电大《工程数学》必过2010年1月-2015年1月期末试题已填写答案.doc 97页

'试卷代号：1080座位号国家开放大学（中央广播电视大学）2014年秋季学期“开放本科”期末考试工程数学（本）试题（半开卷）2015年1月1.设A,B都是n阶方阵，则下列等式中正确的是（C）．A./A+B/=/A/+/B/B./A一i+B一i/=/A/-1/B／一1c./ABI=/Al/B/D./AA／＝λ／A/11022．向量组0，1，2，3的秩是（B）．0037A．1B．3C．2D．43.设A为n阶方阵，若存在数人（λ的误）和非零n维向量X，使得AX=人X，则称数λ为A的（A）．A.特征值B.特征多项式c.特征向量D.非零解410 4.设X的分布列为x123p0.30.40.2则P7).（已知φ＜o)=o.5，φ（1)=o.8413，φ（2)=O.9773)14.某一批零件长度XN怡，o.2平方，随机抽取4个测得长度（单位：cm）为452 14.7,15.1,14.8,可否认为这批零件的平均长度为15cm(a=O.05,uo.97S=1.96)?证明15.设A是n阶矩阵，若A3=0，则（l-A)-1=I十A十Az.15.证明：因为（l-A)(l十A+A2)=I+A+A2-A-A2-A3=I-A3=I所以（I-A）一1=I十A+A2中央广播电视大学2012—2013学年度第一学期“开放本科”期末考试(半开卷）工程数学(本）试题题号一二二四总分分数2013年1月一、单项选择题(每小题3分,共15分）453 得分评卷人1.1.A,B都是n阶矩阵（n＞口，则下列命题正确的是〈D〉A.AB=BAB.若AB=0，则A=0或B=0C.(A-B)2=A2-2AB+B2D.|AB|=|A||B|2.向1231量组的029392秩是(C)0033A.1C.33.设矩阵A的特征多项式UI—A|=，则A的特征值为DA.A"1C.A—32题的秩是（C）.B.2D.4A—0010A~2000A~3B,A~2D.久1=1，入2=2，入3454 4.若随机变量X与Y相互独立，则方差D(2X—3Y)=(B).A.4D(X)-9D(Y)B.4D(X)+9D(Y)C.2D(X)-3D(Y)D.2D(X)+3D(Y)5.已知总体X〜未知，检验总体期望y采用（A）A.f检验法B.[/检验法2C.X检验法D.F检验法455 6.设三阶矩阵A的行列式|A|=1/2•，则|A-1|=27.线性方程组AX=B中的一般解的自由元的个数是2,其中A是4X5矩阵，则方程组增广矩阵r(A：B)=38．若事件A,B满足A〕B，则P(A—B)=P（A）-P（B）9.设随机变量X-012则E（X）=0.90.40.30.3设<8是未知参数8的一个估计，且满足E（<8）=8，则<8称为8的无偏估计得分评卷人三、计算题（每小题16分，共64分）「012"213111.（答案附后）114，解,矩阵方程设矩阵A=2-11_-356AX=B’B=12.设齐次线性方程组.X—3x2+2x3=02^-5^+3x3=0，人为何值时方程组有非零解？在有非零解3xi—8x2+Ao：3=0时，求出通解.（答案附后）13.设随机变量X〜N(4’l).(1)求P(|X—4丨>2);(2)若P(X>々）=0.9332，求k的值•（已知$(2)=0.9773,4>(1)=0.8413，3>(1.5)=0.9332)（答案附后）14从正态总体中抽取容量为64的样本，计算样本均值得3=21，求"的置信度为95%的置信区间•(已知Mo.975=1-96)（答案附后）456 15.设A，B为随机事件，试证:P(A)=P(A-B)+P(AB).457 15.证明：由事件的关系可知A=AUu=AU(B+B)=AB+AB=(A-B)+AB而(A—B)nAB=0，故由概率的性质可知P(A)=P(A-B)+P(AB)..................以上为答案11，以下为答案12以下为答案13，449 答案14。以下为答案15试卷代号：1080中央广播电视大学2012—2013学年度第二学期“开放本科”期末考试(半开卷）450 工程数学（本）试题2013年7月题号-二二四总分分数得分评卷人一、单项选择题（每小题3分，共15分}X1一Xz=a1,x2+x3=方程组-3)•(已知巾(1)=0.8413，0(2)=0.9772,0(3)=0.9987)14.某厂生产日光灯管.根据历史资料,灯管的使用寿命X服从正态分布N(1600,702).在最近生产的灯管中随机抽取了49件进行测试，平均使用寿命为1520小时.假设标准差没有改变，在0.05的显著性水平下，判断最近生产的灯管质量是否有显著变化•（《。.975=1.96)456 15.设A,B都是n阶矩阵，且A为对称矩阵，试证：B"AB也是对称矩阵15。证明：由矩阵转置的运算性质可得{B"AB)"=B"A"（B")"=B"ArB.........3分r又A为对称矩阵，故A=A，从而{B"AB)"=B"AB因此，B"AB也是对称矩阵457 试卷代号：1080座位号m中央广播电视大学2013—2014学年度第一学期“开放本科”期末考试(半开卷）工程数学(本）试题2014年1月題号一二—四总分分数得分评卷人一、单项选择题(毎小题3分,共15分}1.下列命题中不正确的是（D）A.A与A"有相同的特征多项式B.若A是A的特征值，则（人I—A)X=0的非零解向量必是A对应于人的特征向量C.若A=0是A的一个特征值，则AX-O必有非零解D．A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量2.