离散课后习题答案.doc 34页

'离散数学课后习题答案(左孝凌版)1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。b)不是命题。c)是命题，真值要根据具体情况确定。d)不是命题。e)是命题，真值为T。f)是命题，真值为T。g)是命题，真值为F。h)不是命题。i)不是命题。（2）解：原子命题：我爱北京天安门。复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。（3）解：a)(┓P∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。Q«(R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。R∧Q:我在看电视边吃苹果。c)设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。(5)解：a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Qb)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Qc)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Qd)设P：a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q：四边形ABCD的对边平行。P«Qf)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨Q）→R(6)解：a)P:天气炎热。Q:正在下雨。P∧Qb)P:天气炎热。R:湿度较低。P∧Rc)R:天正在下雨。S:湿度很高。R∨Sd)A:刘英上山。B:李进上山。A∧Be)M:老王是革新者。N:小李是革新者。M∨Nf)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓Mg)P:我不看电视。Q:我不外出。R:我在睡觉。P∧Q∧R34dintin@gmail.com a)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。这个过程可以简记为：A；(A∨B)；(A→(A∨B))同理可记b）A；┓A；(┓A∧B)；((┓A∧B)∧A)c）A；┓A；B；(┓A→B)；(B→A)；((┓A→B)→(B→A))d）A；B；(A→B)；(B→A)；((A→B)∨(B→A))（3）解：a）((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C))b）((B→A)∨(A→B))。（4）解：a)是由c)式进行代换得到，在c)中用Q代换P,(P→P)代换Q.d)是由a)式进行代换得到，在a)中用P→(Q→P)代换Q.e)是由b)式进行代换得到，用R代换P,S代换Q,Q代换R,P代换S.∨（5）解：a)P:你没有给我写信。R:信在途中丢失了。PQb)P:张三不去。Q:李四不去。R:他就去。(P∧Q)→Rc)P:我们能划船。Q:我们能跑步。┓(P∧Q)d)P:你来了。Q:他唱歌。R:你伴奏。P→(Q«R)（6）解：P:它占据空间。Q:它有质量。R:它不断变化。S:它是物质。这个人起初主张：(P∧Q∧R)«S后来主张：(P∧Q«S)∧(S→R)这个人开头主张与后来主张的不同点在于：后来认为有P∧Q必同时有R，开头时没有这样的主张。（7）解：a)P:上午下雨。Q:我去看电影。R:我在家里读书。S:我在家里看报。(┓P→Q)∧(P→(R∨S))b)P:我今天进城。Q:天下雨。┓Q→Pc)P:你走了。Q:我留下。Q→P1-4 （4）解：a)P  Q  RQ∧RP∧(Q∧R)P∧Q(P∧Q)∧R34dintin@gmail.com T  T  TT  T  FT  F  TT  F  FF  T  TF  T  FF  F  TF  F  FTFFFTFFFTFFFFFFFTTFFFFFFTFFFFFFF所以，P∧(Q∧R)Û(P∧Q)∧Rb) P  Q  R    Q∨R  P∨(Q∨R)    P∨Q (P∨Q)∨R T  T  T T  T  F T  F  T T  F  F F  T  T F  T  F F  F  T F  F　F　ＴＴＴＦＴＴＴＦＴＴＴＴＴＴＴＦ　　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｆ　　　Ｆ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｆ所以，P∨(Q∨R)Û(P∨Q)∨R　ｃ）Ｐ　Ｑ　ＲＱ∨ＲＰ∧（Ｑ∨Ｒ）Ｐ∧ＱＰ∧Ｒ（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｒ）Ｔ　Ｔ　ＴＴ　Ｔ　ＦＴ　Ｆ　ＴＴ　Ｆ　ＦＦ　Ｔ　ＴＦ　Ｔ　ＦＦ　Ｆ　ＴＦ　Ｆ　ＦＴＴＴＦＴＴＴＦＴＴＴＦＦＦＦＦＴＴＦＦＦＦＦＦＴＦＴＦＦＦＦＦＴＴＴＦＦＦＦＦ所以，P∧(Q∨R)Û(P∧Q)∨(P∧R)　ｄ）P    Q┓P┓Q┓P∨┓Q┓(P∧Q)┓P∧┓Q┓(P∨Q)T    TT    FF    TF    FFFTTFTFTFTTTFTTTFFFTFFFT所以，┓(P∧Q)Û┓P∨┓Q, ┓(P∨Q)Û┓P∧┓Q（5）解：如表，对问好所填的地方，可得公式F1～F6，可表达为  P  Q  R  F1  F2  F3  F4  F5  F634dintin@gmail.com   T  T  T  T  F  T  T  F  F  T  T  F  F  F  T  F  F  F  T  F  T  T  F  F  T  T  F  T  F  F  F  T  F  T  T  F  F  T  T  T  F  F  T  T  F  F  T  F  T  F  F  F  T  F  F  F  T  T  F  T  T  T  F  F  F  F  F  T  F  T  T  TF1:(Q→P)→R F2:(P∧┓Q∧┓R)∨(┓P∧┓Q∧┓R)F3:(P←→Q)∧(Q∨R)F4:(┓P∨┓Q∨R)∧(P∨┓Q∨R)F5:(┓P∨┓Q∨R)∧(┓P∨┓Q∨┓R)F6:┓(P∨Q∨R)(6) P Q 1   2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 F F F T F T F T F T F T F T F T F T F T F F T T F F T T F F T T F F T T T F F F F F T T T T F F F F T T T T T T F F F F F F F F T T T T T T T T解：由上表可得有关公式为1.F    2.┓(P∨Q)     3.┓(Q→P)      4.┓P         5.┓(P→Q)  6.┓Q   7.┓(P«Q)    8.┓(P∧Q)         9.P∧Q    10.P«Q    11.Q      12.P→Q         13.P      14.Q→P     15.P∨Q       16.T(7)证明：a)A→(B→A)Û┐A∨(┐B∨A)ÛA∨(┐A∨┐B)ÛA∨(A→┐B)Û┐A→(A→┐B)b)┐(A«B)Û┐((A∧B)∨(┐A∧┐B))Û┐((A∧B)∨┐(A∨B))Û(A∨B)∧┐(A∧B)或┐(A«B)Û┐((A→B)∧(B→A))Û┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))Û┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A))Û┐((┐A∧┐B)∨(B∧A))Û┐(┐(A∨B))∨(A∧B)Û(A∨B)∧┐(A∧B)c)┐(A→B)Û┐(┐A∨B) ÛA∧┐B d)┐(A«B)Û┐((A→B)∧(B→A))Û┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))Û(A∧┐B)∨(┐A∧B)e)(((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D)))Û(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D))34dintin@gmail.com Û(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D)Û(┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨DÛ((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→DÛ(((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→DÛ((C∧(A«B))→D)e)A→(B∨C)Û┐A∨(B∨C)  