|x-x|+|2x|>M)Ç(|x-x|³1)}nn£P(|2x|>M-1)+P(|x-x|³1)<2dn从而有22P(|x-x|³e)=P(|x-x||x+x|³e)nnn=P{(|x-x||x+x|³e)Ç(|x+x|£M)}nnn+P{(|x-x||x+x|³e)Ç(|x+x|>M)}nnne£P(|x-x|³)+P(|x+x|>M)<3dnnMPP2222由e,d的任意性知x®x，同理可证h®h，由前述（1）有nnP222222xh=(x+h)-x-h®(x+h)-x-h=2xhnnnnnnP故x´h¾¾®x´h，结论成立。nnP1P14.7设随机变量序列x¾¾®a，a¹0是一个常数，且x¹0，证明¾¾®。nnxan证：不妨设a>0对任意的00，则f(x)=>0,x>0，故f(x)是x(x>0)21+x(1+x)æxn-xeö的单调上升函数，因而(x-x>e)Ìç>÷，于是有nç1+|x-x|1+e÷ènøæxn-xeöP(x-x>e)£Pç>÷nç1+x-x1+e÷ènø1+exn-x£E®0,n®¥e1+x-xn对任意的e>0成立，充分性得证。P必要性，对任给的e>0，令A={w:x-x>e}，因为x¾¾®x，故存在enn充分大的N使得当n³N时有P(A)0（a<0时n的修改为显然），若ax，x，ax，x的分布函数分别记作F(×)，F(×)，F(×)nnaxxaxnæxöx与Fn(×)，则Fax(x)=Fxç÷，当x是Fax(×)的连续点时，是Fx(×)的连续点，于是èaøa有æxöæxölimFaxn(x)=limFnç÷=limFxç÷=Fax(x)n®¥n®¥èaøn®¥èaø56PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn PP成立，结论为真。由4.12知x(a-a)®0，再由4.6(1)知x(a-a)+b®b，nnnnn于是由前述结论及4.11知xa+b=ax+(a-a)x+b按分布收敛于ax+b，nnnnnnn结论得证。4.11设随机变量序列{x}按分布收敛于随机变量x，随机变量序列{h}依概率收nn敛于常数a，证明x+h按分布收敛于x+a。nn证：记x,x的分布函数分别为F(x),F(x)，则x+a的分布函数为F(x-a)，设xnn是F(x-a)的连续点，则对任给的e>0，存在d>0，使当00，取a>0,b>0足够nn大，使-a,b是F(x)的连续点且1-F(b))e)=P{(|xh|>e)Ç[(-a£xe)Ç[(-a£x)]}=I+Innnn12M其中I=0，当n³max(N,N)时有112P{(|xh|>e)Ç(-a£xe)=I<5e，由e的任意性知xh®0，结论为真。nn2nn4.13设随机变量x服从柯西分布，其密度函数为nnp(x)=n22p(1+nx)58PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn P证明x®0,n®¥。n证：对任意的e>0，有enne1P(|x|£e)=dx=®1,n®¥nò-e22ò-ne2p(1+nx)p(1+t)dtP故x®0,n®¥。n4.14设{x}为一列独立同分布随机变量，其密度函数为nìï100为常数，令h=max(x,x,L,x)，证明h®b。n12nn证：对任意的n，00(ee)=P(haF(x)=íî0x£a这时有nn-n(x-a)P(h³x)=P(x³)=[1-F(x)]=e,x>anÕii=159PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 对任意的e>0，有-neP(|h-a|³e)=P(h-a³e)=e®0,n®¥nnP故h®a成立，结论得证。n4.17设{x}为一列独立同分布随机变量，都服从(0,1)上的均匀分布，若nn1Ph=(Õx)n，证明h®c(c为常数），并求出c。nknk=1证：这时{lnx}也是独立同分布随机变量序列，且n1Ex=lnxdx=-1nò01nPx由辛钦大数定律知{lnxn}服从大数定理，即有ålnxi®-1，令f(x)=e，则ni=1f(x)是直线上的连续函数，由4.8题知n11nålnxiP(Õx)n=eni=1®e-1=cii=1结论成立。4.18设{x}为一列独立同分布随机变量，每个随机变量的期望为a，且方差存在，n2nP证明åkxk®a。n(n+1)k=1n22证：已知Exn=a，记Dxn=s，令hn=åkxk，则n(n+1)k=1n2Ehn=åka=an(n+1)k=1n24224sDhn=22åks£n(n+1)k=1n+1对任给的e>0，由契贝晓夫不等式有2114sP(|h-a|³e)£Dh£®0,n®¥n2n2een+1P故h®a，结论得证。n24.19设{x}为一列独立同分布随机变量，且Dx=s存在，数学期望为零，证nn60PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 1nP22明åxk®s。nk=1222证：这时{x}仍独立同分布，且Ex=Dx=s<¥，由辛钦大数定律知结论成nnn立。