设A，B都是n阶方阵，则下列等式中正确的是（C）.A.AB=BAB.(AB)/=A,B/C.(AS)-1=B-1A-1D.(A+B)-1+B-13.设A，B是两个随机事件，则下列等式中不正确的是（B）.A.P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)B.P(AB)=F(A)P(B)431 C.P(A)=1-P(A)D.P(A|=P(AB)/P(B)432 4.设袋中有6只红球，4只白球，从其中不放回地任取两次，每次取1只，则两次都取到红球的概率是（A）.A.1/3B.25C.3/5D.105．对于单个正态总体X〜JVhw2),2已知时，关于均值#的假设检验应采用（B）.ffA.t检验法B.U检验法2C.x检验法D.F检验法得分评卷人二、填空题（每小题3分，共15分）1026.若3阶方阵A..，则|A2+A|=00—103-247.设A为N阶方阵，若存在数人和非零n维向量X，使得AX=人X，则称数人为A的7.设A为；z阶方阵，若存在数特征值，X为A相应于特征值人的特征向量.A和8.若人(A))=1，则3元齐次线性方程组AX=O的一个基础解系中中含有2个解向量。9.设随机变量X-1010.2a0.5，则a=0.310.设随机变量X,若D(X)=2，则D(3X+2)=18433 得分评卷人三、计算题（每小题16分，共64分）012"_54311.设矩阵A=114,B~4202-10123_求A一1B434 435 12.人为何值时，下列方程组有解？有解时求出其全部解.x1+x2—3x3=1-x1—2x2+x3=22x1+3x2—4x3=人436 13.设X〜Af(3，4)，试求：（1)P(57)•(已知$(1)=0.8413，4>(2)=0.9772，4>(3)=0.9987)437 14.设某种零件长度；f服从正态分布iVQ,2.25)，今从中任取100个零件抽检，测得平均长度为84.5cm，试求此零件长度总体均值的置信度为0.95的置信区间（叫.975=1.96).15．设A，B是n阶对称矩阵，试证：A+B也是对称矩阵438 因此，此零件长度总体均值的置信度为0.95的置信区间为[84.206,84.794].四、证明题（本题6分）15.证明：A,B是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知(A+B)/,=A/+B/已知A，B是对称矩阵，故有A"=A，B"=B，从而(A+B)"=A+B由此可知，A+B也是对称矩阵.国家开放大学（中央广播电视大学)2014年春季学期“开放本科”期末考试工程数学(本）试题（半开卷}2014年7月1、设A为n阶方阵.则下列仑®中不正确的是（D）•A.若A=0ftA的一个符征值,期AX=0必有非解B.A与次A有相同的特征值C任一方阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的D.A与2A有相网的特征值2.设A，B都是N阶方阵，则下列命题中正确的是（A）•A.(A+I)(A-I)=A"-IB.若AB=0,则A=0或B=()C.若AU=AC.且A#0或B=0D.(A+B)(A-B)=AA-BB3.n元非齐次线性方赖AX=b有解的充分必要条件是（C）•A(r[A)a<4>;<2)求常数a.使得P(|X—1丨<«)=0.9974.〈已知少⑴=0.8413,中⑵=0.9772，4>(3)=0.9987)14、某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布.今从一批产品里随机取出9个.测得直径平均值为15.1MM’若已知这批滚珠直径的方差为0.06平方、试找出滚珠直径平均值的置信度为0.95的置信区间第441页共97页 15、设N阶方阵A满足A2-2I=0，试证：方阵A-I可逆。中央广播电视大学2011-2012学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）工程数学（本）试题2012年7月得分｜评卷人一、单项选择题｛每小题3分，共15分）1.设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A．A、B.CA+B)1=A1+BIC.CAB）一l=AIBID.IA一1+B1l=IA1l+IBI2.矩阵A适合条件（D时，它的秩为r.A.A中任何r+l列线性相关B.A中任何r列线性相关c.A中有r列线性相关D.A中线性无关的列有且最多达r列3.设A=，那么A的特征值是（B）A.1,1B.-4,6第442页共97页 c.1,5D.5,54.设X的分布列为则P7).（已知φ（0）=o.5，φ(1）=o.8413，φ(2)=O.9773)14.某一批零件长度，随机抽取4个测得长度（单位：cm）为14.7,15.1,14.8,15.。可否认为这批零件的平均长度为15cm(a=O.05,uo.97S=1.96)?第445页共97页 得分｜评卷人四、证明题｛本题6分）15.设A是n阶矩阵，若A3=0，则（l-A)-1=I十A十Az.试卷代号：1080试卷代号：1080中央广播电视大学2011～2012学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）工程数学(本)试题2012年1月一、单项选择题(每小题3分，共15分)1．