高等数学课后习题答案--第十章.pdf 20页

'《高等数学》习题参考资料第四篇常微分方程第十章常微分方程§1常微分方程的概念习题1．指出下列各题中的函数（或隐函数）是否为所给微分方程的解：（1）xy′=2y，y=5x；（2）y′′+4y=0，y=6sin2x−2cos2x；x（3）y′′−2y′+y=0，y=3xe+x；222x（4）(2xy−y)dx+(y+x+y)dy=0，x+y−+lny=0；y【解】(1)否;(2)是;(3)是;(4)是.2．验证下列函数是所给微分方程的特解：⎧y′−2xy=x3x21（1）⎨，y=e−；⎩y(0)=122⎧⎪y′′−3y′+2y=5x72x5（2）⎨，y=−5e+e+。⎪⎩y=1,y′=222x=0x=0【解】(1)是;(2)是.§2一阶常微分方程习题1.曲线yfx=()经过点(e,−1)，且在任一点处的切线斜率为该点横坐标的倒数，求该曲线的方程。1【答案】1.y"=,1y(e)=−.y2.已知曲线yfx=()在任意一点x处的切线斜率都比该点横坐标的立方根少1，⑴求出该曲线方程的所有可能的形式，并在直角坐标系中画出示意图。⑵若已知该曲线经过(,)11点，求该曲线的方程.44335【解】y"=3x−1.(1)y=x3−x+c;(2)y=x3−x+.444198 3.求下列微分方程的通解：dy22dy3⑴x=ylny;⑵(y+1)+x=0;dxdxdydy2dy⑶=x+a(y+);⑷sinxcosydx+sinycosxdy=0;dxdxdx22dyx+y⑸secxtanydx+secytanxdy=0;⑹=2;dx2dy1−yx+yxx+yy⑺=;⑻(e−e)dx+(e+e)dy=0;dx21−x−xdy−y⑼cosydx+(1+e)sinydy=0；⑽(x+1)+1=esinx。dx341(y+1)x【答案】(1)lny=−;(2)+=c;(3)y(c−aln(1+x+a)=1;lnx+c34x−y(4)cosxcosy=c;(5)tanxtany=c;(6)2;+2=cxy(7)arctanx−arctany=c,y=±1；（8）(e+1)(e−1)=c，0y=；xysinx+c（9）secy(1+e)=c；（10）e=−cosx。1+x4.求下列微分方程的解：dy2x+y⑴=e，y(0)=0;⑵xdy+2ydx=0;1y(1)=dx−xπ⑶cosydx+(1+e)sinydy=0，y(0)=;4π⑷sinxcosydx+sinycosxdy=0，y(0)=。4199 2x−y2【答案】（1）0e−3+2e=；（2）xy=1；（3）x2(1+e)secy=22；（4）cosxcosy=.25.镭的衰变速度与它的现存量成正比，设t时有镭Q克，经1600年它的量减少了00一半，求镭的衰变规律。ln2dQln2−(t−t0)【解】5．=−kQ，k=，Q(t)=Qe1600.0dt16006.将A物质转化为B物质的化学反应速度与B物质的浓度成反比，设反应开始时有B物质20%，半小时后有B物质25%，求B物质的浓度的变化规律。291【答案】.u=t+.200257.核反应堆中，t时刻中子的增加速度与当时的数量Nt()成正比。设NN()0=，0证明tt⎛N(t)⎞1⎛N(t)⎞2⎜2⎟=⎜1⎟。⎜N⎟⎜N⎟⎝0⎠⎝0⎠【解】方程的解是N(t)=Nekti,i=1,2,消去k即得.i0338.一个1000米的大厅中的空气内含有a%的废气，现以1米／分钟注入新鲜空气，混合后的空气又以同样的速率排出，求t时刻空气内含有的废气浓度，并求使废气浓度减少一半所需的时间。【解】设大厅中的空气内含有废气量x(t),浓度ρ(t),于是在t到t+dt时刻内废气的x(t)减少量−dx,它等于排出的废气量ρ(t)dt×1=ρ(t)dt.而ρ(t)=,于是Vtx(t)dtdxdt−−dx=,=−,解得x(t)=Ce1000,x(0)=1000a,C=1000a,Vx(t)1000tT−−x(t)=1000ae1000,500a=1000ae1000,T=1000ln2(分).9.