邹理和《数字信号处理上》课后习题答案.pdf 84页

'数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第1页，共84页第一章离散时间系统与z变换1．解：P(t)是一个周期函数，可以用傅氏级数来表示∞P(t)=∑aejmΩstmm=−∞1T2/−jmΩst1τ−jmΩst1−jmΩsτa=P(t)edt=edt=1(−e)m∫−T2/∫0TTjm2π∞P(t)=∑11(−e−jmΩsτ)ejmΩstm=−∞jm2π∞∞jt1−jmΩτ∞−j(Ω−mΩ)tX(jΩ)=x(t)P(t)e−Ωdt=1(−es)x(t)esdts∫−∞a∑∫−∞am=−∞jm2π∞1−jmΩsτ=∑1(−e)Xa(jΩ−jmΩs)m=−∞j2mπ2．解：∞πxs1(t)=xa1(t)P(t)=∑cosnn=−∞2∞3πxs2(t)=xa2(t)P(t)=∑−cosnn=−∞2∞5πxs3(t)=xa3(t)P(t)=∑cosnn=−∞2频谱混淆现象是指采样频率小于带限信号的最高频率(0到2π内)的2倍时所产生的一种频谱混叠，使得采样后的序列不能真正反映原信号。3．解：对于x来说ω=2π，而ω=8π>2ω=4π，∴y(t)无失真，可以被还原；a1MsMa对于x来说ω=5π，而ω=8π<2ω=10π，∴y(t)有失真，不可以被还原；a2MsMa需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第2页，共84页4．解：(1)δ(n)因果稳定；(2)δ(n-n)，n>=0，因果稳定；n<0，稳定非因果000(3)u(n),因果非稳定；(4)u(3-n)，非因果非稳定nn(5)2u(n)，因果非稳定；(6)2u(−n)，稳定非因果nn(7)2R(n)，因果稳定；(8)5.0u(n)，因果稳定Nn1(9)5.0u(−n)，非因果非稳定；(10)u(n)，因果稳定n11(11)u(n)，因果稳定；(12)u(n)，因果稳定2nn!5．解：(1)R(n)=δ(n)+δ(n−)1+δ(n−)2+δ(n−)34y(n)=R(n)⊗R(n)=δ(n)+2δ(n−)1+3δ(n−)2+4δ(n−)3+3δ(n−)4+2δ(n−)544+δ(n−)6R(n)=δ(n)+δ(n−)1+δ(n−)2+δ(n−)34y(n)=R(n)⊗R(n)=δ(n)+2δ(n−)1+3δ(n−)2+4δ(n−)3+3δ(n−)4+2δ(n−)544+δ(n−)6nnn−2(2)y(n)=2R(n)⊗[δ(n)−δ(n−2)]=2R(n)−2R(n−2)444(3)ny(n)=5.0u(n)⊗R(n)5na0)≤n<4时,y(n)=2−2nnb)n≥4时,y(n)=31⋅2y(n)=5.0u(n)⊗R(n)56．解：需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第3页，共84页(1)14y)1(=×1+1=33144y)2(=×+0=2333144y)3(=×+0=23333M4递推得：y(n)=u(n−)1+δ(n)n3(2)11y)1(=×1+1=+1331111y)2(=×(+)1+1=++123333111111y)3(=×(++)1+1=+++1232333333M11131n+1递推得:y(n)=(++L++)1u(n−)1+δ(n)=1[−()],n≥0nn−13332311y)1(=×1+1=+1331111y)2(=×(+)1+1=++123333111111y)3(=×(++)1+1=+++1232333333(3)11111111y)4(=×(+++)1+1=++++132432333333331111111111y)5(=×(++++)1+1=+++++14325432333333333331n+1y(n)=1[−()],0≤n≤523需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第4页，共84页7．解：1y(n)=x(n)+x(n−)1+y(n−)121131133y)0(=1+0+×,0y)1(=1+1+×1=1+,y)2(=1+1+×2(+)=1++22222222333n+1递推得:y(n)=1(++L+)u(n)=2[()−]1u(n)n2228．解：11y(n)=x(n)+2y(n−)1即y(n−)1=y(n)−x(n)22x(n)=δ(n)11y(−)1=0−=−22111y(−)2=(−)=−2222111y(−)3=(−)=−23222Mn递推得:y(n)=−2u(−n−)19．解：∞−nZ[x(n)]=∑x(n)zn=−∞∞)1(Z[δ(n−n)]=∑δ(n−n)z−n=z−n000n=−∞a)n≥00ROC:|Z|≠0且|z|∈Rb)n<00ROC:|z|≥0除去+∞零点出现在无穷远处需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第5页，共84页(2)+∞nn−n11Z5.0[u(n)]=∑5.0z=,ROC:|z|>n=01−121−z21极点:z=2零点:z=0−1n1n−n11)3(Z[−5.0u(−n−1)]=∑−()z=,ROC:|z|11−ejω0z−1极点:z=ejω0零点:z=0+∞ejω0n+e−jω0n111−n)6(Z[cosω0n⋅u(n)]=∑z=[jω0−1+−jω0−1]n=0221−ez1−ezROC:|z|>1极点:z=ejω0,z=e−jω0零点:z=,0z=cosω0需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第6页，共84页+∞ejω0n−e−jω0nzsinω−n0)7(Z[sinω0nu(n)]=∑z=jω0−jω0n=02j(z−e)(z−e)ROC:|z|>1极点:z=ejω0,z=e−jω0零点:z=010．