Û(┐A∨B)∨C   Û┐(A∧┐B)∨C Û(A∧┐B)→C f)(A→D)∧(B→D)Û(┐A∨D)∧(┐B∨D)Û(┐A∧┐B)∨DÛ┐(A∨B)∨DÛ(A∨B)→Dg)((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))Û(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C))Û(┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨CÛ(┐(A∧B)∧┐(┐D∧B))∨CÛ┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨CÛ((A∨┐D)∧B)→CÛ(B∧(D→A))→C（8）解：a)((A→B)«(┐B→┐A))∧CÛ((┐A∨B)«(B∨┐A))∧CÛ((┐A∨B)«(┐A∨B))∧CÛT∧C ÛCb)A∨(┐A∨(B∧┐B))Û(A∨┐A)∨(B∧┐B)ÛT∨FÛTc)(A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)Û(A∨┐A)∧(B∧C)ÛT∧(B∧C)ÛB∧C（9）解：1）设C为T，A为T，B为F，则满足A∨CÛB∨C，但AÛB不成立。     2）设C为F，A为T，B为F，则满足A∧CÛB∧C，但AÛB不成立。      3）由题意知┐A和┐B的真值相同，所以A和B的真值也相同。    习题1-5（1）证明：a)(P∧(P→Q))→QÛ (P∧(┐P∨Q))→Q  Û(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q  Û(P∧Q)→QÛ┐(P∧Q)∨Q Û┐P∨┐Q∨Q Û┐P∨TÛTb)┐P→(P→Q) ÛP∨(┐P∨Q)34dintin@gmail.com Û(P∨┐P)∨Q ÛT∨QÛTa)((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)因为(P→Q)∧(Q→R)Þ(P→R)所以 (P→Q)∧(Q→R)为重言式。b)((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))«(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))Û((a∨c)∧b)∨(c∧a)Û((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a))Û(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)所以((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))«(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)为重言式。（1）证明：a)(P→Q)ÞP→(P∧Q)  解法1：设P→Q为T （1）若P为T，则Q为T，所以P∧Q为T，故P→(P∧Q)为T（2）若P为F，则Q为F，所以P∧Q为F，P→(P∧Q)为T命题得证解法2：设P→(P∧Q)为F ，则P为T，(P∧Q)为F ，故必有P为T，Q为F ，所以P→Q为F。解法3：(P→Q)→(P→(P∧Q))Û┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q))Û┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q))ÛT所以(P→Q)ÞP→(P∧Q)b)(P→Q)→QÞP∨Q设P∨Q为F，则P为F，且Q为F，故P→Q为T，(P→Q)→Q为F，所以(P→Q)→QÞP∨Q。c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))ÞR→Q设R→Q为F，则R为T，且Q为F，又P∧┐P为F所以Q→(P∧┐P)为T，R→(P∧┐P)为F所以R→(R→(P∧┐P))为F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为F即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))ÞR→Q成立。（2）解：a)P→Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。b)a)的逆换式Q→P表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。c)a)的反换式┐P→┐Q表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。d)a)的逆反式┐Q→┐P表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。（3）解：a)如果天下雨，我不去。设P：天下雨。Q：我不去。P→Q逆换式Q→P表示命题:如果我不去，则天下雨。逆反式┐Q→┐P表示命题:如果我去，则天不下雨34dintin@gmail.com a)仅当你走我将留下。设S：你走了。R：我将留下。R→S逆换式S→R表示命题：如果你走了则我将留下。逆反式┐S→┐R表示命题：如果你不走，则我不留下。b)如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。设E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。E→H逆换式H→E表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。逆反式┐H→┐E表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助（5）试证明P«Q，Q逻辑蕴含P。证明：解法1：本题要求证明(P«Q)∧QÞP,设(P«Q)∧Q为T，则(P«Q)为T，Q为T，故由«的定义，必有P为T。所以(P«Q)∧QÞP解法2：由体题可知，即证((P«Q)∧Q)→P是永真式。 ((P«Q)∧Q)→PÛ(((P∧Q)∨(┐P∧┐Q))∧Q)→PÛ(┐((P∧Q)∨(┐P∧┐Q))∨┐Q)∨PÛ(((┐P∨┐Q)∧(P∨Q))∨┐Q)∨PÛ((┐Q∨┐P∨┐Q)∧(┐Q∨P∨Q))∨PÛ((┐Q∨┐P)∧T)∨PÛ┐Q∨┐P∨PÛ┐Q∨TÛT（6）解：P：我学习      Q：我数学不及格      R：我热衷于玩扑克。　如果我学习，那么我数学不会不及格：  P→┐Q如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习:  ┐R→P但我数学不及格:                    Q因此我热衷于玩扑克。               R即本题符号化为：(P→┐Q)∧(┐R→P)∧QÞR证：证法1：((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→RÛ┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q)∨RÛ(P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨RÛ((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P))Û┐Q∨P∨R∨┐PÛT　所以，论证有效。证法2：设(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q为T，则因Q为T，(P→┐Q)为T，可得P为F，由(┐R→P)为T，得到R为T。故本题论证有效。（7）解：P：6是偶数    Q：7被2除尽    R：5是素数如果6是偶数，则7被2除不尽      P→┐Q34dintin@gmail.com 或5不是素数，或7被2除尽         ┐R∨Q5是素数                       R所以6是奇数                    ┐P即本题符号化为：（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧RÞ┐P证：证法1：((P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)→┐PÛ┐((┐P∨┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)∨┐PÛ((P∧Q)∨(R∧┐Q)∨┐R)∨┐PÛ((┐P∨P)∧(┐P∨Q))∨((┐R∨R)∧(┐R∨┐Q))Û(┐P∨Q)∨(┐R∨┐Q)ÛT　所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。