数值逼近（第二版） (蒋尔雄 赵风光 苏仰锋 著) 复旦大学出版社 课后答案 54页

'课后答案网您最真诚的朋友www.hackshp.cn网团队竭诚为学生服务，免费提供各门课后答案，不用积分，甚至不用注册，旨在为广大学生提供自主学习的平台！课后答案网：www.hackshp.cn视频教程网：www.efanjy.comPPT课件网：www.ppthouse.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！第一章绪论1.用3位数字计算出方程：的解x，y，再用6位数字计算出x与y，已知正确解为练习练习x=1,y=-1,计算结果说明什么？解：用3位浮点计算：，即得：，解得：课后答案网用6位浮点计算：，即得：www.hackshp.cn，解得：此例说明，在计算过程中，选取有效数字位数越多，相对误差越小，计算结果越精确。10．都是中的数，试给出的向前误差分析和向后误差分析。解：（1）由定理5，向前误差分析为其中，。（2）向后误差分析，仍由定理5 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！其中：。11．将（2，4，-2，2）中的数全部列出来，且在实轴上表示出来，问总共有多少？解：(2,4,-2,2)系统中的所有正数为：共有个，再加上课后答案网中的80个负数以及0，故共有161个。www.hackshp.cn14．假设有一种算法，求可得到6位有效数字，问为了使有4位有效数字，应取几位有效数字？解：因为其中：为取近似值时的相对误差，为求开方运算的相对误差，由题设和定理1知所以：若，即对取6位有效数字时， 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！有4位有效数字（由定理1）。15．求的误差分析。解：课后答案网其中。16．有误差www.hackshp.cn，，问的传播误差是多少？解：因为若，则，又由于：，则：当时，，当时，，当时，。第二章函数的插值 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！1．下列函数表（表18）中的数字都是有效数字。（1）通过ctgx的函数表，进行插值，求ctg(0.0015)，并估计误差；解：先作差分表：取课后答案网：www.hackshp.cn又由：所以误差为：2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。解：（1）用牛顿方法。先作差商表： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！所以：（2）用Lagrange方法课后答案网化简得：www.hackshp.cn（3）用内维尔方法再由：得： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！3．给定的函数值如表20所示，求解：先作差商表：即：故：课后答案网4．求，利用www.hackshp.cn，取节点作插值，并估计截断误差。解：先作差商表：所以，。故：其截断误差：由于，所以 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！5．证明：在两个节点：上作线性插值，当时，余项为证：因为其中：6．若是小量，则课后答案网三个函数值应怎样线性组合，才能得到较好的www.hackshp.cn的近似值。解：由于所以：，即：。7．证明。 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！证：设，则11．用拉格朗日途径导出如下的次埃尔米特插值，满足：。解：先构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：课后答案网满足上述条件的www.hackshp.cn的多项式可以写成：其中A为待定系数，再由条件得：即：再构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！，令：它满足上述条件中除外的所有其他条件，于是再由课后答案网www.hackshp.cn所以，于是：于是所求的埃尔米特插值多项式为13．找一个5次Hermite多项式，满足解：由差商表：（略） 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！14.证明（34）式成立，即证明证明：因为：课后答案网www.hackshp.cn17．解：因为，若是贝塞尔函数的反函数，为求的零点，只需求，下面用插值方法计算，先作差商表： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！于是根：或课后答案网www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！