解：+∞−1+∞z1(−a2)1n||n||−n−n−nn−n)1(Z[a]=∑az=∑az+∑az=,ROC:|a<||z|e1−ea+jω0z−1极点:z=ea+jω0零点:z=0+∞Arnej(ω0n+ϕ)+Arne−j(ω0n+ϕ)n−n)3(Z[Arcos(ω0n+ϕ)u(n)]=∑zn=02jp−ipAe1Ae1=+,21−rejω0z−121−re−jω0z−1ROC:|z|>r+∞ej(ω0n+ϕ)−e−j(ω0n+ϕ)nn−n(4)Z[Arsin(ω0n+ϕ)u(n)]=∑Arzn=02jjϕ−jϕAe1Ae1=−2j1−rejω0z−12j1−re−jω0z−1ROC:|z|>rz=rejω0,z=re−jω0sin(ω−ϕ)0z=,0z=−sinϕ需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第7页，共84页a+∞−1z1(−)nnn−nn−nbZ[au(n)+bu(−n−1)]=∑az+∑bz=1n=0n=−∞(z−a)(1−z)(5)b111ROC:a>时|,z|>a;a≤时|,z|>bbb极点:z=a,z=b零点:z=0Z1−a2n||(6)a←→−11(−az)(1−az)an||cosωn=1[an||ejω0n+an||e−jω0n]02Z11−a21−a2←→[+]21(−az−1ejω0)(1−aze−jω0)1(−az−1e−jω0)(1−azejω0)−1ROC:|a<||z<||a|(7)设y(n)如图x(n)-(N-1)0N0N2Ny(n)=x(n)-x(n-1)−1−NN2zz(z−)1Y(z)=−11−z−NN2Y(z)z(z−)1X(z)==−122N−121(−z)z(z−)1需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第8页，共84页∞1−nz−1(8)X(Z)=∑z=e0,≤|z|<+∞n=0n!11.解:长除法:−12−21+5.0z+5.0z+Lz−5.0zz−5.05.02−15.0−5.0z2−15.0z2−13−15.0z−5.0z3−15.0zM+∞n−n所以X(z)=∑5.0zn=0nx(n)=5.0u(n)n−1n1z1z留数定律:x(n)=dz=dz2πj∫c1−az−12πj∫cz−5.0由收敛域可知x(n)是右边,所以不必考虑n<0时的情况n>=0有一个极点为z=0.5nn−1znRes[X(z)z]5.0,=(z−)5.0|n,也即x(n)=5.0u(n)z=5.0z−5.0需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第9页，共84页1n部分分式法:X(z)=↔x(n)=5.0u(n)−11−5.0z(2)长除法:2233−2z−2z−2z−L−5.0+zz2z−2z22z232z−4z34z3344z−2z342zM−∞1n−nX(z)=∑−()zn=−121nx(n)=−()u(−n−)12n−11z留数法:x(n)=j2π∫c1−5.0z−1由收敛域可知x(n)为左边序列,所以不必考虑n>=0的情况n<0,z=0处为(-n)阶极点−n−1nn−11d−nznRes[X(z)z]0,=[(z−)0|]=−5.0−n−1z=0(−n−1)!dzz−5.0nx(n)=−5.0u(−n−)11n部分分式法:X(z)=↔x(n)=−5.0u(−n−)1−11−5.0z需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第10页，共84页(3)长除法:2211−a−11−a−2−−z−zL23aaa−1−1−a+z1−az1−11−za1−1(−a)za21−11−a−2−a)z−z2aa21−a−2za2M⎧⎪,0n<0⎪⎪1x(n)=⎨−,n=0⎪a⎪21−a⎪−,n>0n+1⎩a留数定律:由收敛域可知x(n)为右边序列n−1n−1z(z−a)1n>=0时,X(z)z=,有极点z=0,z=1−azan−12n−111z(z−a)1−aRes[X(z)z,]=(z−)|=−z=/1an+1aa1−azan−1Res[X(z)z]0,=0需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第11页，共84页⎧⎪,0n<0⎪⎪1x(n)=⎨−,n=0⎪a⎪21−a⎪−,n>0n+1⎩a部分分式法:−1−11−az1zX(z)==−+−111z−a−1−1a1(−z)1−zaa1n+11nx(n)=−()u(n)+()u(n−)1aa12.解:−12−32z1111X(z)==⋅−⋅−1−11(−2z)(2−z)962−z481−2z零点:z=0(二阶)极点:z=2,z=1/211n1n(1)|z|>2为右边序列,x(n)=⋅()u(n)−⋅2u(n)19224811n1n(2)|z|<0.5为左边序列,x(n)=−()u(−n−)1+2u(−n−)119224811n1n(3)0.5<|z|<2为双边序列,x(n)=()u(n)−2u(−n−)119224813.