设[t,t+dt]中的人口增长量与p−pt()成正比，试导出相应的人口模型，画出max人口变化情况的草图并与Malthus和Verhulst人口模型加以比较。dppM−p0【解】=k(p−p)，p=p−.MMdt(p−p)kt+1M0200 10.半径为1米，高为2米的直立的圆柱形容器中充满水，拔去底部的一个半径为1厘米的塞子后水开始流出，试导出水面高度h随时间变化的规律，并求水完全流空所需的时间（水面比出水口高h时，出水速度v=2gh。）2dhr【解】.=2gh，h(0)=H=200cm，R=100cm,r=1cm，解得2dtR222hRR2t+c=−,代入数据和初值得t=()H−h,h=0,则22grrg2R2H2×200T==10000≈6389(秒)≈1小时46分29秒2rg98011.求下列齐次方程的通解：dy22222⑴x=y−x+y;⑵(x+y)dx+(xy−2x)dy=0;dx332dyy⑶(x+y)dx−2xydy=0;⑷x=yln;dxx222dyy+xx+y⑸=。dxxy22【答案】（1）y+x+y=c；2212y−2xy+x32y−x（2）lnx+ln−arctan=c；24x2x3（3）y3=x3+cx2；yc+x（4）ln=;xc2⎛y⎞2（5）⎜⎟=(lnx+c)−1.⎝x⎠12.求下列齐次方程的解：dyxy⑴=+，y(1)=2;dxyx2222⑵(x+2xy−y)dx+(y+2xy−x)dy=0，y(1)=1;222⑶(x+y)dx+(xy−2x)dy=0，y(1)=0。42x+14112【答案】（1）y(x)=；（2）y(x)=+1+4x−4x；2x222212y−2xy+x32y−x3π（3）通解为lnx+ln−arctan+c=0，c=−；24x2x813.将下列方程化为齐次方程后求出通解：201 ⑴(x+2y+1)dx+(2x−y−3)dy=0;⑵(3x−2y+1)dx+(x−4y−3)dy=0;⑶(2x+2y+1)dx+(x+y−1)dy=0。222c(x−1)−5c(x−1)+1【答案】（1）y=−1+；c7159（2）(4y−3x+1)20(4y+x+5)8=c(x+1)40；（3）3.ln(x+y+2)−2x−y=c14.上凸曲线yfx=()经过点(0,0)和(1,1)，且对于曲线上任一点P(x,y)(00,c>0）的解，证明dxlimy(x)=0。x→+∞−cxbe−ax【答案】y(,x)=+Ce显然limy(x)=0.0a−cx→+∞26．设函数f(t)在[1,+∞)上具有连续导数。若曲线y=f(x)，直线x=1，x=t（t>1）与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为π2V=[tf(t)−f(1)]，32试求f(x)满足的微分方程，并求该方程的满足条件y=的解。x=29t2π22π2【解】π∫1(f(x))dx=[tf(t)−f(1)],对t求导得π(f(t))=(2tf(t)+tf"(t)),33x2x解得y=.方程满足条件y=,因此得y=f(x)=.3x=231+cx91+x《高等数学》习题参考资料第十章常微分方程§3二阶线性微分方程习题1.求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解：22dydydy⑴+5+6y=0;⑵−9y=0;2dx2dxdx22dydydy⑶+4y=0;⑷4−20+25y=0;22dxdxdx22dydydydy⑸−6+9y=0;⑹+4=0;2dx2dxdxdx205 324dydydydy⑺−5+6=0;⑻−ay=0;32dx4dxdxdx42432dydydydydy⑼+2+y=0;⑽−2+=0。