证法2：(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R为T，则有R为T，且┐R∨Q为T，故Q为T，再由P→┐Q为T，得到┐P为T。（5）证明：a)PÞ(┐P→Q) 设P为T，则┐P为F，故┐P→Q为Tb)┐A∧B∧CÞC假定┐A∧B∧C为T，则C为T。c)CÞA∨B∨┐B因为A∨B∨┐B为永真，所以CÞA∨B∨┐B成立。d)┐(A∧B)Þ┐A∨┐B 设┐(A∧B)为T，则A∧B为F。若A为T，B为F，则┐A为F，┐B为T，故┐A∨┐B为T。若A为F，B为T，则┐A为T，┐B为F，故┐A∨┐B为T。若A为F，B为F，则┐A为T，┐B为T，故┐A∨┐B为T。命题得证。e)┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐AÞB∨C设┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A为T，则D∨E为T，(D∨E)→┐A为T，所以┐A为T又┐A→(B∨C)为T，所以B∨C为T。命题得证。f)(A∧B)→C，┐D，┐C∨DÞ┐A∨┐B设(A∧B)→C，┐D，┐C∨D为T，则┐D为T，┐C∨D为T，所以C为F又(A∧B)→C为T，所以A∧B为F，所以┐A∨┐B为T。命题得证。（9）解：a)如果他有勇气，他将得胜。P：他有勇气         Q：他将得胜原命题：P→Q        逆反式：┐Q→┐P表示：如果他失败了，说明他没勇气。b)仅当他不累他将得胜。P：他不累          Q：他得胜原命题：Q→P        逆反式：┐P→┐Q表示：如果他累，他将失败。习题 1-6(1)解：a)(P∧Q)∧┐PÛ(P∧┐P)∧QÛ┐(T∨Q)34dintin@gmail.com a)(P→(Q∨┐R))∧┐P∧QÛ(┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧QÛ(┐P∧┓P∧Q)∨(Q∧┓P∧Q)∨(┓R∧┓P∧Q) Û(┓P∧Q)∨(┓P∧Q)∨(┓P∧┓R∧Q)Û┓P∧QÛ┐(P∨┐Q) b)┐P∧┐Q∧(┐R→P)Û┐P∧┐Q∧(R∨P)Û(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧P)Û(┐P∧┐Q∧R)∨FÛ┐P∧┐Q∧RÛ┐(P∨Q∨┐R)(2)解：a)┐PÛP↓Pb)P∨QÛ┐(P↓Q)Û(P↓Q)↓(P↓Q)c)P∧QÛ┐P↓┐QÛ(P↓P)↓(Q↓Q)(3)解：P→(┐P→Q) Û┐P∨(P∨Q)ÛTÛ┐P∨P Û(┐P↑┐P)↑(P↑P)ÛP↑(P↑P)P→(┐P→Q) Û┐P∨(P∨Q)ÛTÛ┐P∨P Û┐(┐P↓P)Û┐((P↓P)↓P)Û((P↓P)↓P)↓((P↓P)↓P)(4)解： P↑QÛ┐(┐P↓┐Q)Û┐((P↓P)↓(Q↓Q))Û((P↓P)↓(Q↓Q))↓((P↓P)↓(Q↓Q))(5)证明：┐(B↑C)Û┐(┐B∨┐C) Û┐B↓┐C┐(B↓C)Û┐(┐B∧┐C)Û┐B↑┐C(6)解：联结词“↑”和“↓”不满足结合律。举例如下：Ûa)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↑Q)↑R为T，P↑(Q↑R)为F故(P↑Q)↑RP↑(Q↑R).34dintin@gmail.com Ûb)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↓Q)↓R为T，P↓(Q↓R)为F故(P↓Q)↓RP↓(Q↓R).(7)证明：设变元P，Q，用连结词«,┐作用于P，Q得到：P，Q，┐P，┐Q，P«Q，P«P，Q«Q，Q«P。但P«QÛQ«P，P«PÛQ«Q，故实际有：P，Q，┐P，┐Q，P«Q，P«P（T）（A）用┐作用于（A）类，得到扩大的公式类（包括原公式类）：P，Q，┐P，┐Q，┐（P«Q），T，F，P«Q（B）用«作用于（A）类，得到：P«Q，P«┐PÛF，P«┐QÛ┐（P«Q），P«（P«Q）ÛQ，P«（P«P）ÛP，Q«┐PÛ┐（P«Q），Q«┐QÛF，Q«（P«Q）ÛP，Q«TÛQ,┐P«┐QÛP«Q，┐P«（P«Q）Û┐Q，┐P«TÛ┐P,┐Q«（P«Q）Û┐P，┐Q«TÛ┐Q,（P«Q）«（P«Q）ÛP«Q.因此，（A）类使用运算后，仍在（B）类中。对（B）类使用┐运算得：┐P，┐Q，P，Q，P«Q，F，T，┐（P«Q），仍在（B）类中。对（B）类使用«运算得：P«Q，P«┐PÛF，P«┐QÛ┐（P«Q），P«┐（P«Q）Û┐Q，P«TÛP，P«FÛ┐P，P«（P«Q）ÛQ，Q«┐PÛ┐（P«Q），Q«┐QÛF，Q«┐（P«Q）Û┐P，Q«TÛQ,Q«FÛ┐Q，Q«（P«Q）ÛP，┐P«┐QÛP«Q，┐P«┐（P«Q）ÛQ，┐P«TÛ┐P,┐P«FÛP,┐P«（P«Q）Û┐Q，┐Q«┐（P«Q）ÛP，┐Q«TÛ┐Q,┐Q«TÛ┐Q,┐Q«（P«Q）Û┐P，┐（P«Q）«TÛ┐（P«Q），┐（P«Q）«FÛP«Q，┐（P«Q）«（P«Q）ÛFT«FÛF，T«（P«Q）ÛP«QF«（P«Q）Û┐（P«Q）（P«Q）«（P«Q）ÛP«Q.故由（B）类使用«运算后，结果仍在（B）中。∨由上证明：用«,┐两个连结词，反复作用在两个变元的公式中，结果只能产生（B）类中的公式，总共仅八个不同的公式，故{«,┐}不是功能完备的，更不能是最小联结词组。∨∨已证{«,┐}不是最小联结词组，又因为PQÛ┐（P«Q），故任何命题公式中的联结词，如仅用{,┐}表达，则必可用{«,┐}表达，其逆亦真。故{,┐}也必不是最小联结词组。(8)证明{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词组。证明：若{∨}，{∧}和{→}是最小联结词，则     ┐PÛ（P∨P∨……）     ┐PÛ（P∧P∧……）     ┐PÛP→(P→(P→……)对所有命题变元指派T，则等价式左边为F，右边为T，与等价表达式矛盾。→c所以{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词。(9)证明{┐,→}和{┐,}是最小联结词组。证明：因为{┐,∨}为最小联结词组，且P∨QÛ┐P→Q所以{┐,→}是功能完备的联结词组，又{┐},{→}都不是功能完备的联结词组。→c→c→c所以{┐,→}是最小联结词组。→c又因为P→QÛ┐(PQ)，所以{┐,}是功能完备的联结词组，又{┐},{}不是功能完备的联结词组，所以{┐,}是最小联结词组。34dintin@gmail.com 习题 1-7(1) 解：P∧(P→Q) ÛP∧(┐P∨Q) Û(P∧┐P)∨(P∧Q) P∧(P→Q)Û(P∨(┐Q∧Q))∧(┐P∨Q)Û(P∨┐Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨Q)(2) 解：a)(┐P∧Q)→R  Û┐(┐P∧Q)∨R  ÛP∨┐Q∨R Û(P∧Q)∨(P∧┐Q) ∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(R∧P)∨(R∧┐P) b)P→((Q∧R)→S)Û┐P∨(┐(Q∧R)∨S) Û┐P∨┐Q∨┐R∨S Û(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q) ∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(┐R∧S)∨(┐R∧┐S)∨(S∧P)∨(S∧┐P) c)┐(P∨┐Q)∧(S→T)Û(┐P∧Q)∧(┐S∨T)Û(┐P∧Q∧┐S)∨(┐P∧Q∧T)d)(P→Q)→RÛ┐(┐P∨Q)∨RÛ(P∧┐Q)∨R Û(P∨R)∧(┐Q∨R) e)┐(P∧Q)∧(P∨Q)Û(┐P∨┐Q)∧(P∨Q)Û(┐P∧P)∨(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)∨(┐Q∧Q)Û(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)(3)解：a)P∨(┐P∧Q∧R) Û(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(P∨R) Û(P∨Q)∧(P∨R)     b)┐(P→Q)∨(P∨Q)Û┐(┐P∨Q)∨(P∨Q)Û(P∧┐Q)∨(P∨Q) Û(P∨P∨Q)∧(┐Q∨P∨Q) c)┐(P→Q)Û┐(┐P∨Q)ÛP∧┐QÛ(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐Q∨┐P)d)(P→Q)→RÛ┐(┐P∨Q)∨RÛ(P∧┐Q)∨RÛ(P∨R)∧(┐Q∨R)e)(┐P∧Q)∨(P∧┐Q)34dintin@gmail.com