解:需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第12页，共84页1)1(X(z)=1,<|z|<2−1−11(−z)(1−2z)21−(n−)1X(z)=−↔x(n)=2u(−n−)1−u(n)−1−11−2z1−zz−5)2(X(z)=5.0,<|z|<2−11(−5.0z)(1−5.0z)−1−1−8z64zX(z)=++−−1−1−1−11−5.0z1−5.0z1−2z1−2znn−1nn−1x(n)=−8⋅5.0u(n)+5.0u(n−)1−6⋅2u(−n−)1+4⋅2u(−n)(3)1X(z)=|,z|<1−1−11(−z)(1+z)111X(z)=[+]−1−121−z1+z11nx(n)=−u(−n−)1−(−)1u(−n−)122−−11−zcosωz1(+cosω)00)4(X(z)=+−1−2−1−21−z2cosω+z1−z2cosω+z00−1−11−zcosω1+cosωzsinω000X(z)=+⋅−1−2−1−21−z2cosω0+zsinω01−z2cosω0+z1+cosω0x(n)=cosωnu(n)+sinωu(n)00sinω0−116zn−1)5(X(z)=⋅←→x(n)=n6u(n)−1261(−6z)n(−)1+1n2/)6(X(z)=(−)1u(n),2(7)需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第13页，共84页−1−4−7X(z)=z+6z+5zx(n)=δ(n−)1+6δ(n−)4+5δ(n−)7∞n∞−nzz14．解：X(z)=∑+∑n=−∞n!n=0n!1=δ(n)+n!15．解：(1)n1au(n)←→|,z|>a−11−az−1dX(z)nazQnx(n)←→−z∴nau(n)←→−12dz1(−az)(2)−1−1−3naz2n2az−aznau(n)←→∴nau(n)←→−12−141(−az)1(−az)∞∞∞−nn−1−n−116．证明：Z[x(−n)]=∑x(−n)z=∑x(n)z=∑x(n)(z)=X(z)n=−∞n=−∞n=−∞17．解：ππjjx(n)=2e4(2e4)n(n+)1π−jx∗(n)=()2n+1e4u(n)18．解：x(n)是因果序列，x)0(=limX(z),x(∞)=lim(z−)1X(z)z→∞z→1需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第14页，共84页30(1)x)0(=,1x(∞)=13(2)x)0(=,0x(∞)=2(3)x)0(=,1x(∞)=−319．解：−1n+1n1−(ab)(1)f(n)=x(n)⊗y(n)=a−11−ab(2)11x(n)←→,y(n)←→−1−11−az1−bza1b1F(z)=⋅−⋅−1−1a−b1−aza−b1−bz−1n+1anbn1−(ab)f(n)=au(n)−bu(n)=u(n)−1a−ba−b1−ab20．解：(1)n−mmf(n)=∑au(n−m)bu(−m)n−1nn−mmn(ab)−1n≤,0f(n)=∑ab=a⋅−1|,ab|<,1a≠0m=−∞1−abn1−1n>,0f(n)=a|,ab|<,1a≠0−11−abnn−2(2)f(n)=au(n)∗δ(n−)2=a,n≥2−1nn−ma(a−)1(3)f(n)=∑au(n−m)u(m−)1=,n≥1−11−a需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第15页，共84页21．解：z111(1)直接法x(n)y(n)←→[−2j1−aejω0z−11−ae−jω0z−1复卷积法：z1−a2−1x(n)←→X(z)=|,a<||z<||a|−11(−az)(1−az)z1y(n)←→Y(z)=|,z|>b−11−bz1−1ω(n)=x(n)y(n),W(z)=∫X(v)Y(z/v)vdv|,z>||ab|2πjc1z极点：v=a,v=,v=,v,v不在c内12323ab1W(z)=|,z>||ab|−11−abz22．解：−1−1.0991.0z10z)1(X(z)==−1.0,<|z|<10−1−1−11(−1.0z)(1−1.0z)1−1.0z1−10znnx(n)=)1.0(u(n−)1−10u(−n)z−1znY(z)=↔y(n)=−)1.0(u(n−1|),z|>1.0−1z−10z−.001z−12nx(n)y(n)=−)1.0(u(n−)1↔Z[x(n)y(n)]=,z>.001−11−.001z需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第16页，共84页−1−1.0991.0z10z)2(X(z)==−1.0,<|z|<10−1−1−11(−1.0z)(1−1.0z)1−1.0z1−10znnx(n)=)1.0(u(n−)1−10u(−n)z−1znY(z)=↔y(n)=−)1.0(u(n−1|),z|<1.0z−1−10ny(n)=)1.0(u(−n)x(n)y(n)=−u(−n)1Z[x(n)y(n)]=−|,z|<1−11−z1zn)3(X(z)=|,z|>5.0←→x(n)=5.0u(n)−11−5.0z1znY(z)=|,z|<5.0←→y(n)=5.0u(−n)1−2zzx(n)y(n)=δ(n)←→123．解：直接法∞1(1)∑x(n)y(n)=，|ab|<1−1n=−∞1−abz∞(2)∑x(n)y(n)=1n=−∞∞(3)∑x(n)y(n)=nan00n=−∞帕塞伐定律(1)需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第17页，共84页∗∗−111X(v)Y/1(v)v=|,a<||v<|||∗(v−a)(1−bv)b∞1极点：z=a,,由留数定律得：∑x(n)y(n)=−1n=−∞1−abz同理得：∞(2))∑x(n)y(n)=1n=−∞∞(3)∑x(n)y(n)=nan00n=−∞24．