医用高等数学答案.pdf 128页

'第1章函数与极限151kπ(k=±1,±2,⋯)为第Ⅱ类间断点.21.4习题解答本节给出了由张选群教授主编,人民卫生出版社出版的统编教材《医用高等数学》习题的解题思路及参考解题过程.1.求下列函数的定义域(1)y=(x+2)(x-1).解由(x+2)(x-1)≥0定义域为(-∞,-2]∪[1,+∞).(2)y=arccos(x-3).解由-1≤(x-3)≤1定义域为[2,4].x-1(3)y=lg.x+2x-1解由>0定义域为(-∞,-2)∪(1,+∞).x+2ln(2+x)(4)y=.x(x-4)解由ln(2+x)≥0(2+x)≥1x≥-1;又x≠0,x≠4从而定义域为[-1,0)∪(0,4)∪(4,+∞).11(5)y=+arcsinx-1.222-x2解由(2-x)>0-20.1111解f(0)=,f=-,flg=f(-lg2)=1+222222(-lg2)=1+(lg2).3.设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域11(1)y=fx++fx-.331120≤x+≤1-≤x≤33312解由定义域为,.114330≤x-≤1≤x≤333(2)y=f(sinx).解由0≤sinx≤1定义域为[2kπ,(2k+1)π](k=0,±1,±2,⋯).(3)y=f(lnx+1).11解由0≤lnx+1≤1≤x≤1定义域为,1.ee2(4)y=f(x).2解由0≤x≤1-1≤x≤1定义域为[-1,1].4.写出y关于x的复合函数(1)y=lgu,u=tan(x+1).解y=lg[tan(x+1)].32(2)y=u,u=x+1.32解y=(x+1)2.3(3)y=u+sinu,u=1-v,v=x.33解y=1-x+sin(1-x). 第1章函数与极限17u21(4)y=e,u=v,v=sinw,w=.x21解y=expsin.x5.指出下列各函数是由哪些基本初等函数或简单函数复合而成arctan(2x+1)(1)y=e.u解y=e,u=arctanv,v=2x+1.3(2)y=sin(x+2).3解y=u2,u=sinv,v=x+2.1+x(3)y=tan.1-x1+x解y=tanu,u=v,v=.1-x32(4)y=coslnx+1.312解y=cosu,u=v,v=lnw,w=x+1.2x2xx6.已知f(e+1)=e+e+1,求f(x)的表达式.x2xxx2x解f(e+1)=e+e+1=(e+1)-(e+1)+1f(x)=2x-x+1.121kπ7.已知ftanx+=tanx+2+3,x≠(k=0,tanxtanx2±1,±2,⋯),求f(x)的表达式.21211解ftanx+=tanx+2+3=tanx++tanxtanxtanx21f(x)=x+1.8.求下列函数的极限1(1)lim(n+1-n)=lim=0;n→∞n→∞n+1+n 18医用高等数学学习指导nsinn1(2)lim=limsinn;n→∞n+1n→∞n+1/n因为对于任意的自然数n,有110≤sinn≤,n+1/nn+1/n注意到1lim0=lim=0,n→∞n→∞n+1/n由夹逼法则得1limsinn=0,n→∞n+1/n即1limsinn=0,n→∞n+1/n故nsinnlim=0.n→∞n+112n-111(3)lim2+2+⋯+2=lim2·(n-1)nn→∞nnnn→∞n2111=lim1-=.n→∞2n29.求下列函数的极限3x-12(1)lim=lim(x+x+1)=1;x→-1x-1x→-12x-1(x+1)(x-1)x+12(2)lim2=lim=lim=;x→12x-x-1x→1(2x+1)(x-1)x→12x+13121-2x-1x1(3)lim2=lim=;x→∞3x-x-1x→∞1133--2xx 第1章函数与极限192x-5x+42x-1(4)因为lim=0,所以lim2=∞;x→12x-1x→1x-5x+4x+13-2x+13(3-x)(5)lim2=lim2x→3x-9x→3(x-9)(x+13+2x+1)-31=lim=-;x→3(x+3)(x+13+2x+1)162x+1-1x1(6)lim=lim=limx→+∞xx→+∞x2+1+1x→+∞111+2+xx=1;12x-1-11(7)lim-2=lim2=lim=-;x→11-x1-xx→11-xx→11+x22xx2sinsin1-cosx22(8)lim=lim=limx→0xsinxx→0xxx→0xx·2sincosxcos222xsin21=lim=;x→0xx22··cos22πππ(9)lim(1-x)tanx=limttan(1-t)=limtcottx→12t→02t→02πt22π2=lim·cost=;t→0ππ2πsint2tanx-sinxsinx11-cosx(10)lim3=lim··2x→0xx→0xcosxx2xsinsinx121=lim··=;x→0x2cosxx22 20医用高等数学学习指导2212(11)limx1-x=lim(1-t)t=lim(1-t)-tx→1t→0t→0122=lim(1-t)-t=e;t→011-3(12)lim(1-3x)x=lim(1-3x)-3xx→0x→01-3-3=lim(1-3x)-3x=e;x→0x-1x-1x-12(13)lim=lim1-x→∞1+xx→∞1+xx+1-222=lim1-1-x→∞1+x1+xx+1-2-22-22=lim1-1-x→∞1+x1+xx+1-2-22-22-2=lim1-lim1-=e;x→∞1+xx→∞1+x11+ln(1+x)x+ln(1+x)x(14)lim=limx→03x-ln(1+x)x→013-ln(1+x)x11+ln(1+x)x1+1=lim1==1;x→03-ln(1+x)x3-1ln(2+x)(15)lim3x→-11+2x+121[(1+2x)3-(1+2x)3+1]ln(2+x)=limx→-11+2x+13ln(2+x)3ln(1+t)31=lim=lim=limln(1+t)t2x→-11+x2t→0t2t→0313=lnlim(1+t)t=;2t→02x+1x+1x+12x+321(16)lim=lim1+=lim1+x→∞2x+1x→∞2x+1x→∞1x+2 第1章函数与极限2111x+1212=lim1+1+x→∞11x+x+2211x+1212=lim1+1+x→∞1lim1=e.x+x→∞x+222x+bx+610.已知lim=5,试确定b的值.x→11-x解由于分母极限为0,故只有分子的极限也为0时整个分0式才可能有极限型极限,其结果是个非0有限数值时,说明分0子分母为同阶无穷小量,即2lim(x+bx+6)=0b=-7.x→1211.已知lim(2x-ax-x+1)存在,试确定a的值,并求x→+∞出极限值.2224x-ax+x-1解lim(2x-ax-x+1)=limx→+∞x→+∞22x+ax-x+12(4-a)x+x-1=limx→+∞22x+ax-x+1存在.所以分子分母为同次式(分母本质上是一次式),即4-a=0a=4.2x-1lim(2x-4x-x+1)=limx→+∞x→+∞22x+4x-x+111-x1=lim=.x→+∞1142+4-+2xx12.当x→0时,将下列函数与x进行比较,哪些是高阶无穷小?哪些是低阶无穷小?哪些是同阶无穷小?哪些是等价无 22医用高等数学学习指导穷小?3(1)tanx.322tanxsinxtanxsinxtanx解lim=lim·=lim·lim=0当x→0xx→0xcosxx→0xx→0cosx3x→0时,tanx是x的高阶无穷小;2(2)1+x-1.21+x-1x解lim=lim=0当x→0时,x→0xx→021+x+121+x-1是x的高阶无穷小;(3)cscx-cotx.2xsincscx-cotx1-cosx2解lim=lim=limx→0xx→0xsinxx→0xxxsincos221xsin221=lim=当x→0时,cscx-cotx是x的同阶无穷小;x→0xx2cos2221(4)x+xsin.x21x+xsinx1解lim=lim1+xsin=1当x→0时,x→0xx→0x31x+xsin是x的等价无穷小;xπ(5)cos(1-x).2πππcos(1-x)sinxsinx22π2π解lim=lim=lim=当x→0xx→0x2x→0π2x2πx→0时,cos(1-x)是x的同阶无穷小;2 第1章函数与极限23(6)1+tanx-1-sinx.1+tanx-1-sinx解lim=limx→0xx→011+tanx+sinxsinxcosx=lim=1x(1+tanx+1-sinx)x→0x(1+tanx+1-sinx)当x→0时,1+tanx-1-sinx是x的等价无穷小.2213.已知当x→0时,(1+ax-1)与sinx是等价无穷小,求a的值.221+ax-1axa解lim2=lim==1a=2.x→0sinxx→0(1+ax2+1)sin2x2xe,x<0,14.设f(x)=在(-∞,+∞)内a+ln(1+x),x≥0.连续,求a的值.x解limf(x)=lime=1,limf(x)=lim[a+ln(1+x)]=--++x→0x→0x→0x→0aa=1.1ex,x<0,0,x=0,15.讨论函数f(x)=在点x=0处的连1xsin,x>0.x续性.11解因为limf(x)=limex=0,limf(x)=limxsin=x→0-x→0-x→0+x→0+x0limf(x)=0=f(0),所以f(x)在点x=0处连续.x→01,x=0,16.讨论函数f(x)=1在点x=0处的连xsin,x≠0.x 24医用高等数学学习指导续性.1解因为limf(x)=limxsin=0≠f(0)=1,所以f(x)在点x→0x→0xx=0处不连续.2,x=0,17.设f(x)=ln(1+ax)在点x=0处连续,求,x≠0.xa的值.ln(1+ax)1解因为limf(x)=lim=alimln(1+ax)ax=a=x→0x→0xx→0f(0)=2,所以a=2.18.确定下列函数的间断点与连续区间:x(1)y=.lnx解间断点为x=1;连续区间为(0,1)∪(1,+∞).x-2(2)y=2.x-5x+6x-2解y=,间断点为x=2,x=3;连续区间为(x-2)(x-3)(-∞,2)∪(2,3)∪(3,+∞).21-x,x≥0,(3)f(x)=sin|x|,x<0.xsin|x|2解limf(x)=lim=-1,limf(x)=lim(1-x)=--x++x→0x→0x→0x→01limf(x)≠limf(x).因此,间断点为x=0;连续区间为-+x→0x→0(-∞,0)∪(0,+∞).1(4)f(x)=limn(x≥0).n→+∞1+x 第1章函数与极限251,0≤x<1,1解f(x)=,x=1,间断点为x=1;连续区间为20,x>1,[0,1)∪(1,+∞).1.5自测题1.选择题(以下各题均有4个答案,其中只有1个正确答案)(1)对1～6个月的婴儿,由月龄估计体重的经验公式为y=f(t)=3+0.6t(t表示月龄,y表示体重),则在这个实际问题中f(t)的定义域是.A.(-∞,+∞);B.(0,+∞);C.[1,6];D.以上都不是.x-2(2)函数f(x)=3-x+arccos+1的定义域3是.A.