设A，B为三阶可逆矩阵，且k0，则下列（B）成立．A．ABABB．ABAB1C．ABABD．kAkA2．设A是n阶方阵，当条件（A）成立时，n元线性方程组AXb有惟一解．113．设矩阵A的特征值为0，2，则3A的特征值为（B）。11A．0，2B．0，6第446页共97页 C．0，0D．2，64．若随机变量XN(0,1)，则随机变量Y3X2(D)．5．对正态总体方差的检验用(C)．二、填空题(每小题3分，共15分)11OA6．设A,B均为二阶可逆矩阵，则．1BO28．设A，B为两个事件，若P(AB)P(A)P(B),则称A与B相互独立．9．若随机变量XU[0,2]，则D(X)1/3．10．若,都是的无偏估计，且满足，则称比更有效。1212三、计算题(每小题16分，共64分)234111111．设矩阵A123，B111，那么AB可逆吗？若可逆，求逆矩阵(AB)．231230第447页共97页 12．在线性方程组x2x3x123xx3122x3x5x1123中取何值时，此方程组有解。在有解的情况下，求出通解。13.设随机变量XN(8,4),求P(X81)和P(X12)。第448页共97页 (已知(0.5)0.6915，(1.0)0.8413，(2.0)0.9773)14.某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm，标准差为0.15cm。从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm）10.4,10.6,10.1,10.4问：该机工作是否正常（0.05,u1.96）？0.975四、证明题（本题6分）215.设n阶矩阵A满足AI,AAI,试证A为对称矩阵。第449页共97页 参考解答一、单项选择题(每小题3分，共15分)1、B2、A3、B4、D5、C二、填空题(每小题3分，共15分)三、计算题(每小题16分，共64分)试卷代号：1080中央广播电视大学2010～2011学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）工程数学(本)试题2011年7月一、单项选择题(每小题3分，共15分)1．设A，B都是n阶方阵，则等式（C）成立．A．ABABB．ABBA22C．ABBAD．(AB)(AB)AB2．已知2维向量组,,,,则r(,,,)至多是（B）。12341234A、1B、2C、3D、4x2x1123．线性方程组解的情况是（A）。x2x023A．无解B．有惟一非零解C．只有零解D．有无穷多解4．对任意两个事件A，B，等式(D)成立．A．(AB)BAB．(AB)BA第450页共97页 C．(AB)BAD．(AB)BA25．设x,x,,x是来自正态总体N(，)的样本，则(B)是统计量．12nn1A．x2B．xini1x1C．D．x1二、填空题(每小题3分，共15分)11．设A,B是3阶方阵，其中A3,B2,则2AB12．2．设A为n阶方阵，若存在数和非零n维向量x，使得Axx，则称为A的特征值______。3．若P(AB)0.9,P(AB)0.2,P(AB)0.4，则P(AB)0.3．4．设随机变量X，若D(X)3,则D(X3)3．5．若参数的两个无偏估计量和满足D()D()，则称比更_有效．121221三、计算题(每小题16分，共64分)122121．设矩阵A110,B11，AXB,求X．13504第451页共97页 x3x2x01232．设齐次线性方程组2x5x3x0，为何值时，方程组有非零解？在有非零解时求其通解。1233x8xx012301233.设X,求(1)E(X)；（2）P(X2)。0.40.30.20.1答案如上。4.某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm，样本标准差s=0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格？（检验显著性水平=0.05，t(8)2.306）0.05四、证明题（本题6分）1设A是可逆的对称矩阵，试证：A也是对称矩阵。第452页共97页 第453页共97页 参考答案一、单项选择题(每小题3分，共15分)1、C2、B3、A4、D5、B二、填空题(每小题3分，共15分)1．122．特征值3．0.34．35.有效三、计算题(每小题16分，共64分)四、证明题（本题6分）试卷代号：1080中央广播电视大学2010～2011学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）工程数学(本)试题2011年1月一、单项选择题(每小题3分，共15分)1．设A，B都是n阶方阵，则下列等式成立的是（A）．A．ABABB．ABAB111111C．(AB)ABD．(AB)ABxxa1212．方程组xxa相容的充分必要条件是（B），其中a0,(i1,2,3)．232ixxa133第454页共97页 3．下列命题中不正确的是（D）。A．A与A有相同的特征多项式B．若是A的特征值，则（I-A）X0的非零解向量必是A对应于的特征向量C．若0是A的一个特征值，则AX=O必有非零解D．A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量4．若事件A与B互斥，则下列等式中正确的是(A)．5．设x,x,,x是来自正态总体N(5，1)的样本，则检验假设H：=5采用统计量U=(C)．12n0二、填空题(每小题3分，共15分)11226．