证明：∞1πjωjωjωnx(n)∗y(n)=∫X(e)Y(e)edω=∑x(m)y(n−m)2π−πm=−∞x(n)与y(n)为稳定的因果序列当n=0时，x(n)*y(n)=x(0)y(0)式左边=x(0)y(0)1πjω1πjωQ∫−πX(e)dω=x0(),∫−πY(e)dω=y)0(2π2π式右边=x(0)y(0)左边等于右边25．解：需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第18页，共84页1jω1)1(X(z)=⇒X(e)=0,1−1−jωz−ae−a26．解：FF)1(x(n)=δ(n)←→X(ejω)=)2(;1x(n)=δ(n−n)←→X(ejω)=e−jωn00F−anjω1)3(x(n)=eu(n)←→X(e)=−a−jω1−e−a−jωjω1jω1−cosω0e)4(X(e)=)5(;X(e)=1−e−a+j(ω0−ω)1−2cosωe−a−jω+e−2a−j2ω0−a−jωjωNjωsinω0ejω1−e)6(X(e)=)7(;X(e)=−a−jω−2a−j2ω−jω1−2cosωe+e1−e0−j2ωN−j2ωN−j2ωNjω−jωN1−e11−e11−e)8(X(e)=e[−−]−jωππ1−e2j(−ω)2−j(+ω)1−eN1−eN1ω0jωn127．解：x(n)=e0dω=sinωn∫−ω02π0πnF+∞+∞−jωn−j(−ω)n−jω28．证明：x(−n)↔∑x(−n)e=∑x(n)e=X(e)n=−∞n=−∞29．证明：需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第19页，共84页FFjω−jωjωjφ(ω)x(n)←→X(e),x(−n)←→X(e),令X(e)=Aejφ(ω)jφ(−ω)x(n)=x(−n)⇒Ae=Ae⇒φ(ω)−φ(−ω)=2kπ∴φ(ω)是线性的同理x(n)=−x(−n)⇒φ(ω)是线性的30．解：设延迟器的输入为x(n)1⎧y(n)=a1x1(n−)1+a0x1(n)⎨⇒y(n)=b1y(n−)1+a1x(n−)1+a0x(n)x(n)=x(n)+bx(n)⎩111−1a+az01系统函数为：H(z)=−11−bz1−1zn−1(1)H(z)=,h(n)=5.0u(n−)1无零点，极点：z=0.5−11−5.0z1n(2)H(z)=,h(n)=5.0u(n)，零点：z=0，极点：z=0.5−11−5.0z−15.0+zn+1n−1(3)H(z)=,h(n)=5.0u(n)+5.0u(n−)1−11−5.0z零点：z=-2，极点：z=0.5−1−5.0+zn+1n−1(4)H(z)=,h(n)=−5.0u(n)+5.0u(n−)1−11−5.0z零点：z=2，极点：z=0.5本题图略31．解：差分方程为：y(n)=x(n)+x(n-N)需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第20页，共84页πjk系统函数为：−N，零点：z=eN,k=,2,1,0KN−1取奇数H(z)=1+z0无极点h(n)=δ(n)+δ(n−N)0jω−jωNjωY(e)=1(+e)X(e)本题图略32．解：差分方程为：y(n)=ax(n)+ax(n-1)+by(n-1)-y(n-2)−11+az2π2π系统函数为：H(z)=,零点:z=,0−,1极点:z=cos±jsin1−1−21−bz+zNN−1111Z2πH(z)=[+]←→h(n)=cosnu(n)12π2π12−jjN1−eNz−11−eNz−1该系统是IIR系统，是递归结构,图略33．解：−N111H(z)=1(+z)⋅[+]2π2π2−jj1−eNz−11−eNz−12π2π2πh(n)=cosnu(n)+cos(n−N)u(n)=2cosnu(n)NNNπjk零点：z=eN,k=,2,1,0KN−1取奇数，z=02π±j极点：z=eN是IIR系统,非递归结构需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第21页，共84页34．解：N−12π1N−1j2πi−j2πiH(z)=∑cosiz−i=∑(eN+eN)z−ii=0N2i=01N−1j2πN−1−j2π=[∑(eNz−1)i+∑eNz−1]2i=0i=0−N−N11−z1−z=[+]2π2π2j−j1−eNz−11−eNz−12π−1−N1(−cosz)(1−z)N=2π−1−21−2cosz+zN2π−1−N2π−(N+)11−cosz−z+coszNN=2π−1−21−2cosz+zN|z|>02πjk零点：z−N=1⇒z=eN,k=,2,1,0K,N−12π⎧jz=eN⎪⎪2π2π2π⎪−jjj极点：z=eN其中极点z=eN与零点z=eN抵消⎨⎪z=0⎪⎪⎩所以共有零点(N-1)个35．解：(1)需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第22页，共84页−1−1G(z)=X(z)H(z),R(z)=G(z)H(Z)⇒Y(z)=H(z)H(z)X(z)−1∗−12Qh(n)是实序列∴H(z)=H(z)⇒H(z)H(z)=|H(z|)所以具有零相位h(n)=h(n*)h(−n)0(2)−1−1G(z)=X(z)H(z),R(z)=X(z)H(z),Y(z)=G(z)+R(z)−1∴Y(z)=X(z)[H(Z)+H(z)]−1H(z)+H(z)=2Res[H(z)]所以具有零相移h(n)=h(n)+h(−n)1需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第23页，共84页第二章离散傅里叶变换(DFT)1．