Û(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)∧(Q∨┐Q)Û(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)(4)解：a)(┐P∨┐Q)→(P«┐Q)Û┐(┐P∨┐Q)∨(P«┐Q)Û(P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)Ûå1，2，3ÛP∨Q=P0b)Q∧(P∨┐Q)Û(P∧Q)∨(Q∧┐Q)ÛP∧Q=å3ÛP0，1，2Û(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐P∨Q)c)P∨(┐P→(Q∨(┐Q→R))ÛP∨(P∨(Q∨(Q∨R))ÛP∨Q∨R=P0Ûå1，2，3,4,5,6,7=(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧R)∨(P∧┐Q∧┐R)∨(P∧┐Q∧R)∨(P∧Q∧┐R) ∨(P∧Q∧R)d)(P→(Q∧R))∧(┐P→(┐Q∧┐R))Û(┐P∨(Q∧R))∧(P∨(┐Q∧┐R))Û(P∧┐P)∨(P∧(Q∧R))∨((┐Q∧┐R)∧┐P)∨((┐Q∧┐R)∧(Q∧R))Û(P∧Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧┐R)=å0,7ÛP1，2，3,4,5,6Û(P∨Q∨┐R)∧(P∨┐Q∨R)∧(P∨┐Q∨┐R)∧(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨Q∨┐R)∧(┐P∨┐Q∨R)e)P→(P∧(Q→P)Û┐P∨(P∧(┐Q∨P)Û(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q∨P)ÛT∨(T∧┐Q)ÛTÛå0,1,2,3=(┐P∧┐Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(P∧Q)f)(Q→P)∧(┐P∧Q)Û(┐Q∨P)∧┐P∧QÛ(┐Q∨P)∧┐(P∨┐Q)ÛFÛP0,1，2，3=(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐P∨Q)∧(┐P∨┐Q)(5)证明：a)(A→B)∧(A→C)Û(┐A∨B)∧(┐A∨C)A→(B∧C)Û┐A∨(B∧C)Û(┐A∨B)∧(┐A∨C)b)(A→B)→(A∧B)Û┐(┐A∨B)∨(A∧B)Û(A∧┐B)∨(A∧B)ÛA∧(B∨┐B)ÛA∧T34dintin@gmail.com ÛA(┐A→B)∧(B→A)Û(A∨B)∧(┐B∨A)ÛA∨(B∧┐B)ÛA∨FÛAc)  A∧B∧(┐A∨┐B)Û((A∧┐A)∨(A∧┐B))∧BÛA∧B∧┐BÛF┐A∧┐B∧(A∨B)Û((┐A∧A)∨(┐A∧B))∧┐BÛ┐A∧┐B∧BÛFd)  A∨(A→(A∧B)ÛA∨┐A∨(A∧B)ÛT┐A∨┐B∨(A∧B)Û┐(A∧B)∨(A∧B)ÛT(6)解：AÛR↑(Q∧┐(R↓P)),则A*ÛR↓(Q∨┐(R↑P))AÛR↑(Q∧┐(R↓P))Û┐(R∧(Q∧(R∨P)))Û┐R∨┐Q∨┐(R∨P)Û┐(R∧Q)∨┐(R∨P)A*ÛR↓(Q∨┐(R↑P))Û┐(R∨(Q∨(R∧P))Û┐R∧┐Q∧┐(R∧P)Û┐(R∨Q)∧┐(R∧P)(7)解：设A：A去出差。B：B去出差。C：C去出差。D：D去出差。若A去则C和D中要去一个。   A→(CD)B和C不能都去。          ┐(B∧C)C去则D要留下。          C→┐D按题意应有：A→(CD)，┐(B∧C)，C→┐D必须同时成立。因为CDÛ(C∧┐D)∨(D∧┐C)故(A→(CD))∧┐(B∧C)∧(C→┐D)Û(┐A∨(C∧┐D)∨(D∧┐C))∧┐(B∧C)∧(┐C∨┐D)Û(┐A∨(C∧┐D)∨(D∧┐C))∧(┐B∨┐C)∧(┐C∨┐D)Û(┐A∨(C∧┐D)∨(D∧┐C))∧((┐B∧┐C)∨(┐B∧┐D)∨(┐C∧┐D)∨┐C)Û(┐A∧┐B∧┐C)∨(┐A∧┐B∧┐D)∨(┐A∧┐C∧┐D)∨(┐A∧┐C)34dintin@gmail.com ∨(┐B∧┐C∧D)∨(┐C∧D∧┐B∧┐D)∨(┐C∧D∧┐C∧┐D)∨(┐C∧D∧┐C)∨(┐D∧C∧┐B∧┐C)∨(┐D∧C∧┐B∧┐D)∨(┐D∧C∧┐C∧┐D)∨(┐D∧C∧┐C)在上述的析取范式中，有些（画线的）不符合题意，舍弃，得(┐A∧┐C)∨(┐B∧┐C∧D)∨（┐C∧D）∨(┐D∧C∧┐B)故分派的方法为：B∧D ,或D∧A,或C∧A。(8) 解：设P：A是第一。Q：B是第二。R：C是第二。S：D是第四。E：A是第二。  由题意得(PQ)∧(RS)∧(ES)Û((P∧┐Q)∨(┐P∧Q))∧((R∧┐S)∨(┐R∧S))∧((E∧┐S)∨(┐E∧S))Û((P∧┐Q∧R∧┐S)∨(P∧┐Q∧┐R∧S)∨(┐P∧Q∧R∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S)∨(┐E∧S))   因为 (P∧┐Q∧┐R∧S)与(┐P∧Q∧R∧┐S)不合题意，所以原式可化为     ((P∧┐Q∧R∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S)∨(┐E∧S))Û(P∧┐Q∧R∧┐S∧E∧┐S)∨(P∧┐Q∧R∧┐S∧┐E∧S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧E∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E∧S)Û(P∧┐Q∧R∧┐S∧E)∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E)因R与E矛盾，故┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E为真，即A不是第一，B是第二，C不是第二，D为第四，A不是第二。于是得：A是第三    B是第二    C是第一    D是第四。习题1-8(1)证明：a)┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐RÞ┐P(1)┐R             P(2)┐Q∨R         P (3)┐Q          (1)(2)T,I (4)┐(P∧┐Q)     P(5)┐P∨Q      (4)T,E(6)┐P          (3)(5)T,Ib)J→(M∨N)，(H∨G)→J，H∨GÞM∨N(1)(H∨G)→J       P(2)(H∨G)           P(3)J             (1)(2)T,I(4)J→(M∨N)        P(5)M∨N         (3)(4)T,Ic)B∧C，(B«C)→(H∨G)ÞG∨H(1)B∧C         P (2)B            (1)T,I (3)C           (1)T,I (4)B∨┐C       (2)T,I(5)C∨┐B      (3)T,I(6)C→B         (4)T,E(7)B→C        (5)T,E(8)B«C        (6)(7)T,E(9)(B«C)→(H∨G)   P (10)H∨G        (8)(9)T,Id)P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S)Þ┐S34dintin@gmail.com (1)(┐Q∨R)∧┐R          (2)┐Q∨R            (1)T,I(3)┐R               (1)T,I(4)┐Q               (2)(3)T,I(5)P→Q                 P(6)┐P               (4)(5)T,I(7)┐(┐P∧┐S)         P(8)P∨┐S             (7)T,E(9)┐S                (6)(8)T,I(2)证明：a)┐A∨B，C→┐BÞA→┐C(1)┐(A→┐C)              P                    (2)A                     (1)T,I(3)C                      (1)T,I(4)┐A∨B                 P(5)B                      (2)(4)T,I(6)C→┐B                  P(7)┐B                   (3)(6)T,I(8)B∧┐B                矛盾。