样条插值和曲线拟合2．，作4次多项式的等距插值，求，并比较与的差别，如果用分段插值，那么结果将如何？解：（1）先作差商表课后答案网所以：www.hackshp.cn，故：。（2）若采用分段插值，则在上，，所以：，结果一样。4．对在中用等距分段Hermite3次插值，其余项是什么？解：若对在中用等距分段Hermite3次插值，则在每个小区间上，由第二章定理8知： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！由于，所以在上，注意右端与无关，故在上，有：。5．对函数，在区间上用等距线性插值、等距Hermite3次插值、等距样条插值，问步长应取多少才能保证各自的截断误差小于课后答案网？解：因为www.hackshp.cn，所以，因此。若在区间上用等距线性插值，则误差为：欲使，只须。若在区间上用等距Hermite3次插值，则误差为： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！欲使，只须若在区间上用等距样条插值，则由定理5，有：欲使，只须。7．对，在上取5个等距节点，求3次自然样条插值。解：取节点，作差商表：课后答案网www.hackshp.cn对于自然样条，，按公式（10）形成方程组：解得：。由（9）式即得样条函数的表达式（略）。11．对于3次样条函数，如果给定的条件是，如何给出边界条件使得唯一确定。 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！解：由于在上是3次多项式，故在上是1次多项式，而且满足，因此可表示为于是积分两次并利用（为未知量）可定出积分常数：事实上，积分两次后，记，再由课后答案网可定出。于是：www.hackshp.cn即：若考虑在上，有两边的应相等，即：，整理并记，得： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！若给定边界条件，则形成方程组：该方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，故唯一确定。12．若是实轴上个由小到大排列的点，考虑一个上的函数，它在课后答案网上是一个二次多项式，并且是已知值，又在内节点上连续，这样的称为二次样条插值。试证这样的二次样条插值有很多，并问加上何种条件才能使它唯一，给出求www.hackshp.cn的方程。解：由于在每个小区间上，有3个待定系数，于是在上共有个待定系数，。要满足的条件是：通过型值点：，共有个方程；的一阶导数连续，即共有个方程。这样总共有个方程，而待定系数有个，于是可以有很多。若要使它唯一确定，加上即可。事实上：考虑在上是一个二 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！次多项式，可以写成：，若记为未知量，则：，再由得，故，再由得：再由为已知，从而由，可求得，且由递推关系知是唯一确定的。15．证明满足周期边界条件的3次样条插值函数课后答案网也具有极小模性质，即：www.hackshp.cn，其中是二阶导数连续函数，且，，。证：设是二阶导数连续，且满足，，的任意一个函数，令，则。由：得： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！故：。证毕16．证明：贝齐尔曲线。证：因课后答案网www.hackshp.cn17．对于贝齐尔曲线，若要求，问应是什么？解：由得：，即：，再由得：，解得：18．利用作图定理证明：。 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！证：利用数学归纳法。当时：成立。假设当时有：，则当时：课后答案网故由数学归纳法知，对任意www.hackshp.cn有：。19．证明：。证：因为：，两边求导得：故：。 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！最佳逼近1.若，试构造相应的Bernstain多项式。解：作变换，则当时，，记：，则其Bernstain多项式为：再将代入上式即得在上的Bernstain多项式：课后答案网4．假设www.hackshp.cn，证明关于的最佳一致逼近多项式为：，其中：。证明：因在上连续，故存在使：，。（1）若，（2）则为常数，（3）显然就是在上的0次最佳一致逼近多项式。（4）若则，（5）且记，（6）由于当，（7）于是：，（8）即，（9）又，（10）9; 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！，（11）即为误差曲线的两个正负相间的偏差点，（12）由契比雪夫定理知，（13）9;就是在上的0次最佳一致逼近多项式。6．