设x(n)=R3(n)~~~求X(k)，并作图表示x(n)，X(k)。∞~x(n)=∑x(n+7r)−∞N−12π~~−jkn解：X(k)=∑x(n)eNn=03π22π2πsin(k)−jkn−jk=∑e7=e77πn=0sin(k)7~x(n)KK-712789n~|X(k)|k需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第24页，共84页2.设⎧0,1≤n≤3⎧4,1≤n≤6x(n)=⎨y(n)=⎨⎩,0其它n⎩,0其他n∞∞~x(n)=∑x(n+7r)~y(n)=∑y(n+7r)r=−∞r=−∞~~~~求：x(n)，y(n)的周期卷积序列f(n)，以及F(k)。解：∞~f(n)=∑f(n+7r)r=−∞f(n)=3δ(n)+2δ(n−)1+δ(n−)2+0δ(n−)3+δ(n−)4+2δ(n−)5+3δ(n−)64π2π3πsin(k)~3−jkn−jk7X(k)=∑e7=e7n=0πsin(k)73π2π10πsin(k)~6−jkn−jk7Y(k)=∑e7=e7n=4πsin(k)74π3π13πsin(k)sin(k)−jk~~~77F(k)=X(k)Y(k)=e7π2sin(k)72．用封闭形式表达以下有限长序列的DFT[x(n)]。解：(1)需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第25页，共84页jω0nx(n)=eR(n)NX(k)=DFT[x(n)]N−11−ejω0NWkN=∑ejω0nWknR(k)=NR(k)NNjωkN1−e0Wn=0Nω0πN−1sin(N)j(k+ω0)2=eN2R(k)Nω0πksin(−)2N(2)x(n)=cosωnR(n)0Njω0n1∗Qcosωn=R[e]由关系：R[x(n)]↔[X(k)+X(k)]0ee211−ejω0N11−ejω0N有：X(k)=DFT[x(n)]=[+]R(k)21−ejω0Wk21−e−jω0WkNNNkk1−cosωN−Wcosω+Wcos(N−)1ω0N0N0=R(k)k2kN1−2cosωW+W0NN(3)x(n)=sinωnR(n)0Njω0n1∗Qsinωn=Im[e]由关系：Im[x(n)]↔[X(k)−X(k)]02j有：X(k)=DFT[x(n)]11−ejω0N11−e−jω0NX(k)=[−]R(k)2j1−ejω0Wk2j1−e−jω0WkNNNkkWsinω−sinωN−sin(N−)1ωWN000N=R(k)k2kN1−2cosωW+W0NN需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第26页，共84页(4)x(n)=nR(n)NN−1ππknNj(+k)NX(k)=∑nWR(k)=−()R(k)=e2NR(k)NNkNNn=01−WN2sin(πk)Nx(n)=nR(n)NN−1ππknNj(+k)NX(k)=∑nWR(k)=−()R(k)=e2NR(k)NNkNNn=01−WN2sin(πk)N4.已知以下X(k),求IDFT[X(k)],其中m为某一正整数,01时，||<1∴<,1∴|u|>1R−r|u|即z平面单位圆以外映射到u单位圆以外N−jω−jπ−jωN1e−rRee1+rR同理，当θ−ω=π,≥|∏=||∏||u|i=1R+ri=1R+r当|R|<1时，|u|<1即z平面单位圆以内映射到u单位圆以内。15．证明式(4-37)当N=1时，即一个实根单节全通函数时，其相位函数φ(ϖ)满足ϕ(0)−ϕ(π)=π。解：−1jωjω−1z−a1e−Ae−Ag(z)===−1jωjω−jω1−az1−Aee(e−A)1ϕ(0)−ϕ(π)=π16．证明式(4-37)当N=2,并且a,a为一对共轭复根时，ϕ(0)−ϕ(π)=2π。12证明：jωz=e需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第66页，共84页N−jω*−jω*−jω*−1e−aie−a1e−a2g(z)=±∏−jω=±−jω⋅−jωi=11−aie1−a1e1−a2e−jω*−jω*−1e−a1e−a1a=a,g(z)=±⋅12−jω*−jω1−ae1−ae11−1−1jφ)0(−1ω=,0g(z)=|g(z|)e=±,1ω=π,g(z)=±1∴φ)0(−φ(π)=2π17．证明式(4-37)的相差一般特性，ϕ(0)−ϕ(π)=Nπ。证明：N1−a*N−1−a*−1i−1iω=,0g(z)=±∏,ω=π,g(z)=±∏i=11−aii=11+ai−j0g(e)j[φ)0(−φ(π)]−jπ=eg(e)j[φ)0(−φ(π)]j[φ)0(−φ(π)]当a为实数时，N为偶数e=1，N为奇数e=-1i所以φ)0(−φ(π)=Nπj[φ)0(−φ(π)]当a为复数时，则两两共轭，N=2R时相当于16题情况e=1ij[φ)0(−φ(π)]N=2R+1时则有R对共轭复根和一个实根，e=-1所以φ)0(−φ(π)=Nπ18．证明u=-z是一个低通到高通，带通到带阻的稳定转换。−jωj(π−ω)证明：H(u)=H(-z)=H(−e)=H(e)变化的是相位而幅度无变化。−1−1−119．