(-1,3);B.[-1,3);C.(-1,3];D.[-1,3].1(3)设f(x)=x+,则下式成立的是.x11A.f(x)=f;B.f(x)=;xf(x)11C.f(x)=f;D.f(x)=.f(x)1fx8(4)函数y=ax+8是由复合而成.1u8u8A.y=a,u=v2,v=x+8;B.y=a,u=x+8;118u8C.y=au2,u=x+8;D.y=a2,u=x+8. 44医用高等数学学习指导列表讨论如下:t(0,t1)t1(t1,t2)t2(t2,+∞)C′(t)+0--C″(t)--0+C(t)↗凸极大值↘凸拐点↘凹σ2σ-σAσ212C(t)的最大值:Cmax=C(t1)=;σ1σ12σ2A(σ1+σ2)σ2σ1-σ2C(t)的拐点值:C(t2)=2.σ1σ1请读者描绘出函数图像.2.4习题解答本节给出了由张选群教授主编,人民卫生出版社出版的统编教材《医用高等数学》习题的解题思路及参考解题过程.1.若一质点作直线运动,已知路程s与时间t的关系是s=23t+2t+1.试计算从t=2到t=2+Δt之间的平均速度,并计算当Δt=0.1,Δt=0.01时的平均速度,再计算t=2时的瞬时速度.Δss(2+Δt)-s(2)解平均速度珔v===3Δt+14.ΔtΔt当Δt=0.1时,珔v=14.3;当Δt=0.01时,珔v=14.03;因此,t=2时的瞬时速度v′(2)=lim珔v=lim(3Δt+14)=14.Δt→0Δt→02.按导数定义计算下列函数在指定点的导数.(1)f(x)=sin2x,x=0.f(0+Δx)-f(0)sin2Δx解f′(0)=lim=lim=2.Δx→0ΔxΔx→0Δx1(2)f(x)=,在x(x≠-1)点.1+x 第2章一元函数微分学4511-f(x+Δx)-f(x)1+(x+Δx)1+x解f′(x)=lim=limΔx→0ΔxΔx→0Δx-11=lim=-2.Δx→0(1+x+Δx)(1+x)(1+x)(3)f(x)=x+1,在x=0点.f(0+Δx)-f(0)Δx+1-1解f′(0)=lim=limΔx→0ΔxΔx→0Δx1=lim=2.Δx→0Δx+1+12(4)f(x)=2x-x,在x点.f(x+Δx)-f(x)解f′(x)=lim=lim(2-2x-Δx)=2-2x.Δx→0ΔxΔx→03.设f(x)在x=x0点处可导,试计算下列极限f(x)-f(x0)(1)lim.x→xx-x00f(x0+Δx)-f(x0)解设x=x0+Δx,则原式=lim=f′(x0).x→xΔx0f(x0+2Δx)-f(x0)(2)lim.Δx→0Δx1f(x0+2Δx)-f(x0)1解原式=lim=f′(x0).2Δx→02Δx2f(x0)-f(x0-Δx)(3)lim.Δx→0Δxf(x0-Δx)-f(x0)解原式=lim=f′(x0).-Δx→0-Δx1(4)limnfx0+-f(x0).n→∞n1fx0+-f(x0)n解原式=lim=f′(x0).11→0nn 46医用高等数学学习指导f(x0+h)-f(x0-h)(5)lim.h→0hf(x0+h)-f(x0)-[f(x0-h)-f(x0)]解原式=limh→0h=2f′(x0).f(x0+αt)-f(x0+βt)(6)lim.t→0tf(x0+αt)f(x0+βt)解原式=limα·-β·=(α-β)f′(x0).t→0αtβt4.讨论下列函数在x=0点是否可导.31x2sin,x>0(1)f(x)=x0,x≤0.f(0+Δx)-f(0)f(Δx)解f′(0)=lim=lim,Δx→0ΔxΔx→0Δx而f(Δx)f′-(0)=lim=lim0=0,Δx→0-Δxx→0-31(Δx)2sinf(Δx)Δxf′+(0)=lim=lim=0.Δx→0+Δxx→0+Δx所以,f(x)在x=0点可导且f′(0)=0.x1,x≠0,(2)f(x)=1+ex0,x=0.f(0+Δx)-f(0)f(Δx)1解f′(0)=lim=lim=lim1.Δx→0ΔxΔx→0ΔxΔx→01+eΔx而11f′-(0)=lim1=1,f′+(0)=lim1=0.Δx→0-1+eΔxΔx→0+1+eΔx所以f(x)在x=0点不可导. 第2章一元函数微分学472x,x≤1,5.确定a,b的值,使f(x)=在x=1点处可导.ax+b,x>1解要使f(x)在x=1处连续,必须有limf(x)=limf(x)=+-x→1x→1f(1).而2limf(x)=limx=1,--x→1x→1limf(x)=lim(ax+b)=a+b,f(1)=1,++x→1x→1从而a+b=1.f(1+Δx)-f(1)f(1+Δx)-1f′(1)=lim=lim,Δx→0ΔxΔx→0Δx2f(1+Δx)-1(1+Δx)-1f′-(1)=lim=lim=2,Δx→0-ΔxΔx→0-Δxf(1+Δx)-1a(1+Δx)+b-1f′+(1)=lim=lim=a.Δx→0+ΔxΔx→0+Δx要使f(x)在x=1处可导,应有f′-(1)=f′+(1),即a=2,又a+b=1,从而得b=-1.*6.若函数f(x)在x0点可导,且f(x0)≠0,试计算极限n1fx0+n.limn→∞f(x0)n11fx0+fx0+解nnlim=limexpnlnn→∞f(x0)n→∞f(x0)1lnfx0+-lnf(x0)n=limexpn→∞1n1lnfx0+-lnf(x0)n=explimn→∞1ndlnf(x)1=exp=exp·f(x)′x=xx=xdx0f(x)0 48医用高等数学学习指导1=exp·f′(x0)f(x0)37.设曲线y=2x-x.(1)求(1,1)点处曲线的切线方程及法线方程;(2)在(x0,y0)点处,曲线的切线通过点(0,-2),求(x0,y0)点及该点处曲线的切线方程和法线方程.2解y′=2-3x.(1)在(1,1)点处曲线的切线斜率为k切=y′(1)=-1,因此切线方程:y-1=-1·(x-1),即y=-x+2.法线方程:y-1=1·(x-1),即y=x.(2)在(x0,y0)点处曲线的切线斜率为k切=y′(x0)=2-23(x0),切线方程为2y-y0=[2-3(x0)](x-x0),由于曲线过点(0,-2),有x0=-1,y0=-1.在(-1,-1)点,k切=-1,因此切线方程:y+1=-1·(x+1),即y=-x-2.法线方程:y+1=1·(x+1),即y=x.8.求下列函数的导数.22x(1)y=2+.x2-212-3解y′=(2x)′+x′=-4x+x.231(2)y=3x+x+.x11-1解y′=3·x2′+x3′+(x)′3-11-2-2=x2+x3-x.23(3)y=x(2x-1)(3x+2).解y′=(x)′(2x-1)(3x+2)+x(2x-1)′(3x+2) 第2章一元函数微分学49+x(2x-1)(3x+2)′=(2x-1)(3x+2)+2x(3x+2)+3x(2x-1).(4)y=xsinx+cosx.解y′=(x)′sinx+x(sinx)′=sinx+xcosx.3x+1(5)y=2.x-x-23232(x+1)′(x-x-2)-(x+1)(x-x-2)′解y′=22(x-x-2)2233x(x-x-2)-(x+1)(2x-1)=22.(x-x-2)1-lnx(6)y=.1+lnx(1-lnx)′(1+lnx)-(1-lnx)(1+lnx)′解y′=2(1+lnx)-2=2.x(1+lnx)sinx(7)y=xarctanx+.xsinx解y′=(x)′arctanx+x(arctanx)′+′x1xxcosx-sinx=arctanx+2+2.2x1+xxxx(8)y=xtanx+x+.4cosxxx24-x4ln4cosx+xsinx解y′=tanx+xsecx+2x+2.4cosx23(9)y=(2x+3).22222解y′=3(2x+3)·(2x+3)′=12x(2x+3).(10)y=ln(cotx).1121解y′=·(cotx)′=·(-cscx)=-.cotxcotxsinxcosx 50医用高等数学学习指导sinx2(11)y=e+arccos1-x.sinx2解y′=(e)′+(arccos1-x)′sinx1-2x=ecosx-·22221-x1-(1-x)sinxx=ecosx+.2|x|1-x222x(12)y=xa-x+aarcsin.a222x解y′=(xa-x)′+aarcsina22-2x211=a-x+x+a·222a2a-xx1-a22=2a-x.(13)y=x+x+x.1解y′=(x+x+x)′2x+x+x11=1+(x+x)′2x+x+x2x+x111=1+1+.2x2x+x+x2x+x(14)y=sin(lnx)+ln(cosx).11解y′=cos(lnx)·+(-sinx)xcosx1=cos(lnx)-tanx.x2(15)y=log2(x-sinx). 第2章一元函数微分学51122x-cosx解y′=2(x-sinx)′=2.(x-sinx)ln2(x-sinx)ln211+x1π(16)y=ln+arctanx+sin.41-x2511+x1π解y′=ln′+(arctanx)′+sin′41-x2511-x1+x11=··′+·241+x1-x21+x11-x211=··2+·241+x(1-x)21+x1=4.1-xlnx(17)y=x.解利用对数求导法,有lny=lnx·lnx11·y′=2lnx·,yxlnx-1故y′=2xlnx.sinx(18)y=x.解利用对数求导法,有lny=sinx·lnx,11·y′=cosx·lnx+sinx·,yxsinxsinx故y′=xcosxlnx+.xcosx(19)y=(sinx).解利用对数求导法,有lny=cosx·lnsinx,1cosx·y′=-sinx·lnsinx+cosx·,ysinx 52医用高等数学学习指导cosxy′=(sinx)(cosxcotx-sinxlnsinx).x(20)y=(2x).解利用对数求导法,有lny=x·ln2x,112·y′=lnx+x·,y2x2xxln(2x)+2故y′=(2x).2x2xx(21)y=x+(2x).2xlnxxln(2x)解y=e+e.利用对数求导法,有lny=lnx·lnx,2xlnxxln(2x)y′=e·(2xlnx)′+e(xln2x)′2xx=2x(lnx+1)+(2x)(ln2x+1).33x(x+1)(22)y=2.(x-1)解利用对数求导法,有13lny=[lnx+ln(x+1)-2ln(x-1)],321113x2·y′=+3-,y3xx+1x-13321x(x+1)13x2y′=2+3-.3(x-1)xx+1x-13(x-2)x-5(23)y=5.x+1解利用对数求导法,有11lny=3ln(x-2)+ln(x-5)-ln(x+1),25111111·y′=3+-,yx-22x-55x+1 第2章一元函数微分学533(x-2)x-5311y′=3+-.x+1x-22(x-5)3(x+1)x(24)y=(xsinx)1-e.解利用对数求导法,有11xlny=lnx+lnsinx+ln(1-e),22x111cosx1-e·y′=++·x,y2xsinx21-ex1x2ey′=(xsinx)1-e+2cotx-x.4x1-e9.求由下列方程确定的隐函数y=f(x)的导数y(1)y=1+xe.