证明的最佳一致逼近次多项式就是在上的某个次拉格朗日插值多项式。证明：（1）若，则的最佳一致逼近次多项式就是自身。这时在上任取个不同的点，就可以看作以这个点为插值节点的关于自身的拉格朗日插值多项式。（2）若，且是的最佳一致逼近次多项式，则由契比雪夫定理知，误差曲线课后答案网在上有至少由个点组成的交错点组，从而由介值定理知在上至少有个零点，于是www.hackshp.cn就是以这个零点为插值节点的次拉格朗日插值多项式。7．假设是奇（偶）函数，问其最佳一致逼近多项式是否也是奇（偶）函数？解：回答是肯定的。这里只证明当是偶函数时，相应的最佳一致逼近多项式也是偶函数。事实上，由于是在上的最佳一致逼近多项式，则有：用代替，并注意到，也有： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！这说明也是在上的最佳一致逼近多项式，再由唯一性知：成立，说明是偶函数。证毕8．求解在上的一次最佳一致逼近多项式。解：因：，故由定理4的推论2知是契比雪夫交错点。假设是在上的一次最佳一致逼近多项式，则，又若是另一个契比雪夫交错点，则由课后答案网，再由www.hackshp.cn得，所以在上的一次最佳一致逼近多项式为。9．选取常数，使最小，又问这样的常数是否唯一？解：令，由，解得，再由，，所以，欲使最小，只需取，即解得。 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！11．证明第一类契比雪夫多项式具有如下性质：（1），（2）（3）（4）证明：（1）（2）课后答案网（3）因，则www.hackshp.cn因代入上式即得（4）同理因 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！12．构造区间上的最小零偏差次代数多项式。解：已知在[的最小零偏差次代数多项式为，即它是次首一多项式，且在[-1，1]上的个点处轮流取得其最大值与最小值。对于区间，作变换，则当时，，以代入得，其首项系数为，于是课后答案网是在上的次首一多项式，且在www.hackshp.cn个点处轮流取得其最大值与最小值，故上的最小零偏差次代数多项式为。14．试求在上关于的最佳一致逼近三角多项式，并求出最佳逼近值。解：不妨设，则取，则误差曲线满足，且 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！在区间上的个点：，处轮流取得其最大值与最小值，由于是以为周期的周期函数，故这一性质在上也成立。因此的最佳一致逼近三角多项式为，最佳逼近值为。当时，上述结论也成立。15．假设是上的个互不相同的点，证明：对于任意向量，方程组有唯一解。证明：原方程组的矩阵形式为：课后答案网www.hackshp.cn为证明上述方程组有唯一解，仅需证明对应的齐次方程组只有零解。用反证法，假设对应的齐次方程组有非零解，由此令，于是对应的齐次方程组相当于，注意到已知且互不相同以及在中为奇函数，故，再加上，从而次三角多项式在中有个零点，这与引理3的性质6相矛盾。于是原方程组有唯一解。16．证明在区间上，。 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！证明：因在区间上，是在所有次首一多项式中，与零偏差最小的多项式，故以的零点：为插值节点，构造拉格朗日次插值多项式，则：，因为根据的取法有：，从而于是课后答案网。17．证明许瓦兹不等式www.hackshp.cn，并借此证明内积范数满足范数的3条性质。证：取，则故：。并由内积的性质：推出：（1）且（2） 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！（3）由于：所以：18．求在[0，1]上的一次最佳平方逼近多项式。解：由于，则：，，，，，可得方程组：，解之得：。故在[0，1]上的一次最佳平方逼近多项式为：课后答案网。19．若www.hackshp.cn是秩为的矩阵，试求解问题：，其中：。解：若记为矩阵A的第列向量，则由于A的秩为，故线性无关，且记，显然：，于是子空间V对的最佳平方逼近为：。从而上述问题即为最小二乘问题，其解满足法方程组：，故所求问题的解为：。20．若连续函数列在上带权正交，且恒正，证明：对任意个数，广义多项式在上至少有一个零点。 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！证明：用反证法。若存在个数，使广义多项式在上没有零点，由于为连续函数，故在上恒正，或恒负。不妨设，又由恒正，故。但由于在上带权正交，故，这与上式矛盾。因此，对任意个数，广义多项式在上至少有一个零点。课后答案网21．试写出勒让德多项式的前4项。www.hackshp.cn解：由递推公式：得：。22．证明：第二类契比雪夫多项式在内积意义下正交。问其规范正交系又怎样？ 