设A=11x2，则A0的根是1,-1,2.,-2．22x147．设4元钱性方程提AX=B有解且r(A)1，那么AXB的相应齐次方程程的基础解系含有3________个解向量。8．设A，B互不相容，且P(A)>O，则P(B|A)0．9．设随机变量XB(n,p)，则E(X)np．n1110．若样本x1,x2,xn来自总体XN(0,1)，且xxi，则xN(0,)____．ni1n三、计算题(每小题16分，共64分)100111．设矩阵A111，求(AA)．101第455页共97页 12．求下列线性方程组的通解。2x4x5x3x512343x6x5x2x512344x8x15x11x151234第456页共97页 13.设随机变量XN(3,4),试求(1)P(1X7)；（2）使P(Xa)0.9成立的常数a。(已知(1)0.8413，(2)0.9772，(3)0.9987)14．从正态总体N(,4)中抽取容量为625的样本，计算样本均值得x2.5，求的置信区间度为，99%的置信区间。（已知u2.576）0.995四、证明题（本题6分）15.设n阶矩阵A满足(AI)(AI)O,则A为可逆矩阵。第457页共97页 中央广播电视大学2009～2010学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）工程数学(本)试题2010年7月一、单项选择题(每小题3分，共15分)1．设A，B都是n阶方阵，则下列命题正确的是（A）．222A．ABABB．(AB)A2ABBC．ABBAD．若ABO,则AO或BO11022．向量组0，1，2，3的秩是（B）．0037A．1B．3C．2D．43．n元线性方程组，AXb有解的充分必要条件是（A）。A．r(A)r(Ab)B．A不是行满秩矩阵C．r(A)nD．r(A)n4．袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是(D)．63A．B．251039C．D．202525．设x,x,,x是来自正态总体N(,)的样本，则(C)是无偏估计．12n111A．xxxB．xxx123123555113222C．xxxD．xxx123123555555二、填空题(每小题3分，共15分)11．设A,B均为3阶方阵，且A2,B3,3AB-18．2．设A为n阶方阵，若存在数和非零n维向量x，使得Axx_，则称为A的特征值．0123．设随机变量X，则a0.3．0.20.5a4．设X为随机变量，已知D(X)3，此时D(3X2)27．5．设是未知参数的一个无偏估计量，则有.E()．三、计算题(每小题16分，共64分)第458页共97页 1122151．设矩阵A235,B，且有AXB，求X．0113241．解：利用初等行变换得x3xxx112342x7x2xx212342．求线性方程组的全部解。x4x3x2x112342x4x8x2x212342．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形第459页共97页 3.设XN(3,4),试求（1）P(5X9)；（2）P(X7)。(已知(1)0.8413，(2)0.9772，(3)0.9987)第460页共97页 4.据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度XN(32.5,1.21)，今从这批砖中随机地抽取了9块，2测得抗断强度（单位：kg/cm）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格(0.05,u1.96)？0.976四、证明题（本题6分）设A、B是n阶对称矩阵，试证：AB也是对称矩阵。第461页共97页 试卷代号：1080中央广播电视大学2009～2010学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）工程数学(本)试题2010年1月一、单项选择题(每小题3分，共15分)1．设A为对称矩阵，则条件（B）成立．1A．AAIB．AA11C．AAD．AA1352．（D）．477474A．B．53537575C．D．43433．若(A)成立，则n元方程组AX0有唯一解。A．秩(A)nB．A0C．秩(A)nD．A的行向量组线性无关4．若条件(C)成立，则随机事件A,B互为对立事件．A．AB或ABUB．P(AB)0或P(AB)IC．AB且ABUD．P(AB)0且P(AB)I3215．对来自正态总体XN(,（)未知）的一组样本X1,X2,X3，记XXi，则下列各式3i1中(C)不是统计量．3A．XB．Xii1331212C．(Xi)D．(XiX)3i13i1二、填空题(每小题3分，共15分)136．设A,B均为3阶方阵，且A6,B3,(AB)8．7．设A为n阶方阵，若存在数和非零n维向量x，使得Axx，则称x为A相应于特征值的特征向量．8．若P(A)0.8,P(AB)0.5，则P(AB)0.3．29．如果随机变量X的期望E(X)2且E(X)9，那么D(2X)20．第462页共97页 10．不含未知参数的样本函数称为__统计量____．三、计算题(每小题16分，共32分)110200111．设矩阵A121,B050，求AB．22300511．解：利用初等行变换得xx2xx2123412．当取何值时，线性方程组2xx7x3x6有解，在有解的情况下求出此方程组的12349x7x4xx11234一般解．