解等式两边关于x求导,有yyy′=e+xey′yey′=y.1-xe(2)y=tan(x+y).解等式两边关于x求导,有2y′=sec(x+y)·(1+y′),22sec(x+y)sec(x+y)2y′=2=2=-csc(x+y).1-sec(x+y)-tanxyx(3)x=y.解等式两边取对数,有ylnx=xlny等式两边关于x求导,有11y′lnx+y·=lny+x··y′,xyy(xlny-y)y′=.x(ylnx-x) 54医用高等数学学习指导x+y(4)xy=e.解等式两边关于x求导,有x+yy+xy′=e(1+y′),x+ye-yxy-yy(x-1)y′=x+y==.x-ex-xyx(1-y)10.试证明曲线x+y=a上任一点处的切线,截两个坐标的截距之和为a.解对曲线方程两边关于x求导,得11y+·y′=0,y′=-.2x2yxy0曲线上任一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=-·(x-x0x0).令x=0,得曲线在y轴上的截距:y0+x0y0;令y=0,得曲线在x轴上的截距:x0+x0y0;曲线在两坐标轴上的截距之和为:2y0+x0+2x0y0=(x0+y0)=a.11.求下列函数的二阶导数x(1)y=x.解等式两边取对数,有lny=xlnx,等式两边关于x求导,有1xy′=lnx+1,y′=x(1+lnx),y对此式关于x再求导,有xxx2x-1y″=(x)′(1+lnx)+x(1+lnx)′=x(1+lnx)+x.22y(2)lnx+y=arctan.x 第2章一元函数微分学55解等式两边关于x求导,有111y′x-y·(2x+2yy′)=22,22221+(y/x)xx+y2x+yx+yx+yy′=xy′-y,y′=,x-y对此式关于x再求导,得(x+y)′(x-y)-(x+y)(x-y)′y″=2(x-y)(1+y′)(x-y)-(x+y)(1-y′)=2.(x-y)22x+yx+y代入y′=,有y″=23.x-y(x-y)12.设f″(x)存在,求下列函数的二阶导数2(1)y=f(x).2解y′=f′(x)·2x,22222y″=[f′(x)]′·2x+f′(x)·2=4xf″(x)+2f′(x).(2)y=ln[f(x)].1解y′=·f′(x),f(x)11y″=′·f′(x)+·f″(x)f(x)f(x)2[f′(x)]f″(x)=-2+.f(x)f(x)13.求下列函数的n阶导数(1)y=sinx.π解y′=cosx=sin+x,2ππππy″=cos+x=sin++x=sin2·+x,2222πππyꯊ=cos2·+x=sin+2·+x222 56医用高等数学学习指导π=sin3·+x,2…(n)πy=sinn·+x.22(2)y=sinx.解y′=2sinxcosx=sin2x,πy″=2cos2x=2sin+2x,22π2ππyꯊ=2cos+2x=2sin++2x2222π=2sin2·+2x,2…(n)n-1πy=2sin(n-1)·+2x.214.一质点作直线运动,其运动规律为s=t,其中路程s的单位为米,时间t的单位为秒,求质点在第4秒末的速度与加速度?ds1dv(t)解质点在时刻t的速度v(t)==,加速度a(t)=dt2tdt1=-.在第4秒末的速度34t11v(4)==,t=42t4在第4秒末的加速度11a(4)=-=-.4t3t=43215.许多肿瘤的生长规律为A-at(1-e)v=va0e.其中,v表示t时刻的肿瘤的大小(体积或重量),v0为开始(t=0)或观察时肿瘤的大小,a和A为正常数,问肿瘤t时刻的增长速度 第2章一元函数微分学57是多少?A-atdv(1-e)解肿瘤的t时刻的增长速度=va0e′=dtA-at(1-e)-atva0Ae.16.病人服药后,药物通过肾脏排泄的血药浓度c和时间t的关系为-ktc(t)=c0(1-e),c0为血药初始浓度,k为常数,求药物的排泄速率.d(c(t))-kt解药物排泄速率v(t)==c0ke.dt217.设某种细菌繁殖的数量为N=1000+52t+t,其中时间t以小时(h)计,求t=2h,t=5h时细菌的繁殖速度.dN解在t时刻细菌的繁殖速度:v(t)==52+2t,dt在t=2h的繁殖速度:v(2)=(52+2t)=56个/h,t=2在t=5h的繁殖速度:v(5)=(52+2t)=62个/h.t=518.求下列函数的微分322(1)y=x+1-1+x.232x解dy=(x+1-1+x)′dx=2x-3dx.223(1+x)2(2)y=x(1+sinx).221+sinx解dy=[x(1+sinx)]′dx=+x·2sin2xdx2xx1(3)y=arctane+arctan.xx1解dy=arctane+arctan′dxxxe11=2x+2·-2dx1+e1+1/xx 58医用高等数学学习指导xe1=x-2dx.1+e1+xx(4)y=sin(xe).xxx解dy=[sin(xe)]′dx=(1+x)ecos(xe)dx.2(5)y=x-x,在x=1处.2解dy=(x-x)′dx=(2x-1)dx.在x=1处,dy=(2x-1)dx=dx.x=1(6)y=x+1,在x=0,Δx=0.01时.1解dy=(x+1)′dx=dx.2x+11在x=0,Δx=0.01处,dy=Δx=0.005.2x+1x=0Δx=0.0119.在下列各划线处,填入适当的函数111(1)d(x)=dx;(2)d-=2dx;2xxx1axax(3)d(ax+b)=adx;(4)de=edx;a1x1φ′(x)(5)darctan=2dx;(6)d(lnφ(x))=dx.224+xφ(x)20.若函数f(x)可导,且f(0)=0,|f′(x)|<1,试证明x≠0时,|f(x)|<|x|.证明由拉格朗日中值定理,有f(x)-f(0)=f′(ξ)(x-0),ξ介于x,0之间,从而f(x)=f′(ξ)x,|f(x)|=|f′(ξ)||x|<1·|x|=|x|.*21.试证明,若对于任意x∈R,有f′(x)=a,则f(x)=ax+b. 第2章一元函数微分学59证明设F(x)=f(x)-ax,则有F′(x)=f′(x)-(ax)′=0,F(x)=b(常数),故f(x)=ax+b.22.利用洛必达法则求下列函数极限x-xx-xx-xe-e-2xe+e-2e-e(1)lim=lim=limx→0x-sinxx→01-cosxx→0sinxx-xe+e=lim=2.x→0cosx2lnsinxcotx-cscx(2)lim2=lim=limx→π(π-2x)x→π-4(π-2x)x→π8222-11=lim2=-.x→π8sinx82x1xx1xxe2+xe2e2+xe2xe224(3)limx=limx=limxx→+∞x+ex→+∞1+ex→+∞e4+x1=limx=lim=x=0.x→+∞4e2x→+∞2e222tanxsecx1cos3xsin6x(4)lim=lim2=lim2=lim=3.x→πtan3xx→π3sec3x3x→πcosxx→πsin2x222212lnxx2(5)limxlnx=lim=lim=-2limx=0.x→0x→01x→01x→02-2·3xxxx11e-x-1e-1(6)lim-x=limx=limxxx→0xe-1x→0x(e-1)x→0e-1+xexe1=limxx=.x→02e+xe2lim2cosxlntanx2cosx2cosxlntanxπ(7)lim(tanx)=lime=ex→.2ππx→x→22因为122··secx2lntanxtanxlim2cosxlntanx=lim=limx→πx→πsecxx→πsecxtanx222 60医用高等数学学习指导2cosx=lim2=0,x→πsinx2所以0原式=e=1.x1ln(ex+x)limln(e+x)xx(8)lim(e+x)x=limex=ex→0.x→0x→0xxln(e+x)e+12因为lim=limx=2,所以原式=e.x→0xx→0e+x*(9)设函数f(x)存在二阶导数,f(0)=0,f′(0)=1,f″(0)=f(x)-x2,试求lim2.x→0xf(x)-xf′(x)-11f′(x)-f′(0)解lim2=lim=limx→0xx→02x2x→0x-01=f″(0)=1.2*f(x)(10)设函数f(x)具有二阶连续导数,且lim=0,f″(0)=x→0x1f(x)x4,求lim1+.x→0xf(x)1ln1+f(x)xx解lim1+=limexpx→0xx→0xf(x)ln1+x,=explimx→0x-1f(x)f(x)f(x)ln1+1+·′xxxlim=limx→0xx→01f′(x)x-f(x)1=lim2=limf″(x)x→0xx→021=×4=2,2 第2章一元函数微分学611f(x)x2所以lim1+=e.x→0x23.试确定下列函数的单调区间-x(1)f(x)=xe.-x解定义域为(-∞,+∞):f′(x)=e(1-x).令f′(x)=0,得驻点x=1.x∈(-∞,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1);单调递减区间为(1,+∞).x(2)f(x)=.1+x1-x解定义域为[0,+∞);f′(x)=.令f′(x)=0,22x(1+x)得驻点x=1.x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的单调递增区间为(0,1);单调递减区间为(1,+∞).24.求下列函数极值3(1)f(x)=3x-x.2解定义域为(-∞,+∞);f′(x)=3-3x=3(1-x)(1+x).令f′(x)=0,得驻点x=-1,x=1.x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(-1,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以x=-1为f(x)的极小值,极小值f(-1)=-2;x=1为f(x)的极大值,极大值f(1)=2.x(2)f(x)=.lnx 62医用高等数学学习指导lnx-1解定义域为x>0,x≠1;f′(x)=2.令f′(x)=0,lnx得驻点x=e.x∈(1,e)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.所以,x=e为f(x)的极小值,极小值f(e)=e.6x(3)f(x)=2.x+126-6x解定义域为(-∞,+∞);f′(x)=22=(x+1)6(1-x)(1+x)22.令f′(x)=0,得驻点x=-1,x=1.(x+1)x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(-1,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以x=-1为f(x)的极小值,极小值f(-1)=-3;x=1为f(x)的极大值,极大值f(1)=3.32(4)f(x)=(2x-1)(x-3).解定义域为(-∞,+∞);3122-10(x-2)f′(x)=2(x-3)+(2x-1)··(x-3)3=1.33(x-3)3令f′(x)=0,得驻点x=2,不可导点x=3.x<2时,f′(x)>0,x>2时,f′(x)<0;20,30.