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！证明：由于因此第二类契比雪夫多项式在内积意义下正交，且其规范正交系为：课后答案网www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！第五章数值积分1.若求积公式（2）具有m次代数精度，试证明对于任意次数不超过m的代数多项式，都有。证明：因为对，都有，从而由的线性性质以及任意有：。结论成立。2.证明柯特斯系数满足课后答案网。证明：（1）由www.hackshp.cn，令，则故（2）由于牛顿-柯特斯公式的代数精度，故对零次多项式，有，即，也就是，即，由得。3.证明柯特斯系数满足方程组： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！证明：由于牛顿-柯特斯公式的代数精度，故在区间上使用牛顿-柯特斯公式对精确成立，即：，也就是：或，写成矩阵形式即为：课后答案网www.hackshp.cn4．证明，若不是整数，且，则；若不是整数，且，则。证明：因为，所以：若不是整数，且时，有成立，所以：，于是。再由： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！和得：。同理当时，，两边再减有：，即，所以若不是整数，且时，。证毕5.假设在上连续，。证明：存在成立课后答案网证明：因www.hackshp.cn在上连续，故在上必取得最大值和最小值，即当时。又若令，则由得：。故由连续函数的介值定理知：必存在，使，即。6.若用复化梯形公式求积分，则积分区间要多少等分才能保证计算结果有五位有效数字？解：欲使，其中， 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！只须，即积分区间要68等分才能保证计算结果有五位有效数字。7.函数由表14给出，利用复化梯形公式按如下的尺度，计算：（1）（2）（3）解：（1）时，=1.7683(2)时，=1.7728课后答案网(3)时，www.hackshp.cn8．验证复化柯特斯公式和复化辛卜生公式之间存在递推关系。解：将区间n等分，其节点，在每个小区间上采用辛卜生公式得：，以及：，于是： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！即：。证毕。9．分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算下列积分：（1），解：（1）令，则：课后答案网www.hackshp.cn（2），；（3），；（4），。10．假设在上可积，证明复化梯形公式和复化辛卜生公式当时，收敛于积分值。证明：将区间n等分，其节点，在每个小区间上采用梯形公式并由在上可积得： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！；在每个小区间上采用辛卜生公式得：11。11.11111.证明等式：，并用理查森外推法计算的近似值。证明：由于当时，课后答案网，令得：www.hackshp.cn，即：若令，并记，则上式成为：，因此该公式符合理查森外推法的条件，若记由外推算法：，，并取（即）得：3.104569499 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！3.13914753.141452769733.14143773.14159033.1415926159175与相比，有8位有效数字。12．用龙贝格算法求积分直到第五位小数不变。0.75000000000.70833333330.69444444440.69702380950.69325396830.69317460320.6941218504课后答案网0.69315453070.69314790150.6931474776解：www.hackshp.cn积分的精确值为=0.6931471860。13．假定在上有二阶连续导数，求证，证明：因在上有二阶连续导数，则：，两边积分得：，因 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！在上连续，故存在，使，即：。证毕14．给定求积公式，试决定求积系数，使之代数精确度尽可能高。解：若求积公式对精确成立，则必满足方程组：课后答案网，解之得：，由于当时，求积公式仍精确成立，但当www.hackshp.cn时，求积公式不再精确成立，故该求积公式具有3次代数精度。15．寻求如下的高斯型求积公式：解：由于求积公式是高斯型的，故对单项式精确成立，于是得到如下的关于的方程组：， 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！令，并由、分别得：解之得：，因此是一元二次方程：的解：，，再由（1）、（2）解得：，即：16．