4.21设随机变量序列{x}按分布收敛于随机变量x，又随机变量序列{h}依概nn率收敛于常数a(a¹0),h¹0，则{xn}按分布收敛于x。nhan11P11Pxn证：由4.7题知-¾¾®0，于是由4.12题有x(-)¾¾®0，而按分nhahaannx布收敛于（见4.10题的证明），因而由4.11题知axnæ11öxn=xç-÷+hnçha÷anènøx按分布收敛于，结论成立。an224.22设{xn}为独立同N(0,1)分布的随机变量序列，证明nxn+1åxk的分布函数k=1弱收敛于N(0,1)分布。22证：这时{x}也为独立同分布随机变量序列，且Ex=1，由辛钦大数定律知nnn12Påxi¾¾®1，又xn+1服从N(0,1)分布，当然弱收敛于N(0,1)分布，由4.21题ni=1即知h按分布收敛于N(0,1)分布，结论得证。nn1æö4.23如果随机变量序列{xn}，当n®¥时有2Dçåxk÷®0，证明{xn}服从大nèk=1ø数定律（马尔柯夫大数定律）证：由契贝晓夫不等式即得。4.26在贝努里试验中，事件A出现的概率为p，令ì1,若在第n次及第n+1次实验中A出现xn=íî0，其它证明{x}服从大数定律。n61PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 2222证：{x}为同分布随机变量序列，且Ex=Ex=p，因而Dx=p(1-p)£1，nnnn又当|i-j|³2时，x与x独立，由4.24知{x}服从大数定律，结论得证。ijn¥4.28设{xn}为一列独立同分布随机变量，方差存在，又åan为绝对收敛级数，n=1令hn=nåxi，则{anhn}服从大数定律。i=1""22证：不妨设Ex=0。否则令x=x-Ex，并讨论{x}即可。记Ex=s，又nnnnnn¥nninnc=å|an|<¥。因为åaihi=åai(åxk)=åxk(åai)，故有n=1i=1i=1k=1k=1i=k1n1nns2nnc2s2222D(åaihi)=2E{åxk(åai)]=2åå(ai)£®0,n®¥ni=1nk=1i=knk=1i=kn由4.23知{ah}服从大数定律，结论得证。nn4.30设{x}为一列独立同分布随机变量，共同分布为nk21P(x=)=,k=1,2,Ln2kk2试问{x}是否服从大数定律？n答：因为Ex存在，由辛钦大数定律知{x}服从大数定律。nn4.31设{x}为一列独立同分布随机变量，共同分布为ncP(x=k)=,k=2,3,Ln22klogk¥1-1其中c=(å22)，问{xn}是否服从大数定律？k=2klogk答：因为Ex存在，由辛钦大数定律知{x}服从大数定律。nn4.32如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有95%以上的把握保证p所观察到的频率与概率p的差小于，问至少应该做多少次试验？10解：令62PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn ì1第n次试验时图钉的尖头朝上xn=íî0其它nåxii=1p据题意选取试验次数n应满足P(|-p|<)³0.95，因为n比较大，由中心n10极限定理有nnåxiå(x-p)i=1pi=11npP(|-p|<)=P(||<)n10npq10q21npx1-»ò10qe2dx³0.951np-2p10q1npq1故应取=2，即n=400，但图钉底部重，尖头轻，由直观判断有p³，10qp2因而q£1，故可取n=400。p4.33一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，求在校对后错误不多于15个的概率。解：令ì1第i个印刷符号被排错且校对后仍错误xi=íî0其它因为排版与校对是两个独立的工序，因而-5p=P(x=1)=0.0001´0.1=10,P(x=0)=q=1-piin6{xi}是独立同分布随机变量序列，Exi=p，令hn=åxi，其中n=10，由中心i=1极限定理有2xhn-np15-np1b-P(h£15)=P(£=b)»e2dxnò-¥npqnpq2p5其中b»»1.58，查N(0,1)分布表即可得P(h£15)»0.94，即在校对后错误n10不多于15个的概率。4.34在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年里一个人死亡的概率为0。006，死亡时家属可向保险公司领得1000元，问：63PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn （1）保险公司亏本的概率多大？（2）保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率各为多大？