所以,x=2为f(x)的极大值,极大值f(2)=3.1π25.试问a为何值时,函数f(x)=asinx+sin3x,在x=33处具有极值?它是极大值,还是极小值?并求此极值.解f′(x)=acosx+cos3x. 第2章一元函数微分学63π因为x=为极值点,所以有3πππaf′=acos+cos3·=-1=0,3332即a=2,1f(x)=2sinx+sin3x,f′(x)=2cosx+cos3x,3f″(x)=-2sinx-3sin3x,ππ而f″=-3<0,所以x=为f(x)的极大值,极大值为33πf=3.326.测量某个量,由于仪器的精度和测量的技术等原因,对量A进行n次测量,其测量的数据分别为x1,x2,x3,⋯,xn,取数x为量A的近似值.问x取何值时,才能使其与xi(i=1,2,⋯,n)之差的平方和最小?解设x与xi(i=1,2,⋯,n)之差的平方和为y,则2222y=(x-x1)+(x-x2)+(x-x3)+⋯+(x-xn),y′=2[nx-(x1+x2+x3+⋯+xn)].令y′=0,得x1+x2+x3+⋯+xnx=(惟一驻点).nx1+x2+x3+⋯+xn因此,当x=时,才能使其与xi(i=1,2,⋯,nn)之差的平方和最小.27.1～9个月婴儿体重W(g)的增长与月龄t的关系有经验公式lnW-ln(341.5-W)=k(t-1.66).问t为何值时,婴儿的体重增长率v最快? 64医用高等数学学习指导解对经验公式两边关于t求导,得1dW1dW·+·=k,Wdt341.5-Wdt婴儿的体重增长率dWkv==W(345.1-W).dt345.1dvk而v′==(345.1-2W),dt345.1345.1令v′=0,则有W=,从而t=1.66时,婴儿的体重增长率v2最快.28.口服一定剂量的某种药物后,其血药浓度c与时间t的关-0.2t-2.3t系可表示为c=40(e-e),问t为何值时,血药浓度最高,并求其最高浓度.-0.2t-2.3tdc-0.2t-2.3t解c=40(e-e),c′==40(-0.2e+2.3e).dt23ln2令c′=0,则有t==1.1630(惟一驻点),所以t=1.1630时,2.1血药浓度最高,此最高血药浓度c(1.1630)=28.9423.29.已知半径为R的圆内接矩形,问它的长和宽为多少时矩形的面积最大?解设圆内接矩形的面积为s,其长为x,宽为y=22(2R)-x,则有22s=xy=x4R-x,222ds22x4R-2xs′==4R-x-=,dx4R2-x24R2-x222令s′=0,则有x=2R(惟一驻点),此时y=(2R)-x=2R.故,长x=2R,宽y=2R时矩形面积最大. 第2章一元函数微分学65230.已知某细胞繁殖的生长率为r=36t-t,问时间t为何值时,细胞的生长率最大?最大生长率为多少?2dr解r=36t-t,r′==36-2t.dt令r′=0,则有t=18(惟一驻点),所以t=18时,细胞的生长率最大,此最大生长率为r(18)=324.31.在研究阈值水平时电容放电对神经的刺激关系中,Hoor-weg发现引起最小的反应(肌肉的收缩)时,电压U与电容器的电b容量c有关,其经验公式为U=aR-,其中R是电阻(假设为定c值),a,b为正常数.若电容的单位为微法(μF),电容器的电压为伏2特(V),由物理知识可知,与负荷相对应的电能为E=5cU(erg),从而有2bE=5caR+.c试问,当电容为多少微法时,电能最小,其最小电能为多少?22b22b解E=5caR+=5aRc+10aRb+5,cc2dE22bE′==5aR-52.dccbb令E′=0,则有c=(惟一驻点),所以c=(μF)时,电能最小,aRaRb此最小电能为E=20abR(erg).aR32.判别下列曲线的凹凸性(1)y=xarctanx.解函数定义域为(-∞,+∞).x2y′=arctanx+2,y″=22>0,1+x(1+x)所以函数在(-∞,+∞)上为凹的. 66医用高等数学学习指导2(2)y=4x-x.解函数定义域为(-∞,+∞),y′=4-2x,y″=-2<0.所以函数在(-∞,+∞)上为凸的.33.求下列曲线的凹凸区间与拐点43(1)y=3x-4x+1.解函数定义域为(-∞,+∞),322y′=12x-12x,y″=36x-24x=12x(3x-2).令f″(x)=0,得x=0,x=2/3.当x∈(-∞,0)时,f″(x)>0,函数为凹的;2当x∈0,时,f″(x)<0,函数为凸的;32当x∈,+∞时,f″(x)>0,函数为凹的.322所以函数在(-∞,0),,+∞上为凹的,在0,上为凸3322211的,拐点为(0,f(0))=(0,1),,f=,.333272(2)y=ln(1+x).解函数定义域为(-∞,+∞),2x2(1-x)(1+x)y′=2,y″=22.1+x(1+x)令f″(x)=0,得x=-1,x=1.当x∈(-∞,-1)时,f″(x)<0,函数为凸的;当x∈(-1,1)时,f″(x)>0,函数为凹的;当x∈(1,+∞)时,f″(x)<0,函数为凸的.所以函数在(-∞,-1),(1,+∞)上为凸的,在(-1,1)上为凹的,拐点为(-1,f(-1))=(-1,ln2),(1,f(1))=(1,ln2).2x(3)y=.lnx 第2章一元函数微分学67解函数定义域为(0,+∞),2lnx-24-2lnxy′=2,y″=3.lnxxlnx2令f″(x)=0,得x=e,f″(x)的不可导点为x=1.当x∈(0,1)时,f″(x)<0,函数为凸的;2当x∈(1,e)时,f″(x)>0,函数为凹的;2当x∈(e,+∞)时,f″(x)<0,函数为凸的.22所以函数在(0,1),(e,+∞)上为凸的,在(1,e)上为凹的,2222拐点为(e,f(e))=(e,e).5(4)y=(x-5)3+2.解函数定义域为(-∞,+∞).52101y′=(x-5)3,y″=·,339x-5f″(x)的不可导点为x=5.当x∈(-∞,5)时,f″(x)<0,函数为凸的;当x∈(5,+∞)时,f″(x)>0,函数为凹的.所以函数在(-∞,5)上为凸的,在(5,+∞)上为凹的,拐点为(5,f(5))=(5,2).3234.已知曲线y=ax+bx+cx+d在(1,2)点处有水平切线,且原点为该曲线上的拐点,求a,b,c,d之值,并写出此曲线的方程.2解y′=3ax+2bx+c,y″=6ax+2b,根据题意有y(1)=a+b+c+d=2,y(0)=d=0,y′(1)=3a+2b+c=0,y″(0)=2b=0,从而解得a=-1,b=0,c=3,d=0. 68医用高等数学学习指导35.求下列曲线渐近线2x(1)y=2.x-12x解因为lim2=∞,所以曲线有垂直渐近线x=±1;x→±1x-12x又因为lim2=1,所以曲线有水平渐近线y=1.x→∞x-112(2)y=xex.111ex22ex2解因为limxex2=lim=lim=∞,所以曲线有垂直渐x→0x→01x→0xx近线x=0;1xex21又因为lim=1,且lim(xe2x-x)=0,所以曲线有斜渐x→∞xx→∞近线y=x.2.5自测题1.选择题(以下各题均有4个答案,其中只有1个正确答案)(1)设f(x)=|x-8|,则f(x)在x=8处的导数是.A.8;B.不存在;C.0;D.-8.2(2)设f(x-1)=x-1,则f′(x)=.A.2x+2;B.2x+1;C.2x-1;D.2x.f(x0+2t)-f(x0)(3)设f(x)是可导函数,且lim=1,则t→0tf′(x0)为.A.1;B.2;C.0;D.0.5.t(4)设f(x)=x,当x0>0时,limt→0f(x0-2t)-f(x0)=. 88医用高等数学学习指导-kH将O2=0代入上式得C=0,故O2=mQHe1.H=0例13求下列反常积分.+∞+∞dx2x(1∫)3;(2∫)2dx;1x-∞1+x02x(3∫)2dx.-∞1+x+∞+∞dx111111解(1∫)3=-·2=-lim2=.1x2x122x→+∞x2+∞0+∞2x2x2x(2∫)-∞1+x2dx=∫-∞1+x2dx+∫01+x2dx.002x2x因为∫2dx=lim2dx-∞1+xa→-∫∞a1+x022=lim[ln(x+1)]=lim[ln(a+1)]aa→-∞a→-∞极限不存在,故原积分发散.112xdx1d(1-x)(3∫)02=-∫2021-x1-x1-ε21d(1-x)=-lim∫ε→0+201-x21-ε2=-lim1-x=1.0+ε→03.4习题解答本节给出了由张选群教授主编,人民卫生出版社出版的统编教材《医用高等数学》习题的解题思路及参考解题过程.1.用直接积分法求下列不定积分.314(1∫)(x+1)dx=x+x+C.4334(2∫)xdx=x3+C.4 第3章一元函数积分学89xx(3∫)(e-2)dx=e-2x+C.(4∫)3sinxdx=-3cosx+C.325(5∫)xxdx=∫x2dx=x2+C.53(6∫)(x+1)(x-x+1)dx=∫x2+1dx25=x2+x+C.522(7∫)cotxdx=∫(cscx-1)dx=-x-cotx+C.(8∫)(1+sinx+cosx)dx=x-cosx+sinx+C.11-(9∫)dx=∫x2dx=2x+C.x4x-3x-5-11(10∫)dx=∫4-3x2-5·dxxx=4x-6x-5ln|x|+C.3x-272(11∫)dx=∫(x+3x+9)dxx-31332=x+x+9x+C.3221+x1(12∫)4dx=∫2dx=arcsinx+C.1-x1-xcos2x(13∫)cosx-sinxdx=∫(sinx+cosx)dx=-cosx+sinx+C.221sinx+cosx(14∫)sin2xcos2xdx=∫sin2xcos2x22=∫(secx+cscx)dx=tanx-cotx+C. 90医用高等数学学习指导2.用换元积分法求下列不定积分3314(1∫)sinxcosxdx=∫sinxd(sinx)=sinx+C.43425(2∫)sin2xcosxdx=-∫2cosxd(cosx)=-cosx+C.53dx3d(1-2x)3(3∫)(1-2x)2=-∫2(1-2x)2=2(1-2x)+C.lnx23(4∫)dx=∫lnxd(lnx)=(lnx)2+C.x311+x1111+x(5∫)1-x2ln1-xdx=∫21-x+1+xln1-xdx11+x=∫lnd[ln(1+x)21-x-ln(1-x)]11+x1+x=∫lndln21-x1-x121+x=ln+C.41-x22x-3d(x-3x+8)(6∫)x2-3x+8dx=∫x2-3x+82=ln|x-3x+8|+C.222(7∫)2xx+1dx=∫x+1d(x+1)232=(1+x)2+C.3818(8∫)(3-2x)dx=-∫(3-2x)d(3-2x)219=-(3-2x)+C.18dx1d(3x)1(9∫)1+9x2=∫31+(3x)2=3arctan3x+C. 