十二章：作轴对称教案及答案.doc 26页

'中学八年级上第十二章轴对称教案§12．1轴对称（第一课时）教学目标（一）  知识目标：1、在生活实例中认识轴对称2、使学生了解轴对称图形和关于直线成轴对称的概念（二）  能力目标：1、通过实例认识轴对称，能够识别生活中的轴对称图形及其对称轴2、培养学生的观察能力，思维能力，动手能力，总结能力（三）  情感目标：体验数学与生活的联系，发展学生空间观念，审美观。重点：准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称的概念难点：1、在生活中识别轴对称图形2、轴对称图形和关于直线成轴对称的区别和联系教具准备：三角尺、图片、课件教学过程：  一．导入新课同学们，自远古以来，对称的形式被认为是和谐、美丽的．不论在自然界里还是在建筑中，不论在艺术中还是在科学中，甚至最普通的日常生活用品中，对称的形式都随处可见，对称给我们带来了美的感受！而轴对称是对称中重要的一种，今天让我们一起走进轴对称世界，探索它的秘密吧！ 二、自主学习自学提纲：（一）（出示多媒体课件）1.准备一张纸；2.对折纸；3.用圆规在纸上扎出如图所示的图案（或者发挥你的想象扎出其它你认为美丽的图案）；4.把纸打开铺平，观察所得的图案，位于折痕两侧的部分有什么关系？           （能互相重合   一模一样   是对称的）（演示多媒体课件）要仔细观察，看有什么发现？ （一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合）不仅蝴蝶可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，刚才展示的图形也可以沿一条直线对折，1、归纳：轴对称图形定义：如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴2、归纳：轴对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形 中学八年级上第十二章轴对称教案关于这条直线成轴对称。这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。3、练习：标出下列图形中的对称点三、合作探究1、请你举出生活中的轴对称和轴对称图形轴对称：两扇大门、一双鞋、两只手、物体和镜中的像……轴对称图形：圆、正方形、长方形、菱形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、线段、角……反复引导学生说出轴对称图形和轴对称的区别2、轴对称图形的对称轴的条数(    )     A.只有1条 B.2条 C.3条 D.至少一条3、下列图形中对称轴最多的是(    )    A.圆  B.正方形    C.角    D.线段4、探究2、填表 轴对称图形两个图形成轴对称区别一个图形（ ）个图形  联 系１．沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够（ ）.２．都有（ ）.３．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线（ ）.；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是（ ）.（分组合作、交流、教师适时归纳总结规律）四、达标训练：1、下列英文字母和数字汉字中，哪些是轴对称图形？A H X D  R  S  JI  M  N  目   日  喜3  8   0  7  3、以前见到的几何图形中哪些都是轴对称图形呢？（线段、角、正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形、菱形、圆都是轴对称图形。注意：平行四边形不是轴对称图形）4、下列说法中错误的是A、关于某直线对称的两个图形一定能够完全重合。B、两个全等的三解形一定关于某直线成轴对称。C、轴对称图形的对称轴至少有一条D、长方形是轴对称图形。（学生自作，同桌或小组讨论合作，差生演板，中等生纠错，优秀生评价，教师最后总结规律方法）。五、课堂小结： 中学八年级上第十二章轴对称教案1、本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？2、你自学时的疑难解决了吗？六、堂清作业：课本习题P36       第2、3、4、6、8题．七、板书设计：八、课后反思：§12．1轴对称第二课时教学目标（一）教学知识点1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．2．探究线段垂直平分线的性质．（二）能力训练要求1．经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察．2．探索线段垂直平分线的性质，培养学生认真探究、积极思考的能力．（三）情感与价值观要求通过对轴对称图形性质的探索，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力．教学重点1．轴对称的性质．2．线段垂直平分线的性质．教学难点体验轴对称的特征．教学方法引导发现法．