42432dxdxdxdxdx3x2x3x−3x【解】(1)ce+ce;(2)ce+ce;(3)csin2x+csin2x;12121255xx(4)ce2+cxe2;(5)(c+cx)e3x;(6)ce−4x+c;(7)121212443x2x44ax−axc+ce+ce;(8)ccosax+csinax+ce+ce,(a>0);1231234⎛⎜22⎞⎟4⎛⎜22⎞⎟4⎛⎜22⎞⎟4⎛⎜22⎞⎟4−+i−ax+i−ax−i−ax−−i−ax⎜⎝22⎟⎠⎜⎝22⎟⎠⎜⎝22⎟⎠⎜⎝22⎟⎠ce+ce+ce+ce,(a<0);(9)1234xxcsinx+ccosx+cxsinx+cxcosx;(10)c+cx+ce+cxe.123412342.求下列二阶常系数齐次线性微分方程的特解：2dy⑴+4y=0，y(0)=0，y′(0)=1;2dx2dy⑵−9y=0，y(0)=2，y′(0)=1;2dx2dydy⑶++y=0，y(0)=-1，y′(0)=0;2dxdx2dydy⑷−4+4y=0，y(0)=2，y′(0)=0;2dxdx2dydy⑸+5−6y=0，y(0)=5，y′(0)=-1;2dxdx32dydydy⑹−5+6=0，y(0)=0，y′(0)=1，y′′(0)=2。32dxdxdx11【解】(1)sin2x;(2)2cos2x+sin2x;(3)22xx−33−32x2x29x6−6x−e2cosx−e2sinx;(4)2e−4xe;(5)e+e;23277112x(6)−+e.222dydy3.已知齐次线性方程(x−1)−x+y=0的一个解是y=x，求非齐次线性方2dxdx程2dydy2(x−1)−x+y=(x−1)2dxdx的通解。206 2dydy2【解】设(x−1)−x+y=(x−1)的另一个解为y=xu(x),代入方程得到2dxdx()()2(x−1)2u"(x)+xu"(x)−xu(x)+xu"(x)+xu(x)=(x−1),即222du"−x+2x−2x−12(x−1)u"+x(x−1)u"−xu"=(x−1),+u"=,dxx(x−1)x2x−1xx−1c1x1u"(x)=ce−,u(x)=e−x−+c.于是方程的通解为1222xxxxx2y(x)=xu(x)=ce+cx−x−1.122xdydy4.已知y=e是齐次线性方程(2x−1)−(2x+1)+2y=0的一个解，求它的2dxdx通解。x【解】y(x)=ce+c(1+2x).122dy5.求非齐次线性方程+y=secx的通解。2dx【解】y(x)=cxsinx+ln(cosx)cosx+csinx+ccosx.126.求下列二阶常系数非齐次线性微分方程的通解：322dydydy3dydy⑴−5+6=x−2x+1;⑵−3=x;32dx2dxdxdxdx22dy3x2dy⑶−9y=e)(x+1;⑷+4y=xcos2x;22dxdx22dydyxdydy⑸−6+9y=xesinx;⑹−4−5y=xsinx;2dx2dxdxdx22dydy2dyx⑺+5+6y=(x−2)cosx;⑻+y=cos2x+e;2dx2dxdx22dy2dydy2⑼−y=xsinxcosx;⑽4−20+25y=sinx。22dxdxdx417253143x2x【解】(1)x+x+x+x+c+ce+ce;12321672362413x−3x3x−3x⎛12119⎞3x(2)−x+c1e+c2e;(3)c1e+c2e+⎜x−x+⎟xe;3⎝1836108⎠1121(4)xcos2x+xsin2x−sin2x+ccos2x+csin2x;121683222x4x4x3x3x3x(5)ecosx+xecosx+esinx+xesinx+ce+cxe;121252512525129315x−x(6)xcosx−cosx−xsinx−sinx+ce+ce;121333826169207 5112219121(7)−cosx+xcosx−xcosx−sinx+xsinx−xsinx2501025250105−2x−3x+ce+ce;122211x(8)−cosx++e+csinx+ccosx;123322x−x⎛x11⎞4(9)ce+ce+⎜−+⎟sin2x−xcos2x;12⎜⎟⎝10125⎠25551920xx(10)−cos2x+sin2x+ce2+cxe2.1250336216817.