第3章一元函数积分学913dxdx1213(10∫)2=∫32=3arcsin2x+C.4-9x31-x2-xdxdxde(11∫)==-2x∫x-x2∫-x21+ee1+(e)1+(e)-x-2x=-lne+1+e+C.secxtanxdxdsecx(12∫)2=∫2secx+1secx+12=lnsecx+secx+1+C.412(13∫)sinxdx=∫4(1-cos2x)dx12=∫(1-2cos2x+cos2x)dx411+cos4x=∫1-2cos2x+dx423sin2xsin4x=x-++C.843222cosx-sinx(14∫)(tanx-cotx)dx=-∫sinxcosxdx=-∫cot2xd(2x)=-ln|sin2x|+C.2xd2xdx21x(15∫)4=∫22=2arcsin2+C.4-xx21-22dxcscx2(16∫)sin4x=∫sin2xdx=-∫cscxd(cotx)2=∫-(cotx+1)d(cotx)13=-cotx-cotx+C.3 92医用高等数学学习指导x=sintdxcostx(17∫)23∫3dt=tant+C=2+C.(1-x)2cost1-xdx1dx(18∫)21=∫2(x-3)23x-132=lnx+x+3+C.x=sintdxcost2(19∫)22∫sin2tcostdt=∫csctdt=-cott+Cx1-x21-x=-+C.xx=3tant2dx3sect1cost(20)dt=2dt∫22∫2∫3sintxx+333tantsect21x+3=-cott+C=-+C.33x2x=2sectx-42(21∫)dx∫tantdt=2tant-2t+Cx22x-4=x-4-2arctan+C.2x=tant2dxx(22∫)23∫costdt=-sint+C=2+C.(1+x)21+x3.用分部积分法求下列不定积分-x-x-x-x(1∫)xedx=-∫xd(e)=-xe+∫edx-x=-(x+1)e+C.1(2∫)xsin2xdx=-∫xdcos2x211=-xcos2x+∫cos2xdx2211=-xcos2x+sin2x+C.24 第3章一元函数积分学932222xxcos2x(3∫)xcosxdx=∫2+2dx3x12=+∫xdsin2x643x121=+xsin2x+∫xdcos2x6443x1211=+xsin2x+xcos2x-sin2x+C.64482222x(4∫)ln(x+1)dx=xln(x+1)-∫x2+1dx21=xln(x+1)-∫21-1+x2dx2=xln(x+1)-2x+2arctanx+C.222xarcsinx(5∫)(arcsinx)dx=x(arcsinx)-∫2dx1-x22=x(arcsinx)+∫2arcsinxd1-x22=x(arcsinx)+2arcsinx1-x-2x+C.1(6∫)cos(lnx)dx=xcos(lnx)+∫xsin(lnx)xdx=xcos(lnx)+xsin(lnx)∫-cos(lnx)dx,1故∫cos(lnx)dx=x[sin(lnx)+cos(lnx)]+C.23(lnx)31(7∫)2dx=∫-(lnx)dxx13121=-lnx+∫3lnx·dxxxx1321=-lnx-∫3lnxdxx 94医用高等数学学习指导133211=-lnx-lnx+∫32lnx·dxxxxx13321=-lnx-lnx-∫6lnxdxxx133266=-lnx-lnx-lnx-+C.xxxxln(cosx)(8∫)cos2xdx=∫ln(cosx)dtanx-sinx=tanx·ln(cosx)∫-tanxdxcosx=tanx·ln(cosx)+tanx-x+C.x=3sint229(9∫)3-xdx∫(cos2t+1)dt29xx2=arcsin+9-x+C.23222(10∫)xsinxdx=-xcosx+∫2xcosxdx2=-xcosx+2xsinx+2cosx+C.221(11∫)lnxdx=xlnx-∫x·2lnx·dxx2=xlnx-2x(lnx-1)+C.ax1ax(12∫)esinbxdx=-∫edcosbxb1axax=-ecosbx+∫cosbxdeb1axaax=-ecosbx+∫2edsinbxbb1ax=-ecosbxbaaxax+2esinbx-∫aesinbxdxb 第3章一元函数积分学95ax1ax故∫esinbxdx=22e(asinbx-bcosx)+C.a+b4.求下列不定积分x+365(1∫)2dx=∫-dxx-5x+6x-3x-2=6ln|x-3|-5ln|x-2|+C.x+1x+2-1(2∫)x2+4x+5dx=∫1+(x+2)2dx12=ln(x+4x+5)-arctan(x+2)+C.23t=x+332xt-9t+27t-27(3∫)dx∫dtx+3t32x3x=-+27x-27ln|x+3|+C.32dx1xx(4∫)x(x2+1)=∫x-x2+1dx=ln2+C.1+xsinx(5∫)dx=∫2sinxdx=-2cosx+C.x1ex111(6∫)2dx=∫-exd=-ex+C.xx3(arcsinx)314(7∫)2dx=∫(arcsinx)darcsinx=4(arcsinx)+C.1-xarctanx12(8∫)1+x2dx=∫arctanxdarctanx=2(arctanx)+C.111(9∫)dx=∫d25+3x25+3x325+3x2=25+3x+C.3x1251(10∫)dx=∫33x+25dx-∫3dx25+3x25+3x2350=(25+3x)2-25+3x+C.279 96医用高等数学学习指导3213x(11∫)xarctanxdx=3xarctanx-∫1+x2dx13x=xarctanx-∫x-2dx31+x131212=xarctanx-x+ln(1+x)+C.3662131331(12∫)xlnxdx=∫lnxdx=xlnx-∫xdx33x1313=xlnx-x+C.392x2xx2xxx(13∫)xedx=xe-∫2xedx=xe-2xe+2e+C.2x=txttt(14∫)edx∫2tedt=2te-2e+Cxx=2xe-2e+C.cosx(15∫)xf′(x)dx,其中f(x)的原函数为.x∫xf′(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)∫-f(x)dx2cosx=-sinx-+C.xsinx(16∫)xf′(2x)dx,其中f(x)的原函数为.x1∫xf′(2x)dx=∫2xdf(2x)11=xf(2x)-∫f(2x)d2x24cos2xsin2x=-+C.44xb5.利用定积分定义计算∫xdx(aa>0).∫aaxab1t=5-4x12xdxt-51(8∫)∫dt=.-15-4x386πax=asint4222a22(9∫)xa-xdx∫sin2tdt040π4a2π4=∫(1-cos4t)dt=a.8016xln2t=e2u=t-112xt-1u(10∫)0e-1dx∫1tdt∫201+u2duπ=2-.2π35(11∫)sinx-sinxdx0ππ2334=cosxsin2xdx-cosxsin2xdx=.∫0∫π52 第3章一元函数积分学991x,x≥0,(12∫)f(x)dx,其中f(x)=-1sinx,x<0.1011解∫-1f(x)dx=∫-1sinxdx+∫0xdx=cos1-2.ππ122m8.证明(1)∫0f(sinx)dx=∫0f(cosx)dx;(2)∫0x(1-1nnmx)dx=∫x(1-x)dx.0ππt=-xπ2022解(1)f(sinx)dx-f(cost)dt=f(cosx)dx;∫0∫π∫021t=1-x0mnmn(2∫)x(1-x)dx∫-(1-t)tdt011nm=∫x(1-x)dx.09.设f(x)是在(-∞,+∞)上定义的以T为周期的连续函a+TT数,证明∫f(x)dx=∫f(x)dx(a为任意实数).a0解由周期函数特性知f(t+T)=f(t),a+T0Ta+T∫af(x)dx=∫af(x)dx+∫0f(x)dx+∫Tf(x)dx,a+Tt=x-Taa0∫Tf(x)dx∫0f(t+T)dt=∫0f(t)dt=∫-af(x)dx,a+TT故∫f(x)dx=∫f(x)dx.a010.大多数植物的生长率是以若干天为周期的连续函数.假定一种谷物以2g(t)=sin(πt)的速率生长,其中t的单位是天.求在前10天内谷物生长的量.102解Q=∫sin(πt)dt=5.011.口服药物必须先被吸收进入血液循环,然后才能在机体 100医用高等数学学习指导的不同部位发挥作用.一种典型的吸收率函数具有以下形式:2f(t)=kt(t-b),0≤t≤b,其中k和b是常数.求药物吸收的总量.b22kb解Q=∫kt(t-b)dt=.01212.计算下列反常积分.+∞dx1-2+∞1(1∫)3=-x1=.1x22+∞+∞-3x1-3x1(2)edx=-e=.∫0033+∞0+∞2x2x2x(3∫)-∞x2+1dx=∫-∞x2+1dx+∫0x2+1dx.+∞2x2+∞因为∫2dx=ln(x+1)0发散,所以原反常积分0x+1发散.πππ2(4)tanxdx=tanxdx+tanxdx.∫0∫0∫π2π2因为∫tanxdx=limln(cosx)发散,所以原反常积分发散.0πx→2212dxdxdx(5∫)0(1-x)2=∫0(1-x)2+∫1(1-x)2,2dx1因为∫2=lim-+1发散,所以原反常积分发散.0(1-x)ε→0+ε1xdx21(6)=-1-x=1.∫0201-x213.求由y=x-4x+5,x轴及x=3,x=5所围图形的面积.522解S=∫(x-4x+5)dx=10.332214.求由y=4(x+1)与y=4(1-x)所围图形的面积. 第3章一元函数积分学10111解S=∫44(1-x)dx=5.0315.求由y=lnx,纵轴与y=lnb,y=lna(b>a>0)所围图形的面积.lnby解S=∫edy=b-a.lna22xy16.求2+2=1绕y轴旋转所产生的旋转体的体积.abb22y42解V=∫πa1-2dy=πab.-bb322xy17.求2-2=1与y=±b,x=0所围平面图形绕y轴旋ab转所产生的旋转体的体积.b22y82解V=∫πa1+2dy=πab.-bb32218.求y=x,x=y所围图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积.143解V=∫π(x-x)dx=π.01019.设火箭的质量为m,问将火箭送到离地面高H处,克服地球引力需做多少功?若将火箭送到无穷远处,需做多少功?解设地球半径为R,根据万有引力定律,地球对火箭的引mM力为F=k2,其中M为地球质量,m为火箭质量,r为火箭与地rmM心距离,k为常数.当火箭在地面时,有mg=k2,所以RR+HR+HmM21211W=∫k2dr=∫mgR2dr=mgR-.RrRrRR+H20.把一个带+q0电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处,它产生一个电场.这个电场对周围的电荷有作用力.由物理学知 102医用高等数学学习指导道,如果另一个点电荷+q放在这个电场中距离原点O为r的地方,那么电场对它的作用力的大小为q0qF=k2(k是常数).r当这个点电荷+q从电场中r=a处沿r轴移动到r=b(a1时收敛,当p≤1时发散.1x解当p>1时,p-1>0,+∞1-pdxxb1∫p=lim1=p-1;1xb→+∞1-p(p-1)a当p<1时,1-p>0,+∞1-p1-pdxxbb1∫p=lim1=lim-=+∞;1xb→+∞1-pb→+∞1-p1-p 104医用高等数学学习指导当p=1时,+∞dx∫=limlnb=+∞.1xb→+∞所以,当p>1时收敛,p≤1发散.1dx28.