(5),(7)b)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E)ÞA→(B→F)(1)┐(A→(B→F))            P(2)A                       (1)T,I(3)┐(B→F)                (1)T,I(4)B                       (3)T,I(5)┐F                     (3)T,(6)A→(B→C)                P(7)B→C                    (2)(6)T,I(8)C                       (4)(7)T,I(9)┐F→(D∧┐E)            P(10)D∧┐E                 (5)(9)T,I(11)D                     (10)T,I(12)C∧D                   (8)(11)T,I(13)(C∧D)→E             P(14)E                      (12)(13)T,I(15)┐E                    (10)T,I(16)E∧┐E                 矛盾。(14),(15)c)A∨B→C∧D，D∨E→FÞA→F(1)┐(A→F)                P(2)A                       (1)T,I(3)┐F                     (1)T,I(4)A∨B                    (2)T,I(5)(A∨B)→C∧D            P(6)C∧D                    (4)(5)T,I(7)C                       (6)T,I(8)D                       (6)T,I(9)D∨E                    (8)T,I34dintin@gmail.com (10)D∨E→F                 P(11)F                       (9)(10)T,I(12)F∧┐F                  矛盾。(3),(11)d)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E)ÞB→E(1)┐(B→E)                P(2)B                       (1)T,I(3)┐E                     (1)T,I(4)┐B∨D                  P(5)D                       (2)(4)T,I(6)(E→┐F)→┐D           P(7)┐(E→┐F)              (5)(6)T,I(8)E                       (7)T,I(9)E∧┐E                  矛盾e)(A→B)∧(C→D)，(B→E)∧(D→F)，┐(E∧F)，A→CÞ┐A(1)(A→B)∧(C→D)         P(2)A→B                   (1)T,I(3)(B→E)∧(D→F)          P(4)B→E                    (3)T,I(5)A→E                    (2)(4)T,I(6)┐(E∧F)                P(7)┐E∨┐F                (6)T,E(8)E→┐F                  (7)T,E(9)A→┐F                  (5)(8)T,I(10)C→D                   (1)T,I(11)D→F                   (3)T,I(12)C→F                   (10)(10)T,I(13)A→C                   P(14)A→F                   (13)(12)T,I(15)┐F→┐A               (14)T,E(16)A→┐A                 (9)(15)T,I(17)┐A∨┐A              (16)T,E(18)┐A                    (17)T,E(3)证明：a)┐A∨B，C→┐BÞA→┐C(1)A                    P(2)┐A∨B                P(3)B                    (1)(2)T,I(4)C→┐B                P(5)┐C                  (3)(4)T,I(6)A→┐C               CPb)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E)ÞA→(B→F)(1)A               P (2)A→(B→C)        P (3)B→C           (1)(2)T,I(4)B               P (5)C              (3)(4)T,I34dintin@gmail.com (6)(C∧D)→E      P (7)C→(D→E)      (6)T,E(8)D→E           (5)(7)T,I(9)┐D∨E         (8)T,E(10)┐(D∧┐E)    (9)T,E(11)┐F→(D∧┐E)     P(12)F             (10)(11)T,I(13)B→F              CP(14)A→(B→F)         CPc)A∨B→C∧D，D∨E→FÞA→F(1)A                   P(2)A∨B               (1)T,I(3)A∨B→C∨D          P(4)C∧D                (2)(3)T,I(5)D                   (4)T,I(6)D∨E               (5)T,I(7)D∨E→F             P(8)F                   (6)(7)T,I(9)A→F                CPd)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E)ÞB→E(1)B                   P(附加前提)(2)┐B∨D          P(3)D          (1)(2)T,I(4)(E→┐F)→┐D       P(5)┐(E→┐F)          (3)(4)T,I(6)E               (5)T,I(7)B→E                CP(4)证明：a)R→┐Q，R∨S，S→┐Q，P→QÞ┐P(1)R→┐Q                P(2)R∨S                  P(3)S→┐Q                P(4)┐Q                  (1)(2)(3)T,I(5)P→Q                  P(6)┐P                  (4)(5)T,Ib)S→┐Q，S∨R，┐R，┐P«QÞP证法一：(1)S∨R                P (2)┐R                  P(3)S                 (1)(2)T,I (4)S→┐Q              P  (5)┐Q              (3)(4)T,I (6)┐P«Q              P(7)(┐P→Q)∧(Q→┐P)   (6)T,E(8)┐P→Q           (7)T,I (9)P                (5)(8)T,I 34dintin@gmail.com 证法二：（反证法）(1)┐P                P（附加前提）(2)┐P«Q                 P(3)（┐P→Q）∧（Q→┐P）(2)T，E(4)┐P→Q                 (3)T,I(5)Q                  (1)(4)T,I(6)S→┐Q                 P(7)┐S                 (5)(6)T,I(8)S∨R                 P(9)R                 (7)(8)T,I(10)┐R                 P(11)┐R∧R                矛盾（9）（10）T，Ic)┐(P→Q)→┐(R∨S)，((Q→P)∨┐R)，RÞP«Q(1)R                     P(2)(Q→P)∨┐R           P(3)Q→P                  (1)(2)T,I(4)┐(P→Q)→┐(R∨S)     P(5)(R∨S)→(P→Q)        (4)T,E(6)R∨S                  (1)T,I(7)P→Q                   (5)(6)(8)(P→Q)∧(Q→P)       (3)(7)T,I(9)P«Q                 (8)T,E(5)解：a)设P：我跑步。Q：我很疲劳。                         前提为：P→Q，┐Q(1)P→Q           P     (2)┐Q            P     (3)┐P           (1)(2)T,I  结论为：┐P，我没有跑步。