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课[师]上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？[生]如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．[师]很好，那么我们今天继续来研究轴对称的性质．Ⅱ．导入新课[师]大家观看大屏幕，再思考．如下图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？（学生思考并做小范围讨论）[生甲]图中A、A′是对称点，AA′与MN垂直，BB′和CC′也与MN垂直．[师]能说明理由吗？AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗？[生乙]△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′ 中学八年级上第十二章轴对称教案分别是点A、B、C的对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN对折后，点A与A′重合，于是有AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°．所以AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外，MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点．[师]这位同学回答得非常好，分析得也很有道理．对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．[师]下面大家来画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系．学生画完后，用投影仪演示同学们所画的图形．[师]我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．归纳图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．下面我们来探究线段垂直平分线的性质．[探究1]如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？学生活动：1．学生用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．探究结果：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…[师]能用我们已有的知识来证明这个结论吗？学生讨论给出证明．证法一：利用判定两个三角形全等．如下图，在△APC和△BPC中，△APC≌△BPCPA=PB.证法二：利用轴对称性质．由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．带着探究1的结论我们来看下面的问题．[探究2]如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？ 中学八年级上第十二章轴对称教案学生活动：1．学生用平面图形将上述问题进行转化．作线段AB，取其中点P，过P作L，在L上取点P1、P2，连结AP1、AP2、BP1、BP2．会有以下两种可能．2．讨论：要使L与AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件？探究过程：1．如上图甲，若AP1≠BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B不可能重合，也就是∠APP1≠∠BPP1，即L与AB不垂直．2．如上图乙，若AP1=BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B恰好重合，就有∠APP1=∠BPP1，即L与AB重合．当AP2=BP2时，亦然．探究结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．也就是说在[探究2]图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直．[师]上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合．Ⅲ．随堂练习（一）课本P121练习1、2．1．如下图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？答：AB=AC=CE．理由：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等．AB+BD=DE．因为AB=CE，BD=DC，所以AB+BD=DC+CE，即AB+BD=DE．2．如下图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ 中学八年级上第十二章轴对称教案答：是．因为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以A、M都在BC的垂直平分线上，所以直线AM是线段BC的垂直平分线．（二）阅读课本P119～P120，然后小结．Ⅳ．