理统计》第三版_科学出版社_课后习题答案.pdf 38页

'第二章随机变量2.1X23456789101112P1/31/11/11/5/31/5/31/1/11/11/368296669286∞∞−12.2解：根据−kae∑P(X=k)=1，得∑ae=1，即=1。−1k=0k=01−e故a=e−12.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7)用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数,Y~B(2,0.4)(1)两人投中的次数相同P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=002002111111220220C20.70.3×C20.40.6+C20.70.3×C20.40.6+C20.70.3×C20.40.6=0.3124(2)甲比乙投中的次数多P{X>Y}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=10.70.311×00.40.602+20.70.320×00.40.602+20.70.320×10.40.611=0.5628C2C2C2C2C2C212322.4解:（1）P{1≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=++=1515155121(2)P{0.510)=∫0.5edx=−e=e1010又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则−5Y~B(282,e)。因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为−5λ=282×e≈1.9的泊松分布。所求的概率为 P(Y≥2)=1−P(Y=0)−P(Y=1)−1.9−1.9−1.9=1−e−1.9e=1−2.9e=0.56625105−1102.17解：(1)P(X≤105)=Φ()=Φ(−0.42)=1−Φ(0.42)12=1−0.6628=0.3372120−110100−110(2)P(100≤X≤120)=Φ()−Φ()1212=Φ(0.83)−Φ(−0.83)=2Φ(0.83)−1=2×0.7967−1=0.59342.18解：设车门的最低高度应为a厘米，X~N(170,62)PX{≥a}1=−PX{≤a}0.01≤a−170PX{≤a}=Φ()≥0.996a−170=2.336a≈184厘米2.19解：X的可能取值为1,2,3。2C611因为40.6P(X=1)===；P(X=3)===0.1；33C10C1055P(X=2)=1−0.6−0.1=0.3所以X的分布律为X123 P0.60.30.1X的分布函数为⎧0x<1⎪⎪0.61≤x<2F(x)=⎨0.92≤x<3⎪⎪⎩1x≥32.20(1)πPY{=0}=PX{=}=0.222PY{=π}=PX{=0}+PX{=π}=0.30.4+=0.723πPY{=4π}=PX{=}=0.12Y022π4πq0.20.70.1i(2)PY{=−1}=PX{=0}+PX{=π}=0.30.4+=0.7π3πPY{=1}=PX{=}+PX{=}=0.20.10.3+=22Y-11q0.70.3i2.21（1） 当−≤1x<1时，Fx()=PX{=−=1}0.3当1≤x<2时，Fx()=PX{=−+1}PX{=1}0.3=+PX{=1}0.8=PX{=1}0.80.30.5=−=当x≥2时，Fx()=PX{=−1}+PX{=1}+PX{=2}0.8=+PX{=2}1=PX{=2}10.80.2=−=X-112P0.30.50.2（2）PY{=1}=PX{=−1}+PX{=1}=0.30.5+=0.8PY{=2}=PX{=2}=0.2Y12q0.80.2ix21−2.22QX~N(0,1)∴f()x=e2X2π（1）设FY(y)，f()y分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函Y数，则y+1x2y+11−Fy()=PY{≤y}=P{2X−≤1y}=PX{≤}=2e2dxY∫2−∞2π