若g(z)及g(z)分别为两个稳定的全通变换函数，证明g[g(z)]仍然1212是稳定全通变换函数。−1−1证明：|g(z)|=|g(z)|=112需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第67页，共84页−1|g[g(z)]|=112需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第68页，共84页第五章有限长单位脉冲响应滤波器的设计方法1．解：ππjπαπ1jωjωn1−j(ω−π)αejω(n−α)(a)h(n)=H(e)edω=edω=ed(n−α)d∫∫d∫2π2π2π−−πππ−ωcjπαπe=∫[cosω(n−α)+jsinω(n−α)]d(n−α)2π(n−α)π−ωcjπαeππ=[sinω(n−α|)−jcosω(n−α|)]π−ωcπ−ωc2π(n−α)jπαωcnωc=eS[(n−α)ω]=(−)1S[(n−α)ω]acacππωnch(n)=h(n)⋅ω(n)=(−)1S[(n−α)ω]ω(n)dRacRπ(b)为了保证线性相位N−12k+1−1α=,若N为奇数,N=2k+,1α==k22ωnch(n)=(−)1S[(n−k)ω]ω(n)acRπnh(n)的类型取决于(−)1，N为奇数h(n)为偶对称第一类，h(n)必须偶对称于n=α处，否则不满足N为奇数的已知条件若N为偶数。即N=2k,则2k−11α==k−22ωnch(n)=(−)1S[(n−α)ω]ω(n)acRπh(n)必须奇对称于n=α处，否则不满足N为偶数的已知条件需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第69页，共84页nωc2πn(c)h(n)=(−)1S[ω(n−α)(1−cos)]ω(n)acR2πN−12．解：1π−j(ω−π)αjωn1π+ωc−j(ω−π)αjωn(a)h(n)=−jeedω+jeedωd∫π−ω∫π2πc2πjπαeπj(n−α)ωπ+ωcj(n−α)ω=[∫−jedω+∫jedω]2ππ−ωcπiπαj(n−α)ωj(n−α)ωe−eπeπ+ωc=[|+|]π−ωcπ2πn−αn−αnn+12(−)1αcos(n−α)ωc−α(−)1αsin[(n−α)ωc]2/==2πn−α(n−α)πn+12(−)1αsin[(n−α)ω]2/ch(n)=h(n*)ϖ(n)=ϖ(n)dRR(n−α)πN−1(b)为了保证线性相位α=2若N为奇数，设N=2k+1则α=k2n+12sin[(n−k)ωc]2/h(n)=(−)1ϖ(n)R(n−k)πh(n)满足奇对称，即h(n)=-h(N-1-n)属于第III类FIR滤波器若N为偶数，设N=2k则α=k-1/22n+12sin[(n−k+)2/1ωc]2/h(n)=(−)1(n−k+)2/1πh(n)满足偶对称，即h(n)=h(N-1-n)属于第II类FIR滤波器需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第70页，共84页n+1sin[(n−α)ωc]2/2πn(c)h(n)=(−)11[−cos]ϖ(n)R(n−α)πN−13．解：1ω0+ωc−jωαjωn1−ω0+ωc−jωαjωnh(n)=eedω+eedωd∫ω−ω∫−ω−ω2π0c2π0csin[(n−α)(ω+ω)]−sin[(n−α)(ω−ω)]0c0c=(n−α)π2cos(n−α)ωsin(n−α)ω0c=(n−α)πh(n)=h(n)ϖ(n)dRN−1(a)N为奇数时，设N=2k+1，α==k22cos(n−k)ωsin(n−k)ω0ch(n)=ϖ(n)R(n−k)πh(n)满足于偶对称，属于第I类FIR滤波器(b)N为偶数时，设N=2k,α=k-1/22cos(n−k+)2/1sin(n−k+)2/1ωch(n)=ϖ(n)R(n−k+)2/1πh(n)满足偶对称，属于第II类FIR滤波器(c)N为奇数时，用升余弦窗设计2cos(n−k)ω0sin(n−k)ωc2πnh(n)=.0[54−.046cos]R(n)N(n−k)πN−1需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第71页，共84页N为偶数，用升余弦窗设计2cos(n−k+)2/1ω0sin(n−k+)2/1ωc2πnh(n)=.0[54−.046cos]R(n)N(n−k)πN−14．解：与第三题相比知ϕ(ω)由-ωα变为-αω−π/2，所以只需将上题h(n)由偶对称变为d奇对称即可2cos(n−α)ωsin(n−α)ω0ch(n)=sgn(n−α)(n−α)πh(n)=h(n)ϖ(n)dR(a)N为奇数，α=k2cos(n−k)ωsin(n−k)ω0ch(n)=sgn(n−k)ϖ(n)R(n−k)π奇对称属于第III类滤波器(b)N为偶数，α=k-1/22cos(n−k+)2/1ωsin(n−k+)2/1ω0ch(n)=sgn(n−k+)2/1ϖ(n)R(n−k+)2/1π奇对称属于第IV类滤波器(c)用改进升余弦窗设计N为奇数2cos(n−k)ω0sin(n−k)ωc2πnh(n)=.0[54−.046cos]R(n)sgn(n−k)N(n−k)πN−1N为偶数需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第72页，共84页2cos(n−k+)2/1ωsin(n−k+)2/1ω0ch(n)=sgn(n−k+)2/1(n−k+)2/1π2πn×.0[54−.046cos]R(n)NN−15．