课时小结这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．Ⅴ．课后作业（一）课本习题14．1─3、4、9题．本节课后习题答案1、下面的图形是在对称图形吗？如果是，你能画出它的对称轴吗?解：是。2、图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称?整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴?解：于1和3成轴对称。整个图形是在对称图形，共有两条对称轴。3、如图，△ABC和△DEF关于直线L对称，根据图中的条件，求ABC的度数和DE的长？解:因为△ABC关于△DEF对称，所以有∠ABC=∠DEFAB=DE=6CM4、如图△ABC和△ABC关于直线L对称,这两个三角形全等。如果△ABC≌△ABC,那么△ABC和△ABC一定关于某条直线L对称吗？解:一定。 中学八年级上第十二章轴对称教案5、如图，ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=3CM,ABD的周长为13CM,求ABC的周长?解：因为DE垂直平分AC所以AD=DCAE=EC则△ABC周长=△ABD周长+2AE=13+6=196、下列各图是在对称图形吗?如果是，画出它们的一条对称轴。解:除了第二个，都是轴对称图形。7、平面内两条相交直线是轴对称图形吗?如果是，它有几条对称轴？画画看。解：是有两条对称轴8、如图所示的虚线中，哪些是图形的对称轴?解：dfb是图形的对称轴 中学八年级上第十二章轴对称教案9、如图，某地由于居民较多，要在公路边增加一个公共汽车站，A,B是路边两个新建小区，这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？解：过A着公路的垂直平分线AA，连接AB交公路于C点，则公共汽车站建在C点就行。10、如第四题图，△ABC和△ABC关于直线L对称，延长对应线段AB和AB，两条延长线相交吗？交点于对称轴L有什么关系?延长其它对应线段呢？再找几个成对称轴的图形观察一下，你能发现什么规律?解：两条延长线一定相交的，交点在对称轴上，延长其他的对应线段都相交于对称轴上。其他的成轴对称的图形，有的和对称轴相交，有的平行。11、电信部门要修建一座电视信号发射塔。如下页图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等。到两条高速路M和N的距离也必须相等。发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置。解：画MN的对称轴L,连接AB，作AB得垂直平分线交L于C点。即C点为发射塔的位置。12、如图，△ABC中，边AC，BC的垂直平分线交与点P。(1)求证PA=PB=PC.(2)D点P是否也是在边AC的垂直平分线上呢？由此你还能得出什么结论？证：(1)因为AC，BC的垂直平分线交与点P所以PA=PBPB=PC(2)由(1)PA=PC所以△APC是等腰三角形AC的垂直平分线一定过P点结论三角形三边的垂直平分线一定交于同一点12、如图，ABC中，边AC，BC的垂直平分线交与点P。(1)求证PA=PB=PC.(2)D点P是否也是在边AC的垂直平分线上呢？由此你还能得出什么结论？证：(1)因为AC，BC的垂直平分线交与点P 中学八年级上第十二章轴对称教案所以PA=PBPB=PC所以PA=PB=PC1)求证PA=PB=PC.(2)D点P是否也是在边AC的垂直平分线上呢？由此你还能得出什么结论？证：(1)因为AC，BC的垂直平分线交与点P所以PA=PBPB=PC12.2.1作轴对称图形（第一课时）一、教学目标：【知识与技能目标】　1、通过具体实例学做轴对称图形，认识轴对称变形，探索它的基本性质和定义。2、能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形。3、能利用轴对称进行图案设计。【过程与方法目标】1、经历轴对称变形的画图、观察、交流等活动理解其基本特征。2、通过利用轴对称作图和图案设计发展实践能力。【情感态度与价值观目标】1、从轴对称的角度去认识和构建几何图形，发展形象思维，并尝试用轴对称去从事推理活动。2、通过欣赏轴对称图案，形成学生了解数学、应用数学的态度。3、通过作轴对称画图，设计图案，锻炼学生克服困难的意志，培养创新精神。二、教学重点：1、轴对称变形的基本特征。2、能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形。教学难点：利用轴对称进行一些图案设计。三、教学方法：教师引导式与学生探究、合作交流式相结合的方法。四、教学用具：白纸若干、复写纸、剪刀、三角尺。五、教学过程设计：Ⅰ.知识回顾回忆思考：上一节中我们都学了哪些内容呢？Ⅱ.创设情景导入新课活动一：教师通过图片展示生活中与轴对称现象有关的美丽图案。如：剪纸艺术、服饰文化、几何图案、花边艺术等 中学八年级上第十二章轴对称教案观察思考：欣赏美丽图案，思考这些图案是怎样形成的？你想学会制作这种图案的方法吗？（板书课题）活动二：动手画图1（1）.取一张长方形纸（2）.将纸对折，中间夹上复写纸；（3）在纸上沿折叠线画出半只蝴蝶;；(4).把纸展开动手画图2(1).再取一张长方形纸；(2).