求下列二阶常系数非齐次线性方程的特解：2dydy2⑴−3=x，y(0)=0，y′(0)=1;2dxdx2dy3x2⑵−9y=e)(x+1，y(0)=-1，y′(0)=0;2dx2dydy⑶++y=xsinx，y(0)=2，y′(0)=1;2dxdx2dydyx⑷−6+9y=xesinx，y(0)=2，y′(0)=0;2dxdx2dydy2⑸++y=cosx，y(0)=2，y′(0)=1。2dxdx29293x21213【解】(1)−+e−x−x−x;818127993433x305−3x3x131219(2)−e−e+e(x−x+x);6486481836108x23−3(3)e2sinx+2sinx+(−x+2)sinx;324x22x3x4x2283x1463x(4)xecosx+ecosx+xesinx+esinx+e−xe.2512525125125258.如图10.3.5所示。一质量为m的球，用长为l的细线挂在O点，在地球引力下作往复摆动。如不计线的质θ量，而且θ比较小，以至于可假设sinθ≈θ，求此摆球的运动方程。2dθg图10.3.5【解】mlθ=−mgsinθ,+θ=0,2dtl9．当λ为何值时，定解问题208 ⎧y′′+λy=0,⎨⎩y(0)=0,y′(π)=0有非零解，并解此定解问题。【解】λ≤0时方程无非零解，λ>0，方程的通解y(x)=ccosλx+csinλx，由y(0)=0得c=0,由y′(π)=0得cosλπ=0,12121⎛1⎞于是λ=k+,λ=⎜k+⎟,k=0,1,2,".2⎝2⎠10．设f(x)是连续函数，且满足xxf(x)=e+∫(x−t)f(t)dt，0求f(x).x【解】f(x)满足方程f"(x)=e+f(x)，f(0)=1,　，f"(0)=1解得1x3x1−xf(x)=xe+e+e.24411．设f(x)在(−∞,+∞)上具有连续的二阶导数，且f(0)=0，f′(0)=1。试确定2f(x)，使得在R上成立du(x,y)=y[f′′(x)+3x]dx+[2f′(x)+f(x)]dy，并求u(x,y)。∂Q∂P【解】=,P=y[f""(x)+3x],Q=2f"(x)+f(x),于是∂x∂yf""(x)+3x=2f""(x)+f"(x),即f""(x)+f"(x)−3x=0,f(0)=0,f′(0)=1.解得223x−x3x−xy(x)=−ce−3x+c,代入初值得y(x)=−4e−3x+4.1222x12．设有方程ϕ(x)y′′+y′−2y=e，其中⎧0,x<0,ϕ(x)=⎨⎩1,x>0.求在(−∞,+∞)上的连续函数y=y(x)，使之在(−∞,0)和(0,+∞)上都满足上述方21程，且满足条件y(1)=−e，y(−1)=−。3ex2xx【解】若x<0,方程为y"(x)−2y(x)=e,解得y(x)=ce−e,代入初值11xxy(−1)=−,解得y(x)=−e.y(0)=−1.若x>0,方程为y′′+y′−2y=e,111ex−2x1x解得y(x)=ce+ce+xe,由于在(−∞,+∞)上连续,得y(0)=−1,又2122322−21y(1)=−e,代入解的表达式得−1=c+c,−e=ce+ce+e,21212333209 −3x1xc+ce=−1,解得c=−1,c=0,于是y(x)=−e+xe,总之121223x⎧−e,x≤0⎪y(x)=⎨x1x.−e+xe,x>0⎪⎩313．