12．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形第463页共97页 四、计算分析题（每小题16分，共32分）13.设XN(3,4),试求（1）P(X1)；（2）P(5X7)。(已知(1)0.8413，(2)0.9772，(3)0.9987)14.(答案如上)某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布，今从一批产品里随机取出9个，测得2直径平均值为15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为0.06，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间(u1.96)0.976第464页共97页 五、证明题（本题6分）15.设随机事件A、B相互独立，试证：A,B也相互独立。一、单项选择题A,BABAB1．设都是n阶方阵，则下列命题正确的是()．11ABA,BBA2．设均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是()．A,B(AB)AB3.设为n阶矩阵，则下列等式成立的是（）．A,BABBA4．设为n阶矩阵，则下列等式成立的是（）．P(AB)P(A)P(B)5．设A，B是两事件，则下列等式中（，其中A，B互不相容）是不正确的．6．设A是mn矩阵，B是st矩阵，且ACB有意义，则C是(sn)矩阵．7．设A是ns矩阵，B是ms矩阵，则下列运算中有意义的是（AB）118．设矩阵A的特征值为0，2，则3A的特征值为(0，6)．1131119.设矩阵A201，则A的对应于特征值2的一个特征向量=(1)．1120211310．设x,x,,x是来自正态总体N(,)的样本，则（xxx）是无偏估计．12n123555x511．设x,x,,x是来自正态总体N(5,1)的样本，则检验假设H:5采用统计量U=（）．12n01/naaaaaa12312312．设bbb2，则3ab3ab3ab（2）．123112233cccccc123123012313．设X~，则P(X2)（0.4）．0.10.30.40.22214．设x,x,,x是来自正态总体N(,)(,均未知）的样本，则（x）是统计量．12n115．若A是对称矩阵，则等式（AA）成立．第465页共97页 16．若（r(A)n）成立，则n元线性方程组AXO有唯一解．17.若条件（AB且ABU）成立，则随机事件A，B互为对立事件．18．若随机变量X与Y相互独立，则方差D(2X3Y)=（4D(X)9D(Y)）．1219若X1、X2是线性方程组AX=B的解而1、2是方程组AX=O的解则（X1X2）是AX=B的解．33220．若随机变量X~N(0,1)，则随机变量Y3X2~（N(2,3)）．21．若事件A与B互斥，则下列等式中正确的是（P(AB)P(A)P(B)）．110X222.若，则x（3）．30.若X~N(2,4)，Y（），则Y~N(0,1)．1200215x323.若A,B满足（P(AB)P(A)P(B)），则A与B是相互独立．22E(X)D(X)D(X)E(X)[E(X)]24.若随机变量X的期望和方差分别为和则等式（）成立．25.若线性方程组AX0只有零解，则线性方程组AXb（可能无解）．26.若n元线性方程组AX0有非零解，则（r(A)n）成立．27.若随机事件A,B满足AB，则结论（A与B互不相容）成立．1234123412*5228.若A，则秩(A)（1）．29.若A，则A（）．123435311234110230．向量组的秩是（3）．31．向量组0,1,2,300371111102221,,,,的秩是（4）．003310004132.向量组[123],[224],[112],[235]的一个极大无关组可取为1234（,）．1233.向量组11,0,2,22,3,5,31,2,1，则21233（1,3,2）．2234．对给定的正态总体N(,)的一个样本(x,x,,x)，未知，求的置信区间，选用的样本函12n数服从（t分布）．32135．对来自正态总体X~N(,)（未知）的一个样本X1,X2,X3，记XXi，则下列各式3i1第466页共97页 312中（(Xi)）不是统计量．(i1,2,3)．3i136.对于随机事件A,B，下列运算公式（P(AB)P(A)P(B)P(AB)）成立．37.下列事件运算关系正确的是（BBABA）．38．下列命题中不正确的是（A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量）．111339.下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．24161640.已知2维向量组α,α,α,α，则r(α,α,α,α)至多是（2）．123412341010121141.已知A,B10，若AB，则a（1）．0a2131122142.已知X~N(2,2)，若aXb~N(0,1)，那么（a,b1）．2x1x2a143.方程组x2x3a2相容的充分必要条件是(a1a2a30)，其中ai0，xxa133x1x2144.线性方程组解的情况是（有无穷多解）．xx02345.n元线性方程组AXb有解的充分必要条件是（r(A)r(Ab)）46．袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（9）25117377547.