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'工程数学习题答案付里叶变换的推导将2,3式代入1式得： 该式称为付里叶积分。定义付氏变换的基本性质性质1（线性定理）付氏变换是一个线性变换，即是说，如果为任意常数，则对函数有：性质2（卷积定理）的卷积的付氏变换等于的付氏变换的乘积，即。证明： 性质3（乘积定理）乘积的付氏变换等于它们各自的付氏变换的卷积再乘以，即证明：性质4（原象的导数定理）如果当时，，则。证明：性质5(象的导数定理)。证明： 例题1.求解弦振动方程的哥西问题。解：对的两端关于分别进行付氏变换，并记。利用性质4得到，，和是带参数的常微分方程的哥西问题，它的解是。于是定解问题的解应为：由逆变换公式得，。例题2.求解热传导方程的哥西问题。解：对的两端关于分别进行付氏变换，并利用性质4，得到： 是带参数的常微分方程的哥西问题，它的解是。于是定解问题的解应为：由性质2可知，。而故有。于是，。习题 1.解：令，则有：原式2.证明：令，则有:原式= 。3证明：令且有；原式.4.解：对式子的两边分别进行付氏变换即有令，则有：原式 由可得；。5.解：对上式进行关于的付氏变换；且当；且；。拉氏变换的推导令 在上对作付氏变换，选在其上时，对作付里叶级数展开。其中，设；则当时，。令，，。即当时，定义：。 当时，其中，。。拉普拉斯逆变换：拉氏变换的基本性质性质1.（线性定理）设为任意常数，则性质2.（乘积定理）设和都满足拉氏变换条件，其增长指数分别为和，则乘积满足拉氏变换的条件，且有 其中，。性质3.（原象的导数定理）更一般地，有证明：。用数学归纳法易证阶导数的情形。特别地，如果；则有。其中理解为右极限值，n=0,1,2,…性质4.（原象的积分定理）。可见，对原象积分一次，相当于象除以。证明：令，则。可验证满足拉氏变换条件且，因此对作拉氏变换，得又因故。性质5.（象的导数定理）可见，对象求导一次，相当于原象乘以。 证明：。性质6.（象的积分定理）设的象为，且积分收敛，则证明：因为，所以，若把积分路线取在半平面内，则有即积分在上一致收敛，故可以交换积分次序，于是可见，对象积分一次，相当于对原象除以。性质7.（相似定理）设，则.证明:.性质8.（位移定理）证明：性质9.（滞后定理）设，则。证明：；因为当时，，所以。 性质10.（卷积定理）设和的增长指数分别为和，则证明：令则积分与皆在半平面内绝对收敛，于是；作积分的变量代换，则在平面上与平面上的面积元素相对应的面积元素为并将平面的第一象限变为平面上及二直线间的部分，故例1.即函数的象为。例2．由象的导数定理可知，继续下去可得到，例3.利用位移定理，得； 例4．。例5．利用原象的导数定理，可得，又因故得，例6．在处理实际问题中，t表示时间，t-0为计时的起点。当某一物理量在计时以前其值为0，计时以后，由某一函数表示，则此时引用单位函数U甚为方便。例如某一单位函数记为，此时时间原点由迁至。由滞后定理可得，例7．由且当时，，当时，，所以。例8．求解初值问题。解：对方程两端作拉氏变换， 对上式两端作拉氏逆变换，即得例9．求解交流RL串联电路。解：对方程两端作拉氏变换，得，利用卷积定理，有故得，例10．求解强迫振动方程的初值问题解：对方程两端作拉氏变换，得例11．求解联立微分方程组其初始条件为。 解：对方程组两端作拉氏变换，得两式先后加减得于是有故得即例12．设在原点处，质量为的一质点在时受到冲击力的作用，其中为常数，若冲击力作用在的方向上，则运动方程为假定质点的初速度为零，试求其运动规律。解：对方程两端作拉氏变换，得。由题意有，故得于是，。例13．求解积分方程 解：由卷积定义，将方程写为对两端作拉氏变换，得故于是例14．求解半无界弦的振动问题其中为充分光滑的已知函数。解：对方程两边关于变量作拉氏变换，得记并考虑到零初始条件，得再对边界条件作拉氏变换，得左端右端记为便得同理 于是，得到一个相应的常微分方程定解问题方程的通解为其中，为任意常数。代入边界条件和，得故又由滞后定理，故习题1（1）解：（2）解：2.（1）解：设，则有两个一阶极点； （2）解：由题意知3．解：由卷积定理，。即4．解：求。对方程两边作拉氏变换，。即 5．求解。解：对方程两边作拉氏变换，得-。即6．解:.对方程两边作拉氏变换，得。7．解：对方程的两边进行拉氏变换，得— 设有一个二阶极点一个一阶极点。同理可得，8．解：对方程两边作拉氏变换，得，，令，有两个二阶极点。。同理可得， 有一个二阶极点。则有一个二阶极点，和一个一阶极点。综上有10．解：对方程作拉氏变换，得设其在半平面上有三个一阶极点分别为 同时有11．解：对方程两边作拉氏变换，得。15．解：对方程两边作拉氏变换，得在开平面有两个一阶极点，。 '