利用（52）式推导当时的三角辛卜生公式。解：令：，，由课后答案网其中：www.hackshp.cn可得当时的三角辛卜生公式： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！17．适当处理下列定积分，并选择合适的方法计算其近似值：（1）解：因为：，可以利用高斯-第二类契比雪夫求积公式课后答案网，于是取得：www.hackshp.cn所以：（2）解：这是振荡积分，利用三角梯形公式（53）得：（3）解：由于：，可以利用高斯-第一类契比雪夫求积公式： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！，于是取得（其中）：，所以。（4）解：作积分变换：，得：，于是可以利用高斯-拉盖尔求积公式（其中）：课后答案网，于是取得：www.hackshp.cn（5）解：由于：，于是可以利用高斯-埃米特求积公式（其中）：，于是取得：（6） 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！解：利用积分变换：于是可以利用三点高斯-勒让德求积公式（其中）得：18．试导出三重积分的梯形公式和辛卜生公式。解：设，则三重积分的梯形公式和辛卜生公式分别为：课后答案网www.hackshp.cn20．用分离变量法以及辛卜生公式计算积分并比较计算结果与准确值之间的关系解：令：，则是一个二次多项式，故对使用辛卜生公式精确成立，且对使用辛卜生公式也精确成立，因此使用分离变量法以及辛卜生公式计算积分是精确的。事实上，使用辛卜生公式计算时： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！，，，故：，与精确计算是相同的。课后答案网www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！第七章函数方程求根1.对例1若要求计算到，问k应为多大？解：要使，即，只需，即：，故k应等于12。2.对，取三点，用反插值法求的根的近似，即用，课后答案网，表示的近似。解：设www.hackshp.cn的反函数为，若记，，，则，，，对于用插值公式：令代入上式得：丢掉右边第4项，即得： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！3．的反函数为，对它在节点处作重节点插值，问的近似公式是怎样的？解：令：，则，且，若将在点作重节点插值，则：，令得：，丢掉右边第三项，即得：课后答案网，此即为牛顿法迭代公式。7．用迭代法求解开普勒（Kepler）方程：，其中：www.hackshp.cn，取初始值，并估计的误差。00.840.964302461380.964333882410.943471218150.964330305290.96433388720.961920102760.9643334793100.964333887630.96405825570.9643338411110.9643338876解：原方程与等价，于是取，则是上的压缩映象，因为对于，即：；又：对于，由推论知是上的压缩映象。故取初始值，经计算得： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！而且：，即至少有7位有效数字。8．验证下列函数满足李普希茨条件：（1），解：对，即（2），解：对课后答案网，即（3）www.hackshp.cn，解：对，即9．对例3，如果利用作估计，则问k要多大，才能使？解：已知，以及，所以：，因此，欲使，只需，即，所以即可。 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！10．对方程用迭代法求根，若化成，则问迭代是否收敛？若化成进行迭代，问是否收敛？解：对于方程，由作图可知有唯一根在中，当化成时，迭代函数满足，故不收敛；当化成时，迭代函数满足，故是收敛的。12．证明定理2：对于方程，若满足条件：（1）；（2）在圆课后答案网中任意两点满足：，且，则由出发按（9）式产生的序列www.hackshp.cn收敛到方程（8）的解，且是方程（8）在中的唯一解，并有估计式：。证明：按定理2中给出的构造一个一次方程：，其唯一根为：。若令，则上述方程即为，取初始近似，由迭代公式，产生序列，我们可以证明：（1）为单调序列：；（2）；（3）。事实上，由，且得：，，故单调上升，且 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！即有上界，且由，有：，显然。下面我们再证明按定理2产生的序列满足：，。首先由定理条件知：，即当时成立；假设当时成立，我们来证明当时也成立，由于当时：由课后答案网知：www.hackshp.cn，从而：，于是对于任意自然数，都有：。