解：保险公司一年的总收入为120000元，这时（1）若一年中死亡人数>120，则公司亏本；（2）若一年中死亡人数£80，则利润中死亡人数³40000元；若一年中死亡人数£60，则利润中死亡人数³60000元；若一年中死亡人数£40，则利润中死亡人数³80000元；令ì1第i个人在一年内死亡xi=íî0第i个人在一年内活着n则P(xi=1)=0.006=p，记hn=åxi,n=10000已足够大，于是由中心极限定理i=1可得欲求事件的概率为（1）2xhn-np120-np1b-60P(h>120)=1-P(£=b)»1-e2dx»（0其中b»)nò-¥npqnpq2p7.723同理可求得（2）P(h£80)»0.995(对应的b»2.59)nP(h£60)»0.5(对应的b=0)nP(h£40)»0.005(对应的b»-2.59)n14.35有一批种子，其中良种占，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证61其中良种的比例与相差多少？6解：令ì1第i粒为良种xi=íî0第i粒不是良种n11则P(xi=1)=，记p=,hn=åxi，其中n=6000，据题意即要求a使满足66i=1hn1naP(|-|£a)³0.99。令q=1-p,b=，因为n很大，由中心极限定理有n6npq2xhn1hn-np1b-P(|-|£a)=P(-b££b)»òe2dx³0.99n6-bnpq2p64PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 由N(0,1)分布表知当b=2.60时即能满足上述不等式，于是知b-41a=npq»1.25´10，即能以0.99的概率保证其中良种的比例与相差不超n6-4过1.25´10。4.36若某产品的不合格率为0.005，任取10000件，问不合格品不多于70件的概率等于多少？解：令ì1第i件为不合格品xi=íî0第i件为合格品n70-np则p=P(xi=1)=0.005，记q=1-p,hn=åxi，其中n=10000，记b=，i=1npq由中心极限定理有2xh-np1b-P(h£70)=P(n£b)»e2dx»0.998nò-¥npq2p即不合格品不多于70件的概率约等于0.998。4.37某螺丝钉厂的不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95？解：令ì1第i只是合格品xi=íî0第i只是不合格品n100-np则p=P(xi=1)=0.99，记q=1-p,b=,hn=åxi，其中n尚待确定，它npqi=1应满足P(h<100)£0.05，由中心极限定理有n2xh-np1b-P(h<100)=P(n0pa(x)=íG(a)(a>0,b>0)ïî0x£0bx-aa证：当a®¥时，的分布函数弱收敛于N(0,1)分布。ait-abxa-a证：x的特征函数为j(t)=(1-)，易知的特征函数为aabaitit-iat-aln(1-)-iat-aag(t)=e(1-)=eaa而223itit1t1ittln(1-)=-+-+o()aa2a3aaaa)因而有2332itt1ittt-iat-aln(1-)=-++ao()®-,a®¥a23aaa22t-故limg(t)=e2，所以相应的分布函数弱收敛于N(0,1)分布，命题得证。aa®¥4.41设{x}为一列独立同分布随机变量，且x服从(-n,n)上的均匀分布，证明nn对{x}成立中心极限定理。n222nxn证：易知Ex=0,Dx=Ex=dx=，于是nnnò-n2n366PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn nn22k1Bn=åDxk=å=n(n+1)(2n+1)k=1k=131832nn故B>，对任意的t>0，存在N，使当n³N时有t>1，因而Bt>n，nn332从而当n³N，xdF(x)=0，若k£n，由此知ò|x|>Btknn12lim2åòxdFk(x)=0n®¥B|x|>Bntnk=1即林德贝尔格条件满足，所以对{x}成立中心极限定理，结论得证。n4.42设{x},{h}皆为独立同分布随机变量序列，且{x}与{h}独立，其中nnnnn11Exn=0,Dxn=1;P(hn=±1)=,n=1,2,L，证明：sn=åxihi的分布函数弱2ni=1收敛于正态分布N(0,1)。证：这时{xh}仍是独立同分布随机变量序列，易知有nn22E(xh)=0,D(xh)=E(xh)=Ex=1nnnnnnnn1由林德贝尔格---勒维中心极限定理知：sn=åxihi的分布函数弱收敛于正态ni=1分布N(0,1)，结论得证。4.45利用中心极限定理证明：ænkön-n1ççå÷÷e®,n®¥èk=0k!ø2证：设{x}是独立同分布随机变量序列，共同分布为l=1的Poisson分布，故nn2Exn=Dxn=1,Bn=åDxk=n，由林德贝尔格---勒维中心极限定理知k=1næönçå(xk-Exk)÷t210-1P(åx0,1；00（3）H:ms<=3,1；（4）H:03<m,:mm，取临界域c=>{(x,x,,Lxc):|}x，001012n0（1）求此检验犯第一类错误概率为a时，犯第二类错误的概率b，并讨论它们之间的关系；2（2）设m=0.05，s=0.004，a=0.05，n=9，求m=0.65时不犯第二类错误00的概率。81PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 2s0解：（1）在H成立的条件下，xm~N(,)，此时00næöx--mmc000ax=P()³c=³Pç÷nn000ssèø00c-ms000所以，n=m，由此式解出c=+mm1-a010-as0n2s0在H成立的条件下，xm~N(,)，此时1næöxm-c-m0bx=P()0ïî47.5设某产品指标服从正态分布，它的根方差s已知为150小时。今由一批产品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时?2解总体xm~N(,150)，对假设，H:m=1600，采用U检验法，在H为真时，00检验统计量x-m0un==1.2578s0临界值uu==1.961-a/20.975||uu<，故接受H。1-a/207.6某电器零件的平均电阻一直保持在2.64W，根方差保持在0.06W，改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为2.62W，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？去显著性水平a=0.01。2解设改变工艺后电器的电阻为随机变量x，则Exm=未知，Dx=(0.06)，假设为H:m=2.64，统计量0xm-0un==-3.33s83PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 由于u=uu=<2.10||，故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显著差异。1-a/20.9957.7有甲乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析的结果如下：实验号12345678甲4.33.283.53.54.83.33.9乙3.74.13.83.84.63.92.84.4试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异？22解此问题可以归结为判断x=-xx是否服从正态分布N(0,)s，其中s未知，12即要检验假设H:0m=。0xm-0.10-0由t检验的统计量tn==8=-0.389*s0.727n取a=0.10，又由于，tt(7)=>1.8946||，故接受H0.9507.8某纺织厂在正常工作条件下，平均每台布机每小时经纱断头率为0.973根，每台布机的平均断头率的根方差为0.162根，该厂作轻浆试验，将轻纱上浆率减低20%，在200台布机上进行实验，结果平均每台每小时轻纱断头次数为0.994根，根方差为0.16，问新的上浆率能否推广？取显著性水平0.05。解设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量h，有子样试验可得其均值和*22方差的无偏估计为0.994及s=(0.16)，问新上浆率能否推广就要分析每台布n机的平均断头率是否增大，即要检验H:Ehh=0.973«>HE:0.97301由于Dh未知，且n较大，用t检验，统计量为hm-0.994-0.9730tn===2001.856*s0.16n查表知t(199)=1.645，故拒绝原假设，不能推广。0.957.9在十块土地上试种甲乙两种作物，所得产量分别为(x,xx,L,)，1210(y,yy,L,)，假设作物产量服从正态分布，并计算得x=30.97，y=21.79，121084PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn **s=26.7，s=12.1取显著性水平0.01，问是否可认为两个品种的产量没有显著xy性差别？22解甲作物产量x~N(ms,)，乙作物产量h~N(ms,)，即要检验1122H:mm¹01222"22由于s，s未知，要用两子样t检验来检验假设H:ss=，由F检验，12012统计量为2F=s*2sF*2=26.7=4.869<=(9,9)6.54（取显著性水平0.01）1220.99512.1"22故接受假设H:ss=，于是对于要检验的假设H:mm¹取统计量012012xy-nn(nn+-2)1212t==0.99(n-1)s*2+-(ns1)*2nn+112212又a=0.01时，tt(18)=>2.878||，所以接受原假设，即两品种的产量没有显0.995著性差别。7.10有甲、乙两台机床，加工同样产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品直径为（单位：mm）：甲20.5，19.8，19.7，20.4，20.1，20.0。