b)设S：他犯了错误。R：他神色慌张。前提为：S→R，R          因为（S→R）∧RÛ（┐S∨R）∧RÛR。故本题没有确定的结论。      实际上，若S→R为真，R为真,则S可为真，S也可为假，故无有效结论。c)设P：我的程序通过。Q：我很快乐。R：阳光很好。    S：天很暖和。（把晚上十一点理解为阳光不好）前提为：P→Q，Q→R，┐R∧S           (1)P→Q              P           (2)Q→R              P           (3)P→R             (1)(2)T,I           (4)┐R∨S            P           (5)┐R              (4)T,I           (6)┐P              (3)(5)T,I结论为：┐P，我的程序没有通过习题2-1,2-2（1）解：34dintin@gmail.com a)设W（x）：x是工人。c：小张。则有¬W（c）b)设S（x）：x是田径运动员。B（x）：x是球类运动员。h：他则有S（h）ÚB（h）c)设C（x）：x是聪明的。B（x）：x是美丽的。l：小莉。则有C（l）ÙB（l）d）设O（x）：x是奇数。则有O（m）®¬O（2m）。e)设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。则有（"x）（Q（x）®R（x））f)设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。则有（$x）（R（x）ÙQ（x））g)设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。则有¬（"x）（R（x）®Q（x））h)设P（x，y）：直线x平行于直线yG（x，y）：直线x相交于直线y。则有P（A，B）D¬G（A，B）（2）解：a)设J(x)：x是教练员。L(x)：x是运动员。则有（"x）（J（x）®L（x））b)设S(x)：x是大学生。L(x)：x是运动员。则有（$x）（L（x）ÙS（x））c)设J(x)：x是教练员。O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壮的。则有（$x）（J（x）ÙO（x）ÙV（x））d)设O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壮的。j：金教练则有¬O（j）Ù¬V（j）e)设L(x)：x是运动员。J(x)：x是教练员。则¬（"x）（L（x）®J（x））本题亦可理解为：某些运动员不是教练。故（$x）（L（x）Ù¬J（x））f)设S（x）：x是大学生。L（x）：x是运动员。C（x）：x是国家选手。则有（$x）（S（x）ÙL（x）ÙC（x））g)设C（x）：x是国家选手。V（x）：x是健壮的。则有（"x）（C（x）®V（x））或¬（$x）（C（x）Ù¬V（x））h)设C（x）：x是国家选手。O（x）：x是老的。L（x）：x是运动员。则有（"x）（O（x）ÙC（x）®L（x））i)设W（x）：x是女同志。H（x）：x是家庭妇女。C（x）：x是国家选手。则有¬（$x）（W（x）ÙC（x）ÙH（x））j）W（x）：x是女同志。J（x）：x是教练。C（x）：x是国家选手。则有（$x）（W（x）ÙJ（x）ÙC（x））k）L（x）：x是运动员。J（y）：y是教练。A(x,y)：x钦佩y。则有（"x）（L（x）®（$y）（J（y）ÙA（x，y）））l）设S（x）：x是大学生。L（x）：x是运动员。A(x,y)：x钦佩y。则（$x）（S（x）Ù（"y）（L（y）®¬A(x,y)））习题2-334dintin@gmail.com （1）解：a）5是质数。b）2是偶数且2是质数。c）对所有的x，若x能被2除尽，则x是偶数。d）存在x，x是偶数，且x能除尽6。（即某些偶数能除尽6）e）对所有的x，若x不是偶数，则x不能被2除尽。f）对所有的x，若x是偶数，则对所有的y，若x能除尽y，则y也是偶数。g）对所有的x，若x是质数，则存在y，y是偶数且x能除尽y（即所有质数能除尽某些偶数）。h）对所有的x，若x是奇数，则对所有y，y是质数，则x不能除尽y（即任何奇数不能除尽任何质数）。（2）解：（"x）("y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→($!z)(L(z)∧R(x,y,z)))或（"x）("y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→($z)(L(z)∧R(x,y,z)∧┐($u)(┐E(z,u)∧L(u)∧R(x,y,u))))（3）解：a)设N(x):x是有限个数的乘积。 z(y):y为0。P(x):x的乘积为零。F(y):y是乘积中的一个因子。则有("x)((N(x)∧P(x)→($y)(F(y)∧z(y)))b)设R(x):x是实数。Q(x,y):y大于x。故 ("x)(R(x)→($y)(Q(x,y)∧R(y)))c)R(x):x是实数。G(x,y):x大于y。则($x)($y)($z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,x·z)（4）解：设G(x,y):x大于y。则有("x)("y)("z)(G(y,x)∧G(0,z)→G(x·z,y·z))（5）解：设N(x):x是一个数。S(x,y):y是x的后继数。E(x,y)：x=y.则a)("x)(N(x)→($!y)(N(y)∧S(x,y)))或("x)(N(x)→($y)(N(y)∧S(x,y)∧┐($z)(┐E(y,z)∧N(z)∧S(x,z))))b)  ┐($x)(N(x)∧S(x,1))c) ("x)(N(x)∧┐S(x,2)→($!y)(N(y)∧S(y,x)))或("x)(N(x)∧┐S(x,2)→($y)(N(y)∧S(y,x)∧┐($z)(┐E(y,z)∧N(z)∧S(z,x))))（6）解：设S(x):x是大学生。E(x):x是戴眼睛的。F(x):x是用功的。  R(x,y):x在看y。G(y):y是大的。    K(y):y是厚的。     J(y):y是巨著。  a:这本。     b:那位。则有E(b)∧F(b)∧S(b)∧R(b,a)∧G(a)∧K(a)∧J(a)（7）解：设P(x,y):x在y连续。     Q(x,y):x>y。则     P(f,a)D(("ε)($δ)("x)(Q(ε,0)→(Q(δ,0)∧Q(δ,|x-a|)→Q(ε,|f(x)-f(a)|))))习题2-4(1)解：a)x是约束变元，y是自由变元。  b)x是约束变元，P(x)∧Q(x)中的x受全称量词"的约束，S(x)中的x受存在量词$的约束。  c)x，y都是约束变元,P(x)中的x受$的约束，R(x)中的x受"的约束。  d)x，y是约束变元，z是自由变元。(2) 解：a)P(a)∧P(b)∧P(c)   b)R(a)∧R(b)∧R(c)∧S(a)∧S(b)∧S(c)   c)(P(a)→Q(a))∧(P(b)→Q(b))∧(P(c)→Q(c)   d)(┐P(a)∧┐P(b)∧┐P(c))∨(P(z)∧P(b)∧P(c))   e)(R(a)∧R(b)∧R(c))∧(S(a)∨S(b)∨S(c))(3)解：a)("x)(P(x)∨Q(x))Û(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))，但P(1)为T，Q(1)为F，P(2)为F，Q(2)为T,所以("x)(P(x)∨Q(x))Û(T∨F)∧(F∨T)ÛT。34dintin@gmail.com b)("x)(P→Q(x))∨R(a)Û((P→Q(-2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6)))∨R(a)因为P为T，Q(-2)为T，Q(3)为T，Q(6)为F，R(5)为F，所以("x)(P→Q(x))∨R(a)Û((T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨FÛF(4) 解：a)("u)($v)(P(u，z)→Q(v))DS(x，y)    b)("u)(P(u)→(R(u)∨Q(u))∧($v)R(v))→($z)S(x,z)(5) 解：a)(($y)A(u，y)→("x)B(x，v))∧($x)("z)C(x，t，z)    b)(("y)P(u，y)∧($z)Q(u，z))∨("x)R(x，t)习题2-5（1）解：a) P(a,f(a))∧P(b,f(b))ÛP(1,f(1))∧P(2,f(2))ÛP(1,2)∧P(2,1)ÛT∧FÛFb) ("x)($y)P(y,x)Û ("x)(P(1,x)∨P(2,x))Û(P(1,1)∨P(2,1))∧(P(1,2)∨P(2,2))Û(T∨F)∧(T∨F)ÛTc) ("x)("y)(P(x,y)→P(f(x),f(y)))Û("x)((P(x,1)→P(f(x),f(1)))∧(P(x,2)→P(f(x)f(2))))Û(P(1,1)→P(f(1),f(1)))∧(P(1,2)→P(f(1),f(2)))∧(P(2,1)→P(f(2),f(1)))∧(P(2,2)→P(f(2),f(2)))       Û(P(1,1)→P(2,2))∧(P(1,2)→P(2,1))∧(P(2,1)→P(1,2))∧(P(2,2)→P(1,1))        Û(T→F∧(T→F)∧(F→T)∧(F→T)ÛF∧F∧T∧TÛF（2）解：a)("x)(P(x)→Q(f(x),a))Û(P(1)→Q(f(1),1))∧(P(2)→Q(f(2),1))Û(F→Q(2,1))∧(T→Q(1,1))Û(F→F)∧(T→T)ÛTb)($x)(P(f(x))∧Q(x,f(a))Û(P(f(1))∧Q(1,f(1)))∨(P(f(2))∧Q(2,f(1))  Û(T∧T)∨(F∧F)ÛTc)  ($x)(P(x)∧Q(x,a))Û(P(1)∧Q(1,a))∨(P(2)∧Q(2,a))Û(P(1)∧Q(1,1))∨(P(2)∧Q(2,1))Û(F∧T)∨(T∧F)ÛFd)("x)($y)(P(x)∧Q(x,y))Û("x)(P(x)∧($y)Q(x,y))Û("x)(P(x)∧(Q(x,1)∨Q(x,2)))Û(P(1)∧(Q(1,1)∨Q(1,2)))∧(P(2)∧(Q(2,1)∨Q(2,2)))Û(F∧(T∨T))∧(T∧(F∨F))ÛF (3)举例说明下列各蕴含式。a)ù(($x)(P(x)∧Q(a))Þ($x)P(x)®ùQ(a)b)("x)(ùP(x)®Q(x)),("x)ùQ(x)ÞP(a)c)("x)(P(x)®Q(x)),("x)(Q(x)®R(x))Þ("x)(P(x)®R(x))d)("x)(P(x)ÚQ(x)),("x)ùP(x)Þ($x)Q(x)e)("x)(P(x)ÚQ(x)),("x)ùP(x)Þ("x)Q(x)解：a）因为ù(($x)(P(x)∧Q(a))Ûù($x)P(x)∨ùQ(a)故原式为ù($x)P(x)∨ùQ(a)Þ($x)P(x)®ùQ(a)设P（x）：x是大学生。Q（x）：x是运动员前提或者不存在x，x是大学生，或者a是运动员结论如果存在x是大学生，则必有a是运动员。b)设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是大学生。a：论域中的某人。前提：对论域中所有x，如果x不是研究生则x是大学生。34dintin@gmail.com 对论域中所有x，x不是大学生。结论：对论域中所有x都是研究生。故，对论域中某个a，必有结论a是研究生，即P（a）成立。c）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x曾读过大学。R（x）：x曾读过中学。前提对所有x，如果x是研究生，则x曾读过大学。对所有x，如果x曾读过大学，则x曾读过中学。结论：对所有x，如果x是研究生，则x曾读过中学。d）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是运动员。前提对所有x，或者x是研究生，或者x是运动员。对所有x，x不是研究生结论必存在x，x是运动员。e）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是运动员。前提对所有x，或者x是研究生，或者x是运动员。对所有x，x不是研究生结论对所有x，x是运动员。（4）证明：($x)(A(x)→B(x))Û($x)(┐A(x)∨B(x))Û($x)┐A(x)∨($x)B(x)       Û┐("x)A(x)∨($x)B(x)Û("x)A(x)→($x)B(x)（5） 设论域D={a，b，c}，求证("x)A(x)∨("x)B(x)Þ("x)(A(x)∨B(x))证明：因为论域D={a，b，c}，所以("x)A(x)∨("x)B(x)Û(A(a)∧A(b)∧A(c))∨(B(a)∧B(b)∧B(c))Û(A(a)∨B(a))∧(A(a)∨B(b))∧(A(a)∨B(c))∧(A(b)∨B(a))∧(A(b)∨B(b))∧(A(b)∨B(c))∧(A(c)∨B(a))∧(A(c)∨B(b))∧(A(c)∨B(c))Þ(A(a)∨B(a))∧(A(b)∨B(b))∧(A(c)∨B(c))Û("x)(A(x)∨B(x))所以("x)A(x)∨("x)B(x)Þ("x)(A(x)∨B(x))（6）解：推证不正确，因为┐($x)(A(x)∧┐B(x))Û┐(($x)A(x)∧($x)┐B(x))（7）求证("x)("y)(P(x)→Q(y))Û($x)P(x)→("y)Q(y)证明：("x)("y)(P(x)→Q(y))Û("x)("y)(┐P(x)∨Q(y))Û("x)┐P(x)∨("y)Q(y)Û┐($x)P(x)∨("y)Q(y)Û($x)P(x)→("y)Q(y)  习题2-6（1）解：a)      ("x)(P(x)→($y)Q(x,y))Û("x)(┐P(x)∨($y)Q(x,y))Û("x)($y)(┐P(x)∨Q(x,y))b)($x)(┐(($y)P(x,y))→(($z)Q(z)→R(x)))Û($x)(($y)P(x,y)∨(($z)Q(z)→R(x)))Û($x)(($y)P(x,y)∨(┐($z)Q(z)∨R(x)))Û($x)(($y)P(x,y)∨(("z)┐Q(z)∨R(x)))Û($x)($y)("z)(P(x,y)∨┐Q(z)∨R(x))c)("x)("y)((($zP(x,y,z)∧($u)Q(x,u))→($v)Q(y,v))Û("x)("y)(┐(($z)P(x,y,z)∧($u)Q(x,u))∨($v)Q(y,v))Û("x)("y)(("z)┐P(x,y,z)∨("u)┐Q(x,u)∨($v)Q(y,v))34dintin@gmail.com Û("x)("y)(("z)┐P(x,y,z)∨("u)┐Q(x,u)∨($v)Q(y,v))Û("x)("y)("z)("u)($v)(┐P(x,y,z)∨┐Q(x,u)∨Q(y,v))（2）解：a)      (($x)P(x)∨($x)Q(x))→($x)(P(x)∨Q(x))Û┐(($x)P(x)∨($x)Q(x))∨($x)(P(x)∨Q(x))Û┐($x)(P(x)∨Q(x))∨($x)(P(x)∨Q(x))ÛTb)("x)(P(x)→("y)(("z)Q(x,y)→┐("z)R(y,x)))Û("x)(┐P(x)∨("y)(Q(x,y)→┐R(y,x)))Û("x)("y)(┐P(x)∨┐Q(x,y)∨┐R(y,x))前束合取范式Û("x)("y)((P(x)∧Q(x,y)∧R(y,x))∨(P(x)∧Q(x,y)∧┐R(y,x))∨(P(x)∧┐Q(x,y)∧R(y,x))∨(┐P(x)∧Q(x,y)∧R(y,x))∨(┐P(x)∧┐Q(x,y)∧R(y,x))∨((P(x)∧┐Q(x,y)∧┐R(y,x))∨(┐P(x)∧Q(x,y)∧┐R(y,x)))前束析取范式c)("x)P(x)→($x)(("z)Q(x,z)∨("z)R(x,y,z))Û┐("x)P(x)∨($x)(("z)Q(x,z)∨("z)R(x,y,z))Û($x)┐P(x)∨($x)(("z)Q(x,z)∨("u)R(x,y,u))Û($x)(┐P(x)∨("z)Q(x,z)∨("u)R(x,y,u))Û($x)("z)("u)(┐P(x)∨Q(x,z)∨R(x,y,u))前束合取范式Û($x)("z)("u)((P(x)∧Q(x,z)∧R(x,y,u))∨(P(x)∧Q(x,z)∧┐R(x,y,u))∨(P(x)∧┐Q(x,z)∧R(x,y,u))∨(P(x)∧┐Q(x,z)∧┐R(x,y,u))∨(┐P(x)∧Q(x,z)∧┐R(x,y,u))∨(┐P(x)∧┐Q(x,z)∧R(x,y,u))∨(┐P(x)∧┐Q(x,z)∧┐R(x,y,u)))前束析取范式d)("x)(P(x)→Q(x,y))→(($y)P(y)∧($z)Q(y,z))Û┐("x)(┐P(x)∨Q(x,y))∨(($y)P(y)∧($z)Q(y,z))Û($x)(P(x)∧┐Q(x,y))∨(($u)P(u)∧($z)Q(y,z))Û($x)($u)($z)((P(x)∧┐Q(x,y))∨(P(u)∧Q(y,z)))前束析取范式Û($x)($u)($z)((P(x)∨P(u))∧(P(x)∨Q(y,z))∧(┐Q(x,y)∨P(u))∧(┐Q(x,y)∨Q(y,z)))前束合取范式习题2-7(1)证明：(2)a) ①("x)(┐A(x)→B(x))P②┐A(u)→B(u)US①③("x)┐B(x)P④┐B(u)US③⑤A(u)∨B(u)T②E34dintin@gmail.com ⑥A(u)T④⑤I⑦($x)A(x)EG⑥b) ①┐("x)(A(x)→B(x))P（附加前提）②($x)┐(A(x)→B(x))T①E③┐(A(c)→B(c))ES②④A(c)T③I⑤┐B(c)T③I⑥($x)A(x)EG④⑦($x)A(x)→("x)B(x)P⑧("x)B(x)T⑥⑦I⑨B(c)US⑧⑩B(c)∧┐B(c)T⑤⑨矛盾c）①("x)(A(x)→B(x))P②A(u)→B(u)US①③("x)(C(x)→┐B(x))P④C(u)→┐B(u)US③⑤┐B(u)→┐A(u)T②E⑥C(u)→┐A(u)T④⑤I⑦("x)(C(x)→┐A(x))UG⑥d)  ("x)(A(x)∨B(x)),("x)(B(x)→┐C(x)),("x)C(x)Þ("x)A(x)①("x)(B(x)→┐C(x))P②B(u)→┐C(u)US①③("x)C(x)P④C(u)US③⑤┐B(u)T②④I⑥ ("x)(A(x)∨B(x))P⑦A(u)∨B(u)US⑧A(u)T⑤⑦I⑨("x)A(x)UG⑧(2)    证明：a)①("x)P(x)P（附加前提）②P(u)US①③("x)(P(x)→Q(x))P④P(u)→Q(u)US③⑤Q(u)T②④I⑥("x)Q(x)UG⑤⑦("x)P(x)→("x)Q(x)CPb)因为("x)P(x)∨($x)Q(x)Û┐("x)P(x)→($x)Q(x)故本题就是推证("x)(P(x)∨Q(x))Þ┐("x)P(x)→($x)Q(x)①┐("x)P(x)P（附加前提）②($x)┐P(x)T①E③┐P(c)ES②④("x)(P(x)∨Q(x))P⑤P(c)∨Q(c)ES④⑥Q(c)T③⑤I⑦($x)Q(x)EG⑥34dintin@gmail.com ⑧┐("x)P(x)→($x)Q(x)CP(3)解：a)设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。I（x）：x是整数。本题符号化为：("x)(Q(x)→R(x))∧($x)(Q(x)∧I(x))Þ($x)(R(x)∧I(x))①($x)(Q(x)∧I(x))P②Q(c)∧I(c)ES①③("x)(Q(x)→R(x))P④Q(c)→R(c)US③⑤Q(c)T②I⑥ R(c)T④⑤I⑦I(c)T②I⑧R(c)∧I(c)T⑥⑦I⑨($x)(R(x)∧I(x))EG⑧b)设P（x）：x喜欢步行。Q（x）：x喜欢乘汽车。R（x）：x喜欢骑自行车本题符号化为：("x)(P(x)→┐Q(x)),("x)(Q(x)∨R(x)),($x)┐R(x)Þ($x)┐P(x)①($x)┐R(x)P②┐R(c)ES①③("x)(Q(x)∨R(x))P④Q(c)∨R(c)US③⑤Q(c)T②④I⑥ ("x)(P(x)→┐Q(x))P⑦P(c)→┐Q(c)US⑥⑧┐P(c)T⑤⑦I⑨($x)┐P(x)EG⑧c) 每个大学生不是文科学生就是理工科学生，有的大学生是优等生，小张不是理工科学生，但他是优等生，因而如果小张是大学生，他就是文科学生。设G（x）：x是大学生。L（x）：x是文科学生。P（x）：x是理工科学生。S（x）：x是优秀生。c：小张。本题符号化为： ("x)(G(x)→L(x)∨P(x)),($x)(G(x)∧S(x)),┐P(c),S(c)ÞG(c)→L(c)①G(c)P（附加前提）②("x)(G(x)→L(x)∨P(x))P③G(c)→L(c)∨P(c)US②④L(c)∨P(c)T①③I⑤┐P(c)P⑥ L(c)T④⑤I⑦G(c)→L(c)CP注意：本题推证过程中未用到前提($x)(G(x)∧S(x))以及S(c)。主要是S（x）：x是优秀生，这个条件与其他前提的联系对证明结论没有影响，因S（x）与其他前提不矛盾，故本题的推证仍是有效的。34dintin@gmail.com 34dintin@gmail.com 34dintin@gmail.com 34dintin@gmail.com 34dintin@gmail.com 34dintin@gmail.com 证明设A上定义的二元关系R为：＜＜x,y＞,＜u,v＞＞∈RÛ=①对任意＜x,y＞∈A，因为=，所以＜＜x,y＞,＜x,y＞＞∈R即R是自反的。②设＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，若＜＜x,y＞,＜u,v＞＞∈RÞ=Þ=Þ＜＜u,v＞,＜x,y＞＞∈R即R是对称的。③设任意＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，＜w,s＞∈A，对＜＜x,y＞,＜u,v＞＞∈R∧＜＜u,v＞,＜w,s＞＞∈R34dintin@gmail.com Þ（=）∧（=）Þ=Þ＜＜x,y＞,＜w,s＞＞∈R故R是传递的，于是R是A上的等价关系。3-10.6设R是集合A上的对称和传递关系，证明如果对于A中的每一个元素a,在A中同时也存在b，使在R之中，则R是一个等价关系。证明对任意a∈A，必存在一个b∈A，使得＜a,b＞∈R.因为R是传递的和对称的，故有：＜a,b＞∈R∧＜b,c＞∈RÞ＜a,c＞∈RÞ＜c,a＞∈R由＜a,c＞∈R∧＜c,a＞∈RÞ＜a,a＞∈R所以R在A上是自反的，即R是A上的等价关系。3-10.7设R1和R2是非空集合A上的等价关系，试确定下述各式，哪些是A上的等价关系，对不是的式子，提供反例证明。a）（A×A）-R1；b）R1-R2；c）R12；d)r（R1-R2）（即R1-R2的自反闭包）。解a）（A×A）-R1不是A上等价关系。例如：A={a,b}，R1={＜a,a＞，＜b,b＞}A×A={＜a,a＞，＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,b＞}（A×A）-R1={＜a,b＞，＜b,a＞}所以（A×A）-R1不是A上等价关系。b）设A={a,b,c}R1={＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,c＞，＜c,b＞，＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞}R2={＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞，＜b,c＞，＜c,b＞}R1-R2={＜a,b＞，＜b,a＞，＜a,c＞，＜c,a＞}所以R1和R2是A上等价关系，但R1-R2不是A上等价关系。c）若R1是A上等价关系，则＜a,a＞∈R1Þ＜a,a＞∈R1○R1所以R12是A上自反的。若＜a,b＞∈R12则存在c，使得＜a,c＞∈R1∧＜c,b＞∈R1。因R1对称，故有＜b,c＞∈R1∧＜c,a＞∈R1Þ＜b,a＞∈R12即R12是对称的。若＜a,b＞∈R12∧＜b,c＞∈R12,则有＜a,b＞∈R1○R1∧＜b,c＞∈R1○R1Þ（$e1）（＜a,e1＞∈R1∧＜e1,b＞∈R1)∧（$e2）（＜b,e2＞∈R1∧＜e2,c＞∈R1）Þ＜a,b＞∈R1∧＜b,c＞∈R1（∵R1传递）Þ＜a,c＞∈R12即R12是传递的。故R12是A上的等价关系。d）如b）所设，R1和R2是A上的等价关系，但r（R1-R2）=（R1-R2）∪IA={＜a,b＞,＜b,a＞,＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞,＜c,c＞}不是A上的等价关系。34dintin@gmail.com 3-10.8设C*是实数部分非零的全体复数组成的集合，C*上的关系R定义为：(a+bi)R(c+di)Ûac>0,证明R是等价关系，并给出关系R的等价类的几何说明。证明：(1)对任意非零实数a，有a2>0Û(a+bi)R(a+bi)故R在C*上是自反的。(2)对任意(a+bi)R(c+di)Ûac>0,因ca=ac>0Û(c+di)R(a+bi),所以R在C*上是对称的。(3)设(a+bi)R(c+di)，(c+di)R(u+vi)，则有ac>0Ùcu>0若c>0，则a>0Ùu>0Þau>0若c<0，则a<0Ùu<0Þau>0所以(a+bi)R(u+vi)，即R在C*上是传递的。关系R的等价类，就是复数平面上第一、四象限上的点，或第二、三象限上的点，因为在这两种情况下，任意两个点(a,b)，(c,d)，其横坐标乘积ac>0。3-10.9设Π和Π¢是非空集合A上的划分，并设R和R¢分别为由Π和Π¢诱导的等价关系，那么Π¢细分Π的充要条件是R¢ÍR。证明：若Π¢细分Π。由假设aR¢b，则在Π¢中有某个块S¢，使得a,b∈S¢，因Π¢细分Π，故在Π中，必有某个块S，使S¢ÍS，即a,b∈S，于是有aRb,即R¢ÍR。反之，若R¢ÍR，令S¢为H¢的一个分块，且a∈S¢，则S¢=[a]R¢={x|xR¢a}但对每一个x，若xR¢a，因R¢ÍR，故xRa，因此{x|xR¢a}Í{x|xRa}即[a]R¢Í[a]R设S=[a]R,则S¢ÍS这就证明了Π¢细分Π。3-10.10设Rj是表示I上的模j等价关系，Rk是表示I上的模k等价关系，证明I/Rk细分I/Rj当且仅当k是j的整数倍。证明：由题设Rj={|x≡y(modj)}Rk={|x≡y(modk)}故∈RjÛx-y=c×j(对某个c∈I)∈RkÛx-y=d×k(对某个d∈I)a)假设I/Rk细分I/Rj，则RkÍRj因此∈RkÞ∈Rj故k-0=1×k=c×j(对某个c∈I)于是k是j的整数倍。b)若对于某个r∈I，有k=rj则：∈RkÛx-y=ck(对某个c∈I)Þx-y=crj(对某个c,r∈I)Þ∈Rj因此，RkÍRj，于是I/Rk细分I/Rj34dintin@gmail.com 34dintin@gmail.com'