将纸对折，中间夹上复写纸；(3).在纸上远离折叠线画出一朵花；(4).把纸展开。学生画图，教师关注：（1）学生如何画出图形的基础部分；折痕两旁的部分是什么关系？（2）折痕所在直线就是它的对称轴。（3）找出一对对应点并连接，观察它与折痕的关系。（4）思考这些图案是怎样形成的？归纳总结：一个轴对称图形可以看作由它的一部分为基础，按轴对称原理作图而得到。成轴对称的两个图形也可以由其中的任何一个图形为基础，按轴对称原理作图而得到另一个图形.活动三：观察教科书Ｐ39中图12.2－2、12.2－3是怎样得到的？图12.2－4是怎样得到的？思考：每组图案是怎样得到的？（1）每组图案中相邻的两个图案是否都是对称的？（2）每组图案各有几条对称轴，对称轴一定是水平或竖直的吗？（3）这些图案由一个图形经一次轴对称作图就能得到吗？看学生是否找对了和找全了对称轴。活动四：（动手画图3）取一张白纸折叠夹上复写纸，任画一个你最喜欢的图张白纸折叠夹上复写纸，任画一个你最喜欢的图形，打开纸看一下，然后改变折痕方向重新叠纸，在原来的图形上描图，再打开，你会发现什么结论？当对称轴的方向和位置发生变化时,得到图形的方向和位置会变吗？展示学生的作品，听取学生的评价。关注：（1）学生画出的是一个什么图形。（2）是否改变了折痕并重复了几次。（分小组讨论后）总结：对称轴的方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也发生了变化。Ⅲ.理解教材,共同探讨作轴对称图形的基本特征： 中学八年级上第十二章轴对称教案学生通过实践、观察，归纳以上四个活动中的共同点，教师给与引导、纠正，并给出完整的的归纳。（详见教材P40中的归纳）思考：得出这些漂亮图案都用到了什么作图方法？这种方法的基本特征是什么？学生用自己的语言来表述作轴对称图形的特征。其他同学补充，然后对照课本修正自己的语言。问题：如果有一个图形和一条直线，如何作出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？教材第40页例1.思考：（1）△ABC关于直线的对称图形是什么形状？（2）△ABC的轴对称图形可以由哪几个点确定？学生口述作法。思考：如果这个图形就是一个点，如何作出与这个点关于这条直线对称的图形呢？Ⅳ.归纳总结，应用提高组织学生讨论归纳：作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚。讨论、交流用自己的语言总结画图步骤：（1）找点（2）画点（3）连线。1、P41练习第1题；2、展示利用轴对称设计的一些图案Ⅴ.课堂小结本节课你学了哪些知识，有什么收获？点评：给予点评与鼓励Ⅵ.课后作业1、P41练习第2题P45习题12.2第1题，P46习题12.2第5题2、利用轴对称，自己设计一些图案。 中学八年级上第十二章轴对称教案12.2.2用坐标表示轴对称（第二课时）一、教学目标：【知识与技能目标】　1、能够经过探索利用坐标来表示轴对称。2、掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点。【过程与方法目标】1、经历利用坐标来表示轴对称图形的过程，让学生加深对轴对称图形的理解。2、掌握点或图形的轴对称引起的点的坐标的变化规律。【情感态度与价值观目标】1、通过欣赏轴对称图案，形成学生了解数学、应用数学的态度。2、通过作轴对称画图，设计图案，锻炼学生克服困难的意志，培养创新精神。二、教学重点：关于x轴、y轴对称的点的坐标特点。教学难点：用坐标表示轴对称的应用。三、教学方法：教师引导式与学生探究、合作交流式相结合的方法。操作、归纳、交流、练习。四、教学用具：白纸若干、直尺、三角尺。五、教学过程设计：Ⅰ.知识回顾：1、已知△ABC，求作△A’B’C’，使它与△ABC关于直线l成轴对称。Ⅱ.学习新知（一）探究：关于x轴、y轴对称的点的坐标特点1、思考：教材P432、探索：在平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现坐标间有什么规律？已知点A(2，－3)B（－1，2）C（－6，－5）D（0.5，1）E（4，0）关于x轴对称的点A’()B’()C’()D’()E’() 中学八年级上第十二章轴对称教案关于y轴对称的点A’’()B’’()C’’()D’’()E’’()（平面直角坐标系在教材P43图12.2－11）3、归纳：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是。（板书）4、练习：教材P44练习第1题、第2题（完成于书上）。（二）应用：例1、修马路，已知线段DE的两个端点的坐标分别为D(-2，3)E(-3，1),作出线段DE关于y轴对称的图形。（倘若修的不是马路，而是四边形花园呢？）例2、如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形。（P44例2）练习：1、教材P45练习第3题如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形 中学八年级上第十二章轴对称教案2、若点P（2a+b，-3a）与点P1（8，b+2）关于x轴对称，则a=，b=．2a+b=8-3a=-(b+2)=>-3a=-b-2=>3a-b=25a=10=>a=2=>b=4Ⅲ.总结：1、谈谈本节课你有哪些收获？