解：(a)一个带阻滤波器相当于一个全通滤波器减去一个带通滤波器jωjϕ(ω)全通H(e)=ejωjϕ(ω)带通H(e)=H(ω)eBBjωjϕ(ω)jϕ(ω)jϕ(ω)则带阻H(e)=e−H(ω)e=1[−H(ω)]erBB(b)因是线性相位滤波器，不妨设ϕ(ω)=−αω1πjϕ(ω)jωnh(n)=1[−H(ω)]eedωr∫−πB2π1πj(n−α)ω=edω−h(n)∫−πE2πsin(n−α)π=−−h(n)E(n−α)π6．解：(a)jω−jωaj(−ωa−π)2/H(e)=−je=edjω1πjωnsinnπ∴|H(e|)=,1ϕ(ω)=−ωa−π2/∴h(n)=edω=dd∫−π2πnπsin(n−a)π∴h(n)=sgn(n−a)d(n−a)πsin(n−a)πh(n)=h(n)ϖ(n)=sgn(n−a)ϖ(n)dRR(n−a)π需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第73页，共84页(b)N为奇数时，α=(N-1)/2=k⎧,1n=a∴h(n)=⎨⎩,0n≠aN为偶数时，α=(N-1)/2=k-1/2sin(n−k+)2/1πh(n)=sgn(n−k+)2/1ϖ(n)R(n−k+)2/1π显然N为偶数时性能好2sin(n−a)πI0(β1−1[−n/(N−1)])(c)h(n)=sgn(n−a)(n−a)πI(β)07．解：(a)n−a1π−ωajωn(−)1h(n)=−jωeedω=−d∫2π−πn−an−a−(−)1h(n)=ϖ(n)Rn−a(b)N为奇数时，a=kn−k(−)1h(n)=−ϖ(n)Rn−kN为偶数时，a=k-1/2n−k(−)1jh(n)=−ϖ(n)Rn−k+1/2N为奇数时性能好需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第74页，共84页()1n−kI(β1−1[−2n/(N−1)]2)−0(c)h(n)=−n−kI(β)09．解：(a)2πN−1−jπ1(−/115)θ(k)=−k()=−kπ1(−/1N),H)0(=,1H)1(=5.0eddN2H(k)=H(N−k)=,0k=,3,2K,13dd−j14(15−)1π/15*H(14)=5.0e=H)1(ddN−12π1jknh(n)=∑H(k)eNdNn=0142π14281−jπjnjπjπn=1(+5.0e15e15+5.0e15e15)15jω1514jω1−eH(k)H(e)=∑−jωj22k/1515k=o1−ee(b)横截型−1−1−1−1x(n)zzzKzh0()h()1h2()h)3(h(14)K频率采样型需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第75页，共84页H(0)−jωex(n)H(1)1/15y(n)2πje15−jωe−jω15eH(14)28πje15−jωe(c)横截型用的乘法器多，频率采样型用的加法器多10．解：(a)Qh(n)为h(n)的圆周移位21=kmjkπH(k)=H(k)W=H(k)e∴|H(k=||)H(k|)21N112θ(k)=θ(k)−kπ12(b)如图所示，又QN=,8a=(N−2/)1=5.3知h(n)，h(n)均关于n=3.5偶对称，12所以属于线性相位滤波器时延为3.511．解：jω⎧0,1≤ω≤ωc|Hd(e|)=⎨⎩,0其他ω图略第一类线性相位FIR滤波器，需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第76页，共84页jθ(K)N−12π1H(K)=|H(K)e|,θ(K)=−()k=−kπ1(−)2NN⎧NωcN−1⎪0,1≤k≤int[]=⎪2π4N+1|H(K|)=⎨|,H(K=||)H(N−k|,)≤k≤N−,1偶对称⎪NωcN−12,0int[]+1≤k≤⎪⎩2π2⎧2πN−1N−1−k(),0≤k≤⎪⎪N22θ(K)=⎨⎪2πN−1N+1(N−k)(),≤k≤N−1⎪⎩N22⎧32⎧0,1≤k≤8−πk0,≤k≤16⎪⎪⎪33|H(K|)=⎨9,0≤k≤16及17≤k≤24,θ(K)=⎨⎪⎪32π(33−k),17≤k≤32⎩,125≤k≤32⎪⎩332π2π设计的过渡带宽Δω==N33如果边沿设定ϖ(k)为一点，即令ϖ(9)=ϖ(24)=0.39⎧0,1≤K≤8⎪|H(K|)=⎨.039,K=9⎪⎩,010≤K≤162π4π则过渡带宽为2*=N3333ωkπωkπsinωsin[33(−)]sin[33(+)]jω−j16ω2233233H(e)=e{+∑[+]}ωωkπωkπ33sin33sin(−)33sin(+)223323312．解：(a)N=33需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第77页，共84页⎧32⎧0,0≤k≤11,22≤k≤32−kπ0,≤k≤16⎪⎪⎪33|H(k|)=⎨.039,k=12,21,θ(k)=⎨⎪⎪32π(33−k),17≤k≤32⎩,113≤k≤20⎪⎩33(b)N=32⎧33⎧0,0≤k≤11,23≤k≤33−kπ0,≤k≤17⎪⎪⎪34|H(k|)=⎨.039,k=12,22,θ(k)=⎨⎪⎪33π(34−k),18≤k≤33⎩,113≤k≤21⎪⎩3413.