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  • 2022-04-22 11:29:03 发布

《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社1.doc

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'概率论与数理统计习题及答案习题一1.略.见教材习题参考答案.2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:(1)A发生,B,C都不发生;(2)A与B发生,C不发生;(3)A,B,C都发生;(4)A,B,C至少有一个发生;(5)A,B,C都不发生;(6)A,B,C不都发生;(7)A,B,C至多有2个发生;(8)A,B,C至少有2个发生.【解】(1)A(2)AB(3)ABC(4)A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=(5)=(6)25 (7)BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪(8)AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P().【解】P()=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求:(1)在什么条件下P(AB)取到最大值?(2)在什么条件下P(AB)取到最小值?【解】(1)当AB=A时,P(AB)取到最大值为0.6.(2)当A∪B=Ω时,P(AB)取到最小值为0.3.6.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.【解】P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=++-=7.从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】p=8.对一个五人学习小组考虑生日问题:(1)求五个人的生日都在星期日的概率;(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;25 (3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设A1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故P(A1)==()5(亦可用独立性求解,下同)(2)设A2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故P(A2)==()5(3)设A3={五个人的生日不都在星期日}P(A3)=1-P(A1)=1-()59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件,其中M件正品.从中随机地取出n件(n30.如图阴影部分所示.22.从(0,1)中随机地取两个数,求:25 (1)两个数之和小于的概率;(2)两个数之积小于的概率.【解】设两数为x,y,则0乙反)由对称性知P(甲正>乙正)=P(甲反>乙反)因此P(甲正>乙正)=46.证明“确定的原则”(Sure-thing):若P(A|C)≥P(B|C),P(A|)≥P(B|),则P(A)≥P(B).【证】由P(A|C)≥P(B|C),得即有同理由得故47.一列火车共有n节车厢,有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设Ai={第i节车厢是空的},(i=1,…,n),则25 其中i1,i2,…,in-1是1,2,…,n中的任n-1个.显然n节车厢全空的概率是零,于是故所求概率为25 48.设随机试验中,某一事件A出现的概率为ε>0.试证明:不论ε>0如何小,只要不断地独立地重复做此试验,则A迟早会出现的概率为1.【证】在前n次试验中,A至少出现一次的概率为49.袋中装有m只正品硬币,n只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只,将它投掷r次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少?【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}B={这只硬币为正品}由题知则由贝叶斯公式知50.巴拿赫(Banach)火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴,每盒有N根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r根的概率又有多少?25 【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件,则有.(1)发现一盒已空,另一盒恰剩r根,说明已取了2n-r次,设n次取自B1盒(已空),n-r次取自B2盒,第2n-r+1次拿起B1,发现已空。把取2n-r次火柴视作2n-r重贝努里试验,则所求概率为式中2反映B1与B2盒的对称性(即也可以是B2盒先取空).(2)前2n-r-1次取火柴,有n-1次取自B1盒,n-r次取自B2盒,第2n-r次取自B1盒,故概率为51.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】设在一次试验中A出现的概率为p.则由以上两式相减得所求概率为若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率,则只要将两式相加,即得.52.设A,B是任意两个随机事件,求P{(+B)(A+B)(+)(A+)}的值.25 【解】因为(A∪B)∩(∪)=A∪B(∪B)∩(A∪)=AB∪所求故所求值为0.53.设两两相互独立的三事件,A,B和C满足条件:ABC=F,P(A)=P(B)=P(C)<1/2,且P(A∪B∪C)=9/16,求P(A).【解】由故或,按题设P(A)<,故P(A)=.54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,求P(A).【解】①②故故③25 由A,B的独立性,及①、③式有故故或(舍去)即P(A)=.55.随机地向半圆00,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小.(2006研考)解:因为所以.25'