且。再由，可知为基本序列，设，则，在上式中令得：。证毕13．对任意实数，如何不用除法求？ 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！解：为方程的唯一解，对其使用牛顿法得公式：。于是当充分接近时，由迭代公式产生的序列收敛于。14．对实数，列出牛顿法求的迭代公式。解：令，则为的唯一正根，其牛顿法迭代公式为：课后答案网。15．用牛顿法求的根也是一种迭代法，它的迭代函数是什么？如果在零点附近足够光滑，且www.hackshp.cn，试求出迭代函数的一阶导数在的值，然后利用定理2给出牛顿法的收敛定理，并且证明此时定理2中的常数L可以取成任意的正数。解：求根的牛顿法的迭代函数为：，且：。由于，故对任意，存在，使当时，，从而对任意，都有：，即在上满足李普希兹条件。并且此时常数L可以取成任意的正数。于是只要取使和，则和即满足定理2的条件：（1） 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！；（2）由于（事实上，当时，+，即），所以在中满足李普希兹条件。故由定理2，由出发按牛顿法产生的序列收敛到方程的解，且是方程在中的唯一解，并有估计式：。16．若足够光滑，在课后答案网处有重根，即，，则此时迭代函数的一阶导数在www.hackshp.cn的值是什么？如果将牛顿法改变成：，，此时迭代函数的一阶导数在的值是什么？解：如果是的重根，则可以把改写成：，从而和在的泰勒展式为：，，其中和都在与之间。设，则：，所以牛顿法迭代函数 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！的一阶导数在的值为，但不等于0，这时牛顿法一阶收敛；如果将牛顿法改变成：，此时迭代函数的一阶导数在的值为：，这时是二阶收敛的。17．1992年，道埃法哈达（P.Deuflhard）等给出一个关于函数方程组的牛顿法收敛定理。我们将它限制在一个自变量情况叙述如下：是定义在开区间上的连续可微函数，当时，，如果在中有零点，并存在正数，使得，今用牛顿法求的零点，取初始值课后答案网，得到序列，如果满足：www.hackshp.cn是与无关的常数，并且，则，且为在内的唯一零点。证明：先证明：（*）因为：，所以有：由，得： 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！所以有，且对（*）式成立。假设对，（*）式成立，且，则：课后答案网即对www.hackshp.cn，（*）式也成立，且。记，则（*）式成为：，故。且为在内的唯一零点。因为若还有，使，则：，故必有，即，为在内的唯一零点。 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！18．用简化牛顿法求解（取初始值为）：解：因为：所以：，课后答案网，于是由迭代公式：www.hackshp.cn和初始值，得：，，，巳具有4位有效数字。20．编一个用林士谔-贝尔斯多夫方法求多项式二次因子的程序，并用来求：的二次因子。解：相应的C语言程序为：#defineN4#include“math.h”main(){doublea[N+2]={0,1,3.8,-19.45,-70.83,-49.14},b[N+2],c[N+1],r,r1,s,s1;intI,k=0; 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！c[0]=b[0]=0;c[1]=b[1]=a[1];r1=3;s1=9;do{r=r1;s=s1;k++;for(i=2;i<=N;i++){b[i]=a[i]+r*b[i-1]+s*b[i-2];c[i]=b[i]+r*c[i-1]+s*c[i-2];}b[N+1]=a[N+1]+r*b[N]+s*b[N-1];r1=r-(b[N]*c[N-1]-b[N+1]*c[N-2])/(c[N-1]*c[N-1]-c[N]*c[N-2]);s1=s-(b[N+1]*c[N-1]-b[N]*c[N])/(c[N-1]*c[N-1]-c[N]*c[N-2]);printf(“k=%d,r=%f,s=%fn”,k,r1,s1);}while(fabs((r1-r)*(r1-r)+(s1-s)*(s1-s))>1e-6);}运行结果如下（即当=3,=9时）：k=1,r=2.912164,s=7.370090k=2,r=1.899813,s=11.838944k=3,r=2.381480,s=9.606082课后答案网k=4,r=2.491076,s=9.140486k=5,r=2.499932,s=9.100301www.hackshp.cnk=6,r=2.500000,s=9.100000若再修改程序中r,s的初始值成为=-6,=-5时，可求得r=-6.3,s=-5.4.故。'