电大学2006-2007学年第1学期《通信原理》期末考试试题及答案.pdf 52页

'04116~118第一周作业（9月18号交作业）1．冲激函数的定义是这样的：设函数vx()在x=0处连续且有界。若对于任意这样的函数∞vx()，函数gx()都能满足∫−∞vxg()(x)dx=v(0)。则称此gx()为单位冲激函数。一∞jx2πy般记为δ(x)。请证明：∫edx=δ(y)。−∞sinπx2．函数sinc的定义是sinc()x@，证明：lim⎡⎣aasinc(x)⎤⎦=δ(x)。πxa→∞⎧−11xx≤3．设函数gx()定义为gx()=⎨。今有信号st()，已知其功率谱密度的表达⎩0else∞gf()−n2式为Pfs()=∑n。求st()的功率、3dB带宽、主瓣带宽、90%功率带宽。n=−∞24．已知信号zt()的傅氏变换Z(f)是一个实函数，且∀fZ<=0,(f)0。(1)证明zt()的虚部Im{zt()}不可能恒为0；(2)若还已知zt()的实部是t的偶函数，证明其虚部必为奇函数。∞∗5．如果两个函数g(x)和g(x)满足gx()g()xdx=0，则称g(x)和g(x)正交。12∫1212−∞证明，若两个信号s(t)和s(t)正交，则其傅氏变换也正交。12 04116~118第一周作业解答提要1．冲激函数的定义是这样的：设函数vx()在x=0处连续且有界。若对于任意这样的函数∞vx()，函数gx()都能满足∫−∞vxg()(x)dx=v(0)。则称此gx()为单位冲激函数。一∞jx2πy般记为δ(x)。请证明：∫edx=δ(y)。−∞证：最简单的证法是用傅氏变换的性质，直流的傅氏变换是重激。不过严格而论，这又涉及∞jx2πy到如何证明这个傅氏变换性质的问题。故此我们来证明对于gy()=∫edx，有−∞∞∫vy()g()ydy=v(0)。−∞∞εjx2πy对于任意y≠0，gy()=∫edx=0。因此只需证∫vy()g()ydy=v(0)（ε是正−∞−εε∞无穷小），即∫εgy()dy=1，即∫−∞gy()dy=1，即gy()的面积为1。T2jx2πygy()=lim∫edx=limTsinc(yT)。注意sinc(x)的面积是1，这样问题就解决了。TT→∞−T2→∞如何算sinc的面积可能是个问题，可能需要查数学手册。但它是标准函数，其面积是确定的，这个面积的数值并不依赖于我们待证明的问题。sinπx2．函数sinc的定义是sinc()x3，证明：lim⎡⎣aasinc(x)⎤⎦=δ(x)。πxa→∞证：可用傅氏变换的性质来证。注意傅氏变换的性质隐含了前一题的证明。⎧−11xx≤3．设函数gx()定义为gx()=⎨。今有信号st()，已知其功率谱密度的表达⎩0else∞gf()−n2式为Pfs()=∑n。求st()的功率、3dB带宽、主瓣带宽、90%功率带宽。n=−∞2答：先画出图来。21.81.61.41.2)(f1Ps0.80.60.40.20-10-8-6-4-20246810f功率是Pf()的面积，gx()的面积是1。这样可算出功率是3。s1 04116~118第一周作业解答提要13dB带宽是功率谱密度降低至一半处的带宽，即PB()=P(0)。因此B=0.5Hz。ss3dB3dB210B=1，B=−7主瓣9054．已知信号zt()的傅氏变换Z(f)是一个实函数，且∀fZ≤=0,(f)0。(1)证明zt()的虚部Im{zt()}不可能恒为0；(2)若还已知zt()的实部是t的偶函数，证明其虚部必为奇函数。证明：(1)若zt()是实信号，那么它的频谱将满足共轭对称性。(2)令zt()=+a()tjb(t)。则Z()fA=+(fj)B(f)，at()是实偶函数，故A(f)是实偶函数，因此B(f)只能是虚奇函数，因此bt()是奇函数。∞∗5．如果两个函数g(x)和g(x)满足gx()g()xdx=0，则称g(x)和g(x)正交。12∫1212−∞证明，若两个信号s(t)和s(t)正交，则其傅氏变换也正交。12证：直接用Parserval定理即可。2 04116~118第二周作业（10月9号交作业）x1−1．已知某随机变量x的概率密度函数为px()=e2,x≥0。某通信系统的错误率是这个2−x随机变量的函数f()x=e，求平均错误率Ef⎡⎣(x)⎤⎦。2．通信系统仿真经常需要产生这样一种0均值平稳高斯过程，它的功率谱密度必须满足一定的要求。一种产生方法是先产生一个高斯白噪声，再让其通过一个线性系统。假设输入⎧11−≤ff功率谱为N2，要求的输出功率谱密度为Pf()=⎨，那么这个线性系统0y⎩00的传递函数应该是什么？所得输出的自相关函数是什么？3．某通信系统中存在的窄带平稳高斯噪声nt()的功率谱为⎧−1fBf−f≤BcPfn()=⎨，其中fc>>B。设nc(t)是nt()的同相分量（即复包⎩00络的实部）(1)求n(t)的功率谱P(f)及功率；ccdnc()t(2)求nt()=的功率Pf()及功率。oodt∞4．已知某通信系统发送的信号是st()=∑aig(t−iT)，其中{ai}是一个独立同分布序列i=−∞（即a和a独立同分布，其中i≠j），a以等概方式取值于±1。gt()=δ(t)。iji(1)求st()的自相关函数Rt(),τ=+E⎡s(t)s(tτ)⎤s⎣⎦(2)求st()的平均自相关函数R(τ)s(3)求st()功率谱密度Pf()s(4)如果gt()不是δ(t)，而是任意信号，其傅氏变换为Gf()，那么st()的功率谱密度是多少？5．已知某通信系统发送的信号为bt()cos(2πft)，其中基带信息信号bt()是实信号，其c功率谱密度为P(f)。m(1)求st()的功率谱密度及st()的带宽；(2)求st()的复包络的功率谱密度及其带宽； x1−1．已知某随机变量x的概率密度函数为px()=e2,x≥0。某通信系统的错误率是这个2−x随机变量的函数f(x)=e，求平均错误率E⎡⎣fx()⎤⎦。−−xx3∞∞11−x1解：E⎡⎤fx()=ee22dx==edx⎣⎦∫∫002232．通信系统仿真经常需要产生这样一种0均值平稳高斯过程，它的功率谱密度必须满足一定的要求。一种产生方法是先产生一个高斯白噪声，再让其通过一个线性系统。假设输入功⎧1,−≤ff1率谱为N2，要求的输出功率谱密度为Pf()=⎨，那么这个线性系统的0y⎩0,else传递函数应该是什么？所得输出的自相关函数是什么？2解：由Pf()=H(f)P(f)得yx⎧2Pfy()⎪()1,−ff≤1Hf()==⎨N0Pfx()⎪⎩0,else故此，该线性系统的传递函数幅频特性必须满足上式，相频特性可以是任意的。对Py(f)求2傅立叶逆变换得自相关函数为Ry()τ=sinc(τ)。3．某通信系统中存在的窄带平稳高斯噪声nt()的功率谱为⎧1−−ffBf−f≤Bcc⎪Pfnc()=−⎨1f+fBf+fc≤B⎪⎩0else其中f>>B。设n(t)是nt()的同相分量（即复包络的实部）cc(1)求n(t)的功率谱Pf()及功率；ccdnc()t(2)求nt()=的功率谱P(f)及功率。oodt解：P(f)的图如下n（1）⎧+Pfnc()f+Pn(fc−f),f∈BaseBandPfc()=⎨⎩0,else⎧⎪21()−≤fB,fB=⎨⎪⎩0,else1/3 BB功率为P=Pf()df=−41()fBdf=2Bc∫∫c−B0（2）对信号微分等价于让它通过一个线性系统，这个系统的传递函数是Hf()=j2πf。因此2222⎪⎧81()πf(−fB),f≤BPfoc()==P()fH()f4πfPc()f=⎨⎪⎩0,else功率是其面积：23BB224πBPPoo==∫∫()fdf16πf()1−fBdf=−B03∞4．已知某通信系统发送的信号是st()=∑aig(t−iT)，其中{ai}是一个独立同分布序列i=−∞（即a和a独立同分布，其中i≠j），a以等概方式取值于±1。gt()=δ(t)。iji(1)求st()的自相关函数Rt(),τ=+E⎡s(t)s(tτ)⎤s⎣⎦(2)求st()的平均自相关函数R(τ)s(3)求st()功率谱密度P()fs(4)如果gt()不是δ(t)，而是任意信号，其傅氏变换为Gf()，那么st()的功率谱密度是多少？解：（1）⎡⎛⎞∞∞⎛⎞⎤Rsi()t,ττ=+E⎣⎦⎡⎤s(t)s(t)=E⎢⎜⎟∑∑aδ(t−iT)⎜⎟ajδ(t+τ−jT)⎥⎢⎣⎝⎠ij=−∞⎝⎠=−∞⎥⎦⎡⎤∞∞=−Ea⎢⎥∑∑ijaδδ()tiT(t+τ−jT)⎣⎦ij=−∞=−∞∞∞=−∑∑Ea⎡⎤⎣⎦ijaδδ()tiT(t+τ−jT)ij=−∞=−∞∞=−∑δδ()tjT(t+τ−jT)j=−∞TT111（2）RR()τ==22()t,τδdt()tδ(t+τ)dt=δ()τss∫∫TTTT−−T22∞1−jf2πτ（3）Pf()==R()ττedss∫−∞T12（4）任意gt()是δ(t)通过线性系统的结果，因而此时的功率谱为Pf()=G(f)。sT5．已知某通信系统发送的信号为st()=bt()cos(2πft)，其中基带信息信号bt()是实信c号，其功率谱密度为P(f)。m(1)求st()的功率谱密度及st()的带宽；(2)求st()的复包络的功率谱密度及其带宽；解：st()的复包络是st()=b(t)。bt()的功率谱密度P(f)，设其带宽为B。Lm2/3 （1）由复包络的功率谱密度与频带信号的功率谱密度之关系可得：1Pfsm()=−⎡⎣P()ffc+Pm(−f−fc)⎤⎦4也即⎧1⎪Pfmc()−f,f−⎩00f>画如下：1/3 04116~118第3次作业答案对于本题，也可以把s!(t)看成是mt()通过如下线性系统的输出：2由于Hf()=−1j×⎡⎤⎣⎦−jsgn()f=−1sgn(f)=2u(−f)，其中uf()是单位阶跃函数。22⎧<40Pfm()f⎧4sττmminc(ff)<0于是Pfsm!()==H()fP()f⎨⎨=2⎩00f>⎩00f>（2）s(t)是以mt()为基带信号的下边带调制信号，所以22⎧⎪4sττmcinc⎡⎤⎣⎦(f−ff)mf⎩c其图为（3）st()×+2cos(2ππft4)=m(t)cos(π4)−mˆ(t)sin(π4)+ξ(t)2cmt()−mtˆ()其中ξ(t)是二倍频分量，将其滤除后，解调器输出信号的表达式为yt()=。o23．有两个模拟基带信号m(t)和m(t)，今用它们构造出如下两个信号：12⎧⎪yt11()=+m(t)m2(t)⎨⎪⎩yt21()=−m()tm2(t)用这两个新的信号分别对载波cos2πft和sin2πft进行DSB-SC调制，然后合并成一个cc信号传输，所传信号是st()=−y12(t)cos2πfccty(t)sin2πft请问收端收到st()后，如何分别恢复出m(t)和m(t)？122/3 04116~118第3次作业答案答：s()t=−y12(t)cos2ππftccy(t)sin2ft=+⎡⎤⎣⎦mt12()m()tcos2ππfcct−⎡⎣mt1()−m2()t⎤⎦sin2ft=−m12()t(cos2ππftccsin2ft)+m()t(cos2πftc+sin2πftc)=+2m12()tcos()24ππftcc+2m()tsin()24ππft+由此可得解调框图如下：4．假设基带信号mt()均值为零，最高频率分量是5Hz，最大幅度是mt()=5，最大maxd斜率是mt()=5。用此信号进行角度调制，已知FM和PM信号表达式分别为：dtmaxtstFM()=+cos⎡2πfct12πτm()dτ⎤⎢⎣∫−∞⎥⎦stPM()=cos⎡⎣2πfct+12πm(t)⎤⎦。(1)求这两个调角信号的近似带宽。(2)如果手头有一个鉴频器，一个积分器，如何从s(t)中恢复出mt()？PM1dtϕ()答：（1）FM信号的最大频偏为∆=f=6(mt)=30，因此其带宽近似maxmax2πdtmax为23()0+=570Hz。1dtϕ()PM信号的最大频偏为∆=f=6(m′t)=30，因此其带宽近似也是maxmax2πdtmax23()0+=570Hz。（2）可用下图解调：5．某调频系统的调频灵敏度是Kf=10kHz/V，基带信号mt()带宽为4kHz。如果希望FM信号的能量基本限制在载频周围±50kHz的范围内，那么mt()的最大幅度应该限制到多少？答：∆=fmt()×K，所以FM信号的带宽为maxmaxfBf≈∆22()max+W=∆fmax+2W=20m(t)max+8（kHz）100−8今欲B<100kHz，因此必须要求mt()<=4.6V。max203/3 04116~118第4次作业（10月26号交作业）1．已知st()=Re{s!()tejf2πct}是一个功率为1的窄带平稳高斯过程，将()通过一个理st想的包络检波器，检出的信号是sto()=2s!(t)，其中2是检波器自身的增益。2(1)求s(t)的功率Es⎡⎤()t=?o⎣⎦o(2)求概率Ps{(t)>1?}=o2．某调频系统工作在大信噪比条件下，接收端如图4.5.1所示。到达接收端的有用信号如式(4.5.1)第1行所示，其中Ac=1，Kf=5kHz/V。系统设计时假设基带信号mt()的频率−5范围是0~1kHz，最大幅度是2V。已知信道噪声的单边功率谱密度为N=10WHz。0(1)图4.5.1中的带通滤波器和低通滤波器的带宽应设计为多少？(2)若mt()=cos2000πt，求输出信噪比。(3)若mt()=+cos1000πtcos2000πt，求输出信噪比。注：系统设计已经给定，(2)(3)两问中，带通滤波器和低通滤波器不会针对mt()而发生变化。否则，只要把这些滤波器设计成梳状，专滤这些频率，那么信噪比就是无穷大。(4)如果基带信号变成mt()=+cos50πtcos100πt+cos200πt，此时(1)的设计已经不合适了，假设允许改变的只能是带通滤波器的带宽及低通滤波器的截止频率，请给出此时的设计及相应的输出信噪比。3．在SSB系统中，如果本地载波存在相位误差θ，则解调输出除存在噪声外，还存在来自正交信道的干扰（即来自mtˆ()的干扰）。如欲总的信噪比损失不超1dB，本地载波提取电路的相位误差必须要控制在多少度以内？4.我们给老虎身上安装了一个无线传感器，老虎睡着时发射Acos(2πft+θ)，老虎醒来时11发射Acos(2πft+θ)。游客有一个检测器，其原理框图如下22请问，图中x为正时，老虎是醒着还是睡着？这是一个相干检测器还是非相干检测器？（如果接收信号中包含噪声，就有可能把老虎醒判断为老虎睡。计算误判的几率时会遇到这样一个数学问题，它正是课本上的3.9题，有兴趣的同学不妨试一试。此项不是作业要求。）1/1 1．已知st()=Re{ste!()jf2πct}是一个功率为1的窄带平稳高斯过程，将st()通过一个理想的包络检波器，检出的信号是st()=2st!()，其中2是检波器自身的增益。o2(1)求st()的功率Est⎡⎤()=?o⎣⎦o(2)求概率Pst{()>=1?}o答:(1)任意窄带信号ytat()=+()cos(ωφt(t))的功率是at()功率的1/2。今st()可以写c成st()=+st!()cos2⎡πϕft()t⎤，其中ϕ(t)是st!()的相角。因此，st!()的功率必为2。⎣c⎦因此st()的功率是8。o(2)根据窄带平稳高斯过程的性质，st!()取值为a的概率密度是课本57页式(3.7.28)，其中22的σ是Re{st!()}和Im{st!()}的功率，也即st()的功率，因此σ=1。于是，这个概率密度函数为2⎛⎞apaaa()=−exp⎜⎟，a≥0⎝⎠2因此21a⎛⎞1∞−−Pst{}()>=1Pst⎜⎟!()>=ae2da==e80.8825o∫⎝⎠2122．某调频系统工作在大信噪比条件下，接收端如图4.5.1所示。到达接收端的有用信号如式(4.5.1)第1行所示，其中A=1，K=5kHz/V。系统设计时假设基带信号mt()的频率范cf−5围是0~1kHz，最大幅度是2V。已知信道噪声的单边功率谱密度为N=10WHz。0(1)图4.5.1中的带通滤波器和低通滤波器的带宽应设计为多少？(2)若mt()=cos2000πt，求输出信噪比。(3)若mt()=+cos1000πtcos2000πt，求输出信噪比。注：系统设计已经给定，(2)(3)两问中，带通滤波器和低通滤波器不会针对mt()而发生变化。否则，只要把这些滤波器设计成梳状，专滤这些频率，那么信噪比就是无穷大。(4)如果基带信号变成mt()=++cos50πtcos100ππtcos200t，此时(1)的设计已经不合适了，假设允许改变的只能是带通滤波器的带宽及低通滤波器的截止频率，请给出此时的设计及相应的输出信噪比。答：(1)带通滤波器带宽应为FM信号的近似带宽，即BfWK=∆+=2()(max2(fmtW)+=×+=)2(521)22kHzmax低通滤波器的截止频率应为W=1kHz。2625(2)由式(4.5.21)得到输出的有用信号功率是PKP==×10，再由式(4.5.20)得到输出sfoM232NW024的噪声功率为P==×10。因此输出信噪比为no233Ac⎛⎞S252⎜⎟=×==100187532.73dB。⎝⎠No23(3)根据FM信噪比分析过程中的假设，改变mt()不会改变输出噪声的大小，只是现在输出信号的功率是原先的2倍（3dB），因此输出信噪比成为35.73dB。1/4 (4)此时带通滤波器的带宽可设计为BfW=∆+=×+≈22()(530.1)30kHz，低通滤波max器的截止频率可设计为W=100Hz。663解调输出的信号功率是2510××=×37.510，解调输出的噪声功率是2−53210××10020=。输出信噪比为33⎛⎞S37.566⎜⎟=×=×=105.6251067.5dB。⎝⎠No2033．在SSB系统中，如果本地载波存在相位误差θ，则解调输出除存在噪声外，还存在来自正交信道的干扰（即来自mtˆ()的干扰）。如欲总的信噪比损失不超1dB，本地载波提取电路的相位误差必须要控制在多少度以内？答：以本地载波为参考，则当本地载波与接收信号的载波存在相位差θ时，接收信号的复包络为jθrt!()=+⎡⎤⎣⎦mt()jmtˆ()e++⎡⎤⎣⎦ntcs()jnt()解调输出为Re{rt!()}=−+mt()cosθθmtˆ()sinntc()22有用信号功率为Pcosθ，来自mtˆ()的干扰功率为Psinθ，噪声功率为P。总的信噪mmn比（包含干扰和噪声）为22Pcosθcosθmγθ()==22PPsinθ++sinθγ1mn0Pmγθ()−0.1其中γγ==()0是理想相干条件（θ=0）下的解调输出信噪比。今要求≥10，0Pγn0代入后可以解得−11θ≤cos0.25891+1+γ0结果如下图示。从图中可以看出，理想相干解调时的信噪比越高，对本地载波提取的要求也就越严格。1510（度）5最大允许的相位偏差051015202530理想相干解调时的信噪比(dB)Fig1最大允许的相位偏差和理想相干解调信噪比的关系4.我们给老虎身上安装了一个无线传感器，老虎睡着时发射Afcos2(πt+θ)，老虎醒来时112/4 发射Afcos2()πt+θ。游客有一个检测器，其原理框图如下22Fig2检测器请问，图中x为正时，老虎是醒着还是睡着？这是一个相干检测器还是非相干检测器？（如果接收信号中包含噪声，就有可能把老虎醒判断为老虎睡。计算误判的几率时会遇到这样一个数学问题，它正是课本上的3.9题，有兴趣的同学不妨试一试。此项不是作业要求。）答：（1）假设LPF的带宽是∆。考虑下面的图Fig3检测器的一个分支如果接收信号rt()的频谱完全在f±∆之外，那么经过频谱搬移后，LPF的输出将是0。因1此，若f和f之差超过2∆，则当rt()=+Acos2(πftθ)时，图中V=0。而当212232AAArt()=+Acos2(πft11θ)时，V11=cosθ，V21=sinθ，V3=。2242A基于这样的推理我们知道，当rt()=+Acos2(πftθ)时，Fig2中V=0，V=；223642A当rt()=+Acos2(πftθ)时，V=0，V=。由此可见，如果x>0，那么发送的必11634然是Afcos2()πt+θ。即老虎是睡着的。11(2)Fig2的检测过程不需要收端已知两个相位θ和θ，因此它是非相干检测。12(3)现在考虑接收信号中包含单边功率谱密度为N的白高斯噪声。根据前面的推理，噪声中0落在f±∆和f±∆之外的成分不会对VV~的值有任何影响。因此问题完全等价于接收1216信号是rt()=+Acos2(πθftii)+ntnt12()+()其中的nt()和nt()是两个窄带平稳高斯过程，其单边功率谱密度如Fig4所示。这两个噪123/4 2声的功率都是σ=∆2N。另外，根据习题3.10的结论，nt()和nt()是相互独立的随机012过程。Fig4等价的噪声（单边功率谱密度）发送Afcos2()πt+θ时，如果x<0，就会误以为发送的是Afcos2()πt+θ。因1122此，误判的概率就是老虎睡着的条件下，x<0的概率。令X=2V，X=2V，则1326这个概率就是PX()>X。21在老虎睡着的条件下，因为nt()不能对V的值有任何影响，因此X的随机性完全是162nt2()造成的。同样，X1的随机性是nt1()造成的。因此X1和X2是相互独立的。发送Afcos2()πt+θ时，发送的信号因为频率在f处，所以它不会对X的值有贡献。111222ntnt22cs()+()将nt()写成ntnt()=−()cos2ππftnt()()sin2ft()，则V=，222cs22264因此X是nt()的包络。根据课本57页的性质，它服从Rayleigh分布。同样可以知道，X221是Afcos2()πθtn++(t)的包络，它服从Rician分布。111现在我们就清楚了，误判概率的问题完全就是习题3.9的问题（只是X，X反过来了）。124/4 04116~118第5次作业（11月2号交作业）1．已知实基带信号mt()的傅氏变换M(f)的正频率部分只存在于区间[f,f]中，11abff>>0。请设计这样一种变换器，它能反转信号的高低频成分。即若mt()的变换是ba1mt2()，那么mt2()的频谱在正频率部分将是M21(fMWf)=(−)，其中Wff=+ab，如下图所示。2．已知某一种类型的信源输出的模拟基带信号的单边功率谱密度如下图所示：将两个这样的信源的输出进行频分复用后，再用FM进行传输。已知FM鉴频器的输出为ytmtntooo()=+()()，其中mto()是复用了两个模拟信号后形成的FDM信号，nto()是高斯噪声。已知mt()的单边功率谱密度如下图所示：o(1)请问如何从mt()中分离出这两个信号？（画出原理框图）o2(2)如果噪声nt()的单边功率谱密度是Pfaf()=，a是一个正常数，那么这两路信号最on终解复用后的输出信噪比分别是多少？3．下图中A、B、C是三个不同的地理位置。模拟基带信号m(t)先从A地传输至B地，在B地解调后再重新调制后传往C地。已知nt()是和st()中心频率相同，带宽也相同的11窄带高斯噪声；nt()是和st()中心频率相同，带宽也相同的窄带高斯噪声。st()和221st2()的功率都是1，nt1()和nt2()相互独立，功率都是Pn。求C地输出的信噪比。1/1 1．已知实基带信号mt()的傅氏变换M(f)的正频率部分只存在于区间[f,f]中，11abff>>0。请设计这样一种变换器，它能反转信号的高低频成分。即若mt()的变换是ba1mt2()，那么mt2()的频谱在正频率部分将是M21(fMWf)=(−)，其中Wff=+ab，如下图所示。答：如下图所示，它实际是一个载频为f=W的下边带SSB调制器。c2．已知某一种类型的信源输出的模拟基带信号的单边功率谱密度如下图所示：将两个这样的信源的输出进行频分复用后，再用FM进行传输。已知FM鉴频器的输出为ytmtntooo()=+()()，其中mto()是复用了两个模拟信号后形成的FDM信号，nto()是高斯噪声。已知mt()的单边功率谱密度如下图所示：o(1)请问如何从mt()中分离出这两个信号？（画出原理框图）o2(2)如果噪声nt()的单边功率谱密度是Pfaf()=，a是一个正常数，那么这两路信号最on终解复用后的输出信噪比分别是多少？答：(1)原理框图见下一页的Fig1。3111W2aW(2)第一路：输出信号功率为××=W，输出的噪声功率为∫afdf=，所以信22W033噪比是。32aW1/2 Fig1两路信号的分离方法11第二路：这是一个DSB解调，DSB解调输入端（BPF输出）的信号功率为21×××=W，2W33W226aW3噪声功率为afdf=，DSB解调的输入信噪比。根据式(4.4.15)，输出∫W326aW33⎛⎞13信噪比为输入信噪比的两倍，即为。它比第一路差10log⎜⎟≈8.13dB。31013aW⎝⎠2注：对于鉴频器来说，它的输入端的噪声是窄带噪声，其正交分量nt()是基带噪声，鉴频s输出的噪声是基带噪声。但对于Fig1中的这个DSB解调来说，BPF输出就是窄带噪声。我们可以继续写出它的表示式，它也有相应的正交分量和同相分量。3．下图中A、B、C是三个不同的地理位置。模拟基带信号m(t)先从A地传输至B地，在B地解调后再重新调制后传往C地。已知nt()是和st()中心频率相同，带宽也相同的11窄带高斯噪声；nt()是和st()中心频率相同，带宽也相同的窄带高斯噪声。st()和221st2()的功率都是1，nt1()和nt2()相互独立，功率都是Pn。求C地输出的信噪比。答：B处DSB解调器输入的信噪比是1/Pn，因此yt()中的信噪比为2/Pn。如果没有nt2()，则C点输出的信噪比也将是2/Pn。对C点的DSB解调来说，若将yt()全部当作有用信号计算时，输出信噪比也是2/Pn。C点解调输出可写成三部分之和：mtztzt()++()()，其中zt()和zt()分别是1212nt1()和nt2()形成的输出，记这三项的功率分别为Pm、P1和P2。则上述结果表明⎧Pm2=⎪⎪PP1n⎨PP+2⎪m1=⎪PP⎩2n由此可得PP=+12P，从而得到输出信噪比为21nPPP4mm1==2PP++14PPPP+1221nn2当噪声比较小时，Pn可以忽略，此时输出信噪比是1/Pn，比B地恶化3分贝。2/2 04116~118第6次作业（11月9号交作业）1．下图中，串并变换器把一路速率为1kbps，独立等概的二进制比特流变成q路并行的二q进制比特流，D/A变换器的输出是iv×∆−伏，i∈{0,1,?,2−1}是D/A输入端的q个比特对应的整数，∆是一个固定的电压值，v是一个与q有关的电压值。图中的st()是以gt()⎧Ts⎪1t≤为脉冲的PAM信号，gt()=⎨2，Ts是D/A变换后的电压持续时间（符号间隔）。⎪⎩0else(1)求st()的码元间隔T及波特率R与q的关系；ss(2)如欲st()的功率谱没有离散分量，v应该等于什么？(3)若v按(2)设置，请画出q=1,2,3时，st()的功率谱密度图；(5)如果按主瓣来计算传输st()所需要的带宽，那么频带利用率是多少bps/Hz？是多少Baud/Hz?2．考虑这样一种编码，其规则是：信息1交替映射为±1V，信息0映射为0V，但4连0的第4个0交替映射为±2V。采用半占空的RZ脉冲。(1)若信息序列是1100001000000001，请画出编码后的波形；(2)设信息序列是独立等概的，若st()表示幅度为±1的双极性RZ信号的波形，st()表示12经本题所述的规则编码后的波形，求st()和st()的平均功率。123．设{a}和{b}是两个相互独立的随机序列，每个序列自身是一个独立等概的二进制序列，nn∞⎧10≤≤tT其元素取值于±1。令zajnnn=+b，st()=−∑zgtnTn()，其中gt()=⎨。i=−∞⎩0else(1)求复信号st()的波特率；(2)求st()的功率谱密度及功率；(3)设yt()是以st()为复包络的带通信号，请写出yt()的三种表达式（幅度相位式、正交式、复数式）。4．下图中nt()是双边功率谱密度为N2的白高斯噪声，ht()和ht()代表两个线性系w012统的冲激响应，其中htgt()=()，htgTt()=(−)。问哪个是匹配滤波器？并请求出y121和y中的信号噪声功率比。21/2 04116~118第6次作业（11月9号交作业）5．已知判决器的输入是ysn=+，其中s取值于s=0伏和sA=伏，概率分别是121−nPs()1=p和Ps()2==−q1p。n是一种非高斯的噪声，其概率密度为pn()ne=。2s2>判决规则是yV，判决门限V满足0判决规则是yV，判决门限V满足0=Pn⎜⎟erfc⎜⎟=erfc⎜⎟⎝⎠22⎝⎠282⎝⎠⎛⎞AA⎛⎞A(2)发送s时，y∈−∞−⎜⎟,,∪++∞⎜⎟时会判错。错误概率是噪声的绝对值大于的2⎝⎠22⎝⎠2⎛⎞AA⎛⎞概率，因此Pes()|2=>Pn⎜⎟=erfc⎜⎟。2⎝⎠2⎝⎠8⎛⎞AA发送s时，y∈−∞+⎜⎟,时会判错。错误概率是噪声小于−的概率，因此3⎝⎠22⎛⎞AA1⎛⎞Pes()|e3=>=Pn⎜⎟rfc⎜⎟。⎝⎠22⎝⎠8Pes()()()|||123++PesPes2⎛⎞A(3)P==erfc⎜⎟b33⎝⎠84 04116~118第7次作业（11月16号交作业）伟大的名字#1HarryNyquist(1889-1976)，生于瑞典奈奎斯特告诉我们，给定带宽B，无论用何种方法，都不可能以高于2B的波特率传输而无ISI。如果速率小于等于这个Nyquist极限，他告诉我们如何如何做就可以无ISI。他的这个研究成果是当今数字通信的根基。#2：ClaudeElwoodShannon(1916-2001)，生于美国仙农告诉我们，给定带宽B，信噪比S/N，则无论采用何种方法，都不可能⎛⎞S使比特率高于CB=+log⎜⎟1bps而误码率充分小。如果小于此极限则一定2⎝⎠N存在某种方法可以使误码率无限小。他预言了这种方法的存在，但没说方法是什么。后来的将近50年中，人们苦苦追寻，总算让他在闭眼之前看到了一些非常接近其预言的方法。#3你(198x-?)，生于我国除非小时候被驴踢过后脑勺，并能拿出医学证据证明你的脑细胞有问题。否则，你不可以坚定不移地认为自己是个笨蛋。你和Nyquist、Shannon这些人没有区别。只要努力，即使不采用头悬梁、锥刺股这样的措施，你也可以搞出点名堂来。不过，正如老同志们常说的，不积跬步无以至千里。在你打算把自己的名字写进教科书之前，或许先应该试试看能不能做通信原理的习题，比如：1．假设基带信道的带宽是0.5Hz，N=1W/Hz。按照Nyquist的理论，符号速率可以达到01Baud（符号周期是1秒）。奈氏的理论没有涉及到噪声问题。考虑到噪声后，如果采用二1⎛⎞Es进制传输，最好的方法是双极性PAM。此时误码率是erfc⎜⎟。如果认为误码率等于2⎜⎟N⎝⎠0−410算充分小的话，需要的符号能量（对二进制来说，符号能量就是比特能量）是多少？相同符号能量下，根据Shannon所给的公式，可传输的速率是多少bps？2−x注：erfc()x≈0.2e。2．前题中Shannon的结果>1bps。要达到这个速率，就不能是二进制传输。采用4PAM可以使速率提高到2bps。不过，为了维持误码率近似不变，4PAM的4个电压的相邻间距应该和2PAM相同。如果2PAM的两个电压是±1，那么4PAM的4个电压就应该是{±±1,3}。此时，若2PAM的符号能量是E，那么4PAM平均每符号的能量E=?。因此与前题相比，24虽然速率提高到了2bps，但需要的信号能量也提高了（EE倍），如果是用这个新的能量42的话，Shannon公式所认为的传输速率又是多少？1/2 04116~118第7次作业（11月16号交作业）如此继续下去就会发现，单靠提高M并不能达到仙农所预言的妙境。怎样达到仙农极限困扰了科学家们几十年。上面的讨论假设没有ISI，如果信道确实有ISI，也是非常值得研究的。也有人仿照仙农的做法给出ISI信道下的最高传输速率，不过公式并不简明，所以我们暂且按住不表。3．ISI下的误码率。考虑下面的离散信道模型2其中x∈±{1}，nN~0(),σ，yxxn=++α。01≤α<。假设{x}独立等概，kkkkkk−1k−4判决门限为0。已知α=0时的误码率是10。利用前面的erfc近似式，求出：(1)y中信号分量、噪声分量、ISI分量各自的功率；k(2)α=0.2时的平均错误率。（参考课本5.12题）4．前题中的信道是一个冲激响应为[1,α]的FIR滤波器。若将题中的y再通过一个冲激响k应为[1,−α]的滤波器，输出为z，那么从x到z的总体冲激响应是什么？写出z的表达kkkk式，求出z中噪声的功率和ISI的功率。k2/2 04116~118第7次作业（11月16号交作业）1．假设基带信道的带宽是0.5Hz，N=1W/Hz。按照Nyquist的理论，符号速率可以达到01Baud（符号周期是1秒）。奈氏的理论没有涉及到噪声问题。考虑到噪声后，如果采用二1⎛⎞Es进制传输，最好的方法是双极性PAM。此时误码率是erfc⎜⎟。如果认为误码率等于2⎜⎟N⎝⎠0−410算充分小的话，需要的符号能量（对二进制来说，符号能量就是比特能量）是多少？相同符号能量下，根据Shannon所给的公式，可传输的速率是多少bps？2−x注：erfc()x≈0.2e。Es1⎛⎞Es−N答：(1)误码率erfc⎜⎟==0.1e010−4，解得符号能量EN=3l××≈n106.91W2⎜⎟Ns0⎝⎠0⎛⎞Es⎜⎟T⎛⎞6.91s(2)CB=+=log⎜⎟10.5log×+⎜⎟1=1.945bps22BN×⎝⎠0.5⎜⎟0⎝⎠2．前题中Shannon的结果>1bps。要达到这个速率，就不能是二进制传输。采用4PAM可以使速率提高到2bps。不过，为了维持误码率近似不变，4PAM的4个电压的相邻间距应该和2PAM相同。如果2PAM的两个电压是±1，那么4PAM的4个电压就应该是{±±1,3}。此时，若2PAM的符号能量是E，那么4PAM平均每符号的能量E=?。因此与前题相比，24虽然速率提高到了2bps，但需要的信号能量也提高了（EE倍），如果是用这个新的能量42的话，Shannon公式所认为的传输速率又是多少？2213+答：(1)EE==5E=56.9134.55W×=4222⎛⎞Es⎜⎟T⎛⎞34.55s(2)CB=+=log⎜⎟10.5log×+≈⎜⎟13.066bps22BN×⎝⎠0.5⎜⎟0⎝⎠3．ISI下的误码率。考虑下面的离散信道模型2其中x∈±{1}，nN~0(),σ，yxxn=++α。01≤α<。假设{x}独立等概，kkkkkk−1k−4判决门限为0。已知α=0时的误码率是10。利用前面的erfc近似式，求出：(1)y中信号分量、噪声分量、ISI分量各自的功率；k(2)α=0.2时的平均错误率。（参考课本5.12题）2⎡⎤2=2答：(1)信号分量的功率为Ex⎡⎤=1，ISI分量的功率为Ex()αα。噪声分量的功⎣⎦k⎣⎦k−11/2 04116~118第7次作业（11月16号交作业）12211⎛⎞−22−4率是En⎡⎤=σ。无ISI时的误码率为erfc⎜⎟==0.1eσ10，解得噪声分量⎣⎦k222⎝⎠σ2的功率为σ=0.072。(2)PPexekk=()|1=+Px(=++1|1)Pex(kk=−)Px(=−1)1==⎡⎤⎣⎦Pex()|1|1kk++Pex()=−2其中，Pex()|11kk=+=P(+αx−1+nk<0)=Pn()kkkk<−1.2Px()−−11=++1Pn()<−0.8Px()=−111⎡⎤⎛⎞⎛⎞.20.8=+⎢⎥erfc⎜⎟⎜⎟erfc4⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎝⎠22σσ2211⎡⎤⎛⎞⎛⎞.20.8同理，Pex()|=−=1⎢⎥erfc⎜⎟⎜⎟+erfc，所以，k4⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎝⎠22σσ2222⎡⎤⎛⎞⎛⎞1.20.8⎡⎤⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟11.20.8⎢⎥⎝⎠⎝⎠22σσ22−4Pe=+≈⎢⎥erfc⎜⎟⎜⎟erfc0.025×+e≈310×e4⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎝⎠22σσ22⎢⎥⎢⎥⎣⎦（注：按erfc算的结果是0.0015，前述的近似公式在误码率低的时候误差比较大）。4．前题中的信道是一个冲激响应为[1,α]的FIR滤波器。若将题中的y再通过一个冲激响k应为[1,−α]的滤波器，输出为z，那么从x到z的总体冲激响应是什么？写出z的表达kkkk式，求出z中噪声的功率和ISI的功率。k2答：(1)总体冲激响应为[1,α]∗−=[1αα]⎡1,0,−⎤⎣⎦(2)z的表达式为：kzyyxxnkkkkkk=−ααα−−−111=++−(xk+αxnkk−2+−1)2=−xxnnαα+−kkkk−−21⎡⎤−=2+22⎡⎤242=z中噪声的功率为Enn()α(1ασ)，ISI的功率为Ex(α)α。k⎣⎦kk−1⎢⎥⎣⎦k−22/2 04116~118第8次作业（12月8号交作业）1．将功率谱密度为N2的白高斯噪声nt()通过一个带宽为B的理想LPF（增益为1），0w其输出是nt()，然后在tk=T时刻采样得到序列{n}，其中nnk=(T)。kks(1)求RmEnn()=[];nkk+m(2)求这样的T值，它能使∀≠mR0,(m)=0。n2.将一个二进制PAM码元a∈±{1}通过2个基带系统传输，两个系统的接收端的取样结果分别是yh=+an和yh=+an。其中hh,0>是这两个系统的信道增益，nn,是两11122212122个独立同分布的0均值加性高斯噪声，方差为σ。已知a等概取值。(1)求第i个接收机的误码率P，i=1,2；i⎡y1⎤⎡w1⎤(2)今用这两个样值组成一个向量y=⎢⎥，再用实向量w=⎢⎥与y做内积得到yw⎣2⎦⎣N⎦Ty!=wy。求能使y!中的信噪比最大的向量w，并求相应的误码率P!。e(3)如果将(2)中得到的最佳w的所有元素都增大一倍，误码率P!会有什么变化？e3.假设双二进制系统的带宽是W，传输速率是2Wbps。(1)考虑一个采用升余弦滚降的纯三进制系统，其带宽也是W，传输速率也是2Wbps。那么它的符号速率是多少？滚降系数是多少？（一个符号携带logM个比特）2(2)如果考虑二进制到三进制映射的不理想性，那么(1)的结果就有些偏于乐观。假设我们是把3个比特映射到2个三进制符号，从8种可能性映射到9种可能性，效率没有达到100%。如果此时带宽和传输速率都和前面一样，滚降系数应该设计为多少？4．如果图5.8.1中的a等概取值于4个电平{±1,3±}，不考虑噪声，求图中c的可能取值nn及相应的出现概率。∞5．数字信号st()=−∑agtnTns()，其中{an}是取值于{±1}的独立等概序列。gt()如n=−∞下图5(a)示，注意它的持续时间是两个码元周期。图5(a)将st()经过全波整流得到信号vt()=st()。在一个符号间隔内，vt()有4种波形，如图5(b)示。1/2 04116~118第8次作业（12月8号交作业）图5(b)(1)求图5(b)中这些波形的出现概率；(2)画出yt()=⎡⎤Evt⎣⎦()的波形；(3)求yt()的平均功率，以及它所包含的时钟分量的功率。2/2 1．将功率谱密度为N2的白高斯噪声nt()通过一个带宽为B的理想LPF（增益为1），0w其输出是nt()，然后在tk=T时刻采样得到序列{n}，其中nnk=(T)。kks(1)求RmEnn()=[];nkk+m(2)求这样的T值，它能使∀≠mR0,(m)=0。n⎧Nf2≤B0答：(1)LPF输出噪声nt()的功率谱密度为Pf()=⎨，对Pf()求傅氏反变⎩0else换是其自相关函数，即E⎡⎤ntnt()(+=τ)NBsinc2(τB)。因此⎣⎦0Rnk()mEn==[nk+m]N0Bsinc2()mTB。n⎛⎞mn(2)当T=，其中n为非零整数时，R()mN==Bsinc2⎜⎟BNBmsinc()n。若n002B⎝⎠2B1m≠0，则mn≠0，则sinc()mn=0。即所求T是Nyquist抽样间隔（）的整倍数。2B2.将一个二进制PAM码元a∈±{1}通过2个基带系统传输，两个系统的接收端的取样结果分别是yh=+an和yh=+an。其中hh,0>是这两个系统的信道增益，nn,是两11122212122个独立同分布的0均值加性高斯噪声，方差为σ。已知a等概取值。(1)求第i个接收机的误码率P，i=1,2；i⎡y1⎤⎡w1⎤(2)今用这两个样值组成一个向量y=⎢⎥，再用实向量w=⎢⎥与y做内积得到yw⎣2⎦⎣2⎦Ty!=wy。求能使y!中的信噪比最大的向量w，并求相应的误码率P!。e(3)如果将(2)中得到的最佳w的所有元素都增大一倍，误码率P!会有什么变化？e答：(1)第1个接收机：由对称性知判决门限为V=0，。发−1时的错误率为T1⎛⎞h1Pea()|1=−=Py(>0|1a=−=)Pnh()11>=erfc⎜⎟，再由对称性知2⎝⎠2σ21⎛⎞h1⎛⎞h12P=erfc⎜⎟。同理可得P=erfc⎜⎟。122⎝⎠2σ22⎝⎠2σ2T(2)yw!==+=+wyywy()whwha++wnwn，其中的有用信号是11221122112222()wh11+wha22，因为a=1，所以信号功率是()wh11+wh22。y!中的噪声是wn11+wn22，2222因为nn,独立同分布，功率都是σ，所以y!中的噪声功率是(ww+)σ。信噪比为12122()wh11+wh22γ=。222()ww12+σ22w2()hx12+hddγ()hx12+hh2设x=，则γ=，解==0得x=。因而最佳的w满足2222w1()1+xσdxdx()1+xσh1wh11⎡⎤h1=，即wh=K，其中h=⎢⎥，K是任意常数。不妨取K=1，则whh22⎣⎦2T22yh!==+++=+wy(12h)ah1n12hn2h!aξ1/4 222222其中hhh!=+，ξ是均值为0，方差为(hh+=)σh!σ的高斯噪声。因此误码率为121211⎛⎞h!⎛⎞hh22+erfcPPh!=>=()ξ!⎜⎟=erfc⎜⎟12。e22⎜⎟2!σ2⎜⎟2σ2⎝⎠h⎝⎠(3)w的所有元素都增大一倍时，y!中的信噪比不变，所以误码率P!不变。e3.假设双二进制系统的带宽是W，传输速率是2Wbps。(1)考虑一个采用升余弦滚降的纯三进制系统，其带宽也是W，传输速率也是2Wbps。那么它的符号速率是多少？滚降系数是多少？（一个符号携带logM个比特）2(2)如果考虑二进制到三进制映射的不理想性，那么(1)的结果就有些偏于乐观。假设我们是把3个比特映射到2个三进制符号，从8种可能性映射到9种可能性，效率没有达到100%。如果此时带宽和传输速率都和前面一样，滚降系数应该设计为多少？R2WRbs答：(1)符号速率R==Baud。设滚降系数为α，则()1+=αW，因此slog3log32222Wα=−1log310.585=−=。2Rs3(2)此时平均每2符号携带3个比特，因此符号速率和比特速率的关系是R=R。比特传bs2224输速率不变，是2Wbps，则符号速率是R==RW×=2W。设滚降系数为α，则sb333R23Ws()1+=αW，α=−11=−=0.5。2R2s4．如果图5.8.1中的a等概取值于4个电平{±1,3±}，不考虑噪声，求图中c的可能取值nn及相应的出现概率。答：{±±1,3}这4个电压两两相加的可能结果如下表所示：an−11−33an−1−1−20−42102−24−3−4−2−6032406由a和a独立，得c的可能取值及相应的出现概率为nn−1ncn−6−4−20246P1/161/83/161/43/161/81/16∞5．数字信号st()=−∑agtnTns()，其中{an}是取值于{±1}的独立等概序列。gt()如n=−∞下图5(a)示，注意它的持续时间是两个码元周期。2/4 图5(a)将st()经过全波整流得到信号vt()=st()。在一个符号间隔内，vt()有4种波形，如图5(b)示。图5(b)(1)求图5(b)中这些波形的出现概率；(2)画出yt()=⎡⎤Evt⎣⎦()的波形；(3)求yt()的平均功率，以及它所包含的时钟分量的功率。1答：(1)由于{a}是取值于{±1}的独立等概序列，所以这些波形的出现概率相同，均为。n4注意vt()=st()，它没有负值。(2)将图5(b)中的4个脉冲从左到右记为gt()、gt()、gt()和gt()，不妨假设它们的1234最大幅度都是1。E⎡vt()⎤在每个码元间隔内都是一样的，所以我们来考察[0,T]内的波形，⎣⎦sgtgtgtgt1234()+++()()()⎡Ts⎤令其为gt!()，则gt!()=。在⎢0,⎥时间内，4⎣2⎦21tTss+++12tTt1⎡Ts⎤222×−(tTs)+23tgt!()==+。在⎢,Ts⎥内，gt!()==−。42Ts⎣2⎦42Tsgt!()图形如下：2TTss2222Ts⎛⎞17t其能量是g!!()tdt==22g()tdt⎜⎟+dt=T。周期信号的平均功率是∫∫∫s00021T2⎝⎠s7它在一个周期内的能量处以周期，因此yt()的功率是。12∞yt()是以gt!()为一个周期的周期信号，即yt()=−∑gtnT!(s)。它可展成傅氏级数n=−∞3/4 m∞jt2πT222yt()=∑ces。时钟频率分量的功率是ccc+=2。m−111m=−∞22ππ111Ts−−jt∞jt⎛⎞1cg===!!()teTTdtg()tedtG!⎜⎟1∫∫TTT0−∞Tsss⎝⎠s!是11Gf()gt!()的傅氏变换。gt!()是幅度为的矩形脉冲和幅度为的三角脉冲的和，其22Ts!−jt2π2⎡⎤TTss2⎛⎞fTs，傅氏变换是Gfe()=+⎢⎥sinc()fTsinc⎜⎟s⎣⎦24⎝⎠2cG==+=111!⎛⎞⎜⎟sinc1()111sinc2⎛⎞⎜⎟1TTss⎝⎠24⎝⎠22π1因此时钟分量的功率是。22π4/4 04116~118第9次作业（12月14号交作业）1．设bt()是一个幅度为1的双极性NRZ信号，其比特速率是1bps。用bt()对正弦载波进⎡⎤bt()行调制度为50%的AM调制得到st()=+⎢⎥1cosωt。c⎣⎦2(1)画出st()的功率谱密度图；(2)若接收端采用相干解调，请问应该如何提取相干载波？(3)若信道噪声是功率谱密度为N2的白高斯噪声，接收端采用最佳相干接收方案，求0误码率。2.考虑8PAM信号，其8个幅度是{−−−−7,5,3,1,1,3,5,7}。每个幅度可携带3个比特。如果要求相邻幅度值所携带的3个比特中只有一个bit不相同，请给出3个比特到8个电压之间的映射关系。3．将两路信息独立、幅度同为1、速率同为1bps的双极性NRZ信号bt()和bt()分别对12载波cosωt和sinωt做DSB调制，再求和得到stbt()=−()(cosωtbt)sinωt。cc12cc(1)写出st()的复包络st()；L(2)求st()的平均功率P和平均每信息比特的能量E；b(3)若信道噪声是功率谱密度为N2的白高斯噪声，接收端采用最佳的相干接收方案，0求误符号率P和误比特率P。sb4.若前题中的两个NRZ信号携带的是相同的信息，使得btbt()=()。画出最佳相干解调12框图，求出相应的误比特率。5.设bt()同题1。OOK信号是A⎡⎤1c+bt()osωt，BPSK信号是Abt()cosωt，2FSK1⎣⎦c2c信号是A{⎡⎤1−2b()tfcosππt+⎡⎤1+2b()tfcost}，其中ff=+2。31⎣⎦⎣⎦221(1)求这三种信号的最大幅度值st()、st()和st()；OOKmaxBPSKmax2FSKmax(2)假设采用最佳相干接收，若要求这3种调制方式的最大幅度相同，误码率相同，请问各自可容忍的噪声功率谱密度相差多少dB?1/1 1．设bt()是一个幅度为1的双极性NRZ信号，其比特速率是1bps。用bt()对正弦载波进⎡⎤bt()行调制度为50%的AM调制得到st()=+⎢⎥1cosωt。c⎣⎦2(1)画出st()的功率谱密度图；(2)若接收端采用相干解调，请问应该如何提取相干载波？(3)若信道噪声是功率谱密度为N2的白高斯噪声，接收端采用最佳相干接收方案，求0误码率。12答：(1)st()的复包络是st()=+1bt()。由于bt()的功率谱密度是Pf()=sinc()f，Lb212所以st()的功率谱密度为Pf()=+sinc()fδ()f。因此st()的功率谱密度为LsL4PffPffsc()++−−s(c)Pf()=LLs41122=+⎡⎤⎣⎦sinc()()fffccc+sinc−ff+⎡⎣δδ(+f)+()f−fc⎤⎦164st()的功率谱密度图为（单边）：(2)因信号中含有载频分量，故可用窄带滤波或缩相环直接提取。1(3)st()是一个纯载波cosωt和一个BPSK信号bt()cosωt之和。BPSK部分的功率是cc21111⎛⎞W，比特能量是J，因此误码率是P=erfc⎜⎟。88e28⎜⎟N⎝⎠02.考虑8PAM信号，其8个幅度是{−−−−7,5,3,1,1,3,5,7}。每个幅度可携带3个比特。如果要求相邻幅度值所携带的3个比特中只有一个bit不相同，请给出3个比特到8个电压之间的映射关系。答：可以有多种答案，例如：−↔7111,5−↔110,3−↔100,1−↔101,1↔001,3↔000,5↔010,7↔0111/3 3．将两路信息独立、幅度同为1、速率同为1bps的双极性NRZ信号bt()和bt()分别对12载波cosωt和sinωt做DSB调制，再求和得到stbt()=−()(cosωtbt)sinωt。cc12cc(1)写出st()的复包络st()；L(2)求st()的平均功率P和平均每信息比特的能量E；b(3)若信道噪声是功率谱密度为N2的白高斯噪声，接收端采用最佳的相干接收方案，0求误符号率P和误比特率P。sb答：(1)st()的复包络是stbtjbt()=+()()L121(2)I路和Q路的功率都是，所以平均功率是P=1。2st()的信息速率是Rb=2bps，因此比特能量是EPRbb==0.5J.(3)st()由两个正交的BPSK构成，每个BPSK的比特能量都是0.5。接收端采用最佳的相干11⎛⎞1接收方案时，每路BPSK的误比特率都是PEbb==erfc()N0erfc⎜⎟，因此22⎜⎟2N⎝⎠011⎛⎞平均误比特率仍然是erfc⎜⎟。2⎜⎟2N⎝⎠0st()是QPSK信号，当I、Q两路上的比特都正确时，符号正确，因此误符号率为2PPs=−−11()bbb()1−=P2P+Pb4.若前题中的两个NRZ信号携带的是相同的信息，使得btbt()=()。画出最佳相干解调12框图，求出相应的误比特率。π答：stbt()=−=()cosωωtbt()sint2bt()cos(ωt+)。它是一个BPSK信号，最12cc1c4佳相干解调框图如下tT=rt()bTb∫()dt⊗0πcos(ωt+)c411⎛⎞此BPSK的比特能量是1，因此误比特率为P=erfc⎜⎟。b⎜⎟2N⎝⎠05.设bt()同题1。OOK信号是Ab⎡⎤1c+(t)osωt，BPSK信号是Abt()cosωt，2FSK1⎣⎦c2c信号是A{⎡⎤1c−2b()tfos1cππt+⎡⎤+2b()tfost}，其中ff=+2。31⎣⎦⎣⎦2212/3 (1)求这三种信号的最大幅度值st()、st()和st()；OOKmaxBPSKmax2FSKmax(2)假设采用最佳相干接收，若要求这3种调制方式的最大幅度相同，误码率相同，请问各自可容忍的噪声功率谱密度相差多少dB?答：(1)st()=2A，stA()=，st()=2A。OOKmax1BPSKmax22FSKmax31⎛⎞Eb1(2)三种调制方式OOK，BPSK，2FSK的误码率公式分别是P=erfc⎜⎟，122⎜⎟N⎝⎠011⎛⎞E1⎛⎞Eb2b3P=erfc⎜⎟，P=erfc⎜⎟。由误码率相同得222⎜⎟N32⎜⎟N⎝⎠02⎝⎠03EEEbbb123==22NNN010203由于比特间隔是1s，所以平均比特能量等于平均功率，因此比特能量和最大幅度的关系222stOOK()stBPSK()st2FSK()是：E=、E=、E=。代入上式得b1b2b3422222stOOK()stBPSK()st2FSK()max==maxmax824NNN010203因此2FSK可容忍的噪声功率谱密度比BPSK低3dB，OOK能容忍的噪声功率谱密度比2FSK低3dB。3/3 04116~118第10次作业（12月21号交作业）1．非线性引起的频谱增生⎧−11tt≤(1)设脉冲bt()=⎨，求bt()的能量谱密度Ef()。b⎩0else42(2)若bt()通过一个增益为的放大器，该放大器的饱和输出电压是。输出信号顶部被削，33⎧41bt()t>⎪⎪32成为ct()=⎨。请画出ct()的波形，并求ct()的能量谱密度Ef()。c⎪21t≤⎪⎩32(3)比较Ef()和Ef()在f=1处的能量谱密度。bc2．OFDM调制某通信系统在0≤≤tT时间内同时发送N个QPSK调制符号st()(=+cos2πftθ)，其siii⎧⎫π33πππ中iN=−0,1,?,1，θ∈−⎨⎬,,,−是第i个载波上的QPSK相位，第i个载波i⎩⎭4444N−11的频率是fi=+∆fi0，，f0>>。总的发送信号是st()=∑sti()。Tsi=0(1)求能使这些QPSK信号两两正交的最小频率间隔∆。(2)st()整体上是一个符号间隔为T的多进制数字信号。求其符号速率和比特速率。s(3)若以第一个载波（f）的左侧第1个频率零点到最后一个载波（f）右侧第1个频率0N−10点之间的频率范围作为该系统的带宽B，那么该系统的频带利用率为多少？(4)以f为参考载波，写出st()的复包络。03．I、Q不平衡理想实现的QPSK是I、Q平衡的，即两路的幅度一般大。假设某个调制器所产生的QPSK不理想，I路的功率比Q路高αdB。假设总发送功率不变，因而总的比特能量E也不变。b(1)分别写出I路、Q路的比特能量E、E与E的关系。bIbQb1⎛⎞Eb(2)正常QPSK（α=0dB）最佳接收时的误比特率是erfc⎜⎟。若α>0，请写出相2⎜⎟N⎝⎠0应的平均误比特率表达式（作为Eb/N0及α的函数）。4．符号错误率与比特错误率在多进制通信中，每个符号携带了vM=log个比特。一个符号出错不代表所有这v2个比特都错，因此比特错误率P和符号错误率P一般不相等（PP≤）。其关系与特定的bsbs情形有关。(1)各比特错误独立。假设这v个比特的出错是相互独立的随机事件，求P作为P的函数以sb及P作为P的函数。bs(2)格雷映射。假设比特到符号的映射满足格雷码规则，并且发送符号错为非相邻符号的概率可以忽略，求P与P的关系。sb(3)等可能的符号错误。假设发送某个符号时，错为其他M−1个符号的机会相同。求P和Psb的关系。1/2 04116~118第10次作业（12月21号交作业）5.载波提取将幅度为1的双极性NRZ信号bt()乘载波得到BPSK信号stbt()=()cosωt。接收端采c用如下所示的框图进行接收，其中rtstnt()=+()()，nt()是零均值的平稳窄带高斯噪声。1假设判决结果的错误率p<，且每次判决是否出错是独立的随机事件。判决器输出是取值2于±1的NRZ信号。图中的延迟是为了补偿相干解调、判决电路可能造成的延迟，它使A点前面的乘法器中，判决结果和对应此判决结果的BPSK码元能理想对齐。(1)求图中A点信号的功率谱密度（不包括噪声）。(2)说明图中载波提取电路的工作原理。2/2 1．非线性引起的频谱增生⎧−11tt≤(1)设脉冲bt()=⎨，求bt()的能量谱密度Ef()。b⎩0else42(2)若bt()通过一个增益为的放大器，该放大器的饱和输出电压是。输出信号顶部被削，33⎧41bt()t>⎪⎪32成为ct()=⎨。请画出ct()的波形，并求ct()的能量谱密度Ef()。c⎪21t≤⎪⎩32(3)比较Ef()和Ef()在f=1处的能量谱密度。bc答：(1)bt()的傅氏变换是ܤሺ݂ሻൌsincଶሺ݂ሻ，其能量谱密度为ܧୠሺ݂ሻൌsincସሺ݂ሻ。(2)ct()的波形如下：ct()23t112⎧2⎛⎞t⎪⎜⎟10−≤t.511如果设gt()=⎨30⎝⎠.5，则ct()=gt()(+++−gtgt)()，所以ܿሺݐሻ的傅⎪22⎩0else௝గ௙ି௝గ௙ଵଶ௙氏变换为ܥሺ݂ሻൌܩሺ݂ሻ݁൅ܩሺ݂ሻ൅ܩሺ݂ሻ݁ൌܩሺ݂ሻሺ1൅2cosߨ݂ሻൌsincቀቁሺ1൅ଷଶଶଵସ௙ଶ2cosߨ݂ሻ,其能量谱密度为|ܥሺ݂ሻ|ൌsincቀቁሺ1൅2cosߨ݂ሻ。ଽଶସଵଶ(3)Eb()10=，ܧୡሺ1ሻൌൈቀቁൈ1ൎ0.018。ଽగ2．OFDM调制某通信系统在0≤≤tT时间内同时发送N个QPSK调制符号st()(=+cos2πftθ)，其siii⎧⎫π33πππ中iN=−0,1,?,1，θ∈−⎨⎬,,,−是第i个载波上的QPSK相位，第i个载波i⎩⎭4444N−11的频率是fi=+Δfi0，，f0>>。总的发送信号是st()=∑sti()。Tsi=0(1)求能使这些QPSK信号两两正交的最小频率间隔Δ。(2)st()整体上是一个符号间隔为T的多进制数字信号。求其符号速率和比特速率。s(3)若以第一个载波（f）的左侧第1个频率零点到最后一个载波（f）右侧第1个频率0N−10点之间的频率范围作为该系统的带宽B，那么该系统的频带利用率为多少？(4)以f为参考载波，写出st()的复包络。0்౩்౩்౩答：(1)׬଴ݏ௜ሺݐ∆ሻ݇െ݅ሺߨ2ሾsoc଴׬ൌݐ݀ሻ௞ߠ൅ݐ௞݂ߨ2ሺsocሻ௜ߠ൅ݐ௜݂ߨ2ሺsoc଴׬=ݐ݀ሻݐሺ௞ݏሻݐ൅ߠ௜െߠ௞ሿ݀ݐ，对于്݅݇及任意的ߠ௜,ߠ௞，能使此积分为0必须要求ܶୱ是被积函数的整倍数周期。因ଵ此最小的∆是。்౩1/3 12N(2)符号速率为Baud，比特速率为bps。TTss12N(3)BN=+()1，频带利用率为bps/Hz。TN+1sN−1ji()Δ+θi(4)st()的复包络为stL()=∑e。i=03．I、Q不平衡理想实现的QPSK是I、Q平衡的，即两路的幅度一般大。假设某个调制器所产生的QPSK不理想，I路的功率比Q路高αdB。假设总发送功率不变，因而总的比特能量E也不变。b(1)分别写出I路、Q路的比特能量E、E与E的关系。bIbQb1⎛⎞Eb(2)正常QPSK（α=0dB）最佳接收时的误比特率是erfc⎜⎟。若α>0，请写出相2⎜⎟N⎝⎠0应的平均误比特率表达式（作为Eb/N0及α的函数）。αEα10bாౘIାாౘQ210×I=1010，此QPSK总平均的比特能量是ܧE=E答：(1)ୠൌଶ。所以bbIα，EbQ1010+12E=E。bbQα1010+1(2)平均误比特率表达式为11⎡⎤⎛⎞E1⎛⎞E=+⎢⎥⎜⎟bI⎜⎟bQperfcerfce22⎢⎥⎜⎟NN2⎜⎟⎣⎦⎝⎠00⎝⎠⎡⎤⎛⎞α⎛⎞EE。⎢⎥⎜⎟210××10bb⎜⎟2×1⎢⎥⎜⎟NN00⎜⎟=+erfcerfc4⎢⎥⎜⎟αα⎜⎟⎢⎥⎜⎟1010++1⎜⎟10101⎢⎥⎜⎟⎣⎦⎝⎠⎝⎠4．符号错误率与比特错误率在多进制通信中，每个符号携带了vM=log个比特。一个符号出错不代表所有这v2个比特都错，因此比特错误率P和符号错误率P一般不相等（PP≤）。其关系与特定的bsbs情形有关。(1)各比特错误独立。假设这v个比特的出错是相互独立的随机事件，求P作为P的函数以sb及P作为P的函数。bs(2)格雷映射。假设比特到符号的映射满足格雷码规则，并且发送符号错为非相邻符号的概率可以忽略，求P与P的关系。sb(3)等可能的符号错误。假设发送某个符号时，错为其他M−1个符号的机会相同。求P和Psb的关系。1v答：(1)PP=−−11()，PP=−−11()v。sbbs(2)按格雷码规则，错为邻近符号时只错一个比特，所以Pv=P。sb2/3 (3)不妨考虑第1个比特（其他比特情形一样）。所有M个符号的第1个比特中，有M/2个1，另外一半是0。假设发送某一个符号，则对第一个比特来说，另外ܯെ1个符号的第1个比ெெ特中有个和发送符号的第一个比特不一样，另外ܯെ1െ个符号的第一个比特和发送符ଶଶ号的第一个比特是一样的。错成其他ܯെ1个符号中的任何一个的机会是相同的，由此可知，ಾమெெ在发送符号出错的条件下，第1个比特出错的机会是ൌ。因此ܲ௕ൌܲ௦。此ெିଵଶሺெିଵሻଶሺெିଵሻ即课本的(6.4.190)式。5.载波提取将幅度为1的双极性NRZ信号bt()乘载波得到BPSK信号stbt()=()cosωt。接收端采c用如下所示的框图进行接收，其中rtstnt()=+()()，nt()是零均值的平稳窄带高斯噪声。1假设判决结果的错误率p<，且每次判决是否出错是独立的随机事件。判决器输出是取值2于±1的NRZ信号。图中的延迟是为了补偿相干解调、判决电路可能造成的延迟，它使A点前面的乘法器中，判决结果和对应此判决结果的BPSK码元能理想对齐。(1)求图中A点信号的功率谱密度（不包括噪声）。(2)说明图中载波提取电路的工作原理。答：判决器输出是取值于േ1的NRZ信号，记其为ܿሺݐሻ。A点乘法器输入的信号是ܾሺݐୡωሺsocሻ߬െݐሺܾൌሻ߬െݐሺୡωsocሻ߬െݐെߠሻ，其中ߠൌωୡ߬是一个固定的相位。A点信号是݀ሺݐሺ݀以所，的齐对是迟延于由。ሻ߬െݐሺܾሻݐሺܿൌሻݐሺ݀中其，ሻߠെݐୡωሺsocሻݐሻ也是脉冲宽度为ܶୠ的双极性NRZ信号。如果判决正确，则݀ሺݐሻൌ1，如果判决错误，则݀ሺݐሻൌെ1。因而A点信号的时域表达式为ݏAሺݐୡωሺsocሻ௕ܶ݊൅߬െݐሺ்݃௡ܽஶିୀ௡ஶ∑ൌሻߠെݐୡωሺsocሻݐሺ݀ൌሻݐെߠሻ。其中݃Tሺא௡ܽ，意题依。冲脉形矩的1为度幅、ୠܶ为宽脉是ሻݐሼേ1ሽ是独立序列，且ܲሺܽ௡ൌ൅1ሻൌ݌，ܲሺܽ௡ൌെ1ሻൌ1െ݌。ܽ௡的均值为݉௔ൌܧሾܽ௡ሿൌ2݌െ1，方差为ߪଶൌEሾܽଶሿെ݉ଶൌ4݌ሺ1െ݌ሻ。带入课本上的(5.2.19)可得݀ሺݐሻ的功率谱密度，再由搬移关系௔௡௔可得到A点的功率谱密度为：ሺଵିଶ௣ሻమܲAሺ݂ሻൌሾߜሺ݂െ݂௖ሻ൅ߜሺ݂൅݂௖ሻሿ൅݌ሺ1െ݌ሻܶ௕ሼsincଶሾሺ݂െ݂௖ሻܶ௕ሿ൅sincଶሾሺ݂൅݂௖ሻܶ௕ሿሽସ்మౘଵ由上式可知，在݌൏的条件下，A点信号存在载频的线谱分量，因此可用PLL提取出ଶ发送载波（假设PLL内部有相移电路可以补偿掉ߠ）。这种方法的好坏受判决结果的错误率p的影响，判决的误码率越低，则A点信号中载频分量越强，越有利于恢复出载波。特别当݌ൌ0时，A点信号就是纯载波。3/3 04116~118第11次作业（1月4号交作业）1．功率谱密度(1)设ሼܽሽ是取值于േ1的独立等概序列，若ܾൌሺെ1ሻ௡ܽ，证明序列ሼܾሽ也是独立等概序列；௡௡௡௡ሺݐ൑10ቄൌሻݐሺܽஶ∑ൌሻݐ൑ܶ௦(2)设ݏଵ௡ୀିஶ௡݃ଵሺݐെ݊ܶ௦ሻ，其中݃ଵ。求ݏଵ(t)的功率谱密度。0elseగ௧ஶcos0൑ݐ൑ܶ௦(3)设ݏଶሺݐሻൌ∑௡ୀିஶܾ௡݃ଶሺݐെ݊ܶ௦ሻ，其中݃ଶሺݐሻൌቊ்ೞ。求ݏଶ(t)的功率谱密度。0elseగ௧ஶగ௧(4)设ݏଷሺݐሻൌݏଵሺݐሻcosൌሼ∑௡ୀିஶܽ௡݃ଵሺݐെ݊ܶ௦ሻሽcos，求ݏଷ(t)的功率谱密度。்ೞ்ೞሺݐሻൌቄ∑ஶ்ܽೞగ௧(5)设ݏସ௡ୀିஶ௡݃ଵሺݐെെ݊ܶ௦ሻቅsin，求ݏସ(t)的功率谱密度。ଶ்ೞ(6)设ݏହሺݐሻൌݏଷሺݐሻ൅݆ݏସሺݐሻ，但ݏସ(t)中的数据不是ሼܽ௡ሽ，而是与其独立的序列ሼܿ௡ሽ，ሼܿ௡ሽ中的元素以独立等概的方式取值于േ1。求ݏହሺݐሻ的功率谱密度。(7)求ݏହ(t)的包络|ݏହሺݐሻ|。2．误码率发送前题中的ݏଷሺݐሻ，接收端得到ݎሺݐሻൌݏଷሺݐሻ൅݊௪ሺݐሻ，݊௪ሺݐሻ是白高斯噪声。用下图进行接ሺ௡ାଵሻ்ೞ收。图中的ݕ௡ൌ׬ݎሺݐሻݔሺݐሻ݀ݐ。௡்ೞ(1)对于任意的ݔሺݐሻ，写出ݕ௡中的信号分量，以及噪声分量的均值和方差。(2)若ݕ求，∞൏ݐ൏∞െ，௦ܶ/ݐߨcosൌሻݐሺݔ௡中的信噪比、判决规则以及误码率。(3)若ݕ求，形波的ሻݐሺݔ出画，∞൏ݐ൏∞െ，ሻܶ݊െݐሺ݃ஶ∑ൌሻݐሺݔ中的信噪比、判决规௜ୀିஶଶ௦௡则以及误码率。3．二维信号考虑二维信号，两个正交基函数(但不是归一化的基)分别是݂ଵሺݐሻ和݂ଶሺݐሻ。由其构成的星座图是܁ൌሼsଵ,sଶ,sଷ,sସሽൌሼሺ൅1,െ1ሻ,ሺ൅1,൅1ሻ,ሺെ1,൅1ሻ,ሺെ1,െ1ሻሽ。记第n个发送的符号为ܽ௡ൌሺݔሼ知已。ሽሻ௦ܶ݊െݐሺଶ݂௡ݕ൅ሻ௦ܶ݊െݐሺଵ݂௡ݔஶିୀ௡ஶሼ∑ൌሻݐሺݏ是号信送发则，܁אሻ௡ݕ,௡ݔ௡ሽ、ሼݕ௡ሽ相互独立，且它们都是独立等概序列。假设߱௖ܶ௦/2是2ߨ的整倍数。(1)画出星座图；்ೞ்ೞሺݐ൑ݐ௖߱socܣቊൌሻݐሺ൑ݐ൑0ݐ௖߱socܣቊൌሻݐ൑ܶ௦(2)若݂ଵଶ，݂ଶଶ，问ݏሺݐሻ是什么信号？0else0else其功率谱的主瓣宽度是多少？ሺݐ൑0ݐ௖߱nisܣቄൌሻݐሺ௦ܶ൑ݐ൑0ݐ௖߱socܣቄൌሻݐ൑ܶ௦(3)若݂ଵ，݂ଶ，问ݏሺݐሻ是什么信号？0else0else其功率谱的主瓣宽度是多少？்ೞଷ்ೞሺݐ൑ݐ௖߱nisܣቊൌሻݐሺ௦ܶ൑ݐ൑0ݐ௖߱socܣቄൌሻݐ൑(4)若݂ଵ，݂ଶଶଶ，问ݏሺݐሻ是什么信号？0else0else其功率谱的主瓣宽度是多少？గ௧గ௧்ೞଷ்ೞܣcoscos߱௖ݐ൑ݐ௖߱sinsinܣ௦ܶ൑ݐ൑0ݐ൑(5)若݂ଵሺݐሻൌቊ்ೞ，݂ଶሺݐሻൌቊ்ೞଶଶ，问ݏሺݐሻ是0else0else什么信号？其功率谱的主瓣宽度是多少？4.抽样二进制数字信源的速率是ܴ௕，将其转化为M进制符号后速率是ܴ௦，通过一个滚降系数为ߙൌ0.5的基带升余弦系统传输，到接收端是（接收滤波输出端，不考虑噪声）ݏሺݐሻ。(1)ݏሺݐሻ的带宽B是多少？௞(2)若以奈氏抽样率2B抽样，得到样值为ሼݔ௞ൌݏሺሻሽ，请问如何用ሼݔ௞ሽ复原出ݏሺݐሻ?ଶ஻௞(3)若以ܴ௦为抽样率，得到样值为ቄݕ௞ൌݏቀቁቅ，请问能否用ሼݕ௞ሽ复原出ݏሺݐሻ?ோೞ1/1 1．功率谱密度(1)设ሼܽሽ是取值于േ1的独立等概序列，若ܾൌሺെ1ሻ௡ܽ，证明序列ሼܾሽ也是独立等概序列；௡௡௡௡ሺݐ൑10ቄൌሻݐሺܽஶ∑ൌሻݐ൑ܶ௦(2)设ݏଵ௡ୀିஶ௡݃ଵሺݐെ݊ܶ௦ሻ，其中݃ଵ。求ݏଵ(t)的功率谱密度。0elseగ௧ஶcos0൑ݐ൑ܶ௦(3)设ݏଶሺݐሻൌ∑௡ୀିஶܾ௡݃ଶሺݐെ݊ܶ௦ሻ，其中݃ଶሺݐሻൌቊ்ೞ。求ݏଶ(t)的功率谱密度。0elseగ௧ஶగ௧(4)设ݏଷሺݐሻൌݏଵሺݐሻcosൌሼ∑௡ୀିஶܽ௡݃ଵሺݐെ݊ܶ௦ሻሽcos，求ݏଷ(t)的功率谱密度。்ೞ்ೞሺݐሻൌቄ∑ஶ்ܽೞగ௧(5)设ݏସ௡ୀିஶ௡݃ଵሺݐെെ݊ܶ௦ሻቅsin，求ݏସ(t)的功率谱密度。ଶ்ೞ(6)设ݏହሺݐሻൌݏଷሺݐሻ൅݆ݏସሺݐሻ，但ݏସ(t)中的数据不是ሼܽ௡ሽ，而是与其独立的序列ሼܿ௡ሽ，ሼܿ௡ሽ中的元素以独立等概的方式取值于േ1。求ݏହሺݐሻ的功率谱密度。(7)求ݏହ(t)的包络|ݏହሺݐሻ|。ଵ答：(1)若n为偶数，则ܾ௡ൌܽ௡，此时ܲሺܾ௡ൌേ1ሻൌܲሺܽ௡ൌേ1ሻൌ。若݊为奇数，则ܾ௡ൌെܽ௡，ଶଵ此时ܲሺܾ௡ൌേ1ሻൌܲሺܽ௡ൌט1ሻൌ。ଶ对于任意的整数്݊݉及אݒ,ݑሼേ1ሽ，有ܲሺܾൌݒൌܽ௠ሻ1െሺ,ݑൌܽ௡ሻ1െሺሺܲൌሻݒൌܾ,ݑሻ௡௠௡௠ݒݑൌܲ൬ܽ௡ൌሺെ1ሻ௡,ܽ௠ൌሺെ1ሻ௠൰ ݒݑൌܲ൬ܽ௡ൌሺെ1ሻ௡൰ܲ൬ܽ௠ൌሺെ1ሻ௠൰ ൌܲሺሺെ1ሻ௡ܽൌݑሻܲሺሺെ1ሻ௠ܽൌݒሻ௡௠ൌܲሺܾ௡ൌݑሻܲሺܾ௠ൌݒሻ因此ሼܾ௡ሽ是独立等概序列。ሺ݂ሻൌܶሺ݂ሻൌଵ|ܩଶଶ(2)݃ଵሺݐሻ的傅氏变换是ܩଵ௦sincሺ݂ܶ௦ሻ。因此ܲ௦భ்ଵሺ݂ሻ|ൌܶୱsincሺ݂ܶ௦ሻ。౩గ௧(3)݃ଶሺݐሻൌ݃ଵሺݐሻcos，因此்ೞ11ܩଶሺ݂ሻൌܩଵ൬݂െ൰൅ܩଵ൬݂൅൰ 2ܶୱ2ܶୱ11sinߨቀ݂െ2ܶቁܶ௦sinߨቀ݂൅2ܶቁܶ௦௦௦ൌܶ௦൞൅ 11ߨቀ݂െ2ܶቁܶ௦ߨቀ݂൅2ܶቁܶ௦௦௦ߨߨ2ܶ௦sinቀߨ݂ܶ௦െ2ቁsinቀߨ݂ܶ௦൅2ቁൌൈቐ൅ቑ ߨ2݂ܶ௦െ12݂ܶ௦൅12ܶ௦cosߨ݂ܶ௦cosߨ݂ܶ௦4ܶ௦cosߨ݂ܶ௦ൌൈ൜൅ൠൌߨ1െ2݂ܶ௦1൅2݂ܶ௦ߨሺ1െ4݂ଶܶ௦ଶሻ因此，16ܶcosଶߨ݂ܶୱ௦ܲ௦ሺ݂ሻൌమߨଶሺ1െ4݂ଶܶ௦ଶሻଶ(4)注意到ߨݐെ݊ߨܶ௦ߨݐ݃ଶሺݐሺଵ݃ൌsocሻ௦ܶ݊െݐሺଵ݃ൌሻ௦ܶ݊െݐെ݊ܶ௦ሻcos൬െ݊ߨ൰ ܶ௦ܶ௦ߨݐൌሺെ1ሻ௡݃ଵሺݐെ݊ܶ௦ሻcos൬൰ܶ௦可见ݏଷሺݐሻൌݏଶሺݐሻ，因此ܲ௦యሺ݂ሻൌܲ௦మሺ݂ሻ。೅ೞగ௧గቀ௧ିమቁ்ೞ(5)由于sin்ൌcos்，因此ݏସሺݐሻൌݏଷሺݐെଶሻ，延迟不改变功率谱，因此ܲ௦రሺ݂ሻൌܲ௦యሺ݂ሻ。ೞೞ1/4 (6)由于数据独立，所以ݏହሺݐሻ的实部和虚部的互相关函数为0，因此其功率谱是实部和虚部功率谱之和。故此ܲ௦ఱሺ݂ሻൌ2ܲ௦మሺ݂ሻ。்ೞ(7)任意给定时间t，设其落在第n个码元周期的后半周期ቂ݊ܶ௦൅,ሺ݊൅1ሻܶ௦ቃ内，则ଶగ௧గ௧గ௧గ௧ݏହሺݐሻൌݏଷሺݐሻ൅݆ݏସሺݐሻൌܽ௡cos൅݆ܿ௡sin，其包络是|ݏହሺݐሻ|ൌቚܽ௡cos൅݆ܿ௡sinቚൌ்ೞ்ೞ்ೞ்ೞଶଶగ௧గ௧ටቀܽ௡cosቁ൅ቀܿ௡sinቁൌ1。前半周期时类似也可得知包络是1，因此，|ݏହሺݐሻ|ൌ1。்ೞ்ೞ注：本题实际是在推导MSK的功率谱密度，见课本272页的式(6.5.23)。2．误码率发送前题中的ݏଷሺݐሻ，接收端得到ݎሺݐሻൌݏଷሺݐሻ൅݊௪ሺݐሻ，݊௪ሺݐሻ是白高斯噪声。用下图进行接ሺ௡ାଵሻ்ೞ收。图中的ݕ௡ൌ׬ݎሺݐሻݔሺݐሻ݀ݐ。௡்ೞ(1)对于任意的ݔሺݐሻ，写出ݕ௡中的信号分量，以及噪声分量的均值和方差。(2)若ݕ求， ∞൏ݐ൏∞െ，௦ܶ/ݐߨcosൌሻݐሺݔ௡中的信噪比、判决规则以及误码率。(3)若ݕ求，形波的ሻݐሺݔ出画， ∞൏ݐ൏∞െ，ሻܶ݊െݐሺ݃ஶ∑ൌሻݐሺݔ中的信噪比、判决规௜ୀିஶଶ௦௡则以及误码率。గ௧答：(1)在第n个码元周期ሾ݊ܶ௦,ሺ݊൅1ሻܶ௦ሿ内， ݏଷሺݕ，是于。cos௡ܽൌሻݐ௡中的信号分量为்ೞሺ௡ାଵሻ்ೞߨݐݏൌනܽ௡ݔሺݐሻcos݀ݐܶ௦௡்ೞ்ೞߨ߬ൌܽ௡නݔሺ߬൅݊ܶௌሻcos൬൅݊ߨ൰݀߬ܶ௦଴்ೞߨ߬ൌሺെ1ሻ௡ܽනݔሺ߬൅݊ܶሻcos൬൰݀߬௡ௌܶ௦଴ሺ௡ାଵሻ்ೞேబሺ௡ାଵሻ்ೞଶ噪声分量为ܼൌ׬݊௪ሺݐ݀ሻݐሺݔ׬ൌሻܼሺD为差方，0为值均其，ݐ݀ሻݐሺݔሻݐ௡்ೞଶ௡்ೞሺ௡ାଵሻ்ೞଶగ௧௔೙ேబሺ௡ାଵሻ்ೞଶగ௧ேబ்ೞ(2)此时ݏൌ׬௡்ೞܽ௡cos்݀ݕ，ସൌݐ்݀cosೞ்௡׬ଶൌሻܼሺD，௦ܶଶൌݐ௡中的信噪比ೞೞEሾ௦మሿ்ೞ为ൌ。判决规则是按极性判决，即Eሾ௓మሿேబݕ௡൐0判ܽ௡ൌ൅1ቊݕ௡൑0判ܽ௡ൌെ1்ೞଵ்ೞ/ଶଵ்౩误码率为ܲ௘ൌܲቀܼ൐ቁൌerfc൬൰ൌerfc൬ට ൰ 。ଶଶඥଶൈேబ்ೞ/ସଶଶேబ௡்ೞగఛ(3)此时ݏൌሺെ1ሻܽ௡׬଴ݔሺ߬൅݊ܶௌሻcosቀ்ቁ݀߬，ݔሺݐሻ是以ܶ௦为周期的周期信号（见下图），在ೞሻൌݔሺ߬ሻൌcosቀగఛ௡்ೞ்ೞ0൑ݔ，内间时௦ܶ൑ݐሺ߬൅݊ܶ௦ቁ。因此ݏൌሺെ1ሻܽ௡ൌܾ௡。其中்ೞଶଶܾൌሺെ1ሻ௡ܽ，可见问题和(2)一样，只是将数据从ܽ换成了ܾ，故此判决规则是：௡௡௡௡ݕ௡൐0判ܽ௡ൌ൅1对于偶时刻：ቊݕ௡൑0判ܽ௡ൌെ12/4 ݕ௡൐0判ܽ௡ൌെ1对于奇时刻：ቊݕ௡൑0判ܽ௡ൌ൅1误码率和(2)相同。3．二维信号考虑二维信号，两个正交基函数(但不是归一化的基)分别是݂ଵሺݐሻ和݂ଶሺݐሻ。由其构成的星座图是܁ൌሼsଵ,sଶ,sଷ,sସሽൌሼሺ൅1,െ1ሻ,ሺ൅1,൅1ሻ,ሺെ1,൅1ሻ,ሺെ1,െ1ሻሽ。记第n个发送的符号为ܽ௡ൌሺݔሼ知已。ሽሻ௦ܶ݊െݐሺଶ݂௡ݕ൅ሻ௦ܶ݊െݐሺଵ݂௡ݔஶିୀ௡ஶሼ∑ൌሻݐሺݏ是号信送发则，܁אሻ௡ݕ,௡ݔ௡ሽ、ሼݕ௡ሽ相互独立，且它们都是独立等概序列。假设߱௖ܶ௦/2是2ߨ的整倍数。(1)画出星座图；்ೞ்ೞሺݐ൑ݐ௖߱socܣቊൌሻݐሺ൑ݐ൑0ݐ௖߱socܣቊൌሻݐ൑ܶ௦(2)若݂ଵଶ，݂ଶଶ，问ݏሺݐሻ是什么信号？0else0else其功率谱的主瓣宽度是多少？ሺݐ൑0 ݐ௖߱nisܣቄൌሻݐሺ௦ܶ൑ݐ൑0 ݐ௖߱socܣቄൌሻݐ൑ܶ௦(3)若݂ଵ，݂ଶ，问ݏሺݐሻ是什么信号？0else0else其功率谱的主瓣宽度是多少？்ೞଷ்ೞሺݐ൑ ݐ௖߱nisܣቊൌሻݐሺ௦ܶ൑ݐ൑0 ݐ௖߱socܣቄൌሻݐ൑(4)若݂ଵ，݂ଶଶଶ，问ݏሺݐሻ是什么信号？0else0else其功率谱的主瓣宽度是多少？గ௧గ௧்ೞଷ்ೞܣcoscos߱௖ݐ൑ ݐ௖߱sinsinܣ௦ܶ൑ݐ൑0 ݐ൑(5)若݂ଵሺݐሻൌቊ்ೞ，݂ଶሺݐሻൌቊ்ೞଶଶ，问ݏሺݐሻ是0else0else什么信号？其功率谱的主瓣宽度是多少？答：(1)星座图如下：்ೞସ(2)ݏሺݐሻ实质是比特间隔为的BPSK信号，主瓣宽度为。ଶ்౩ଶ(3) ݏሺݐሻ是码元间隔为ܶ௦的QPSK信号，主瓣宽度为。்ೞଶ(4)ݏሺݐሻ是OQPSK信号，主瓣宽度为。்ೞ(5)ݏሺݐሻ实质上是MSK信号（信息序列与真正的MSK信号不同），由第1题或课本上的式ଷ(6.5.23)或图6.4.34可知，主瓣宽度为。்ೞ注：MSK的主瓣比OQPSK宽，但旁瓣衰减很快。4.抽样二进制数字信源的速率是ܴ௕，将其转化为M进制符号后速率是ܴ௦，通过一个滚降系数3/4 为ߙൌ0.5的基带升余弦系统传输，到接收端是（接收滤波输出端，不考虑噪声）ݏሺݐሻ。(1)ݏሺݐሻ的带宽B是多少？௞(2)若以奈氏抽样率2B抽样，得到样值为ሼݔ௞ൌݏሺሻሽ，请问如何用ሼݔ௞ሽ复原出ݏሺݐሻ?ଶ஻௞(3)若以ܴ௦为抽样率，得到样值为ቄݕ௞ൌݏቀቁቅ，请问能否用ሼݕ௞ሽ复原出ݏሺݐሻ?ோೞோೞଷଷோ್答：(1)ܤൌሺ1൅ߙሻൌܴ௦ൌ。ଶସସ୪୭୥మெ(2)用一个截止频率为B的理想低通滤波器可复原出ݏሺݐሻ。(3)按速率ܴ௦抽样时，如果采样时刻合适，抽样结果正是原来发送的符号序列，将此序列再通过一个完整的升余弦滤波器，即可得到ݏሺݐሻ。注：(3)的结果不符合抽样定理，这是因为抽样定理所考虑的是任意信号。如果信号自身有．．一些特别之处，则有可能降低抽样率。4/4 04116~118第12次作业（1月11号交作业）1．TDM有3个模拟信号，第i个信号的频带范围是ሺ݅,݅൅2ሻkHz，݅ൌ0,1,2。幅度均匀分布。(1)若以FDM方式进行复用，请给出最少带宽的复用方案(2)将(1)的结果以调制指数为5的FM传输，需要的信道带宽是多少？(3)若按Nyquist极限的抽样率对各信号独立进行抽样，然后各路信号的每个样值都用相应幅度的均匀量化器量化，要求信噪比分别是12൅6݅分贝。然后将结果复用为1路数据，再用64QAM方式传输（滚降系数为0.5），所需的信道带宽是多少？2．量化设抽样值ݔ将。0൒ݔ,௫ି݁ൌሻݔሺ݌：布分数指从服ݔ的取值范围ሾ0,∞ሻ量化为3个区间，0~ݔଵ、ݔଵ~ݔଶ、ݔଷ~∞，量化电平ݕଵ、ݕଶ、ݕଷ取为各区间的概率质心，量化边界的取法是让这3种量化电平等概出现，求量化边界和量化电平的数值。3．A率十三折线编码若样值ݔ在ሾെ1,൅1ሿ内均匀分布，将其用A律十三折线编码编为8个比特：ܾଵܾଶܾଷܾସܾହܾ଺ܾ଻଼ܾ，其中ܾଵ是极性码，ܾଶܾଷܾସ是段落码，其余是段内码。求概率ܲሺܾଶൌ1ሻ。4．预测误差|೘|ି若样值ሼݔ௡ሽ是0均值平稳高斯序列，其自相关函数是ܴ௫ሺ݉ሻൌ2ర。(1)求ሼݔሽ的平均功率Eሾݔଶሿ；௡௡(2)若以前一样值ݔെ௞ݔൌ௞݁差误测预求，测预的௞ݔ值样本为作ଵି௞ݔ௞ିଵ的平均功率。1/1 04116~118第12次作业1．TDM有3个模拟信号，第i个信号݉௜ሺݐሻ的频带范围是ሺ݅,݅൅2ሻkHz，݅ൌ0,1,2。幅度均匀分布。(1)若以FDM方式进行复用，请给出最少带宽的复用方案。(2)将(1)的结果以调制指数为5的FM传输，需要的信道带宽是多少？(3)若按Nyquist极限的抽样率对各信号独立进行抽样，然后各路信号的每个样值都用相应幅度的均匀量化器量化，要求信噪比分别是12൅6݅分贝。然后将结果复用为1路数据，再用64QAM方式传输（滚降系数为0.5），所需的信道带宽是多少？答：(1)这三路信号的频率范围分别是݉଴ሺݐሻ:ሺ0,2kHzሻ、݉ଵሺݐሻ:ሺ1kHz,3kHzሻ、݉ଷሺݐሻ:ሺ2kHz,4kHzሻ。可采用如下图所示的频分复用方案：复用后的频谱结构如下图示。݉ଵሺݐሻ原本在ሺ1~3kHzሻ，通过SSB搬移到ሺ4~6kHzሻ。(2)ݏሺݐሻ的带宽是6kHz，按FM传输时，所需要的带宽近似为2ሺ5൅1ሻൈ6ൌ72kHz。(3)Nyquist极限的抽样率：如果信号݉ሺݐሻ的最高频率是݂ு，最低频率是݂௅ൌ݂ுെܤ，B是带ଶ௙ಹ宽。那么最小抽样率满足：(a)是2݂ு的整数分之一；(b)大于等于2ܤ。若݂௅ൌ0，就是基带௡抽样的情形，此时最小抽样率为2݂ுൌ2ܤ。今݉଴ሺݐሻ是基带信号，最小抽样率为2ൈ2ൌ4kHz；݉ଵሺݐሻ是带通信号，最高频率是݂ுൌ3kHz，带宽是ܤൌ2kHz，最小抽样率是2݂ுൌ6kHz的整数分之一，且大于等于2Bൌ4kHz，因此抽样率是6kHz。݉ଶሺݐሻ的最小抽样率是2ൈ4kHz的整数分之一，且大于等于4kHz，因此抽样率是4kHz。ௌௌ೜样值均匀分布时，量化信噪比等于量化级数的平方（按定义时近似是平方）。另外，3dBே೜ே೜对应2倍，n个3dB对应2௡倍。故此：݉ሺݐሻ要求的信噪比是12dB，即2ସ倍，量化级数是2ଶൌ4，抽样量化编码后的速率是଴4kൈ2ൌ8kbps；݉ሺݐሻ要求的信噪比是18dB，即2଺倍，量化级数是2ଷ，因此编码速率是ଵ4kൈ3ൌ12kbps；݉ሺݐሻ要求的信噪比是24dB，即2଼倍，量化级数是2ସ，编码速率是ଶ6kൈ4ൌ24kbps。ସସଶଶ复用后的速率是8൅12൅24ൌ44kbps。采用64QAM传输式，符号速率是ൌkBaud。଺ଷଶଶଶଶ极限所需的最小带宽是kHz，滚降后所需带宽是ሺ1൅0.5ሻൌ11kHz。ଷଷ注：对于二维正交调制（此术语一般指采用cos߱௖ݐ和sin߱௖ݐ作为两个正交基的调制，有时二维调制就是指这个，这两个基分别对应I路和Q路），无ISI传输的Nyquist极限最小带宽等于符号速率（对应滚降系数ߙൌ0）。1/2 04116~118第12次作业2．量化设抽样值ݔ将。0൒ݔ,௫ି݁ൌሻݔሺ݌：布分数指从服ݔ的取值范围ሾ0,∞ሻ量化为3个区间，0~ݔଵ、ݔଵ~ݔଶ、ݔଶ~∞，量化电平ݕଵ、ݕଶ、ݕଷ取为各区间的概率质心，量化边界的取法是让这3种量化电平等概出现，求量化边界和量化电平的数值。答：量化边界满足௫భ௫మஶ1න݌ሺݔሻ݀ݔൌන݌ሺݔሻ݀ݔൌන݌ሺݔሻ݀ݔൌ଴௫భ௫య3ଷ由此可得：ݔଵൌln，ݔଶൌln3。ଶ量化电平是௫೔׬ݔ݀ሻݔሺ݌ݔ௫೔௫೔௫೔షభି௫ି௫ሿ௫೔ି௫ݔ݀݁න൅భష೔௫݁ݔെሾቊ3ൌݔ݀݁ݔන3ൌ೔௫ൌ௜ݕቋ׬௫݌ሺݔሻ݀ݔ௫೔షభ௫೔షభ೔షభൌ3ሺݔെభష೔௫ି݁ଵି௜ݔ௜݁ି௫೔ሻ൅1因此3ଶ3୪୬ݕଵൌെ3൬ln൰݁ଷ൅1ൌ1െ2ln223ଶଵ3୪୬୪୬ݕଶൌ3൬ln݁ଷെln3݁ଷ൰൅1ൌ1൅ln24ଵ୪୬ݕଷൌ3ln3݁ଷ൅1ൌ1൅ln33．A率十三折线编码若样值ݔ在ሾെ1,൅1ሿ内均匀分布，将其用A律十三折线编码编为8个比特：ܾଵܾଶܾଷܾସܾହܾ଺ܾ଻଼ܾ，其中ܾଵ是极性码，ܾଶܾଷܾସ是段落码，其余是段内码。求概率ܲሺܾଶൌ1ሻ。答：ܾଶൌ1表示样值的绝对值落在第8段（111）、或者第7段（110）、或者第6段（101）、ଵଵ或者第5段（100）。绝对值落在第8段的概率是，落在第7段的概率是，落在第6段的概ଶସଵଵଵଵଵଵଵହ率是，落在第5段的概率是。因此ܲሺܾଶൌ1ሻൌ൅൅൅ൌൌ0.9375。଼ଵ଺ଶସ଼ଵ଺ଵ଺4．预测误差|೘|ି若样值ሼݔ௡ሽ是0均值平稳高斯序列，其自相关函数是ܴ௫ሺ݉ሻൌ2ర。(1)求ሼݔሽ的平均功率Eሾݔଶሿ；௡௡(2)若以前一样值ݔെ௞ݔൌ௞݁差误测预求，测预的௞ݔ值样本为作ଵି௞ݔ௞ିଵ的平均功率。答：(1)ሼݔ௡ሽ的平均功率为Eሾݔ௡ଶሿൌܴ௫ሺ0ሻൌ1；(2)预测误差的平均功率为Eሾ݁௡ଶሿൌEሾሺݔ௡ݔ2െଶଵି௡ݔ൅ଶ௡ݔሾEൌሿଶሻଵି௡ݔെ௡ݔ௡ିଵሿଵൌEሾݔݔሾE2െሿଶݔሾE൅ሿଶݔሿൌ2െ2ܴሺ1ሻൌ2൬1െ2ିସ൰ൎ0.318。௡௡ିଵ௡௡ିଵ௫2/2'