随机变量X~B(3,)，则P(X2)（）．48．（）284543二、填空题131．设A,B均为3阶方阵，A6,B3，则(AB)8．12．设A,B均为3阶方阵，A2,B3，则3AB-18．13.设A,B均为3阶矩阵，且AB3，则2AB—8．14.设A,B是3阶矩阵，其中A3,B2，则2AB12．5．设A,B互不相容，且P(A)0，则P(BA)0．111116.设A,B均为n阶可逆矩阵，逆矩阵分别为A,B，则(BA)(A)B．7.设A，B为两个事件，若P(AB)P(A)P(B)，则称A与B相互独立．第467页共97页 8．设A为n阶方阵，若存在数和非零n维向量X，使得AXX，则称为A的特征值．9．设A为n阶方阵，若存在数和非零n维向量X，使得AXX，则称X为A相应于特征值的特征向量．10.设A,B,C是三个事件，那么A发生，但B,C至少有一个不发生的事件表示为A(BC).11.设A为34矩阵，B为52矩阵，当C为（24）矩阵时，乘积ACB有意义．1112.设A,B,C,D均为n阶矩阵，其中B,C可逆，则矩阵方程ABXCD的解XB(DA)C．01213．设随机变量X~，则a=0.3．0.20.5a14．设随机变量X~B（n，p），则E（X）=np．15.设随机变量X~B(100,0.15)，则E(X)15．k,0x14216．设随机变量的概率密度函数为f(x)1x，则常数k=．0,其它10117.设随机变量X~，则a0.45．0.3a0.2501218.设随机变量X~，则P(X1)0.8．0.30.20.523x0x11119.设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则P(X)．0其它2820.设随机变量X的期望存在，则E(XE(X))0．221.设随机变量X，若D(X)2,E(X)5，则E(X)3．22．设X为随机变量，已知D(X)3，此时D(3X2)27．23．设ˆ是未知参数的一个估计，且满足E(ˆ)，则ˆ称为的无偏估计．24．设ˆ是未知参数的一个无偏估计量，则有E(ˆ)．1125．设三阶矩阵A的行列式A，则A=2．226．设向量可由向量组,,,线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是,,,线12n12n性无关．27．设4元线性方程组AX=B有解且r（A）=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有3个解向量．101428.设x1,x2,,x10是来自正态总体N(,4)的一个样本，则xi~N(,)．10i110第468页共97页 n22129.设x1,x2,,xn是来自正态总体N(,)的一个样本，xxi，则D(x)ni1n112230．设f(x)11x2，则f(x)0的根是1,1,2,2．22x14112231．设A11x2，则A0的根是1，-1，2，-2．22x1411132.设A040，则r(A)_________________．207033．若P(A)0.8,P(AB)0.5，则P(AB)0.3．n1134．若样本x1,x2,,xn来自总体X~N(0,1)，且xxi，则x~N(0,)ni1n200335．若向量组：1，3，0，能构成R一个基，则数k2．12321k2136．若随机变量X~U[0,2]，则D(X)．312137.若线性方程组的增广矩阵为A，则当＝（）时线性方程组有无穷多解．214238.若n元线性方程组AX0满足r(A)n，则该线性方程组有非零解．39.若P(AB)0.9,P(AB)0.1,P(AB)0.5，则P(AB)0.3．40.若参数的两个无偏估计量ˆ和ˆ满足D(ˆ)D(ˆ)，则称ˆ比ˆ更有效．12122141．若事件A，B满足AB，则P（A-B）=P(A)P(B)．42.若方阵A满足AA，则A是对称矩阵．243．如果随机变量X的期望E(X)2，E(X)9，那么D(2X)20．244．如果随机变量X的期望E(X)2，E(X)9，那么D(2X)20．45.向量组(1,1,0),(0,1,1),(1,0,k)线性相关，则k=112346.向量组0,0,0,1,0,0,1,2,0,1,2,3的极大线性无关组是1234（,,）．23447．不含未知参数的样本函数称为统计量．第469页共97页 48．含有零向量的向量组一定是线性相关的．49.已知P(A)0.8,P(AB)0.2，则P(AB)0.6．102550.已知随机变量X~，那么E(X)2.4．0.30.10.10.5102551.已知随机变量X~，那么E(X)3．0.50.50.50.538652．行列式512的元素a的代数余子式A的值为=-56．2121107153.掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（）.12254.在对单正态总体N(,)的假设检验问题中，T检验法解决的问题是（未知方差，检验均值）．1x155.11x是关于x的一个多项式，该式中一次项x系数是2．11114112156.．5235457.线性方程组AXb中的一般解的自由元的个数是2，其中A是45矩阵，则方程组增广矩阵r(Ab)=3．58.齐次线性方程组AX0的系数矩阵经初等行变换化为1123x12x3x4A0102则方程组的一般解为(x3,x4是自由未知量）．x2x240000x1x2159.当=1时，方程组有无穷多解．xx112第470页共97页 1122151．