y+12()22(y+1)1−y+11−对()f()y=e2()′=e8Fy求关于y的导数，得YY2π222πy∈−∞∞(,)（2）设FY(y)，f()y分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函Y数，则当−Xy≤0时，Fy()=PY{≤y}=Pe{≤y}=P{}0∅=Y当y>0时，有x2∞1−Fy()=PY{≤y}=Pe{−X≤y}=P{−X≤ln}y=PX{≥−ln}y=e2dxY∫−lny2π对Fy()求关于y的导数，得Y(ln)−y2(ln)y2⎧1−1−y>0⎪−e2(ln)−y′=e2f()y=⎨2π2πyY⎪0y≤0⎩（3）设FY(y)，f()y分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函Y数，则当2y≤0时，Fy()=PY{≤y}=PX{≤y}=P{}∅=0Yx2y1−当y>0时，22Fy()=PY{≤y}=PX{≤y}=P{−y≤X≤y}=edxY∫−y2π 对Fy()求关于y的导数，得Y(y)2(−y)2(ln)y2y>0⎧1−1−1−⎪e2(y)′−e2(−y)′=e2f()y=⎨2π2π2πyY⎪y≤0⎩0⎧101或x<0时，fxy(,)=0，1121112fY()y=∫4.8(2y−xdx)=4.8[2yx−x]|=4.8[1y−2y+y]y2y22f()x=0y>1或y<0X0≤y≤1xx22fX()x=∫4.8(2y−xdy)=2.4y(2−x)|=2.4(2x−x)00xx②当220≤x≤1时，f()x=4.8(2y−xdy)=2.4y(2−x)|=2.4(2x−x)X∫00Y的边缘概率密度函数f()y为：Y1当y>1或y<0时，fxy(,)=0，f()y=0Y 2当0≤≤y1时，1121112fY()y=∫4.8(2y−xdx)=4.8[2yx−x]|=4.8[1y−2y+y]y2y222=2.4(34y−y+y)3.10（1）参见课本后面P227的答案x⎧⎪6dy0≤x≤1⎧6（x1-x）0≤x≤1（2）f()x=⎨∫x2=X⎨⎪⎩0其它⎩0其它⎧y⎪∫6dx0≤y≤1⎧⎪6（yy-）0≤y≤1f()y=⎨y=⎨Y⎪⎩0其它⎪⎩0其它3.11参见课本后面P228的答案3.12参见课本后面P228的答案3.13（1）⎧22xy0≤x≤1⎧220≤x≤1⎪∫(x+)dy⎪2x+xf()x=⎨03=⎨3X⎪⎩0其它⎪⎩0其它⎧12xy0≤y≤2⎧1y0≤y≤2⎪∫(x+)dx⎪+f()y=⎨03=⎨36Y⎪⎩0其它⎪⎩0其它对于0≤≤y2时，f()y>0，Y2⎧6+2xxy⎧x2+xy0≤x≤1⎪0≤x≤1⎪3⎪2+yfxy(,)⎪⎪所以f(|)xy==⎨1y=⎨XY|f()y+Y⎪36⎪⎪⎩0其它⎪其它⎪⎩0 对于0≤x≤1时，f()x>0X⎧xy⎧3x+yx2+0≤y≤2⎪0≤y≤2⎪36x+2fxy(,)⎪⎪⎪所以f(|)yx==⎨22x=⎨YX|f()x2x+X⎪3⎪⎪⎩0其它⎪其它⎪⎩011113×+y13×+y111227PY{<|X=}=2f(|)ydy=2dy=2dy=22∫0YX|2∫01∫05406×+223.14X025X的边缘分Y布10.150.250.350.7530.050.180.020.25Y的边缘分0.20.430.371布由表格可知P{X=1;Y=2}=0.25≠P{X=1}P{Y=2}=0.3225故P{X=xi;Y=yi}≠P{X=xi}P{Y=yi}所以X与Y不独立3.15 X123X的边缘分Y布1111169183112ab+a+b33111Y的边缘分a+b+12918布由独立的条件P{X=xi;Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yi}则P{X=2;Y=2}=P{X=2}P{Y=2}P{X=2;Y=3}=P{X=2}P{Y=3}∑P{X=i}=1可以列出方程11(+a+b)(+a)=a3911(+b)(+a+b)=b18311++a+b=133a≥0,b≥021解得a=,b=99 ⎧x0≤x≤22⎪⎧3y0≤y≤13.16解（1）在3.8中f()x=⎨2f()y=⎨XY⎪0⎩0其它⎩其它当320≤x≤2，0≤y≤1时，f()xf()y=xy=fxy(,)XY2当x>2或x<0时，当y>1或y<0时，f()xf()y=0=fxy(,)XY所以，X与Y之间相互独立。2⎧2.4(2x−x)0≤x≤1（2）在3.9中，f()x=⎨X⎩0其它2⎧2.4(34y−y+y)0≤y≤1f()y=⎨Y⎩0其它当0≤x≤1，0≤y≤1时，2222f()xf()y=2.4(2x−x)2.4(34y−y+y)=5.76(2x−xy)(34−y+y)XY≠fxy(,)，所以X与Y之间不相互独立。3.17解：+∞+∞−x1−xfx(x)=∫−∞f(x,y)dy=∫0xe2dy=xe(1+y)+∞+∞−x11(y)=f(x,y)dy=dx=fy∫−∞∫0xe22(1+y)(1+y)−x1f(x)⋅f(y)=xe2=f(x,y)xy(1+y)故X与Y相互独立 3.18参见课本后面P228的答案第四章数字特征4.1解：EX()=xp=1∑iiiEY()=yp=0.9∑iii∵甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又∵两台机床的总的产量相同∴乙机床生产的零件的质量较好。4.2解：X的所有可能取值为：3，4，51PX{=3}==0.13C52C3PX{=4}==0.33C52C4PX{=5}==0.63C5EX()=xp=×30.140.350.6+×+×=4.5∑iii4.3参见课本230页参考答案4.4解：n−1PX{=n}=p(1−p),n=1,2,3......∞n−1p1EX()=∑xpii=∑np(1−p)=2=in=1[1(1−−p)]p 4.6参考课本230页参考答案4.7解：设途中遇到红灯次数为X，则X~(3,0.4)BEX()=np=×40.31.2=4.8解+∞E(X)=∫f(x)xdx−∞150023000x1=dx+−(x−3000)xdx∫2∫20150015001500=500+1000=15004.9参见课本后面230页参考答案4.10参见课本后面231页参考答案24.11解:设均值为µ,方差为σ,则X~N(µ,σ2)根据题意有:P(X>96)=1−P(X<96)X−µ96−72=1−P(<)σσ=1−Φ(t)=2.3%Φ(t)=0.997,解得t=2即σ=12 所以成绩在60到84的概率为60-72X-µ84-72P(60≤X≤84)=P(≤≤)12σ12=Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1=2×0.8413-1=0.68264.122222EX()=×00.41+×0.32+×0.23+×0.12=2222E(5X+4)=×40.4(51+×+4)0.3(52×+×+4)0.2(53×+×+4)0.114×=∞∞∞∞−x−x−x−xEY()=E(2)X=∫02xedx=2∫0xd(−e)=2[−xe|0+∫0edx]4.13解：∞−x=2(−e)|=20−2X∞−2x−x∞−3x1−3x∞1EY()=Ee()=∫0eedx=∫0edx=−e|0=3334πR4.14解：V=3⎧1⎪a105)1=−PV(≤105)1=−P(V≤105)1=−P(≤)∑ii=11015101533105100−=−Φ1()1=−Φ(0.387)=0.34810153 5.5解：方法1：用X表示每个部件的情况，则i⎧1,正常工作Xi=⎨Xi~B(1,0.9)，⎩0,损坏EX()=p=0.9,DX()=p×(1−p)=0.90.1×ii100∑Xi~Nnpnp[,×(1−p)]=N(1000.9,1000.90.1)×××i=1100100100∑Xi−np∑Xi−1000.9×∑Xi−90i=1i=1i=1Z===~N(0,1)np×(1−p)1000.90.1××3100100100∑Xi−90i=18590−P(∑Xi≥85)1=−P(∑Xi<85)1=−P(<)i=1i=13355=−Φ−1()=Φ()=0.952533方法2：用X表示100个部件中正常工作的部件数，则X~B(100,0.9)EX()=np=1000.9×=90DX()=np(1−p)1000.90.19=××=X−npX−90X~Nnpnp[,(1−p)]=N(90,9)Z==~N(0,1)np(1−p3X−npX−90Z==~N(0,1)np(1−p3X−908590−PX(≥85)1=−PX(<85)1=−P(<)3355=−Φ−1()=Φ()=0.9525335.6略 第六章样本与统计6.16.3.1证明:由=+b可得，对等式两边求和再除以n有nn∑Yi∑(aXi+b)i=1=i=1nn由于1n1nY=∑YiX=∑Xini=1ni=1所以由可得nanbY=∑+=aX+bXini=1nnnn222226.3.2因为∑(Yi−Y)=∑Yi−nY=∑(aXi+b)−n(aXi+b)i=1i=1i=1n222222=∑aXi+2nabX+nb−(naX+2nabX+nb)i=1nn∑22222∑(22)=−=−aXinaXaXiXi=1i=1 n222=a∑(Xi−2XiX+X)i=1n22=a∑(Xi−X)i=122=(n−1)aSX2=(n−1)SY222所以有S=aSYX6.2证明：n1nµE(X)=E(∑)==µXini=1n22nn1σσVar(X)=Var(∑)==2Xi2ni=1nnn22∑i=1(Xi−X)1n226.3（1）S==∑(Xi−2XiX+X)n−1n−1i=1nn122=(∑Xi−2X∑Xi+nX)n−1i=1i=1n122=(∑Xi−2X•nX+nX)n−1i=1n122=(∑Xi−nX)n−1i=12（2）由于2(())Var(Xi)=E(Xi)−EXi 2222所以有E(Xi)=(E(Xi))+Var(Xi)=µ+σ2222σE(X)=(EX)+Var(X)=µ+n2n2222σ2E(∑(Xi−X))=n(µ+σ)−n(µ+)=(n−1)σi=1nn2∑(X−X)i2两边同时除以（n-1）可得i=1σE()=即n−122E(S)=σ6.4同例6.3.3可知0.3nP{|X-µ|≤0.3}≈2Φ()-1=2Φ(0.3n)-1=0.95σ得Φ(0.3n)=0.975查表可知0.3n=1.96又n∈Z根据题意可知n=436.5解（1）记这25个电阻的电阻值分别为,它们来自均值为=200欧姆，标准差为=10欧姆的正态分布的样本则根据题意有：199−200X-µ202−200P{1996时，Φ(u)的值趋近于1，相反当u<−6时，其值趋近于0）（2）根据题意有：30X-µP{∑≤115}=P{30X≤115}=P{≤−1.14}≈Φ(−1.14)=1−Φ(1.14)=0.1271Xii=1σnX6.7证明：因为T，则，随机变量T=的密度函数为Y/n n+1n+12−2Γ()⎛t⎞2f(t)=⎜1+⎟,−∞1.6}=1−P{X<1.6}X-µ1.6-1.5=1−P{<}σn0.5100X-µ=1−P{<2}σn≈1−Φ(2) =1−0.9772=0.0228（2）X-µ1.3-1.5X-µP{X<1.3}=P{<}=P{<−4}≈Φ(−4)=1−Φ(4)≈1−1=0σn0.5100σn（3）1.2-1.5X-µ1.6-1.5P{1.2≤X≤1.6}=P{<<}0.5100σn0.5100≈Φ(2)-Φ(-6)≈0.9772−0=0.97726.10解：根据题意可知此样本是来自均值为µ=12，标准差为σ=2的总体，样本容量为n=5（1）依题意有X-µ13-12X-µP{X>13}=1−P{X<13}=1−P{<}=1−P{<1.12}≈1−Φ(1.12)=1−0.8686=0.1314σn25σn（2）要求样本的最小值小于10概率，即5个数中至少有一个小于10的概率，首先计算每个样本小于10的概率：X-µ10-12p=P(X<10)=P(<)=Φ(-1)=1-Φ(1)=1-0.8413=0.1587σ2设X是5个样本中小于10的样本个数则X服从二项分布B(5,0.1587)故有 0055P(X≥1)=1-P(X=0)=1-Cp(1−p)=1−1×1×(1−0.1587)=0.5785B5即样本的最小值小于10的概率是0.5785.（3）同（2）要求样本的最大值大于15的概率，即5个数中至少有一个大于15的概率，首先计算每个样本大于15的概率：X-µ15-12p=P(X>15)=1-P(X<15)=1−P(<)=1−Φ(1.5)=1-0.9332=0.0668σ2设X是5个样本中大于15的样本个数则X服从二项分布B(5,0.0668)故有0055P(X≥1)=1-P(X=0)=1-Cp(1−p)=1−1×1×(1−0.0668)=0.2923B5即样本的最大值大于15的概率是0.2923第七章参数估计7.1解因为:是抽自二项分布B（m,p）的样本，故都独立同分布所以有XE(X)=mp用样本均值X代替总体均值，则p的矩估计为pˆ=m+∞−λx17.2解：E(x)=∫λe•xdx=用样本均值x代替总体均值，则λ0λ的矩估计为 11λˆ==E(x)x由概率密度函数可知联合密度分布函数为：nL(λ)=λ−λx1•λ−λx2•••λ−λxn=n−λ∑xieeeλei=1对它们两边求对数可得nnln(L(λ))=ln(n−λ∑xi)=nlnλ−λ∑λ求导并令其为0得λei=1xi对i=1∂ln(L(λ))nnˆ11=−∑=0即可得λ的似然估计值为λ==xi1n∂λλi=1x∑xini=17.3解:记随机变量x服从总体为[0,]上的均匀分布，则0+θθE(X)==故的矩估计为θˆ=2X221X的密度函数为p(x)=故它的是似然函数为θn11L(θ)=n∏I{0