求下列Euler方程的通解：2322dydy3dy2dydy⑴x−x+2y=0;⑵x−x+2x−2y=0;2dx32dxdxdxdx22dy2dyn(n+1)2dydy⑶+−y=0;⑷(1+x)+(1+x)+y=0;dx2xdx22dxxdx323dydy22dydy2x+2x−2y=xlnx+3xx−2x+2y=lnx−2lnx;⑸3dx⑹2dxdxdx;2【解】(1)cxcos(lnx)+cxsin(lnx);(2)cx+cx+cxlnx;12123n−(n+1)(3)cx+cx;(4)ccos(ln(x+1))+cxsin(ln(x+1)),(x+1>0);1212122(5)xlnx−x+3xlnx+cx+cxsinlnx+cxcoslnx;123212112(6)(lnx)+lnx++cx+cx.12224《高等数学》习题参考资料第十章常微分方程§4可降阶的高阶微分方程习题1.求下列微分方程的通解：23dy2dyx⑴=lnx−cosx;⑵−xe=0;23dxdx22dydydydy2⑶x+=0;⑷y=()−1;2dx2dxdxdx22dy1dydy3dy⑸=;⑹=(;)+22dxdxdxydx42⑺(y′′)+5y′′=x;⑻xy′′′+y′′=x;2⑼y′′′=2(y′′−1)cotx;⑽xyy′′+x(y′)−yy′=0；210 22⑾yy′′−(y′)=ylny；⑿y′′′+4y′′=0。(4)2⒀y−y′′′−2y′′=x；1212【解】(1)y(x)=x(lnx−2)+cosx+cx+c1224x2（2）y(x)=(x−3)e+cx+cx+c;123（3）y(x)=c+clnx;1122dydp2d(p−1)2dy⎛dy⎞22dy（4）=p,yp=p−1,=,⎜⎟=cy+1,=±dx,dxdyp2−1ydx2⎝⎠1+(cy)22±cxln(cy+1+(cy))=±cx+d,或cy+1.+(cy)=ce21dydp−dydy（5）=p,p=y2,pdp=,p==4,y+cdxdyydx(2y−c)4y+c=6x+c;1dydp3dp2（6）=p,p=p+p,或p=0,y=c,或=p+1,arctanp=y+c,dxdydydyx=tan(y+c),ln|sin(y+c)|=x+d.sin(y+c)=ce;1dxddyddy4ddydtdxdtdx（7）用参数方程方法.令y",=t则x=t+5t,=t,=t,即=t,dx3dxdx4t+5dt5252ddy4dy4t5tdy⎛4t5t⎞3=4t+5t,=++c,=⎜++c⎟(4t+5),1⎜1⎟dtdxdx52dt⎝52⎠4169764253x(t)=t+5t,y(t)=t+t+ct+t+5ct+c.11245364x（8）y(x)=+cx(lnx−1)+cx+c;12336dpdpdp(9)y"=py′′′=,=2(p−1)cotx,=2cotx,dxdx(p−1)22dy222xln|p−1|=2ln|sinx|+c,=csinx+1,y(x)=c(x−sinx)+cx+c+;2123dx222112（10）y=u，u"=2(y"+yy")，方程变为xu"−u"=0，u=cx+d，即22211 22y=cx+d，2dydp2222dy2（11）=p−p=2ylny，)p=y(c+(lny)，=±yc+(lny)，11dxdydx2±x积分得lny+c+(lny)=ce12−4x（12）y(x)=c+cx+ce;123342−x2xxx3x（13）y(x)=ce+ce+cx+c+−−1234122482.求下列微分方程的特解：2dyx⑴−xe=0，y(0)=y′(0)=0;2dx3dyx⑵−xe=0，y(1)=y′(1)=y′′(1)=0;3dx2dydy2⑶=()，y(0)=0，y′(0)=-1;2dxdx2dy⑷=3y，y(0)=1，y′(0)=2;2dx2dydy2⑸+()=1，y(0)=y′(0)=0;2dxdx23dy⑹y+1=0，y(1)=1，y′(1)=0;2dxxxxx【解】（1）y=xe−2e+cx+c,y=xe−2e+x+2;12xx2xx（2）y(x)=xe−3e+cx+cx+c,xe−3e+ex+e312（3）y(x)=−ln(cx+c),y(x)=−ln(x+1)12333dp2dy−（4）p=3y,p=4y2+c,p(1)=2,c=0,=4y2,y4dy=2dx,dydx14⎛1⎞4y4=2x+d,y(0)=1,d=4,y(x)=x+1⎟;⎜⎝2⎠−2x−2x（5）y(x)=x+ln(ce+c),y(x)=x+ln(e+1)−ln2;123dp1211dy1（6）yp=−1,p=+c,p(1)=0,c=−,=−1,22dx22y2dxy212 ydy22=dx,积分代入初值得y=2x−x;21−y3．设一质量为m的物体，在空气中由静止开始下落，如果空气阻力与物体下落速度v的平方成正比，试求物体下落的距离s与时间t的函数关系。22⎛ds⎞ds【解】mg−k⎜⎟=m2,s(0)=s0,s"(0)=0,解得⎝dt⎠dt⎛2mln2mg1⎛4kgt2kgt⎞⎞s(t)=⎜−−t+ln2s+ln⎜em+2em+1⎟⎟⎜0⎟kk2⎜⎟⎝⎝⎠⎠⎛2mln2mg1⎛4kgt2kgt⎞⎞若s=0,则s(t)=⎜−−t+ln⎜em+2em+1⎟⎟0⎜⎟kk2⎜⎟⎝⎝⎠⎠24．求yy′′+1=0的积分曲线方程，使得该积分曲线通过(0,1/2)点，且在该点处的切线斜率为2。2dp2dpdyp1【解】令y"=p,y""=p,方程变为yp+1=0,pdp=−,=+c,2dydyy2y31dy22y=,p=2,得c=0,=±,ydy=±2dx,y2=±2x+c,积分曲线2dxy33⎛3⎞213⎜⎛1⎞2⎟通过(0,1/2)点,于是c=,得y2−=±2x.⎜⎟3⎜⎟32⎜⎝2⎠⎟22⎝⎠5．设函数y(x)（x≥0）二阶可导，且y′(x)>0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线。将上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S，区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S，并设2S−S恒1212为1，求曲线y=y(x)的方程。221(f(x))x(f(x))x【解】2×−∫f(t)dt=1,于是−∫f(t)dt=1,求导得2f"(x)0f"(x)0222ff"−ff"222−f=0,或2yy"−yy""−yy"=0,令y"=p(y),y""=p"p,方程改写2(f")dycx为p−yp"=0.解得p=cy,即=cy,因此y(x)=ce,y(0)=1,得c=1,于11dxcx是曲线为y=e,c是任意常数.213 《高等数学》习题参考资料第十章常微分方程§5微分方程的幂级数解法习题1.应用幂级数解法求解下列微分方程:dydy⑴x=3y+3;⑵(x−3)−xy=0;dxdx2dydy⑶−3+2y=0;2dxdx2dydy⑷x−(x+m)+my=0，m为正整数。2dxdx3(1)y(x)=−1+cx;(2)a=c,a=0,3(n+1)a=na−a,n=1,2,3,",01n+1nn−1⎛121314151617⎞y=c⎜1+x−x+x+x+x+x+"⎟⎝6272162701296222680⎠∞n∞nnx2x(3)y(x)=c1∑+c2∑n=0n!n=0n!(4)m+1⎛1121n⎞y(x)=cx⎜1+x+x+"+x+"⎟1⎜⎟⎝m+2(m+2)(m+3)(m+2)(m+3)"(m+n+1)⎠∞nx+c2∑n=0n!2.用幂级数解法求解下列定解问题:⎧dy−x2⎪=e,⑴⎨dx⎪⎩y(0)=1;2⎧dydy⎪x−x+y=0,2⑵⎨dxdx⎪⎩y(0)=0,y′(0)=1.214 ∞∞n2n∞∞n2nn−1(−1)xn(−1)x(1)∑nanx=∑,∑(n+1)an+1x=∑,n=1n=0n!n=0n=0n!k∞k(−1)(−1)2k+1(2k+1)a2k+1=,a2k=0,k=1,2,…,y(x)=c+∑x(k)!k=0(2k+1)k!(2)y(x)=x.《高等数学》习题参考资料第十章常微分方程§6常系数线性微分方程组简介习题1.求下列齐次线性方程组的通解：⎧dy1⎧dy1=−5y−y=−5y−y⎪dx12⎪dx12⑴⎨;⑵⎨;dydy⎪2=2y−3y⎪2=−3y+y1212⎩dx⎩dx⎧dy1=2y+y+2y⎧dy⎪dx1231=2y+4y⎪dx12⎪⎪dy2⑶⎨dy;⑷⎨=−y1−2y3;2dx⎪=−y+2y⎪12dy⎩dx⎪3=y3⎪⎩dx⎧dy1⎧dy1=−y+y+y=14y+66y−42y⎪dx123⎪dx123⎪⎪dy2⎪⎪dy2⑸⎨=y1−y2+y3;⑹⎨=4y1+2y2−14y3。dxdx⎪⎪dydy⎪3=y+y−y⎪3=10y+55y−33y⎪123⎪123⎩dx⎩dx−4x⎧y(x)=e(Csinx+Ccosx)112⎪【答案】（1）⎨；⎪−4xy(x)=−e(C(sinx+cosx)+C(cosx−sinx))⎩212⎧⎪y(x)=(Ce2(3−1)x+Ce−2(3+1)x)112（2）⎨；2(3−1)x2(3+1)x⎪⎩y(x)=−(23+3)Ce+(23−3)Ce2122x⎧y(x)=e(Csin2x+Ccos2x)⎪112（3）⎨12xy(x)=e(Ccos2x−Csin2x)⎪112⎩2215 x⎧y(x)=−e(C+C(x+1)+2C)1123⎪x（4）⎨y2(x)=e(C1+C2x)⎪xy(x)=Ce⎩33−2xx⎧y(x)=Ce+Ce123⎪−2xx（5）⎨y2(x)=C1e+C3e⎪−2x−2xxy(x)=−Ce−Ce+Ce⎩3123（6）1919⎧2x−2x1495−2x1495⎪y1(x)=C1e+C2esinx+C3ecosx⎪2219⎛⎞⎪1−x⎛14951495⎞⎛14951495⎞⎨y(x)=e2⎜C⎜23sinx+1495cosx⎟+C⎜23cosx−1495sinx⎟⎟2132⎜2⎜22⎟3⎜22⎟⎟⎪⎝⎝⎠⎝⎠⎠⎪191922x5−x14955−x1495⎪y(x)=Ce+Ce2sinx+Ce2cosx3123⎩762622.求下列非齐次线性方程组的通解：⎧dy1x⎧dy1=−5y−y+e=y⎪dx12⎪dx2⑴⎨;⑵⎨;⎪dy22x⎪dy2x−x=y−3y+e=y+e+e121⎩dx⎩dx⎧dy12+y+y=x⎧dy⎪dx121x=−5y−y+7e−27⎪dx12⎪⎪dy2⑶⎨dy;⑷⎨+y2+y3=2x。⎪2x⎪dx=2y−3y−e+1212dy⎩dx⎪3+y=x3⎪⎩dx⎧−4x−4x12x4xy(x)=Cxe+Ce−e+e⎪112【答案】（1）⎨3625⎪−4x−4x72x1xy(x)=−C(x+1)e−Ce+e+e112⎩3625⎧x−x1x1x1−x1−xy(x)=Ce+Ce−e+xe−xe−e⎪112（2）⎨4224⎪x−x1x1x1−x1−xy(x)=Ce−Ce+e+xe+xe−e212⎩4224216 ⎧−4x−4x9329xy(x)=Cecosx+Cesinx−+e⎪112（3）⎨1726⎪−4x−4x4x6y(x)=Ce(sinx−cosx)−Ce(sinx+cosx)−e+212⎩1317⎧−x−x12−x2y(x)=Ce−Cxe+Cxe+x−3x+3⎪11232⎪−x−x（4）⎨y2(x)=C2e+C3xe+x⎪−xy(x)=Ce+x−1⎪33⎩3.利用Euler方程的求解法求下列方程组的通解：⎧dy1x+6y−y−3y=0⎧dy⎪dx1231x=y+3y⎪dx12⎪⎪dy2⑴⎨dy;⑵⎨x+23y1−6y2−9y3=0。2dx⎪x=y−y⎪12dy⎩dx⎪x3+y+y−2y=0123⎪⎩dx2−2⎧y(x)=Cx+Cx⎪112【答案】（1）⎨C12−2y(x)=x−Cx⎪22⎩3⎧−x−x12−xy(x)=Ce−Cxe+Cxe−3x+3⎪11232⎪−x−x（2）⎨y2(x)=C2e−C3xe+x⎪−xy(x)=Ce+x−1⎪33⎩217'