设矩阵A235,B，且有AXB，求X．011324解：利用初等行变换得1121001121002350100112103240010123011121001121000112100112100015110015111109221002010107210107210015110015112011即A721511由矩阵乘法和转置运算得20120111XAB72111113511516211020012．设矩阵A121,B050，求AB．223005解：利用初等行变换得110100110100121010011110223001043201110100110100011110010531001641001641第471页共97页 1004310105310016414311即A531641由矩阵乘法得43120081551AB531050101556410051220523112313．设矩阵A011,B112，求：（1）AB；（2）A．001012231解：（1）因为A011200112301111B112112112012012所以ABAB2．231100（2）因为AI0110100010012301011001/23/210100110100110010010010011/23/211所以A011．00110014．设矩阵A111，求(AA)．101解：由矩阵乘法和转置运算得第472页共97页 100111111AA111010132101011122利用初等行变换得1111001111001320100211101220010111011002011002011002010011120111010100110111010011120011122011即(AA)01111211215．设矩阵A235，求（1）A，（2）A．324112112112解：（1）A2350110111324012001（2）利用初等行变换得1121001121002350100112103240010123011121001121000112100112100015110015111109221002010107210107210015110015112011即A721511第473页共97页 010116．已知矩阵方程XAXB，其中A111，B20，求X．10353解：因为(IA)XB，且110100110100(IAI)1010100111101020010121011010101000210111100101210010110010110211即(IA)12101102111131所以X(IA)B1212024．0115333123237．已知AXB，其中A357,B58，求X．581001解：利用初等行变换得12310012310035701001231058100010255011231001204630123100105520011210011211006410105520011216411即A552121由矩阵乘法运算得第474页共97页 641238131XAB55258152312101812x13x2x3x412x17x22x3x428．求线性方程组的全部解．x4x3x2x112342x4x8x2x21234解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形13111131112721201010143210123024822026401311113111010100101000220002200066000000x115x4方程组的一般解为：x2x4（其中x4为自由未知量）xx34令x=0，得到方程的一个特解X(1000).40x15x4方程组相应的齐方程的一般解为：x2x4（其中x4为自由未知量）xx34令x=1，得到方程的一个基础解系X(5111).41于是，方程组的全部解为：XXkX（其中k为任意常数）01x13x23x32x4x509．求齐次线性方程组2x16x29x35x43x50的通解．x3x3x2x012351332113321解：A=26953003111330200623第475页共97页 133211301000311003100000100001x13x2x41一般解为x3x4，其中x2，x4是自由元3x05令x2=1，x4=0，得X1=(3,1,0,0,0)；x2=0，x4=3，得X2=(3,0,1,3,0)所以原方程组的一个基础解系为{X1，X2}．原方程组的通解为：k1X1k2X2，其中k1，k2是任意常数．x13x22x3010．设齐次线性方程组2x15x23x30，为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解．3x8xx0123解：因为132132101A=25301101138016005当50即5时，r(A)3，所以方程组有非零解．x1x3方程组的一般解为：，其中x3为自由元．xx23令x3=1得X1=(1,1,1)，则方程组的基础解系为{X1}．通解为k1X1，其中k1为任意常数．27．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率．解：设A=“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，A=“取到的都是白子”，A=“取到的都是黑子”，123B=“取到3颗棋子颜色相同”，则3C8（1）P(A)1P(A)1P(A)110.2550.745．