19.6，19.9乙19.7，20.8，20.5，19.8，19.4，20.6，19.2。试比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异？显著性水平为a=0.05。2解：假定甲产品直径服从N(ms,)，由子样观察值计算得x=20.00，11*22s==(0.3207)0.1029。n12*2乙产品直径服从N(ms,)，由子样观察值计算得y=20.00，s=0.3967。22n2要比较两台机床加工的精度，既要检验22H:ss=012由F-检验*2sn10.1029F===0.2594*2s0.3967n285PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn a=0.05时查表得：F(7.6)=5.70，0.97511F(7.6)===0.19530.025F(6.7)5.120.975由于F(7.6)<(5)，所以拒绝H。即等概率的假设不成立。0.9507.15对某型号电缆进行耐压测试实验，记录43根电缆的最低击穿电压，数据列表如下：测试电压3.83.94.04.14.24.34.44.54.64.74.8击穿频数111278846412试对电缆耐压数据作分析检验（用概率图纸法和c-拟合优度检验）。2解：用正态概率纸检验出数据基本上服从正态分布，下面c-拟合优度检验假设2HN:x:(msˆ,)ˆ022其中msˆ,ˆ为m和s的极大似然估计，其观察值n2221mˆ==x4.3744sˆ=sni=å(xx-=)0.04842ni=1所以要检验的假设HN:x:(4.3744,0.04842)02分组列表计算c-统计量的观察值。88PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn py=F()组距频数标准化区间ii2xxnyy-F()yi-1npi(ni-npii)/npi-1iii-1i-¥4.15-¥-1.250.10564.54080.04644.14.27-1.25-0.790.10874.67411.15744.24.38-0.79-0.340.15266.56180.21524.34.512-0.340.570.348814.99840.59944.54.660.571.030.13285.71040.01474.6¥50.31¥0.15156.51450.3521n22()npnii-c==å2.4852i=1npi2222用a=0.1查表cc(6-2-1)==(3)6.251由于cc<(3)，所以不能否定正态0.90.90.9分布的假设。7.16用手枪对100个靶各打10发，只记录命中或不命中，射击结果列表如下命中数x：012345678910i频数f：0241022261812420i2在显著水平a=0.05下用c拟合优度检验法检验射击结果所服从的分布。解对每一靶打一发，只记录命中或不命中可用二点分布描述，而对一个靶打十发，其射击结果可用二项分布b(Kp;10,)来描述，其中p未知，可求其极大似然估计为101pˆ=x==åfxii0.5100i=0设x是十发射击中射中靶的个数，建立假设æö10KK10-H:p(x=kK)==ç÷(0.5)(0.5),0,1,K,100èøK2用c拟合优度检验法列表如下：89PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 2inipinpi(ni-npii)/np000.0009770.0980.098120.0097650.9761.074240.0439454.3950.0363100.11718811.7190.2524220.20521220.5210.1075260.24609424.6090.0796180.20521220.5210.3107120.11718811.7190.007840.0439454.3950.036920.0097650.9761.0741000.0009770.0980.0981022()npnii-c==å3.171i=0npi22取a=0.05，c(11--11)=c(9)=16.9190.950.9522由于cc<(9)，所以接受H。0.9507.17在某细纱机上进行断头率测定，试验锭子总数为440，测得断头总次数为292次只锭子的断头次数纪律于下表。问每只锭子的纺纱条件是否相同？每锭断头数012345679锭数（实测）263112381931103解：如果各个锭子的纺纱条件元差异，则所有锭子断头次数服从同一个普哇松分布，所以问题是要检验每只锭子的断头数xl:pK(;)。其中l未知，求其极大似2922然估计为l=x==0.66，建立假设H:x:pK(;0.66)，由c拟合优度检验。