解：(a)N=33，因为N为奇数，所以可能是第I，III型滤波器⎧0,0≤k≤,413≤k≤20,29≤k≤32|H(k|)=⎨⎩5,1≤k≤12,21≤k≤28⎧32−kπ0,≤k≤16⎪⎪33第I型θ(k)=⎨⎪32π(33−k),17≤k≤32⎪⎩33⎧π32−kπ0,≤k≤16⎪⎪233第III型θ(k)=⎨⎪π32−+π(33−k),17≤k≤32⎪⎩233(b)N=34,可能是第II,IV型滤波⎧0,0≤k≤,413≤k≤21,30≤k≤33|H(k|)=⎨⎩5,1≤k≤12,22≤k≤29需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第78页，共84页⎧33−kπ0,≤k≤17⎪⎪34第II型θ(k)=⎨⎪33π(34−k),18≤k≤33⎪⎩34⎧π33−−kπ0,≤k≤17⎪⎪234第IV型θ(k)=⎨⎪π33+π(34−k),18≤k≤33⎪⎩23414．解：(a)N为偶数，上面正交网络可设计成第IV型滤波器⎧πN−12kπN−1−−,k=,0L[,]⎪⎪22N2θ(k)=⎨⎪πN−12πN−1+()(N−k),k=[]+,1L,N−1⎪⎩22N2(b)N为奇数，纯虚数幅度响应样本为：⎧,0k=0jHr(k)=⎨⎩−j,k=,1L,N−1由于这是一个III型线性相位滤波器，在ω=π处振幅响应应为零，即H=0为了k减少波动，在靠近ω=π处（即中点两旁）设过渡点，不妨选值为0.4j⎧,0k=,0k=(N−2/)1⎪Hk=⎨−j2,≤k≤(n−(,2/)5N+2/)3≤k≤N−2⎪⎩4.0j,k=(N−(,2/)3N+,1,2/)1N−1需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)课后习题答案第79页，共84页⎧πN−12kπN−1−−()(),k=,0L[]⎪⎪22N2θ(k)=⎨⎪πN−12πN−1+()()(N−k),k=[]+,1L,N−1⎪⎩22N215．解：(a)（虚数）幅度样本为：⎧2πN−1−jk,k=,0L[,]⎪⎪N2jHr(k)=⎨⎪2πN−1−j(N−k),k=[]+,1L,N−1⎪⎩N2N为奇数时没有突变边沿N为偶数时没有突变边沿(b)N为偶数时⎧2πN,k=,0L,−1⎪k2⎪⎪2πNHk=⎨(−1),k=N2/⎪N2⎪2π⎪(N−k),k=N2/+,1L,N−1⎩N⎧πN−12kπN−1−−()(),k=,0L[,]⎪⎪22N2θ(k)=⎨⎪πN−12πN−1+()()(N−k),k=[]+,1L,N−1⎪⎩22N2需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)数字信号处理习题课后习题答案第80页，共84页第六章快速傅里叶变换(FFT)1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需100μs,每次复加需20μs,今用来计算N=1024点的DFT[x(n)],问用直接运算需要多少时间,用FFT运算需要多少时间。解：226m=a=4N=4×1024=4×10DFTDFT6628DFT作复乘4×10,DFT作复乘所需时间4×10×10=4×10μs,67DFT作复加所需时间4×10×20μs=8×10μsN10m=logN=5120(,QN=2=1024),a=NlogN=10240FFT2FFT2223FFT作复乘所需时间5120×10μs=512×10μs2FFT作复加所需时间1024×20μs=2048×10μs2.用图6.8所示流程图验证图6.7所示的8点变址运算。证明：由图6.8知取A=x(0),B=x(4)N=8kX(k)=X(k)+WX(k),k=,1,0L,N2/−11N2kX(N/2+k)=X(k)−WX(k),k=,1,0L,N2/−11N25.试证实以下流图是一个N=8的FFT流图.其输入是自然顺序的,而输出是码位倒置顺序的,试问这个流图是属与时间抽取法还是频率抽取法?并比较与书中哪一个流图等效。解：这个流图属于频率抽取法。6.试设计一个频率抽取的8点FFT流图,需要输入是按码位倒置顺序而输出是按需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)数字信号处理习题课后习题答案第81页，共84页自然顺序的。解:设计的流图为第五题的流图左右翻转180度。N−12krX2(r)=∑x1(k)WN2/k=0N−12krX2(r+)1=∑x2(k)WN2/k=07.试用图6.14(a)中的蝶形运算设计一个频率抽取的8点IFFT流图。解：X(0)1/2x(0)X(4)x(1)X(2)x(2)X(6)x(3)X(1)x(4)X(5)x(5)X(3)x(6)X(7)x(7)9.试作一个N=12点的FFT流图,请按N=2,2,3分解,并问可能有几种形式?解：可能有三种N=2×2×3先分成2组，每组有6各点，后每组内再分成两组需要其他考研资料发邮件到：huntsmanydw@163.com 数字信号处理(邹理和编)数字信号处理习题课后习题答案第82页，共84页时间顺序为x(0),x(4),x(8),x(2),x(6),x(10),x(1),x(5),x(9),x(7),x(11)频域顺序为X(0),X(1),X(2),X(3),X(4),X(5),X(6),X(7),X(8),X(9),X(10),X(11)流图如图6.18解：由题可得N−12πjkX(z)=∑x(n)z−n由于z=z=eN,k=,1,0⋅⋅⋅,N−1kn=0N−12π−jkn∴X(z|)=∑x(n)eNz=zkn=0(a)将M点序列分成若干段N点序列，设段数为k即kN>M≥(k−)1N并令y(n)=x(n)0y(n)=x(n+N)1M⎧x[n+(k−)1N],0≤n≤M−(k−)1N−1yk−1(n)=⎨⎩,0M−(k−)1N−1