1123C123C4（2）P(B)P(AA)P(A)P(A)=0.2550.2550.0180.273．23233C12第476页共97页 11．求下列线性方程组的通解．2x4x5x3x512343x6x5x2x512344x8x15x11x151234解利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即245352453512010120103652512010005550011148151115005550055500000x2xx124方程组的一般解为：，其中x2，x4是自由未知量．xx134令xx0，得方程组的一个特解X(0，0，1，0)．240方程组的导出组的一般解为：x2xx124，其中x2，x4是自由未知量．xx34令x1，x0，得导出组的解向量X(2，1，0，0)；241令x0，x1，得导出组的解向量X(1，0，1，1)．242所以方程组的通解为：XX0k1X1k2X2(0，0，1，0)k1(2，1，0，0)k2(1，0，1，1)，其中k，k是任意实数．1212.当取何值时，线性方程组x1x2x42x12x2x34x43有解，在有解的情况下求方程组的全部解．2x3xx5x21234解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形110121101212143011312315201132110121012101131011310000300003由此可知当3时，方程组无解。当3时，方程组有解。此时相应齐次方程组的一般解为第477页共97页 x1x32x4（x3,x4是自由未知量）xx3x234分别令x1,x0及x0,x1，得齐次方程组的一个基础解系3434X11110,X22301令x0,x0，得非齐次方程组的一个特解X1100340由此得原方程组的全部解为XXkXkX（其中k,k为任意常数）011221213．当取何值时，线性方程组x1x22x3x422x1x27x33x46有解，在有解的情况下求方程组的全部解．9x7x4xx11234解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形112121121221736011151097411022210191121210948011151001115100000100001由此可知当1时，方程组无解。当1时，方程组有解。x19x34x4此时齐次方程组化为x11x5x234分别令x1,x0及x0,x1，得齐次方程组的一个基础解系3434X91110,X450112令x0,x0，得非齐次方程组的一个特解X81000340由此得原方程组的全部解为XXkXkX（其中k,k为任意常数）011221214．设向量组(1，2，4,1)，(4，8，16,4)，(3，1，5,2)，(2，3，1,1)，求1234这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组．14322813解：因为（）=1234416511421第478页共97页 14321432005700110077000200110000所以，r(,,,)=3．1234它的一个极大线性无关组是,,（或,,）．13423415．设X~N(3,4)，试求:(1)P(5X9)；(2)P(X7)．（已知(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.9987）53X393X3解：(1)P(5X9)P()P(13)2222(3)(1)0.99870.84130.1574X373(2)P(X7)P()22X3X3P(2)1P(2)221(2)10.97720.022816．设X~N(3,4)，试求：(1)P(X1)；(2)P(5X7)．（已知(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.9987）X313解：(1)P(X1)P()22X3P(1)(1)21(1)10.84130.158753X373X3(2)P(5X7)P()P(12)2222(2)(1)0.97720.84130.135917．设随机变量X~N(4,1)．（1）求P(X42)；（2）若P(Xk)0.9332，求k的值．（已知(2)0.9775,(1)0.8413,(1.5)0.9332）．解：（1）P(X42)＝1－P(X42)=1－P(2X42)＝1－（(2)(2)）=2（1－(2)）＝0.045．第479页共97页 （2）P(Xk)P(X4k4)＝1－P(X4k4)＝1－(k4)0.9332(1.5)(k4)1(1.5)(1.5)即k－4=-1.5，k＝2.5．18．设随机变量X~N（3，4）．求：（1）P（11.96，所以拒绝H05．某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm）：20.0,20.2,20.1,20.0,20.2,20.3,19.8,19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（0.05）．2解：由已知条件可求得：x20.0125s0.0671x020.0125200.035|T|||||0.1365s/n0.259/80.259t(n1,0.05)t(9,0.05)2.62∵|T|<2.62∴接受H0第502页共97页'