0440列表90PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 2i断头数Knipinpi(ni-npii)/np温度6065707580102680.5169227.415.568211120.3411150.099.66832380.112649.532.68443190.024710.8976.02654-880.00472.06817.016522()npnii-c==å40.962i=0npi22取a=0.05，c(5--11)=c(3)=7.815，0.950.9522取a=0.01，c(5--11)=c(3)=11.3450.990.9522由于cc>(3)，所以拒绝H。即认为每只锭子纺纱条件不相同。0.990第八章方差分析和回归分析8.1考察温度对某一化工产品得率的影响，选了五种不同的温度，在同一温度下做了三次实验，测得其得率如下，试分析温度对得率有无显著影响。9091968484得率9293968389889293838291PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 解把原始数据均减去90后可列出如下计算表和方差分析表，r表示因子水平数，t为重复实验次数。r=5,t=3,n==rt15计算表温度6065707580016-6-6yij536-7-4-223-2-8y0615-15-18åyi=-12igi2æöç÷ååyij22èøijåååyyiji=308,==810,9.6ijin1S=´810-=9.6260.4A3S=308-=9.6298.4TS=SS-=38eTA方差分析表来源平方和自由度均方和F比温度260.4465.117.1e38103.8总和298.417F0.99(4,10)6=由于F=>17.16，所以在a=0.01上水平上认为温度对得率有显著影响。8.2下面记录了三位操作工分别在四台不同机器上操作三天的日产量：92PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 操作工机器甲乙丙A1515171719161618211A1717171515151922222A1517161817161818183A1820221516171717174试在显著性水平a=0.05下检验：（1）操作工之间有无显著性差异？（2）机器之间的差异是否显著？（3）操作工与机器的交互作用是否显著？解用r表示机器的水平数，s表示操作工的水平数，t表示重复实验次数，列出计算表和方差分析表：r=4,s=3,t=3,n==rst36y甲乙丙yiji.A4754551561A5145631592A4851541533A6048511594y206198223627.j22åååyijk=11065，ååyik.=33071ijkij222()åååyijkåyi..=98307，åy..j=131369，=10920.25ijn1S=´98307-=10920.252.75A91S=´131369-=10920.2527.17B121S=´33071-10920.25-2.75-=27.1773.50AB´3S=11065-=10920.25144.75T93PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn S=144.75-2.75-27.17-=77.5041.33e方差分析表来源平方和自由度均方和F比机器A2.7530.92<1操作工B27.17213.597.90交互作用AB´73.50612.257.12e41.33241.72F(2,24)=3.400.95总和144.7535F(6,24)=2.510.95由于FF=7.90>3.40,=>7.122.51，所以在a=0.05水平上，操作工有显著差BAB´异，机器之间无显著差异，交互作用有显著差异。8.3通过原点的一元线性回归模型时怎样的？通过原点的二元线性回归模型是怎样的？分别写出结构矩阵X，正规方程组的系数矩阵XX¢，常数项矩阵XY¢，并写出回归系数的最小二乘法估计公式。解通过原点的一元线性回归模型：ìïy=bxN+=ea1,2,,Laaaí2ïî各eaa独立同分布，es:N(0,)æöx1æöy1ç÷ç÷xNNyX=ç÷2，X¢¢X=ååx2,XY==(x,)xLxç÷2xya12Naaç÷Maa==11ç÷Mç÷ç÷èøxNèøyNb的最小二乘估计为NNˆ-1/2b==(X¢¢X)XYååxayxaaaa==11通过原点的二元线性回归模型：ìïy=bx++=bxNea1,2,,La1a122aaí2ïî各eaa独立同分布，es:N(0,)94PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn æö2ç÷ååxa1xxaa12¢=ç÷aaXX,æöxx1112ç÷2ç÷ç÷ååxa1xxaa22=ç÷xx2122，èøaaXç÷MMæöç÷ç÷åxyaa1èøxxNN12¢=ç÷aXYç÷ç÷åxyaa2èøabb,的最小二乘估计为：12æöbˆˆ1-1b==ç÷(X¢¢X)XYç÷bˆèø28.4对不同的元麦堆测得如下数据：堆号123456重量p2813270511103259021315181跨度l3.253.205.073.142.904.02试求重量对跨度的回归方程，并求出根方差s的估计值。