证明∫p当p<1时收敛,当p≥1时发散.0x解当p<1时,1-p>0,11-pdxx11∫p=limε=;0xε→0+1-p1-p当p>1时,p-1>0,11-pdxx1p=lim=+∞;∫0x+1-pεε→0当p=1时,1dx1∫p=limlnxε=+∞.0xε→0+所以,当p<1时收敛,p≥1发散.3.5自测题1.选择题(以下各题均有4个答案,其中只有1个正确答案)d(1)∫f(x)dx=.dxA.f(x)+C;B.F(x);C.f′(x);D.f(x).-x(2∫)edx=.x-xA.e+C;B.-e+C;-xxC.e+C;D.-e+C.1(3∫)f(ax+b)dx=.0 第4章多元函数微积分143(3)设x=rcosθ,y=rsinθr=Rcosθ,于是得积分区域D:0≤r≤Rsinθ,0≤θ≤π.因此πRsinθ곫f(x,y)dxdy=∫0d∫θ0f(rcosθ,rsinθ)rdr.D22例18计算곫(3+4x+5y)dxdy,积分区域D:x+yD≤2x.解设x=rcosθ,y=rsinθr=2cosθ,于是得积分区域D:ππ0≤r≤2cosθ,-≤θ≤.因此22π2cosθ2(3+4x+5y)dxdy=dθ(3+4rcosθ+5rsinθ)rdr곫∫-π∫02Dπ22324403=6cosθ+cosθ+cosθsinθdθ∫-π332π22324=6cosθ+cosθdθ∫-π32π22324=∫26cosθ+cosθdθ03ππ222=2∫8cosθdθ=14(θ+cosθsinθ)=7π.004.4习题解答本节给出了由张选群教授主编,人民卫生出版社出版的统编教材《医用高等数学》习题的解题思路及参考解题过程.1.求下列函数的定义域2(1)z=ln(y-4x+8).22解令y-4x+8>0定义域为y>4(x-2). 144医用高等数学学习指导22x+y22(2)z=arcsin+x+y-4.922x+y22≤1,x+y≤9,解由9定义域为2222x+y≥4,x+y-4≥0,224≤x+y≤9.(3)z=x-y.y≥0,解由定义域为x≥y.x-y≥0,2R222(4)z=xy+ln22+x+y+R.x+y22x+y>0,22x+y>0,解由2定义域为R≥1,22222x+y≤R,x+y22200,所以1ef,-1=-是函数的极小值.222222xy(3)f(x,y)=ln(1+x+y)--+1.154解对f(x,y)求一阶偏导数,并令22xxf′x(x,y)=22-=0,1+x+y5得2yyf′y(x,y)=22-=0,1+x+y2驻点为(0,0),(2,0),(0,3),(0,-3);再求二阶偏导数,得221-x+yxf″xx(x,y)=2222-,(1+x+y)5 154医用高等数学学习指导-4xyf″xy(x,y)=222,(1+x+y)221+x-y1f″yy(x,y)=2222-.(1+x+y)2于是,有①A=f″xx(0,0)=2,B=f″xy(0,0)=0,3C=f″yy(0,0)=.223因为B-AC=0-2×=-3<0,A=2>0,所以f(0,0)=21是函数的极小值.16②A=f″xx(2,0)=-,B=f″xy(2,0)=0,251C=f″yy(2,0)=-.102816因为B-AC=-<0,A=-<0,所以f(2,0)=125257ln5+是函数的极大值.151③A=f″xx(0,±3)=,B=f″xy(0,±3)=0,23C=f″yy(0,±3)=-.423因为B-AC=>0,所以点(0,3),(0,-3)均不是函数8的极值点.15.在平面xOy上求一点,使它到三直线x=0,y=0,x+2y-16=0的距离平方之和为最小.解问题可转化为求函数2212d=f(x,y)=x+y+(x+2y-16)5 第4章多元函数微积分155的极值问题.对f(x,y)求一阶偏导数,并令2f′x(x,y)=2x+(x+2y-16)=0,54f′y(x,y)=2y+(x+2y-16)=0,5816816得惟一驻点,,因此,所求点的坐标为(x,y)=,.555516.求内接于半径为R的球且有最大体积的长方体.解建立空间直角坐标系,使球心在原点,在第一卦限内讨论问题.设长方体在第一卦限内与球面的交点坐标为(x,y,z),则该222长方体的体积V=8xyz,且(x,y,z)满足球面方程x+y+z=22222R.问题转化为求函数V=8xyz在约束条件x+y+z=R下的极值问题.构造拉格朗日函数2222F(x,y,z,λ)=8xyz+λ(x+y+z-R),求一阶偏导数,并令F′x(x,y,z,λ)=8yz+2λx=0,F′y(x,y,z,λ)=8xz+2λy=0,F′z(x,y,z,λ)=8xy+2λz=0,2222F′λ(x,y,z,λ)=x+y+z-R=0.RRR4R由方程组的对称性可得惟一的驻点,,,-.根据3333问题的实际意义可知,内接于半径为R的球且有最大体积的长方32R8R体是存在的,因此是一边长为的立方体,其体积为.33317.在平面3x-2z=0上求一点,使它到两点A(1,1,1),B(2,3,4)的距离平方之和为最小.解问题可转化为求函数222V=(x-1)+(y-1)+(z-1) 156医用高等数学学习指导222+(x-2)+(y-3)+(z-4)在约束条件3x-2z=0下的极值问题.构造拉格朗日函数2222F(x,y,z,λ)=(x-1)+(y-1)+(z-1)+(x-2)22+(y-3)+(z-4)+λ(3x-2z).求一阶偏导数,并令F′x(x,y,z,λ)=2(x-1)+2(x-2)+3λ=0,F′y(x,y,z,λ)=2(y-1)+2(y-3)=0,F′z(x,y,z,λ)=2(z-1)+2(z-4)-2λ=0,F′λ(x,y,z,λ)=3x-2z=0.2163解得所求点的坐标为(x,y,z)=,2,.132618.将二重积分化为二次积分(两种次序都要),积分区域给定如下(1)D:x+y=1,x-y=1,x=0所围成的区域;解见图4.3.11-x곫f(x,y)dσ=∫0d∫xx-1f(x,y)dyD01+y11-y=∫-1d∫y0f(x,y)dx+∫0d∫y0f(x,y)dx.(2)D:y=x,y=3x,x=1,x=3所围成的区域;解见图4.4.33x곫f(x,y)dσ=∫1d∫xxf(x,y)dyD3y93=∫1d∫y1f(x,y)dx+∫3d∫yy/3f(x,y)dx.22(3)D:y=x,y=4-x所围成的区域; 第4章多元函数微积分157图4.3图4.4解见图4.5.224-xf(x,y)dσ=dxf(x,y)dy곫∫-2∫x2D2y44-y=∫0d∫y-yf(x,y)dx+∫2d∫y-4-yf(x,y)dx.图4.5 158医用高等数学学习指导19.改变下列各积分的次序1y(1∫)d∫yf(x,y)dx;0y解积分区域见图4.6.1y1xdyf(x,y)dx=dxf(x,y)dy.∫0∫y∫0∫x2图4.6(2)积分区域见图4.7.211x3(3-x)2∫0d∫x0f(x,y)dy+∫1d∫x0f(x,y)dy;图4.7211x3(3-x)2解∫0d∫x0f(x,y)dy+∫1d∫x0f(x,y)dy1113-2y=∫0d∫yyf(x,y)dx+∫0d∫y1f(x,y)dx 第4章多元函数微积分159113-2y=∫0dy∫yf(x,y)dx+∫1f(x,y)dx13-2y=∫d∫yf(x,y)dx.0y(3)积分区域见图4.8.211-xdxf(x,y)dy;∫-1∫-1-x2211-x解dxf(x,y)dy∫-1∫-1-x2201-y11-y=dyf(x,y)dx+dyf(x,y)dx.∫-1∫-1-y2∫0∫-1-y图4.820.计算下列二重积分:xy(1)곫xedxdy,D:0≤x≤1,-1≤y≤0所围成的区域;D解积分区域见图4.9.101xyxy-x-1곫xedxdy=∫0xd∫x-1edy=∫0(1-e)dx=e-1.D(2)곫(x+6y)dxdy,D:y=x,y=5x,x=1所围成的区域;D解积分区域见图4.10. 160医用高等数学学习指导图4.9图4.1015x1276곫(x+6y)dxdy=∫0d∫xx(x+6y)dy=7∫60xdx=3.D2x(3)곫2dxdy,D:x=2,y=x,xy=1所围成的区域;yD解积分区域见图4.11.22x2x2139곫y2dxdy=∫1xd∫x1y2dy=∫1(x-x)dx=4;xD22(4)곫(x+y)dxdy,D:y=x,y=x+a,y=a,y=3aD(a>0)所围成的区域;解积分区域见图4.12.3ay2222곫(x+y)dxdy=∫ad∫yy-a(x+y)dxD3a132134=∫y+ay-(y-a)dy=14a;a312 第4章多元函数微积分161图4.11图4.12siny2(5)곫dxdy,D:y=x,y=x所围成的区域;yD解积分区域见图4.13.1ysinysinydxdy=dydx곫y∫0y∫y2D1=∫(siny-ysiny)dy=1-sin1;0222(6)곫ydxdy,D:x+y=a所围成在第一象限中的区域;D解积分区域见图4.14.22aa-ya2213곫ydxdy=∫0yd∫y0dx=∫0ya-ydy=3a;D图4.13图4.14 162医用高等数学学习指导22222(7)곫R-x-ydxdy,D:x+y=Rx所围成的D区域;解积分区域见图4.15.设x=rcosθ,y=rsinθr=Rcosθ,于是得积分区域ππD:0≤r≤Rcosθ,-≤θ≤.22πRcosθ222222R-x-ydxdy=dθR-rrdr곫∫-π∫02DπRcosθ222=∫2d∫θR-rrdr00π332R23R=∫(1-sinθ)dθ=(3π-4);309122(8)곫22dxdy,D:x+y≤1所围成的区域;1+x+yD解积分区域见图4.16.设x=rcosθ,y=rsinθD:0≤r≤1,0≤θ≤2π,于是得2π11r곫1+x2+y2dxdy=∫0d∫θ01+r2dr=πln2.D图4.15图4.1621.利用二重积分求曲线y=x,y=5x,x=1所围成图形的 第4章多元函数微积分163面积.解积分区域如图4.17所示.15x1S=곫1dxdy=∫0d∫xxdy=∫04xdx=2.D图4.172222.利用二重积分求由平面x=4,y=4及抛物面z=x+y+1所围成的立体的体积.解积分区域如图4.18所示.此题似应加上条件:平面x=0,y=0,z=0.图4.18 164医用高等数学学习指导442222560V=곫(x+y+1)dxdy=∫0d∫x0(x+y+1)dy=3.D4.5自测题1.选择题(以下各题均有4个答案,其中只有1个正确答案)(1)设z1=ln[x(x-y)],z2=lnx+ln(x-y),则下面结论正确的是.A.z1,z2表示同一函数;B.z1,z2的定义域相同;C.z1,z2的图形均是空间曲线;D.以上都不是.(2)函数z=x-y+8的定义域是.x>0,x≥y,A.B.y>0;y≥0;x>y,x≥0,C.D.y>0;y≥0.(3)函数在区域{(x,y)|01.3),P(0.2<ξ<1.2).0,x≤0,12x,02.(2)P(ξ<0.5)=0.125,P(ξ>1.3)=1-P(ξ<1.3)22.6=1-2.6--1=0.245,2P(0.2<ξ<1.2)=F(1.2)-F(0.2)1.440.04=2.4--1-22 第6章概率论基础237=0.66.35.设随机变量ξ的分布函数为F(x)=A+Barctanx,求常数A,B及ξ的概率密度函数.Bπ1limF(x)=A+=1A=,F(+∞)=1x→+∞22解由F(-∞)=0Bπ1limF(x)=A-=0B=.x→-∞2πB11又F′(x)=2=f(x),故f(x)=2.1+xπ(1+x)36.公共汽车站每隔5min有一辆汽车通过,假定乘客在任一时刻到达汽车站的可能性相等,求乘客候车时间不超过3min的概率.解设乘客候车时间为ξ,由题设知ξ在[0,5]上服从均匀分布,其概率密度函数为1,0≤x≤5,f(x)=50,其他.3113所以P(ξ≤3)=dx=x=0.6.∫0505237.设ξ～N(3,2),求:(1)P(2<ξ≤5);(2)P(-3≤ξ≤8);(3)P(ξ>3).解(1)P(2<ξ≤5)=P(ξ≤5)-P(ξ<2)5-32-3=Φ-Φ22=Φ(1)-Φ(-0.5)=0.8413-(1-Φ(0.5))=0.8413-1+0.6915=0.5328.8-3-3-3(2)P(-3≤ξ≤8)=Φ-Φ22 238医用高等数学学习指导=Φ(2.5)-Φ(-3)=Φ(2.5)-1+Φ(3)=0.9938-1+0.9987=0.9925.3-3(3)P(ξ>3)=1-Φ=1-Φ(0)=0.5.238.在服用放射性标记药物的动物尿样中测到的放射量服从2正态分布N(284,20)(按单位/min计算),求:(1)放射量大于300单位/min的概率;(2)放射量在[250,300]单位/min的概率.解设ξ为尿中放射量.(1)P(ξ>300)=1-P(ξ≤300)300-284=1-Φ=1-Φ(0.8)20=1-0.7881=0.2119.300-284250-284(2)P(250≤ξ≤300)=Φ-Φ2020=Φ(0.8)-Φ(-1.7)=0.7881-(1-0.95543)=0.7435.39.指纹鉴别中的一个重要指标是10个手指中共有多少个2脊纹,假定其数量近似服从N(140,50),试求下列概率:(1)一个人的脊纹数等于或大于200个;(2)少于或等于100个;(3)在100个到200个之间;(4)如果某一人群共有10000人,预期其中有多少人至少有200个脊纹?解设脊纹数为ξ,则 第6章概率论基础239200-140(1)P(ξ≥200)=1-P(ξ<200)=1-Φ50=1-Φ(1.2)=1-0.8849=0.1151.100-140(2)P(ξ≤100)=Φ=Φ(-0.8)50=1-Φ(0.8)=1-0.7881=0.2119.200-140100-140(3)P(100<ξ<200)=Φ-Φ5050=Φ(1.2)-(1-Φ(0.8))=0.8849-1+0.7881=0.673.(4)P=P(ξ≥200)=0.1151(由(1)的结果).设10000人中出现至少200个脊纹的人数为η,则Eη=np=0.1151×10000=1151(人).40.有些遗传性疾病的初发年龄近似服从正态分布.假定对杜兰氏肌萎缩综合症来说,这个年龄服从N(9.5,9),那么一个男孩因此病第一次被送到医院来时,他的年龄在:(1)8.5岁至11.5岁间的概率;(2)大于10岁的概率;(3)小于12.5岁的概率.解设杜兰氏肌萎缩综合症初发年龄为ξ.11.5-9.58.5-9.5(1)P(8.5≤ξ≤11.5)=Φ-Φ33=Φ(0.667)-Φ(-0.33)=Φ(0.67)-(1-Φ(0.33))=0.7486-1+0.6293=0.3779.10-9.5(2)P(ξ>10)=1-Φ3=1-Φ(0.17)=1-0.5675=0.4325.12.5-9.5(3)P(ξ<12.5)=Φ=Φ(1)=0.8413.3 240医用高等数学学习指导241.某省若干年里高考总分服从N(440,10),预计当年录取率为10%,那么录取线会划到多少分以上?解设高考分数为ξ,录取线分数为x,则ξ-440x-440P(ξ≥x)=1-P(ξ.2试求:(1)A的值;(2)Eξ的值;(3)Dξ的值.ππ22A2解(1)A∫cosxdx=(1+cos2x)dx-π2∫-π22πA12A=x+sin2x=π=1,22-π222所以A=.ππ222(2)Eξ=∫xcosxdx=0.ππ-2ππ22222222(3)Dξ=(x-Eξ)cosxdx=xcosxdxπ∫ππ∫-π-22π22123xx1=x+sin2x+cos2x-sin2xπ6448-π2332ππππ=-+-π488488 242医用高等数学学习指导2π1=2-=0.3225.24445.设在1h内1名男子分泌的胆固醇量T在[0,M]之间,其t密度函数为f(t)=2(0≤t≤M).1+t(1)M的含义是什么?等于多少?M(2)1h内分泌的胆固醇量T少于的概率有多大?2(3)T在[0,2]之内的概率有多大?(4)试求出ET和DT.(5)任选3名男子,求至少1人T>2的概率.解(1)M的含义是使F(M)=P(ξ≤M)=1,即Mtdt12M12∫2=ln(1+t)0=ln(1+M)=1,01+t222因此,M=e-1=2.5277.MM122(2)P0≤T<=[ln(1+t)]220212.527=ln1+=0.4772.221221(3)P(0≤T≤2)=ln(1+t)|0=ln(1+4)=0.8047.22M2tM(4)ET=∫2dt=(t-arctant)001+t=M-arctanM=2.5277-arctan2.5277=1.3336,M3M2ttE(T)=∫2dt=∫t-2dt01+t01+tM1212=t-ln(1+t)2201212=M-ln(1+M)22 第6章概率论基础243122=[(2.5277)-ln(1+2.5277)]2=2.1946.22DT=E(T)-(ET)=2.1946-1.3336=0.4161.(5)p=P(T>2)=1-P(T≤2)=1-0.8047=0.1953.设任选3名男子,出现T>2的人数为η,则3kk3-kP(η≥1)=∑C3p(1-p)k=1303=1-C0(0.01953)(0.8047)=0.4789.46.某医院每周一次从血液中心补充其血液储备,假若每周消耗4ξ单位,ξ的密度函数是f(x)=5(1-x)(01-(0.01)5=0.6019,即血液储备规模应大于0.6019单位.47.用B超测量胎儿顶径时,会有一定误差,假设误差服从2N(0,1.25).为确定分娩方案,医生要求测量误差不超过1个单位.问测量3次至少1次达到要求的概率有多大?解设测量误差为ξ,则1P=P(ξ≤1)=Φ=Φ(0.8)=0.7881.1.25又设测量3次误差不超过1个单位的次数为η,则3kk3-kP(η≥1)=∑C3p(1-p)k=1003=1-C3p(1-p) 244医用高等数学学习指导03=1-(0.7881)(0.2119)=0.9905.48.若随机变量ξ服从指数分布,其密度函数为0,-∞x1,事件B表示ξ>x2,x1Δx=x2-x1.证明:P(B|A)=P(C);并解释此式的意义.P(AB)P(B)P(ξ>x2)证明P(B|A)===P(A)P(A)P(ξ>x1)-λx1-F(x2)1-(1-e2)==-λx1-F(x1)1-(1-e1)-λ(x-x)-λΔx=e21=e.-λΔx又P(C)=P(ξ>Δx=x2-x1)=1-F(Δx)=e,故P(B|A)=P(C),亦即P(ξ>x1+Δx|ξ>x1)=P(ξ>Δx).此式的意义为:假如把ξ解释为寿命,上式表明,若已知寿命长于x1年,则再活Δx年的概率与年龄x1无关系.指数分布具有“无记忆性”特性,可形象称之为“永远年轻”分布.6.5自测题1.选择题(以下各题均有4个选项,其中只有1个正确答案)(1)若A,B之积为不可能事件,则称A与B的关系为.A.相互独立;B.互不相容;C.对立事件;D.相等.(2)A,B为两事件,若P(A∪B)=0.8,P(A)=0.2,P(珚B)=0.4,则.A.P(珡A珚B)=0.32;B.P(珡A珚B)=0.2;C.P(AB)=0.4;D.P(A珚B)=0.48.(3)某人打靶的命中率为0.8,若其独立地射击5次,则恰有 第7章线性代数基础269解A的特征多项式为-2-λ112f(λ)=02-λ0=(2-λ)[-(λ+1)],-413-λ令f(λ)=0,得A特征值为λ1=-1,λ2=λ3=2.求A的对应于λ1=-1的特征向量.由-211x1x1020x2=-x2,-413x3x3即有x1=x3,x2=0,x3=x3,x3任意,故A的对应于λ1=-1的特T征向量可取为x1=(1,0,1);求A的对应于λ2=λ3=2的特征向量.由-211x1x1020x2=2x2,-413x3x3即有-4x1+x2+x3=0,故A的对应于λ2=λ3=2的特征向量可TT取为x2=(0,1,-1),x3=(1,0,4).22例17设λ为方阵A的特征值,证明λ是A的特征值.证明设x为A的对应于λ的特征向量,即有Ax=λx,故222222Ax=AAx=Aλx=λAx=λx,即Ax=λx,所以λ为A的特征22值,x为A的对应于λ特征向量.7.4习题解答本节给出了由张选群教授主编,人民卫生出版社出版的统编教材《医用高等数学》习题的解题思路及参考解题过程. 270医用高等数学学习指导1.计算下列行列式的值31-121013-513-41-143(1);(2);201-1-1-1231-53-3001311111234(3).13610141020解(1)将行列式的第1列加到第4列,第3列的-2倍加到第1列后,再按第3行展开得三阶行列式,再将此三阶行列式第1行加到第2行后,再按第1列展开.31-1251-11-513-41113-1=201-100101-53-3-5-530511511-62=-111-1=-620==40.-55-5-50-5-50(2)利用行列式的性质将行列式化为上三角行列式,有101310131-1430-130=-1-1230-13600130013101310130-1300-130==-=6.0006001300130006 第7章线性代数基础271111111111111123401230123(3)==1361002590013141020039190031011110123==1.001300012.计算行列式-abacaea+bcc(1)bd-cdde;(2)ab+ca.bfcf-efbbc+a解(1)将行列式的每行每列的公因子提出后,再将行列式的第1行分别加到第2行、第3行,有-abacae-111bd-cdde=abcdef1-11bfcf-ef11-1-111=abcdef002=4abcdef.020(2)将行列式第2行的-1倍和第3行的-1倍加到第1行后,再按第1列展开,有a+bcc0-2b-2aab+ca=ab+cabbc+abbc+a0ba=-2ab+ca=4abc.bbc+a 272医用高等数学学习指导3.计算下列n阶行列式ab0⋯000ab⋯00(1)……………;000⋯abb00⋯0a123⋯n-1n1-10⋯00(2)02-2⋯00.……………000⋯n-11-n解(1)将n阶行列式按第1列展开,有ab0⋯00ab⋯000ab⋯00………………………=a00⋯ab000⋯ab00⋯⋯ab00⋯0ab0⋯00ab⋯001+nnn+1n+(-1)b=a+(-1)b.…………00⋯ab(2)将行列式的第2列,⋯,第n列加到第1列后,再按第1列展开,有123⋯n-1n1-10⋯0002-2⋯00……………000⋯n-11-n 第7章线性代数基础2731+2+⋯+n23⋯n-1n0-10⋯00=02-2⋯00……………000⋯n-11-n-10⋯00n(n+1)2-2⋯00=2…………00⋯n-11-n(n+1)nn-1n-1(n+1)!=(-1)(n-1)!=(-1).224.试确定下列矩阵中的未知数a,b,c.23a-13b(1)+=;1c0b1022a1ba2115-37(2)-2=.0-23-1c42-8-5a+223b解(1)由矩阵的运算有=,再由矩阵1b+c10相等的定义有a+2=3;b=2;b+c=0,即有a=1,b=2,c=-2.(2)由矩阵运算有22a-2a-3b-215-37=,2-2-2c-52-8-522再由矩阵相等的定义得a-2a=15,b-2=7,-2-2c=-8,即得a=-3或5,b=±3,c=3.121243215.设矩阵A=2121,B=-21-21,12340-10-1(1)求3A-B;(2)解矩阵方程A+X=B;(3)解矩阵方程(2A+ 274医用高等数学学习指导Y)+2(B-Y)=0.12124321解(1)3A-B=32121--21-2112340-10-136364321=6363--21-21369120-10-1-1315=8282.3791343211212(2)X=B-A=-21-21-21210-10-11234311-1=-40-40.-1-3-3-5(3)Y=2(A+B)12124321=22121+2-21-2112340-10-1101066=0404.22666.计算下列矩阵的乘积03410-122121(1)-1130;(2)2343;31-105-144-121 第7章线性代数基础2752510(3)3234;(4).11403410-12-567121解(1)-1130=102-6.31-105-14-21710-1212(2)2343=29.42468(3)3234=6912.4812165310101010(4)=111111112101010=211111210101010==3111312110=.512-10T7.设矩阵A=1-12,B=113,求(AB).4212-10解AB=1-12113=92-1,421 276医用高等数学学习指导9T故(AB)=2.-124231T8.设矩阵A=1-1,B=,验证(AB)=21031TTBA.2412102231解AB=1-1=021,2103181031208T(AB)=10210,213221208213TTBA=31=10210,故4-1110613TTT(AB)=BA.9.用伴随矩阵的方法求下列矩阵的逆111cosα-sinα(1)A=;2)A=011;sinαcosα00110001230200(3)A=;(4)A=221.00303430004解(1)A11=cosα,A12=-sinα,A21=sinα,A22=cosα,cosα-sinα|A|==1,可得sinαcosα 第7章线性代数基础277A11A21cosαsinα-11*1A=A==.|A||A|A12A22-sinαcosα(2)|A|=1,110101A11=,A12==0,A13==0,010100111111A21==-1,A22==1,A23==0,010100111111A31==0,A32==-1,A33==1,110101可得A11A21A311-10-11*A=A=A12A22A32=01-1.|A|A13A23A33001(3)|A|=24,A11=24,A12=0,A13=0,A14=0,A21=0,A22=12,A23=0,A24=0,A31=0,A32=0,A33=8,A34=0,A41=0,A42=0,A43=0,A44=6,可得1000A11A21A31A4110002A21A22A32A42-11*1A=A==1.|A||A|A13A23A33A430003A14A24A34A4410004123123-2-5(4)|A|=221=0-2-5==2,-2-63430-2-6212122A11==2,A12=-=-3,A13==2,433334 278医用高等数学学习指导231312A21=-=6,A22==-6,A23=-=2,433334231312A31==-4,A32=-=5,A33==-2,212122可得A11A21A31-11*1A=A=A12A22A32|A||A|A13A23A3313-226-4135=-3-65=--3.22222-211-110.解下列矩阵方程x11x123-2-12(1)=;x21x225-4-5625x11x124-6(2)=;13x21x222114x11x122031(3)=.-12x21x22-110-13-23-2解(1)=-2≠0,即可逆,且5-45-4-12-13-2=53,5-4-22-1故x11x12-123-2=x21x22-565-42-1-123-2=53=.-56-5-422 第7章线性代数基础2792525(2)=1≠0,即可逆,且1313-1253-5=,13-12-1故x11x12254-6=x21x2213213-54-62-23==.-1221081414(3)=6≠0,即可逆,且-12-12-11412-4=.-126112020又=2≠0,从而可逆,且-11-11-120110=,-11212-1-1故得x11x12143120=x21x22-120-1-1-112-43110=12110-1121116610==1.1230120411.用初等变换求下列矩阵的逆矩阵013123(1)235;(2)A=221.357343 280医用高等数学学习指导013100113100解(1)(AE)=235010→2350103570011220-111220-111220-11→235010→0-1103-20131000131001220-111220-110-1103-2→1-1103-2→13100413-2001-44215120--2100-12-1221931930-10--010-→442→442,131131001-001-442442得-12-1-1103193-235=442.357131-442123100123100(2)(AE)=221010→0-2-5-2103430010-2-6-301123100120-2-33→0-2-5-210→0-2036-500-1-1-1100111-1 第7章线性代数基础28110013-210013-235→0-20365→010--3,2200111-100111-1得13-2-135A=--3.2211-112.求下列矩阵的秩1231215110(1)A=2-137;(2)B=.2333116343解(1)对A进行初等行变换,有121512151215A=2-137→0-51-3→0-51-3,31160-5-2-900-3-6即求得r(A)=3.(2)对B进行初等列变换有123121121100100110110110111110B=→→→→,233231231211210343341341311310即求得r(B)=2. 282医用高等数学学习指导13.解下列线性方程组x1+x2-3x3-x4=1,(1)3x1-x2-3x3+4x4=4,x1+5x2-9x3-8x4=0.11-3-11解增广矩阵珟A=(Ab)=3-1-344,对珟A15-9-80进行初等行变换,有11-3-1111-3-11珟A→0-4671→0-4671,04-6-7000000可得r(A)=r(珟A)=2<4,故方程组有无穷多个解,同解方程组为x1+x2-3x3-x4=1-4x2+6x3+7x4=1,解得335x1=x3-x4+,244371x2=x3+x4-,244x3=x3,x4=x4为方程组的解,其中x3,x4为任意实数.x1-x2=3,(2)2x1-x3=-8,x1+x2-3x3=-10.解增广矩阵1-103珟A=(Ab)=20-3-811-3-10 第7章线性代数基础2831-1031-103→02-3-14→02-3-14,02-3-130001得r(A)=2,r(珟A)=3,即有r(A)≠r(珟A),故方程组无解.x1+2x2+x3=5,(3)2x1-x2+3x3=7,3x1+x2+x3=6.解增广矩阵12151215珟A=(Ab)=2-137→0-51-331160-5-2-912151215→0-51-3→0-51-3,00-3-60012即有r(A)=r(珟A)=3,方程组有惟一解,且同解方程组为x1+2x2+x3=5,x1=1,-5x2+x3=3,解得x2=1,为方程组的惟一解.x3=2,x3=2.2x1+7x2+3x3+x4=6,(4)3x1+5x2+2x3+2x4=4,9x1+4x2+x3+7x4=2.解增广矩阵2731627316珟A=(Ab)=35224→1-2-11-294172941721-2-11-21-2-11-2→0115-110→0115-110,02210-22000000 284医用高等数学学习指导即有r(珟A)=r(A)=2,方程组有无穷多个解,且同解方程组为x1-2x2-x3+x4=-2,11x2+5x3-x4=10,解得方程组的解为x1=8-9x2-4x3,x2=x2,x3=x3,x4=-10-11x2-5x3,其中x2,x3为任意实数.14.线性方程组(λ+3)x1+x2+2x3=λ,λx1+(λ-1)x2+x3=λ,3(λ+1)x1+λx2+(λ+3)x3=3,当λ为何值时,(1)方程组有惟一解;(2)方程组有无穷多解;(3)方程组无解.解增广矩阵λ+312λ珟A=(Ab)=λλ-11λ3(λ+1)λλ+3332-λ10→λλ-11λ3(λ+1)λλ+3332-λ10→3λ3λ-333λ3λ2λ-2λ+2332-λ102→0λ+λ-33-λ3λ,20λ-223 第7章线性代数基础2852λ+λ-33-λ2由=0,得λ(λ-1)=0,解此方程得λ1=0,λ2=1.2λ-22即当λ≠0,λ≠1时,有r(A)=r(B)=3,故方程组有惟一解.当λ=0时,312031203120珟A=0-110→0-110→0-110,30330-1130003得r(A)=2,r(珟A)=3,故当λ=0时,r(A)≠r(珟A),方程组无解.当λ=1时,412110111011珟A=1011→01-2-301-2-3,614301-2-30000得r(A)=r(珟A)=2,故方程组有无穷多个解.综上所述,当λ≠1,λ≠0时,方程组有惟一解;当λ=0时,方程组无解;当λ=1时,方程组有无穷多个解.15.求下列矩阵的特征值和特征向量3-11332(1)A=201;(2)A=11-2.1-12-3-10解(1)λ-31-1f(λ)=|λE-A|=-2λ-1-11λ-2λ-31-1λ-310=0λ-23-2λ=0λ-21-λ-11λ-1-11λ=λ(λ-2)(λ-3)+(λ-1)-(1-λ)(λ-3)2=(λ-2)(λ-1).'