《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社1.doc 25页

'概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A（2）AB（3）ABC（4）A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=(5)=(6)25 (7)BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪(8)AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（）.【解】P（）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=++-=7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；25 （3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）==（）5（亦可用独立性求解，下同）（2）设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P（A2）==()5(3)设A3={五个人的生日不都在星期日}P（A3）=1-P(A1)=1-()59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n30.如图阴影部分所示.22.从（0，1）中随机地取两个数，求：25 （1）两个数之和小于的概率；（2）两个数之积小于的概率.【解】设两数为x,y，则0乙反）由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）因此P(甲正>乙正)=46.证明“确定的原则”（Sure-thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|)≥P(B|)，则P（A）≥P(B).【证】由P（A|C）≥P(B|C),得即有同理由得故47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,…,n）,则25 其中i1,i2,…,in-1是1，2，…，n中的任n-1个.显然n节车厢全空的概率是零，于是故所求概率为25 48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.【证】在前n次试验中，A至少出现一次的概率为49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}B={这只硬币为正品}由题知则由贝叶斯公式知50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？25 【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2n-r次，设n次取自B1盒（已空），n-r次取自B2盒，第2n-r+1次拿起B1，发现已空。把取2n-r次火柴视作2n-r重贝努里试验，则所求概率为式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.（2）前2n-r-1次取火柴，有n-1次取自B1盒，n-r次取自B2盒，第2n-r次取自B1盒，故概率为51.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】设在一次试验中A出现的概率为p.则由以上两式相减得所求概率为若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得.52.设A，B是任意两个随机事件，求P{（+B）（A+B）（+）（A+）}的值.25 【解】因为（A∪B）∩（∪）=A∪B（∪B）∩（A∪）=AB∪所求故所求值为0.53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：ABC=F，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.【解】由故或,按题设P（A）<,故P（A）=.54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）.【解】①②故故③25 由A,B的独立性，及①、③式有故故或（舍去）即P（A）=.55.随机地向半圆00,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小.(2006研考)解：因为所以.25'