解设所求回归方程为plˆ=+bbˆˆ，由数据可以求出：012åpa=26523,ååpalpaa==109230.58,176598625aaa2åålaa=21.58,lN==80.9374,6aa由最小二乘法估计公式可知1ååpala-plaabˆ==aaN4165.851221æöåållaa-ç÷aaNèøbbˆ=11ååpl-ˆ=-1056201aaNNaa故可得回归方程：plˆ=-+105624165.852s的估计是95PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn sbˆ2=1ìüíýéåp22-11(åp)ù--ˆéùåpl(ååpl)()êaaú1êúaaaaN-2îþëaNNaûëûaaa=428538则s的估计为6558.5设2y=b+bx+be(3xi-2)+=1,2,3i012iiix=-1,xx==0,11232e,,ee相互独立同服从于N(0,)s。123（1）写出矩阵X（2）求b,,bb的最小二乘估计012（3）证明当b=0时，bb,的最小二乘估计不变201æö1-11ç÷解（1）X=-102ç÷ç÷èø111æö300æöy1++yy23ç÷ç÷（2）XX¢=120，X¢Y=-+yy，则，b,,bb的最小二乘估计是ç÷ç÷13012ç÷èø006ç÷èøy-+2yy123æö1()y++yyˆç÷3123æöb0ç÷ç÷1bbˆ=ç÷ˆ=(X¢¢X)-1XY=ç÷()-+yy1ç÷13ç÷2ç÷bˆç÷èø2ç÷1ç÷(y-+2)yy123èø6（3）若b=0，此时模型成为：2y=b+bexi+=1,2,3，则对应的i01iiæö11-ç÷æö30æöy1++yy23X=10，XX¢=ç÷，XY¢=ç÷，bb,的最小二乘估计是ç÷èø-+yy01ç÷èø0213èø1196PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn æö1ˆ()y++yyæöbç÷123ˆ0-13b=ç÷==()X¢¢XXYç÷ç÷èøbˆç÷11ç÷()-+yy13èø28.6若y与x有下述关系：2py=b+bx+bxx+L++be012p2其中es:N(0,)从中获得了n组独立观测值(xy,)，能否求出b,bb,,L的最aa01p小二乘估计，试写出最小二乘估计的公式，能否检验假设H:0b=0i试写出检验的拒绝域。nii1解若记Xaii=xaa,X=åxa==1,LL,n;ip1,,na=1nlij=å(Xaai-Xi)(Xjj-=X)i,jp1,,La=1nli0=å(Xaaii-X)(y-=y)ip1,,La=1则bb,,L的最小二乘估计为下述方程组的解：1pìlbˆ+lbbˆ+L+=llˆ1111221pp10ïïïlbˆ+lbbˆ+L+=llˆ2112222pp20í（*）ïLLïïlbˆ+lbbˆ+L+=llˆîp11p220ppppb的最小二乘估计为：0bˆ=y-bbˆXX--Lˆ011pp-1ij若把方程组（*）的系数矩阵记为L，则Ll=()，又记Ll=()，则在显著性水ij平a上检验H:0b=的拒绝域是：0ibˆ2iF=>F(1,np--1)iij21-alsˆ97PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn 其中，sˆ22=1{å(y-y)}-bbˆll--Lˆa1100ppnp--1a8.7某医院用光色比色计检验尿贡时，得尿贡含量与肖光系数读数的结果如下：尿贡含量x246810肖光系数y64138205285360已知它们之间有下述关系式：y=b+bexi+=1,2,3,4,5i01ii2各e相互独立，均服从N(0,)s分布，试求bb,的最小二乘估计，并给出检验i01假设H:0b=01的拒绝域。解由数据可以求得，n=5åxa=30，x=6aåyya==1052,210.4a22åxa=220,ååxayyaa==7790,275990aaal=40,ll==1478,54649.2xxxyyy则，最小二乘估计为：bbˆ=-=11.3,ˆ36.9501检验假设H:0b=可用统计量01bˆl1xyFF==4416>(1,3)==34.1,a0.01(ˆ)/(2)1-al--blnyy1xy因此，拒绝原假设。8.8研究同一地区土壤中所含植物可给态磷的情况，得到18组数据如下，其中，x——土壤内所含无机磷浓度1x——土壤内溶于K2CO3溶液并受溴化物水解的有机磷浓度298PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn x——土壤内溶于K2CO3溶液但不溶于溴化物的有机磷浓度3。y——载在20C土壤内的玉米中可给态磷的浓度已知y与x,,xx之间有下述关系：123y=b+bx+bx+bexi+=1,2,L,18i01i12i233ii2各e相互独立，均服从N(0,)s分布，试求出回归方程，并对方程及各因子的显i著性进行检验。