2、你学习了哪些方法和知识？Ⅳ.作业：P45-462、4、612.2作轴对称图形习题答案P41练习一：答案：1.2.略P44练习二：1．关于x轴：（—2，—6），（1,2），（—1，—3），（—4，2），（1,0），关于y轴：（2,6），（—1，—2），（1,3），（4，—2），（—1,0），2.B点的坐标（1,2）。3.略P45复习巩固题：1.略2.关于x轴：（3，—6），（—7，—9），（6,1），（—3,5），（0，—10），关于y轴：（—3,6），（7,9），（—6,1），（3，—5），（0,10），3.B(1,-1),C(-1,-1),D(-1,1)4.关于X轴对称：A1(0，-3);B1(3,2);C1(4，-3) 中学八年级上第十二章轴对称教案关于Y轴对称：A2(0,3);B2(-3，-2);C2(-4,3)5.略6.解;(1)横坐标不变，纵坐标为它的相反数，向纵坐标的负方向移动6个单位。（2）横坐标不变，纵坐标增加了5，向纵坐标的正方向移动5个单位。（3）横坐标为它的相反数，纵坐标不变，向横坐标的负方向移动6个单位。（4）横纵坐标都变为它的相反数。7.解：（3,0）,(5,0)关于直线L对称。（0,3），（8,3）关于直线L对称。（1,4），（7,4）关于直线L对称。（4,1），（4,1）关于直线L对称。8.（3，0），（5,0）关于直线L对称。（0，3），（8,3）关于直线L对称。（1，4），（7,4）关于直线L对称。（4，1），（4,1）关于直线L对称。9.略10.略12.3.1等腰三角形(第一课时)一、教学目标1.知识与能力理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．　　2.过程与方法在探索等腰三角形的性质和判定的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．培养学生添加辅助线解决问题的能力。3.情感、态度与价值观培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．二、教学重点理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．三、教学难点等腰三角形性质和判定的探索和应用．四、教学方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．五、教学工具长方形的纸片、剪刀六、教学过程Ⅰ.创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1 中学八年级上第十二章轴对称教案同学们，你们喜欢折纸吗？是啊，一页普普通通的纸，经过我们灵巧的双手，就可以变成飞机、小船和各种各样有趣的动物。其实，通过折纸，我们还可以发现很多的数学知识，下面就让我们一起折一折，剪一剪，看看会有什么发现？首先，让我们将长方形纸片对折，使两部分重合，用剪刀沿对折一边向外剪。好了，同学们请看，你得到了一个什么图形？得到的△ABC有什么特征？你能画出具有这种特征的三角形吗？学生活动设计：学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB=AC．教师活动设计：让学生总结出等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角．如图（2）：图（2）△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，AB、AC是腰、BC是底边、∠A是顶角，∠B和∠C是底角．Ⅱ.自主探究、合作交流，探究等腰三角形的性质活动2把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：重合的线段重合的角从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？学生活动设计： 中学八年级上第十二章轴对称教案学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质．教师活动设计：引导学生归纳：性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；性质2等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．活动3你能用所学知识验证上述性质吗？问题：如图（3），已知△ABC中，AB=AC。（1）求证：∠B=∠C；（2）AD平分∠A，AD⊥BC．图（3）学生活动设计：学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证∠B=∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可，于是可以作辅助线构造两个三角形,做BC边上的中线AD,证明△ABD和△ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明．教师活动设计：让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性〔解答〕在△ABD和△ACD中所以△ABD≌△ACD（SSS），所以∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC＝90°．添加辅助线的方法多样，让学生在去讨论交流。也为下边的讲解做铺垫。Ⅲ.应用提高、拓展创新问题1如图（5），在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各个内角的度数． 中学八年级上第十二章轴对称教案图（5）学生活动设计：学生小组合作、分组讨论，交流．教师活动设计：引导学生分析图形中的关于角的数量关系（三角形的内角、外角、等腰三角形的底角）．发现：（1）∠ABC=∠ACB＝∠CDB＝∠A＋∠ABD；（2）∠A＝∠ABD；（3）∠A＋2∠C＝180°．若设∠A＝x，则有x＋4x＝180°，得到x＝36°，进一步得到两个底角的度数．〔解答〕∵AB=AC,BD=BC=AD∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD（等边对等角）设∠A=x,则：∠BDC=∠A+∠ABD=2x从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x于是在△ABC中，有：∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=1800解得x=360在△ABC中∠A=360,∠ABC=∠C=720Ⅳ.归纳小结小结：每个小组说说自己的收获1.等腰三角形的定义及相关概念。2.等腰三角形的性质。Ⅴ.布置作业作业：P51练习第1～3题．12.3.1等腰三角形(第二课时)一、教学目标1.知识与能力理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．　　2.过程与方法 中学八年级上第十二章轴对称教案在探索等腰三角形的性质和判定的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．培养学生添加辅助线解决问题的能力。3.情感、态度与价值观培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．二、教学重点理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．三、教学难点等腰三角形性质和判定的探索和应用．四、教学方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．五、教学过程Ⅰ.创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1如图（4），位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？学生活动设计：学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察问题中的条件，发现问题的本质是在条件∠A＝∠B下，线段AO和BO是否相等，证明两条线段相等，可以考虑这两条线段所在的三角形全等，而图中没有别的三角形，因此需要构造全等的三角形．图（4）学生活动设计：教师启发学生发现问题本质，让学生探索“AO=BO”成立的原因，引导学生构造全等三角形：过O作OC⊥AB于点C，利用AAS可以证明△OAC和△OBC全等，进而得到AO=BO．最后归纳出等腰三角形的判定方法．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）〔解答〕过点O作OC⊥AB于点C，由∠A＝∠B、∠ACO=∠BCO、OC=OC易证△AOC≌△BOC，进而得到AO=BO．Ⅱ.应用提高、拓展创新问题1如图（5），∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD//BC，求证： 中学八年级上第十二章轴对称教案AB=AC．图（5）师生活动设计：学生自主探索，必要时教师进行引导，利用等腰三角形的判定方法来证明，只要推出∠B=∠C即可，由AD//BC和AD平分∠EAC容易得到．(分析：要证明AB=AC,可先证明∠B=∠C.。因为∠1=∠2，所以可以设法找出∠B，∠C，与∠1，∠2的关系。)证明：∵AD∥BC∴∠1=∠B（两直线平行同位角相等）∠2=∠C（两直线平行内错角相等）而已知∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）问题2如图（1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，绳子CD和CE要多长？这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题．解：选取比例尺为1：100（即为1cm代表1m）．（1）作线段DE=4cm；（2）作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；（3）在MN上截取BC=2.5cm；（4）连接CD、CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，就可以算出要求的绳长． 中学八年级上第十二章轴对称教案Ⅲ.课时小结本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，并对判定定理的简单应用作了一定的了解．在利用定理的过程中体会定理的重要性．在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力．Ⅳ．课后作业课本P63页4,5,6题．12．3．２等边三角形(第一课时)一、教学目的1、使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。2、熟识等边三角形的性质及判定．教学重点：等腰三角形的性质及其应用。教学难点：简洁的逻辑推理。二、教学工具：尺子，量角器，两个相等的等腰三角形三、教学过程Ⅰ.复习巩固1．叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的?等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“等边对等角”。把等腰三角形对折，折叠两部分是互相重合的，即AB与AC重合，点B与点C重合，线段BD与CD也重合，所以∠B＝∠C。等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称“三线合一”。由于AD为等腰三角形的对称轴，所以BD＝CD，AD为底边上的中线；∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD又为底边上的高，因此“三线合一”。2．若等腰三角形的两边长为3和4，则其周长为多少?，那么等腰三角形的两边长为2和5呢？Ⅱ.新课在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形具有什么性质呢?1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想。2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的?等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°。3．上面的条件和结论如何叙述?等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等边三角形是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴?等边三角形也称为正三角形。例1．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数。分析：由AB＝AC，D为BC的中点，可知AB为 中学八年级上第十二章轴对称教案BC底边上的中线，由“三线合一”可知AD是△ABC的顶角平分线，底边上的高，从而∠ADC＝90°，∠l＝∠BAC，由于∠C＝∠B＝30°，∠BAC可求，所以∠1可求。问题1：本题若将D是BC边上的中点这一条件改为AD为等腰三角形顶角平分线或底边BC上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样?问题2：求∠1是否还有其它方法?如图(2)，在△ABC中，已知AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，且∠2＝25°，求∠ADB和∠B的度数。3．P54练习1、2。Ⅲ.小结由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60°。“三线合一”性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。Ⅳ.作业：1．课本P57第6，7题。2、补充：如图(3)，△ABC是等边三角形，BD、CE是中线，求∠CBD，∠BOE，∠BOC，∠EOD的度数。 中学八年级上第十二章轴对称教案§12．3．2等边三角形（第二课时）一、教学目标1．掌握等边三角形的性质和判定方法．2.培养分析问题、解决问题的能力．二、教学重点：等边三角形的性质和判定方法．三、教学难点：等边三角形性质的应用四、教学过程I．创设情境，提出问题回顾上节课讲过的等边三角形的有关知识1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．2．等边三角形每一个角相等，都等于60°3．三个角都相等的三角形是等边三角形．4．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．其中1、2是等边三角形的性质；3、4的等边三角形的判断方法．1．△ABC是等边三角形，以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗，为什么?①在边AB、AC上分别截取AD=AE．②作∠ADE＝60°，D、E分别在边AB、AC上．③过边AB上D点作DE∥BC，交边AC于E点．2．已知：如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大小．分析：由已知显然可知三角形APQ是等边三角形，每个角都是60°．又知△APB与△AQC都是等腰三角形，两底角相等，由三角形外角性质即可推得∠PAB＝30°．Ⅱ.随堂练习：P56页练习1、2III课堂小结：1.等边三角形和性质；等边三角形的条件V布置作业：1．P58页习题12．3第ll题．2.已知等边△ABC，求平面内一点P，满足A，B，C，P四点中的任意三点连线都构成等腰三角形．这样的点有多少个?§12．3．2等边三角形（第三课时）教学过程一、复习等边三角形的判定与性质二、新授： 中学八年级上第十二章轴对称教案在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半注意：推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论2说明在等腰三角形中，只要有一个角是600，不论这个角是顶角还是底角，就可以判定这个三角形是等边三角形。推论3反映的是直角三角形中边与角之间的关系.3．由学生解答课本148页的例子；由书上的探究引出4．补充：已知如图所示,在△ABC中,BD是AC边上的中线,DB⊥BC于B,∠ABC=120o,求证:AB=2BC分析由已知条件可得∠ABD=30o,如能构造有一个锐角是30o的直角三角形,斜边是AB,30o角所对的边是与BC相等的线段,问题就得到解决了.5,讲解书上例五解题小结1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路,较复杂的几何问题经常用这种方法进行分析2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。三、小结本节知识四、作业：课本P58页第13，14题12.3节习题解答：P51练习1、（1）底角为72度；（2）底角为30度2、解：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45度，AD=BD=DC、AB=AC3、解：在⊿ABD中，AB=AD∠BAD=26度，则∠B=∠BDA且∠B+∠BDA+26=180∴∠B=72度同理可得∠C=36度P53练习1、证明：∵∠DBC=36，∠C=72在⊿BCD中∠1+∠DBC+∠C=180∴∠1=180-72-36=36度，则⊿BCD是等腰三角形同理可得∠2=36度，则⊿DAB是等腰三角形又∵∠B=∠C=72度，则⊿ABC是等腰三角形2、重合部分是等腰三角形（利用全等三角形性质证明两腰相等）3、证明：∵AB∥DC,∴∠D=∠B,∠A=∠C又∵OA=OB,∴∠A=∠B,∠D=∠C,∴OC=ODP54练习1、是轴对称图形，对称轴为任一边上的高或底边的中线、顶角的角平分线。2、解：∵⊿ABC是等腰三角形，∴∠B=∠A=∠C=60度又∵∠BDE=∠CDF=60度∴⊿EBD与⊿FDC是等腰三角形,∴BE=ED=BD,DF=FC=DC又∵AD是BC上的高，则BD=DC∴BE=ED=BD=DF=FC=DC=AE=AF 中学八年级上第十二章轴对称教案P56练习1、解：∵∠B=2∠A,∴∠B+∠A+∠C=∠C+2∠A+∠A=180∴∠A=30，∠B=60且AB=2BC(30度角所对应的直角边等于斜边的一半)习题12.31、解：（1）由已知的角110度是顶角，则设其中的一个底角为x，则2x+110=180∴x=35度，即另外两个角为35度（2）若80度角为顶角，，则设其中的一个底角为x，则2x+80=180∴x=50度，即另外两个角为50度若80度角为底角，，则另一个底角为80度，顶角为180-2×80=202、证明：∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=∠ADB,∴⊿ABD是等腰三角形，即AB=AD3、解：∠AMB=180-36=144度4、解：∵⊿ABC是等腰三角形，且AD⊥BC,∠BAC=100度∴∠B=∠C=40度,∠BAD=∠CAD=50度5、证明：∵CE∥DA,∴∠A=∠CEB,又∵∠A=∠B,∠CEB=∠B,∴⊿CEB是等腰三角形6、证明：作⊿ABC底边上的高AF,∵AD=AE、AB=AC∴⊿ABC、⊿ADE是等腰三角形,∴BF=FC、DF=FE又∵BD+DF=FE+EC∴BD=CE7、解：∵AB=AC、∠A=40度，∴∠B=∠C=70度又∵MN是AB的垂直平分线，∴∠A=∠ABD=40，∴∠BCD=70-40=30度8、同学们判断正确。9、解：若∠PAB=∠PBA则⊿PAB是等腰三角形,则PA=PB10．解：由已知得：AB=2×15=30又∵∠NBC=84°∴∠CBA=96°∠BCA=42°∴△ABC是等腰三角形∴BC=AB=30（海里）11．证明：在△DAC和BAE中DA=BA〔∵△ABD是等边三角形〕∠DAC=∠BAE〔∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC〕AC=AE〔△AEC是等边三角形〕∴△DAC≌△BAE则BE=DC12.证明：底角的平分线相等，两腰上的中线相等，证明：底角的平分线相等∵△ABC是等腰三角形∴AB=AC，∠ABC=∠ACB 中学八年级上第十二章轴对称教案又∵BD，CE是∠ABC，∠ACB的角平分线∴∠DBC=∠ECB，BC=BC∴△EBC≌△DCB∴BD=EC即得证13.证明：〈1〉∵OE是∠ABC的角平分线∴ED=EC∴△EDC是等腰三角形∴∠ECD=∠EDC〈2〉∵∠DOE=∠COE。OE=OE，∠ODE=∠OCE∴△DOE≌△COE则：OC=OD〈3〉∵△DOE≌△COE，且△EDC是等腰三角形∴∠DEG=∠CEG，DE=CE，∠ECD=∠EDC∴△DEG≌△CEG∴DG=GC∴OE是线段CD的垂直平分线14：略'