高等数学课后习题答案--第九章.pdf 19页

'《高等数学》参考资料第三篇多元函数微积分第九章级数§1数项级数习题1.讨论下列级数的收敛性。若收敛，试求出级数之和。∞∞1⑴∑(n+1−n);⑵∑;nn=1n=1n∞∞2n−1⑶∑n;⑷∑(n+2−2n+1+n);n=13n=1∞∞12n⑸∑⑹∑;n=1(5n−4)(5n+1)n=13n+1∞∞11⑺∑;⑻∑arctan2;n=1n(n+1)(n+2)n=12n【解】.(1)发散;(2)发散;(3)1;(4)1−2;11(5);(6)发散;(7);54π111(8),提示:利用arctan=arctan−arctan.242n2n−12n+121212.设抛物线l：y=nx+和l′：y=(n+1)x+的交点的横坐标的绝对nnnn+1值为a（n=1,2,"）。n(1)求抛物线l与l′所围成的平面图形的面积S;nnn∞Sn(2)求级数∑的和.n=1an21211【解】(1)nx+=(n+1)x+,x=,nn+1n2+n12⎛2121⎞Sn=∫n1+n⎜nx+−(n+1)x−⎟dx−2⎝nn+1⎠n+n2224=−+−=.232223(n+n)nn+n(n+1)n+n3n(n+1)n+n∞∞Sn44(2)∑=∑=.n=1ann=13n(n+1)33.利用Cauchy收敛原理证明下述级数发散：179 11111111⑴1+-++-++-+⋯;2345678911111111⑵1-++-++-++⋯;234567891【解】(1)对于ε=,任意的正整数K,取N>K且为3的倍数,则2111111|a−a|=+−+"++−4NNN+1N+2N+34N−24N−14N11113N1>+++"+>>.N+1N+4N+74N−24N−22因此级数发散.(2)类似(1)的方法111111|a−a|=−++"+−+4NNN+1N+2N+34N−24N−14N11113N1>+++"+>>.N+3N+6N+94N4N24.讨论下列正项级数的收敛性：∞∞11⑴∑;⑵∑;n!nn=1n=1n∞∞πlnn⑶∑(1−cos);⑷∑2;n=1nn=1n∞∞4n1⑸∑4;⑹∑n;n=1n+1n=1ln(n+2)∞∞nn⎛n⎞⑺∑(n−1);⑻∑⎜⎟;n=1n=1⎝3n+1⎠∞2∞nnn[2+(−1)]⑼∑n;⑽∑2n+1;n=12n=12∞∞2−nπ⑾∑ne;⑿∑ntann+1;n=1n=12∞∞2222⒀∑(n+1−n−1);⒁∑(2n−n+1−n−1);n=1n=1∞n2+1∞⎛1π⎞2⒂∑ln⒃∑⎜en−cos⎟；n2−1⎜n⎟n=2n=1⎝⎠∞∞11⒄∑;⒅∑1+p(p>0)。n=2n⋅lnn⋅lnlnnn=2n⋅(lnn)⋅lnlnn【解】(1)收敛;(2)收敛;(3)收敛;180 ∞lnnlnn1lnn1n1(4),=<=.收敛;(5)收敛;∑223n=1nnnnnnn2∞111(6)∑n,<,收敛;n=1ln(n+2)ln(n+2)2∞n(n)a−1nn(7)∑n−1发散由于lim=lna,而n−1>a−1;n→∞1n=1n(8)发散;(9)收敛;(10收敛;(11)收敛;(12)收敛;∞(22)222(13)∑n+1−n−1,(n+1−n−1)=.发散;22n=1n+1+n−1∞(22)22−1(14)∑2n−n+1−n−1=(n−n+1)+(n−n−1)=2n=1n+n+112+=收敛;22222n−1+n(n+n+1)(n+n−1)(n+1+n−1)(15)收敛;1⎛⎞⎛2⎞2⎛2π⎞1⎛1⎞π⎛1⎞2−π⎛1⎞(16)⎜en−cos⎟=1++o⎜⎟⎟⎟−⎜1−+o⎜⎟⎟=+o⎜⎟,收敛;⎜⎜23⎜23⎟23⎝n⎠⎝n⎝n⎠⎠⎝2n⎝n⎠⎠2n⎝n⎠(17)发散;e11(18)收敛;提示:当n>e时,<1+p1+pn⋅(lnn)⋅lnlnnn⋅(lnn)5.利用级数收敛的必要条件，证明：nn(2n)!(1)lim=0，(2)lim=0.2n(n+1)n→∞(n!)n→∞2∞nna(n+1)n+1n!n!11nn+1⎛⎞【解】(1)考虑级数∑2,由于=n=⎜1+⎟n=1(n!)an(n+1)!(n+1)!nn+1⎝n⎠nn→0(n→∞),于是级数收敛,0a→,因此lim=0.n2n→∞(n!)∞n(n+1)(2n)!an+1(2n+2)!2(2n+2)(2n+1)(2)考虑级数∑,==→0,于是级数收n(n+1)(n+1)(n+2)2n+2n=12an2(2n)!2(2n)!敛,因此a→0,即lim=0.nn(n+1)n→∞26.讨论下列级数的收敛性：∞1∞2x2nπsinx(1)∑∫ndx,(2)∑∫dx，01−xnπx2n=1n=1∞1(3)∑∫nln(1+x)dx.0n=1181 ∞111x【解】(1)∑∫nxdx,解n>2时0.<2x,1−xn=10221−x因此级数收敛.∞222n−122nπsinx2nπsinx(k+1)πsinx(2)∑∫nπ2dx的收敛性.∫nπ2dx=∑∫kπ2dx,n=1xxk=nx2323(k+1)πsinx(k+)πsinx(k+)π11π1dx>4>4>=,a=∫kπ2∫12∫12222nx(k+)πx(k+)π2x2(k+1)π24(k+1)π4422n−12nπsinx11M∫nπ2dx=>∑2>(2n−1−n)2>,因此级数发散.;xk=n4π(k+1)4π(2n)n111(3)ln(1+x)时级数∑p收敛;但0,>,而∑发散,因此结论成立.xn1x21n=1nn−110.讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛)182 ∞x∞n2nn+1n+12sinx⑴∑(−1)sin;⑵∑(−1);n=1nn=1n∞1111n−1n⑶∑(−1);⑷1-+-+⋯;n−12!34!5n=13∞n+1∞1nπ(−1)⑸∑(x>0);⑹∑cos;n=1n+xn=1n3∞n2∞2n+12nlnn⑺∑(−1);⑻∑(−1);n=1n!n=2n∞2∞nn+1nnx⑼∑(−1)nx;⑽∑pq;n=12n=2nlnn∞n+11*(−1)a*∞sin(n+)⑾∑n(a>0)；⑿∑n。n=1n1+an=1n2【解】(1)当x≠kπ时,条件收敛;(2)当2sinx<1时绝对收敛,当222sinx=1时条件收敛;当2sinx>1时发散;(3)绝对收敛;∞∞1111111(4)1−+−+−+"∑发散,∑收敛,因此原级数发散;2!34!56!n=12k−1n=1()2k!nna⎛a⎞(5)条件收敛;(6)sin∑coska=∑⎜sincoska⎟2k=1k=1⎝2⎠n1⎡⎛1⎞⎛1⎞⎤1⎡⎛1⎞1⎤=∑⎢sin⎜k+⎟a−sin⎜k−⎟a⎥=⎢sin⎜n+⎟a−sina⎥2k=1⎣⎝2⎠⎝2⎠⎦2⎣⎝2⎠2⎦na(n+1)ansincosn(n+1)ana22πkπ=cossin,∑coska=a=,∑cos22k=1sina3k=132nπ(n+1)πsincos66⎧1⎫=≤2,有界,而⎨⎬是单调趋于零.于是根据Dirichlet判别sinπ⎩n⎭62∞∞n1kπn+12法,级数收敛;但∑cos发散,条件收敛;(7)∑(−1),k=1n3n=1n!2n+1a2an+1n+1=>1,发散,利用>1;(8)条件收敛;(9),|x|<2时绝对收敛,an+1ann∞nx|x|≥2时发散;(10)∑pq仅讨论p>0,q>0情况.|x|<1绝对收敛;n=1nlnn|x|=1时,p>1绝对收敛,p=1,q>1绝对收敛,特别，x=−1时,01时绝对收敛,02),因此⎨⎬单调下降趋于零.因此⎝x⎠x⎩n⎭1∞sinncosn∑也收敛,因此原级数也收敛.n=1n∞n+111.设xn>0,limxn=0，问交错级数∑(−1)xn是否收敛?n→∞n=1111【解】不一定.例级数1−0+−0+−0+−0+"发散.234∞∞xn12.若级数∑xn收敛，lim=1，问级数∑yn是否收敛?研究例子n→∞yn=1nn=1n−1(−1)1x=，y=x+。nnnnn∞n−1∞⎛n−1⎞(−1)(−1)1【解】不一定.本题的例有∑收敛,但∑⎜⎜+⎟⎟发散.n=1nn=1⎝nn⎠n∞∞⎛⎞n113．设正项数列{an}单调减少，且∑(−1)an发散，试问级数∑⎜⎜⎟⎟是否收n=1n=1⎝1+an⎠敛？并说明理由。184 ∞n【解】由于设正项数列{an}单调减少，且∑(−1)an发散,因此数列{an}有界且不n=1∞n+111趋于零(否则∑(−1)xn收敛),即liman=c>0,于是0,0，证明级数∑收敛。λn=1nππ【解】(1)a+a=4tannx(1+tan2x)dx=4tannxsec2xdxnn+2∫0∫0ππtann+1x41∞a+a∞1=4tannxdtanx==,于是∑nn+2=∑=1.∫0n+10n+1n=1nn=1n(n+1)∞a∞∞∞an1111n(2)∑λ=∑λ,而λ<1+λ,由∑1+λ收敛推知∑λ收敛.n=1nn=1(n+1)n(n+1)nnn=1nn=1n∞∞xxnn16*.设级数∑α收敛，证明当α＞α0时，级数∑α也收敛。n0nn=1n=1185 ∞xnxn1xn⎧1⎫【解】利用Abel判别法证明结论.α=α0⋅α−α0,∑nα0收敛，而⎨nα−α0⎬单调nnnn=1⎩⎭有界。∞∞n1(−1)17.利用级数的Cauchy乘积证明∑⋅∑=1。n=0n!n=0n!∞1∞(−1)n∞⎛n1k(−1)n−k⎞∞nCk1k(−1)n−k∞(1−1)nn【解】∑⋅∑=∑⎜⎜∑⎟⎟=∑∑=∑=1.n=0n!n=0n!n=0⎝k=0k!(n−k)!⎠n=0k=0n!n=0n!《高等数学》参考资料第九章级数§2幂级数习题1.求下列函数项级数的收敛域。∞∞1nx⑴∑n;⑵∑2;n=1(1−x)n=1∞n2n(−1)⎛x⎞⑶∑2⎜⎟.n=0(n!)⎝2⎠x【答案】(1)1|1−x|>,x<0或x>2;(2)2<1,x<0;(3)−∞b>0;⑽∑nn)(a>b>0。n=1nnn=1a+b186 111.【答案】(1)r=1,4≤x<6;(2)r=∞,−∞1,即an+1>an,级数发散.⎝n⎠⎛1⎞⎜1+⎟⎝n⎠θnθn−n+−n+或利用公式n!=2πnnne12n,10<θ<,则a=2πnnne12nenn−nnnθn=2πne12n→∞,因此级数发散.3.应用逐项求导或逐项求积分等性质，求下列幂级数的和函数，并指出它们的定义域。∞2n∞xn⑴∑;⑵∑(n−1)x;n=02n+1n=1∞∞n+1nn−12n⑶∑()2−1x;⑷∑(−1)nx；n=0n=1∞∞nn1n⑸∑n(n+1)x；⑹∑(−1)x;n=1n=2n(n−1)∞∞nn2n−12n−2⑺∑x;⑻∑nx。n=1(n+1)n=1211+x【答案】.(1)|x|<1且x≠0时，ln，x=0时，1；（2）|x|<1时，2x1−x2x1x(1−x)；（3）|x|<1/2时，；（4）|x|<1时，；（5）23(1−x)(2x−1)(x−1)(1+x)2x|x|<1时，；（6）|x|<1时，(1+x)ln(1+x)−x；（7）|x|<1且x≠0时，3(1−x)2xln(1−x)x+2++1，x=0时，0；（8）|x|<2时，221−xx(x−2)4.证明：187 ∞4nx(4)(1)y=∑满足方程y=y;n=0(4n)!∞nx(2)y=∑满足方程xy′′+y"-y=0。2n=0(n!)∞4n∞4n−4∞4nx(4)xx【答案】(1)y=∑y=∑=∑=y.n=0(4n)!n=1(4n−4)!n=0(4n)!∞n∞n−1∞n−2xnxn(n−1)x(2)y=∑2,y′=∑2,y′′=∑2n=0(n!)n=1(n!)n=2(n!)∞n−1∞n−1∞nn(n−1)xnxx,xy′′+y′−y=∑∑2+2−∑2nn=21(n!)=(n!)n=0(n!)∞2n−1∞n∞2n−1∞n(n+n−n)xxnxx=∑2+1−1−∑2=∑2−∑2=0.n=2(n!)n=1(n!)n=2(n!)n=1(n!)5.应用幂级数性质求下列级数的和∞2∞1(n+1)n⑴∑n;⑵∑(−1)n;n=02n=03(2n+1)∞1∞n+1(−1)⑶∑n;⑷∑；n=1n⋅2n=13n−1∞∞n(n+2)1⑸∑n+1；⑹∑2n。n=14n=2(n−1)2313【答案】．（1）12；（2）π；（3）2ln;(4)−ln2+π;339∞k+1∞k+1∞∞(−1)(−1)3k−1k+13k−2k3k∑,记f(x)=∑x,0f(0)=,f"(x)=∑(−1)x=x∑(−1)xk=13k−1k=13k−1k=1k=0xxt11232x−13=,f(x)=dt=−ln(x+1)+ln(x−x+1)+arctan+π,1+x3∫01+t33631831333131135f(1)=−ln2+arctan+π=−ln2+π;(5);(6)−ln2+.提33318392748∞n11⎛11⎞1x示:利用=⎜−⎟,及∑=−ln(1−x).2n⎜⎟n+1(n−1)2⎝(n−1)(n+1)⎠2n=1n6.求下列函数在指定点的Taylor展开，并确定它们的收敛范围：x23，x=0;⑴1+2x-3x+5x，x0=1;⑵202−x−x⑶(1+x)ln(1-x),x0=0;⑷lnx，x0=2;⑸232xarctanx−ln1+x，x0=0;⑹4−x，x0=0;188 πx−1⑺sinx，x0=;⑻，x0=1;6x+1−xxsinte⑼∫dt，x0=0;⑽,x0=0。0t1−x23【答案】(1)5+11(x−1)+12(x−1)+5(x−1);⎛⎞xx1⎜11⎟1⎛∞∞xn⎞(2)==⎜−⎟=⎜∑xn−∑⎛⎜−⎞⎟⎟,1|x|<;2−x−x2(1−x)(2+x)3⎜1−xx⎟3⎜2⎟⎜1+⎟⎝n=0n=0⎝⎠⎠⎝2⎠∞xn∞xn∞xn+1∞xn∞xn(3)(1+x)ln(1−x)=(1+x)∑=∑+∑=∑+∑n=1nn=1nn=1nn=1nn=2n−1∞n(2n−1)x=x+∑,1|x|<.n=2n(n−1)∞n⎛x−2⎞⎛2−x⎞(4)lnx=ln(x−2+2)=ln2+ln⎜1+⎟=ln2+∑⎜⎟,2|x−2|<.⎝2⎠n=1⎝2⎠∞k−1∞k−12(−1)2k1(−1)k(5)xarctanx−ln1+x=∑x−∑x,1|x|<;k=12k−12k=1k1⎛x2⎞3∞⎛1⎞(−1)nx2n3233⎜⎟(6)4−x=4⎜⎜1−⎟⎟=4∑⎜3⎟n,2|x|<;⎝4⎠n=0⎝n⎠4⎛π⎛π⎞⎞π⎛π⎞π⎛π⎞(7)sinx=sin⎜⎜+⎜x−⎟⎟⎟=sincos⎜x−⎟+cossin⎜x−⎟⎝6⎝6⎠⎠6⎝6⎠6⎝6⎠1∞(−1)nπ2n3∞(−1)nπ2n+1⎛⎞⎛⎞=∑⎜x−⎟+∑⎜x−⎟,x∈R;2n=0(2n)!⎝6⎠2n=0(2n+1)!⎝6⎠∞x−1⎛1⎞11nx−1n+1(8)=(x−1)⎜⎟=(x−1)=∑(−1)(),2|x−1|<;x+1⎝2+x−1⎠21+x−1n=022∞k2k∞k2k∞k2k+1xsintx(−1)tx(−1)t(−1)x(9)∫0dt=∫0∑()dt=∑∫0()dt=∑.收敛范围tk=02k+1!k=02k+1!k=0(2k+1)(2k+1)!−∞0）;⑵f(x)=⎨;⎩0,x<0()ecos=−||x.⑶fxx2a111【解】(1)F(s)=;(2);(3)+.2222a+s2+is1+(s+1)1+(s−1)2.设f是(−∞,+∞)上绝对可积的可导函数。⑴证明f是偶函数时的Fourier积分2+∞∞+fx()=∫∫[f(t)cosωtdt]cosωxdω;π00⑵证明f是奇函数时的Fourier积分2+∞∞+fx()=∫∫[f(t)sinωtdt]sinωxdω.π001+∞+∞iω(x−t)【解】由于可导一定连续,因此∫∫dωf(t)edt=f(x),2π−∞−∞1+∞+∞即f(x)=∫∫dωf(t)()cosω(x−t)+isinω(x−t)dt,2π−∞−∞cosω(x−t)=cosωxcosωt+sinωxsinωt,sinω(x−t)=sinωxcosωt+cosωxsinωt,于是∞∞(1)当f(x)是偶函数时,∫f(t)sinωtdt=0,∫sinωxdx=0,上式变为−∞−∞2+∞∞+f(x)=∫∫[f(t)cosωtdt]cosωxdω.π00∞∞(2)当f(x)是奇函数时,∫f(t)cosωtdt=0,∫sinωxdx=0,上式变为−∞−∞2+∞∞+f(x)=∫∫[f(t)sinωtdt]sinωxdω.π003．利用1（1）和2（1）证明+∞cosωxπ−α|x|（1）dω=e;∫0α2+ω22α（2）设ϕ是[0,+∞)上绝对可积的可导函数，196 +∞1ϕ(y)cos(xy)dy=（x≥0），∫01+x2求ϕ(x).1∞−1isx【解】(1)利用习题1（1）和2（1）F[fˆ](x)=∫fˆ(s)eds,则2π−∞1∞2aisx−a|x|+∞cosωxπ−α|x|eds=e,于是dω=e;2π∫−∞a2+s2∫0α2+ω22α2+∞∞+−x−x(2)在1(1)中,a=1,e=∫∫[ecosωtdt]cosωxdω,而π001∞−t11−|x|ecosωtdt=,于是ϕ(x)=e.π∫0π1+ω24.证明离散的正交关系式N−1njnk1−2πi2πi∑eNeN=δ.j,kNn=0N−1−2πinj2πinkN−12πi()k−jn2π(k−j)i【解】∑eNeN=∑eN,注意到eN当k≠j时，是方程zN−1=0的n=0n=0N2π⎛(k−j)i⎞⎜eN⎟−1N−12π⎜⎟i()k−jn⎝⎠根，于是当k≠j时∑eN==0，当k=j时，和式的每一项2πn=0(k−j)ieN−1N−12πi()k−jn均为1于是∑eN=N.n=0197'