土壤样本xxxy12310.4531586420.4231636033.119377140.6341576154.724595461.7651237779.4444681810.13111793911.629173931012.658112511110.937111761223.146114961323.150134771421.64473931523.15616895161.936143541726.8282021681829.95112499由上述数据可以求得下面的结果：pn==3,18x=11.94,x=42.11,xy==123,81.2812399PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn æl11ll1213öæö1752.96441085.61111200.0000ç÷ç÷L==lll1085.61113155.77783364.0000ç212223÷ç÷çlll÷ç÷1200.00003364.000035572.0000è313233øèøæl10öæö3231.4778ç÷ç÷ll==2216.4445ç20÷ç÷çl÷ç÷7953.0000è30øèø111213æölllæö0.000725--0.0002480.000001-1ç÷212223ç÷L=ç÷lll=--0.0002480.0004370.000033ç÷ç÷l31ll3233ç÷èø--0.0000010.0000330.000031èøæöbˆ1.7847801æöç÷bbˆ=ç÷ˆ=Ll-1=-ç÷0.0833972ç÷ç÷ç÷ç÷bˆèø0.161133èø3bˆ=y-bˆx--=bbˆxxˆ43.6521980112233所求得的回归方程为yˆ=43.65+1.78x-+0.08xx0.16123记2ST=å(yya-=)12389.6111a3Sl==åbˆ6806.1115Rjj0j=1S=SS-=5583.4997eTR对方乘作检验的F统计量为：Sp/RFF==5.6885>=(3,14)3.341-0.05S/(np--1)e故在a=0.05的水平上方程是显著的。对各因子作F检验的统计量分别为bˆ21FF==11.02>=(1,14)4.601110.95lS/(np--1)ebˆ22FF==0.0399<=(1,14)4.602220.95lS/(np--1)e100PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn bˆ23FF==2.0822<=(1,14)4.603330.95lS/(np--1)e故在a=0.05的水平上，x是显著的，x与x是不显著的。1238.8某种膨胀合金含有两种主要成分，做了一批试验如表所示，从中发现这两种成分含量和x与合金的膨胀数y之间有一定关系。（1）试确定x与y之间的关系表达式（2）求出其中系数的最小二乘估计（3）对回归方程及各项作显著性检验试验号金属成分和x膨胀系数y137.03.40237.03.00338.03.00438.53.27539.02.10639.51.83740.01.53840.51.70941.01.801041.51.901142.02.351242.52.541343.03.90解（1）由散点图可知y与x的关系为：2y=b+bxx++be0122并可假设es:N(0,)。（2）由以上数据可求得：p=2,n=132x=40,xx==1603.5，y=2.4092312101PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn æöll1112æö45.503640.00L=ç÷=ç÷ll3640.00291325èø2122èøæölæö-6.3710l==ç÷ç÷èølèø-490.08201112æöllæö51.170829-0.639361-1L==ç÷ç÷2122èøllèø-0.3693610.007992据最小二乘估计为：æöbˆæö-12.6203201-1ç÷==Llç÷ç÷èøbˆèø0.1560042bˆ=y-bbˆxx-=ˆ257.0696100122则回归方程为：2yˆ=257.070-+12.620xx0/156（3）对方程作检验：2ST=å(yya-=)5.019692aS=bbˆll+=ˆ3.9370R110220S=SS-=1.0827eTRSp/RFF==18.18>=(2,10)4.101-0.05S/(np--1)e故在a=0.05的水平上方程是显著的。2对x及x项作检验：bˆ21FF==28.7483>=(1,10)4.961110.95lS/(np--1)ebˆ22FF==28.1261>=(1,10)4.962220.95lS/(np--1)e故方程中两项均为显著。102PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn'